（基础数学专业论文）三类非线性椭圆型方程（组）整体解的一些研究.pdf

摘要 本文首先利用变分方法研究了无界区域上一类含p - l a p l a c i a n 算子的椭圆型 方程组解的存在性；同时，我们利用不动点定理研究了无界区域上一类含 p - l a p l a c i a n 算子的椭圆型方程的径向解，证明了在一定条件下，存在无穷多个径 向正解；另外。还运用上下解方法研究了无界区域上一类含p - l a p l a e i a n 算子的 椭圆型方程的解的整体存在性、不存在性和无限爆破性。 本文的主要内容分为以下三章： 在第二章中，我们研究r “上一类含p - l a p l a c i a n 算子的椭圆型方程组解的存 在性 x 冠 石r ”( 0 1 ) 方程右侧非线性部分为c 函数f 的梯度，称为p - l a p l a c i a n 算子即 a j , = d i v ( i v u l “v u ) ，“和v 为定义在r ”的函数；l o ，x r ”；艘“o ) = c o n s t 0 这里。称为p - l a p l a c i a n 算子即a p ”= d i v ( i v u | ，- 2v u ) ，1 p 0 我们得到的主要结论如下：方程( 0 2 ) 存在正的径向解 在第四章中，我们研究r “上一类含p - - l a p l a c i a n 算子的椭圆型方程的解的整 瑟 啪 引_ g 一 川川，m 加加 ，。，l一 体存在性、不存在性和无限爆破性： a = p ( x ) u 9 x r “，0 ， 1 。i r a ”( x ) = c o ( 0 3 ) l r “ 这里，称为p - l a p l a c i a n 算子即a = d i v ( i v u ：- 2v u ) ，p ：r ”寸( o ，o o ) 我们得到的主要结论如下： ( 1 ) 在一定条件下，方程( o 3 ) 存在满足一定条件的解 ( 2 ) 在一定条件下，方程( 0 3 ) 不存在满足一定条件的解 关键词：拟线性椭圆型方程( 组) ，衰减径向正解，山路定理，e s 条件，上 下解，无限爆破，不动点定理。 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r , u s i n gav a r i a t i o n a la p p r o a c h , 、 ，cd e a lw i t l lac l a s so fn o n l i n e a r e l l i p t i cs y s t e m sd e r i v e df i o map o t e n t i a la n di n v o l v i n gt h ep - l a p l a c i a n u n d e r s u i t a b l ea s s u m p t i o n so nt h en o n l i n e a r i t i e s , w es h o wt h ee x i s t e n c ei nr ”o f n o n t r i v i a ls o l u t i o n s ，m e a n w h i l eb yu s i n gf i x e dp o i n tp r i n c i p l e ，w eo b t a i nt h e e x i s t e n c eo fi n f i n i t e l ym a n yr a d i a ls o l u t i o n sf o rac l a s so fp - l a p l a c i a np r o b l e m u n d e rc e r t a i nc o n d i t i o n s i n a d d i t i o n , b yu s i n gm e t h o do fs u p e r - s o l u t i o n a n d s u b - s o l u t i o n , w ca r ec o n c e r n e dw i t he x i s t e n c e ，n o n - e x i s t e n c ea n dt h eb e h a v i o ra t i n f i n i t y o f n o n - n e g a t i v e b l o w - u p e n t i r es o l u t i o n so ft h e c l a s s o f p l a p l a c i a n p r o b l e mi n r ” t h em a i nc o n t e n to f t h i sp a p e ri sd i v i d e di n t ot h r e ec h a p t e r s i nc h a p t e rt w o w ea r ec o n c e r n e d 、聃t l lac l a s so fn o n l i n e a re l l i p t i es y s t e m s d e r i v e df r o map o t e n t i a la n di n v o l v i n gt h ep - l a p l a c i a n ，er x r ”( 0 1 ) t h en o n l i n e a r i t i e so nt h er i g h th a n ds i d ea r et h eg r a d i e n to fac 。- f u n c t i o n a lf a n d a p i st h es o c a l l e dp - l a p l a c i a no p e r a t o r f 巴a p 甜= a i v ( iv ”1 9 2v u ) ，a n d j i 黧 肿种比 辫 中叩 体存在性、不存在性和无限爆破性： a p 2 ，= p ( x ) u 9x r “，“0 ，l i m “( x ) = 0 0 ( 0 3 ) 这里，称为，一l a p l a c i a n 算子即厶，“= 咖( i v u - 2v “) ，p ：r ”- - 9 - ( o ，o o ) 我们得到的主要结论如下： ( 1 ) 在一定条件下，方程( 0 3 ) 存在满足一定条件的解 ( 2 ) 在一定条件下，方程( o 3 ) 不存在满足一定条件的解 关键词；拟线性椭圆型方程( 组) ，衰减径向正解，山路定理，p s 条件，上 下解，无限爆破，不动点定理。 a b s t r a e t i nt h i sp a p e r , u s i n gav a r i a t i o n a la p p r o a c h , w ed e a lw i t hac l a s so fn o n l i n e a r e l l i p t i cs y s t e m sd e r i v e df r o map o t e n t i a la n di n v o l v i n gt h ep l a p l a c i a n u n d e r s u i t a b l e a s s u m p t i o n so nt h en o n l i n e a r i t i e s ，w es h o wt h ee x i s t e n c ei nr ”o f n o n t r i v i a ls o l u t i o n s ，m e a n w h i l e b yu s i n gf i x e dp o i n tp r i n c i p l e ，w eo b t a i nt h e e x i s t e n c eo fi n f i n i t e l ym a n yr a d i a ls o l u t i o n sf o rac l a s so fp l a p l a c i a n p r o b l e m u n d e rc e r t a i nc o n d i t i o n s i n a d d i t i o n , b yu s i n gm e t h o do fs u p e r - s o l u t i o na n d s u b - s o l u t i o n , w ga r ec o n c e r n e dw i t he x i s t e n c e ，n o n - e x i s t e n c ea n dt h eb e h a v i o ra t i n f i n i t y o f n o n - n e g a t i v eb l o w - u p e n t i r e s o l u t i o n so ft h ec l a s so f p l a p l a c i a n p r o b l e mi n r n t h em a i nc o n t e n to f t h i sp a p e ri sd i v i d e di n t ot h r e ec h a p t e r s i nc h a p t e rt w o , w ea l ec o n c e r n e dw i t hac l a s so fn o n l i n e a re u i p t i es y s t e m s d e r i v e df r o map o t e n t i a la n di n v o l v i n gt h ep - l a p l a c i a n e ( z ，砧，力 x 足 e 0 ，封， z 矗”( o 1 ) 段v ( x ) 2 0 t h en o n l i n e a r i t i e s0 1 1t h er i g h th a n ds i d ea r ct h eg r a d i e n to fac i - f u n c t i o n a lf a n da 口i st h e8 0 一c a l l e dp l a p l a c i a no p e r a t o r f e a p “= d i v ( v u1 “v u ) ，“a n d 甜 叫w 占 占 缸 粳 2 0 + + “ v p 一 一 ，ji-lil va r e ：u n k n o w nr e a l v a l u e df u n c t i o n sd e f i n e di nr “a n db e l o n g i n gt oa p p r o p r i a t e f u n c t i o ns p a c e s ；1 o ，x r n ；t i m ( 工) = c o n s t o w h e r ea pi st h es o - c a l l e dp l a p l a c i a n o p e r a t o r f 卫a v u = d i v ( i v u l v u ) ，1 0 , 埘l i 斗r a 母“0 ) = ( 0 - 3 ) w h e r ea ，i st h es o - c a l l e d p l a p l a c i a n o p e r a t o r f 丘a v u = d i v ( i v u l v u ) ，p ：r ”辛( o ，。o ) o u rm a i nr e s u l ti sa sf o l l o w s ： ( 1 ) s y s t e m ( o 3 ) h a s r a d i a ls o l u t i o nu n d e rc e l t a i nc o n d i t i o n s ( 2 ) s y s t e m ( 0 3 ) h a s1 1 0r a d i a ls o l u t i o nu n d e rc e r t a i nc o n d i t i o n s k e y w o r d s ： q u a s i l i n e a re l l i p t i ce q u a t i o n ( s y s t e m ) ，p o s i t i v ea n dd e c a y i n gr a d i a ls o l u t i o n s ， m o u n t a i np a s st h e o r e m ，p a l a i s - s m a l ec o n d i t i o n ，s u p e r - s o l u t i o na n ds u b 。s o l u t i o n ， b l o wu pa ti n f i n i t y , f i x e dp o i n tp r i n c i p l e 学位论文独创性声明： 本人所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作 及取得的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方 外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果。与我一同工 作的同事对本研究所傲的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并 表示了谢意。如不实，本人负全部责任。 论文作者( 签名) ：盘童墨幻呵年3 h习日 学位论文使用授权说明 河海大学、中国科学技术信息研究所、国家图书馆、中国学术期 刊( 光盘版) 电子杂志社有权保留本人所送交学位论文的复印件或电 子文档，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。本人电子文 档的内容和纸质论文的内容相一致。除在保密期内的保密论文外，允 许论文被查阅和借阅。论文全部或部分内容的公布( 包括刊登) 授权河 海大学研究生院办理。 论文作者( 签名) ： 冉袁真 川年月习日 第一章绪论 第一章绪论 1 1 背景知识 近代科学技术的发展在很大程度上依赖于物理学、化学、生物学及工程科学 的成就和发展，而这些学科自身的精确化又是它们取得进展的重要的保证而学 科的精确化往往是通过建立数学模型来实现的，各类拉普拉斯方程在这类模型中 占据了相当大的比例比如：稳恒温度场，即在热传导过程中物体的温度趋于某 种平衡状态，这时，温度与时间无关，在数学上表现为拉普拉斯方程；拉普拉斯 方程可以很好的描述稳定和平衡等物理现象 过去几十年中，有许多研究椭圆方程的文章燃而，大多数文章都是研究有 界域上的椭圆方程，很少有关于无界域的内容在有界区域上应用变分方法求解 时。可以利用紧性嵌入定理，比较容易求解，但在无界区域上应用变分方法求解 时，s o b o l e v 紧性嵌入定理一般不能成立，因此在应用变分方法求解时，验证方 程对应的泛函满足( p s ) 条件就遇到了较大困难，因此引起了很多学者的研究兴趣 目前有大量应用变分方法的文献：在 1 1 1 中r a b i n o w i t z 应用变分方法研究了一类 定义在r ”的超线性s c h r o d i n g e r 方程一血+ q ( x ) u = f o ，“) ，非线性函数f ( x ，“) 满足l 娑i 口i “i 一+ 6 ，口和6 为正常数；l p 2 + - 1 在 1 4 1 中y u 得到了定义在一 t t b t 个光滑外部区域的非线性方程 一d i v ( a ( x ) i v u l 9 2v u ) + 6 ( 工) l 甜l ”2 “= f ( x ，u ) 正解的存在性条件在【4 】中c o s t a 研究了方程组 一a u + a ( x ) u = f ( x ，u ，功；一a v + b ( x ) v = g ( 五甜，叻i nr ”； 其中 第一章绪论 1 眵( x ，) j + 1 1 吩( 石，u ) 1 - f ( 1 + j u l 9 。1 ) ；1 p 2 一i ( 兰3 ) ；l 兰p o o ( n = 1 ，2 ) ， 在【9 】中d o o 研究了定义在r “的方程一。“= f ( x ， ) 的非自治扰动特征值问题， ，与第一特征值有关且要验证下面的估计 i f ( x ，“) i 茎伊( x ) l u r + 妒( z ) 1 1 , r ， 其中 0 0 的径向解，证明了在一定条件下，存在无穷多个径向正解 另外文章的最后考虑r ”上一类含p - l a p l a c i a n 算子的椭圆型方程 a p p ( 咖9 x r ”，| ，o i l i l i + m 。”( 力= o d 的解的整体存在性、不存在性和无限爆破性问题 1 2 预备知识和主要方法 ( 1 2 ) ( 1 3 ) 本文中，我们来解决方程组( 1 1 ) 的解的存在性的过程中运用了变分方法， 这一方法是应用山路引理及p s 条件得到( 1 。1 ) 的解；在解决方程( 1 2 ) 的径 向正解的存在性的过程中运用了不动点定理：在解决方程( 1 3 ) 的解的整体存 在性、不存在性和无限爆破性时，运用了上下解方法，也称为比较方法它是基 于椭圆型方程极值原理之上的，这个方法的特点是：一旦找到原问题的上下解就 证明了该问题解的存在性在解决方程组的过程中，我们运用了s c h a u d e r 不动点 定理来证明了解的存在性 下面来介绍后面证明中要用到的几个重要定理和引理： 引理1 1 ( i 矗6 l d e r 不等式) ：设q 是r ”中的开集，1 p i ，oo 以蔓m ， 1 a + l ，p 2 + + 1 p 用= 1 如果叱驴( q ) ，k = 1 ，研，那么 lh ，“：， 出n o 雌。肛。m k - i 定理1 1 ( s c h a u d e r 不动点定理) ：设e 是b a n a e h 空间，7 仇力是e x o ，1 】到e 的 映射，满足下列条件： ( i ) t 是紧映射 ( i i ) t ，o ) = 0v u e 第一章绪论 ( i i i ) 存在常数肘 0 ，使得对任意的甜e ，如果甜= t ( u ，盯) 对某个盯【0 , 1 】成 立，则有忪忆m ，那么7 ( ，1 ) 必有不动点，即存在e ，使得“= t ( u ，1 ) 定义1 1 ( p s ) 条件；设x 是赋范线性空间，够：x 专盖l 为c 1 泛函，q c x ，如 果对任何序列 x 。 c q ，只要 妒( x 。) 有界，矿( 矗) 寸0 ，则 矗 必有收敛的子 序列，则称妒在q 上满足( p s ) 条件 定理1 2 ( 山路引理) ：设x 是b a n a c h 空间，f c 。( x ；且1 ) 满足( p s ) 条件，( 国= 0 且 ( 日。) 存在常数p ，口 o 使得厂k a ， ( 日2 ) 存在e x b p 使得，( p ) 0 则，具有犒界值c ，且c 可以表示为 c = 鳟m 黧。， ) f ru e g ( o ，l d 其中 f = g c ( 【o ，l 】；x ) ，g ( 0 ) = 0 ，g ( 1 ) = 0 b 。= x z x i l 力 4 第二章一类古p - l a p l a c l a n 算子的椭圆型方程组在无界区域上解的存在性 第二章一类含p - l a p l a c i a n 算子的椭圆型方程组在无界区域上解的存在性 2 1 ：引言 我们首先解决下列一类非线性椭圆型方程组 一a p u + , t l “i ”2 “= f a x ，甜，v ) 工r ” 一a q v + z l v l ”2v = f a x ，甜，v ) ，er ” 艘“( 功2 艘( = o ( 2 1 ) 方程右侧非线性部分为c 1 函数f 的梯度，a 。称为p - l a p l a c i a n 算子即 p = d i v ( i v u l “v u ) ，”和v 为定义在置”的函数：1 p ，q 0 在有界区域上应用变分方法求解时，可以利用紧性嵌入定理。比较容易求解， 但在无界区域上应用变分方法求解时，s o b o l e v 紧往嵌入定理一般不能成立，因 此在应用变分方法求解时，验证方程对应的泛函满足s ) 条件就遇到了较大困 难，因此引起了很多学者的研究兴趣目前有大量应用变分方法的文献：在【1 1 】 中r a b i n o w i t z 应用变分方法研究了一类定义在r ”的超线性s e h r o d i n g e r 方程 一a u + q ( x ) u = f ( x ，) ，非线性函数，( 工，满足l 罢喀口l 甜i 。1 + 6 ，a 矛4 b 为正常数； 钡 i ( p 2 一1 在【1 4 】中y u 得到了定义在一个光滑外部区域的非线性方程 一d i v ( a ( x ) i v r 2v 甜) + 6 ( l “i ”2i a = f ( x ，甜) 正解的存在性条件在【4 】中c o s t a 研究了方程组 一a u + 口( 功“= f ( x ，v ) ；- a v + b ( x ) v = g ( x ，u ，v ) i nr ”； 其中 l 可r ，( 而u ) l + i v g o ，瞄c ( 1 + l u l p l ) 1 1 p 2 一i ( n 3 ) ；l s p o o ( n = l ，2 ) 在 9 】中d o o 研究了定义在r 的方程一a = f ( x ，) 的非自治扰动特征值问题， ，与第一特征值有关且要验证下面的估计i f ( x , u ) i 妒( x ) l “1 7 + y ( 工) i 材r 其中 0 ， _ p - i j p 一l ， 第二章一类含p - l a p l a c | a n 舅子的椭圆型方程组在j e 界区域上解的存在性 本章得到在次l 临界增长条件下的齐性s o b o l e v 空间的方程组( 2 1 ) 非平凡解； 原函数f 与相应的第一特征值有关，参照文f 战 5 l ，本文应用山路引理及弱的p s 条件得到( 2 1 ) 的解，这种方法在【4 。9 ，1 1 】中也被应用 2 2 ：注释与假设 取z 为自反的b n a n c h 空间，范数记作l ，令1 c ( z ，r ) 称，满足c e r a m i 条件，简记为( c ) 条件：若任意( ) z 使得ll ( w di c 并且( 1 + t 1 ) x ( w d 斗0 ， 则，在z 中有一收敛的子序列 对l 研 ，取m ：之坠为m 的s o b o l e v 临界指数 一m 取d 1 4 ( 置”) 为c 芋( 五”) 的完备化空间， 范数o “忆，= ( l ，i v “1 9 + 名l “i p ) i ，i i vo = ( l ，i v v r + l v r ) ；，d 协( r ”) 为自反的b n a l l c h 空间可以写成d 1 一( r 一) = 0 r ( r ) ：v u ( 似”) ) ” 而且， s o b o l e v 嵌入定理成立即存在一正常数c 使得i i 训。 - c l l u l ，砧d 。”( r ”) ( 【1 3 】) 取z 为内积空间d 妇僻“) d ( r ) ；z 表示共轭空间范数记为1 1 忆 对于 ，v ) z ，定义如下泛函，j ，k 施，v ) = 却训。+ 扣峨， k ( u ，= l ，f o ，“( x ) ，v ( x ) ) c 红， l ( u ，v ) = j ，一k ，叻 本章要用下列假设： ( 圩1 ) f c ( r ”r 2 ，r ) 并- r f ( x ，0 ，o ) = 0 ( h 2 ) 对所有的【，= ( “，v ) r 2 及几乎处妣r ” 6 第二章一类台p - l a p l a c i a n 算子的椭圆型方程组在无界区域上解的存在性 f a x ，【，) i 口i ( 力i u l 1 + a 2 ( 力i u l z 。 f a x ，u ) l 6 1 ( 曲l u p 。+ 6 2 ( 工) i u i “ 这罩 1 p t , q l m i n ( p ，g ) ，m a x ( p , q ) p 2 ，q 2 m i n ( p , q ) ，a l p ( 贾) np 似) 鱼l r ( r ”) n l c r ”) i = 1 ，2 q = 士， = 1 l ， p p ，q q o 尼2 pqj pt知p q ， 一 。一i j 一磊2 pq 考qi 知q 而p 一 。一i j 一 ( 也) u v f ( x , 一f ( x ，u ) 0 ，( 工，u ) e r ”x r 2 一 ( o ，o ) ，这里 v f = ( e ，e ) 这个条件已经被c o s t a 在【4 】中引用过 ( h 4 ) 假定两个正的且有界的函数口工( r ”) ，b e 上n 7 9 ( 冗“) 使得 n ， 牌唧丽群 舰砒丽祈p q f 丽( x , u ) l 令a = h 叛扣荆矗+ 扭驯卵出= 1 ) = i n f aj ( u ，v ) 为下列方程组的第一特征值 2 3 ：解的存在性 由上面的假设得到一些结论 引理2 1 在假设( h 1 ) ( h 2 ) 条件下，泛涵足在z 上有定义并且是c 1 的，而且 它的导数为 置( “，v ) ( m z ) = l ，( e o ，甜，v ) w + e ( 量“，v ) z ) a x v ( u ，v ) ，( w ，2 ) z 7 幻q 秽”纭伽 嚣 p 肚 一 = = 第二章一类古p - l a p l a c i a n 算子的椭圆型方程组在无彝区域上解的存在性 证明：泛涵k 在z 上有定义事实上，对所有的( ”，v ) z 由( h ) ( h ：) 得 f ( 训，v ) = r 只( x , s , v ) d s + f ( x , o ，v ) = r c ( x , s , v ) d s + r e ( x ，o , s ) d s + f ( x , 0 ，o ) f ( x ，甜，v ) c l 【口l ( x ) ( j i + i v l 。d 一1 i i 1 ) + a 2 ( 工) ( i “i + i v i 一l 甜i ) + b l ( x ) i v p + 6 2 ( x ) i v l “】 应用h o l d e r 不等式和s o b o l c v 嵌入定理及 口i f , ( r ) n 胪( r ) ，6 f 驴( r ) n l 6 ( r ) ，i = l ，2 ， 得 ik ( u ，v ) i = l ，( x , t , v ) 出| c ：( i l 口lo q i i “i i 易+ i i a , o ao v i i 等o “，+ u a ：忆o “o o + 0 a ：忆l l v 峨p 2 - - 10 u l l 妇+ l l b z iv l l , 器+ l lb 2 叫i v 峨) 佃 k v ) 在z 上也有定义这是因为 l 。f u ( x , 1 1 , 力w 出s 岛( o qo 。o 材+ i i a , o o 川i + i i 吒l l 。0 甜j i 岔l + l l 吒l l 岛0 v0 管1 ) l l w l 1 ， 4 - a o l ，e ( x , i j ，v ) z d x 0 ，( 1 1 w l l l p + l lz i l l 坷) 艿 表明 i k ( u + w ，v + 力一k ( u ，1 力一k ( “，v ) ( w ，z ) i ( 0 w0 l ，p + 0z l l l 4 ) 令为r ”的以丑为半径的球，磁= r ”一并且在d 。( ) d ( 岛) 上定 义足一，令足一( “，v ) = f s , f ( x , u ( x ) , v ) ) 出，由( 日- ) ( 日：) 得 k r c 1 ( d 1 9 ( ) d 1 9 ( ) ) 并且对任一( w ，z ) d 1 9 ( ) d ( ) ，得 第二章一共古p - l a p l a c i a n 算予的椭圆型方程组在无界区域上解的存在性 k ；( “，v ) ( w ，z ) = j i ( e ( x ，虬v 砷+ e ( x ，d z ) 凼 而且k ：由z 紧嵌入到z ( 【9 ，l o ，1 2 】) 另一方面，v ( u ，v ) ，( w z ) z ， ik ( u + w , v + z ) 一x ( u ，v ) 一k ( 甜，v ) ( w ，z ) l s jk 月( 材+ w , y + z ) 一k 疗( 1 ，v ) 一k ；( m 坝w , z ) i + ll ( ，( x ，甜+ w ，v + z ) 一f ( x m d 只( 工，虬v ) w 一只( 五虬v ) z ) 出l 由微分中值定理，得 f ( 甜+ w , v + z ) 一f o ，“，v ) = e ( x ，甜+ qw ，v ) w + e ( x , 1 2 ，1 ，+ 岛z ) z b ，岛【0 ，1 】由( h 1 ) 和事实对f = 1 , 2 u 口1 l 户( 昂，+ 1 1 q1 1 ：( 昂) 0 ，i i b , 0 胪( 蓐) + l lb f0 一( 昂) 0 0 ( r ) ( 2 3 ) i j y ( x ，”+ w ，v + 力一f ( x ，v ) 一e ( 五”，v ) w f ，( x ，甜，v ) z ) 出i s s ( 0w l h 。p + z 忆) 下面证明k 在z 上连续，令( “。，v 。) 斗 ，v ) ，对( 嵋z ) z ，得 l k ( ，v d ( w , z ) 一k ，v ) ( w ，力isj k ：0 。，v d ( w , z ) 一k a u ，v ) ( w ，力l 叫l e 似，) 一e 似以v ) w d i + ij e o ，k ) 一e ( 毛虬v ) z a x i ( 2 4 ) 秭在d 妇( 风) d 切( 岛) 上连续( 【9 ，h i ) ( 2 4 ) 式子右边的第一个表达式当 r j 寸时为无穷小，由( h z ) 和( 2 3 ) 可以证明第二个和第三个表达式当r 足 够大时也为无穷小 注 ， ，v ) ( w ，z ) = l ，( i v ”i p 2 v “v w + , t l “l 卜2u w ) + l ，( i v v l 7 以v 刃z + fy f 9 五) 引理2 2 ：在假设( h 。) ( 日：) 条件下，k 由z 紧嵌入到z 证明：取z 中的有界序列( ，) ，则它存在一个子序列仍记为( “。，) 在z 中弱 收敛到( “，v ) ，由( 2 4 ) 式，因为限制算子是连续的，则( 。以) 在 9 第二章一类台p - l a p l a c | a n 算子的椭四型方程组在无界区域上解的存在佳 一 d i , v ( ) d ( 环) 中弱收敛到( 地v ) 因为置；的紧性，( 2 4 ) 式子右边的第一个 表达式当糟寸m 时为无穷小，第二个和第三个表达式当r 足够大时也为无穷小 引理2 3 ：如果( 日。) ，( 灯2 ) 和( 乩) 成立那么，= j k 满足条件( c ) 证明 取( “。，v 。) c z 使得 ( i ) i l ( u 。，v 。) 悟c ( i i ) o + i i 儿，+ 1 1v 。口) ，( 甜。，v 。) 岭。在z + ，_ 呦 由c i i ) 。，( “。，v 。) ( 弘z ) s 。- oq 。) ，v ( w z ) z 特别的， x c ( w , z ) = ，) ，得 ， 。，v 。) 。，心) 爿f “。i f 厶+ 1 1 h0 0 - l 。( e o ，。，) + e ( 墨u n , v ) k ) 出s 毛 另一方面， 眠以) = 扣川 ：p 十扣川一i r ，盹冲如 由( 峨) 得 厶+ c r ( u 。，。，) l ( u 。，) = ( 1 一扣州| ；：，+ ( 1 _ 枷hn k + l 弦 一l 。( e ( 圳，k ) + f a x , ，) 7 一) 苏 却一1 p ) 1 1 叫”( 1 一扣峨 从而， 。，v 。) 在z 中有界则它存在一个子序列仍记为0 。，) 在z 中弱收敛 因为k ，的紧性，k ，) 在z 。中为柯西列则 ，( “，力= ，( ”，v ) + k ( ，v ) ，v ( u ，v ) z ， 且 ( - ，( ”。，) 一，( ”，v 。) ) ( 。一“，o ) 第二章一类古p , - l a p l a c i a n 算子的椭圆塑方程组在无界区域上解的存在性 2 l ，( i v u 。r v n - - i v i p 2v ) ( v 一v ) d x 利用下面的不等式：对所有的a 。t t r ”， a 一声1 9 s ( i z l - ： x - l u l 一2 u ) c ) , t ( - 一) ( 1 a + i ) 2 一，p 2 ii , - 5u ) c , tii 1 p 2 。 ( 1a + i ) r 确 ( 【6 ，1 5 1 ) 用砚。和v 。分别代替五，并且在r 上积分，得 p 2 时 i i 一0 0 ( ， 。，k ) 一， 。，) ) ( 一甜，o ) ： 1 0 q 2 ) 存在e z 使得8 e l l z 脚( 占) s 0 证明：由( 矾) ，存在p o 使得 i l u 虬一i i 圳旷p j 肌，”) o 令( 仍y ) 为 的特征函数，由( 以) ，得对占 o 及足够大的f ， l v，t f ( x , t t q ，f 力妒) ( + 占) ( 二“功i 伊f + l b ( x ) i y r pg 第二章一类舍p - l a p l a c i a n 算子的椭囝型方程组在无界区域上解的存在性 从佃 vv ( ，p 仍f q ) = 古，l v 妒1 9 + a l 伊1 9 出+ 考【。l v y r + l 妒r 一，( 五r 形仍r ) 出 古。i v 圳 出+ 扛i v 妒1 9 训 出 一( + 占) ( ，万t 口( 圳妒i “l g b ( 圳1 9 出 吲l ，万1m ) 9 + 吉) w i 矗 1 v 我们断言l i r a1 ( t ：p q , ，f 9 妒) = ，因此对足够大的t ， f + v l t p 擎，t q 蚋墨0 因此j 有临界值，记i 的临界值为方程组( 2 1 ) 的弱解 引理2 5 ：( a ) 令帆v ) 为方程组( 2 1 ) 的解，对v 七，”p ( r ”) ，v 庐( r ”) 并 且满足8u l l 。厶，i iv 峙m t ； 其中 矾号p 巩。= ：仇彳， 厶：= o “i i ，厶+ 。彤瓴一p + 1 ) ( ) 厶， 这里 工= ( q ( 0 口。i l a i i “i f 留+ i i a l1 1 a 1 1 v 1 1 5 - + i i 口：t 1 。i i “1 1 5 - i + i i a ：1 1 # 1 1 v l i f t ，) ) 彤c b = ：g a ，号吼， m 冲号肘 叫1 ) ( 峨 这里 m = ( c 。( 1 1b , 1 1 1 1 ”i i l - + i ib , 1 1 , , 1 1 v0 + l i b 2 i l 。, l l “l l q 。，2 ，- l + l i b 2 i i h i iv l i 等) ) 石c 啷，烛= o i 。烛1 第二章共古p - l a p l a c