（基础数学专业论文）一阶偏差分方程的混沌化.pdf

山东大学硕士学位论文 一阶偏差分方程的混沌化 梁伟 ( 山东大学数学与系统科学院，济南，山东2 5 0 1 0 0 ) 中文摘要 混沌控制是目前混沌研究方面的主要研究课题之一它主要有两个研究 方向。混沌的控制( c o n t r o lo fc h a o s ) 和混沌的反控制( a n t i - c o n t r o lo fc h a o s ) 使原来混沌的系统变的不混沌或稳定的过程称为混沌的控制在过去的几十年 里，人们认为混沌是有害的，所以总是设法使原混沌系统稳定化，因而混沌的 控制研究得到了迅速发展【1 4 】混沌的反控制又称为混沌化( c h a o t i f i c a t i o n ) ， 是指一个使原来不混沌的动力系统产生混沌或者使原来混沌的系统产生更强 的或不同类型的混沌的过程最近，人们发现在某些特定情况下混沌是非常有 用的例如，在编密码( e n c r y p t i o n ) 【5 】，保密通讯 6 】、人脑分析 7 】和心跳 规律【8 】等方面 在离散动力系统的混沌化研究方面，g c h e n 和d l a i 于1 9 9 6 年首次 提出了一个严格的混沌化方法一反馈控制( f e e d b a c kc o n t r 0 1 ) 法【9 一l l 】他们 证明了受控系统的l y a p o u h o v 指数都是正的【9 j ，且当原系统为线性时经过取 模运算后的受控系统在d e v a n e y 意义下混沌，当原系统为非线性时受控系统 在w i g g i n s 【1 2 意义下混沌随后，汪小帆和g c h e n 【1 3 ，1 4 】用m a r o t t o 定理f 1 5 】进一步证明了c h e n - l a i 格式对应的受控系统在l i - y o r k e 意义下混 沌最近，史玉明，p - y u 和g c h e n 【1 6 】建立了一般b a n a c h 空间中离散 动力系统的几个混沌化格式，利用耦合扩张理论( c o u p l e d - e x p a n d i n gt h e o r y ) 和返回扩张不动点理论( s n a p - b a c kr e p e l l e rt h e o r y ) 1 - 7 ，1 8 j 证明了受控系统 在d e v a n e y 和l i - y o r k e 意义下混沌另外，他们将有限维欧氏空间中的经由 反馈控制的取模运算的c h e n - l a i 算法和带锯齿函数的w a n g - c h e n 算法【1 1 ， 1 4 】拓展到了b a n a c h 空间p 中，并证明了受控系统在r ( k ) 和p 中 山东大学硕士学位论文 同时在d e v a n e y l i - y o r k e 和w i g g i n s 意义下混沌史玉明和g c h e n 还给 出了几个有限维空间中由连续映射诱导出的离散动力系统的混沌化格式【1 9 】 g c h e n 和史玉明在文献【2 0 】中总结了最近几年关于离散动力系统的混沌化 问题的研究进展 众所周知，连续系统用微分方程来描述，采样系统( 如国民收入、产品的 产量等) 却不能用9 0 9 方程来描述，而只能用差分方程来描述；另一方面，一 般非线性微分方程的精确解是无法求出的，因此常采用将其离散化即转变成 差分方程求其近似解偏差分方程经常出现在工程应用中，特别是在数字滤 波，成像和空间动力系统( 参见【2 1 ，2 2 】及相关文献) 等领域关于差分方程解 的稳定性研究在文献 2 3 ，第6 嗣中有详细的介绍g c h e n 和刘树棠 2 4 】 首次通过构造具有特定周期的空间周期轨的分析方法证明了一阶偏差分方程 在r 3 中在l i y o r k e 意义下混沌一个非常有意义的工作是g c h e l a ，田传 俊和史玉明 2 5 】首次将一阶偏差分方程转化成下列离散系统： z n + l = ，( z n ) ，n 0 从而，离散动力系统的一些方法和结果便可以运用到一阶偏差分方程中运用 这一方法，史玉明【2 6 】建立了一阶偏差分方程的几个混沌判定定理最近，史 玉明，p y u 和g c h e n 首次开始了一阶偏差分方程的混沌化研究，并利用锯 齿函数给出了一阶偏差分方程的一种混沌化格式，证明了受控系统在d e v a n e y 和l i y o r k e 意义下混沌【1 6 1 据我们所知，除了上述工作之外，在现有文献中 尚未发现关于偏差分方程的其它混沌化格式在本文中，我们在上述工作的基 础上。继续开展对一阶偏差分方程混沌化问题的研究 本文主要讨论两方面的问题一是离散动力系统的混沌化，二是一阶偏差 分方程的混沌化后者主要包括三个方面的内容，( 一) 当系统尺度为无穷时 方程的混沌化格式；( 二) 当系统尺度有限且边界条件为周期边界条件时方程 的混沌化格式；( 三) 当系统尺度有限但边界条件为非周期边界条件时方程的 混沌化格式因为在某些情况下( 一) 和( 二) 的混沌化格式的处理方法是类似 的，而( 二) 和( 三) 的处理方法又有所不同，所以为叙述方便，我们把前两部 分内容放在一起作为第二章，而把第三部分作为第三章 i i 山东大学硕士学位论文 第一章主要研究了在某种特殊b a n a c h 空间上离散动力系统的混沌化问 题第二节为下面的研究工作做了一些必要的准备，即给出了一些记号，定义 及引理第三节依据返回扩张不动点理论建立了b a n a c h 空间( 有限维或无穷 维) 中离散动力系统带一般控制器的两种混沌化格式，其条件比文献【16 】中定 理3 1 和3 2 的条件弱第四、五节用耦合扩张理论分别建立了有限维b a n a c h 空间中离散动力系统带模运算和锯齿函数的三种混沌化格式 在第二章中，我们利用第一章中所建立的混沌化格式，研究了一阶偏差分 方程的系统尺度为无穷或有限但满足周期边界条件时的混沌化问题建立了 九种混沌化格式，其中有些格式要求的条件非常弱，即只需原函数在某一闭区 间上连续且满足l i p s c h i t z 条件即可最后以具体的例子和计算机仿真说明了 用本文建立的混沌化格式产生的受控系统具有非常复杂的动力学行为 在第三章中，我们研究了当系统尺度有限时一阶偏差分方程在非周期边 界条件下的混沌化问题为使受控系统混沌，对边界条件加了一定的限制本 章建立了方程的五种混沌化格式 关键词；一阶偏差分方程；混沌化；混沌；返回扩张不动点理论；耦合扩 张理论 i i i 山东大学硕士学位论文 c h a o t i f i c a t i o nf o r f i r s t 0 r d e rp a r t i a ld i f f e r e n c e e q u a t i o n s w e il i a n g ( s c h o o lo fm a t h e m a t i c sa n ds y s t e ms c i e n c e ，s h a n d o n gu n i v e r s i t y j i n a n ，s h a n d o n g2 5 0 1 0 0 ，p tr c h i n a ) a b s t r a c t c h a o sc o n t r o li so n eo ft h ei m p o r t a n ts u b j e c t si nt h er e s e a r c ho fc h a o s ，w h i c h h a sb e e nd e v e l o p e ds of a rm a i n l yi nt w od i f f e r e n td i r e c t i o n s ：c o n t r o lo fc h a o sa n d a n t i - c o n t r o lo fc h a o s ap r o c e s so fm a k i n gac h a o t i cs y s t e mn o n c h a o t mo rs t a b l e i sc a l l e dc o n t r o lo fc h a o s o v e rt h el a s td e c a d e ，c h a o t i cm o t i o n sa r er e g a r d e da s h a r m f u l ，s ot h et r a d i t i o n a lc o n t r o le n g i n e e r i n gd e s i g na l w a y st r i e st os t a b i l i z ea c h a o t i cs y s t e m ，t h e r e f o r e ，r e s e a r c ho nc o n t r o lo fc h a o sh a sb e e nr a p i d l yd e v e l o p e d ( c f 【l 一4 ) a n t i - c o n t r o lo fc h a o s ( o rc a l l e dc h a o t i l l c a t i o n ) i sap r o c e s so fm a k i n g a l lo r i g i n a l l yn o n - c h a o t i cd y n a m i c a ls y s t e mc h a o t i c ，o re n h a n c i n gac h a o t i cs y s t e m t op r e s e n ts t r o n g e ro rd i f f e r e n tt y p eo fc h a o s r e c e n t l y , i th a sb e e nf o u n dt h a tc h a o s c a na c t u a l l yb ev e r yu s e f u lu n d e rs o m ec i r c u m s t a n c e s ，s u c ha si ne n c r y p t i o n 【5 l d i g i t a lc o m m u n i c a t i o n s 6 j ，h u m a nb r a i na n a l y s i s 【7 l ，a n dh e a r t b e a tr e g u l a t i o ni s i nt h ep u r s u i to fc h a o t i f y i n gd i s c r e t ed y n a m i c a ls y s t e m s ，am a t h e m a t i c a l l yr i g - o r o n sc h a o t i f i c a t i o nm e t h o df r o maf e e d b a c kc o n t r o la p p r o a c hw a sf i r s td e v e l o p e d b yc h e l aa n dl a i 【9 1 1 t h e ys h o w e dt h a tt h el y a p o u n o ve x p o n e n t so fac o n - t r o l l e ds y s t e ma r ep o s i t i v e 9 】，a n dt h ec o n t r o l l e ds y s t e mv i at h em o d - o p e r a t i o ni s c h a o t i ci nt h es e n s eo fd e v a n e yw h e nt h eo r i g i n a ls y s t e mi sl i n e a r ，o t h e r w i s e ，i ti s c h a o t i ci naw e a k e rs e n s eo fw i g g i n s 【12 】l a t e r ，w a n ga n dc h e n 【1 3 ，1 4 f u r t h e r s h o w e dt h a tt h ec h e n - l a la l g o r i t h mf o rc h a o t i f i c a t i o nl e a d st oc h a o si nt h es e n s eo f l i y o r k eb ye m p l o y i n gt h em a r o t t ot h e o r e mf 1 5 r e c e n t l y , s h i ，y u ，a n dc h e l a 【1 6 】 i v 山东大学硕士学位论文 e s t a b l i s h e ds o m ec h a o t i f i c a t i o ns c h e m e so fd i s c r e t ed y n a m i c a ls y s t e m si nb a n a c h s p a c e s w h i c hc a nb ee i t h e rf i m t e - d i m e n s i o n a lo ri n f i n i t e - d i m e n s i o n a l t h e yp r o v e d t h a tt h ec o n t r o l l e ds y s t e m sa r ec h a o t i ci nt h e8 e i l s eo fb o t hd e v a n e ya n dl i - y o r k e b ya p p l y m g t h ec o u p l e d - e x p a n s i o nt h e o r ya n dt h e s n a p - b a c kr e p e l l e rt h e o r yf 1 7 , 1 8 i na d d i t i o n ，t h e ye x t e n d e dt h ec h e n - l a ia n dw a n g - c h e na l g o r i t h m sv i af e e d b a c k c o n t r o lw i t hm o d - o p e r a t i o na n ds a w t o o t hf u n c t i o n si nf i n i t e - d i m e n s i o n a lr e a ls p a c e s 【n ，1 4 】t ot h eb a n a c hs p a c ep o ，a n ds h o w e dt h a tt h ec o n t r o h e ds y s t e m si nb o t h r k ( k 0 t l _ 但是，条件( i ) 和( i i ) 蕴含着不规则集s 至多有一点z 不满足上述条件因 此，在s 中至多去掉一点z ，则第三个条件可由条件( i ) 和( i i ) 推出，因而第 三个条件不是本质的【3 2 】 定义1 2 2 ( d e v a n e y 混沌) 2 7 】设( x ，d ) 为度量空间，称映射f ：vc x y 在y 上混沌，如果它满足下述条件： ( i ) f 的周期点在y 中稠密； 2 山东大学硕士学位论文 ( i i ) f 在y 上是拓扑传递的，即对任何两个非空开集，k v ，存在整数 他l ，使得f ，l ( ) n 班 ( i i i ) f 在y 中对初始条件具有敏感依赖性，即存在6 0 ，使得对每一点z v 和z 的任意邻域u ，存在y u 和整数礼1 ，满足d ( f n ( x ) ，f n ( y ) ) d 根据文献【3 3 】的相关结果，如果f 连续，则条件( i ) 和( i i ) 蕴含条件( i i i ) 因此，如果f 连续，则条件( i i i ) 是多余的最近，w h u a n g 和x y e 证明 了在一定条件下d e v a n e y 意义下混沌蕴含l i y o r k e 意义下混沌【3 4 然而，有些研究者认为d e v a n e y 意义混沌中的条件( i ) 不是本质的因 而，w i g g i n s 于1 9 9 0 年给出了如下混沌定义【1 2 】： 定义1 2 3 ( w i g g i n s 混沌) 设( x ，d ) 为度量空问，称映射f ：vc x y 在y 上是w i g g i n s 意义下混沌，如果它满足定义1 2 2 中的条件( i i ) 和( i i i ) 下面我们来说明三种混沌定义之间的关系依据定义可知，d e v a n e y 意 义下混沌比w i g g i n s 意义下混沌强但反之不真，参见m a r t e l l i 、d a n g 和 s e p h 于1 9 9 8 年举出的反例【2 8 】史玉明和p y u 举出个反例说明了在一般 情况下d e v a n e y 意义下混沌不能导致l i - y o r k e 意义下混沌 3 5 1 但在某些条 件下，d e v a n e y 和w i g g i n s 意义下混沌要强于l i - y o r k e 意义下混沌( 参见文献 【3 5 ，引理2 1 】) 反之，l i - y o r k e 意义下混沌也不能导致d e v a n e y 或w i g g i n s 意义下混沌，因为映射在l i - y o r k e 意义下混沌时不一定含有周期点，也不一 定是拓扑传递的( 参见文献【3 5 】) 为方便起见，下面列出文献【1 8 】给出的一些相关概念的定义： 定义1 2 4 设( x ，d ) 为度量空间，：x x 为映射 ( 1 ) 称点z x 为，的m - 周期点，如果 ，”( z ) = 毛，( z ) z ，k = 1 ，2 ，m 一1 若m = l ，则称# 为，的不动点 ( 2 ) 称点z x 为，在耳( z ) 上的一个扩张不动点，其中r 0 为某常数， 如果s ( z ) = 2 且存在常数a 1 ，使得 d ( ，( z ) ，( 可) ) 2ad ( x ，) ， vz ，y b ，( z ) 常数a 称为s 在羼( o ) 上的一个扩张系数进一步，若z 是，( 研( 。) ) 的 内占，则称z 是，在耳( ：) 上的正则扩张不动点 3 山东大学硕士学位论文 ( 3 ) 假设。是，在露( 。) 上的扩张不动点，其中r 0 为某常数若存在点 x 0 历( ：) ( x 0 o ) 和正整数m ，使得，”( x o ) = 2 ，则称z 为，的返回扩 张不动点 因为本文的研究与符号动力系统有关，因此首先回忆符号动力系统的相 关性质( 【2 7 ，第1 6 节】或【3 2 】) 设 ：= 扣= ( 8 0 a ，8 2 ，) ：8 j = 0 ，1 并定义两点8 = ( s o ，8 1 ，8 2 ，) ，t = ，t l ，t 2 ，) 之间的距离如下， 枷) ：壹掣， 1 = 0 一 则( ；，p ) 是一个完备度量空间移位映射盯：；一；，( s o ，8 - ，8 2 ，) = ( 8 ，s 2 ，) 是连续的，并称其导出的系统为单边符号动力系统无特殊声明， 本文所指的符号动力系统均指单边情形它具有如下性质； 引理1 2 1 【2 7 ，命题6 6 】 ( 1 ) c a r d p e r ( 盯) = 2 n ； ( 2 ) p e r ( a ) 在内稠密； ( 3 ) 盯在；内存在一条稠密轨道， 其中c a r d p e r 。( 盯) 表示盯的周期为n 的周期点的个数 显然，性质( 3 ) 蕴含盯具有拓扑传递性因此，符号动力系统在d e v a n e y 意义下混沌更进一步，该系统也在l i - y o r k e 意义下混沌( 参见f 3 4 ，定理4 1 】 或 3 5 ，引理2 1 1 ) 下面，我们再给出离散动力系统中几个常用的定义 定义1 2 5 设x 是一个拓扑空间，vcx 称为完全不连通的。如果y 中每个连通分支都是单点集称y 为完全的，如果y 是闭的并且y 中的每 个点都是其它点的聚点( 或极限点) 若集合y 是一个紧的、完全不连通的和 完全的，则称y 是一个c a n t o r 集 定义1 2 6 设，：x x 和g ：y y 分别是空间x 和y 上的映射。 若存在一个同胚映射h ：x y ，使得h o f = g oh ，则称映射，与9 拓扑共 轭 4 山东大学硕士学位论文 拓扑共轭是一种等价关系【3 2 ，命题3 】，拓扑共轭保持系统的拓扑结构( 即 在拓扑共轭下，两个系统有相同的轨道拓扑结构) 因此，拓扑共轭的系统可 以看作是同一系统 为方便起见，引入下列记号在b a n a c h 空间( x ，0 ) 中，映射，的导 数是指f r e c m t 导数( 参见文献【3 6 】定义l o 3 4 或文献【3 7 】第9 节) ，用d f ( x ) 表示甩0 圳表示x 中有界线性算子l 的范数，即 l i l l i ：= s u p l l x i ：z x ，0 茁0 = 1 ) 对线性算子l