（基础数学专业论文）一类凸曲线的blaschkelebesgue问题.pdf

e a s tc h i n an o r m a l u n i v e r s i t y b l a s c h k e l e b e s g u ep r o b l e mo n ak i n do fc o n v e xc u r v e s d e p a r t m e n t - m a t h e m a t i c s m a j o r ： s u b j e c t ： p l l r em a t h e m a t i c s d i f f e r e n t i a lg e o m e t r y s u p e r v i s o r - s h e n g l i a n gp a n n a m e ：h a o d a n g l i u m a y ，2 0 1 0 s h a n g h a i 华东 得的 学位论文原创性声明 过的研究成果对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中作了明确说明并 表示谢意 作者签名 学位论文授权使用声明 一类凸曲线的b l a s e h k e l e b e s g u e 问题系本人在华东师范人学攻读学位期间 在导师指导下完成的砺准博士( 请勾选) 学位论文，本论文的研究成果归华东师范人 学所有本人同意华东师范人学根据相关规定保留和使用此学位论文，并向主管部门和 相关机构如国家图书馆、中信所和“知网”送交学位论文的印刷版和电子版；允许学位 论文进入华东师范人学图二f 5 馆及数据库被查阅、借阅；同意学校将学位论文加入全国博 士、硕士学位论文共建单位数据库进行检索，将学位论文的标题和摘要汇编出版，采用 影印、缩印或者其它方式合理复制学位论文 本学位论文属于( 请勾选) ( ) 1 经华东师范大学相关部门审查核定的“内部”或“涉密”学位论文+ ，于 年月日解密，解密后适用上述授权 ( v2 不保密，适用上述授权 i 文作：女 磐荡翩躲i 流以 日期地】里：蛆哆 日期：。bl jo f 扎 木“涉密”学位论文应是已经华东师范人学学位评定委员会办公室或保密委员会审 定过的学位论文( 需附获批的华东师范大学研究生申请学位论文“涉密”审批表方 为有效) ，未经上述部门审定的学位论文均为公开学位论文此卢明栏不填写的，默认为公 开学位论文，均适用上述授权) 刘浩荡硕士学位论文答辩委员会成员名单 姓名职称单位备注 稳章袤拨华轫矛蓖潲量务 主席 巍譬刮撇一年轫币谠艨茜荪， 激刮教盐一铺币蕊大 秘黼 ， 摘要 本文研究了一类在正规标架下支撑函数满足：h ( o ) + i i l ( 一口) 为常数的凸曲线，我们称之 为x 型曲线在定理4 1 中，我们证明了x 型曲线周艮为常数；在定理4 2 中，我们证明了x 型 曲线中d d r e u l e a u x z 角形所围面积最小，从而得到类似的b l a s c h k e l e b e s g u e 定理我们 使用最优控制理论得剑以上结果 关键词：支撑函数，曲率，b l a s c h k e l e b e s g u e 定理，最优控制，哈密顿量，开关函数 a b s t r a c t w ec o n s i d e r e dak i n do fc o n v e xc u r v e sw h o s es u p p o r tf u n c t i o ns a t i s t i e st h a t ：j i l ( 日) + h ( - o ) i sc o n s t a n ti nt h ep a p e r , w ec a l li txc u r v e i n4 1 。w ep r o v et h a tt h ep e r i m e t e ro fxc u r v e sa r et h e s a m e ；i n4 2 w ep r o v et h a tt h er e u l e a u xt r i a n g l eh a st h em i n i m a la r e ai nxc u r v e sa st h es a m e i nb l a s c h k e l e b e s g u et h e o r e m w eg e tc o n c l u s i o n sa b o v eb yu s i n go p t i m a lc o n t r o lt h e o r y k e yw o r d s ：s u p p o r tf u n c t i o n ，c u r v a t u r e ，b l a s c h k e l e b e s g u et h e o r e m ，o p t i m a lc o n t r o l ， h a m i l t o n i a nf u n c t i o n ，s w i t c hf u n c t i o n 目录 中文摘要i 英文摘要 舒 第一节引言1 第二节 2 1 2 2 第三节 3 1 3 2 第四节 4 1 4 2 4 3 4 2 预备知识2 基本公式：2 固定边界的最优控制问题2 新的定义4 x 型曲线4 例子5 主要结果7 控制问题描述8 最优控制问题描述8 解的存在性9 问题的求解1 0 参考文献1 8 致谢2 0 华东师范大学硕七论文 类凸曲线的b l a s c h k e l e b e s g u e 问题 第一节引言 常宽凸体的研究是凸几何中的重要内容，而b l a s c h k e l e b e s g u e 问题是关 于常宽凸体的重要而未全部解决的问题b l a s c h k e l e b e s g u e f 口 题是在给定 宽度的常宽凸体中寻求体积( 面积) 最小者的问题b l a s c h k e 在【l 】，l e b e s g u e 在 【2 】分别独立地采用凸几何技术解决了二维情形，指出在给定宽度的常宽凸曲 线中，由r e u l e a u x 三角形所围的面积最小由b a r b i e r 定理 3 】给定宽度的常 宽凸曲线周长相等，因而二维的b l a s c h k e l e b e s g u e 问题是一等周问题然而 三维以至高维的b l a s c h k e l e b e s g u e 问题至今仍未解决近来，人们给出了二 维b l a s c h k e l e b e s g u e 问题一些新的解析证明，如 4 】中，mg h a n d e h a r i 采用 最优控制理论解决了情形和三维旋转体情形，这显示了最优控制理论在凸几 何中有着重大应用t b a y e n 在 5 】中利用最优控制论成功解决了凸几何中的 g o l d b e r g 猜想人们也采用硬分析的技术尝试解决三维b l a s c h k e l e b e s g u e 问题，给出了一些必要条件，如 6 】， 7 】， 8 】，【9 】，【l o ，【1 2 ，【1 3 同时人们推广了b l a s c h k e l e b e s g u e 问题，将凸曲线的宽度函数推广为 更一般的形式，如 1 l 】定义了t o k = ，z ( 目+ 孥) ，k n ) ，其中 ( p ) 为曲线的 支撑函数，提出了广义的b l a s c h k e l e b e s g u e 问题 支撑函数在工程中有着重要应用，如在人工智能领域对机器手臂的控制 通常支撑函数满足一定条件，本文考虑支撑函数在关于x 轴对称的两个方向 上满足：| z ( p ) + 办( 一日) 为常数的凸曲线由于j i z ( p ) 与坐标原定的选取有关，我们 采用凸曲线的正规标架，将坐标原点置于凸曲线的s t e i n e r 重心，并称在正规 标架下满足 ( 目) a t - j i z ( 一9 ) 为常数的凸曲线为x 型曲线我们通过考察x 型曲线 的f o u r i e r 展式，指出x 型曲线大量存在，在文中3 2 给出了几个具体的例子 不失一般性，本文研究忍( p ) + | z ( 一目) = 1 的x 型曲线在定理4 1 中我们 得到x 型曲线的周长相等为解决x 型曲线b l a s c h k e l e b e s g u e 问题，我们 利用最优控制理论，在4 2 中将凸几何问题转化为最优控制问题在4 3 中我 们由最优控制论中的f i l l i p o v 定理证明了最优控制问题解的存在性在4 4 问 题求解中，我们采用p o n t r y a g i n 最大值原理( p 肘p ) 求出最优轨道满足的必 要条件，由于该问题是线性的，我们可直接利用b a n g b a n g 定理计算最优轨 道对开关函数分四种情形分别讨论，得到满足尸m 尸必要条件得x 型曲线 为r e u l e a u x 多边形由于r e u l e a u x 多边形的面积随着边数增加而增加，这样 我们就得到了x 型曲线中由r e u l e a u x 三角形所围面积最小 华东师范大学硕士论文 一类凸曲线的b l a s c h k e l e b e s g u e 问题 第二节预备知识 在这一节，我们首先介绍一些预备知识 定义2 1 ( 凸曲线) 一条分段光滑的平面闭曲线称为凸鲍如果它岔子它的每 一条切线的一侧凸曲线所围的区域称为凸区域 定义2 2 ( 支撑函数) 设口为平面上一条正定向的闭凸曲线选取曲线口所围 凸区域内任意一点0 为坐标原点建立直角坐标系q ( x ，协位于曲线上从原点 0 到q 点处切线的垂直距离h 称为q 点处的支撑函数其中8 是从x 正半 轴沿逆时针方向到垂线的角 此时，曲线口可看成是其所有切线的包络，按照求包络的方法可以得到口 的参数表达式： 叫= h ( 邮8 ) c 砌o s8 州- h ( 8 ) 螂s i n 8 日 亿， 2 1 基本公式 设y 为平面内一闭凸曲线， ( p ) 为3 的支撑函数，利用h ( o ) 可以给出y 的 各种几何量( 局部的和整体的) 的解析表达式，例如： 曲率：= 石d 8 = 丽而1 而 曲率半径：p ( d = 兰= 厅( + i ( d 曲线周长( c a u c h y 公式) ：l = 0 万h ( o ) d 8 曲线所围面积( b l a s c h k e 公式) ： a = 三f 酽c ，2 ( 啪= 三f 慨硼 2 2 固定边界的最优控制问题 固定边界的最优控制问题描述：受控动力系统戈= ，( 墨u ，f ) ，其中x = x ( t ) = ( 工l ，x n ) e 彤，控制变量u = u ( t ) = ( u l ，u 历) uc ，u 为紧集， 厂( 墨t t ，力= 饥( x u ，力，厶( x u ，) ) 彤，固定边界x ( o ) = x o ，x ( t o ) = x , o 寻 2 堡东师范大学硕士论文。类凸曲线的b l a s c h k e l e b e s g u e 问题 求最优控制“及对应的最优轨道x 使价值泛函j = r ( 敝f ) ，“( f ) ，f ) 出，t 【0 ，t o 】取得最小值 下面的f i l l i p o v 定理给出了上述具有固定边界的最优控制问题有解的判 别准则 定理2 1 ( f i l l i p o v 定理) 对固定边界的最优控制珂题记? 贾= ( x , x n + 1 ) ，= u ( x 力，( x u ，f ) ) ，其中矗+ i = ( x u ，f ) ，若 ( i ) f 关fx ，u ，t 连续且 关于x 连续可微 f 删集合f ( 五u ，f ) = 月“u 为凸集 ( 1 l i ) 存在一常数c ，缱得尉vf 0 ，t o 】存 c ( 1 + i i 贾1 1 2 ) i i v ) 存在从x o 到x 。n 的容许轨道 刚最优控制问题的解存在( 11 4 1 ) 定理2 2 ( p o n t r y a g i n 最大值原理( 固定边界情形) ) 对固定边界的最优控制问 题定义哈密顿量 h = ( x u ，t ) + p ，( xu ，力 t - = a ( x “，t ) + p i j c ；( x , “，力( p = ( p l ，p n ) ) ， f _ l 其中伴随变量p 产p f ( f ) ( f = l ，n ) 为连续光滑函数则价值泛函取得最 小值的必要条件： ( i ) 忑为非正常数即? ls0 ( i i ) 哈密顿正刚方程p 产一尝 o x i f 删日关于u 取得最大蕴即h ( x ，u + ，t ) = m a x 日( 墨u ，f ) 定理2 3 ( b a n g b a n g 定理) 设厨定边界的最优控制问题动力系统满足 又= a x + b u , 其中a r n 煳，b r n 枷n ，m n 为常数矩阵价值泛函，为关 于h 的线性泛函则最优控制函数u 为分片常函数。且这些常数取值于u 的 顶点 3 华东师范大学硕士论文一类凸曲线的b l a s c h k e l e b e s g u e 问题 3 1x 型曲线 第三节新的定义 定义3 1 ( s t e i n e r 重心) 设y 为坐标平面肉一闭凸曲线，j l z ( 为y 的支撑函我 曲线7 的参数方程为 i 石= x ( o ) iy = ) ，( 印 称点( 去r 丌x ( o ) d o ，去户y ( o ) d o ) 为yt 筢js t e i n e r 重一厶 设h ( o ) 具有如下f o u r i e r 展开式： ，z ( o ：a o + 口lc o s0 + b ls i no + y ( c o s 咒p + b 厅s i nn o ) ， 笈 由表达式( 2 1 ) 有 似i x ( o ) d o = 磊1f 0 2 f ( h ( o ) c o s p h 即) s i n o ) d o = ；圳) c 刚搠二a l i 去r 丌y ( o ) d o = 西1f ( i z ( 口) s i n 臼+ h ( o ) c o so ) d o = f 丌j l l ( d s i no d o = b l ， 即s t e i n e r 重心坐标为( a l b 1 ) 将坐标原点平移至s t e i n e r 重心，此时曲线7 的 参数方程为 li ( d = 颤目) 一a l l 歹( 臼) = y ( o ) 一b l 则y 的支撑函数 ( = i ( c o s 0 + y ( o ) s i n 日 = ( x c o s 口+ ys i n 目) 一( a lc o s0 + b ls i nd = h ( o ) 一( a lc o s 日+ b ls i n9 ) 万( 臼) 的f o u r i e r 展开式为 衲= 口o + ( a n c o sn o + b ns i nn 9 ) n 2 定义3 2 ( 正规标架) 称以平面闭凸曲线的s t e i n e r 重一心为坐标原点的标架为 闭凸曲线的正规标架 4 华东师范大学硕士论文一类凸曲线的b l a s c h k e l e b e s g u e 问题 定义3 3 ( x 型曲线) 设y 为平面肉一闭j 凸曲线g 为其s t e i n e r 重心若存在 过g 的一直线使得当以该直线为x 轴建立正规标架时其支撑函数h ( o 、) 满足 h ( o 、) + ”为常数则称7 为x 型曲线 设y 为x 型曲线，在正规标架下其支撑函数为| z ( p ) ，从而h ( o ) 有f o u r i e r 展开式： 弋 办( 口) = a o + 。( 口圩c o s n o + b ns i n n o ) 笈 由于 ( + j i z ( 一目) = c ( c 为常数) ，由 ( p ) ，j l ( 一0 ) 的f o u r i e r 展开式： ( 9 ) = + a n+ s i nn oao ac o sn obs i nn o ， ( 9 ) = + + 。 ， j ：一二一 x _ 1 ( d + h ( - o ) = 2 a o + 2 。a 九c o sn o = c ，v 臼 0 ，2 7 r n 2 从而jea 以c o s n o = c 一2 a o = c o n s t 由c o s n o 是 0 ，2 7 r 上正交系，有 n 2 a n = 0 ，n 2 即j z ( 有形式： ( 臼) = a o + 2 饥s i n n o ( 3 1 ) 1 j 二- - 一 3 2 例子 例l ：在正规标架下，圆h ( o ) = a o = c o n s t 显然满足 ( 口) + 办( 一目) = c o n s t ，从 而圆是x 型曲线 例2 ：非圆曲线h ( o ) = 6 + s i n2 0 也满足( 3 1 ) ，同时，z ( + ”( 目) = 6 3s i n ( 2 0 ) 3 0 ，从而为凸曲线如图( 1 ) 例3 ：非圆曲线h ( o ) = 2 0 + s i n2 0 + s i n 4 0 也满足( 3 1 ) ，同时，j l z ( d + h ”( 9 ) = 2 0 一3s i n ( 2 0 ) 一1 5s i n ( 4 0 ) 2 0 ，从而为凸曲线如图( 2 ) 5 9nns “ 啦 一9nsoc 玎 口 组 + o 口 i i p一 ，l 庇 有 华东师范大学硕士论文一类凸曲线的b l a s c h k e l e b e s g u e 问题 k 埘q 卅 6 ? 。 、 。| 1 7 ， f ， l 。 ： ，一一巧 图l ：非圆曲线h ( o ) = 5 + s i n2 0 厂j j j 夕 j - 1 和一加埔 户 l 1 1 1 ： 。 图2 ：非圆曲线| l l ( = 2 0 + s i n2 0 + s i n 4 0 6 华东师范大学硕+ 论文 一类凸曲线的b l a s c h k e l e b e s g u e 问题 第四节主要结果 我们研究x 型曲线的基本性质，不妨取常数为1 ，即在正规标架下有 办( + i z ( 一d = 1 由基本公式有： 面积泛函 a = 三r 玎郴脚，枷 = 三r 郴m 肌三j = ：邶脚，硼 = 三r 邶脚肌三r ”州制 = 三r 抑脚肌三r ( t 堋) ( 1 训) 棚 = 三r ( 叫旷御1 m 曲率半径满足： 边界条件： p ( 护) + p ( 一口) = 1 办( 0 ) + h ( - o ) = 2 h ( o ) = 1 = 号j l z ( 0 ) = j l z ( 7 r ) + h ( - n ) = 2 h ( g ) = 1 ：号办( 丌) = 由参数方程( 2 1 ) 有： l 7 ( o ) = y ( o ) = 0 l 矗7 ( 丌) = - y ( n ) = 0 定理4 1 x 型曲线长度为常觌 汪 l = r 丌m 脚 = r 邶瑚+ 邶，硼 7 1 2 1 2 。 ( 4 1 ) 华东师范大学硕+ 论文一类凸曲线的b l a s c h k e l e b e s g u e 问题 = 肛卅”啪 为了寻求x 型曲线所围面积最小者，下面我们采用最优控制理论求解 4 1 控制问题描述 关于x 型曲线的b l a s c h k e l e b e s g u e 问题可以表达成如下的控制问题： r r f i na = j i r ( 2 印一p h + 1 ) d o 使得： fj l ( p ) + h ( - o ) = 1 ， j i z ( o ) = ( 丌) = 万1 ， 【0 j d ( 1 ， 4 2 最优控制问题描述 引入新的变量 p ( d - i - p ( 一d = 1 ， h 7 ( o ) = h 7 ( t o = 0 ， 口 瞪 代入得a = r ( 石l “+ 1 ) d o ，可取价值泛函，= f f x l u d o ，则等价的最优控制问 满足： m i nj = 孓a e v u 8 1 l 一 一 劢2 印 = = = 执沈“ ，-i，、i 华东师范大学硕十论文 一。类凸曲线的b l a s c h k e l e b e s g u e 问题 动力系统 边界条件 控锖0 变量一1 u 1 4 3 解的存在性 fx = 恐 1 砭= “一乩 记贾= ( 扎x 2 ，x 3 ) ，= ( x 2 ，比一x l ，x l “) ， ( i ) ，关于x l ，x 2 ，x 3 ，“，t 连续，且，关于工i ，x 2 ，x 3 连续可微 ( i i ) 对v o 口 1 ，“l “2 u = 0 ，1 】有： a ( x 2 ，u l x l ，x l u l ) + ( 1 一c r ) ( x 2 ，u 2 一x l ，x i u 2 ) = ( x 2 ，【o r u l + ( 1 一o r ) u 2 】一x l ，x i 【o u 1 + ( 1 一口) 比2 ) ) 由u = 【0 ，1 】为凸集，从而f i ：= o u l + ( 1 一口) “2 u ，即 a ( x 2 ，u l x l ，x l u l ) + ( 1 一口) ( 耽，u 2 一x i ，x i u 2 ) 从而f ( 墨“，力为凸集 = ( x 2 ，西一石l ，工l 西) f ( 墨u ，t ， ( i i i ) = = 砣“+ x i 秘“，由l u l 1 有： x 2 u + x l x 3 u 帅酬s 盟2 + 塑2 即 0 u = i - 1 ，p 2 0 如取l = 一1 ，u = 1 ，0 ( 0 ，1 - ) 此时z 7 + x l = 1 取x l = 1 一c o s0 ，x 2 = s i n 0 同时p ；7 + p l = 0 ，取p l = s i np ，p 2 = c o s0 ，则对应的 哈密顿量： h = p 2 一x l + p l x 2 一p 2 x i = c o s0 一( 1 一c o s + s i n0s i n 0 一c o s0 ( 1 一c o s = c o s0 0 从而优只能在离散点处等于零 此时方程的解具有形式： p 2 ( o ) = b s i n ( 0 一) ， 其中b 0 ，卢均为常数下面我们指出p 2 ( = bs i n ( 0 一卢) 为单一函数，即p 2 不是分段函数 由p 2 c 1 ( o ，丌】) ，设瓦( 日) = 一b s i n ( 0 一万) ，且在f 处有： j b s i n ( r 一励= 一b s i n ( 丁一旦 ( 4 7 ) ib c o s ( 1 - 一卢) = b c o s ( r 一卢) 、 若c o s ( r 一卢) = c o s ( r 一万) = 0 ，则，( 丁一卢) 一( 一历= k j r ，其中k z 从而有 万一卢= k z , ，k z 当k 为奇数时，由bs i n ( r 一仞= 一bs i n ( r 一西知一b = 一b ，此时 瓦( 目) = 一b s i n ( 0 一历= 一bs i n ( 0 一p 一切) = bs i n ( 0 一卢) = p 2 同理当k 为偶数时，也有瓦= p 2 当c o s ( 一仞= c o s ( 一万) 0 时，( 4 7 ) 两式相除有 t a n ( r 一励= t a n ( r 一万) = 0 ，等万一声= k n ，k z ， 华东师范大学硕士论文 类凸曲线的b l a s c h k e l e b e s g u e 问题 同理有瓦= p 2 由一74 - x l = u ，知工l 具有形式 工i ( 臼) = as i n ( 0 一口) 1 ，x 2 ( o ) = ac o s ( 0 一口) 考虑边界条件( 4 - 3 ) ix d 0 ) = - as i n ( a ) 士1 = 0 ix 2 ( 0 ) = a c o s ( a ) = 0 解此方程有： a - - - - u - 1 ，a = 三， 从而x i ( 日) = u ( 1 一c o s ( 0 ) ) ，当p 2 ( 0 ) = 一bs i n ( f 1 ) 0 时，由p 2 ( o ) = bs i n ( 0 一励的 图像性质知，存在1 使得p 2 ( r ) = o 如下图( 3 ) b s 出一向 、 t 一 图3 ：p 2 ( o ) = b s i n ( 0 一历 搿茎麓 8 ， 由( 4 1 ) 可延拓“( 臼) 的定义域到【o ，2 7 r 1 ，满足：“( 目) + 蹦( 一目) = 0 从而 1 ，0 0 ，丁) 一1 ，0 ( 丁，7 1 】 1 ，0 ( 丌，2 万一d - 1 ，0 ( 2 1 r l2 7 r ) 1 2 ( 4 9 ) 华东师范大学硕士论文 类凸曲线的b l a s c h k e l e b e s g u e 问题 因此， p = 这说明在长度为丌的一个区间上曲率半径为零，这是一种退化情形同理 对于p 2 ( o ) i 一1 ，p 2 一石l 0 即cs i n 南 2 若在0 = 0 附近h = 一1 ，jz ( o ) = 一c s i n6 + 2 2 因此l c i 南 2 因而在附近0 = 0 恒有i c i 2 下面考虑切换点( 即z ( o ) = o ) 左右两边的情形设1 - 为一切换点，1 - 左侧附 近z ( o ) = cs i n ( 0 6 ) + 2 0 由光滑性有： jc s i n ( r 一国+ 2 = cs i n ( r 一0 3 2 = 0 l cc o s ( t 一6 ) = cc o s ( t 一回 由第一个表达式有： 2 j 2 l2 一s i n ( r - 6 ) l2 s i n ( 0 - ) 代入第二个表达式有： t a n ( r d = 一t a n ( r 一) 即1 - 一6 = 驴一1 - + 切，k z 易见i c i = i c i 从而z ( 日) 具有统一形式：z ( o ) = a s i n ( 0 一易) 士2 ( a o ) 由于切换点两侧不等式as i n ( 0 一b ) + 2 0 在同一 周期中解区间长度相等，因而【0 ，丌 被分成长度相等的若干等份设0 下 丌】， 则一0 卜7 r ，一丁】，一0 + 2 n “丌，2 7 r 一州，由u ( o ) 是以2 7 r 为周期的周期函数，且满 足：u ( o ) + “( 一0 ) = 0 ，从而u ( o ) 在k7 r 】和相邻的 丌，2 丌一1 i 】两区间上符号相反 同理易见， 0 ，2 丌 被分成长度相等的2 n ，l n 等份，且相邻两等份“( d 符号相 反下面对切换点个数n 进行讨论( 设u ( o ) = 1 ，0 ( 0 ，：) ) 当n = 2 时，“( d 的函数图象如下图( 4 ) ，对应的曲率半径p ( d 的函数图象 如下图( 5 ) ，由平面曲线的基本定理，对应的凸曲线为曲率半径为1 的棱镜如 下图( 6 ) 当n = 3 时，u ( o ) 的函数图象如下图( 7 ) ，对应的曲率半径p ( o ) 的函 数图象如下图( 8 ) ，由平面曲线的基本定理，对应的凸曲线为曲率半径为1 的 r e u l e a u x 三角形如下图( 9 ) 同理：当n 为偶数时，对应的凸曲线由n 段曲率半径为1 弧长为三的圆弧 组成，由于其对称性，不满足h ( o ) + j l ( 一0 ) = 1 舍弃当n 为奇数时对应的凸曲 线为r e u l e a u xn 边形，由于曲率半径相等的r e u l e a u x 多边形的面积随着边数 增加而增加( 见【1 5 】) ，因而当n = 3 时，即r e u l e a u x 三角形所围面积最小当 u ( o ) = 一1 ，0 ( 0 ，：) 时，同理有相同的结论由以上推导，我们有如下定理 定理4 2 在x 型曲线中由r e u l e a u x 三角形所围面积最小 1 4 华东师范大学硕士论文 一4 类凸曲线的b l a s c h k e l e b e s g u e 问题 图4 ：n = 2 ，h ( 回的图象 图5 ：n = 2 ，p ( 口) 的图象 、 ” 0 1 ， 、 t o h0 40 20 , 30 4 o 1 l 口i 图6 ：棱镜的图象 1 5 华东师范大学硕士论文一类凸曲线的b l a s c h k e l e b e s g u e 问题 l2 jj 图7 ：咒= 3 ，“( 秽) 的图象 图8 ：n = 3 ，p ( p ) 的图象 i 0 。 o - 2 - , 一0 20 2 o 、 f ) l 柚2 、h = 廖f 图9 ：r e u l e a u x 三角形的图象 1 6 华东师范大学硕士论文 一类凸曲线的b l a s c h k e l e b e s g u e 问题 由r e u l e a u x 三角形的对称性易知，r e u l e a u x 三角形的s t e i n e r 重心与其内 接正三角形重心重合在正规标架下，容易得到r e u l e a u x 三角形的支撑函数 h ( o ) 表达式： ( 日) = 1 一 c o s0 一警s i n 0 ， 笪3 s i n0 ， 1 + c o s0 一警s i n 0 ， 一 c o s0 - 警s i n 0 ， 1 + s i n 0 ， c o s0 - 警s i n 0 ， 0 0 ； 0 2 3 , r 警0 r 7 1 0 4 3 n 警0 5 3 z r 孚0 2 n ( 4 1 3 ) 由于r e u l e a u x 三角形为常宽凸体，支撑函数满足：忍( p ) + ( 臼+ 7 r ) = 1 ，从而j l z ( p ) 的f o u r i e r 展式只含有常数项和奇数阶正弦项，利用m a t h e m a t i c a 软件计算 有： h ( o ) = 三一去s i n ( 3 目) 一志s i n ( 9 d 一而1 s i n ( 1 5 臼) + 由b l a s c h k e 公式易求得r e u l e a u x 三角形所围面积为翌笾2 1 7 了 华东师范大学硕士论文 一类凸曲线的b l a s c h k e l e b e s g u e 问题 参考文献 1 】w b l a s c h k e ，k o n v e x eb e r e i c h eg e g e b e n e rk o n s t a n t e rb r e i t eu n dk l e i n s t e ni n h a l t s ，j m a t h a n n ，7 6 ( 1 9 1 5 ) ，5 0 4 5 1 3 2 】h l e b e s g u e ，s u rq u e l q u e sq u e s t i o n sd e sm i n i m u m s ，r e l a t i v e sa u xc o u r b e so r b i f o r m e s ，e ts u rl e sr a p p o r t sa v e cl ec a l c u ld ev a r i a t i o n s ，j m a t h p u r ea p p l ， 4 ：8 ( 1 9 2 1 ) ，6 7 9 6 【3 】a b a r b i e r , n o t es u rl ep r o l e m ed el a i g u i l l el ee t j e ud uj o i n tc o u v e r t ，j m a t h p u r ea p p l 5 ( 18 6 0 ) ，2 7 3 2 8 6 【4 】m g h a n d e h a r i ，a no p t i m a lc o n t r o lf o r m u l a t i o no f t h eb l a s c h k e l e b e s g u et h e o r e m ，jj o u m a lo fm a t h e m a t i c a la n a l y s i sa n da p p l i c a t i o n s ，2 0 0 ：2 ( 19 9 6 ) ，3 2 2 3 3 1 5 】t b a y e n ，a n a l y t i c a lp a r a m e t e r i z a t i o no fr o t o r sa n dp r o o fo fag o l d b e r gc o n j e c t u r eb yo p t i m a lc o n t r o lt h e o r y , s i a m ，j c o n t r o lo p t i m 4 7 ：6 ( 2 0 0 8 ) ，3 0 0 7 3 0 3 6 6 】m f u j i w a r a ，a n a l y t i cp r o o fo fb l a s c h k e st h e o r e mo nt h ec u r v eo fc o n s t a n t b r e a d t hw i t hm i n i m u ma r e ai ，j p r o c i m p a c a d j a p a n ，3 ( 19 2 7 ) ，3 0 7 3 0 9 7 】e h a r r e l l ，ad i r e c tp r o o fo fat h e o r e mo fb l a s c h k ea n dl e b e s g u e ，j g e o m a n a l ，1 2 ( 2 0 0 2 ) ，81 - 8 8 8 】t b a y e n ，t l a c h a n d - r o b e r t ，e o u d e t ，a n a l y t i cp a r a m e t r i z a t i o n sa n dv o l u m e m i n i m i z a t i o no ft h r e ed i m e n s i o n a lb o d i e so fc o n s t a n tw i d t h ，j a r c h r a t i o n m e c h a n a l ，18 6 ：2 ( 2 0 0 7 ) ，2 2 5 2 4 9 9 】w j f i r e y , l o w e rb o u n d sf o rv o l u m e so fc o n v e xb o d i e s ，j a r c h m a t h ， 1 6 ( 1 9 6 5 ) ，6 9 7 4 1 0 】w j f i r e y ，i s o p e r i m e t r i cr a t i o so fr e u l e a u xp o l y g o n s ，j p