（水利水电工程专业论文）有自由面渗流分析的加密高斯点单元传导矩阵调整法.pdf

有自由面渗流分析的 加密高斯点单元传导矩阵调整法 水利水电工程专h k 硕士研究生邓建霞指导教师舒仲英 6 5 4 5 24 在水利水电工程中，常常会遇到有自由面的无压渗流问题，出于该类问题 的自由面边界和逸出面边界事先未知，需要在迭代的过程中逐步形成，因此属 于边界非线性问题。如何准确、快捷地确定自由面和逸出面的位景历来都是无 压渗流分析的一个关键，也是一个难点。目前，有自由面的渗流问题主要是通 过有限单元法来求解，其中的固定网格法凭借自身的优势，在无压渗流分析中 逐渐取代了变网格法的传统地位，应用日益广泛。本文的加密高斯点单元传导 矩阵调整法即是在已有固定网格法单元传导矩阵调整法的基础上，对高斯 点法的一种改进。 首先，简单地介绍了渗流的基本原理和渗流计算有限单元方法。接着对变 网格法和现有几种有影响的固定网格法，即剩余流量法、单元传导矩阵调整法 和初流量法进行了分析。单元传导矩阵调整法以自由面为分界线，自由面以下 的饱和区域的渗透系数采用实际数值，自由丽以卜的非饱和区域的渗透系数则 折减一个系数。高斯点法针对有限单元法采用高斯积分公式近似计算单元传导 矩阵这一特点，直接根据高斯点处水头与位置高程的关系来调整渗透系数，不 用每一次都计算自由面的位矗。本文通过加密复合单元的高斯积分点个数，对 高斯点法做了改进，得到了加密高斯点单元传导矩阵调整法，使复台单元的单 元传导矩阵计算值更趋精确。文中还对逸出面边界进行了处理，实现了逸出面 边界节点的可逆转换。 最后，采用c + + 语言编制了稳定渗流分析的有限元程序m e s e e p ，从软件工 程的角度对m e s e e p 软件的计划和开发过程进行了介绍。运用m e s e e p 软件对有 案建： 压、无压，二维、三维，均质、非均质等情况进行了稳定渗流分析，结果表明， 加密高斯点单元传导矩阵调整法和根据该法丌发的稳定渗流分析有限元软件 m e s e e p 能进行各种情况的稳定渗流分析，是可行的。 关键词：渗流，自由面，固定网格法，单元传导矩阵，高斯积分点 i i a u g m e n t e d g a u s sp o i n t sm e t h o d f o r s t e a d y s t a t es e e p a g ea n a l y s i s w i t hf r e es u r f a c e h y d r a u l i ca n dh y d r o p o w e re n g i n e e r i n g p o s t g r a d u a t e ：d e n g j i a m x i a s u p e r v i s o r ：s h uz h o n g y i n g i nh y d r a u l i ca n dh y d r o p o w e re n g i n e e r i n g ，t h eu n c o n f i n e ds e e p a g ep r o b l e m 、析t hf r e es u r f a c ei so f t e nc o n f r o n t e d b e c a u s et h ep o s i t i o no ff r e es u r f a c ea n d o v e r f l o wb o u n d a r i e sa r eb o t hu n k n o w ni na d v a n c e ，a ni t e r a t i v e p r o c e s s i s c o n s e q u e n t l yr e q u i r e d ，i ti s ab o u n d a r yn o n l i n e a rp r o b l e m a ta i lt i m e s ，h o wt o l o c a t et h ef r e es u r f a c ea n do v e r f l o wb o u n d a r i e sr e l i a b l ya n de f f i c i e n t l yi sw h e r et h e s h o ep i n c h e sf o rt h eu n c o n f i n e ds e e p a g ef i e l da n a l y s i s c u r r e n t l y , f i n i t ee l e m e n t m e t h o d ( f e m ) i st h ep r i m a r ym e a n sf o rn u m e r i c a la n a l y s i so fs e e p a g e f i x e d m e s hm e t h o d ( f m m ) ，o n eo ft h ef e m ，o w i n gt oa d v a n t a g e so fi t s e l f , h a sav e r y b r o a da p p l i c a t i o n ，a n di st a k i n gt h ep l a c eg r a d u a l l yo f t h ea l t e r e dm e s hm e t h o d ( a m m ) ，t h et r a d i t i o n a lf i n i t ee l e m e n tm e t h o di nt h i sr e a l mw h i c hn e e dt om o d i f y t h em e s hw h e nt h ef r e es u r f a c ec h a n g e sd u r i n gt h ei t e r a t i o np r o c e s s a u g m e n t e d g a u s sp o i n t sm e t h o d p r o p o s e d i nt h i sp a p e ri sa ni m p r o v e dg a u s sp o i n t sm e t h o d ， a n d i t i s a f m m f i r s t ，t h eb a s i cp r i n c i p l eo fs e e p a g ea n df e m f o rs e e p a g ec a l c u l a t i o nh a sb e e n d e s c r i b e d b r i e f l y a n d t h e ns e v e r a lm e t h o d sc o m m o ni nu s ew e r ei n t r o d u c e d ， i n c l u d i n ga m m ，r e s i d u a l s c h e m e sm e t h o d ，b a t h em e t h o da n di n i t i a lf l o w m e t h o d t h eb a t h em e t h o d s u g g e s t sd i v i d et h ew h o l ed o m a i nb yf r e es u r f a c ei n t o t w op a r t s ，s a t u r a t e dr e g i o na n du n s a t u r a t e d r e g i o nu n d e ra n db e y o n dt h e f r e e s u r f a c e ，t h ee l e m e n tc o e f f i c i e n to fp e r m e a b i l i t yw i t h i nt h eu n s a t u r a t e dr e g i o ni s d i s c o u n t e dt oa v e r ys m a l lv a l u ew h i l ek e e p su n c h a n g e d w i t h i nt h es a t u r a t e dr e g i o n b e c a u s et h a tf e m a d o 。p tt h eg a u s s i a ni n t e g r a t i n gf o r m u l a t oc a l c u l a t et h ee l e m e n t c o n d u c t i v i t ym a t r i xa p p r o x i m a t e l y , g a u s sp o i n t s m e t h o d s u g g e s t sa d j u s t t h e p e r m e a b i l i t yc o e f f i c i e n t a to a u s s i a n i n t e g r a t i n gp o i n ta c c o r d i n gt o t h er e l a t i o n b e t w e e ni t sh y d r a u l i ch c a da n de l e v a t i o n ，a sar e s u l t ，t h ec a l c u l a t i o nf o rt h ep o s i t i o n o ff r e cs u r f a c ei sa v o i d e d i no r d e rt or a i s et h ec a l c u l a t i o np r e c i s i o no fe l e m e n t c o n d u c t i v i t ym a t r i xo f t h ec o m p o u n de l e m e n t s ，a u g m e n t e dg a u s sp o i n t sm e t h o d h a sb e e na d o p t e di nt h i sp a p e r a c c o r d i n gt ot h i sm e t h o d ，t h en u m b e ro fo a u s s i a n i n t e g r a t i n gp o i n t si n c r e a s e sw i t h i nt h ec o m p o u n d e l e m e n t sw h i l ek e e p si n v a r i a b l e w i t h i nt h eo t h e r s a tt h es a m et i m e t h et r e a t m e n tf o rt h eo v e r f l o wb o u n d a r y c o n d i t i o n sw a si n t r o d u c e di nt h i sp a p e r i nt h ee n d ，t h ep r o g r a mm e s e e pf o rs t e a d y s t a t es e e p a g ea n a l y s i sh a sb e e n c o d e di nc + + l a n g u a g e a n dt h ep l a n n i n ga n dd e v e l o p i n gp r o c e s s e so fs o f t w a r e m e s e e pw e r ed e s c r i b e d e m p l o y i n gt h es o t l w a r em e s e e p ，s t e a d y - s t a t es e e p a g e a n a l y s i sf o rc a s e so f c o n f i n e da n du n c o n f i n e d ，2 - da n d3 - d ，h o m o g e n e o u sa n d u n h o m o g e n e o u s ，i s o t r o p i ca n da n i s o t r o p i ch a v eb e e nc a r d e do u t a n dt h er e s u l t s d e m o n s t r a t et h a t a u g m e n t e dg a u s sp o i n t s m e t h o da n ds o f t w a r em e s e e pa r e f e a s i b l e k e y w o r d s ：s e e p a g ef l o w , f r e es u r f a c e ，f i x e d m e s hm e t h o d , e l e m e n t c o n d u c t i v i t ym a t r i x ，g a u s s i a ni n t e g r a t i n gp o i n t 有自由面渗流分析的加密高撕点译儿4 i 导矩阼训摧法 1 综述 1 1 渗流力学的发展 渗流力学是一门边缘学科。1 8 5 6 年，法国工程师达西( h e n r id a r c y ) 通 过试验提出了线性渗透定律，为渗流理沦的发展奠定了基础。 1 8 8 9 年，原苏联h e 茹可夫斯基首先推导出了渗流的微分方程。此后， 许多科学家和地下水动力学科学工作者进行了广泛和深入的研究，也取得了一 系列研究成果，但解析解仅仅适用于均质渗透介质和简单的边界条件，在应用 上受到了很大的限制。 1 9 2 2 年，h - h 巴甫洛夫斯基提出了求解渗流场的电拟法，该法无法模拟 非均质、各向异性的渗透介质，对复杂的地质和边界条件也不尽适用。为了解 决复杂的渗流问题，产生了电网络法。最初的电网络法都是基于差分原理的， 现在研究了基于变分原理的电网络法，使该法得到了进一步的改善。 随着电子计算机的迅速发展，数值计算方法在渗流分析中得到了越来越广 泛的应用。用于渗流分析的数值计算方法主要有有限差分法( f d m ) 、有限单 元法( f e m ) 和边界元法( b e m ) 三种。有限差分法是由理查森( l e r i c h a r d s o n ) 于1 9 1 0 年首先提出的，目前该法已具备较完善的理论基础和实用经验。有限 单元法是由柯朗( r c o u r a n t ) 在1 9 4 3 年提出的，1 9 6 5 年，津克维茨 ( o c z i e n k i e w i z ) 和张( y z c h e u n g ) 提出了有限单元法适用于所有可按变 分形式进行计算的场问题，为该法在渗流分析中的应用提供了理论基础。目前， 有限单元法是渗流分析中用得最为广泛且有效的方法。边界元法初见于2 0 世 纪6 0 年代后期，其是建立在经典力学理论基础之上的。 我国的水利科学工作者和工程技术人员在结合大规模的坝工建设基础上， 对渗流理论、数值计算方法和试验技术等都进行了广泛、深入的研究，取得了 相当的研究成果1 2 l 。 1 2 渗流分析的必要性及主要任务 1 2 1 渗流分析的必要性 渗流分析和渗流控制是水工建筑物以及其它蓄水、排水工程设计的重要组 成部分。工程实践也表明，所设计的工程是否安全可靠和经济合理，在很大程 凹川人学颂 ：学位论史 度上取决于能否正确地进行渗流分析和选择合理的渗流控制措施。 国内外大量统计资料也表明，由于渗流原因发生工程破坏的事例也为数甚 多。以土石坝为例，据国内统计，我国2 4 1 座大型水库土石坝的上千次事故中， 渗透破坏占3 1 9 ；据世界其它国家统计，渗透破坏所造成的土石坝失事率， 美国为3 9 ( 统计失事坝2 0 6 痉) ，r 本为4 4 ，瑞典为4 0 ( 统计失事坝 1 1 9 座) ，西班牙为4 0 ( 统计失事坝1 1 7 座) l t l 。 由此可见，在水利水电工程设计中，渗流分析这个环节是必不可少的，必 须给予充分的重视。 1 2 2 渗流分析的主要任务 渗流分析的主要任务是确定渗流场的水头分布、流速分布、渗透流量和水 力比降等基本物理量，并根据分析计算的结果对工程的安全性和经济效益进行 合理的评价，选择可靠的渗流控制措施。 以土石坝为例，渗流分析的主要任务有： 确定坝体内渗流自由面的位置，绘制坝体和坝基内的流网图，为坝坡 稳定分析、坝体应力应变分析提供依据。 确定坝体与坝基的渗流量，以便估计水库的渗漏损失并校核坝的排水 尺寸。 确定渗流在下游坝坡或地基出逸处的渗透比降以及渗流场内不同土层 之间的渗透比降，以便验算抗渗稳定性。 确定库水位降落时上游坝壳内自由面的位箭，据以计算孔隙水压力， 供上游坝坡稳定分析之用。 计算坝头岸坡内的绕坝渗流，相应确定其自由面，供有关的结构设计 和计算之用。 1 3 渗流分析方法概述 1 3 1 解析法 解析法是指利用数学手段直接定解渗流基本微分方程的方法。这种方法可 以得到水头函数在研究区域内分布的显式表达式，它同时满足渗流的基本微分 柯自由叫渗流分析的加崭- 精斯点- p 儿1 导矩砰调整浊 方程和边界条件，结果精确。但解析法只能求解均匀、各向同性的渗透介质情 况和简单的边界条件，适用性差，难以应用到实际工程中去。 1 3 2 数值解法 目前，用于渗流分析的数值计算方法主要有有限差分法、有限单元法和边 界元法三类。 有限差分法是从渗流的基本微分方程出发，将研究区域经过离散处理后， 近似地用差分、差商来代替微分、微商，从而将微分方程和边界条件的求解归 结为一系列线性方程组的求解。有限差分法原理简单，理论基础成熟，但往往 局限于规则的差分网格，对模拟曲线边界和渗透介质的各向异性存在着较大的 困难。 有限单元法吸收了有限差分法离散处理的核心思想，同时又继承了变分计 算中选择试探函数、对求解域积分的合理做法，充分考虑了单元对节点参数的 贡献。其在模拟曲线边界和各向异性渗透介质上具有很大的灵活性，在渗流分 析中得到了最为广泛的应用。 边界元法顾名思义是将求解区域的边界剖分为若干个单元，建立边界积分 方程并转换为一系列线性方程组来求解数值解的方法。边界元法常用于处理无 限或半无限渗透介质、渗流奇异( 如排水井点) 和自由面等问题，优点是数据 信息量少。不足之处在于其建立的系数矩阵是不对称的满阵，即使在节点较少 的情况下都会占据可观的内存，并且它在三维非均质渗透介质问题中的应用还 存在着相当大的困难。 1 3 3 电拟法 电拟法的基本原理是基于电场和渗流场的控制方程为同一形式。目前主要 有两种电拟法数学模型，即导电液模型和电网络模型。 导电液模型为连续介质，便于模拟急变渗流区域问题，但它无法模拟非均 质各向异性渗透介质，也不能很好地适应复杂的地质边界条件。 电网络法可以基于差分原理建立，也可以基于变分原理建立。该法的基本 原理是网络电路问题的解和渗流场的数值解符合同一形式的差分方程和变分 剧川人学坝j 。学位论立 方程。基于变分原理的电网络法吸收了有限单元法的优点，在模拟曲线边界和 各向异性渗透性方面得到了改进。电网络法的容量、稳定性基本不受限制，在 解题过程中不产生累计误差，目前仍是求解大型复杂渗流场的有效工具。 1 3 4 水力学方法 实际工程中经常运用基于某些假定的近似解法来进行初步的渗流分析。在 平面渗流条件下，水力学解法就是求解稳定渗流场的一种近似方法，它应用达 西定律，假定任一铅直过水断面内各点的渗透比降相等。常见的水力学方法有 分段法、基本抛物线法等。考虑到确定渗透系数的误差常常很大，因此水力学 解法也具有足够的精度，但仅限于条件较为简单、精度要求不高的情况。 1 3 5 绘制流网的图解法 流网是研究平面渗流问题一个有用而全面的流动图案，有了流网，整个场 的问题就得到了解决。该法依据流网的性质，结合边界条件，采用试绘法逐步 修正，是一种近似解法。其最大特点是简便迅速，对于渗透介质均匀、边界条 件已知的有压渗流问题也不失为一个可行的方法。 1 4 具有自由面的无压渗流分析方法及其发展趋势 土坝渗流、混凝土坝坝体渗流、各种闸坝的绕坝渗流、边坡渗流、地下水 运动、地下洞室渗流等皆属于有自由面的无压渗流问题。这类问题的自由面位 置是待求的，事先未知，需要迭代确定，因而属于边界非线性问题。如何简捷、 有效地确定自由面的位置历来都是无压渗流场分析的关键，也是一个难点。 目前，有限单元法是求解渗流问题最为成熟的数值计算方法，在自由面的确定 方面，主要有变网格法和固定网格法两种有限单元法。近年来也出现了不少其 它数值计算方法，下面对各法作一个简单的介绍。 1 4 1 变网格法 变网格法是求解有自由面渗流问题的传统有限单元法，它将自由面当作可 动边界来处理，在迭代过程中修改自由面的位置，使网格发生相应的变形，直 青自由咂渗流分析的加崭高蛳点单儿传导矩阵调整法 到自由面的位置稳定为止。变网格法需要事先假定初始自由面，要求计算人员 具备足够的经验，有时候还会因自由面变动大而导致计算网格畸形，从而不得 不对研究区域重新进行网格剖分：在实际应用上，变网格法难以处理在自由面 附近存在渗透介质水平分层或结构物等复杂的情形，并且不能采用同一个网格 进行渗流场与应力场的耦合分析，增加了有自由面渗流问题应力分析的工作 量。变网格法自身由于存在着这些严重的缺陷，在无压渗流场的分析中，已经 逐步被淘汰”“。 1 4 2 固定网格法 为了解决变网格法所遇到的困难，国外一些学者致力于研究有自由面渗流 问题的新方法，这些算法的核心是在计算过程中不变网格 1 6 1 ，即固定网格法。 自n e u m a n 于1 9 7 3 年首先提出用不变网格分析有自由面渗流的g a l e r k i n 法1 5 研 以来，随即涌现了大量的固定网格法，这些方法主要可以归为剩余流量法1 5 、 单元传导矩阵调整法唧1 、初流量法1 61 和虚单元法【2 51 四大类型。 1 4 2 1 剩余流量法 d e s a i 根据自由面上法向流速为零这个边界条件，于1 9 7 6 年提出了剩余流 量法f 5 9 1 。该法只进行一次总体传导矩阵的集结和分解，但在每一步迭代中都 要确定自由面的近似位置，计算自由面被单元切割的面积和流过自由面的法向 流速，计算工作量大，难以应用到三维模型中1 6 1 。 1 4 2 2 单元传导矩阵调整法 b a t h e 于1 9 7 9 年提出了单元传导矩阵调整法唧1 。该法以自由面为分界线， 自由面以下区域的渗透系数不变，自由面以上区域的渗透系数取实际值的 1 1 0 0 0 t 。6 】。b a t h e 法不需要在每一步迭代中计算自由面的位置，但对被自由面 穿越的单元( 复合单元) 处理得比较粗糙1 2 ，李春华针对这个不足，于1 9 8 6 年提出了改进单元传导矩阵调整法【3 4 1 ，在每一次迭代中确定自由面的位置， 判断自由面与单元交截的情况，计算复合单元水上、水下部分的体积，再据此 调整单元传导矩阵。相对b a t h e 法，李春华法计算复合单元的单元传导矩阵更 阴川人学倾f j 学亿论史 切合实际，但工作量非常之大，难以应用到三维问题中。王贤能根据有限单元 法采用高斯积分公式计算单元传导矩阵这一个特点，在单元传导矩阵调整法的 基础上，于1 9 9 7 年提出了高斯点法【2 3 1 。高斯点法直接根据水头与位置高程的 关系来调整高斯积分点处的渗透系数，在迭代过程中不需要计算自由面的位 置，大大地节省了工作量。 1 4 2 3 初流量法 张有天引用与非线性应力分析中类似于初应力的概念，于1 9 8 8 年提出了 的初流量法6l ，通过对初流量值的调整，将非线性分析转换成一系列的线性 分析。初流量法具有只需一次集结、分解总体传导矩阵的优点，但其收敛稳定 性差，解不尽人意【l7 】。王嫒分析了导致初流量法解不稳定的主要原因，引用 了区域识别函数的新概念，对不连续的区域识别函数进行线性微调，使之连续 化，提出了改进的初流量法【1 7 】，有很大的优越性。 1 4 2 4 虚单元法 吴梦喜于1 9 9 4 年提出的虚单元法【2 5l 是以上一次计算求得的节点水头分布 为基础，求出自由面与单元的交点，移动跨自由面单元的某些节点，使节点落 于交点处。自由面将单元分成2 个区域，自由面以上的单元为虚单元，这一区 域在下一次计算时不参与传导矩阵的集结；自由面以下为渗流计算区域，随着 渗流计算区域逐步逼近实际渗流区域，求出的节点水头分布也逐步逼近问题的 真实解。而后出现的子单元法【1 8 、2 8 1 和弃单元法也类似于虚单元法。 1 4 ，3 截止负压法 近年来，有人提出了另一类固定网格法一变分不等式法，包括b a i o e e h i 变换法和推广压力法等。速宝玉在推广压力法的基础上，于1 9 9 6 年提出了截 止负压法【2 0 1 。该法的主要思想是以压力场p ( x ) 为未知数，利用罚函数 h 。( p ) 将压力场延拓至整个几何区域，使待定边界化为固定边界，并通过迭代 求得压力场p ( x ) 。 6 有自由血滓流分析的力晰i 坼斯点午儿 导矩阵训整浊 1 4 4 流形单元法 流形单元法是有限单元法的一种扩展，其基本理论与有限单元法相同。王 均星将流形单元法引入有自由面的渗流分析中【l ”，该法用物理覆盖来确定材 料的分区与自由面，通过迭代求出自由面边界，将自出面穿越的单元用流形单 元的方法进行处理。自由面将单元分成上、下两个区域，自由面以上的区域在 下一次计算时不参于总体传导矩阵的集结：自由面以下的区域为渗流计算区 域，随着该区域逐步逼近实际渗流区域，所得流场也逐步逼近真实解。 1 ，4 5 无单元法 李广信、葛锦宏于2 0 0 3 年将无单元法引入到有自由面的渗流计算中，提 出了有自由面渗流分析的无单元测2 “2 2 l 。无单元法利用滑动最d , - - 乘法来建 立在全域高阶连续可导的插值函数，具有积分网格和节点相互独立的优点。与 有限单元法比较，无单元法花费机时多，并且需要合理地确定影响半径和高斯 点的阶数，在渗流计算中的应用还不及有限单元法成熟，有待进一步研究。 通过上面的讨论，我们可以看出，有限单元法是有自由面渗流分析的主要 数值计算方法，发展比较成熟，而其中的固定网格法相对于变网格法又有着很 大的优势，目前已应用得比较广泛，是求解有自由面渗流问题方法的发展趋势。 1 5 本论文的研究构想 固定网格法用于分析有自由面的无压渗流场有着很大的优势，但现存的各 种固定网格法都或多或少地存在一些不足1 23 1 ，仍然需要不断地改进。本文在 高斯点法【2 3 】的基础上，通过对复合单元进行加密高斯积分点的处理，提出改 进了的高斯点法加密高斯点单元传导矩阵调整法。 为了验证加密高斯点单元传导矩阵调整法的可行性，采用c + + 语言，开发 了用于稳定渗流分析的有限元软件m e s e e p ，该软件可用于有压、无压、二维、 三维、均质、非均质、各向同性、各向异性的稳定渗流场分析。 v l i f l 人学倾l 。学位论文 2 渗流的基本理论 2 1 概述 水在土体孔隙或岩体裂隙、溶洞中的流动，由于孔隙或裂隙的大小和形状 十分不规则，因此是一个非常复杂的现象。事实上，人们不可能求出水流在孔 隙或裂隙中的流速分布规律或者真实的流速大小，而且这样做也没有很大的实 用价值。因此，研究土体、岩体的透水问题只能用平均的概念，即具有平均性 质的渗透规律。其实质是用和真实水流属于同一流体的、充满整个含水层( 包 括全部的孔隙或裂隙空间和土或岩石颗粒所占据的空间) 的假想水流来代替仅 仅在i l 隙或裂隙中运动的真实水流，通过对假想水流的研究来达到了解真实水 流平均渗透规律的目的。 称假想水流为渗透水流，简称渗流，渗流所占有的空间区域则称为渗流场。 渗流应该满足下面几个条件： 渗流通过任意断面的流量与真实水流通过同一断面的流量相等； 渗流在某断面上的压力或水头应等于真实水流的压力或水头； 渗流在任意土体或岩体体积内所受到的阻力应等于真实水流所受到的 阻力。 2 1 1 水头函数 渗流场内任意一点的总水头九可以表示为： 九= z + 旦+ 芸 ( 2 1 1 ) ，w2 s 式中p 一研究点上的动水压强； 儿一流体的容重； z 一自某一基准面算起的研究点的位置高程： 兰渗透流速水头。 二g 由于土体或岩体中的流速一般很小，通常可以将渗透流速水头忽略不计， 所以渗流场内的水头函数可以表示为： 有白由面溶流分析的力晰高斯点堆，l 传导矩阵调整法 西：z + 旦( 2 1 2 ) ，。 水头是表征渗流场的一个基本物理量，它是空问坐标x 、y 、z 和时间t 的函 数，为一标量。 2 1 2 ，渗透速度v 渗透速度是指渗流在垂直于过水断面上的平均流速。 ! 透速度与水流在孔 隙或裂隙中的真实速度的关系为： v = 行群( 2 1 3 ) 式中v 一渗透速度； “一水流在孔隙或裂隙中的真实速度； 一土或岩石的孔隙率。 同水头一样，渗透速度也是表征渗流场的基本物理量，它是空间坐标x 、y 、z 和时间t 的函数，为一矢量。 2 1 3 渗透流量 通过渗流分析求得渗流区域内各点的渗透速度后，就可以选择适当的渗流 控制断面s ，计算通过相应区域的渗流量q ： q = i i v d s ( 2 1 - 4 ) 2 1 4 水力比降 在渗流分析中，除了确定水头在所研究区域内的分布外，尚需研究其变化 率。我们称水头在研究点的最大变化率为水力比降或渗流梯度j ： j ：一堂( 2 1 5 ) 船 式( 2 1 5 ) 中所取负号是因为随着渗流途径的增加水头在逐渐降低，即水头 沿水流方向棚距离上的增量彩永远是负的，而水力比降是正的。 水力比降，在n ”z 三个方向的分量止、，。、j ：可分别表示为： 叫川1 人学顺i ：学位论文 水力比降即为- ，= 以+ ，；+ 以。 2 1 5 流网 图2 1 1 土坝渗流流网 ( 2 1 - 6 ) 流网是研究平面渗流问题的流动图案。流网由流线和等势线两组相互垂直 交织的曲线所组成，图2 1 1 所示即为一土坝的渗流流网图。流线在稳定渗流 情况下表示水质点的运动路线；等势线表示势能或水头的等值线，即每一根等 势线上的测压管水位都是齐平的，而不同等势线之间的差值则表示从高位势向 低位势流动的趋势。流网有两个主要的特征： 等势线和流线互相垂直： 如果流网各等势线问的差值相等，各流线问的差值也相等，则各个网 格的长宽比为常数。 流网的两个性质表明，在流网中，流线越密的部位流速越大，等势线越密 的部位水力比降越大。 2 - 2 渗流基本定律 2 2 1 达西定律 法国工程师达西( h e n r id a r c y ) 于1 8 5 2 1 8 5 5 年在垂直圆筒中装砂进行 过砂土透水性的试验研究，得到如下关系式： l o 劬一叙劬一砂却瓦 一 一 一 = i l = r y z j ， ， 有自由面渗流分析的加密高斯点单，g 传导矩侔调整法 v ：u ：一坐 舔 式中k 一渗透系数，又称作水力传导系数。 通常称式( 2 2 1 ) 为达西渗透定律或线性渗透定律。 度v 与水力比降，的一次方成正比。 ( 2 2 一1 ) 该定律表明渗透速 2 2 2 达西定律的适用范围 达西定律是在特定水力条件下的试验结果，具有一定的适用范围。一般在 篇麓湍二兰毳襻融鞠麟堡鳇 速度由低到高时，可把介质中的水流运动状态分为三种情况：( 1 ) 水流作低速 运动时，即r e = 1 1 0 ，为粘滞力占优势的层流运动；( 2 ) 随着流速的增大， 即r e = 1 0 1 0 0 ，为一过渡带。由粘滞力占优势的层流运动转变为惯性力占优 势的层流运动再转变为紊流运动：( 3 ) 高雷诺数时为紊流运动。显然，达西定 律的适用范围为低流速，以粘滞力占优势的层流运动范卧“j 。 当然，在实际的工程中，经常会遇到不符合达西定律的渗流，如堆石体和 砂砾石含水层中抽排疏干中的渗流计算问题等，此时渗透速度与水力比降不再 呈线性关系，而是服从相应的非线性关系，属于非达西渗流问题【2 7 j 。 需要指出的是，天然条件下，多孔介质中的水流速度都很小，绝大多数地 下水运动都服从达西定律【1 2 】。目前渗流分析的数学模型大都是以达西定律为 基础建立的，本文所指的渗流也是指符合线性渗透定律的达西渗流。 2 2 3 广义达西定律 设介质各向异性，渗流场内某一点的渗透流速不仅与相应的水力比降分量 成正比，还与水力比降的其它分量成正比【7 1 0 据广义达西定律，在工、y 、z 方 向的流速分量分别为： v t lj i l 人学坝l 学位论文 用矩阵表示为 = 一陆i 其中 v = i v ，v ，v = r 叫芸考甜 阱降k x y 纠 l 女。，k 。j 渗透矩阵各系数屯随着坐标轴的转动而变化， 标系时，渗透矩阵各系数按下式转换： k 。= ，。，k ， ( 2 2 2 ) ( 2 2 3 ) ( 2 2 4 ) ( 2 2 5 ) ( 2 2 6 ) 当由j 坐标系转换到坩坐 ( 2 2 7 ) 式中 ，。一r 轴与f 轴夹角的余弦。 式( 2 2 - 7 ) 符合张量的坐标变换规则，故【七】又被称为渗透张量。 对于平面问题，设坐标系冽逆时针旋转口角而得到坐标系r o y ，见图 2 2 。1 ，则有： 阱kx,x, 一c 塞o s 2 口 s i n ：2 三o t c o s 剖斟k 泣28lsi ，s i n 2 d2 口 一s i n 2 口h 圳 ( 2 ) 一三s i n 2 口n 2 口c o s 2 岱| l j 22 j 。 7 如果旋转坐标系x o y ，使t 。= 0 ，得到 口= i 1 i ( i 2 k 百。y 眨z 剐 翌出丝出髟一瑟 址 f 品 t 七 一 一 一 形一钞却砂印一砂 矿 w 纠 一 一 一 翌缸却瓦雄一融 盯 卢 玎 一 一 一 = = = “ 吖 n 有自由面渗流分析的加惭高斯点堆儿传导矩阵涮褴法 图22 - 1 各向异性平面问题 式中 口一渗透张量的主方向； k 。、k 。一主渗透系数。 对于二维问题，渗透张量 k 】的独立系 数为3 个，或者为2 个主渗透系数及1 个主方向；对于三维问题，独立的渗透 系数为6 个，或者为3 个主渗透系数及 3 个主方向。 2 3 渗流连续性方程 渗流的连续性方程是质量守恒定律在渗流问题中的具体应用，即流体在渗 透介质中的流动过程中，其质量既不会增加也不会减少。 图23 - 1 渗流区域中的单元体 6 x ) a y n z t a 如图2 3 1 ，在f 时间内，流入和流出平行六面体x a y a z 的总质量差为 - f 旦盟+ 丝型+ 塑l 姚心，( 2 3 - 1 ) l巩却七l 。 在平行六面体内，液体所占体积为n a x a y a z ( n 为土或岩石的孔隙率) ， 因而在f 时间内平行六面体内液体的质量变化为： 四川大学烦l 学位论文 昙【缪缸缈心】， ( 2 3 2 ) 由质量守恒定律，得 一l 掣+ 掣+ 掣卜舭o t b 衅丛玉， l 融却出 i 。 。7 。 式( 2 3 3 ) 即为渗流的连续性方程。 如果把渗流水体假定为不可压缩的均质液体，其密度p = 常数，同时设流 入和流出平行六面体的液体总质量差为零，则有： 盟+ 盟+ 韭一d ：0 ( 2 3 - 4 ) 苏 咖 a z 一 式( 2 3 4 ) 即为稳定渗流情况的连续性方程，其中g 为内源。 2 4 渗流基本微分方程 根据达西定律，将式( 2 2 2 ) 代入式( 2 3 4 ) 中，得到稳定渗流场中水 头西在求解域内必须满足的基本微分方程： 昙( k 警+ 芳+ k 尝 + 昙卜，罢+ 考+ 警 + 昙卜。芸+ 等+ k 警】+ 9 = 。( 2 4 - 1 ， 当渗透主方向与坐标轴方向一致时，式( 2 4 1 ) 简化为： 昙( k 罢) + 茜( b 芳) + 昙( k 警) + q = 。( 2 4 - 2 ) 2 5 渗流基本微分方程的定解条件 对于渗流问题，基本微分方程的定解条件包括边界条件和初始条件。 2 5 1 边界条件 边界条件是指渗流场周围边界上水力要素( 水头、渗透速度等) 的状态。 边界是指渗流场与非渗流场的交界面；边界上的水力要素是指从丌始一直到需 有自由面洛流分析的力晰商斯点译，l 传导矩阵调整法 要计算的时刻为止边界上的全部状态。 边界条件又分为第一类边界条件和第二类边界条件。 2 5 1 1 第一类边界条件 如果所研究渗流区域边界ri 上的水头随时间变化的规律是已知的，可表 示为： 妒( x ，y ，z ) = 日如，y , z 扎。 ( 2 5 - 1 ) 式中 ( x ，y ，z ) 一已知水头函数； r 1 i 一已知水头边界段，x ，y ，z 位于边界r l 上。 这种边界条件通常称为第一类边界条件，又称作水头边界条件或荻克雷 ( d i r i c h l e ) 条件。 2 5 1 2 第二类边界条件 如果所研究渗流区域边界r 12 上的水头值是未知的，而在计算时间内单位 面积上流入或流出的流量是已知的，则此类边界条件可表示为： i 罢= g g ，粥批批 ( 2 5 - 2 ) 册 1 式中 q ( x ，y ，z ) 一已知流量函数； r 2 一具有给定流量的边界段，x ，y ，z 位于边界r2 上： n r 2 的外法线方向。 在不透水边界上，q = 0 ，式( 2 5 2 ) 就变为： 娑：0 ( 2 5 3 ) 咖 式( 2 5 - 2 ) 、( 2 5 3 ) 所表示的边界条件，称为第二类边界条件，又称作流量 边界条件或诺伊曼( n e u m a n n ) 条件。 2 5 2 初始条件 初始条件是指初始时刻( 一般取这个时刻为零) 整个渗流场的状态，即给 定限制条件： 0 ，y ，z ，) = h 。0 ，y ，z ，。】。 ( 2 5 4 ) 1 5 叫川1 人学倾i j 学位论文 式中 庐b ，y ，乙t ) 一渗流场内时刻t 的水头分布函数： 日o ( x ，y ，z ，r o ) 一已知水头函数。 初始条件说明渗流水体运动是从什么状态h 发继续运动的，初始时间可以 任意选择。对于稳定渗流场，初始状念的影响已经不再起作用，所以进行稳定 渗流分析不需要初始条件。 2 5 3 土坝稳定渗流边界条件 z 圈2 5 1 稳定渗流时土坝边界条件图 如图2 + 5 1 所示，对于土坝稳定渗流情况，其边界条件可以确定为： a e 边界上：西= h ，第一类边界条件； c d 边界上：西= h ，第一类边界条件： a b 边界上：西：z ，旦篁：0 ，同时满足第一类、第二类边界条件： 砌 b c 边界上：西= ：，第一类边界条件： d e 边界上：! 生：0 ，第二类边界条件。 a n a e 边界为土石坝流网中水头值最大的等势线，c d 边界则为流网中值最 小的等势线：自由面边界a b 上的水头值等于其位置高程，是一条特殊的流线， 对于稳定渗流情况，自由面上下区域不存在水体的交换；逸出面边界b c 的唯 一条件为水头值等于位置高程，其既非流线也非等势线；不透水边界d e 为一 条流线。 有自由面渗i j ；c 分析的加崭r 蕾斯点啊儿传岢师眸调整法 2 6 渗流的能量泛函表达式 其值由一个或几个函数所确定者，即函数的函数，我们称之为泛函。一般 记作s l y ( x ) 】， p ( x ) 】= f l + ( ，) 2 出 ( 2 6 1 ) 稳定渗流区域内的渗流能量泛函表达式可以表示为： ，眵】= 缈争k ( 差) 2 + b ( 考 2 + t 。( 警 2 + z b 罢筹+ z k 箬老+ ：k 老罢】一卿 e x d y 出c z 每2 ， 一l l q 蛐 当渗透主方向与坐标轴方向一致时，稳定渗流场的渗流能量泛函表达式 为： ，弘】= 缈圭陬( 尝 2 + b ( 詈 2 + k ( 尝) 2 ，一鲥附一妒雄c z 矗s ， 目前在渗流分析中应用最为广泛的有限单元法，就是基于渗流能量泛函表 达式的极值，即j 眵】= m i n 同渗流微分方程的解等价而建立的。 旧川人学倾i ：学他论殳 3 渗流计算有限单元法 3 1 概述 有限单元法是在大型数字电子计算机的广泛应用和数值计算方法的发展 基础上发展起来的。开始是在结构分析中采用，随后于6 0 年代逐渐被引用到 流体力学的领域，其中最早就是引用到稳定渗流场问题，7 0 年代初再被引用 到非稳定渗流场问题。由于它对边界适应性好，精度高，能够使计算法则和程 序标准化等优点，现在已同益被广泛采门】，足一种求解复杂渗流问题的较好方 法。 有限单元法把求解域离散成一组单元，化无限自由度问题为有限自由度问 题。这些单元就是有限单元，单元的结合点称为单元节点。有限单元内的待定 近似函数( 单元水头分布函数) 通常都是由已知的若干内插函数迭加组成。在 两个或多个相邻的有限单元所共有的节点上，其水头函数值相等，一般能保证 水头函数在界面上连续( 有的要求导数连续) 。这样，所有渗流区域内的节点 水头函数就近似地代表了整体的水头函数。其实质是把求解的渗流区域离散化 为有限个单元体的集合体来进行研究，将原来求解微分方程的问题变换为求解 一系列方程组的问题。 利用有限单元法求解渗流问题一般包括下列几个步骤： 渗流区域的离散化。 选择合理的插值函数。 推导渗流特性矩阵方程。 由单元传导矩阵集结总体传导矩阵。 解代数方程组，求出各节点的未知水头值。 在求得渗流场的水头分布之后，计算水力比降、渗透流速、渗透流量