（水文学及水资源专业论文）基于卡尔曼滤波的水动力学模型的实时校正方法研究.pdf

摘要 本文回顾了卡尔曼滤波技术应用在实时水文预报中的研究进展，对水动力学 模型的实时校正提出基于卡尔曼滤波的多步( 交替) 滤波校正的思路。 本文研究了对水动力学模型应用卡尔曼滤波技术进行实时校正的可行性，采 用的四点线性隐式格式对圣维南方程组进行离散，组建状态空间方程。提出对单 一河道一维水动力学模型的多步( 交替) 滤波实时校正方法，即对以水位、流量、 糙率为状态向量的三个状态空间分别应用卡尔曼滤波模型进行交替滤波，实现状 态量的校正和模型参数的自动调整。对卡尔曼滤波器参数的确定进行了试验，试 验提出了各状态空间的滤波参数的估计方法以及参数的取值范围。 利用所研究的校正方法在长江干流清溪场至奉节河段进行了试验，分别以水 位和流量为状态向量进行交替滤波，对于糙率为状态向量的参数估计方法有待日 后进一步的试验分析。将校正的模拟预报及多步外推预报的成果与不校正的模拟 预报结果进行对比，预报的误差明显下降，预报精度提高，试验取得了预期效果。 关键词：水动力学模型、实时校正、卡尔曼滤波法、多步( 交替) 滤波校正、 卡尔曼滤波器参数估计 a b s t r a c t t h i sp a p e rr c v i e w st h ef e s e a r c h e so nt h ea p p l i c a t j o no fi ( a l m a i lf i l t e rt e c h n i q u et o t h er e a l t i i n eh y d r o l o 百cf o f e c a s t i n g am e t h o do fm u l t i s t e p ( a l t e m a t e ) f i l t c t i n g c o r r e c t j o n0 nh y d r o d y n a m i cm o d e lb a s e do nk a l m 柚f i l t e r i n gi sp r o p o s e d t h ef c a s i b i l i t yo fa p p l i c a t i o no fk a i m a nf i l t e r i n gt or e a lt i m ec o r r e c t i o no f h y d r o d y n a m i cm o d e li sd i s c u s s e di nt h ep a p e fa n dt l l es t a t e s p a c ee q u a t i o nc a nb e e s t a b l i s h e du s i n gt h ed i s c r e t es t v e n a n te q u a t i o n sb yt h ef o u r - p o i n tl i n e a ri m p l i c i t s c h e m e t h ea p p r o a c ho fm u l t i s t e p ( a l t e m a t c ) f i l t e r j n gr e a lt j m ec o r r e c i i o no no n e d i m e n s i o n a lh y d m d y n a m i cm o d e lo ft h es i n 舀er i v e ri sa d v a n c e d i nt h i sa p p r o a c h ， t h r e es t a i e s p a c ee q u a t i o n st h a tu s ew a t e rl e v e l ，d i s c h a 唱ea n dr o u 曲n e s sa ss t a t e v e c t o r sr e s p e c t i v e l ya r ee s t a b l i s h e da n dk a l m a nf i h e r i l l gi sa p p l i e da i t e m a t e l yt ot h e t h t e es t a t e s p a c ee q u a t i o n s ，w h i c ha c h i e v em ec o r r e c t i o no fs t a t ev a t i a b l e sa n d a u t o m a t j ca d j u s t m e n to fm o d e lp a r a m e t e la d d i t i o n a l ly ，p a r 锄e t e r so fk a l m a nf i l t e r a r ee s t i m a t e db yt r i a l sa n dt h ee s t i m a t i o nm e t h o d sa i l dt h er a n g eo ft h e i rv a l u e sa r e p u tf o r w a r d t h ec 0 c c t i o nm e t h o dt h i sp a p c rd e v e l o p si sa p p l i e dt ot h er e a c hf r o m o j n g x i c h a n gt of e n 百i eo f1 y 抽g t s er i v e li nt h i se x 锄p l e ，k a l m a nf i l t e d n gi sa p p l i e d a l t e r n a t e l yt ot h es t a t e s p a c ee q u a t i o n st h a u s ew a t e r l e v e l ，d i s c h a f g ea i i dr o u g l l n e s s a ss t a t ev e c i o r sr e s p e c t i v e l ya n dt h ee 脏c to ft h ep a r 锄e t e re s t i m a t i o nm e t h o du s i n g r o u 曲n e s sa st h es t a t ev e c t o rn e e df u r t h e rs t u d yi nt h ec x a m p l e c o m p a r i s o nb e t w e e n r e s u l t so ff o r e c a s t i gw i t hc o e c t j o n 柚dm u l t is t e pc x t r a p o l a t i o nf b r e c a s t i n ga i l d r e s u l t so ff o r e c a s t i n gw i t h o u tc 0 玎e c t i o nd e m o n s t r a t et h a tt h ef o r e c a s t i n ge r r o r d e c r e a s e sa n df o r e c a s t i n ga c c u r a c yi i n p r o v e s t h ea p p l i c a t i o no ft h ec o f r e c t i o n a p p i o a c hp r o v e sr e a s o n a b l ea i i de f f c c t i v eb yt h i sa p p l i c a t i 帆 k e yw o r d s h y d r o d y n a 耐cm o d e l ，r e a lt i m ec o “e c t i o n ，k a l m a l lf i l t c r i n 舀m u t i s t c p ( a l t e m a t e ) f i l t e r i n gf o r e c a s t i n 昏e s t i i n a t i o n so f 蹦m a i l 用t c rp a 姗e t e r s 学位论文独创性声明： 本人所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取稠 的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中 不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果。与我一同工作的同事对本研 究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。如不实， 本人负全部责任。 论文作者( 签名) ：垒鲤碰2 0 0 6 年6 月1 5 日 学位论文使用授权说明 河海大学、中国科学技术信息研究所、国家图书馆、中国学术期刊( 光 盘版) 电子杂志社有权保留本人所送交学位论文的复印件或电子文档，可 以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。本人电子文档的内容和纸质 论文的内容相一致。除在保密期内的保密论文外，允许论文被查阅和借阅。 论文全部或部分内容的公布( 包括刊登) 授权河海大学研究生院办理。 论文作者( 签名) ： 避盈 2 0 0 5 年6 月1 5 日 基于卡尔曼滤波的水动力学模型的实时校正方法研究河海大学硕士学位论文 1 1 问题的提出 第一章绪论 洪水预报是防洪减灾的重要非工程措施之一，准确及时的洪水预报，为正确 做出防洪决策提供了科学依据，可以获得减免洪灾损失的巨大经济效益和社会效 益。因此有效的实时洪水预报在非工程防洪措施中发挥重要的作用。 实时洪水预报是一种在联机水情测报系统中，使用实时雨、水情及其它有关 水文气象信息作为洪水预报模型输入，并不断根据新信息校正或改善原有模型参 数，力争预报结果逐步逼近真值的洪水预报【l 】。这种预报要满足实时性，时段要 短，预报速度要快。与脱机洪水预报比较，实时洪水预报所使用的信息的质量一 般较差。实时洪水预报使用的遥测或报汛资料，般就不及脱机洪水预报采用的 整编水文资料完整、可靠，采用的流量资料往往由水位流量关系求得，同时预见 期内的降雨量是未知的i ”。由于上述种种原因，在联机系统应用时，这种误差常 常会累积起来，使得预报结果误差较大，甚至令人无法容忍。因此，在发布实时 洪水预报之前，对预报值进行误差实时校正是十分必要的。 实时校正就是在实时洪水预报系统中，每次预报作出之前，根据当时的实测 信息( 新息) ，对预报模型的参数、状态变量、输入向量或预报值进行某种校正， 使其更符合客观实际，以提高预报精度【“。它是实时洪水预报系统的重要内容。 没有实时校正能力的模型，随着预报时问的推移，预报模型的误差会累积起来， 从而使预报精度大大降低。实时校正能力的强弱，对实时预报模型的精度有重大 影响，对最大预见期的取得也至关重要。提高实时校正能力，是建设水情自动测 报系统的关键。实时校正方法研究是本论文的研究重点。 卡尔曼滤波算法因其具有完整和严密理论体系，而成为洪水预报实时校正领 域内的主流。它将状态变量法引入到滤波理论中，用消息与干扰的状态空间模型 代替了通常用来描述它们的协方差函数，将状态空间描述与离散时间更新联系起 来，适用于计算机直接进行运算。这种算法得出的是表征状态估计值及其均方误 差的微分方程，给出的是递推的算法，它易于用计算机求解，求解过程比较简单， 适于实时处理。对于具体的洪水预报工作，卡尔曼滤波算法具有广阔的应用前景。 基于卡尔曼滤波的水动力学模型的实时校正方法研究河海大学硕士学位论文 河段洪水预报河段洪水预报依据的是洪水波在河段中的运动规律，即洪水波 的传播、坦化、变形规律。按照描写洪水波的数学方程式不同，洪水演算法可分 为水文学方法、水力学方法和系统学方法【。洪水演算法中的水文学方法，以求 解河段水量平衡方程和槽蓄方程为基础，一般只能作流量演算且只适用于自由下 边界条件，难以考虑下边界的回水顶托影响，不能适应对水情的详细预报。基于 完全圣维南( s t v c n a n t ) 方程组的水力学方法可以较好地模拟河道中的水流运动， 以求解完全s t v c n a n t 方程组或简化s t v c a n t 方程组为基础，可同时求得断面 的流量和水位过程。水动力学模型应用于洪水预报，主要解决水文学方法无法解 决或解决得不甚理想的一些课题【3 】，例如：复杂水情、分汉水系及分洪和溃口等 预报对象以及河道断面特征发生了明显变化后的水力要素计算；尤其当需要计算 河道内任何断面任何时刻的水位、流量等要素时，水动力学模型通常为首选方法。 多年来，国内外学者对水动力模型应用于洪水预报开展了大量研究，然而，由于 其预报精度不甚理想，长期以来未能在实时作业预报中得以广泛应用。所以水动 力模型实时校正方法研究具有很高的实用价值，本文将对卡尔曼滤波技术与水动 力学模型联合起来应用于实时洪水预报进行研究和探讨。 1 2 研究进展 预报误差可表现为系统误差，也可表现为随机误差，因此，在发布实时洪水 预报之前，对预报值进行误差实时校正是十分必要的。通常使用的实时校正方法 有卡尔曼滤波法、递推最小二乘法、误差自回归法和自适应算法等。卡尔曼滤波 法因对系统的状态变量进行最优估计，既可以达到最小方差，又不损失预见期， 是一种比较理想的实时校正方法1 1j 。 “实时”( r e a l t i m e ) 是计算机科学用语。控制理论上实时预报的核心技术 是利用“新息”( 当前时刻预报值与实测值之差) 导向，对于系统模型或者对预 报做出现时校正。系统动态识别( 亦称参数自适应估计) 及卡尔曼滤波( i ( a l m 皿 f j l t c j 血g ) 及时这类方法的典型代表。从2 0 世纪6 0 年代以来，以卡尔曼滤波理 论为代表的实时预报的思想的出现正好可以解决洪水预报上“现时校正”苦于没 有理论严密的方法的难题。于是它自然的逐步引进到洪水预报的领域中来1 2 】。 基于卡尔曼滤波的水动力学模型的宴时校正方法研究 河海大学硕士学位论文 1 2 1 卡尔曼滤波应用于实时洪水预报的研究进展 从六十代以后，以卡尔曼滤波理论为代表的实时预报的思想，逐步引进到洪 水预报领域中来。 1 9 7 0 年，日本学者h i i l o ，在论文“使用线性预报滤波器的径流预报”【4 】提 出将卡尔曼滤波理论应用于水文预报研究，并在他1 9 7 3 年论文“水文系统在线 预报1 4 j ，中加以发展。他明确提出，卡尔曼滤波适用于水文预报，并用卡尔曼滤 波器递推地估计降雨径流的响应函数，但他使用的是理想的观测值，并未完成出 流的全部预报。1 9 7 8 年，伍德( w j o d ) 和肖洛克纳吉( s i o l l o s i n a g y ) 在论文“一 个对于在水文预报模型中分析短期结构和参数变化的自适应方法( 5 】”中全部完成 了使用卡尔曼滤波递推估计降雨径流系统响应函数的研究。 意大利b o l o g n a 大学教授托迪尼对洪水实时预报方法研究上，卓有贡献。 他在1 9 7 5 年的“一种降雨径流的卡尔曼滤波模型【6 】”、1 9 7 6 年的“实时水文预报 的一种自适应、参数估计算法【7 1 ，、1 9 7 7 年“水文时间序列实时预报的一种状态 空间模型【8 j ，、1 9 7 8 年的“交互影响和状态一参数( m i s p ) 估计方法 9 】，等一系列 论文中，建立了m i s p 算法，与c l s 模型联合使用，成为第一个具有实时预报 功能的洪水预报模型。但是，现在看来，m i s p 方法在算法的收敛性、与约束线 性系统的适配等方面还有不足。 1 9 8 0 年，库珀( c o o 口e r ) 和伍德在论文“水文输入输出模型的识别和参数 估计【l o 】”中提出，在观测资料存在噪声时，模型的识别和参数估计可以用卡尔 曼滤波的方法来完成，并讨论了单输入、出系统的情形。同时，他们还在论文“系 统和测量噪声未知的水文状态空间模型的参数估计【1 1 j ”和“水文空间模型的未知 参数和新息协方差的极大似然估计【1 2 1 ”中，讨论了将水文模型转换为状态空间 后，模型误差协方差o 和观测误差协方差r 的估计问题。 最具代表性的一项研究工作是美国关于萨克拉门托流域模型( 美国天气局 n w s ) 用于实时预报的研究。概念性水文模型除去汇流部分外，还包含了产流 量预报，模型多为非线性。如何使得现有的水文预报模型得到实时校正功能，在 系统理论上没有现成的方法可用，需要深入研究。 1 9 8 0 年，凯特尼迪和伯拉斯发表了论文“用概念性水文模型进行实时预报 1 47 j ”，报告了对n w s 模型进行实时化处理的第一个研究。这一研究在1 9 8 2 年由 基于卡尔曼滤波的水动力学模型的实时校正方法研究 河海大学硕士学位论文 波沙达( p o s a d a ) 和伯拉斯在论文“一个大概念性降雨径流模型的自动参数估 计：一种极大似然法1 1 3 】”中，推广到萨克拉门托流域模型中。论文提出，将n w s 原萨克拉门托模型改造成非线性状态空间，状态向量由八个模型变量组成：上层 张力水蓄量；下层张力水蓄量：下层慢速自由水蓄量；下层快速自由水蓄量；附 加不透水面积蓄量；河槽蓄量；线性水库演算系数k ；出口断面瞬时流量。而系 统状态向量滤波校正的新息采集位置设在出口流量上。状态转移矩阵代表了状态 向量随时间变化的关系，量测矩阵代表状态向量和观测变量之间的关系，它们均 可以从n w s 模型的各环节计算公式中对应地一一表达出来。然后，把f h 中属 于非线性函数的部分用泰勒级数展开，取一次项实现线性化，再使用扩展的卡尔 曼滤波器实现模型的实时预报。 此后，围绕这种新的算法，许多学者在n w s 模型参数自动识别，滤波器使 用中参数矩阵的确定等问题，进行了一系列研究。1 9 8 7 年卡洛斯( c a r l o s ) 和伯 拉斯在论文“非线性滤波在河川径流实时预报中的应用”【“l 中进一步讨论了非 线性滤波技术，提出为了减少线性化的误差，采用一种向前、向后平滑处理的算 法，称为迭代推广卡尔曼滤波平滑器( i e l f s ) 。算法经在伯德河流域尝试，认 为效果较好。此文在实验后提出了一些独特的见解：对于n w s 模型用近似的非 线性滤波比动态系统模拟效果好一些：滤波器形式选择不如准确的寻求模型噪声 参数更重要 1 9 8 1 年，伍德在论文“分区大规模水文系统的滤波【1 5 ”中，对大流域上使 用卡尔曼滤波器技术进行了研究。作者建议采用分区子系统的处理方式，建议用 增补噪声过程的技术补偿预报误差，以处理子系统之间相互影响的难题。 1 9 8 6 年，摩尔( m o l l ) 在河川径流模拟与预报f 1 6 】中，介绍了在莱茵河上 使用的一种实时预报方法。此法使用一个确定性的洪水演算模型与一个随机噪声 模型相结合，实现实时预报。演算模型采用有定常参数的对流扩散方程的显式差 分数值解，认为是预报的“初步值q l ”，以0 1 作为一个回归模型的输入，再求 出最终预报值q 2 ，即q 2 ( t ) = a t + b t q l ( t ) 。以实时修正向量x t - 【a t ，b l 】t 作为状态向量， 构造一个状态空间模型： x t 2 x r l + w t q 2 ( t ) = 【1 ，0 1 ( t ) 】7 x t + v t 4 ( 1 1 ) ( 1 2 ) 基于卡尔曼滤波的水动力学模型的实时校正方法研究河海大学硕士学位论文 这是一个“随机游动”模型，采用卡尔曼滤波器可对x t 进行进行实时估计， 以x t 作为修正系数就可以从q t ( t ) 实时地校正为q 2 ( t ) 。这项研究对于水动力模型 实时校正方法研究有重要的启发意义。 葛守话在“一般线性汇流模型实时预报方法的初步探讨【1 7 j ”一文中，对于 系统数学模型、参数动态识别、各种滤波技术的方法性能进行了试验比较，对于 托迪尼建议的m i s p 算法存在问题进行研究后，建议了一种用衰减记忆在线识别、 衰减卡尔曼滤波和匹配法自适应滤波联合运用的算法。此算法在t o d i n i 算法基础 上进行了创新，理论性能比较完备，实际使用效果则超过了m i s p 算法。 1 9 8 4 年，葛守西在“蓄满产流模型的卡尔曼滤波算法1 1 8 】”一文中，建议了 以土壤含水量为状态变量，应用卡尔曼滤波技术对于产流预报进行动态实时校正 的新技术，这是在国内外概念性水文模型实现实时校正技术的一次突破。 1 9 8 7 年，朱华在“马斯京根法的矩阵方程求解法【1 9 j ”一文中，对于一个可 分为多个子河段的长河段，尝试以各子河段的出口流量作为状态向量，将一个多 河段的马斯京根演算问题变为一个状态向量的递推问题，从而为使用马斯京根法 进行实时预报提供了一个可用的模型形式。1 9 8 8 年，朱华在“大型水电系统实 时洪水预报与调度模型【2 0 l ”中，介绍了在黄河三花区间、鲁布格水库上使用的 一种实时预报模型，它以多河段马斯京根演算方程作为状态空间方程，其中以各 子河段出口断面流量作为状态向量，再以单位阵作为观测矩阵构造观测方程。于 是可以使用卡尔曼滤波技术实现河系演算的实时预报。在具体做法上，模型的马 斯京根法的矩阵方程的系数是采用作者设计的依据参数物理意义进行逐时段校 正，使之成为时变系统，正规卡尔曼滤波则用于校正系统的状态向量。 当系统的非线性较强时，扩展的卡尔曼滤波器容易引起滤波发散导致结果的 发散。为了改善这种状况，集合卡尔曼滤波( e n k f ) 被应用到水文预报中， m o r a d 】( h a n i 等基于这种滤波方法采用一种双重状态一参数估计的算法同时对参 数和状态变量进行校正，进行实时预报取得了较好的效果【”j 。 当然，卡尔曼滤波法应用于实时水文预报中的适应性以及预报效果也曾遭到 质疑，j o z s e fs z i l a g y i 在自己的研究中证实了基于卡尔曼滤波法的实时预报的 效果确实优于传统的水文时间序列预报1 2 3 j 。 基于卡尔曼滤波的水动力学模型的实时校正方法研究河海大学硕士学位论文 1 2 2 河网水动力学模型研究进展 研究水流运动规律的主要方法有三种：现场观测、物模试验及理论分析。由 于实际工程问题边界几何形状的不规则和流动的非线性性质，理论分析解很难求 得，因此，多采用实验手段和数值计算来解决。对于解决潮汐地区河网水流运动 规律、水力、水质问题，物理模型和实验手段似乎显得无能为力，尽管问题己经 简化成一维情形，但由于河道纵横交错，水流在河道中流向不定，试验中无论是 人工或是自动调节都极为困难。理论分析求解析解更不可能，目前还未出现求解 一般的复杂边界条件下的非线性偏微分方程组的解析方法。因此除了现在对原型 的观测外，较实用的方法就是数值模拟。 描述河网地区河道水流运动的基本方程组是s t v e n a n t 方程组，包括连续方 程和动量方程，它属于非线性双曲型偏微分方程组。这类方程没有可普遍适用的 解析解。随着计算机的出现和计算机技术的飞速发展，近三四十年来，在水流运 动的数值计算方面也获得蓬勃发展，并形成了水力学的新分支一一计算水力学。 对河网水力的数值模拟是计算水力学中一个重要的内容。 河网水力计算可归结为一维s t v e n a i l t 方程组的求解问题。在早期计算机运 算速度相对较慢、存贮量较小的时候，人们只能求解简化形式的s t v c n a t 方程 组。先后出现了纯经验方法，如通过对某一河段的入流和出流大量充足的观测资 料来率定基本的经验关系及参数；线性化方法，如略去重要的非线性项或是将非 线性项线性化得到可进行积分求解的简化方程组；基于质量守恒方程的水文学方 法以及简化形式的水力学方法。但是这些简化计算方法不仅精度低，且其适用范 围受到简化假定的限制，不是普遍适用的方法。自从s t o k e r 【2 4 l 将完整的s 1 、，e n a n t 方程组用于河流洪水计算以来，出现了大量的针对完整s t v c n a i l t 方程组的数学 模型，根据其离散方法的不同，分为显式和隐式。显式方法的先驱是s t o k e r ，其 后勋m p h u i s 将显式方法用于模拟河道及水库的洪水，c i l n g e 【2 6 l 给出了数种显 式差分格式的表达式及分析结果，对于每一计算时刻，关于计算断面的未知量， 显式方法可以直接从代数方程组中得出结果。由于显式方法在计算的稳定性要求 方面存在时问步长限制，于是出现了隐式方法。隐式方法要求解代数方程组。代 数方程组又分为线性和非线性两种，前者既可以用直接法又可用迭代法求解，而 后者要用迭代法求解。在迭代法中，n e w t o nr a p h s o n 【2 7 1 方法以其收敛速度快的特 基于卡尔曼滤波的水动力学模型的实时校正方法研究 河海大学硕士学位论文 点而较为普遍地用于求解非线性代数方程组中。对于各种隐式差分格式的数值稳 定性和精度问题，很多学者【4 孙l 作了研究。对线性定解问题，隐式差分格式都是 无条件线性稳定的，其稳定性是与时间步长和空间步长无关的。然而s t v e n 孤t 方程组是非线性方程组，c i l n g e | 2 8 】等发现，对于随时间变化迅速的水流的模拟， 若时间步长太大，由于线性化误差会出现数值不稳定，对于由截面在纵向及垂向 变化迅速而引起的非线性，也会出现数值不稳定。同时时间步长还受精度、波形、 c 0 u r a n t 条件、空间步长及隐式格式类型的限制。 对s t v e n a l l t 方程组的隐式差分格式的解法，其线性方程组的求解技术是极 为重要的。较为有效的是f b a d 【4 5 】的关于五对角元的压缩存贮消元法及c u n g e l 2 6 】 的双追赶方法。这两种方法在目前的河网水力数值模拟中使用较为普遍，但这两 种方法均存在着绝对值较小的数作除数而引起计算中断或数值不稳定的隐患。河 网水力计算中，由于各河的不规则纵横交叉连接，所形成的系数矩阵是一种排列 不规则的大型稀疏矩阵，具有大量的零元素，非零元素很少，降低了消元速度。 这样的矩阵系数如全部储存需要大量的储存单元，计算过程中零元素变为非零元 素参加运算使计算次数增加，计算次数越多，引入的舍入误差越大，计算精度难 于保证，因而降低了隐格式的使用价值。多年以来，人们一直在探求如何压缩系 数矩阵的储存信息，用较少的单位来储存河网矩阵，用什么方法能够较快地求解 河网方程组，一直是河网水力计算中的核心问题。 河网水力计算的进展主要取决于以下几个因素：工程实际( 如防洪、水污染 控制等) 的需要，计算数学理论和方法( 离散方法、偏微分方程的求解方法等) 的成熟和应用，计算机软硬件技术( 如g i s 、多媒体计算等) 的发展等。当前， 水力计算仍然以对s t v c n a l l t 方程组的离散求解为主，允许采用很小的时间和空 间步长，一些性能优良的离散格式( 如f v s 格式、二阶松弛格式【删等) 在工程 应用上逐渐成熟，科学计算可视化理论和算法也应用到河网数值模拟中，此外， 河网水力计算与g i s 【4 9 】的结合也越来越受到重视。 1 2 3 水动力学模型实对校正方法研究进展 国内外对实时校正方法的研究，多集中于水文模型的实时校正。水动力学模 型用于洪水预报，主要解决水文学方法无法解决或解决得不甚理想的一些课题， 基于卡尔曼滤波的水动力学模型的实时校正方法研究河海大学硕士学位论文 尤其在流域的中下游地区，需要预报河道内任何断面的水位、流量等要素时，水 动力模型则通常为首选方法。然而，由于其预报精度不甚理想，长期以来未能在 实时作业预报中得以广泛应用。如何通过实时校正来提高其预报精度成为一个重 要的研究课题。 实时校正方法已成功应用于洪水预报的水文学方法，而应用于水动力学方法 中尚不成熟。徐祖信与尹海龙【4 7 】建立了黄浦江干流二维水动力学实时数学模型。 张小峰等【柏l 提出了一维非恒定流与最小二乘法耦合的洪水实时预报模型，运用 最小二乘的递推算法，引入时变遗忘因子实时跟踪模型中时变参数的变化，并动 态修正参数，改变一维非恒定流模型结构对洪水预报进行实时修正。这些实时修 正模型都使预报精度得到一定程度的提高。 f r e a d 【5 0 】首次将卡尔曼滤波技术引入水动力学模型实时校正中。葛守西、程 海云等发表了“水动力学模型卡尔曼滤波实时校正技术【3 】，在国内对将卡尔曼 滤波和水动力模型联合应用尚属空白的情况下，此文对该问题的研究做了有益的 尝试。此研究对采用卡尔曼滤波技术实现圣维南方程实时校正的技术途径和可能 性进行了研究和探讨，分别研究了以观测变量，糙率和综合变量为状态向量的卡 尔曼滤波模型并对滤波器参数的确定进行了试验，试验提出了滤波器参数的最优 结构形式和参数值。研究通过实例进行试验，取得了提高预报精度的显著效果， 验证了卡尔曼滤波技术与水动力学模型联合应用完全可行。 1 3 研究内容 本文将对水动力学模型的实时校正方法进行研究和探讨，以圣维南方程和卡 尔曼滤波技术为基础，研究水动力学模型中单一河段的状态向量的校正算法及实 现参数自动调整。并以长江干流清溪场至奉节河段为试验河段，进行实例验证， 检验上述算法的实时校正效果。 本研究中的水动力学模型实时校正难度很大，国内外鲜有研究成果发表，但 将水动力学模型用于实时预报，可以解决水文学方法无法解决或解决得不 甚理想的一些课题，具有重大的实际意义，所以对此问题做深入探索是极 其必要的。 8 基于卡尔曼滤波的水动力学模型的实时校正方法研究河海大学硕士学位论文 第二章卡尔曼滤波的实时校正方法基本原理 2 1 卡尔曼滤波法 2 1 1 概述 信号处理的实际问题，常常是要解决在噪声中提取信号的问题，因此，需要 寻找一种所谓有最佳线性过滤特性的滤波器。这种滤波器当信号与噪声同时输入 时，在输出端能将信号尽可能精确地重现出来，而噪声却受到最大抑制。卡尔曼 滤波就是用来解决这样一类从噪声中提取信号问题的一种过滤( 或滤波) 方法。卡 尔曼滤波理论是采用时域法以状态方程为其数学工具，以多变量控制、最优控制 与估计以及自适应控制为主要内容。其适用于线性随机理论，提出了平稳与非平 稳、线性与非线性、集中与分布、多输入、输出系统相当广泛领域内的一种现代 动态系统分析技术【2 9 】。 卡尔曼滤波不需要全部过去的观察数据，它只是根据前一个估计值和最近一 个观察数据来估计信号的当前值。它是用状态方程和递推方法进行估计的，而它 的解是以估计值( 常常是状态变量的估计值) 的形式给出的。卡尔曼滤波的信号模 型是从状态方程和量测方程得到。卡尔曼首先提出用一个状态方程和一个量测方 程来完整的描述线性动态过程。卡尔曼滤波以系统状态空间模型为分析对象，用 一个具有随机初始状态的向量来描述状态随时间的变化规律，成为状态方程。可 以假定，这个方程受到某些随机干扰的影响以及描述模型不准确的干扰等，这些 干扰称为动态噪声。量测变量与状态变量之间，可以假定有某些函数依赖关系， 并可用方程描述，即称量测方程。同时，还存在随机量测误差，这种误差称为量 测噪声。对于离散时间系统，如果用 x k ， z k 分别表示n 维状态变量序列和m 维量测变量序列，常常将动态方程和量测方程一般化为如下形式： 状态方程x k = 由出1x k 1 + g k 1 u k _ 1 + r k l k _ 1 ( 2 一1 ) 观测方程2 k = h kx k + 强+ ”k b = 1 ( 2 2 ) 其中 u k 为非随机的s 维向量序列( 通常看作动态系统的系统输入项或控制项) ， k ) 为均值等于零的r 维随机动态噪声， 由k 、 0k 和f rk ) 分别为n 术n 、n 丰s 和n $ r 的矩阵序列。 y k 为非随机的m 维向量序列( 可看作量测的系统误差项) ， 9 基于卡尔曼滤波的水动力学模型的实时校正方法研究河海大学硕士学位论文 ( uk j 为均值等于零的m 维随机量测噪声， h k ) 为m 丰n 的量测矩阵。 卡尔曼滤波运用现代随机估计理论给出了系统状态的无偏最小方差的递推 估计值。如果估计的是系统状态当前时刻的值，称为“滤波”，如果是系统状态 将来的值，称为“预报”。估计理论已经证明：无偏最小方差估计线性估计中性 能最佳的估计。卡尔曼滤波即是一种最佳线性估计方法。而其递推公式既可以得 到滤波估计值，又可以得到误差的方差阵，即可以完成自身的误差分析。 卡尔曼滤波技术中最常用的为“正规卡尔曼滤波技术”，它对模型、观测噪 声的统计特性做了一些假定。为了解决实际使用中存在的各种问题，卡尔曼滤波 还包含了多种滤波处理技术，如描述非线性系统的推广卡尔曼滤波方法，为解决 有色噪声而产生的状态变量扩维法和量测求差法，为克服滤波发散，而采用的渐 消记忆滤波、限定记忆滤波、自适应滤波方法等等。 2 1 2 正规卡尔曼滤波技术8 9 】 若线性系统用非马尔可夫型( 即系统有输入项u k ) ，状态空间表达为： 状态方程) ，k = 中k k 一1 x k 一1 + gk - 1 u k 1 + rk 一1 0 ) “ ( 2 3 ) 观测方程z k = h k x k + y k + uk k = 1 ( 2 4 ) 式中符号意义为： x k ，x k 1 k ，k 一1 时刻系统n 维状态向量； k 1 ：k 时刻系统r 维模型噪声向量； rk 1 ：k 时刻系统n r 阶模型噪声分配矩阵； 巾k k l ：k 时刻系统n n 阶状态转移矩阵： u “：k 一1 时刻系统的输入项，为s 维非随机向量； g k - l ：n 爿c s 维输入矩阵； 瓦：k 时刻系统】维观测向量； y k ：k 时刻系统的输入项，为m 维非随机向量； 峨：k 时刻系统m n 维观测矩阵； ”k ：k 时刻系统m 维观测噪声向量； 其中，模型噪声 魄) 与量测噪声 uk 是互不相关的零均值白噪声序列，即对所 有k ，j ，模型的基本统计性质为 基于卡尔曼滤波的水动力学模型的实时校正方法研究河海大学硕士学位论文 e h ao ； e k 一0 ； c d v k ，w ，j = e h w f j = 绞 口v k 以j = e - 。v jj = r c 。v h ，v ，j - e k v jj = o ； 七，；0 ，1 2 这里，g = p 么，k 一e h 啡j ；一对称非负定阵 r 。；玩一， v 。 ：【v 。v ；j ； 一对称正定阵 ( 2 5 ) ( 2 6 ) ( 2 7 ) 电是克罗内克d 函数，即 电书 浯8 ， 初始状态工。为随机向量，它与“、u 独立，设它的统计特性为 b 。 ：咒：e k 。一主。h 。一南) r j ；妇r b 。 。 ( 2 9 ) 且x 。与 k ，( ”k ) 都不相关，即 c d v 仁。，m = o ；c d v 仁。，v 。 = o ( 2 1 0 ) p 。为非负定协方差阵。 状态向量预测误差协方阵为 9 毕1 = e k ，k ， ) ( 】c | k _ 1 - x k x k 卜l ( 2 1 1 ) ) 【k i t 一- 为上一时刻状态量对当前时刻的预报值。 状态滤波误差协方阵为 p 旷e fk ，) ( k i t 7 j x k fk = 一x i 【 ( 2 一1 2 ) ) 【k 为本时刻状态量的滤波值。 则上述系统的正规卡尔曼滤波法的递推公式： 预报：ik - l = 巾啦l 1 + g b l u k 1 ( 2 一1 3 ) 状态向量预测误差协方阵： p 啦! = 由啦lp k - 1 肛l 由啦1 1 + rk _ l 吼一1 r 1 k 1 1 ( 2 1 4 ) 增益矩阵：k k = 1h k l ( h kp 毕1 毗1 + r k ) 。1 ( 2 1 5 ) 滤波：= ) ( k ik l + k k ( z k 一弛一h k i t - ) ( 2 一1 6 ) 基于卡尔曼滤波的水动力学模型的实时校正方法研究河海大学硕士学位论文 状态滤波误差协方阵：段= ( i k k i k ) p k 陋i ( 2 一1 7 ) 从这组递推公式可见，最优滤波与进一步最优预测之间有着紧密的联系：在 滤波的基础上进行一步预测( 2 1 3 ) ；而当获得了新的量测数据后，就可以在预 测的基础上进行下一时刻的滤波( 2 一1 6 ) 。 给x 。p o ，r o q 0 赋初值后，滤波公式的执行顺序为( 2 一1 3 ) 、( 2 1 4 ) 、( 2 1 5 ) 、 ( 2 一1 6 ) 、( 2 1 7 ) 。如果系统稳定，x 。、p 0 的假定对滤波器影响不大，它将会很快 收敛到与x op o 无关的系统估值。对r ，q 的正确估计是一个比较困难的问题【2 j 。 2 1 3 自适应卡尔曼滤波技术 自适应滤波的目的之一，是在利用量测数据进行递推滤波的同时，不断的由 滤波本身去判断目标动态有否变化。当判断有变化时，要进一步决定是把这种变 化看作随机干扰，归到模型噪声中去，或是对原动态模型进行修正，使之适应目 标变化了的动态。自适应滤波的另一个目的，是当模型噪声方差矩阵q k 和量测噪 声方差矩阵r k 未知或不确切知道时，由滤波本身去不断估计或修正它们。当判断 到目标动态有变化，且决定把此变化看作随机干扰时，就要由滤波本身去估计由 它产生的模型噪声方差矩阵。 自适应滤波问题分为三类：1 ) 系统模型( 即巾，h 阵) 精确己知，噪声统计 ( q ，r 阵) 未知；2 ) 系统模型和噪声均未知；3 ) 系统模型是近似的，噪声统计 已知或未知【2 9 】。 在本论文中涉及的水动力系统模型自适应滤波问题系第一类问题，这里先叙 述种对q 、r 进行后验估计的代表算法一s a g e 和h u s a 的自适应滤波法f 3 0 1 。 对于动态系统模型 = 中雌lx k 一1 + gk _ l u k - l + rk 1 雌1 ( 2 一1 8 ) z k = h k 磁+ ”k b = 1( 2 一1 9 ) 采用于正规卡尔曼滤波相同的基本假定，仅噪声统计特性未知，即 e k = 舔白v k ，m j e k 町j ；么 e h 】ar ；c d v h ，卟j = 占k ，嘶j ；r ( 2 2 0 ) 自适应滤波问题的提法是基于 z ，z 。z 0 估计稳态躁声q ，r 、q 、r 和相 应进行递推状态滤波。 1 2 至塑望垫坠塑查兰堡型塑壅堕堡垩塑鎏旦塑 塑塑查堂堡主兰垡堡壅 如果q 、r 、q 、r 已经估计出来了，依据它们可仿前导出滤波器公式为 x i ik - 1 2 巾k k 1 1 ik 1 + gk _ l u k - 1 + q ( 2 2 1 ) f 讧一l = 币毕一1p k 1 耻一1 中k 陋1 1 + rk lq k 1 rk 1 1 ( 2 2 2 ) k = p k 恤】吼( mp 啦】1 + r ) 1( 2 2 3 ) x k lk 2 | k - l 十k k ( z k r 一也x k k l ) ( 2 2 4 ) p k b 2 ( i k k h k ) p k 1( 2 2 5 ) 在k 时刻，q 、r 、o 、r 的极大后验次优估计值为： i t 2 等q ? 一丢( 小扭扛，) ( 2 _ 2 6 ) d t2 竿q ：_ 1 + 昙( k k e k e t l k k l + p k 一啦1 p 眯吣i t ) ( 2 哪) e k = z k h k j 。一f ：一1( 2 2 8 ) a 2 等r ：_ 1 + 昙( 酝h x 孙_ 1 ) ( 2 _ 2 9 ) 蠢k ：生 r ：一1 + 寻( k e k l 一h k 吼k 1 h k l ) ( 2 3 0 ) k 托 这是s a g e h u s a 递推估计噪声统计参数的四公式，其使用的顺序是：对k 时刻 先用式( 2 2 1 ) ( 2 2 5 ) 进行滤波计算，其中q 、r 、q 、r 均用k 一1 时刻的值( 若k 一1 ：o ， 则可假定四者的初值) ，再用式( 2 2 6 ) 一( 2 3 0 ) 递推估计k 时刻的四参数，再转入 k + 1 时刻进行递推。 s 8 9 e 算法的缺点是，主要适用于稳态系统，对于时变系统使用效果会下降。 从式( 2 2 6 ) 一( 2 3 0 ) 可见，当k 很大时，( k 1 ) k 一 1 ，1 k 一 o ，也就是估计进入 稳态，四参数的递推就成为等值延伸。 关于自适应卡尔曼滤波技术，从长远看，应着眼于吸收自动化控制领域的优 秀成果f 3 1 j ，得到与水文系统相适应的自适应滤波算法。 2 1 4 方法评价 卡尔曼滤波的实质是由量测值重构系统的状态向量，它以“预测一实测修 基于卡尔曼滤波的永动力学模型的实时校正方法研究河海大学硕士学位论文 正”的顺序递推，根据系统的量测值来消除随机干扰，再现系统的状态，或根据 系统的量测值从被污染的系统中恢复系统的本来面目。 卡尔曼滤波法把系统描述为状态空间模型，以隐含着的时间为自变量，它包 含两个模型：一是状态方程模型，反映动态系统在输入变量作用下在某时刻所转 移到的状态：二是量测方程模型，它将系统在某时刻的输出和系统的状态及输入 变量联系起来。这种状态空间模型的特点如下： 1 ) 状态空间模型不仅能反映系统内部状态，而且能揭示系统内部状态与外 部的输入和输出变量的联系。 2 ) 状态空间模型将多个变量时间序列处理为向量时间序列，这种从变量到 向量的转变更适合解决多输入输出变量情况下的建模问题。 3 ) 状态空间模型能够用现在和过去的最小信息形式描述系统的状态，因此， 它不需要大量的历史数据资料，既省时又省力。 卡尔曼滤波是解决状态空间模型估计与预测的有力工具之一，它不需存储历 史数据，且可以通过计算机程序到达对状态空间模型的优化拟合。 2 2 卡尔曼滤波法用于河道汇流计算的适用性 式( 2 1 ) 中的参数矩阵巾、b 、r 是常数组成，则为时不变线性系统，否则为 时变线性系统。目前水文学中公认河道汇流可以看成是一个线性系统或时变线性 系统。对于一个河道汇流系统，上下断面之间的河槽就看作系统