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西南交通大学博士研究生学位论文第1 页 车辆系统非线性动力学问题研究 摘要 铁道车辆系统动力学研究已经有相当长的历史了，但真正系统有效的工 作却是在计算机和计算数学飞速发展的2 0 世纪6 0 年代以后。常规的铁道车 辆系统动力学研究虽然有其自身的特色，但仍属于多体系统动力学的具体应 用，是多体系统动力学的一个富有生命力的工程应用领域，是一个发展迅速 的分支。 本文是在常规铁道车辆系统动力学基础之上寻求其它的方法。对于稳态 问题本文在n e w t o n r a p h s o n 方法的基础上，引入参数，采用参数延续算法 d e r p a r 来计算车辆系统随参数变化的稳态解。对于车辆系统中存在的周期 运动，本文则采用有限差分方法将周期解离散，同时引入参数，用延续算法 计算车辆系统周期解对参数的依赖关系。 本文采用n e w t o n e u l e r 方法建立车辆系统动力学模型，引入延续算法， 进行车辆系统稳态解和周期解的延续计算，得到了车辆系统性能随车辆系统 参数变化的大范围的解图，为车辆系统的参数研究和动力学分析计算提供了 新的手段。 延续算法是计算含参数代数方程组的解与参数依赖关系并克服了系统奇 异性影响的一种算法，是上世纪7 0 年代发展并完善起来的，在很多领域得到 了应用，但在机车车辆动力学研究领域的应用却不多见。本文将延续算法引 入车辆系统动力学计算领域，丰富了延续算法的应用。 采用延续算法计算了车辆在圆益线和缓和曲线上的稳态解。车辆系统通 过圆曲线时存在稳态工况，从理论上讲，车辆系统通过一般线路时，其对应 的动力系统存在各种极限集，它们中也有稳态解。延续算法可以计算这个稳 态解随系统参数变化的大范围解图。这里含参数的车辆系统，实际上已不是 单一的车辆模型，而是一个模型簇，是一系列车辆模型的集合。延续算法处 理的也不是单一的车辆模型，而正是这个集合一一模型簇。本文对车辆系统 的稳态解进行了研究，给出了单参数和两参数的计算结果。因结果是稳念解， 故结果中不像时域数值积分那样含有瞬态成分，可以直接反映系统参数与系 统性能间的关系。它是一种可以有效地进行车辆系统参数研究的手段。 本文中延续算法的第二个应用为计算车辆系统的周期解。通过有限差分 第| i 页西南交通大学博士研究生学位论文 法将车辆系统的周期解离散化，即将一个常微分方程的边值问题转化为非线 性代数方程组，它是含有参数的。用延续算法对该代数方程组进行求解，得 到系统的周期解。系统周期解的初始值通过时域数值积分得到。该方法不但 可以计算稳定的周期解，不稳定的周期解仍可计算。稳定的周期解在现实的 物理世界中是客观存在的，不稳定的周期解在客观的物理世界中不可能长时 问持续存在，但是它作为稳定周期解吸引域的分界线而具有它的物理意义。 客车在整车滚动振动试验台上的稳定性试验的结果显示系统会随着运行 速度的提高出现蛇行，随着运行速度的变化轮对横移运动等的幅值会产生跳 跃和跌落现象。该试验车辆的理论分析得出了该车周期解随车辆运行速度变 化的解图。解图中周期解开始出现的速度对应着蛇行的出现，解图中在周期 解小幅值和大幅值时分别有一个转折点( 极限点) ，它们分别对应着幅值跳跃 和跌落的速度。车辆在试验中表现出的行为和其延续计算的解图有着定性的 对应关系。通过试验验证了车辆系统周期解的延续计算结果可以定性地反映 车辆系统的蛇行运动稳定性行为。 关键词：车辆，延续算法，有限差分法，h o p f 分叉，稳态解，周期解 西南交通大学博士研究生学位论文第1 ii 页 s t u d y o nt h en o n l i n e a r d y n a m i c p r o b l e m s f o rr a i l w a yv e h i c l e s y s t e m s a b s t r a c t i ta l r e a d yh a sa 1 9 n gh i s t o r yf o r t h es t u d yo f r a i l w a yv e h i c l es y s t e m s ，b u tt h e r e a l l ys y s t e m a t i c a n de f f i c i e n tw o r k ss t a r t e df r o m19 6 0 sw i t ht h e r a p i d d e v e l o p m e n t o ft h e c o m p u t e r s c i e n c ea n d c o m p u t a t i o n a l m a t h e m a t i c s t h e c o n v e n t i o n a lr a i l w a yv e h i c l es y s t e md y n a m i c sh a si t so w nf e a t u r e s ，b u ti ts t i l l b e l o n g st ot h ef i e l do fm u l t i b o d ys y s t e md y n a m i c sa n di s i t s a p p l i c a t i o no nt h e r a i l w a yv e h i c l es y s t e m s t h er a i l w a y v e h i c l e s y s t e md y n a m i c si s av i g o r o u s e n g i n e e r i n gs u b j e c ta n d i sd e v e l o p i n gr a p i d l yt h e s ey e a r s d i f f e r e n tf r o mc o n v e n t i o n a lm e t h o d s ，an e wm e t h o di sf o u n do nt h eb a s i so f c o n v e n t i o n a lv e h i c l es y s t e md y n a m i c si nt h i sd i s s e r t a t i o n t h ev e h i c l es y s t e m s t e a d y s t a t e s o l u t i o n sd e p e n d i n go nt h ev a r y i n gp a r a m e t e r sa r ec a l c u l a t e db y u s i n g t h e c o n t i n u a t i o nm e t h o dd e r p a ro nt h eb a s i so fn e w t o n r a p h s o n i t e r a t i o n s a sf o rt h ep e r i o d i cs o l u t i o ni nt h ev e h i c l es y s t e m ，i ti sd i s c r e t i z e db y u s i n gt h ef i n i t ed i f f e r e n c em e t h o d a tt h es a m et i m e ，ap a r a m e t e ri si n t r o d u c e d i n t ot i l e s y s t e m ，t h e r e f o r e ，t h es y s t e mw i t ht h ep a r a m e t e ri ss o l v e db yu s i n gt h e c o n t i n u a t i o nm e t h o d t h ev e h i c l e s y s t e md y n a m i cm o d e li ss e t u pb yu s i n gt h en e w t o n e u l e r p r i n c i p l ei nt h ed i s s e r t a t i o n t h ec o n t i n u a t i o nm e t h o di sa p p l i e dt ot h er e s e a r c ho f t h ev e h i c l es y s t e md y n a m i cb e h a v i o r s ，t h ec a l c u l a t i o n so fs t e a d y s t a t es o l u t i o n a n dp e r i o d i cs o l u t i o no fv e h i c l es y s t e ma r ec a r r i e do u tw i t hc o n t i n u a t i o nm e t h o d t h es o l u t i o nd i a g r a m so f r a i l w a yv e h i c l es y s t e mw i t ht h ep a r a m e t e r so nt h el a r g e r a n g e a r eo b t a i n e d c o n t i n u a t i o nm e t h o di sa l l a l g o r i t h ms u i t a b l e f o r t h ee v a l u a t i o no ft h e d e p e n d e n c e o ft h es o l u t i o no f a l g e b r a i ce q u a t i o n s w i t ha p a r a m e t e r t h e d i f f i c u l t i e st h a ta r i s ef r o mt h es i n g u l a r i t i e so ft h ed y n a m i c s y s t e ma r eo v e r c o m e i nt h ec o n t i n u o u sc a l c u l a t i o n s i th a sb e e nd e v e l o p e ds i n c es e v e n t i e sl a s tc e n t u r y a n da p p l i e dt om a n y s c o p e s ，b u ti t i sr a r e l ys e e ni t sa p p l i c a t i o ni nr a i l w a yv e h i c l e d y n a m i c sd u et ot h ec o m p l e x i t yo ft h ev e h i c l es y s t e m i nt h i sd i s s e r t a t i o nt h e c o n t i n u a t i o nm e t h o di si n t r o d u c e di n t ot h e r a i l w a yv e h i c l ed y n a m i c s 第1 v 页西南交通大学博士研究生学位论文 t h ev e h i c l e s y s t e ms t e a d y s t a t e s o l u t i o n s o nt h ec i r c u l a rc u r v ea n d t r a n s i t i o n a lt r a c ka r ec a l c u l a t e db yu s i n gt h em e t h o d t h es t e a d y s t a t ec a s ee x i s t s i nt h er a i l w a yv e h i c l es y s t e md u r i n gt h ec u r v en e g o t i a t i o n t h e o r e t i c a l l y , i th a s s e v e r a ll i m i t e ds e t si ni t s d y n a m i c a ls y s t e mw h e nr a i l w a yv e h i c l er u n so nt h e t r a c k ，a m o n gt h e mt h es t e a d y - s t a t e s o l u t i o n se x i s t t h e l a r g er a n g e s o l u t i o n d i a g r a mo ft h e v e h i c l e s y s t e mc h a n g i n gw i t hr e s p e c t t oap a r a m e t e rc a nb e o b t a i n e db y u s i n gt h ec o n t i n u a t i o nm e t h o d h e r e ，t h er a i l w a yv e h i c l em o d e lw i t h v a r y i n gp a r a m e t e r s ，i nn a t u r e ，i sn o tas i n g l em o d e l ，b u tas e t o fm o d e l s t h e c o n t i n u a t i o nm e t h o d j u s th a st h em e r i t t od e a lw i t ht h i ss e to fv e h i c l em o d e l sw i t h v a r y i n gp a r a m e t e r s t h es t e a d y s t a t es o l u t i o n so fv e h i c l es y s t e ma r es t u d i e di n t h ed i s s e r t a t i o n ，a n dt h er e s u l t so ft h ev e h i c l es y s t e mw i t has i n g l ea n d o rt w o v a r y i n gp a r a m e t e r sa r eg i v e n t h er e s u l t sd on o tc o n t a i nt h et r a n s i e n tc o m p o n e n t s i nn u m e r i c a li n t e g r a t i o n ，b e c a u s et h e ya r es t e a d y s t a t es o l u t i o n s i tc a nr e f l e c tt h e r e l a t i o n s h i po ft h ev e h i c l ep e r f o r m a n c ed e p e n d i n go ni t sp a l m e t e r sa n di s a n e f f i c i e n tt o o lf o rp a r a m e t e rs t u d yo fv e h i c l es y s t e m s s e c o n d l y ，t h ep e r i o d i cs o l u t i o n so fv e h i c l es y s t e ma r ea l s os t u d i e du s i n gt h e c o n t i n u a t i o nm e t h o d t h ed i s c r e t i z a t i o no ft h ep e r i o d i cs o l u t i o n si s a d a p t e db y t h ef i n i t ed i f f e r e n c em e t h o d ( f d m ) w ec o n v e r tt h e b o u n d a r yv a l u ep r o b l e m ( b v p ) o fo r d i n a r yd i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s t oa s y s t e m o fn o n l i n e a r a l g e b r a i c e q u a t i o n sw i t hp a r a m e t e r s t h es y s t e mo fn o n l i n e a ra l g e b r a i ce q u a t i o n si ss o l v e d b yu s i n gt h ec o n t i n u a t i o nm e t h o da n di t sp e r i o d i cs o l u t i o ni so b t a i n e d t h ei n i t i a l v a l u e so ft h ep e r i o d i cs o l u t i o n sa r eo b t a i n e dv i an u m e r i c a li n t e g r a t i o ni nt i m e d o m a i n b yt h i sm e t h o d ，n o to n l yt h es t a b l e p e r i o d i cs o l u t i o n s ，b u ta l s o t h e u n s t a b l e p e r i o d i c s o l u t i o n sc a l lb eo b t a i n e d t h es t a b l e p e r i o d i c s o l u t i o n so f r a i l w a y v e h i c l e s y s t e m e x i s t o b j e c t i v e l y i nt h er e a lw o r l d e v e nt h o u g ht h e u n s t a b l ep e r i o d i cm o t i o n sc a n n o th o l do nc o n t i n u o u s l yf o ral o n gt i m e ，t h e yc a n b eb o u n d a r i e so fa t t r a c t i v ed o m a i no ft h es t a b l ep e r i o d i cs o l u t i o n s ，a n da r ea l s o m e a n i n g f u lt h e o r e t i c a l l y a p a r t o fn o n l i n e a rs t a b i l i t yt e s tr e s u l t so far a i l w a yv e h i c l e u s i n gr o l l e r t e s t i n gr i gi s s h o w ni nt h et h e s i s i ti ss h o w nt h a th u n t i n gm o t i o no ft h ev e h i c l e s y s t e m a r i s e sa tac e r t a i n s p e e dd u r i n g t h e i n c r e a s i n g o f s p e e d a n d t h e a m p l i t u d e so f w h e e l s e tl a t e r a ld i s p l a c e m e n ts u d d e n l ye n l a r g ea tac e r t a i nv a l u ei n i n c r e a s i n gs p e e d ，a n ds u d d e n l yf a l l o f fa ta n o t h e rc e r t a i nv a l u ei n d e c r e a s i n g 西南交通大学博士研究生学位论文 第v 页 s p e e d c o r r e s p o n d i n g l yt h e r ea r eah o p f b i f u r c a t i o np o i n ta n dt u r n i n gp o i n t so n t h es o l u t i o nd i a g r a m so b t a i n e db yu s i n g t h ec o n t i n u a t i o nm e t h o d t h e r e f o r e ，i ti s v e r i f i e dt h a tt h e h u n t i n g b e h a v i o ro fv e h i c l es y s t e m c a l lb e q u a l i t a t i v e l y d e s c r i b e d t h r o u g h t h e p e r i o d i c s o l u t i o nd i a g r a m c a l c u l a t e d b yu s i n g t h e c o n t i n u a t i o nm e t h o d k e yw o r d s ：v e h i c l e ，c o n t i n u a t i o nm e t h o d ，f i n i t ed i f f e r e n c em e t h o d ，h o p f b i f u r c a t i o n ，s t e a d y - s t a t es o l u t i o n s ，p e r i o d i cs o l u t i o n s 西南交通大学 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定， 同意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版， 允许论文被查阅和借阅。本人授权西南交通大学可以将本学位论文的 全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫 描等复制手段保存和汇编本学位论文。 本学位论文属于 1 保密口，在年解密后适用本授权书； 2 不保密d ，适用本授权书。 ( 请在以上方框内打“”) 学位论文作者签名：指导教师签名 占互程 日期：2 0 0 4 年3 月2 4 日日期：2 0 0 4 年3 月2 4 目 么 髦 西南交通大学 学位论文创新性声明 奉人郑重声明：所呈交的学位论文，足本人在导师指导下独立进 行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不 包含任何其它个人或集体已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研 究做出贡献的个人和集体，均已在文中散了明确的说明。本人完全意 识到本声明的法律结果由本人承担。 本学位论文的主要创新点如下： 1 分析并扩大了d e r p a r 延续算法的计算规模，并使其适台车辆系统动力 学计算的要求，将延续计算方法系统地引入车辆系统动力学计算领域。用延续算 涟计算了车辆系统圆曲线上的稳态解，计算了车辆系统通过直线缓和曲线一圆曲 线组成线路的稳态解。并用浚方法进行了该系统的曲线通过工况的参数研究。用 有限差分法离散车辆系统中的周期解，并用d e r p a r 算法对周期解进行了延续 计算。得到了周期解与系统参数运行速度的依赖关系。 2 用整车滚动振动试验台上的稳定性试验对车辆系统周期解的延续计算进 行了验证，表明延续计算结果可定性反映车辆系统的蛇行运动稳定性。 学位论文作者签名：罟哲魈 日期：2 0 0 4 年3 月2 4 日 西南交通大学博士研究生学位论文第1 页 第1 章绪论 1 1 综述 车辆系统动力学研究是在铁路运输对机车车辆性能要求逐步提高的推动 下发展起来的，其得以迅速发展的原因是数字电子计算机的快速发展和数值 方法的进步。非线性科学的迅速崛起，为我们在应用领域研究各种复杂现象 提供了理论基础。这就使得我们有条件研究机车车辆中的各种复杂现象。 1 车辆系统动力学发展过程”1 机车车辆系统中含有很多非线性因素，因此非线性分析的理论相对较早 地引入机车车辆的研究。2 0 世纪6 0 年代，机车车辆系统动力学行为的研究 已从线性转入非线性。上世纪4 0 年代末期，日本松平精曾判断一次列车重大 颠覆事故是由于机车的激烈蛇行运动而造成的。为了验证，他利用滚动台进 行了模型试验，从而观测到了车辆的一次和二次蛇行运动特征。5 0 年代初， 他在理论和试验研究的基础上，设计了货车防止蛇行运动失稳的装置，这为 以后在日本东海道新干线高速客车上设计和研制采用新型轴箱定位结构提供 了经验。从6 0 年代到7 0 年代，西欧国家继i ：t 本之后也开始筹建高速铁路， 为解决高速车辆的主要关键问题，以英国铁路d e r b y 研究所w i c k e n s 为代表 的各国专家学者，又进一步对线性与非线性车辆系统的蛇行运动问题，在更 深的层次上作了理论和试验研究，并对车辆设计提出了改进结构和合理选择 参数的措施，为实现车辆高速运行和防止蛇行失稳提供了保证。 蠕滑理论的建立促进了机车车辆通过曲线新理论的发展。3 0 年代，p o t e r 完成了古典的适用于小半径曲线通过的摩擦中心理论。6 0 年代末，n e w l a n d 与b o o c o c k 几乎同时提出了一利，与古典方法迥然不同的新理论，即认为在曲 线上可借助蠕滑力而避免依靠轮缘力来导向，这在曲线通过理论的研究上是 个突破。不过由于受到研究中所取线性条件的限制，它只适用于通过大半径 曲线的情况。7 0 年代，e l k i n s 和g o s t l i n g 等提出了非线性稳态曲线通过理论， 适用于通过各种半径的曲线，使得在理论的应用上前进了大步。8 0 年代， n a g u r k a l 2 等人又进而研究了车辆通过曲线时的非稳态工况，其中也考虑了蠕 滑和悬挂参数的非线性，这就使车辆通过曲线的理论研究更趋完善。 第2 页西南交通大学博士研究生学位论文 虽然如此，但是以上研究成果都是针对特定的车辆模型，而实际上车辆 的结构参数并不确定，由于制造偏差的影响，结构参数一般都有一个范围； 系统中的特性参数同样由于制造偏差和材料理化特性的分散性而有一个取值 范围。因此，对于某一车辆的模型，应该是含有参数的，也就是一个依赖于 参数的模型集。另外，车辆在其生命期内，由于磨耗、磨损等原因，有些参 数是随时间慢变的，这又形成一类演化系统。它也可以定义成含有参数的模 型集。 进入非线性领域后，系统的行为有许多新的特点。比如，车辆的线性系 统模型有蛇行临界速度，而非线性系统的车辆模型则不再有一个明确的临界 速度( 值) ，而成为一个与多种因素( 激扰、系统特性等) 有关的量【3 ，”。 对于稳态盐线通过，其解也出现与参数有关的复杂变化。我们要研究的 j 下是这种解与参数的依赖关系( 分叉图) ，其中的分叉点的集合与设计准则相 对应，因此，该项研究具有广泛的实际意义，可用于指导产品的开发。但是， 由于其研究涉及到现代数学的前沿和活跃的部分，故理论比较艰深，这也正 是浚研究方向发展缓慢的一个原因。 用常规的动力学分析方法也可以进行参数研究但那是对所研究参数先 进行离散，然后在参数的离散点上分别建立模型进行研究，这样计算量和数 据处理量都是异常巨大的。还有一种方法就是引入参数灵敏度的概念，进行 参数灵敏度分析它般是在确定的模型的邻域内研究性能随参数变化的剧 烈程度。而采用分叉理论进行相应的研究时，直接研究含参数的非线性代数 方程组或常微分方程组的解与参数的依赖关系，它研究的是一种大范围的参 数影响，因此比常规方法具有优越性。因为在对车辆系统模型进行分叉研究 时，所得的分叉点集与设计准则相对应，故所得结果可直接指导车辆产品的 开发设计，具有很强的实际意义。 西南交通大学牵引动力国家重点实验室曾京教授及博士研究生王勇曾 对车辆在直线上的h o p f 分叉问题作过研究【5 “】。 h a n st r u e 主要进行车辆系统的非线性动力学研究，研究了车辆系统简单 模型的非线性稳定性问题以及分叉现象和混沌现象1 7 - 1 2 1 。 近些年来，西南交通大学牵引动力国家重点实验室主要从事机车车辆轮 轨蠕滑理论的应用基础研究，车辆运行稳定性研究，脱轨研究，轮对轨道碰 撞振动研究，车辆滚动振动试验和机车车辆新产品开发中的研究工作【i 3 “j 。 翟婉明 2 2 , 2 3 开创了车辆轨道耦合动力学的研究，并且使该方向得到迅速发展。 张定贤【“】也开展了车辆轨道动力学的研究。 西南交通大学博士研究生学位论文第3 页 文献 2 5 】系统地总结了北美上世纪8 0 年代中期以前的车辆系统动力学的 主要成果。对车辆系统动力学的主要分支均有比较详尽的描述，是铁道车辆 系统动力学中一本不可多得的教材。目前已经有俄文译本 2 6 】和中文译本 f 2 7 1 ，这对车辆系统动力学的研究起到了推动作用。 北美的铁路主要是货物运输，客运的需求不大，因此，其主要任务集中 在提高载重方面。日本在世界上率先发展并建成高速铁路，为世界铁路的发 展做出了贡献。德国在发展高速铁路方面做了大量的研究工作，在开发i c e 高速列车的同时开发了多体系统动力学软件m e d y n a 。法国也开发了自己 的高速列车t g v 。澳大利亚、南非等主要发展重载铁路货物运输。 1 1 2 延续算法的产生、发展和应用 延续算法始于2 0 世纪5 0 年代，7 0 年代末到9 0 年代形成发展高峰，出现了 一系列的软件包和专用计算程序，著名的软件包有a u t o l 2 ”p i t c o n l 2 9 1 ， b i f p a c k t 3 0 l ，专用计算程序有d e r p a r 3 1 3 2 等。其中文献【3 1 】已有中文译本 【3 3 。 19 6 0 年，h a s e l g r o v e 3 4 1 、k l o p f e n s t e i n l 3 5 和d i e s t 与s e f o r 【3 6 1 发表了介绍 延续基本思想的文章。同一时期，延续过程被介绍到工程和科学应用中，包 括土木工程【3 7 】、流体研究1 3 8 。4 0 】、化学反应【4 1 4 ”、凝固【4 3 】和燃烧【4 4 】等。目前， 延续得到了广泛应用。在下文中我们仅限于介绍“预测一校正”延续算法， 在实际应用中证明它是成功的。此外还有单形延续算法【4 54 刚。 在任何计算过程中，我们都会遇到各种参数。它们可以用来度量物理系 统的内部特性，也可以用来作为描述影响其行为的外部量。科学计算的目的 是得出结论或得到系统的含义。比如，在工程中计算数据必须提供做出设计 决定的基础，而在科学研究中，可以用试验验证系统行为预测作为目的。因 此，计算必须给出系统在给定参数变化下响应的信息；即，我们感兴趣的是 这些参数值的变化对计算结果的影响。 参数对数学模型行为影响的研究是应用数学的基本课题之一。通常，我 们感兴趣的系统是局部稳定的，在此情况下，参数的微小变化不改变系统的 定性行为。这里，可以将某些形式的摄动理论作为适当的工具，也可以运用 映射结构稳定性的理论结果。在此之前，必须采用量纲分析用以识别无量纲 参数对个别实际问题的影响。反过来，适当比例无量纲变量的选取对于摄动 分析所需的小参数的指定是重要的。这里列出的应用数学的相关基础技术是 容易扩展的。 第4 页西南交通大学博士研究生学位论文 虽然局部稳定性的确定在实际中是特别重要的，但是对于那些引起系统 行为改变的参数变化的理解同样重要。尤其是，可以存在稳定性特性方面的 变化。比如，一个机械结构可以屈曲或失效，或者流体的层流可以转变成紊 流。宽泛地说，稳定性发生变化的那些参数值，确定了问题的分叉点集。这 些点的一般性研究是分叉理论的课题，这是一个文献急速增加的领域。但实 际上，尤其与复杂工程问题有关，许多这样的理论成果很难付诸应用。此外， 为了试验比较，我们通常需要知道具有大范围物理意义解的显式特性。 这里考虑的描述系统的数学模型是由非线性方程组成，包括代数、微分 和积分方程。它们全部都含有一系列参数，因此，具有下面的通有形式 f ( z ，2 ) = 0( 1 1 ) 其中z 在某空间z 中变化，描述系统的状态。丑表示参变量，允许在空间以中 变化。因此，非线性算子f 定义在积空间z a 中的一个集上，但仅由丑少数 特定值不足以确定式( 1 1 ) 的解状态：。 国内开展延续算法研究的不多，北京大学数学力学与工程科学系武际可 等对延续算法进行了研究4 7 4 0 l ，并在计算力学中展开了应用研究 5 1 , 5 2 1 。朱正 佑和程昌均出版了关于分支问题数值方法的专著。延续算法是解决分支问题 的重要方法【5 。蔡大用和白峰杉的文献 5 4 t 9 有关于延续计算的简要介绍。胡 海岩的文献 5 5 】中对延续计算也给出了理论和应用上的阐述。译著有刘式达、 刘式适翻译的m k u b i 芒e k ，m m a r e k 的专著 3 3 1 。延续算法在铁路机车车 辆领域的应用更加少见，国内的文献有舒兴高将其应用于轮轨接触几何中两 点接触问题的研究【5 “。国外也很难见到将延续算法应用于铁路机车车辆动力 学领域的例子。 a 分叉理论基础 分叉的定义： 武际可等1 50 】曾给分叉建立了一个内涵和外延都较为广大的定义，在此借 用陔定义。 定义1 设m 为n 维流形，( 这里m 可以是有限维的，也可以是无限维的) 。 考虑定义在m 上的动力系统 , 4 v = = 一x ，t ，d x ，) )( 1 2 ) d r 其中妒o ，中是引入的函数类，在其上定义了度量，妒可以是向量，也可以 是算子( 对无限维) 。记( 1 2 ) 式的解空间为x = x ( ，) x ( t ) m 。引入等价类， 在x 上划分不同的等价类。即x = e 。u e ：u ，各个等价类是互不相交的， 西南交通大学博士研究生学位论文 第5 页 即e n 易= 以j 力时a 如果存在妒。( x ，) o ，对任意占 0 ，存在满足 1 1 伊一i | s1 j 仍一仍1 l 3 f n 。 式中 - 厂一一轮轨间的摩擦系数。 轮轨接触正压力，n 。 引入修正系数 f = 菇 ( 2 3 8 ) 用下式计算非线性蠕滑力 f ：= f 。 = 级 ( 2 3 9 ) 【m 乒鲥： 第2 2 页西南交通大学博士研究生学位论文 d 轮轨蠕滑率的计算 u i c 的c 1 1 6 委员会曾经提出1 7 0 】：考虑到在较大蠕滑情况下车轮在钢轨 上的运动特点，对蠕滑率作了较为确切的定义，使蠕滑率的物理概念更为清 晰。 以轮轨接触椭圆的中心为原点，建立o - 1 2 3 坐标系。0 1 轴为车轮前进方 向，与o x 轴相重合；0 2 轴在轮轨接触平面内、大致与车轴轴线方向平行，且 在y z 平面内，与o y 轴问的夹角即为接触角占；0 3 轴为接触椭圆的法向。实 际上，将0 一x y z 坐标系绕o x 轴转动一接触角占，即为o - 1 2 3 坐标系( 图2 2 ) 。 轮对左、右侧轮轨接触椭圆上的坐标系是不同的。 图2 2 轮轨接触椭圆上的蚺个坐标系耋冗 设在车轮上的接触椭圆沿o l 轴、0 2 轴和绕0 3 轴的刚体速度分别为k 、 和力。，相应第钢轨上接触椭圆的刚体速度分别为一、咋：和9 ，。于是， 各蠕滑率可定义如下： 纵向蠕滑率 u = 等等 c z 。 横向蠕滑率 铲等等 b 4 ，y 2 = i 一斗ij 自旋蠕滑率 q = 等裂( 2 4 2 ， 上式中的占( r + _ 。) 表示轮对沿钢轨运行的平均速度。 纵向蠕滑率u 、横向蠕滑率屿是无量纲的。自旋蠕滑率皑的量纲为f 。 西南交通大学博士研究生学位论文第2 3 页 具体计算式在后面给出。 2 2 2 3 悬挂元件非线性特性的描述 1 ) 非线性弹簧 对于线性的弹簧，其特性只用一个参数一一刚度系数k 就可以完全描 述，弹簧力与其变形z 间的关系为 f ( j ) = k x( 2 4 3 ) 对于这样的线性弹簧，在做参数研究时，可以只考虑系统性能与其刚度 系数( 视为参数) 的关系，这易于进行研究。 若弹簧的特性是非线性的，一个参数就不可能描述其特性了。此时要在 函数空间内考虑该问题。将弹簧的特性曲线看成是某函数空间的元素。一般 说来，函数空间是无穷维的，因此需要无穷多个参数才能完全精确描述。可 是弹簧特性虽然有无穷多的变化，但它并不是充满整个函数空间，而是一个 具有某种特殊性质的子空间。而这个子空间有可能在有限维空间内来描述。 比如，常见的非线性弹簧，一般用立方非线性来描述，即 f ( x ) = k x + k ：x 3( 2 4 4 ) 这样，如约定k r + ，k ：r + ，上式就代表所有的硬特性弹簧，而我们 只需两个参数k 、k ：就可以描述它们；而约定上面的参数k a r + ，k ：r 一， 上式就代表所有的软特性弹簧。 2 ) 非线性阻尼器 一般的线性( 粘滞) 阻尼器的特性是速度的一次函数，即 f ( 2 ) = 一既( 2 4 5 ) 而非线性阻尼器的特性，用一个参数一般也是无法描述的。但对于平方阻尼 特性，有 f ( j ) = 一c k 2 s g nj( 2 4 6 ) 3 ) | - 白j 隙 间隙的特性可以用下式来描述 f k ( x + 占) x 一艿 f ( x ) = 0 一占x 茎j ( 2 4 7 ) i k ( x 一占) j x 其l _ - l 2 6 一间隙，m ： k 刚度系数，n m 。 第2 4 页西南交通大学博士研究生学位论文 对于单纯的问隙特性中的足一般说来都取得较大，因此间隙特性可以认 为只含有一个参数5 。上式是由三段折线组成的，因此只具有连续性，在分 段点处不可导，若要选择光滑性好又与上述函数特性接近的函数，可采用 f ! x ) = s i n h 酱叫 b 。s ， 式中k 。根据间隙2 占和刚度足的大小来取值，对于车辆中的间隙而言，k 。一般 可取1 。 4 ) 干摩擦 1 f 摩擦在机车车辆悬挂装置中是常见的，其特性一般用下式描述 f ( i ) = 一f us g nj( 2 4 9 ) 上式在i = 0 处不可导。 若用下式来描述干摩擦，则具有更好的性态。 ，( i ) = 一f i g t a n h ( c k ) ( 2 5 0 ) 式中c 根据需要取一个较大的正数。 事实上，蠕滑力的非线性近似亦可采用t a n hx 函数。具体算式可采用， 厂7 _ r 、 瓦= 印协晌p 茜j 采用该式计算只是表达式简洁，计算时间上并没有优势，计算时间是 j o h n s o n v c r m e u l e n 公式的3 倍。但是如果采用乘方运算符+ + n ，则 j o h n s o n v e r m e u l e n 公式的计算时间是采用乘法4 算符时的9 倍。 2 3 铁道车辆系统动力学模型 2 3 1 车辆模型概述 考虑一个1 7 自由度的铁路客车横向动力学模型，由4 个轮对，两个构架 和车体组成( 图2 3 ) 。这些自由度分别为每一轮对的横移和摇头，每一构架的 横移、侧滚和摇头，车体的横移、侧滚和摇头，列于表1 。这时客车系统由 1 7 个二阶微分方程组成，可化为3 4 维的标准一阶微分方程组形式。 西南交通大学博士研究生学位论文第2 5 页 车速v 一 轮对4 轮对3轮对2 轮对1 注：互表示x 、y 、z 三个方向都有刚度和阻尼 图2 3 四轴客车机械模型 表1车辆稳态曲线通过模型的自由度 车辆系统的数学模型 j = f ( t ，x ，口)( 2 5 1 ) 其中x d r ”，t ，c 【，o ，+ ，a d ，c r ，f ：i x d x d ，斗r ”，本文中 ”= 3 4 ，m = 1 。本文考虑的车辆系统为自治系统，即为如下不显含时间，的 形式， i = f ( x ，a )( 2 ，5 2 ) 其中 x = ( y 。l ，y 。2 ，y 。3 ，y 训，y 。2 ，们，y ，m l ，yr 2 ，吼i ，妒，2 ，少“，y ，2 ，y 。，伊。，。， 岁“，户。z ，夕。，夕“，矿，妒。2 ，妒。3 ，妒一，只一，岁，2 ，驴，驴，：，砂。妒：，岁。，驴。，沙。) 7 本文取车辆运行速度v 作为参数a 。 在系统运动微分方程中，仅考虑了轮轨接触几何关系( 图2 ) 和轮轨相互作 用力的非线性。轮轨接触几何关系采用数表形式，接触参数均为轮对横移量 第2 6 页西南交通大学博士研究生学位论文 的非线性函数。由于轮轨间蠕滑力和法向力是相互影响的，需迭代刊能求出 钢轨作用在轮对上的总横向力和摇头力矩。蠕滑力的计算先采用k a l k e r 线性 理论，然后应用沈h e d r i c k e