（信号与信息处理专业论文）用于图像压缩的方向提升小波变换研究.pdf

；i i i i iii1 1 1 1i i iiiii i i i iii y 19 0 8 9 7 3 un i v e r s i t yo fs c i e n c e a n dt e c hn o l o g yo fc h in a adi s s e r t a t i o nf o rm a s t e r sd e gr e e r e s e a r c ho nd ir e c t i o n a i l i f t in g - b a s e dw a v e l e tt r a n s f o r m f orim a g ecom p r e s sion a u t h o r sn a m e ： n ai , i n s p e c i a l i t y ： i k s u p c i s o r ： 。1 11 1 1 一i n i s n e du m c ： si g n a la n di n f o r m a t i o np r o c e s s i n g a s s o c i a t ep r o f i 。i nn i m a y1 m ，2 0 11 中国科学技术大学学位论文原创性声明 本人声明所里交的学位论文，是本人在导师指导下进行研究工作所墩得的 成果。除已特5 ) | j d t 以标注和致谢的地方外，论文中不包含任何他人已经发表或 j j l ：i ；过的研究成果。与我一同工作的同志对本研究所做的贡献均己在论文r i ： f 4 - 1 r i 刃确的说明。 作者签名：蛔 签- 7 - nj t y j ：垫! ! ! 鱼l 中国科学技术大学学位论文授权使用声明 作为l 卢请学位的条件之一，学位论文著作权拥有者授权c f | 国科学技术人学 钏仃学位论文的部分使用权，即：学校有权按有关规定向国家有关部门或机构 送交论文的复印件和电子版，允许论文被查n , t r j 借阅，可以将学位论文编入i p i q 学位论文全文数据库等有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫摧i 等复制手段保存、汇编! 学位论文。本人提交的电子文档f 内内容和纸质论文的内 容槲一致。 保南的学位论文在解密后也遵守此规定。 ， “公了：口保密( 年) 作行签名： 签字f 1 期： j 单 型l ：查：2 导师签名： 签字同期： 缱纽 k 也鱼： 摘要 摘要 随苻：丘联网技术的发展，特别是w e b 2 0 网络的广泛应用，使得网上的每个 人都成为可能的信息源，从而导致互联网中信息内容呈爆炸式增长，凶此，为 j 便丁传输、存储和管理，丌展数据压缩技术研究依然具有重要意义。 小波变换是一种多分辨率分析信号的方法，它作为图像压缩的有效手段， 多印米已经得到广泛实践雨1 应用。但是经典二维小波变换只能处理水平和竖直 办阻j 二的信息，不能有效反映图像中其它方向上的纹理信息或者边缘信息。因 此，学术界提出了方向提升小波变换的方法来处理图像中其它方向上的信息。 现有的方向提升小波变换方法，虽然通过基于空问上的方向性预测捉升算 法米实现小波的方向性，但是为了得到更好的预测和更新的精度，需要对图像 进i j ： ! i t 像素点插值，周时，还需要判断最优预测和更新的方向。从而，导致运 钟：m i - t 比传统提升小波变换大，在一定程度上影响编码方案的效率。本文针对上 述0 j j 题_ 了r 展研究，论文主要研究成果和贡献如下： 1 系统分析和研究了现有方向提升小波变换的特点，探讨了该方法在图像 瓜绗f 巾的性能表现。 2 捉出了一种基于狄度共生矩阵图像分块的方向提升小波变换方法。该方 钯：通过将图像划分为平坦和非平坦部分，对前者采用传统二维提升小波变换， 埘后者采用方向提升小波变换，从而减少算法复杂度。实验结果表明，该方法 j 1 ：簟统方向提升小波变换相比，在保证图像压缩性能前提下，计算时f 【l j 大大减 少。 3 提出了科- 基于方向滤波器图像分块的方向提升小波变换方法。该方法 通过对陶像进行方向偏向性分块，对每个分块自适应地选择提升小波变换的同 时，进步减少方向提- y k d , 波变换中冗余待选方向的选择。实验结果表明，该 办法与牡于狄度共生矩阵分块方法相比，计算复杂度得到有效降低。 火键市d ：小波变换，方向提升小波变换，狄度共生矩阵，方向滤波器，图像压 缩 一 ab s q r a c t a b s t r a c t w i t ht h ed e v e l o p m e n to fi n t e m e tt e c h n o l o g y ，e s p e c i a l l yt h ee x t e n s i v eu s eo f w e b 2 0n e t w o r k s ，m a k i n ge v e r y o n eo nt h ei n t e m e tm a yb e c o m es o u e c c so f i n l b r m a t i o n ，r e s u l t i n gi nt h ei n f o r m a t i o nc o n t e n to ft h ei n t e r n e te x p l o d i n g i no r d e r t of a c i l i t a t et h e t r a n s m i s s i o n ，s t o r a g e a n d m a n a g e m e n t ，r e s e a r c h i nd a t a c o m p r e s s i o nt e c h n o l o g yi ss t i l li m p o r t a n t w a v e l e tt r a n s f o r mi sam u l t i r e s o l u t i o nm e t h o do fs i g n a la n a l y s i s i t sa n e f f e c t i v em e t h o df o ri m a g ec o m p r e s s ，h a sb e e nw i d e l yp r a c t i c e da n da p p l i e d t h e c o n v e n t i o n a lt w o d i m e n s i o n a lw a v e l e tt r a n s f o r mc a nn o tu t i l i z ei m a g et e x t u r eo r b o u n d a r yi n f o r m a t i o ne f f e c t i v e l yb u to n l ym a n a g et h ei n f o r m a t i o ni nt h eh o r i z o n t a l a n dv e r t i c a ld i r e c t i o n t h e r e f o r e ，t h ed i r e c t i o n a ll i f t i n gw a v e l e tt r a n s f o r mm e t h o di s p r o p o s e dt od e a lw i t ht h ei m a g ei n f o r m a t i o no no t h e rd i r e c t i o n ，a n di t ss t i l lh a v i n g w o n d e r f u lr e c o n s t r u c t i o n l h ed i r e c t i o n a ll i f t i n gw a v e l e tt r a n s f o r mu s i n gt h ed i r e c t i o no fs p a c e b a s e d p r e d i c t i o na l g o r i t h mt oi m p r o v et h er e s u l t so ft r a d i t i o n a lw a v e l e tt r a n s f o r m i no r d e r t oo b t a i nt h e b e s tp r e d i c t i n ga n du p d a t i n gr e s u l t s ，t h ep r e d i c t i o ni na l lc a n d i d a t e d i r e c t i o n sf o ra l li m a g e si sn e e d e dt od e c i d ew h i c hd i r e c t i o ni sb e s tf o ru s e t h e l a r g ec o m p u t a t i o no fo n et r a n s l b r m a t i o na f f e c t st h ee f f i c i e n c yo fc o d i n gs c h e m e s a i m i n g a tt h e s ep r o b l e m s ，t h i sd i s s e r t a t i o nm a d er e s e a r c h e so ns o m e i m p r o v i n gm e t h o d s t h em a i nr e s e a r c hc o n t e n t sa n di n n o v a t i o np o i n t sa r cl i s t e da s l b l l o w s ： 1 a n a l y z e d t h ec h a r a c t e r i s t i c so fd i r e c t i o n a l l i f t i n g w a v e l e tt r a n s l b r m ， d i s c u s s e dt h ep e r f o r m a n c eo ft h i sm e t h o di ni m a g ec o m p r e s s i o n 2 p r o p o s e dad i r e c t i o n a ll i f t i n g w a v e l e tt r a n s f o r mv i ag i 。c m b a s e di m a g e s e g m e n t i n gm e t h o d u s i n gt h i sm e t h o d ，t h ei m a g ew i l lb ed i v i d e di n t of l a ta n dn o n f i a tb l o c k f o re a c hb l o c k ，t h el i f t i n gs c h e m ei sa d a p t i v e l ys e l e c t e dt or e d u c et h e c o m p u t a t i o no fd i r e c t i o n a ll i f t i n gw a v e l e t e x p e r i m e n tr e s u l t ss h o wt h a tc o m p a r e t h i sm e t h o dw i t ht r a d i t i o n a ld i r e c t i o n a l l i f t i n g w a v e l e tt r a n s f o r mm e t h o d ，t h e c o m p u t a t i o n t i m e g r e a t l yr e d u c e d ，m e a n w h i l e ，t h ep e r f o r m a n c eo f i m a g e c o m p r e s s i o nh a v el i t t l ed i f f e r e n t 3 p r o p o s e dad i r e c t i o n a ll i f t i n g w a v e l e tt r a n s f o r mv i ad f b b a s e di m a g e s e g m e n t i n gm e t h o d l h e d i ? b b a s e di m a g es e g m e n t i n gm e t h o dc a nj u d g et h e i i i 人b s t r 人c t 一一 d i r e c t i o n a lo fe a c hb l o c k f o re a c hb l o c k ，t h el i f t i n gs c h e m ei s a d a p t i v e l ys e l e c t e dt o r e d u c ct h ec o m p u t a t i o no fd i r e c t i o n a ll i f t i n gw a v e l e t e x p e r i m e n t sr e s u l t ss h o w t h a t t h i sm e t h o dc o m p a r ew i t ht h ed i r e c t i o n a ll i f t i n gw a v e l e tt r a n s f o r mv i ag l c m b a s c d i m a g cs e g m e n t i n gm e t h o d ，t h ec o m p u t a t i o n a lc o m p l e x i t yi se f f e c t i v e l yr e d u c e d k e y w o r d ：w a v e l e tt r a n s f o r m ，d i r e c t i o n a ll i f t i n gw a v e l e tt r a n s f o r m ，g i 。c m ，i ) f i j ， i m a g ec o m p r e s s m n _ 一 目录 目录 摘要1 人b s r r a c t i i i 第1 章绪论- 1 1 1 研究背景与意义1 1 2 i l i 内乡 l q i j f 究现状3 1 3 研究方法及创新之处4 1 4 本文结构安排5 第2 章基础理论知识7 2 1小波分析基础7 2 1 1 连续小波变换7 2 1 2 离散小波变换8 2 1 3 多分辨率分析9 2 1 4 离敞快速正交小波变换m a l l a t 算法10 2 2 小波提升技术1 2 2 2 i 提升技术的基本原理1 2 2 2 2 整数提升小波变换1 4 2 3方向提升小波变换技术15 2 3 1 d a d w l 技术：15 2 3 2a d l 技术17 2 4 方向滤波器算法2 l 2 4 1 方向滤波器组2 l 2 4 2m c c l e l l a n 变挝变换方法2 4 2 4 3 卜采样和上采样的频谱分析2 5 2 5本章小结2 6 第3 章基于共生矩阵分块的方向提升小波变换2 7 v 目录 3 1 边缘检测方法2 7 3 1 1 边缘检测常j | = | 算子2 8 3 1 2m a r r 边缘检测算子3 0 3 2 基于狄皮共生矩阵的分块方法。3l 3 3 分块实验结果及分析3 3 3 4 基于共生矩阵分块的方向提升小波变换3 4 3 5 用于图像压缩的实验结果及分析3 5 3 5 1 小波系数编码3 5 3 5 2 图像压缩的实验结果分析3 7 3 6 本章小结4 0 第4 章基于方向滤波器分块的方向提升小波变换4l 4 1 纹理图像的频谱分析4 1 4 2 基于方向滤波器的分块方法4 3 4 3 分块实验结果及分析4 5 4 4 基于方向滤波器分块的方向提升小波变换4 6 4 5 用于图像压缩的实验结果及分析4 7 4 6 本章小结4 9 第5 章总结与展望51 5 1 j 工作总结51 5 2 工作展望5 2 参考文献5 3 研究生期间发表的论文情况5 7 致谢- 5 9 v l 第1 章绪论 1 1 研究背景与意义 第1 章绪论 随着互联网技术的发展，特别是w e b 2 0 网络的广泛应用，使得人们的身份 从单纯的互联网信息内容获取者转变成为信息内容制造者和获取者。大量用户 之n l j 的交互操作导致了互联网中信息内容特别是图像信息内容呈爆炸式增长， 这给互联网中数据管理带来了很大的压力，数据压缩技术依然非常重要。 而且现在图像获取设备的分辨率逐年提高( 特别是数码照相机和计算机的 普及) ，导致所获取到的图像数据量急剧增长，因此对图像进行压缩不仅仅是重 要的，而且也是非常有必要的。比如一幅1 0 2 4 像素x1 0 2 4 像素大小的2 4 位的 数字陶像，它所需比特数为1 0 2 4 x1 0 2 4 x 2 4 = 2 4 m b ，在计算机中它需要占据约 3 m b 的存储空间。假如要传输该类型的图像信息，需要采用相对较高的传输速 率。所以，含有大量数据的图像对计算机的存储容量、通信线路的带宽的大小 和计算机对数据处理速度造成很大的压力。 图像是多维的信号序列，通常含有复杂的内容，信息量比较大。为了有效 的存储和传输图像数据，需要对其压缩编码来减少图像信息中存在的冗余数据。 为了保证图像质量不改变的前提下有效的对图像进行压缩编码，就需要尽可能 减少图像所含的数据中的冗余信息部分。图像冗余一般分为这几类【l 】：统计冗 余、结构冗余、知识冗余、视觉冗余。正是因为图像中存在着大量的冗余部分， 使得我们能够对图像进行有效的压缩以减少存储数据所需的空间。 图像编码技术经过6 0 多年来的发展，已经有了很大的发展，被广泛应用于 各个领域。迄今为止，图像编码技术的发展大致可以分为三个阶段。 ( 1 ) 早期阶段，2 0 世纪5 0 年代到7 0 年代 在2 0 世纪4 0 年代，基于香农的信息率失真函数概念和码率失真理论，图 像压缩理论有了很大的发展。熵编码方法的图像压缩理论首先被提出来，它是 种对信息进行概率匹配的编码方式，从而削弱图像中的统计冗余，又被称为 统计编码。熵编码既可以单独使用，也可以用在某个算法之后，作进一步压缩。 哈夫曼编码和算术编码方法是常用的熵编码方法。 随着人们对图像本身特性的研究，发现人眼不会察觉图像数据在数值上发 生细微变化，因此图像压缩研究人员开始了对各种有限失真编码方案的研究， 即有损压缩，虽然其不能够精确地重建原始图像，和原图像存在一定程度上有 误差但是不影响图像在主观视觉上的效果。 1 第1 章绪论 ( 2 ) 中期阶段，2 0 世纪7 0 年代到八十年代 1 9 8 5 年，k u n t 等人提出“第二代图像编码技术 的概念。它是一利i 厶鲁充分 利用图像信源的各种特征和人的视觉生理心理，获得高压缩比的编码技术。越 于图像纹理轮廓的编码、基于方向性滤波的编码和区域分割与合并的图像编码 技术都是在这一阶段产生的。 在这一阶段，通过数几十年来的编码研究，人们渐渐认识到只采用一种的 编码方法很难消除图像中数据问的多种相关性，他们发现将多种编码方法有机 的结合在一起就能够对图像数据有更加好的压缩结果。混合编码技术就是根掘 不同的应用背景，适当的选择一些熵编码和变换编码方法，组成一种新型的混 合编码方法。混合编码中，最具有代表性的就是j p e g 标准【2 1 ，它就结合了d c t 变换，哈夫曼编码以及算术编码等编码方法。 ( 3 ) 当前阶段，2 0 世纪8 0 年代至今 该阶段是现代图像编码技术阶段，在近二十年来主要着重于小波编码、模 型编码和分形编码这三大块方法的研究以及完善。 分形编码是一种以迭代函数系统i f s 理论为基础的数据压缩方法，为图像 的编码方法提供了一个新的思路。分形编码在最大可能性上结合了图像在空盯i j 上的自相关性，通过去除图像里的几何冗余来对数据进行压缩。虽然分形编码 过程非常复杂，但是它的解码过程却相对简单。分形编码的失真程度与图像的 压缩程度有着密切的关系。 基于模型编码的方法是最近几年来新发展起来的一种编码形式，通过在编 码与解码两端各自建立相同的模型，在编码过程中通过先验模型来获取图像r 1 1 的模型参数进行编码，解码过程中则利用所接收到的模型参数来重建得到图像。 小波变换编码发展最为迅速并且在不同领域的应用中取得突出的进展。小 波变换的本质是一种多分辨分析信号的方法，它在时域和频域上都具有较高的 分辨率。对高频分量采用小时窗，可以有效聚焦到分析对象中的任意细节部分； 对低频分量采用大时窗，可以有效的分析图像中主要信息部分。基于这种特点 小波变换非常适合用于图像的处理，因此它也是当前图像压缩领域的一个热门 的研究方向。 图像经过小波变换处理后得到分解图像数据量与原图像相当，因而小波变 换本身并不具有压缩数据的功能，对小波系数进行编码是小波压缩编码的核心。 小波变换编码能有效地去除数据中的统计冗余。同时，它的多分辨率特性有效 的将编码方法和人眼视觉特性结合在一起，有效消除了图像数据中的视觉冗余， 在不影响人眼视觉效果的前提下，大大提高了图像数据的压缩效率。在较大压 缩比下，小波图像压缩编码后的重构图像质量明显好于离散余弦变换算法，不 2 第1 章绪论 会在低码率的情况下出现块效应的现象。新一代静止图像压缩标准j p e g 2 0 0 0 t 3 j 就是采用小波编码技术为核心算法的，对小波系数编码采用基于码流可优化截 断的嵌入式块编码( e b c o t ) 【4 】。在当今的互联网信息量爆炸式增长的时代具有 i l ) l 火的研究价值和应用空间。嵌入式零树小波算法( e z w ) 口1 和多级树集合分裂 算法( s p i h t ) 婶3 也是两种对小波系数进行压缩编码的有效手段。 经过多年研究，小波图像压缩方法取得了很大的成功，在图像压缩领域里 有着很大的应用潜力，但是它仍然有很多不足：在低比特率的边缘模糊问题， 小波系数分布的结构冗余问题等。这些问题对基于小波变换的图像压缩编码效 果有着重要的影响，限制了它在实际生活中的应用。 1 2 国内外研究现状 在上一节中，我们简单介绍了图像编码技术的发展，其中小波编码技术发 展最为迅速并且在不同领域的应用中取得突出的进展。小波变换发展于上世纪 八十年代，它提供了一种比d c t 方法更加有效的图像处理手段。小波变换的本 质是一种多分辨分析信号的方法，它在时域和频域上都具有较高的分辨率，被 认为是处理高压缩比图像编码的最佳选择之一。 1 9 9 5 年，s w e l d e n s t 卜8 】提出了一种不受到傅立叶变换限制的新型小波构造方 法提升变换( 1 i f t i n gs c h e m e ) ，这种构造方法不仅能得到一种新的小波变换， 而且进一步减少了小波变换方法的复杂度。实验证明，传统小波的构造方法均 可因式分解转化为预测与更新的提升模式来实现，而且能够直接在空问域中 完成小波构造，不需要进行傅里叶变换，因此提升小波变换又被称为第二代小 波变换。 但是传统二维小波变换只是通过在图像的水平方向和竖直方向依次做一维 小波变换的处理得到的，它在处理高频信号存在不足，不能有效地稀疏高频信 号。同时自然图像中含有丰富的纹理信息，传统小波变换只能处理水平和垂直 方向上的信息，不能有效反应图像中其他方向的纹理或者边界信息，方向性的 缺乏，为后续的压缩和去噪等图像处理带来了一定的影响。 为了很好利用图像的方向性来获得更好的变换结果，研究者们作了大量的 研究，取得了一些显著的成果，大致可分为非自适应与自适应两类方法。非自 适应方法主要包含d a v i dd o n o h o 提出的c o n t o u r l e t 9 l 变换、c u r v e l e t 旧j 变换方法。 n 适应方法包含s m a l l a t 提出的b a n d e l e t ”眩j 变换方法。这些变换方法虽然都 取得了很好的效果，但仍存在着一些不足：滤波器设计比较复杂、运算复杂度 比较高等问题。导致在实际的压缩中，这些方法应用的比较少。 3 第1 章绪论 近年来，丁文鹏等在一般提升小波变换的基础上提出了自适应方向提升小 波变换方法( a d l ) 1 3 - 1 4 】，通过基于空间方向性的预测更新提升算法实现了小波 的方向性，提供了一科t 简单、易懂的解决方法。张卓岭等在其基础上提出了方 向白适应离散小波变换方法( d a d w t ) e 1 5 - t 7 ，该方法采用更多的方向来替代 a d l 中的插值，也取得很好的变换结果。 基于上述的两种方向提升小波变换方法，国内外的很多的研究人员对其进礼： 了改进和编码上的应用。张军等【i8 j 在分析纹理特征情况下，提出了基于一种新型 插值方法的方向提升小波变换图像压缩方法；曾孝平等【1 9 1 提出了一种基于纹理信 息的方向自适应提升小波变换的图像压缩方法。刘云等【2 眦l 】提出了一种基于权重 插值的方向提升小波变换方法：候兴松等【2 2 】提出了一种方向提升小波变换和网格 编码量化的图像编码算法。方志军【2 3 i 提出了一种新型插值方法并将其用于方向提 升小波变换。赵秀娟等【2 4 j 提出了一种基于方向自适应红黑小波变换的图像压缩方 法。武文波等【2 副将方向自适应提升小波变换应用于遥感图像的压缩编码中。 1 3 研究方法及创新之处 小波变换是一种多分辨率分析信号的方法，在图像压缩编码领域得到了广 泛的应用。传统二维小波变换只是通过在图像的水平方向和竖直方向依次做一 幺d i - d , 波变换的处理得到的，它在处理高频信号存在不足。同时自然图像中含订 丰富的纹理信息，传统小波变换只能处理水平和垂直方向上的信息，不能有效 反应图像中其他方向的纹理或者边界信息，方向性的缺乏，为后续的压缩和去 噪等图像处理带来了一定的影响。为了有效利用图像的方向信息，研究者们相 继提出了方向提升小波变换的方法。 现有的方向提升小波变换方法，虽然通过基于空间上的方向性预测提升算 法来实现小波的方向性。但是为了得到更好的预测和更新的精度，需要对图像 进行亚像素点插值，同时还需要判断最优预测和更新的方向。导致运算量相比 一般的提升小波变换要大，在一定程度上影响编码方案的效率。本文针对上述 问题开展研究。论文主要研究成果和贡献如下： 1 系统分析和研究了现有方向提升小波变换的特点，探讨了该方法在图像 压缩中的性能表现。 2 提出了一种基于狄度共生矩阵图像分块的方向提升小波变换方法。该方 法通过判断图像子块的平坦性，将图像划分为平坦和非平坦部分，对每个分块 自适应采用不同提升方案来减少方向提升小波变换的运算量。实验结果表明。 该方法与传统方向提升小波变换相比，在图像压缩性能相差不大的情况下大人 4 第1 章绪论 降低了计算复杂度。 3 提出了一种基于方向滤波器图像分块的方向提升小波变换方法。该方法 通过对图像进行方向偏向性分块，对每个分块自适应的选择提升小波变换的同 时进一步减少方向提升小波变换中冗余待选方向的选择。实验结果表明，该方 法与基于灰度共生矩阵分块方法相比能进一步降低计算复杂度。 1 4 本文结构安排 本文主要对以下几个方面进行深入研究和探讨： 第一章：首先介绍了一下本文研究的背景和意义，然后简述了用于图像压 缩的小波变换的发展历程，最后是本文的研究内容和论文的结构安排。 第二章：首先介绍了小波变换的基本理论，简单介绍了连续小波变换和离 散小波变换，引入了多分辨率分析的方法和m a l l a t 算法。接下来介绍了提升小 波变换技术和方向提升小波变换技术。最后介绍了一种树型结构的方向滤波器 组，详细描述了其设计方法。 第三章：首先分析了两种提升方法在算法上计算量大的不足。为了解决这 个问题，提出了一种基于灰度共生矩阵图像分块的方向提升小波变换方法。实 验结果表明，该方法与传统方向提升小波变换相比能大大降低计算量，同时图 像压缩性能相差不大。 第四章：针对前一章的分块方法不能判断方向性，导致方向提升小波变换 仍有方向判断的冗余的不足，提出了一种基于方向滤波器图像分块的方向提升 小波变换方法。实验结果表明，该方法与基于灰度共生矩阵分块方法相比能进 一步降低计算复杂度。 第五章：对本文工作进行了总结，归纳了本文的研究工作和创新点，并提 出了有待进一步研究的问题。 5 第1 章绪论 6 第2 章基础理论知识 2 1 小波分析基础 第2 章基础理论知识 小波变换【2 6 】发展于上世纪八十年代，它提供了一种比d c t 方法更加有效的 图像处理手段。小波变换作为一种基于时间尺度的分析工具，通过小波母 函数在尺度( 频域) 上的伸缩与时间上的平移操作，来自适应地表征信号的局 部特征，从而获得比短时傅里叶变换更好的分析结果。小波变换对低频信息具 彳j 较低的时问和较高的频率分辨能力，对高频信息具有较高的时间和较低的频 率分辨能力，因此非常适合来检测正常信号中的突变信息。 基于小波变换的这种对信号的时域、频域的良好的局部分析能力，被广泛 心用于数据压缩、信号分析处理、图像处理、计算机视觉等领域中。 2 1 1 连续小波变换 连续小波变换定义为 ( 哪 6 ) _ 击e 们砌( 譬灿 ( 2 t ) 公式( 2 1 ) 中，包含两个变量a , b ，其中a 定义为伸缩因子，b 定义为平移因 子。参数口的大小决定了小波函数的支撑长度。参数b 是小波窗的时间定位参 数。由于参数a 和参数b 均取值连续，所以称为连续小波变换。 厂( d2 去 e ( 似口 6 ) 吼“f ) 絮竽( 口。厂( f ) r ( r ) ) 它也可以表示为内积的形式 ( ) ( 口，6 ) = ( 2 2 ) ( 2 3 ) 式中，6 ( ，) 表示为小波母函数的伸缩与平移后的结果如图2 1 所示，参数 以的变化会影响最后小波窗函数的形状和相应的频谱结构。当a 取值比较小时， 6 ( f ) 的频谱较为集中在高频区域，相应的窗口的尺寸也小，这时候构造出来的 小波函数有着非常好的空间分辨率；当a 逐渐增大时，6 ( f ) 的频谱又慢慢向低 频区域靠近，相应的窗口的尺寸也会有所增大，空间分辨率也会有所降低。 7 第2 章基础理论知识 j j + 7 j 、 j v j j 一r 一二。； ( a ) 一j ! 一 一jl 一一4 - ! f ! j 7 j 立 羔寸一，十一； ， ”r 宁盲 一 f 一 一一；一 图2 1小波母函数的伸缩结果 心 j r ；j 。；? 一 一i 一；一j ( c ) 爿、j 波变换能进行逆变换的必需满足的条件为勺= 坦等弛国 0 ，就 可以定义离散小波为 。( f ) = l 口o r 2 妒( 面”t - n b o ) ， m ，z z( 2 5 ) 实际应用中，为了满足 ，( f ) ) m 。z 构成l z ( r ) 的正交基，首先需要选择合 适的小波母函数烈f ) ，其次还要选择合适的参数离散化方法，使得 。( ，) ) m 。z 即 能完备地表示r ( 尺) 中的任何函数，同时使得 。( f ) k 朋z 为一组j f 交基，有 ( 矿) 2l 。( f ) ( t ) d t = 氏。瓯。t ( 2 6 ) 8 第2 章基础理论知识 从而得到一种无冗余的表示。在实际应用中，一般取= 2 ，b o = l ，这样 就可以得到二进小波。这种参数取值的方式在使得离散小波变换满足上述完备、 j f 交的条件的同时使得这种小波变换在实际应用中有了明确的物理含义，比如 f 齐频程分割方式适合人的视、听觉特性等等。 2 1 3 多分辨率分析 s m a l l a t 在1 9 8 8 年的时候从计算机视觉的角度提出了一种多分辨率分析的 概念，多分辨率分析 2 2 8 】的出现使得构造正交小波基的方法有了一个统一的框 架。 多分辨率分析把r ( r ) 空间按照一定的关系划分成为一系列嵌套的子空 m ，将实现整个r ( 尺) 空间中的小波基构造问题简化为其中的一个子空间中的 璀函数构造问题。 直接构造r ( r ) 的工f 交小波基，需要满足完备、正交的要求，操作起来比 较困难。但我们可以对p ( 足) 进行适当的分解，使得分解的各个子空问间满足 一定的关系，再构造其中的一个子空间里的正交基，然后将该子空间里的正交 齄扩展到其他子空m 里，从而得到整个r ( 尺) 空间里的正交基。可见，r ( r ) 空 l f l j 的分解方式是构造正交基的关键。多分辨率分析j 下是为这种小波基的构造提 供j ，适当的l 2 ( r ) 的分解方式。 有i f ( r ) 的子空间 ) j e z 满足 1 该子空间为嵌套空间ckc c 贮。c ； 2 观傩( 芝_ ) = r ( 尺) ； 3 所有一的交满足零函数条件，有n v ，= 0 ) ； 。 i e l 4 厂( x ) le f ( 2 x ) i + i ，j z ， 1 5 厂( x ) 铮厂( 工+ 3 7 ) _ ，z 如果存在函数矽，使得 o 一尼) ，k z ) 构成圪的r i e s z 基， 数么，b ，存在0 a b ) 设一个多分辨率分析的尺度函数为( f ) ，离散序列c o z 2 ( z ) ，构造函数 厂( f ) = c ：( f 一以) ，显然厂( f ) 。由于= ko 暇，则可将函数多分辨率分 解为= p 。f + q 。f 。满足暑厂k ，q , f 彤，则# 厂= 以办。，q i 厂= 卅仍。， 七七 其中肚= 2 一2 矽( 2 一。t - k ) ，够肚= 2 一2 伊( 2 7 f 一七) 。 定义内积 = 少( f ) 季( f ) 出，则有 1 0 第2 章基础理论知识 j e 中 文= = = 一 ：(211) = o = 2 批弘( 争叫加叫衍 = 2 - 1 2 ，( 三f ) ( f 一( 门一2 k ) ) d t 令 ( 门) = 2 - 1 2 弘( 圭f ) o 一胛) 出，则有c ：= 莓办。一2 七) o 同理有硪= = _ 0 其中 = 2 - 1 2p ( 圭唧( ，_ ( ，z 一2 k ) ) d t 令g ( 刀) = 2 - t 1 2p ( 圭，) 矽( ，一刀) 出，则以= 莓g ( n - 2 k h 0 这样就可得- y - j j , b 波变换的快速分解算法 = h ( n - 2 k ) c ：_ 由于 酲= g ( n 一2 k ) c ：_ e 一，厂= 一办山= p f + q j f = 纵+ 训 七七 审1 = = + 酬 七 七 = 办( 刀一2 尼) + g ( 玎一2 k ) d ? 七七 ( 2 1 2 ) ( 2 1 3 ) 式中h 和g 对应于高低通小波滤波器，m a l l a t 算法的分解和合成过程可用 矧2 2 表示。 第2 章基础理论知识 h hh 2 2 小波提升技术 ( b ) 合成过程 图2 2m a ll a t 算法的分解和合成过程 s w e l d e n s 在1 9 9 5 的时候提出了一种不受到傅立叶变换限制的新型小波构 造方法提升变换( 1 i f t i n gs c h e m e ) ，这种构造方法不仅能得到一种新的小波变 换，而且进一步减少了小波变换方法的复杂度。实验证明，传统小波的构造方 法均可由因式分解转化为预测与更新的提升模式来实现，而且能够直接在空“i j 域中完成小波构造，不需要进行傅里叶变换，因此提升小波变换又被称为第二 代小波变换或者 整数到】整数小波变换。与传统的小波变换理论相比，提升小 波变换还具有以下几种特点： 1 可以进行原位运算，整个的计算过程不需要辅助存储空间，节省了存储 空间，能实现任意图像尺寸的小波变换； 2 实现结构简单，逆变换容易； 3 小波变换后的系数可以为整数，运算过程能用硬件实现。 4 图像恢复质量和变换时边界采用何种延拓方式无关。 2 2 1提升技术的基本原理 由提升方法构成的二代小波的实现过程可分为三个步骤：分裂、预测和巫 新。 ( 1 ) 分裂过程： 分裂( s p l i t ) 就是将原数据x ( 甩) 划分成两个不相交的子集合，每个子集合的长度 是原数据集合长度的一半。通常是将一组数据分为偶数集合x e ( n ) 和奇数集合 1 2 第2 章基础理论知识 ( 刀) ，即 s p l i t ( x ( n ) ) = ( x c ( n ) ，艺( ，z ) ) ( 2 15 ) 式中，吒( 聆) = x ( 2 n + 1 ) ，艺( 门) = x ( 2 n ) 。 ( 2 ) 预测过程： 预测就是利用奇偶序列之间的相关性，由其中一个序列来预测另外一个序列 ( 一般是用偶序列( ，z ) 预测奇序y d x d ( 门) ) 。实际值x 口( ，2 ) 和预测值g ( n ) 之间的差值 以胛) 反映了预测的准确程度，称为细节系数或小波系数，相当于原始数据x ( 胛) 的 i ：i 频分量。当数据本身相关性越强，它相对应的小波系数的幅度就会越小。预测 过程如下： d ( 刀) = 吒( ，z ) 一( ，z ) = _ ( 门) 一p t x 。( n + 1 ) ( 2 1 6 ) ， 式中，将预测算子p 用预测函数表示，函数尸可选取( 刀) 中对应的数掘本身： ( 门) = 吒( ，z ) = x ( 2 n ) ( 2 1 7 ) 或者其他更为复杂的函数 ( 3 ) 更新过程： 经过分裂步骤产生的子集合中的某些全局特征会出现与原始数据不- 致的 情况，为了保证原始数据的某些全局特征不改变，需要对相应子集合做更新的 操作。用算予u 来表示更新的过程，过程表示如下： z ( ，z ) = 屯( 甩) + ( 玎) = 吒( 胛) + “，d ( ，z + ，) ( 2 1 8 ) l 式中，) 表示为x ( ，z ) 的低频分量部分，和预测函数相类似，更新算子跳 能相应选取不同函数形式，如 巩( ，z ) = d ( n ) 2 ( 2 1 9 ) j l 亘过选取不同的尸与u 函数，可以构造出不相同的小波变换。 小波提升变换是一个完全可逆的过程，其