（计算数学专业论文）非局部问题解的存在与唯一性定理.pdf

摘要 本文研究问题之一是一类非局部边界条件下非线性反应扩散方程解的存 在唯一性，这类问题有着广泛的来源，前言中简单介绍从热弹性力学中得到 的线性抛物型方程的非局部边界问题，以及人口控制论中的人口实时状态方 程，对线性问题从一维到高维，利用上下解方法已经得到存在唯一性和比较 结果，对非线性问题也有了一些研究成果，他们在对非线性项，( t ，z ，u ) 关于“ 拟单调增假设条件下，并利用上下解方法构造单调的上下解序列来证明解的 存在唯一性，在本文第二章对非线性项f ( t ，z ，u ) 作不同假设，利用拟线性化方 法结合上下解方法构造上下解序列，同样证明解的存在唯一性，同时得到序列 收敛速度是二阶的。 本文第三章主要就f r e d h o l m 型积分微分方程问题解的存在性唯一性进行 探讨，在周期性边界条件和初值条件下，有一些作者已经应用上下解方法构造 上下解序列并证明收敛于问题的唯一解，对一般边界条件，这样的讨论也同样 可以进行，本文讨论在不同的假设条件下证明一维到高维空间线性h e d h o l m 型非局部问题的存在唯一和极值定理，以及相应发展问题的比较定理，同样 利用上下解方法与拟线性化方法构造二阶收敛的上下解序列，并证明其收敛 于问题的唯一解 关键调非局部边界条件，发展方程，比较原理，上下解，非局部问题， 积分微分方程，f r e d h o l m 型积分算子，拟线性化方法 a b s t r a c t o n eo ft h i st h e s i sd e n o t e sm a i n l yt ot h ei n v e s t i g a t i o no ft h ee x i s t e n c ea n d u n i q u e n e s so fs o l u t i o n sf o rt h en o n l i n e a rr e a c t i o n d i f f u s i o ne q u a t i o n sw i t hn o n l o c a l b o u n d a r yc o n d i t i o n s ，t h e r eh a v eb r o a dp r a c t i c a lb a c k g r o u d sa b o u tt h ep r o b l e m s t np r e f a c ew eo n l yi n t r o d u c et h el i n e a rp a r a b o l i ce q u a t i o nw i t hn o n l o c a lb o u n d a r y p r o b l e ma r i s i n gf r o mt h e r m o e l a s t i c i t ya n dd e m o l o g i cr e a l - t i m es t a t ee q u a t i o nf r o m m a l t h u s i a n i s m o nt h el i n e a rp r o b l e m sf r o mo n ed i m e s i o nt oh i g h - d i m e s i o n s t h e r e h a v eh a d m a n y r e s u l t sa b o u tt h ee x i s t e n c eu n i q u e n e s sa n d c o m p a r i s o ma p p l y i n gu p p e ra n d l o w e rs u l o t i o n w i t hs o m em o n o t o n e p r o p e r t i e so ff ( t ，x ，乱) o nu ，t h e yp r o v e d t h ee x i s t e n c ea n du n i q u e n e s sb yc o n s t r u c t i n gu p p e ra n dl o w e rs u l o t i o ns e q u e n c e s i nc h a p t e rt w o ，w ee s t a b l i s ha g e n e r a l i z e dq u s i l i n e a r i z a t i o nm e t h o d f o rp r o b l e mu n - d e rt h ed i f f e r e n t i a lc o n s i d e r a t i o nf o rf ( x ，t ，札) ，w h o s ec h a r a c t e r i s t i cf e a t u r ec o n s i s t s i nt h ec o n s t r a e to fm o n o t o n e s e q u e n c e sc o n v e r g i n gt ot h eu n i q u es o l u t i o nw i t ht h e i n t e r v a lo fu p p e ra n dl o w e rs o l u t i o n s ，a n dw h o s ec o n v e r g e n c er a t ei sq u a d r a t i c i nc h a p t e rt h r e eo ft h et h e s i s t h eo t h e rp r o b l e mt h a tw ew i l lm a i n l y s t u d y i st h e i n t e g r o - d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s o fp r e d h o l m t y p ei na b s t r a c ts p a c e ，u n d e r t h ep e r i o d i c b o u n d a r ya n di n i t i a lv a l u e ，s e v e r a la u t h o r sh a v ee m p l o y e dt h em e t h o do fu p p e r a n di o w e rs o i u t i o n st os t u d yi n v o l v i n gi n t e g r o - d i f f e r e n t i a le q u a t i o n sr e c e n t l y b u t u n d e rt h eg e n e r i cb o u n d a r y , t h e r ea r e o n l yaf e w r e l a t i v es t u d i e s w h e ng i v i n gt h e d i f f e r e n t i a la s s u m p t i o nw es h a l ls h o wt h ee x i s t e n c ea n d u n i q u e n e s sa n dc o m p a r i s o n p r i n c i p l ef o rt h en o n l o c a lp r o b l e m so fl i n e a rf r e d h o l mt y p ef r o mo n e d i m e n s i o nt o h i g nd i m e n s i o n s a p p l y i n gt h eq u s i l i n e a r i z a t i o nm e t h o da n dm o n o t o n em e t h o d ， w es h a l lc o n s t r a c tan l o n o t o n es e q u e n c e sc o n v e r g i n gt ot h eu n i q u es o l u t i o nt ot h e i n t e r v a lo fu p p e ra n dl o w e rs o l u t i o n s ，a n dw h o s e c o n v e r g e n c er a t ei sq u a d r a t i c k e y w o r d sn o n l o e a lb o u n d a r yc o n d i t i o n ，e v o l u t i o ne q u a t i o n ，c o m p a r i s o np r i n c i p l e 、u p p e ra n dl o w e rs o l u t i o n s ，n o n l o c a lp r o b l e m ，i n t e g r o d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n ，f r e d h o l mi n t e g r a lo p e r a t o r ，q u a d r a t i cc o n v e r g e n c e 1 l 上海大学 y 6 7 8 0 5 5 本论文经答辩委员会全体委员审查，确认符合上海大 学硕士学位论文质量要求。 答辩委员会签名： 主任： 方荔枷 籁。瑕匈殇 女镟瑕匈殇 女镟 盥务译 砸靛 锄：乡扔 答辩日期：a y y 妒，石弓 原创性声明 本人声明：所呈交的论文是本人在导师指导下进行的研究工作。除 了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已发表或撰 写过的研究成果。参与同一工作的其他同志对本研究所做的任何贡献均 己在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 签名：日期 本论文使用授权说明 本人完全了解上海大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学 校有权保留论文及送交论文复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可 以公布论文的全部或部分内容。 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 签名：导师签名：日期： 第一章引言 偏微分方程的非局部问题来源于对力学、人口学、医学、以及燃烧理论等 的研究，它主要探讨未知函数对方程本身、对初始条件或者对边界条件的影 响，这就分别产生三类不同的非局部问题z 微分方程中含有积分项、非局部初 始问题、非局部边界问题，本文所要探讨的是第三种情况以及第一种情况下 的一些存在唯一条件与比较定理 1 1 偏微分方程的非局部边界问题简介与研究现状 1 1 1 问题的来源 所谓偏微分方程的非局部边值问题是指问题的边界条件由未知函数在整 个空间区域上的值呆确定如札+ a o 努= 忙，) “( 口，t ) d g ，它来源诸如热弹性 j n 理论、病理学、人口学等，w a d a y 4 ，5 】在研究热拟静态弹性，对如下问题： t 豢= c 瓦0 0 + 0 0 b 急，a 豢= b 塞 考虑这个在拟静态下热弹性杆的弯曲方程，其中口( z ，t ) 是温度，“( z ，t ) 是 位移，常数a 是弯曲硬度，我们假设毒杆端。= 一z 和z = zn 定且保持温度 即0 ( - f t ) = 日( f t ) = u ( 一f ，t ) = 赛( 一，t ) = u ( f ，) = 口o z u ( t ，) = o 方程可 。筹枷害，等姐 其中叩= 赤( 0 - 0 0 ) + b 筹是熵，m = a 器一b ( o 一日。) 是弯矩，这里可以看 到熵日是下面这个热传导方程 穗- ( c 椭鲁) 裳 ( 1 u ) 2 0 0 4 上海大学硕士学位论文2 的一个解，而弯矩可写为下面的形式 m ( 州) = ( 鲁) m ( 一，讣( 1 + 2 f x ，m ( f ) t ) 叩= 击( c + 如筹加岫) + i b m ”( 一f ，) = 署m ( 一f ，t ) ，叩( f ，t ) = b m ( 1 , t ) ， ( 茹，砷= 百a ( 可l - x ) 露( 一z ，) + 百a ( 可l + x ) 祀f ) ( 硒c a 丽0 = 叩+ 南m ( f 刊丽0 2 1 t = 知刊塞， ( 秀= 抄0 刊塞刊， z ( f 一州咖埘+ 瓦c b m ( 州) ) 如= 。， 小刊( 叼( z ，t ) + 硒c m ( z ，) ) d z = o ， j lu o u 社卜：参s 咖伽置 ( 1 地) 们一一筹( f + 3 咖删。， 卜“纠 2 0 0 4 上海大学硕士学位论文 3 这就得到关于熵的如上的边界问题，这个例子给出我们要研究下面这类带非 局部边界抛物型方程解的性态， i 鑫( n ( z ) 罄) = 6 扛) 等+ c ) ( z ) ， 一l 。 【( z ，o ) = 咖( z ) ，一f z o ， ，( z ) 芝 0 这一边界条件很容易转化成形如( 1 11 ) 非局部边界条件， 1 1 2 研究现状 w a d a y 同时证明了当 上：f ，( 圳出 z ，j 叭刮如 0 ) 递减的 1 1 中a f r i e d m a n 将问题从一维推广到高维的奇次方程情况 fu t 一耋苦( n 文z ) 鸶) + 妻魄( z ) 器+ c ( z ) u = o 心= 上u ( 州) 屯 iu ( x ，0 ) = “o ( 。) ， q ( 0 ，。) ， a q ( 0 ，+ o 。) ， ( 1 1 6 ) n 在f 七( 。，妒) f d y sp 1 假设条件下，利用极值原理和迭代方法证明解的存在 j n 唯一性及解的衰减性 而1 9 9 2 年k e n g d e n g 7 考虑如下问题： u 一a u = 9 ( x ，札) ，q ( 0 ，o 。) ， 札= k ( x ，v ) u ( 封，t ) d y ，a q ( 0 ，+ 。) ，( 1 1 7 ) n u ( z ，0 ) = 札o ( 。) ， q 胁篓黔“叠t 岫黔，瑚， 咖，抽，z ，= 喜岳( n ”c 州，考) + 妻，t ，差+ c c 州，“ 时问题的解的存在唯一性，以及在自( 。，y ) d y 0 ，满足i l u l l c 丽。，) p 则问题存在 唯一解札c 2 + 时+ “7 2 ( 豆j ) ；在假设条件k ( x ，y ) 0 ，( 。，y ) d y o ) ， e i g a l a k h o v ，a l s u b a c h e v s k i i 给出的边界条件为如下形式时 b ( z ) = 7 ( z ) 让( z ) + l 【u ( 。) 一 ( ) 肛( 茁，d y ) = 0 ， 给出了在一定条件与假设下，使用连续函数空间代替s o b o l e v 空间，利用证明 f e l l e r 半群存在，寒证明这类非局部椭圆问题的可解性 此外，非局部边界问题的方程组方面的推广也已经有了很多研究结果， 另外也有从奇摄动角度来考虑非局部问题的摄动性质，这些我们在此不作详 细介绍 1 1 3 f r e d h o l m 型非局部问题简介 b a n a c h 空间抽象微分积分方程 r t t z ”= ，( t ，( ) ，( ，5 ) 孔( 5 ) d s ) ，t ( 0 ，t ) j 0 对于初值条件“( o ) = 0 ，“7 ( o ) = 0 或者周期性条件“( o ) = 乱( 丁) 已经得到广泛的 2 0 0 4 上海大学硕士学位论文6 讨论，其解的存在唯一性也已经得到了很好的结论，对于一般边界问题 fp 一”= m ， ( z ) ，上七( 删) u ( ) 妇) ，z ( 。，6 )( 11 1 0 ) lu ( n ) = a ，”( b ) = b 对于这个问题在不同的假设条件基础上利用上下解方法证明解的存在唯一 性，也有了一些研究采用的方法都是通过考虑下面的线性情况下解的存在问 题，来证明非线性f r e d h o l m 型积分微分方程边界问题解的存在唯一问题，线 性f r e d h o l m 型积分微分方程的非局部问题： rr 6 一世”+ m 2 “= z 七( z ，掣) “( p ) d y ，z ( 。，6 ) ( 1 1 1 1 ) i 札( n ) = a ，“( 6 ) = b ； 这方面， 1 9 9 6 年e l i z 9 等人指出当忙| | o 。 c = c ( a ，b ，m ，n ) 时，其e e c=两=旦苎堕竺芝芽竺二型l骊，问题(1111nl(ba ) s i n h m ( b 2 s i n h a 2 ) ) 存在唯一解 。 f 一 o ) 1 一盼( 6 一】“二、“1 7 “5 ” u c 2 ( ，) ，并指出如果a 0 ，b 0 ，n 七0 ，1 | 圳。 c 则对上面线性问 题在，= k ，纠上“兰0 ；对于问题( 1 i 1 0 ) 以及，( z ，乱，抄) 关于v 满足一定单调 性条件，k ( x ，y ) 之0 问题存在单调的上下解序列，并一致收敛于上述非线性问 题( 1 1 1 0 ) 最大和最小解 本文将用到拟线性化方法的主要理论是由b e l l m a n 在2 0 以及b e l l m a n 和k a l a b a t 2 1 中在对非线性微分方程的解讨论时给出的，这种方法最重要的 是它对于非线性问题无论其函数是否是凸的，都能获得逐点下估计，而且这 个估计是相应线性闼题的解二次收敛于这非线性问题的解，我们知道上下 解方法是利用单调迭代方法构造单调解序列收敛于原来非线性问题的解， 结合这种拟线性化方法和上下解单调序列方法，能够构造出相应线性问题的 有界的单调的上下解序列且以二阶的速度收敛于被给的非线性问题的唯一 解。s c a r l ，vl a k s h m i k a n t h a m 在2 0 0 0 年f 2 2 1 与v l a k s h m i k a n t h a m ，a sv a t s a l a 在2 0 0 2 年3 1 1 分别将这种方法应用于半线性椭圆型边界问题，和非线性且非 局部r o b i n 型边界条件的反应扩散方程问题。 1 2 本文主要工作 2 0 0 4 上海大学硕士学位论文 7 第二章我们将对抛物型问题进行讨论，在目前的研究结果基础上，同样 在k ( x ，y ) 芝0 情况下，本文利用比较原理以及拟线性化理论，并对非线性必要 假设，我们重新建立一种上下解构造方法，得到上下解序列收敛速度是二阶 的，且解是经典解即札c 2 , 1 ( d r ) n c ( d t ) 我们利用上下解方法与拟线性化理论对f r e d h o l m 型积分微分方程的非局 部问题进行探讨， ，一 l u ”+ m 2 札= ，( z ，u ( z ) ，七( z ，g ) u ( 掣) d y ) ，z ( n ，b ) 气 j 。 i ( o ) = a ，u ( 6 ) = b ； 证明问题在对非线性项进行必要的假设，并且存在上下解条件下，得到解的存 在唯一性，本文第三章旨在讨论这些问题解的存在唯一条件 2 0 0 4 上海大学硕士学位论文 8 第二章非局部边界条件下的抛物型问题 本章我们主要就如下非局部边界条件的非线性抛物型问题： iu z 一4 u = f ( x ，t ，“) ，( z ，t ) d r 8 5 上七( 训) u ( ，t ) d y ，( 州) r ? ( 2 舭) 【乱( z ，0 ) = u o ( z ) ， z q 及线性问题： j u t a u 十c ( z ，功”= 夕( z ，”，( z ，t ) 聊 8 归上“们呱弘由， 扛，亡) h( 2 删 【u ( z ，0 ) = ( z ) ，x q n 这里a u = 击( 啦，j ( z ，) 等) 炎椭圆算子，a 0 ( x ，t ) 伊川2 ( z 再) ，n d 蠡白 m 蚓。，其中m 为正的常数，b u = 让b n 是迹算子，踢= n x ( 0 ，丁】，r 丁= 鳓 0 ，t ，禺= a q ( 0 ，t 】，q 为舻中的有界区域，a q 充分光滑，u o ( z ) c 2 ( 孬) ， 非线性项，( 。，t ，在( 。，t ，u ) qxf 0 ，+ c o ) ( 一。o ，o 。) 是莲续趵在第一节我 们证明在一定条件下，非局部边界问题解的存在唯一性、比较原理，并构造一 种上下解方法，对于二阶收敛性定理及证明我们将在本章第二节给出，第三节 我们将就一般边界问题给出同样的定理与证明。 2 1 解的存在唯一条件以及比较原理 在下面的讨论中我们总假设条件h l 成立： h l ：k ( x ，y ) 在0 f l 丽是连续可导的，满足，| ( z ，) i 咖p 0 现在我们给出比较原理和解的存在结果， 引理2 1 假设打1 满足且“o c 2 + “( 丽) 满足相容性条件即 ， u o ( z ) l a n = 七( 。，y ) u o ( y ) d y ， 2 0 0 4 上海大学硕士学位论文 9 则对所有，( z ，t ) g 2 ( d r ) 问题 i “t 一且让= ，( z ，t ) ， ( z ，t ) d t b 一上川让( ) 妣( 州) n 【札( z ，0 ) = u o ( x ) ，z q 存在唯一解钍属于c 2 + 1 + p 2 ( 西) 对所有0 t 0 使得对于型v u 面，有 ，( z ，t ，札) 一，( z ，t ，u ) g ( “一 ) 引理2 2 假设h 1 成立c 0 是连续有界的，且山属于g ( 西) n c 2 , 1 ( d t ) 满足 叫t 一加+ 删 0 舀上川岫，t ) d y , w ( 删 o 】 则w 0 在d r 证明取e = s u pc ( z ，t ) ，并取u = e x p 一 u ，其中7 i ，则问题等价于 a 【o ，t 】 地一4 u + ( 1 一c ) 0 如果结论不成立，则至少存在一点( z 1 ，t 1 ) ，t 1 0 ，z 1 豆使得v ( x ，t ) 在( x l ，t 1 ) 取 得其负最小值，如果( x l ，t 1 ) d 丁，则有让( z 1 t 1 ) s0 ，；( z 1 t 1 ) = 0 ，i = 1 2 ，n 以及塞去( ( 尝( ) o ，因此 l ，j = 1 。 仇( z 1 ，t 1 ) 一a v ( x 1 ，t 1 ) + ( ，y c ) 口( 。1 ，t 1 ) 0 ，又由于v ( x l ，0 ) 0 ，因而只有l ，t 1 ) 则有 0 v ( x l ，t 1 ) = k ( z l ，) 口( ，t 1 ) d y k ( x l ，y ) d y v ( x l ，t 1 ) 0 ， j n，n 这也不可能，因此在整个珥上都有u 0 ，也就有札0 ，定理得证 _ 定理2 1 假设f 关于是c 1 的，设丝和面如上( 2 1 1 ) 与( 2 1 2 ) 所定义的问 题( 2 0 1 ) 的上解和下解，则面型 证明记w = 西一些，则有 训t a w f ( x ，f ，面) 一f ( x ，t ，型) = ( z ，t ，? 7 ) ， 这里z 7 在豇与笪之间， t 3 w l 2 ( z ，9 ) 晦一翻( ，t ) d = 七( z ，可) t u ( ，f ) d ， “，n w ( x ，0 ) 0 ， 利用引理2 2 有训0 ，因此在总个西都有型( z ，t ) 0 ，这问题( 2 0 1 ) 存 在唯一解 2 0 0 4 上海大学硕士学位论文 1 3 证明解的唯一性已经被定理2 1 给出，这里我们只给出存在性的证明， 很显然，我们只要找到一组上下解即可，根据假设h 2 ，h 3 以及u f ( x ，t ，u ) 0 ， 取两常数a 0 0 使得 r ( z ，t ，面) + g 。( z ，t ，堕) 一m 0 应用在f 2 0 ，2 1 1 的拟线性化理论，我们有： 定理2 4 假设面，型是问题( 2 0 。1 ) 的一组上下解。假设条件肌，删和h 5 成立， 则存在单调序列 - n ) ，t c 2 + “1 + u ( d t ) 使得矾，型。都收敛于问题( 2 0 1 ) 的 唯一解且满足面u 堕 而且收敛速度是二阶的 证明定理的证明分为四步：首先构造上下解序列，其次证明序列的单 调收敛性，第三步我们证明序列收敛极限是问题的解，最后证明收敛速度是二 阶的 第一步，我们根据下面线性方程构造迭代序列 砜) ， ) 并且笪d = 堕和 一u 0 = 面，其中堕，面的定义如( 2 2 1 ) ( 2 2 2 ) i ! 妇e 一一4 型。= f ( x ，t ，型。一1 ) + g ( z ，t ，盟。一1 ) i + r ( z ，t ，型。一1 ) + g 。( z ，t ，珥；一1 ) 】( 型。一型。一1 ) 、 i8 = ( z ，可) ( 可，t ) d y 、7 c厂( 2 2 1 ) i j n 【( z ，0 ) = 蛳( 。) 2 0 0 4 上海大学硕士学位论文 1 4 i碥t 一4 觋= f ( x ，t ，砜一1 ) + g ( z ，t ，u n 1 ) 未筝淼圳吨_ 1 皿。z ， 1 鼯加川蝴胁 心2 引 i豇。( 。，0 ) = 面o ( z ) 在这我们需要讨论这两个方程序列的解的存在与唯一性，对于方程 fu 。t 一4 “。一【r ( z ，t ，叩) + g 。( z ，t ，叩) 】“。 l= f ( z ，t ，目) + g 江，t ，卵) 一 咒扛，t ，q ) + g 。( z ，t ，q ) 】1 i 1 3 u 。= 矗( z ，) “。( 可，) 却 【 t t n ( z ，0 ) = u o ( x ) 需要证明对任何叩e 2 + p 1 + p 2 ( d r ) ，这里记 q ( x ，t ) = f ( x ，t ，q ) ) + c ( x ，t ，r ) 一 f i ( z ，t ，卵) + g 。( z ，t ，”) ) j ”， 由上下解定义知堕，面e 2 1 ( d 于) n c ( 研) 叩= 盟或者面时，则叩昨1 ( d t ) ，又 由嵌入定理， l c 小( 百，) c 川训嚼，( - 5 ，) ， c 7 为一常数，团而叩c 1 + 一2 ( 协) ，由f j g ，r ，瓯的假设条件，因此有 l f ( x ，t ，r l ( x ，t ) ) 一f ( y ，下，卵( ，r ) ) jsg o i x 一可l “+ l t r i “2 + i q ( z ，t ) 一7 7 ，t ) i “】 l o ( i x 一可1 “+ l t r f 1 2 ) 因此f ( 。，t ，r ( x ，) ) e “2 ( 面t ) ， i r ( z ，t ，q ( z ，f ) ) q ( z ，t ) 一r ( 可，r ，叶( g ，丁) ) q ( 可，7 _ ) l sl f j ( 。t ，q ( z ) ) q ( z ，t ) 一f j ( z ，t ，卵( z ，t ) ) 1 ( 可，r ) i + l ，：( z ，t ，叩( z ，t ) ) 一f j ( 可，r ，”( 9 ，r ) ) | i 叩( 可，下) 1 sl f j5 ，t ，? 7 ( z ) ) | | q ( z ，t ) 一q ( 9 r ) l + l 叩( 可，丁) l l ，j 。x ，t ，( ( z ，t ) ) | | 叩( 。，t ) 一q ( g 7 ) j s 甄l i 叩m | z 一i “+ l t r l 1 2 l4 - k , k 2 i x 一掣i “4 - l t t i “2 凡( z ，t ，) l k o ，i7 7 ( ，r ) | k 1 ，r 。( z ，t ，u ) 1 k 2 2 0 0 4 上海大学硕士学位论文 1 5 因而i f 。( z ，t ，q ( z ，t ) ) 叩( z ，t ) 一r ( g ，r ，叼( ，7 - ) ) q b ，7 ) l 兰r ( i x 一掣l “+ i t r l “2 ) ，这 里l = k o + 硒尬，同样可以得到对c ( x ，t ，u ) 的估计， i q ( z ，z ) 一q ( y ，r ) i l f ( x ，t ，町( z ，t ) ) 一f ( g ，7 ，”( 可7 _ ) ) l + l c ( x ，t ，叩( z ，t ) ) 一g ( 可，r ，叩( 可，1 ) ) j + l j ：( z ，f ，叩( z ，t ) ) q ( z ，t ) 一f j ( ，7 - ，叩( 掣，r ) q ( 可，r ) ) | ( 2 2 3 ) + i t 。( z ，t ，q ( z ，t ) ) 町( z ，t ) 一g 。( 可，7 _ ，叩( 可，r ) q ( 可，r ) ) l 茎g ( 1 z 一可l “+ l t r i “2 ) 这里c = l o + l 1 + m o + ，尬是相应c ( z ，t ，“) 的常数，因而q ( 。，t ) c 2 ( - 西t ) ，根据引理2 1 知存在唯一解盟1 ，面1 c 2 + “1 + “7 2 ( d t ) 满足扎= 1 时的 迭代方程( 2 2 1 ) ，( 2 2 1 ) ，依次类推我们知道线性问题( 2 2 ，1 ) ，( 2 2 2 ) 分别有唯 一解型。和面。在c 2 + + p 2 ( 面了1 ) 中，即 ) ， 砜) c 2 + p 1 + “7 2 ( 面丁) 第二步，证解序列的收敛性，由假设凡。o , g 。s0 有 咒( z ，。，口) ( “一”) ( 2 2 4 ) g 。扛，t ，u ) ( u 一 ) 对任何“u ，先证明型l u _ o ，设w = 型l u _ o ，根据假设h 5 和堑竹的定义，则 训t a 训f r ( 。，t ，u _ o ) + g 。( z ，t ，_ 0 ) 】( 型1 一u _ o ) 召”j k ( x ，可) ( 丛，一) ，t ) 咖 w ( x ，0 ) = 0 由引理2 2 有蛳些1 。相似的推导有_ o 面1 下面证明型1s _ 0 ，同样设 = 瓦。一些1 ，根据( 2 2 1 ) 和假设h 5 则 一a w f ( x ，t ，_ 0 ) + c ( x ，t ，粕) 一f ( 。，t ，型o ) 一g ( z ，t ，些o ) 一 r ( z ，t ，型o ) + g 。( 。，t ，豇o ) ( 型1 一! 幻) r ( z ，t ，蛳) + g 。( z ，t ，砺) ( _ o 一型。) 一 r ( z ，t ，蛳) + g 。( 。，t ，豇o ) ( 型1 一型o ) r ( z ，t ，! 幻) + g 。( z ，t ，_ 0 ) ( _ o 型1 ) b w l 自( z ，可) ( 笪1 一面o ) ( ，) d ，叫( z ，0 ) = 0 ， 、j、， u ” t t z z ，【，l f g 一 一 、j、j 札 让 z z ，【，l f g 2 0 0 4 上海大学硕士学位论文1 6 由引理2 2 ，因而有笪1 面o ， 下面证明堕2 塑1 ，同样根据( 2 2 1 ) 和假设h 5 及引理2 2 ， ( 堑2 笪1 ) t a ( 笪2 一笪1 ) = f ( z ，堑1 ) + g ( z ，t ，坠1 ) 一f ( z ，笪o ) g ( 。，t ，堑o ) + 凡 ，t ，丛1 ) + g 。( z ，t ，西1 ) ( ! 幻型1 ) 一【r ( z ，蛳) + g 。( z ， ，- 0 ) ( 笪l 蛳) r ( z ，型o ) + g 。( z ，t ，西1 ) ( 型l 一堕o ) + r ( z ，t ，些1 ) + 6 乞，矾) ( 堑2 一堑1 ) 一 r ( z ，t ，蛳) + g 。( z ，t ，_ 0 ) 】( 型1 一型0 ) 三【r ( z t ，型1 ) 十g 。( z ，t ，面1 ) ( 堑2 一笪1 ) 广 日( 笪2 一型1 ) 七( z ，掣) ( 型2 一型1 ) ( g ，t ) d y ，( 型。一堕1 ) ( z ，0 ) = 0 ， j n 因而靴2 型1 同样推导可得_ 2 砀，鳊_ 1 1 玩s 砜一i 对于磁s 塑1 ， ( 豇1 型1 ) 一a ( 面1 一盟1 ) = f ( z ，t ，面o ) + g ( z ，t ，u o ) 一，( z ，笪o ) 一g ( z ，型o ) + f r ( z ，t ，勘) + g 。( z ，t ，嘞) 】( _ 】一砀) 一 凡( z ，t ，笪o ) + g 。( z ，砺) 】( 墅1 型o ) 咒( 。，t ，蛳) + g 。( z ，t ，_ o ) 】( 瓦0 蛳) + r ( z ，t ，u _ o ) + g 。( 。，t ，_ 0 ) 】( 豇1 _ 0 ) 一 r ( z ，t ，蛳) + g 。( 。，t ，面0 ) 】( 型1 一) 2 i r 扛，t ，且o ) + g 。( z ，t ，) 】( 豇l 一型1 ) ， 8 ( - 1 一堑1 ) l 是( 2 ，掣) ( 西1 一竺1 ) ( 爹，) 咖，( 砭1 一型1 ) ( z ，0 ) = 0 ， j n 这表示面1 型1 ，用同样方珐，我们可得- n 鲰，根据上面的推导有： 型s 型ls 型2 - 型。u n - - s - 2 西1 曼面( 2 2 5 ) 园此 ) 年口 ) 是点点收敛的，当佗一。o 而且在面r 上班冬- s 第三步，证明弛，砜c 2 + “1 + p 2 ( d t ) 是问题( 2 0 1 ) 的最小解和最大解 我们上面已经证明了对所有n = 1 ，2 ，3 ，型。，碥c 2 + “十p 2 ( 西丁) ，下面u 。 2 0 0 4 上海大学硕士学位论文1 7 其中c o 与n 无关常数，因此 札。) 在西了_ 上一致有界且等度连续，由a r z e l a - a s c o l i 定理必存在子列u n l ( z ，t ) 在g 2 , 1 ( 珥) 是一致收敛的，设u + c 1 + m 2 ( z 马) 是 “。( x ，t ) ) 的极限，而另一方面“。( z ，t ) 在珥上是点点收敛于“，且存在 | | 札。| | c ，”( 西) c o ，序列本身在伊+ ”( i x ) 一致收敛于札c 1 + p ，“( 石t ) ， 对乳( z ，t ) = f ( x ，t ，u n - 1 ) ) + g ( z ，t ，乱。一1 ) 一【r ( z ，t ，u n - 1 ) + g 。( z ，t ，u n 一1 ) ) t k 一1 ， x ，t ) = 七( z ，) 札。( 9 ，t ) d y 由f 1 g ，r ，g 。的连续性假设，以及前面对q ( z ，t ) 的定义与推导知( z ，t ) 在c 1 + “，p 2 ( 珥) 是一致有界的，即有 l i q n i l c - + ，。一。( 万，) s c 1 ， 其中c 1 与r l 无关常数对于( z ，t ) 有 i l x ，t ) l t c 一一妒( 珥) = i i ( 2 ，9 ) u 。( y , t ) d y l l g l i u 。( g ，圳c t m 这里因为k ( x ，y ) 是满足假设h 1 的，而i l u n i i c t 一“坤( 西