主元法破解极值点偏移问题.docx

主元法破解极值点偏移问题 2016年全国I卷的第21题是一道导数应用问题，呈现的形式非常简洁，考查了函数的双零点的问题，也是典型的极值点偏移的问题, 是考生实力与潜力的综合演练场虽然大多学生理解其题意，但对于极值点偏移的本质理解的深度欠佳，面对此类问题大多感到“似懂非懂”或“云里雾里”所谓主元法就是在一个多元数学问题中以其中一个为“主元”，将问题化归为该主元的函数、方程或不等式等问题，其本质是函数与方程思想的应用作为一线的教育教学工作者，笔者尝试用主元法破解函数的极值点偏移问题，理性的对此类进行剖析、探究，旨在为今后的高考命题和高考复习教学提供一点参考.一、试题再现及解析（一）题目（2016年全国I卷）已知函数有两个零点(1)求的取值范围；(2)设是的两个零点，证明：本题第（1）小题含有参数的函数有两个零点，自然想到研究其单调性，结合零点存在性定理求得的取值范围是第（2）小题是典型的极值点偏移的问题，如何证明呢？（二）官方解析 (2)不妨设，由（1）知，在上单调递减，所以等价于，即由于，而，所以令，则，所以当时，而，故当时，从而，故二、对解析的分析本问待证是两个变量的不等式，官方解析的变形是，借助于函数的特性及其单调性，构造以为主元的函数由于两个变量的地位相同，当然也可调整主元变形为，同理构造以为主元的函数来处理此法与官方解析正是极值点偏移问题的处理的通法不妨设，由（1）知，在上单调递增，所以等价于，即令，则，所以，即，所以；所以，即.三、例谈主元法破解极值点偏移问题对文献1的四道例题，笔者都能运用主元法顺利破解，验证主元法破解极值点偏移问题的可行性例1 （2014年江苏省南通市二模第20题）设函数，其图象与轴交于，两点，且(1)求的取值范围；(2)证明：（为函数的导函数）；解：(1) ，且，在上单调递减，在上单调递增；(2) 要证明，只需证，即，因为单调递增，所以只需证，亦即，只要证明即可；令，则，所以在上单调递减，得证例2 （2010年天津理科21题）已知函数.(1) 求函数的单调区间和极值；(2)(略)(3)如果，且，证明解：(1) 在上是增函数，在上是减函数，；(3)证明：，亦即，且，欲证明，即，只需证，即令，则，因为，所以在上单调递增，故，得证例3 （2011年辽宁理科21题）已知函数（1）讨论的单调性；（2）设，证明：当时，；（3）若函数的图象与轴交于两点，线段中点的横坐标为，证明：解：（1）若，在上单调增加；若，在上单调递增，在上单调递减；（2）（略）（3）由（1）可得，在上单调递减，不妨设，则，欲证明，即，只需证明，即，只需证明由（2）得，得证例4 （2013年湖南文科第21题）已知函数.(1)求的单调区间；(2)证明:当时，.解： (1) 在上单调递增，在上单调递减；(2)由(1)知当时，不妨设，因为，即，则，要证明，即，只需证明，即而等价于，令，则，令，则，所以单调递减，即，所以单调递减，所以，得证对文献3的例1，朱老师提供了3种方法，笔者也可运用主元法顺利破解，请看以下解析，岂不更为简捷？例5 函数与直线交于，证明：.解：函数，则在上单调递减，在上单调递增，且；（1）若，要证明，即，只需证明，即令，则在上单调递增，故； （2）若，同理可证，得证四、通法提炼一般地，主元法破解极值点偏移问题思路是：第一步：根据建立等量关系，并结合的单调性，确定的取值范围；第二步：不妨设，将待证不等式进行变形，进而结合原函数或导函数的单调性等价转化如例1、例3中的待证是导函数的值的不等式，因此应用导函数的单调性等价转化，例2、例4中的待证是应用原函数的单调性等价转化；第三步：构造关于（或）的一元函数，应用导数研究其单调性，并借助于单调性，达到待证不等式的证明五、通性通法的感悟极值点偏移问题在高考中几乎年年可见，深受高考命题专家的青睐，年年岁岁意相似，岁岁年年题不同，属于高考高频题型对于此类问题的研究，多位方家已经作了探讨文1从高等数学的视角阐述了问题的背景，指明并提炼出极值点偏移问题的解题策略：若的极值点为，则根据对称性构造一元差函数，巧借的单调性以及，借助于与，比较与的大小，即比较与的大小有了这种解题策略，我们师生就克服了解题的盲目性，细细咀嚼不得不为其绝妙的想法喝彩，但是，此解法并不利于学生思维的提升，比较突兀，有“模式化”的曲高和寡之嫌疑，显然不是自然的想法，“想说爱你不容易”教师的自然想法却让学生屡屡想不到、想不通、学不会，加重其自卑感；顺应学生的思维，才能对接学生的认知，贴近学生“最近发展区”，化用于无痕，活用于无间，妙用于无限，神用于无形，走有限之路，饮不竭之泉文2结合文1的四个例题验证了转化为对数平均的求解的可行性，提炼出极值点偏移问题的又一解题策略：根据建立等式，通过消参、恒等变形转化为对数平均，捆绑构造函数，利用对数平均不等式链求解这种解题策略，师生都感到运算量繁杂，有一定的技巧要求，而且对数平均数的不等式链也有超纲的嫌疑，在解答过程中存在能否直接运用的疑问4，“想你，但，我不会爱你！”其实，解决极值点偏移问题的上两种方法，实质上都是把双变量的等式或不等式转化为一元变量问题求解，途径都是构造一元函数，因此，主元法才是破解极值点偏移问题的通法，亲切自然，美感灵气这一点也可以从官方答案得到印证对于官方提供的参考答案，是命题专家经过反复考量的，承载着新课程改革的理念和导向，渗透着创新精神和实践能力的培养，体现着高考改革的发展趋向，同时也蕴含着命题者解题的思维历程，蕴含着其问题的本质我们多一份敬畏，将参考答案激活，用“冰冷的美丽”促进学生“火热的思考”，多一份收获. 六、质疑文1中提到“利用极