（基础数学专业论文）单位球上的αbloch空间及其间的复合算子.pdf

摘要 本文研究单位球上的n b l o c h 空间之间的复合算子乘积算子和日* 到 b l o c h 空间的加权复合算子 在本文中，首先引入新的度量口( 口) ，给出了单位球上的a - b l o c h 函数的 等价范数，推广t t i m o n e y 关于单位球上的b l o c h 函数的结果同时也给出 了单位球上的d 、a - b l o c h 函数的等价刻划 其次借助度量嚣( 口) ，我们完整地研究了单位球上a - b l o c h 空间之间的复 合算子的有界性和紧性，得到了相应的充分必要条件同时还研究了单位球 上日。到* b 1 0 c h 空问的加权复合算子的有界性和紧性，也得到了相应的充 分必要条件改进了李颂孝和s s t e v i d 的相关结果 最后，我们完整地讨论了单位球上a - b l o c h 空间之间的乘积算子的下有 界性得到了下有界性的充分必要条件 关键词：a - b l o c h 空间，上p ，复合算子，乘积算子，加权复合算子，有界 性，紧性，下有界性 v a b s t r a c t i nt h i st h e s i s ，w ei n v e s t i g a t ec o m p o s i t i o no p e r a t o r sa n dm u l t i p l i c a t i o n o p e r a t o r sb e t w e e nn b l o c hs p a c e s ，a n dw e i g h t e dc o m p o s i t i o no p e r a t o r so f 日”i n t on b l o c hs p a c e so nt h eu n i tb a l l f i r s t ，w ei n t r o d u c ean e wm e t r i c 毋。( ) ，a n dt h e n ，t h ee q u i v a l e n tn o r l i i s o fa - b l o c hf u n c t i o n so nt h eu n i tb a l la r eg i y e n ，w h i c he x t e n dt h er e s u l to f t i m o n e yf o rb l o c hf u n c t i o n so nt h eu n i tb a l l m e a n w h i l e ，w eg i v ee q u i v a l e n t d e f i n i t i o n so ft h el i t t l eo p b l o c hf u n c t i o n so nt h eu n i tb a l l s e c o n d ，b yu s i n gt h em e t r i cj ( ) ，w ec h a r a c t e r i z et h eb o u n d e d n e s sa n d c o m p a c t n e s so fc o m p o s i t i o no p e r a t o r sb e t w e e na - b l o c hs p a c e so nt h eu n i t b a l la n do b t a i nn e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o n so fb o u n d e d u e a sa n dc a ) m - p a d n e 鹄w ba l s 0e s t a b l i s hn e 。e 昭甜ya n ds u 国c i e n tc o n d i t i o n so ft h eb o u n d - e d n e s sa n dc o m p a c t n e s so fw e i g h t e dc o m p o s i t i o no p e r a t o r so fh o oi n t o b l o c hs p a c e so nt h eu n i tb a l l ，w h i c hi m p r o v et h er e s u l to fs x l ia n ds s t e v i d a tl a s t ，t h eb o u n d e d n e s sf r o mb e l o wo fm u l t i p l i c a t i o no p e r a t o r sb e t w e e n a - b l o c hs p a c e so ft h eu n i tb a l li ss t u d i e dc o m p l e t e l y k e yw o r d s ：a - b l o c hs p a c e s ，日”，c o m p o s i t i o no p e r a t o r ，m u l t i p l i c a - t i o no p e r a t o r ，w e i g h t e dc o m p o s i t i o no p e r a t o r ，b o u n d e d n e s s ，c o m p a c t n e s s ， b o u n d e d n e e sf r o mb e l o w p r e f a c e f u n c t i o ns p a c e sh a v eb e e nac e n t r a lt o p i ci nm o d e r na n a l y s i s ，a n ds o m e n e wf u n c t i o ns p a c e sa r en o wo fi n c r e a s i n gu s ei na r e a ss u c ha sc o m p l e x , f o u r i e r ，h a r m o n i ca n df u n c t i o n a la n a l y s i s ，a n dp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s a n dt h e i ra p p l i c a t i o n s i na d d i t i o nt ot h ec l a s s i c a l 2s p a c e s ，o n eh a sa m o n g o t h e r s ，t h ed i f f e r e n t i a b i l i t ys c a l e so fs o b o l e v ，b e s o v ，a n dl i p s c h i t zs p a c e s ，a 8 w e l l b m oa n dv m o t h e r ea r et h ef u n c t i o ns p a z e sa r i s i n gi nc o m p l e x a n a l y s i s ，s u c h 嬲t h eb l o c h ，d i r i c h l e ta n dh a r d ys p a c e s t h e s t u d y o f c o m p o s i t i o n o p e r a t o r s o n a n a l y t i c f u n c t i o n s p a c e s l i n k ss o m e o ft h em o s tb a s i cq u e s t i o n sy o uc a na s ka b o u tl i n e a ro p e r a t o r sw i t hb e a u t i f u l c l a s s i c a lr e s u l t sf r o ma n a l y t i c o f u n c t i o nt h e o r y t h ep r o c e s si n v e s t so l dt h e o - r e i n sw i t hn e wm e a n i n g s ，a n db e s t o w su p o nf u n c t i o n a la n a l y s i sa ni n t r i g u i n g d a s so fc o n c r e t el i n e a ro p e r a t o r s t h es t u d yo fc o m p o s i t i o no p e r a t o r sb e g a n w i t ht h ew o r ko fe n o r d g r e n 【1 3 】i n1 9 6 8 i th a sc a u g h tm a n ym a t h e - m a t i c i a n s a t t e n t i o ni nr e c e n tf o r t yy e a r sa n dal o to fv e r yp r o f o u n dr e s u l t s a p p e a r e d m u c he f f o r ti nt h es t u d yo fc o m p o s i t i o no p e r a t o r so na n a l y t i c f u n c t i o ns p a c e sh a sb e e nd e v o t e dt or e l a t i n gb o u n d e d n e s s ，c o m p a c t n e s s ，a n d o t h e rp r o p e r t i e so fgt of u n c t i o n - t h e o r e t i cp r o p e r t i e so f 咖 c o m p o s i t i o no p e r a t o r si ns e v e r a lc o m p l e xv a r i a b l e sa r em u c hd i f f e r e n t f r o mt h o s ei no n ev a r i a b l e t h e r ea r es t i l lal o to fu n s e t t l e db a s i cq u e s t i o n s i nt h i sf i e l d r h et h e m eo ft h i sp a p e ri st os t u d yt h eb o u n d e d n e s sa n dc o m p a c t n e s s o f ( w e i g h t e d ) c o m p e s i t i o no p e r a t o r s ，a n dt h eb o u n d e d n e s sf r o mb e l o wo f m u l t i p l i c a t i o no p e r a t o r so nt h eu n i tb a l lo fh i g hd i m e n s i o n ， t h eo r g a n i z a t i o no ft h i sp a p e ri sa sf o l o w s ： i nc h a p t e r1 ，w ep r e s e n ts o m eb a s i ck n o w l e d g ew h i c hw i l lc o m m o n l yu s e d i nt h i sp a p e r i nc h a p t e r2 ，w ew i l ld e f t n ean e wm e t r i ca n da n o t h e rn o r i na b o u tt h e 口- b l o c hf u n c t i o n so nt h eu n i tb a l lf o ra n yd 0 t h e n w ep r o v et h e e q u i v a l e n c eo ft h et h r e en o r i n sw i t hr e s p e c tt oo b l o c hf u n c t i o n so nt h eu n i t b a l la p p e a r i a gi nt h i sc h a p t e r m e a n w h i l e mo b t a i ue q u i v a l e n td e f i n i t i o n s a b o u tt h el i t t l em b l o c hf u n c t i o n so nt h eu n i tb a l l i nc h a p t e r3 ，b yu s i n gt h en o r n ld e f i n e di nc h a p t e r2 ，w eg i v en e c e s s a r y a n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o rb o u n d e d h e s sa n dc o m p a c t n e s so fac o m p o s i t i o n o p e r a t o ro fq b l o c hs p a c ei n t o 伊b l o c hs p a c eo nt h eu n i tb a l lf o ra r b i t r a r y a ，口 0 i nc h a p t e r4 ，w ee s t a b l i s hn e c e a 盯a n ds n 伍c i e n tc o n d i t i o n s o ft h e b o u n d e d n e 8 sa n d c o m p a c t n e s s o f w e i g h t e d c o m p o s i t i o n o p e r a t o r s o f 日o 。i n t o a b l o c hs p a c e so nt h eu n i tb a l l i nc h a p t e r5 ，t h eb o u n d e d n e s sf r 0 1 2 1b e l o wo fm u l t i p l i c a t i o no p e r a t o r s b e t w e e na - b l o c hs p a c e so ft h eu n i tb a l li ss t u d i e dc o m p l e t e l y 学位论文独创性声明 本人郑重声明： 1 、坚持以“求实，创新”的科学精神从事研究工作。 2 、本论文是我个人在导师指导下进行的研究工作和取得的研究成果。 3 、本论文中除引文外，所有实验、数据和有关材料均是真实的 4 、本论文中除引文和致谢的内容外，不包含其他人或其它机构已经发 表或撰写过的研究成果。 5 、其他同志对本研究所做的贡献均已在论文中作了声明并表示了谢 意。 作者签名： 日期： 学位论文使用授权声明 本人完全了解南京师范大学有关保留、使用学位论文的规定，学校有 权保留学位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电子版和纸质 版；有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进入学校图书 馆被查阅；有权将学位论文的内容编入有关数据库进行检索；有权将学位 论文的标题和摘要汇编出版。保密的学位论文在解密后适用本规定。 作者签名： 日期： 致谢 我由衷地感谢导师陈怀惠教授，感谢他自一九九九年以 来对我的悉心指导和关怀陈先生对数学研究的方法和思 想深深地影响了我，将使我终身受益 本文是在陈先生亲自指导下完成的，从选题到最后的定 稿，陈先生付出了大量的时间与精力，在此谨向恩师陈怀 惠先生表示衷心的感谢 在南师大学习期间，院领导、方明亮教授、徐焱、陈 新、姚奕等老师都给予我很多帮助，同时也得到了许多其 他老师和同学的帮助，在此一并感谢 最后，我要感谢我的家人，是他们的关心和支持使我顺 利完成学业 张敏珠 2 0 0 7 年3 月 c h a p t e r1 p r e l i m i n a r i e s i nt h i sc h a p t e r ，w ep r e s e n ts o m eb a s i ck n o w l e d g ew h i c hw i l lc o m m o n l yu s e d i nt h i st h e s i s t h er e f e r e n c e s | 1 1 【2 】， 3 1 ，【5 】，1 2 7 1 ， 4 6 1c o n t a i na l lo fo u r m a t e r i a la n dm u c hm o r e 1 1 h o l o m o r p h i cf u n c t i o n s i nt h ef o l l o w i n gc “w i l ld e n o t et h ec a r t e s i a np r o d u c to ft lc o p i e so ft h e c o m p l e xp l a n ec f o rz = ( z l ，施，) ，t ，= ( u j l ，忱，一，) i c n ，t h e i n n e rp r o d u c t n ( z ，w ) = 勺码 z l = 厕 m a k ec “i n t oa nr 玉d i m e n s i o n a lh l l b e r ts p a c e ，w h e r e _ ji st h ec o m p l e xc o n - j u g a t eo f 屿t h eu n i tb a n i n c “i s t h e8 e t b “= k ：m 0 ，w es a y t h a t f h ( b ”) i s nc r - b l o c h f u n c t i o no n 伊，i f i i f i l 。= l i s l l 甜= s u p ( 1 一例2 ) 。i v ，( z ) i 0 ，w es a yt h a taf u n c t i o nf h ( b ”) i sal i t t l ea b l o c hf u n c t i o n ， i f ( 1 - 2 尸i v ( 2 ：) i _ 0a sz - 0 b ”t h ec l a s s o f a l l l i t t l e a - b l o c h f u n c t i o n s i sac l o s e ds u b s p a c eo fa - b l o e hs p a c ea n dd e n o t e db y 瑶 1 4 c o m p o s i t i o no p e r a t o r 5 i nt h i ss e c t i o n ，w ei n t r o d u c et h ed e f i n i t i o no fw e i g h t e dc o m p o s i t i o no p e r a t o r a n dt h eb a s i ck n o w l e d g ea b o u tt h eb o u n d e d n e s sa n dc o m p a c t n e s so fl i n e a r o p e r a t o r s f o r “日( b ”) a n dah o l o m o r p h i cs e l f - m a p p i n g 妒o f 伊，t h ew e i g h t e d c o m p o s i t i o no p e r a t o rt 瓯，i n d u c e db yt a n d 西，i sd e f i n e db y t c ；，= u ( f 0 ) f o rf 。日( 。矿) w h e nue1o r ( 2 ) = z ，t h ew e i g h t e dc o m p o s i t i o no p e r a t o rb e c o m e st h e c o m p o s i t i o no p e r a t o ra n d t h em u l t i p l i c a t i o no p e r a t o r ，d e n o t e db yo o r 版， r e s p e c t i v e l y i ti so b v i o u st h a tu g 0i sal i n e a ro p e r a t o r al i n e a ro p e r a t o rto fab a n a c hs p a c exi n t oa n o t h e rb a n a c hs p a c e yi ss a i dt ob eb o u n d e di ft h e r ee x i s t sap o s i t i v ec o n s t a n tm s u c ht h a t j i r z l l y m l l x l l xf o ra n yz x al i n e a ro p e r a t o rt o f8b a n a c h8 d a c exj n t oa n o t h e rb a n a c hs p a c ey i ss a i dt ob ec o m p a c ti fg i v e na n yb o u n d e ds e q u e n c e x ，t h e r ee x i s t sa s u b s e q u e n c et z m w h i c h i sc o n v e r g e n ti ny ab o u n d e dw e i g h t e dc o m p o s i t i o no p e r a t o rt l g ：伊_ i ss a i dt ob e b o u n d e d b e l o w f r o m 伊i n t o 伊，i f t h e r e e x i s t s a j 0 s u c h t h a t | i u o 川胪 5 1 1 f l l b nf o r ，b o i ti s o b v i o u st h a t1 l 劬h a sac l o s e dr a n g ei fu qi s b o u n d e db e l o w b ym a k i n gu s oo ft h eo p e nm a p p i n gt h e o r e m ，o n ec a ns h o w t h a tt h ec o n v f f f s ei sa l s ot r u ef o ran o n - c o n s t a n t 妒a n du 0 i n a d d i t i o n w e u s e t h e m o n t e l s t h e o r e m o f t e n i n t h e s t u d y o f c o m p o s i t i o n o p e r a t o r s t h e o r e m1 3f m o n t e l 8t h e o r e m ) al o c a l l yu n i f o r m l yb o u n d e d , s e q u e n c e i ko a n a l y t i cf u n c t i o no ngcc c o n t a i n sas u b s e q u e n c e | m kw h i c hi s c o n v e r g e n tf o c a z t yu n i o r r a l yi ，lg c h a p t e r2 t h e e q u i v a l e n tn o r m s o f 召及a n d t h ee q u i v a l e n td e f i n i t i o n so f 召孑 r e c a l l t h a t f o r 口 0a n d ，日( z p ) w e w r i t e l i f l l = s u p ( 1 一m 2 ) oj v f ( z ) i a n d i l ，啦= s u p ( 1 一2 ) “i n y ( z ) 1 i ti sp r o v e db yw y a n ga n dc o u y a n g 【2 z t h a tt h en o h n1 1 1 1 口1i se q u i v a l e n tt ot h en o r m1 1 1 1 a 2 f o ra = 1 ，t i m o n e y 4 8 1p r o v e dt h a tt h ea b o v et w o n o r m sa r ee q u i v a l e n tt ot h et h i r dn o r m m ，s 一唧 器攀毋。挑俨) r e c e n t l y , z h a n ga n dx i a op u b l i s h e dap a p e rf 4 5 】，i nw h i c hf o rac o n t i n u o u s p o s i t i v ea n dd e c r e a s i n gf u n c t i o np ( t ) ，t h e yd e f i n e d8n o r n l i l f l l 一印 斜黠矿。cu e c ) ( 2 ) i nt e r m so ft h i sn o r n l ，t h e yd e f i n e ds o - c a l l e dp - b l o c hf u n c t i o n sa n dc h a r a c - t e r i z e dt h eb o u n d e d n e s sa n dc o m p a c t n e s so fc o m p o s i t i o no p e r a t o r sb e t w e e n 6 2 1t h er a d i a ld e r i v a t i v ea n dt a n g e n t i a ld e r i v a t i v e7 p - b l o e hs p a c e s i tc 8 nb ep r o v e dt h a ti fp ( t ) = ( 1 一t 2 ) “w i t ha 1 2 ，t h e n o r m1 1 1 1 pi se q u i v a l e n tt ot h en o r l n s | | 川1a n di i l l 印( 8 t h e o r e m2 2o f t h i sc h a p t e r ) h o w e v e r ，i f 肛( t ) = ( 1 一t 2 严w i t ho t 0 ，w h i c hi s e q u i v a l e n tt om i a ，1a n di i f l l 2 ，a n dc o i n c i d e n tw i t hl i f l l pf o rp ( t ) = ( 1 - t 2 ) o i fo t 1 2 t h r o u g h o u tt h i sp a p e r ，cd e n o t e sa na b s o l u t ep o s i t i v en u m b e r ，a n dc ： ( o r 戗) d e n o t e sap o s i t i v en u m b e rd e p e n d i n go nao n l y , w h i c hm a ya s s u m e d i f i e r e n tv a l u e sw h e na p p e a r i n ga td i f f e r e n tp l a c e s 2 1t h er a d i a ld e r i v a t i v ea n d t a n g e n t i a ld e r i v a - t i v e t h e o r e m2 1 l e t d 0 ，h ( b “) ，a n d ( 1 一例2 ) 。f 冗，( z ) f mf o rz 扩( 2 1 1 ) t h e n , o ra n y 名b “a n d ( o b “w i t h ( 上z ，埘eh a v e 阿淝矿铧岛 ，n 1 2 ， ( 2 1 - 2 ) 阿( 班l m ( 1 + 1 0 9 南) ，n = 1 2 ， ( 2 1 3 ) i v ，( z ) ( i g mi fa i 2 ( 2 1 4 ) p r o o f t op r o v e ( 2 1 2 ) ，( 2 1 3 ) a n d ( 2 1 4 ) ，b y8u n i t a r yc h a n g eo fc o - o r d i n a t e s ，w em a ya s s u m et h a tz = ( 7 0 ，0 ，o ) w i t h0sr o 1a n d ( = ( 0 ，1 ，0 ，0 ) t h e n v f ( z ) c = 瑟o f ( r o ，o ，o ) ( 2 1 5 ) 8 c h a p t e r2 t h ee q u i v a l e n t ，l o mo f 伊a n dt h ee q u i v a l e n td e f i n i t i o n so ，瑶 l e tf ( z ) = a x z l ，w h e r ea = ( a l ，k ) w i t hi n t e g e r sa i 0a n d = 右1 靠t h e n ， 掣。磊抛，砒) 2 车蚶i w h e r e = a 1 + + k ，a n d 髦慨 0 一 等协，o ，o ) = 塾+ 1 ) 口( 札帆袢 o 现f ( t o ，0 ，o ) = f 等( r i ”一0 ) 缸 ( 2 1 6 ) f o raf i x e d0 r 1 ，g ( 施) = 冗，( _ 施，0 ，一，0 ) i sa na n a l y t i cf u n c t i o n o f 动o nt h ed i s ki 勿i ( 1 一r 2 ) 1 2 b yt h ea s s u m p t i o n ( 2 1 1 ) ，f o ri 勿i 1 2 ，b y ( 2 1 8 ) ，w eh a v e f 瓦o f ( r 0 , 0 , 川f q m ( + 矗) 才 n 。 i l 2 2e q u i v a l e n tn o 删d ，8 ” 9 g m ( + e 若岛) g m ( t + f 瓣b 庐) = 器( z l l 0 ) c o m b i n i n g ( 2 1 5 ) ，( 2 1 9 ) a n d ( 2 1 1 0 ) ，w eo b t a i n ( 2 1 2 ) i nt h ec a s eq = 1 2o ra 0 w ed e f i n eaf i n s l e rm e t r i c 删= 俘业世等严幽贮 f o r0 z b ”a n d0 俨，w h e r e 0 笪锄 v = 胆 ； 1 2 m 南 产 嵫 一 + = i 一 k 一 0 = pk 1 0 c h a p t e r2 t h ee q u i v a l e n t o b 。a n dt h ee q u i v a l e n td e f i n i t i o r _ so f 皤 k ( r ) = ( 1 一r 2 ) “i f0 1 2 ，t h en o i t r l ( 2 2 1 ) i sj u s tt h a td e f i n e di n ( 2 ) f o ru ( t ) = ( 1 一t 2 户b y z h a n ga n dx i a o l e t o 0 ，0 z 伊a n d 0 c ，t h e r ee x i s t 8 a ( s u c h t h a t i ( i = 1 ， ( ，z ) = 0a n d ，= 优名| z l + 啦( t h e n ，i t 叫2 = i 1 1 2 + i 地1 2 ，侦= 扣，z ) j 。j ， a n d 珊) = v 孚螳掣， ( 2 2 f r o mw h i c hw es e et h a t 脚) 、孚d f o ra 1 2 ，( z z 3 ) 砖饰) 半赤f o r 川 r o ，( 2 2 4 ) 孱裂裂 矿岩同，川( + l o g 南) 。r ( z 矧 a c c o r d i n gt o 。 1 2 ，a = 1 2o ro t 0 ，t h en o 仃n s1 1 1 1 n 1 ，l l y l l 。2a n di i f l l 3o , l r ee q u i v a l e n t p r o o l e to t 0a n df h ( b “) i ti so b v i o u st h a t1 1 1 1 。2 1 1 1 1 。1 l e t z 伊i fv f ( z ) 0 ，l e t t i n gi = v f c z ) l l v f ( z ) l ，w eh a v e ( 1 一l z l 2 ) o i v f ( z ) i = ( 1 一i z l 2 r i v ( z ) v i ( 1 一汗i 尸钟( 。) 只( - 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