（基础数学专业论文）非光滑动力系统周期轨及积分不等式组问题.pdf

非光滑动力系统周期轨及积分不等式组问题 基础数学专业 研究生周俊指导教师张伟年 在我们生活中，特别是在力学和工程技术领域，经常会遇到非光滑现象：比 如勺子在碗里刮擦时发出刺耳的噪声，或者机器的振动，刹车的摩擦、打孔机的 冲击、自动控制器的转换以及晶体的振荡等等从自然规律来讲，这些现象通常 都是因为相互接触的两个刚体之间发生相对移动而造成的，即由摩擦引起的另 外，系统不同部分所受冲击不均匀也会产生非光滑现象从数学的观点来看，这 一类系统称为非光滑动力系统，即这些系统的右端是不连续或不可微的由于 许多来自于经典动力系统的概念都依赖于光滑性，现有的经典微分动力系统理 论尚不能直接用于解决非光滑动力系统的问题，这就需要将相关概念及理论推 广到非光滑动力系统中同时，由于这类系统的特殊性，自然也需要发展一些新 理论来解决实际问题而事实上大部分推广及相关新理论都不是平凡的 继电反馈系统是一类重要的非光滑动力系统，被广泛的应用于自动控制领 域本文主要研究继电反馈系统周期轨的问题在绪论中我们将对相关的背景 知识进行介绍，包括前人对继电反馈系统周期轨存在性所取得的进展为以后 深入研究周期轨稳定性，我们还介绍积分不等式的一些进展绪论的最后部分介 绍了本文的主要工作 在第二章我们研究二维继电反馈系统单峰周期轨的存在性之前a s t r o m ， j o h a n s s o n 等人给出了周期轨存在的必要条件v a r i g o n d a 和g e o r g i o u 在确定 的切换条件下给出了周期轨存在的充要条件一个有趣的问题是：在待定的切 换条件下周期轨存在的充分条件是什么? 这个问题的重要性在于只有在待定的 切换条件下寻找的条件才能对控制参数作出回答我们针对二维系统在待定的 切换条件下研究这个问题，得到了周期轨存在的充分条件这个条件使我们可以 设定控制参数使系统具有周期轨，甚至构造出具有一定对称性的周期轨同前人 遇到的困难一样，我们的困难也来自超越函数，即要求解一个联立的超越方程 和超越不等式前人对此只做了数值计算，而本文从这个超越问题中给出了系统 参数和输入，输出参数的直接关系，使获得的充分条件更易于验证 研究周期轨的渐近稳定性的个重要工具是积分不等式在本文第三章中， 我们研究了一个带有时滞的、未知函数项带有方幂的积分不等式组和前人如 g r e e n e 和p a c h p a t t e 等的工作相比，我们的困难是未知函数更具有隐含性我 们沿着g r e e n e 和p a c h p a t t e 的思想，结合b e r n o u l l i 不等式和推广的g r o n w a l l 不等式。给出了未知函数的估计这个结果还被用于证明一个泛函微分方程组 解的有界性 关键词：非光滑动力系统继电反馈单峰周期轨p o i n c a r 6 映射超越方 程积分不等式组 p e r i o d i co r b i t sf o rn o n s m o o t hd y n a m i c a ls y s t e m sa n d i n t e g r a li n e q u a l i t i e ss y s t e m s m a j o r ；n o r m a lm a t h e m a t i c s g r a d u a t es t u d e n tiz h o uj u n s u p e r v i s o r ：z h a n gw e i n i a n i no u rl i f e ，e s p e c i a l l yi nm e c h a n i c sa n d e n g i n e e r i n gs c i e n c e s ，t h e r ea r em a n yn o n s m o o t hp h e n o m e n a f o re x a m p l e ，t h en o i s eo fas q u e a k i n gs p o o ni nab o w l ，o rt h e c h a t t e r i n go fm a c h i n e s ，t h eg r a t i n go fb r a k e s ，t h ep e r c u s s i o no fd r i l l i n gm a c h i n e s ，t h e s w i t c h e so fa u t o - c o n t r o l l e r ，t h eo s c i l l a t i o no fc r y s t a l ，e t c p h y s i c a l l ys p e a k i n g ，t h e s e p h e n o m e n aa r eo f t e nd u et ot h ef a c tt h a tt h e r ea r er i g i db o d i e sw h i c ha t t a c he a c h o t h e rm o v i n gr e l a t i v et oa n o t h e r ，i , e ，t h i sk i n do fn o n - s m o o t he f f e c t sa r ec a u s e db y f r i c t i o n i na d d i t i o n ，u n e v e ni m p a c t sf o rd i f f e r e n tp a r t so ft h es y s t e m sa l s og e n e r a t e n o n s m o o t hp h e n o m e n a i nm a t h e m a t i c a lv i e w p o i n t ，t h i sk i n do fs y s t e m sa r ec a l l e d n o n - s m o o t hd y n a m i c a ls y s t e m s ，i e ，r i g h t h a n ds i d e so ft h es y s t e m sa r en o tc o n t i n u o u s o rd i f f e r e n t i a b l e b e c a u s em a n yc o n c e p t sf r o mc l a s s i c a ld y n a m i c a ls y s t e m st h e o r y d e p e n do nt h es m o o t h n e s s ，t h i st y p eo fp r o b l e m sc a nn o tb es o l v e db yv i s i b l ec l a s s i c a l d i f f e r e n t i a ld y n a m i c a ls y s t e m st h e o r y , t h u si ti sn e c e s s a r yt og e n e r a l i z et h e s ec o n c e p t s a n dt h e o r yt on o n - s m o o t hd y n a m i c a ls y s t e m s a tt h es a s n et i m e ，b e c a u s eo ft h e p a r t i c u l a r i t yo ft h e s es y s t e m s ，w en e e dt oc o n s t r u c ts o m en e wt h e o r yt os o l v et h e s e p r o b l e m s i nf a c t ，m o s to ft h e s eg e n e r a l i z a t i o n sa n dn e wt h e o r ya r en o n - t r i v i a l a ni m p o r t a n tk i n do fn o n - s m o o t hd y n a m i c a ls y s t e m sa r er e l a yf e e d b a c ks y s t e m s w h i c ha x ew i d e l ya p p l i e di na u t o - c o n t r 0 1 i nt h i sp a p e r ，w em a i n l yd i s c u s st h ep e r i o d i co r b i t s i nt h ef i r s tc h a p t e r ，w ei n t r o d u c es o m er e l a t i v eb a c k g r o u n dk n o w l e d g e ， i n c l u d i n gt h el a t e s tr e s u l t so fe x i s t e n c eo fp e r i o d i co r b i t sf o rt h er e l a yf e e d b a c ks y s - t e r n s m o r e o v e r s o m ei n t e g r a li n e q u a l i t i e sa n dt h e s ei a t e s tr e s u l t sa r es t a t e di no r d e r t od i s c u s st h es t a b i l i t yo fp e r i o d i co r b i t s a tl a s t ，w e 舀v e0 1 1 1 r e s u l t s i nt h es e c o n dc h a p t e r ，w ed i s c u s st h ee x i s t e n c eo fu n i m o d a lp e r i o d i co r b i t sf o r2 - d s i s or e l a yf e e d b a c ks y s t e m s a s t r o m ，j o h a n s s o na n ds oo ng a v en e c e s s a r yc o n d i t i o n s o fe x i s t e n c eo fp e r i o d i co r b i t si n1 9 9 5 v a r i g o n d aa n dg e o r g i o uo b t a i n e dt h en e c e s s a r y a n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o no fe x i s t e n c eo fp e r i o d i co r b i t su n d e rd e t e r m i n e dr e l a y a n i n t e r e s t i n gp r o b l e mi st og e tt h es u f f i c i e n tc o n d i t i o no fe x i s t e n c eo fp e r i o d i co r b i t s u n d e ru n k n o w nr e l a y i ti sav e r yi m p o r t a n tp r o b l e mb e c a u s et h ec o n t r o lp a r a m e t e r p r o b l e mc a no n l yb es o l v e db yu s i n gt h e s ec o n d i t i o n s w ed i s c u s st h i sp r o b l e mf o r 2 - ds y s t e m s ，a n do b t a i nt h es u f f i c i e n tc o n d i t i o no fe x i s t e n c eo fp e r i o d i co r b i t s p r o m t h e s ec o n d i t i o n sw ec a ns e tc o n t r o lp a r a m e t e rs ot h a ts y s t e m sh a v ep e r i o d i co r b i t s ， e v e nc o n s t r u c tt h ep e r i o d i co r b i t sw i t hc e r t a i ns y m m e t r i c o u rd i m c u l t yi st h es a m e 蠲t h eo t h e r s ，d e r i v e df r o mt r a n s c e n d e n t a lf u n c t i o n s ，i nd e t a i l s ，s o m et r a n s c e n d e n t a l e q u a t i o n sa n dt r a n s c e n d e n t a li n e q u a l i t i e sh a v et ob es o l v e d t h e r ea r eo n l ys o m e n u m e r i c a ls o l u t i o n s ，i nt h i sp a p e r ，w eo b t a i nt h ed i r e c tr e l a t i o n s h i po fi n p u t ，o u t p u t p a r a m e t e ra n ds y s t e mp a r a m e t e r sb ys o l v i n gt h et r a n s c e n d e n t a lp r o b l e m o u rr e s u l t s c a nb eu s e dt ov e r i f yt h es y s t e mc o n v e n i e n t l y i n t e g r a li n e q u a l i t yi sa nu s e f u lt o o l o fr e s e a r c h i n ga s y m p t o t i cs t a b i l i t yo ft h e c l o s e do r b i t i nt h et h i r dc h a p t e r ，w ed i s c u s sa ni n t e g r a li n e q u a l i t i e ss y s t e mw i t h r e t a r da n du n k n o w nf u n c t i o n so fp o w e r t h eu n k n o w nf u n c t i o n si no l l rp a p e ra r e m o r ei m p l i c i tt h a nt h o s ei ng r e e n ea n dp a c h p a t t e sr e s u l t s b a s e do nt h ei d e ao f g r e e n ea n dp a c h p a t t e ，w eg e tt h ee s t i m a t i o n so fu n k n o w nf u n c t i o n sb yc o m b i n i n gt h e b e r n o u l l ii n e q u a l i t yw i t hg e n e r a l i z e dg r o n w a l li n e q u a l i t i e s i nt h ee n d ，w ep r o v et h e b o u n d e d n e s so ft h es o l u t i o n sf o raf u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n ss y s t e mb yu s i n g o u rt h e o r e m k e y w o r d s ： n o n - s m o o t hd y n a m i c a ls y s t e m s ，r e l a yf e e d b a c k ，u n i m o d a l p e r i o d i co r b i t s tp o i n c a r dm a p p i n g ，t r a n s c e n d e n t a le q u a t i o n s ，i n t e g r a li n e q u a l i t i e s s y s t e m s 声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的 研究工作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以 标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写 过的研究成果，也不包含为获得四川大学或其他教育机构的 学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究 所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 本学位论文成果是本人在四川大学读书期间在导师指导 下取得的，论文成果归四jr i 大学所有，特此声明。 二零零七年四月十五日 致谢 本文是在我的导师张伟年教授的悉心指导下完成的，他 在微分方程与动力系统方面的许多重要工作和思想对本文的 完成起到了关键性的作用。正是他孜孜不倦的教导以及无微 不至的关心使我度过了忙碌而充实的三年。在这三年中我从 他那里不仅学到了丰富的专业知识，而且养成了良好的思维 习惯，同时也明白了很多做人的道理。这一切都是我一生最 大的财富这三年的学习期间，张老师为我们创造了良好的 学习、讨论和研究环境，同时他也在我们身上花费了很大的 心血，经常工作到很晚。在此我对张老师表示深深的感谢! 我想我只有用不断的努力和全心全意的工作学习态度才能报 答张老师的厚恩 本文的工作得到杜正东副教授的悉心指导和合作，也得 到了师姐何志蓉的指导与合作，对他们表示衷心的感谢! 在我 三年的学习中，得到了徐冰副教授的帮助，在此表示感谢! 也感谢讨论班的每一个人，这里的良好学风是我不断前进的 动力还要感谢我的父母，没有他们在物质和精神上的支持 我是无法完成学业的 第一章绪论 在自然科学研究的许多领域中，都需要对具体的自然科学现象进行抽象的 研究，从面更深刻认识它们的特性与共性这就焉要对它们进行建模并运用数 学的方法讨论和研究，在这个过程中，微分方程及其相关理论起到了重要的作 用，它是描述各种自然科学现象和问题的重要工具之一，也是预测及改造自然 的重要工具在现今的各个科研领域，大到天体力学，小到分子生物学，远到看 似与我们不太相关的航天科技，近到与我们生活密切相关的药物代谢动力学， 以及其它非常重要的如力学、电子技术、自动控制和生态学等各个领域，微分方 程理论都发挥着很大的作用 对于经典的微分方程理论，我们一般研究的微分方程 圣= ，0 ，z ) ，t r ， z 皿4 都是在f ( t ，z ) 关于t 和z 光滑的情况下大部分经典结果，例如奇点的分类、 周期轨的存在性和稳定性以及一些系统的分岔等，都是在光滑性假设的条件下 得到的然而在实际的生活和自然现象中很多系统都是非光滑的，即f ( t ，z ) 关 于t 或z 不是处处可导，有时甚至不连续因此，将原有的经典理论推广到非 光滑的情况就是必要的事实上，正如k u v t z e 2 6 1 指出，大部分这类推广都是不 平凡的 人们研究得较多的两类非光滑动力系统主要来自于力学和控制论因为这 两个学科中的非光滑现象较多，并且实际应用的价值也比较大在力学中非光 滑现象的研究最早来自于一些力学模型，例如【8 】关于这一系统以及类似的力 学系统的文章很多，例如f 7 ，1 l ，l o 】，还可以参见 2 6 】及其相关文献，其中提 到了很多此类的力学系统在控制论中，非光滑动力系统一直都是研究的热点 f 3 ，4 ，5 ，1 8 ，2 2 ，2 3 ，2 7 ，2 8 ，3 7 】 1 1继电反馈系统的周期解 从上个世纪开始就有许多控制论领域的专家研究继电反馈系统，并且将它 广泛应用于工程技术中在2 0 世纪中期，继电器就作为放大器被广泛使用在各 个领域 3 6 】而继电器更重要的一类应用是在自动控制领域，例如某些导弹的 1 1 继电反馈系统的周期解第2 页 导航系统【3 5 】由于近年来将继电反馈技术应用到p i d 自动转换控制器的新思 想的产生，使得对继电反馈系统的研究在最近几年又迅速升温 4 】随着p i d 自 动转换器以及其它技术的成功，许多先进的控制器以及有更好表现的智能系统 在过去几年内有了长足的发展同时继电反馈系统也被广泛地应用于其它工程 技术领域，例如，在航空航天应用中的继电控制器设计【1 4 ，1 5 】化学振子 12 】 以及生态学系统 2 5 】的研究关于继电反馈系统的研究情况还可参见【5 一个单输入输出( s i s o ) 自治线性系统通常写为如下形式： j ( 。) = a z ( 。) + b t ( t ) ，1 ) i 可( t ) = c z ( t ) ， 、。 这里z ( t ) r “。v ( t ) r 和u ( t ) r 分别是状态量，输出量和控制输入量， a 是几xn 的实系数矩阵，b r “和g 舻分别是实系数列向量和实系数行 向量首先我们在如下简单的切换条件 u ( t ) ：j 1 ，如果可( 。) 0 或可( 。) 0 且u ( 。一) = 1 ， ( 1 1 2 ) “ l 一1 ，如果v ( t ) ，或8 一且u ( 。一) = d ， ( 1 1 4 ) “ i d 如果e 一e ，或e 0 对于0 t 屈，甓玑2 。t 且u t o 一2 5 u 风， ( 1 1 6 )2 1u 。如果玑 a i ，或玑s 展且缸t ( f 一) ：u m 【1 1 6 j 1 2 积分不等式组的进展第4 页 ( 此处啦展) 的条件下给出了周期轨存在的必要条件 迄今为止，在待定切换条件下尚未得到一个周期轨存在的充要条件，甚至 是充分条件事实上，在待定切换条件下研究周期轨的存在性问题具有更加重要 的意义，因为只有在待定的切换条件下寻找的条件才能对控制参数作出回答 1 2 积分不等式组的进展 积分不等式是研究动力系统稳定性的重要工具，所以在积分不等式上的改 进和发展将不断为稳定性问题的研究提供技术支持为了进一步研究继电反馈 系统周期轨的渐近稳定性，我们学习了积分不等式的有关理论和方法 最早的积分不等式是1 9 1 9 年g r o n w a l l 为研究微分方程解关于参数可微时 提出的【2 0 】他证明了： 定理1 2 1 设a ，b 是非负常数，连续函数u 在b ，o t + h 】上满足不等式 。纠蛏z 阢( s ) 刊d 5 ， 则 0 o ) a h e m ，v t 陋，o + 】 此后，许多人在这类积分不等式的改进和推广上都做出了工作，如g o l l w i t z e r 1 6 】 在1 9 6 9 年给出了如下定理： 定理1 2 2 设u ，g 和h 是定义在【a ，例_ t _ c 0 非负连续函数，并且它们满足 ) ) 吲t ) z 忡) ( s ) d s t 【q 删， 则 ，t， u c t ) ，( 卵) 上吣) 帅) 唧( 以下b p 渺) 蚝【明，njj 1 2 积分不等式组的进展第5 页 1 9 7 3 年p a c h p a t t e 3 2 j 对如f 形式的g r o n w a l l - b e l l m a n 型不等式 u 。) 仳。+ z ，( s ) u ( s ) d s + o 。，( s ) ( z 。9 ( 6 ) u ( 6 ) d 6 ) d s ，t er + , 得到了估计式 u ( t ) 【1 + z 。，。) e x p ( f o 。i f ( 6 ) + 9 ( 驯彩) d s 】，t e r + 1 9 8 0 年m o r r o 3 1 】给出了积分不等式 f t u ( t ) 9 ( t ) + 七( t ) h ( s ) w ( u c s ) ) d s ，t 【f 0 t l 】 j t o 的一个估计 础)g-1【g吲u)+z。k(8)h(s)+mnx0，器+max0，貉)ids】i川t0)tto ，】u ( t ) 一1 【g o ( 如) ) + ) +， ! ：煞 + ，；筹羔) 】d s 】，t 【 ，】 j d “6 ，_ y 6 ， 在2 0 0 5 年a g a r w a l 、d e n g 和z h a n g 1 j 对如下的时滞积分不等式 “( t ) 。( t ) + 壹佰。，f 饥b ( i 幻( t ) ) ( t ，s ) 叫t ( ( s ) ) d s ，t o t 0 甓秒( 。) 20 且u o 一) = u 1 ，( 1 r 3 2 )“ iu 2 ，如果! ，( ) 0 对于0 0 令否：= c p ，西：= p b ， 否= ( c 1 ，c 2 ) 且，一1 百= ( 6 1 ，b 2 ) t 对于系统，我们讨论如下问题：参数a ，b 和c 满足什么条件时，才 存在正和死，使得我们能找到控制参数t 1 和u 2 ，让系统e 有周期为( 丑，正) 的单峰周期轨? 我们将证明以下结果： 2 1 主要结果第1 l 页 定理2 1 1 假设j = ，a ( b l c l + b 2 c 2 ) b 2 c l + a ( b l c l + b 2 c 2 ) 】 0 ，g ：2 - ( a ) 【( 6 l c l + b 2 c 2 ) a + b a c l 1 一e 1 ( n + 乃】( 1 一e 1 乃) + b a c j ) l t 1 e 1 ( n + 乃( 1 一e 乃) + t 2 e 马( e n 一1 ) 】) 【( 6 1 c 1 + b 2 c 2 ) ；、+ b 2 c l 】【1 一e ( 乃+ 屯】( e 乃一1 ) 一b 2 c 1 a 【死e 、( n + 疋( e 1 t 1 1 ) + t i e l 乃( 1 一e a t 2 ) 】) 0 系统有一个周期为( 五，死) 的单峰周期轨 定理2 1 2 假设j = j 2 ，下面条件之一成立： ( 1 ) ( b l c l s g n a t + 6 2 c 2 s g n a 2 ) ( 6 l c l a l + b 2 c 2 a 2 ) 0 ， ( 2 ) b , c x = b 2 c 2 0 ，a 1 + a 2 = 0 ， 并且 ( b ) ( 6 1 c 1 a 1 f 1 e 如( 乃+ 乃1 ( 1 一e m 死) + b 2 c 2 a 2 1 一e p q ( 矸十乃】( 1 一e a s t 2 ) ) 6 1 c l a l 1 一e 沁( n + 死】( e a l n 一1 ) + 6 2 c 2 a 2 1 一e a l ( n + 乃】( e 2 n 1 ) ) 0 系统有一个周期为( 丑，足) 的单峰周期轨 定理2 1 3 假设j = 以，下面条件之一成立： ( 1 ) a ( b l c l + b 2 c 2 ) a ( b t c l + 6 2 c 2 ) + p ( b l c 2 一b 2 c 1 ) 】 0 ，存在1 和 2 r 满足 毫ci-ej(t+t)-(i-exr2)j-bci-ej(t+t2)-t(ejtl-i)ejt2j-1b， ( 2 驯云2 ，m 1 ) 使得系统e 有周期为( 乃，t 2 ) 的单峰周期轨的充要条件是，( 五，t 2 ) = 0 ， 妒( t ) 0 对于t ( 0 ，噩) 且妒( t ) 0 对于t ( 0 ，乃) ，此处 ，( i ，匀) ；0 1 i e j ( ，+ z ) r 1 扛以- 一印和。b 一1 ) j 一1 a o j 一1 豆，( 2 2 2 ) 妒( 亡) ：= 0 【e 以p 一1 f + e 以一j ) ，一1 亩u 1 】， 妒( t ) ：= o 【e 以p 一1 r l + ( e 以一j ) j 一1 西让2 1 ， 且 ：= p i e j ( n + 死】一1 ( e j n i ) e j 乃t 正1 + ( e 强一i ) u 2 】，一1 亩， 叩：= e l i e j ( n + 死】- 1 【( e 皿d 乱l + e j n ( e j 乃一，) u 2 】j 一1 百 证明：为了证明必要性，我们先假设对于任意给定时间噩和乃，有控制参 数u l 和劬，使系统e 有周期为( 五，死) 的单峰周期轨令，町s 是当切换 珏= “1 ( 或u 2 ) 在周期轨上发生时的状态量则我们有 町= e a t , + a 一1e 4 n i ) b u l ，= e 4 乃7 7 + a 一1 ( e 4 乃一1 ) b u 2 ， ( 2 2 3 ) 这里我们已知轨线依赖于= t 1 经过乃时间从到达q ，然后依赖于u = 札2 经过疋时间从町到达f 从( 2 2 3 ) 求解和叩，得 怍导二；筠端二z ：珏簿e az 答b b ：江z a ， i 叼= 【j e ( 乃+ 亚l 一1 【( e n 一，) 札1 + e a 乃(乃一，) u 2 】a 一1 ， 、叫 这里我们由a 非退化及n 和死大于0 可知，一e a ( n + 孔) 也非退化由c 芒： g 口= 0 ，再经过j o r d a n 标准化，我们有 f0 p e 7 ( 乃+ 乃】一1 ( e 。n i ) e j t 2j 一1 百t 1 二嚣篙藉棚1 ( e ：t 2 - 凰1 ) j 1 砒地 仁z 司 1 o 【j e 。( 死+ 乃r 1 ( e 帆一，) j 一1 后u 1 卜u 7 【+ g 【j e j c n + n 一1 ( b 7 乃一i ) e 。死j 一1 雪地= 0 2 2 定理证明第1 3 页 要使系统e 有周期轨，则方程组( 2 2 5 ) 必须有非零解( u 1 ，2 ) ，则 io j e j ( n + 乃】一1 ( e j t l 一，) e j 乃j 一1 雪d ，一e j ( t 1 + 乃】一1 ( e j t 2 一j ) ，一1 啻l。 fo 【，一e 。( n + 7 b 】- 1 ( e 踊一) 1 7 1 亩o 【，一e 。( n + 7 i 】一1 ( e 7 巧一i ) e j t l j 一1 西i 它等价于，( n ，死) = 0 并且( 2 2 5 ) 的解是( 2 2 1 ) 因为从f 出发的轨线直到时间t = t 1 时才撞上s ，对于0 0 ，并且相似的我们有 e 一( 0 ，t ，7 ) 0 ，此处 毋+ ( o ，t ， ) ：= e a 。+ a 一1 ( e 4 。一i ) b u l ，当0 t 7 i 一( o ，t ，目) ：= e 7 7 + a 一1 ( e m i ) b u 2 ，当0 t 0 对于0 t n 和妒( t ) 0 对于 0 t 0 对于0 t 五和妒( t ) 0 对于 0 t 0 对于0 t 0 对于0 t 乃和 妒( ) 0 对于0 t 0 证明：假设d = 可知e 1 ( “+ 缸) 一1 0 当b l c l + b 2 c 2 0 时，当 t 1 ，t 2 0 时，方程f ( t 1 ，t 2 ) = 0 与，( t 1 ，如) = 0 等价，这里 ，0 1 ，2 ) ：= ( b l c l + b 2 c 2 ) 【e 1 ( 。，+ 。) 一1 】( e 1 “一1 ) ( e 1 “一1 ) + 6 2 c 1 陋1 e 1 ( e l b 一1 ) 2 + t 2 ( e “一1 ) 2 e 2 】，当t 1 0 ，t 2 0 ( 2 2 6 ) 假设引理2 2 2 的条件( 1 ) 满足且令a 0 如果b l c l + 6 2 c 2 0 ，则b 2 c 1 + a ( 6 l c l + b 2 c 2 ) 0 ，使得，( 虻，呓) 0 和t 2 = t 2 o 即，( 乃，死) = 0 对于其它情况可类似的讨论 当引理2 2 2 的条件( 2 ) 满足时，f ( t 1 ，t 2 ) 三0 对于退化情形，我们在b l c l + b c 2 0 时讨论当t a y l o r 展式的3 次项 【b 2 c l + a ( b 1 c l + 6 2 c 2 ) 】即( t 1 ；+ t ；t 2 ) = 0 时，即b 2 c l + a ( 6 1 c l + b 2 c 2 ) = 0 ，我们 可知4 次项也为零我们有b 2 c l = 一a ( 6 。c l + 幻c 2 ) ，则 ，= ( 6 1 c 1 + 6 2 c 2 ) 【( e 1 ( “+ 2 ) 一1 ) ( e 1 “一1 ) ( e 1 “一1 ) a t l e l 1 ( e 1 “一1 ) 2 一a t 2 ( e 1 “一1 ) 2 e a t 2 】 2 2 定理证明第1 5 页 的首个非零项是5 次项a 5 ( t l t 2 ) 2 ( “+ t 2 ) 6 当a 0 且b l c l + 6 2 c 2 0 时， ， 0 对于所有的t l 和t 2 0 成立所以我们得到当6 2 c l + a ( b l c l + b 2 c 2 ) = 0 时，( 1 ，t 2 ) = 0 没有正解如果a 三0 ，则，三0 引理2 2 2 得证 口 定理2 1 1 的证明：假设引理2 2 2 的条件( 1 ) 满足即存在冗，易 0 使 得，( 丑，t 2 ) = 0 直接计算得 妒( t ) ：= o e 以【，一e j ( r t + 乃】一1 ( e j n i ) e j t 2 u 1 + ( e 巩一j ) u 2 】，一1 豆 + ( e 以一i ) j 一1 豆u 1 ) 显然，条件妒( t ) 0 对于0 t 0 对 于0 0 对于0 t 0 对于0 t 五和砂( t ) o 对于 0 t 0 证明：对于j = 也，当b l o + b 2 c 2 0 时，计算方程厂( 1 ，亡2 ) = 0 并且注意 到【e l l m + t 2 ) 一1 】【e l z ( n + 乃) 一1 】0 ，我们得到当t 1 ，t 2 0 时，f ( t 1 ，t 2 ) = 0 等 价于氕t 1 ，t 2 ) = 0 ，这里 ，( t 1 ，t 2 ) ：= b l c l 【e 如( g l - b t 2 ) 一1 】( e l l “一1 ) ( e 1 1 “一1 ) + 6 2 c 2 【e ( “+ 。z ) 一1 】( e 幽一1 ) ( e a 2 虹一1 ) ，当t 1 0 ，t 2 0 ( 2 2 7 ) 假设引理2 2 3 的条件( 1 ) 成立并且令a 1 ，a 2 0 如果b l c l + b 2 c 2 0 ，则 b l c l a l + 6 2 c 恐a 2 0 。即 ，( 乃，t 2 ) = 0 其他情况可以类似讨论证明 当引理2 2 3 的条件( 2 ) 或( 3 ) 满足时，f ( t t ，t 2 ) ；0 对于退化情况，我们在b l c l + b 2 c 2 0 时讨论，当其t a y l o r 展式的3 次项 ( b l c l a l + b 2 c 2 a 2 ) a 1 a 2 ( t i t ；+ t t 2 ) = 0 时，即b l c l a l + 屯c 2 k = 0 ，同时我们可知4 次项也为零如果b l c l = 0 ，则b 2 c 2 = 0 ，这与6 l c l + 6 2