（应用数学专业论文）约化群对约化型齐性空间的proper作用.pdf

河南大学硕士学位论文 摘要 b o z e l 2 9 1 和h a r i s h - c h a n d r a 2 9 】在1 9 6 2 年己给出了一个著名的结果，即当日是 紧的时候，齐性空间g h 有一致格，也就是说有g 的离散群r 作用到g h 上是 真不连续的和自由的，使得r a 日是紧的 但是，当h 非紧的情况下，离散群rcg 作用到g u 不是自然地真不连续 的实际上只有g 的有限子群作用到g h 上是真不连续这种情况有时也会成立 在1 9 6 2 年c a l a b i 2 】和m a r k u s 2 首先找到了这种情况的例子s o + 1 ，1 ) s 0 ( n ，1 ) 现在对于一般情况，也得到了c a l a b i m a r k u s 现象的一些充分条件 为了研究一个群对约化型齐性空间g 日作用是真不连续的，我们将采取下面 的方法：先找到一个约化子群g7 对g h 作用是真的那么g ，的任何离散子群r 对g 日作用自然就是真不连续的，这种方法首先被k u l k a m i 2 5 1 使用这篇论文的 主要结果是：假设g = s l ( n ，r ) ，h = s l ( m ，r ) ，l = s l ( 2 ，r ) ，验证了三对齐性空问 g h 作用是真的 关键词：线性约化群，约化型的齐性空间，真不连续的 河南大学硕士学位论文 a b s t r a c t i ti saf a m o u sr e s u l td u et ob 0 r e l 2 9 a n dh a r i s h - c h a n d r a 2 9 】t h a th o m o g e n e o u s s p a c eg ha d m i t sau n i f o r ml a t t i c ei n1 9 6 2 ，i e i fh i sc o m p a c t ，t h e r ei sad i s c r e t e s u b g r o u pri nga c t i n gp r o p e rd i s c o n t i n u o u s l ya n df r e e l yo i lg hs ot h a tr g hi s c o m p a c t b u tu n l e s s 日i sc o m p a c t ，t h ea c t i o no fad i s c r e t eg r o u po nc hi sn o ta u t o m a t i c a l l y p r o p e rd i s c o n t i n u o u s l y i nf a c ti ts o m e t i m e so c c u r st h a to n l yf i n i t es u b g r o u pi ng c a l la c tp r o p e rd i s c o n t i n u o u s l yo ng h ，c a l a b i 2 a n dm a r k u s 2 f i r s tf o u n ds o ( n + 1 ，1 ) s o ( m1 ) i ss u c hac a s ei n1 9 6 2 ，n o ws o m es u f f i c i e n tc o n d i t i o n so i lt h e s ec a a b i - m a r k n sp h e n o m e n ah a v eb e e no b t a i n e di nag e n e r a le a s e t os t u d ya p r o p e rd i s c o n t i n u o u s l ya c t i o n0 1 1a r e d u c t i v eh o m o g e n e o u ss p a c eg h w e w i l lt a k et h ef o l l o w i n ga p p r o a c h ：f i n dar e d u c t i v es u b g r o u pg a c t i n go nc hp r o p e r l y ，s ot h a ta n yd i s c r e t es u b g r o u pro fg a c t sa u t o m a t i c a l l yp r o p e r l yd i s c o n t i n u o u s l yo l i c h t h i sa p p r o a c hw a sf i r s tp a r t i a l l yc a r r i e do u tb yk u l k a r n i t h em a i nr e s u l t so ft h i s p a p e r i s t h a t l e t t i n g g = s l m ，r ) ，h = s l ( m ，r ) ，l = s l ( 2 ，r ) ，i m a i n l yc h e c k t h a t l a c t i n go i lg hi sp r o p e r k e yw o r d s ：r e d u c t i v el i n e a rg r o u p ，h o m o g e n e o u ss p a c eo fr e d u c t i v et y p e ，p r o p e r d i s c o n t i n u o u s l y i i 关于学位论文独立完成和内容创新的声明 本人向河南太华提出硕士学位中请。本人郑重声明：所呈交舌奇学位论文是 本人在导师音勺辅导下独立完成的对所研究的课题有新的见解。据我所知，除 文中特别加瞄说明、标注和致谢的地方外，论文中不包括其他人已经发表或撰 写过的研究威晨，也不包括其他人为获得任何教育、科研机构舂勺孝住或证书而 使用过酌材料。与我一同工作的同事对本研究所做的任何贡献均己在论文中作 7 明确酌说明并表示7 谢意。 学位串请人( 荦住论文作者) 签名j 兰硷 2 0年月 日 关予攀位论文著作扳使露授权书 本人经河南大学审核批准援子硕士学住。作为学住论文的作者，本人完全 了解并同意河南大学有关保留、使用学位论文酌要求，即河南大学有枳响国家 图书馆、科研信息机构、数据收集机构和本校图书馆等提供学位论文( 纸质文 本和电于文本) 以供公众检索、查阑。本人授权河南大学出于宣扬、展览学校 学术发展和进行学术交流等目钓，可以采取影印、缩印、扫描和拷贝等复幸i 手 段保存、汇编擘位论文( 羝质文本和电子文本) 。 ( 涉度保密内睿酌学住论文在解密后适用本授权书) 学住获得者( 举住论文作者) 各名 2 0 学值论文指导救师签名 一至盒 年月 日 i 主：笺3 河南大学硕士学位论文 引言 设g 是一个李群，日是g 的闭子群，那么商拓扑g i h 具有c o o 流形结构，使 得 ：g _ g i h 是e 。映射，我们称g h 为齐性流形r c g 是g 的离散子群，那么双陪集r g 日 是否具有g 一流形结构，且使得映射 面：g + f g h 是c o 。映射? 如果成立的话，那么称双陪集r g i h 为齐性空间g i h 的c l i f f o r d - k l e i n 形式 从几何的观点看c l i f f o r d - k l e i n 形式，其中重要的一点就是 是局部的微分同胚，下图 p ：g h + f g h g ”面 g h 一9f g h 是可换的因此齐性空间g h 上的g 一不变的局部结构( 例如：仿射，复，对称的， 黎曼的或伪黎曼的) 可以诱导c l i f f o r d - k l e i n 形式r g i h 上同样的局部结构换而 言之，如果有离散群r ，双陪集空间r g i h 是一个商拓扑，且有g m 流形结构，使 得 面：g r g r 日 是c o o 映射，那么f g h 是一个与g h 具有同样局部性质的流形 这篇论文是在导师许以超教授的悉心指导下完成的 第一章问题简介及主要结果 当h 非紧的情况下，离散群fcg 作用到g 日不是自然地真不连续的实 际上只有c - 的有限子群作用到g 日上是真不连续的这种情况有时也会成立为 了研究一个群对可约型齐性空间g 日作用是真不连续的，我们将采取下面的方 法：先找到一个可约子群g7 对g 日作用是真的，那么g7 的任何离散子群f 对g i h 作用自然就是真不连续的，这种方法首先被k u l k a r n i 2 5 1 使用这篇论文 的主要工作是：验证s l ( 2 ，r ) 作用到上s l ( 仉r ) s l ( m ，r ) 是真的，其中n m ， g = s l ( 祀，r ) ，h = s l ( m ，r ) ，l = s l ( 2 ，r ) 引理1 1 ( 【g 】) ：设口1 ，口2 是。的两个子空间，a l ，如是对应于q ，眈的解析予群， 那么下面两个条件是等价的： ( 1 ) 对于李群g 的紧子集s ，s a i s 4n a 2 是紧的 ( 2 ) 对任何紧 0 ；口) ， f l i n 叻= o ) 引理1 2 设a 1 ，d 2 是。的两个子空间，a l ，a 2 是对应于d l ，a 2 的解析子群如 果在g 中存在紧子集s ，馒得 那么就有序列 且有 使得 s a l s 一1n a 2 是紧的 。秆，k g ，】乞口1 ，么口2 ，t b r + ， ( 佗n ) 口，b g ，y 口l ，z a 2 ，w w ( g ，n ) u m 如= ， l i ma n = 口，l i mk = b ， 熙5 e 怒磊2 z ， a n = e x p ( k 磊) b 。e x p ( - t n w k ) ( 1 1 ) ( 1 2 ) ( 1 3 ) ( 1 4 ) 其中 y 和z 包含在根系( g ，o ) 的同一个闭的w e y l 房里面 定理1 3 假设h 1 ，h 2 是线性约化群g 的约化子群，a ( h 1 ) ，o ( 日2 ) ，o 分别是 啦，啦，g 的最大可分交换子空间固定m g ，使得啦；a d 渤) o ( 日) cd ，0 = 1 ，2 ) 那 么下面三个条件是等价的： ( 1 ) 凰作用到g 日2 上是真的( 1 5 ) 2 河南大学硕士学位论文 ( 2 ) 玩作用到g h i 上是真的( 1 6 ) ( 3 ) 蜘- 口1 n 眈= o ) v w w 7 ( g ；口) ( 1 7 ) 这篇论文主要是通过下面的方法来验证了工对齐性空间c h 作用是真的 第一步，通过不可约表示把s l ( 2 ，玻) 看作s l ，r ) 的子群，其中 以一。：s l ( 2 ，r ) _ s l ( 几，r ) ( 1 , 8 ) 是不可约表示 由于s l ( 2 ，r ) 的不可约表示空间是所有的齐次多项式组成的空间，设它是k 次齐次多项式，即 足弦，引= r z ，z 。一1 y ，。2 2 护，。矿一1 ，y ) 兰r k + 1( 】9 ) 所以 s l ( 2 ，r ) 最陋，鲥 等价于 m ：s l ( 2 ，r ) 一g l ( k + 1 ，r ) e x p ( x ) he x p ( d p k ( x ) ) 其中谚舰：s l ( 2 ，r ) 一g l + l ，瓞) ) ，e x p 是李代数到李群的指数映射 由李群知识知道 p 。：s l ( 2 ，r ) 一g l 佧+ 1 ，r ) 咖：s l ( 2 ，r ) 一舀 + 1 ，r ) 其中 ( 1 如) ( 1 1 1 ) ( 1 1 2 ) ( 1 1 3 ) d z a x ) f ( z ，影) = d d t f ：o ( 以( e t x ) ，) ( ，) ( 1 ，1 4 ) 第二步，求d 以( 8 1 ( 2 ，r ) ) 的c a x t a n 子代数 设日= f ：一o ) f - 醒) 是s ，c 。，r ，簦j c a r t a n 子代数，所以a mc 日+ ，是 d p k ( s l ( 2 ，r ) ) 的c a f t a n 子代数 因此 d p k ( h ) = a) f 11 ( 、， 幔an 七 、，；， 七一 2+一 3 2一七 河南大学硕士学位论文 第三步，考虑s l ( m r ) 的c a r t a m 分解 下面先证明8 1 ( n ，r ) 的c a f t a n 子代数与最大可分交换子空间相等 设9 = s l ( n ，r ) p ：g g ， x h x 。 可以验证上面定义的8 是李代数的c a r t a n 对合自同构 有了c a f t a n 对合自通构之后，那么就考虑s l ( n ，豫) 的c a z t a n 分解 g = op ( 1 1 8 ) 其中是8 l ( r ) 中的斜对称矩阵，p 是s l ( n ，r ) 中的对称矩阵，ocp 是最大可分 交换子空间，那么就可推出 。ih - 眈h - 口3 + - f a n = 0 ，毗e r ，v i ( 1 1 9 ) 由李代数的知识知道s l ( n ，r ) 的c a = t 姐子代数口= o 第四步，下面要找= 和。一l ( s l ( 2 ，r ) ) 和巧= s l ( m ，r ) 的最大可分交换子空间 上面已经计算的c a c t a n 子代数 一n + 1 由李代数的知识知道最大可分交换子空问吒= 吼，所以 吒2 吼2 i 1 n 一3 一站+ 3 l n n ， i 扎n ，a r ) ( 1 2 0 ) o ，则日的李 i 璩 q n 2 0 1 o ，。，一 、l， 3 + 他 一 3 一 扎 l忍 ，。、 ，i = 钆 、， 1 + n rm 0 ls ，一 = ， 即群予 0 的 哟 ls 成 看卜 哟 0 o 嘞 乩 o = 俎 h ，一 把 是 们 数 我 代 河南大学硕士学位论文 同理有 a l 0 o 口】+ 也2 + + = 0 ，研r ，v t ( 1 ，2 1 ) 第五步，证二n g h 是真的当且仅当u a l n 咐= o ) ，v u w g 我们知道s l ( n ，腱) 的w e y l 群w c 是n 阶置换群，所以w e 中元素对a l 作用 相当于置换对角元素 因此对于v w a ， n a l 几一3 o o 一竹+ 3 一凡+ 1 n n ， ，口f 取 ( 1 2 2 ) 所以w o 工n 口。= ( o ) 当且仅当n 是偶数或者n m + 2 因此从上述过程我们推出了下面的定理 定理1 4 l a g h 是真的，其中g = s l ( n ，r ) ，h = s l ( m ，r ) ，l = s l ( 2 ，r ) 5 、l，tl 一 日 竹 m( l ， 0 使得 s u p 慨一k | | m ，毒骢l i 。o 。 ( 2 2 7 ) 设极限2 ：= “m 丌 知是存在的，那么由 | 【志一点i f = 斧尚一，一。) ( 2 ：8 ) 则有l i r at = ：又因为日和l 都是闭锥，所以我们推出i l n h 因此 i l 岬il l l n h 0 ， ( 2 ) 很显然由l = 日能得到l 一日 下面我们证明由l 一日推出工= h 取紧子集s 使得l c 日+ s ，那么对任意的二和任意的n 琅，有疵l ，于 是我们能找到k h ，h s 满足州= k + 5 。，所以我们有了n i - 8 , 1 = 等日因 此当趋于0 0 时，我们有i 日，又因为日是闭的，这意味着lch ，同理日c 上， 所以我们推出了( 2 ) 引理2 2 6 设g ，是局部紧的拓扑群g 的一个闭子群，日和l 是g7 的子集， ( 1 1 如果在g 里有h l ，那么在g 里有日一l ( 2 1 如果在g 里有日m 三，那么在g7 里有日m 三 2 3 真作用的一些准则 从这以后我们设g 是一个实线性约化群，g 包含在个连通复李群g c 里( g 不一定连通，例如g ：g l ( n ，r ) ) ，取定g 的一个最大紧子群k 设日是g 的 c a f t a n 对合自通构，记g ：e + p 是李群g 的李代数g 的c a r t o n 分解我们取定 一个最大交换子空间a g ；ocp 所有这些交换子空间关于k 中的元素都是英辘 的口的维数称为g 的实秩，记为r s l k r g ，我们设a 为g 的连通子群且有李代数 o m 表示口在k 里的中心，m 7 表示。在里的正规化子，有限群t ：= m 7 ，m 是限制根系( g ，a ) 的w e y l 群，它能有效地作用到a 上 b 河南大学硕士学位论文 g 有c a r t a n 分解 g = k a k ( 2 3 1 ) 在( 3 3 1 ) 中，对任意的9 g ，在共轭的意义下，存在唯一的口( g ) a 使得 g k a ( g ) k ，( 2 3 2 ) 定义2 。3 1 对于g 的每一个子集厶定义 a ( 厶) ：= a n k l k = t j o ( 夕) i w a ，g 工) c a( 2 3 3 ) a ( l ) 。= l o ga ( l ) co ( 2 3 4 ) 这里l o g ：a _ o 是e x p ：口_ a 的逆映射 引理2 3 4 设l 是g 的子集 ( 1 ) a ( l ) 是一个w - g 不变子集， ( 2 ) 在g 里面有l a ( l ) ， ( 3 ) l 是g 的一个闭子集当且仅当a ( l ) 在口里面是闭的， ( 4 ) 如果l 7cl 是g 的子集，使得可= l ，那么j 丽= a ( 工) ， ( 5 ) 如果l ，l 是g 的子集，使得k l k = k l k ，那么a ( l 7 ) = a ( 工) 证明：( 1 ) ( 3 ) ( 5 ) 是显然的这里不再证明 ( 2 ) 因为lck a ( l ) k ，a ( l ) ck l k 由此可推出结论 现在证明( 4 ) 由( 3 ) 能推出a ( l ) 是闭的，又因为a ( l 7 ) ca ( l ) 得出 a ( 上) c a ( 工) 反过来由于l 7 = k a ( l ) k ，我们有 l 7 = k a ( l 7 1 k = k a ( l ) k 因此 a ( l 、ck l k = k u k = k a ( u ) k 所以有 的 a ( l ) c a ( l 7 ) ( 2 3 5 ) ( 2 3 6 ) ( 2 3 7 ) ( 2 3 8 ) _ 定理2 3 5设l 和日是实线性约化群g 的子集，那么下面四个结论是等价 在g 里有日m l 9 ( 2 3 9 ) 河南大学硕士学位论文 ( 1 ) 7 在g 里有a ( h ) m a ( l ) ( 2 ) ( 2 3 9 ) 7 在d 里有口( 日) c hd ( l ) ( 2 3 1 0 ) ( 2 ) 7 在a 里有a ( h ) r h a ( l ) ( 2 3 1 0 ) 7 证明的基本思路：从引理2 3 4 的( 2 ) 和引理2 2 3 就可以推出( 1 ) 与( 1 ) 7 等价 因为e x p ：a = a 是李群的同构，所以( 2 ) 与( 2 ) 7 等价很容易推出从引理2 3 4 就 能得到( 1 ) 推出( 2 ) 7 唯一不太好证的就是( 2 ) 推出( 1 ) 7 ，我们将在后面给出证明 推论2 3 6 设g 是一个实线性约化群，日和l 是g 的闭子群，那么下面条件 是等价的： ( 1 ) l 作用到齐性空间g h 是真的 ( 2 ) 对于。的任意的紧集v ，( a ( l ) + v ) n o ( 日) 是紧的 更进一步如果工是g 的离散子群，那么( 2 ) 与( 1 ) 是等价的，其中( 1 ) 为l 作用到齐性空间c s - s 是真不连续的 心 2 4 证明2 3 5 在这部分要证明2 3 5 中( 2 ) 推出( 1 ) 7 设g 是一个实线性约化群，g = e + p 是其李代数的c a x t a u 分解，础) 是g 的中 定义g 的理想 一：= b ，g n0 0 ) c i t ) ， ( 1 4 1 ) 那么 g = 9 7 + 白 ( 2 4 2 ) 其中：= j ( g ) n p 设c a ：e x p ( 勺) ( cg ) ，g ，是与g 的每一个连通分支都相交的g 的正规子群 且其李代数是g ，那么g = g 7 c g ，对应这种分解有 9 = g g 。g 2 g7 ，x = x 7 + x 。g 型一oc g ， ( 2 4 3 ) 那么o d ( o ) b 给出9 的分解： g = g ( o ；o ) + g ( o ；a ) 口 1 0 ( 24 4 ) 河南大学硕士学位论文 这里 g ( o ；口) ：= x g ；【只x 】= o ( 日) x ，v 日口) ，v o o + ， ；( g ，a ) ：= 忙矿；g ( a ；口) o n o ) 对于v 口u o ) ，定义投影映射： p o ：g _ g ( o ；a ) 对于y a 定义g 的包罗子代数为： p ( y ) = n ( y ) + 【( y ) ：= g ( d ；n ) + g ( d ；a ) a w ) o ( y ) = o 因为g 包含在一个连通复李群g o 里，那么对应的g 的包罗子群为 p ( y ) ：一n c ( k y ) ) i d g ：a d 0 ) p ( y ) = p ( y ) ) = l v ( y ) l ( y ) ， 其中 n ( y ) = e x p n ( y ) ) ，l ( v ) = p ( v ) n o p ( y ) = z g ( y ) 假设口l ，1 1 2 是a 的w g 不变子集，定义 a j ：= e x p ( 吁) ca ，0 = 1 ，2 ) ( 2 4 ，5 ) ( 2 4 6 ) ( 2 4 7 ) ( 2 4 8 ) 如果在g 里面a 1 和a 2 不是真的，也就是说存在g 的一个紧子集s 使得s a l s 一1 n 如不是相对紧的，那么我们找到序列 ，k s ，碥t l i ，z n t 1 2 ( 礼n ) 使得 a n e x p 陬) k 1 = e x p ( 磊) ， 磊：n n ) 不是相对紧的 我们固定一个正的w e y l 房耳，也就是一个连通分支一：= 日d ：a ( 日) 0vo t ) 的闭包，和一个。的w o 不变度量| 我们用合适的序列代替 a n ，h ，k ，磊，若找不到的话我们用w 0 对其共轭，那么有下面约定： 约定2 4 1 设有序列，k g ：碥，磊a n ) ，那么有。，b g ，y z 耳1 0 ) 使得 碥o l ，z k a 2 ( 扎n ) ， a n = e x p ( 磊) 如e 印( 一k ) 1 1 ( 2 4 9 ) ( 2 4 。1 0 ) 河南大学硕士学位论文 恕吲2 熙吲2 一l i m 尚2y ，熙闳z ；n = 互 ( 2 棚) 溉。o ，熙k 。6 ( 2 4 1 2 ) 对于v a ，卢( g ，o ) 和v g ( 口，d ) ，通过等式( 2 4 1 0 ) 我们能得出公式： 即( a d ( ) x o , ) = e x p ( 卢( 磊) 一q ( k ) ) 邪( a d ( k ) j 毛) ( 2 4 1 3 ) 现在我们将解释剩下证明定理2 3 5 的步骤：我们将要证明引理2 4 ，7 ，t ：= 碥一磊： n n