（光学专业论文）海森堡自旋链中纠缠态的含时演化.pdf

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n e a r e s tn e i g h b o rw i l la f f e c tt h ee n t a n g l e m e n t w h e nt h em a g n e t i cf i e l di sv a r i e dw i t hs m a l lm a g n e t i cf i e l d ，t h ee f f e c t so ft h en e x tn e a r e s t 海森堡自旋链中纠缠态的含时演化英文摘要 n e i g h b o re x c e e d st h a to ft h em a g n e t i cf i e l d ，t h ee n t a n g l e m e n ta p p e a r si r r e g u l a rb e h a v i o r w h e nt h em a g n e t i cf i e l di sv e r yl a r g e ，t h ee f f e c t so ft h em a g n e t i cf i e l de x c e e d st h a to ft h e n e x tn e a r e s tn e i g h b o r , t h ee n t a n g l e m e mb e c o m e sa g a i nr e g u l a ra n d p e r i o d i c k e y w o r d s ：s p i nc h a i n ；e n t a n g l e m e n t ；t i m ee v o l u t i o n w r i t t e nb y ：z h a n gc h u n l e i s u p e r v i s e db y ：z h us h i q u n 目录 第一章引言1 1 1 课题研究背景1 1 2 海森堡自旋链中的纠缠态”1 1 - 3 本文研究的目的及主要内容2 参考文献4 第二章量子纠缠态的含时演化”7 2 1 纠缠态的度量方法7 2 2 纠缠态的含时演化过程8 2 3 环境对纠缠态的影响9 参考文献10 第三章量子纠缠态在环境影响下的演化1 3 3 1 系统的哈密顿量1 3 3 2 纠缠态的产生15 3 3 纠缠态的存储”l8 参考文献2 1 第四章海森堡自旋链中纠缠态的自由演化2 3 4 1x y 模型的哈密顿量2 3 4 2 纠缠的时间演化2 4 参考文献”3 0 结束语一31 攻读学位期间公开发表的论文3 2 致谢3 3 海森堡自旋链中纠缠态的含时演化第一章引言 1 1 课题研究背景 第一章引言 随着人类社会进入高度信息化的时代，更大量、更快速的信息处理成为人们追求 的目标，信息论与量子物理学、计算机科学等多种学科相结合产生的量子信息学成为 近几十年来人们研究的热点课题之一。量子信息主要是将量子力学的基本原理应用于 信息科学，对信息进行传输和处理，它以微观粒子的状态来表示信息，以量子状态的 改变来实现信息的存储、编码和传输等等【1 ，2 】。微观粒子的量子特性给经典信息理论 带来了巨大挑战。以量子通信和量子计算等为主要内容的量子信息会在将来的科学研 究中展示出超越信息学和量子物理学这两个基本理论之上的许多新概念、新特点。 在利用量子力学理论对信息进行处理的过程中，经常会利用量子系统的许多微观 特性 3 5 】，例如微观系统的量子相干性，量子叠加性，和量子纠缠性等等。本文主要 讨论的量子纠缠性( 量子态纠缠) ，是量子信息的主要微观特征之一，它是指两个或 者多个量子系统之间的瞬时的、非定域的、不可逆的关联性，是一种非经典的关联。 从上世纪末以来，作为量子信息科学核心资源的量子纠缠被广泛地应用于量子信息处 理，如量子隐形传态【6 】、量子密码、量子纠错、量子计算 7 】等研究领域，取得了一 系列丰硕的研究成果。 1 2 海森堡自旋链中的纠缠态 同光学系统相比，固态系统具有可集成、易操作等特点。同时，许多研究表明， 在系统温度趋近于零度的时候，纠缠态自然地存在于很多自旋系统中。因此，如何从 理论上分析和从实验上实现固态自旋系统中的纠缠态，就成为人们关注的课题之一。 作为研究固态系统临界性质的物理模型之一，多年来，自旋系统【8 1 0 】的研究就 一直受到人们的高度关注。在自旋系统中，边界的条件，材料的各向异性，温度的高 低，磁场的不均匀性等等都能对自旋系统的物理性质产生很大的影响。 第一章引言海森堡自旋链中纠缠态的含时演化 海森堡自旋链 1 1 - 1 8 】就是一种典型的自旋系统。根据自旋之间耦合参量的不同形 式，海森堡自旋模型可以从一般的x y z 模型，演变为x x z 模型，x y 模型，x x 模 型等等，并能约化为伊辛模型。近年来，人们对海森堡自旋链进行了广泛的研究，得 到了很多丰富的现象 1 9 - 2 2 。研究结果表明，自旋链的边界条件，各向异性参数，外 部磁场等等，都能对海森堡自旋链中的纠缠态产生很大的影响 2 3 - 3 3 1 。， 1 3 本文研究的目的及主要内容 从上世纪末以来，量子信息处理就一直是国际学术界研究的热点课题之一。被广 泛地应用于量子信息处理中的量子纠缠，作为量子信息的核心资源也受到人们的高度 重视。近年来，为了实现量子调控，有效地处理量子系统中信息的存储和传输等问题， 海森堡自旋链中纠缠态的含时演化 第一章引言 子数n 大于2 时的纠缠态的含时演化，讨论了纠缠态的产生。 本文的第三章第三节主要选择了特殊的b e l l 基作为系统的初态，计算了自旋系 统中纠缠度的时间演化，讨论了纠缠的存储和变化与圆环中粒子数量的关系。 本文的第四章主要讨论了海森堡x y 自旋链在真空中的自由时间演化过程。 本文的第四章第一节主要介绍了海森堡x y 自旋链系统的哈密顿量的计算过程。 通过引入升降算符和j o r d a n w i g n e r 变换，对系统的哈密顿量进行精确对角化，计算 出系统的本征值和本征态。 本文的第四章第二节主要通过计算系统中自旋粒子数n = 2 的情况，推导出x y 模型中纠缠度时间演化的解析表达式，分析了自旋链的各向异性参数和外磁场分别对 纠缠度的影响。 本文的第五章是结束语。 3 第一章引言海森堡自旋链中纠缠态的含时演化 参考文献 【1 】a s h o l e v o ，p r o b a b i l i s t i ca n ds t a t i s t i c a la s p e c t s h o l l a n ds e r i e si ns t a t i s t i c sa n dp r o b a b i l i t y , ( 19 8 2 ) 【2 】 m a n i e l s e na n di l c h u a n g ，q u a n t u mc o m p u t a t i o na n dq u a n t u mi n f o r m a t i o n , c a m b r i d g eu n i v e r s i t yp r e s s ，c a m b r i d g e ，e n g l a n d ，( 2 0 0 0 ) 3 】周世勋，量子力学教程，高等教育出版社，( 1 9 7 9 ) 【4 】曾谨言，量子力学，卷i i ，科学出版社，( 1 9 9 3 ) 【5 】张永德，吴盛俊，侯广，黄民信，量子信息论物理原理与某些进展，华中 师范大学出版社，( 2 0 0 2 ) 海森堡自旋链中纠缠态的含时演化第一章引言 【l5 】r qp e r e i r a , j s i r k e r , j - s c a u x ，r h a g e m a n s ，j m m a i l l e t , s r w h i t e ，a n di a f f l e c k , d y n a m i c a ls p i ns t r u c t u r ef a c t o r f o r t h ea n i s o t r o p i cs p i n - l 2h e i s e n b e r g c h a i n , p l a y s r e v l e t t ( 2 0 0 6 ) 9 6 ，2 5 7 2 0 2 【l6 】m k o h n o ，d y n a m i c a l l yd o m i n a n te x c i t a t i o n so fs t r i n gs o l u t i o n si nt h es p i l l 一1 2 a n t i f e r r o m a g n e t i ch e i s e n b e r gc h a i ni nam a g n e t i cf i e l d ，p h y s r e v l e t t ( 2 0 0 9 ) 1 0 2 ， 0 3 7 2 0 3 【l7 】s 一s g o n ga n dgs u , t h e r m a le n t a n g l e m e n ti no n e d i m e n s i o n a lh e i s e n b e r g q u a n t u ms p 证c h a i n su n d e rm a g n e t i cf i e l d s ，p l a y s r e v a ( 2 0 0 9 ) 8 0 ，012 3 2 3 18 】z - x c h e r t , z - w ：z h o u , x z h o ux - f z h o u , a n dg - c g u o ，q u a n t u ms i m u l a t i o n o fh e i s e n b e r gs p i nc h a i l l sw i t hn e x t - n e a r e s t - n e i g h b o ri n t e r a c t i o n si nc o u p l e dc a v i t i e s ， p l a y s r e v a ( 2 0 1 0 ) 8 1 ，0 2 2 3 0 3 1 9 】k h h 6 9 l u n da n da w s a n d v i k , a n o m a l o u sc u r i er e s p o n s eo fi m p u r i t i e si n q u a n t u m - c r i t i c a ls p i n - l 2h e i s e n b e r ga n t i f e r r o m a g n e t s ，p h y s r e v l e t t ( 2 0 0 7 ) 9 9 ， 0 2 7 2 0 5 【2 0 】a j a j a m e s ，w d g o e t z e ，a n df h l e s s l e r , f i n i t e - t e m p e r a t u r ed y n a m i c a l s t r u c t u r ef a c t o ro f t h eh e i s e n b e r g - i s i n gc h a i r , p h y s r e v b ( 2 0 0 9 ) 7 9 ，2 1 4 4 0 8 【2 l 】f l p r a t t , s j b l u n d e l l ，t l a n c a s t e r , c b a i n e s ，a n ds t a k a g l ，l o w - t e m p e r a t u r e s p i nd i f f u s i o ni nam g m y i d e a ls = l 2h e i s e n b e r ga n t i f e r r o m a g n e t i cc h a i ns t u d i e db y m u o ns p i nr e l a x a t i o n , p h y s r e v l e t t ( 2 0 0 6 ) 9 6 ，2 4 7 2 0 3 2 2 】m b s t o n e ，d h r e i c h , c b r o h o l m , k l e f i n a n n , c r i s c h e l ，c pl a n d e e ，a n dm m t u m b u l l ，e x t e n d e dq u a n t u mc r i t i c a lp h a s ei nam a g n e t i z e ds p i n - l 2 a n t i f e r r o m a g n e t i cc h a i n , p h y s r e v l e t t ( 2 0 0 3 ) 9 1 ，0 3 7 2 0 5 【2 3 】t s m u b e ra n df g u i n e a , e n t a n g l e m e n ta tt h eb o u n d a r yo fs p i i lc h a i n sn e a ra q u a n t u mc r i t i c a lp o i n ta n di ns y s t e m sw i t hb o u n d a r yc r i t i c a lp o i n t s ，p h y s r c v a ( 2 0 0 4 ) 7 0 ，0 2 2 3 1 3 【2 4 】a h a m m a , i o n i c i o i u , a n dp z a n a r d i ，b i p a r t i t ee n t a n g l e m e n ta n de n t r o p i c b o u n d a r yl a wi nl a t t i c es p i i ls y s t e m s ，p h y s r e v a ( 2 0 0 5 ) 7 1 ，0 2 2 315 【2 5 】s b o s e ，b - q j 氓a n dve k o r e p i n , q u a n t u mc o m m t m i c a t i o nt h r o u g has p i nr i n g w i t ht w i s t e db o u n d a r yc o n d i t i o n s ，p h y s r e v a ( 2 0 0 5 ) 7 2 ，0 2 2 3 4 5 2 6 】m a s o u d e ha n dvk a r i m i p o u r , t h e r m a le n t a n g l e m e n to fs p i n si na l li n h o m o g e n e o u s m a g n e t i cf i e l d ，p h y s r e v a ( 2 0 0 5 ) 7 1 ，0 2 2 3 0 8 5 第一章引言 海森堡自旋链中纠缠态的含时演化 【2 7 【2 8 】 2 9 】 3 0 】 【3 1 】 3 2 】 【3 3 】 【3 4 】 g ez h a n ga n ds - s l i ，t h e r m a le n t a n g l e m e n ti na t w o - q u b i th e i s e n b e r gx x zs p i n c h a i nu n d e ra ni n h o m o g e n e o u sm a g n e t i cf i e l d ，p h y s r e v a ( 2 0 0 5 ) 7 2 ，0 3 4 3 0 2 x yg ea n dm w a d a t i ，g e o m e t r i cp h a s eo fe n t a n g l e ds p i i lp a i r si nam a g n e t i cf i e l d ， p l a y s r e v a ( 2 0 0 5 ) 7 2 ，0 5 2 1 0 1 z h u a n ga n ds k a i s ，e n t a n g l e m e n te v o l u t i o no fo n e - d i m e n s i o n a ls p i i ls y s t e m si n e x t e r n a lm a g n e t i cf i e l d s ，p h y s r e v a ( 2 0 0 6 ) 7 3 ，0 2 2 3 3 9 t b o n e s s ，s b o s e ，a n dt s m o n t e i r o ，e n t a n g l e m e n ta n dd y n a m i c so fs p i nc h a i n si n p e r i o d i c a l l yp u l s e dm a g n e t i cf i e l d s ：a c c e l e r a t o rm o d e s ，p h y s r c v l c t t ( 2 0 0 6 ) 9 6 ， 1 8 7 2 0 1 ek h e i r a n d i s h , s j a k h t a r s h e n a s ，a n dh m o h a m m a d i ，e 妇f e c to fs p i n - o r b i t i n t e r a c t i o no n e n t a n g l e m e n t o f t w o q u b kh e i s e n b e r g x y zs y s t e m si na r t i n h o m o g e n e o u sm a g n e t i cf i e l d ，p l a y s r e v a ( 2 0 0 8 ) 7 7 ，0 4 2 3 0 9 r h c r o o k sa n dd vk h v e s h c h e n k o ，e n t a n g l e m e n tp r o p a g a t i o nt h r o u g hs p i n c h a i n si nt h ep r e s e n c eo fas t a g g e r e dm a g n e t i cf i e l d ，p h y s r e v a ( 2 0 0 8 ) 7 7 , 0 6 2 3 0 5 d o u k a sa n dl c l h o l l e n b e r g ，l o s so fs p i ne n t a n g l e m e n tf o ra c c e l e r a t e de l e c t r o n s i ne l e c t r i ca n dm a g n e t i cf i e l d s ，p h y s r e v a ( 2 0 0 9 ) 7 9 ，0 5 210 9 o r o m e r o - i s a r t ，k e c k e r t , a n da s a n p e r a , q u a n t u ms t a t et r a n s f e ri ns p i n - 1c h a i n s ， p h y s r e v a ( 2 0 0 7 ) 7 5 ，0 5 0 3 0 3 ( r ) 6 海森堡自旋链中纠缠态的含时演化第二章量子纠缠态的含时演化 第二章量子纠缠态的含时演化 2 1 纠缠态的度量方法 量子纠缠是量子信息处理中十分重要的资源。就纯态而言，两个量子系统a 和b ， 如果存在一类量子态总是不能写成它们两个子系统纯态的直积的形式，即 i 少) l ) o l ) ，那么这个量子态就是纠缠态，否则就是非纠缠的。例如，在两量 子位系统中十分常见的是由p a l l l i 矩阵组成的一组纠缠态完备基： 御5 抄一1 ) 产1 1 l | o k ) 。 ( 2 1 ) 御5 去( 1 0 ) 胤城 我们称之为b e l l 基，系统a 和b 就是相互关联的，它们各自的瞬时状态均依赖 于对方而使自己处于一种不确定的状态。量子纠缠态的这种瞬时关联性，再加上量子 系统与周围环境发生的量子纠缠一量子消相干，使得纠缠态在处理量子信息和量子 计算方面有着重要的研究价值。 量子纠缠态的重要性使得人们需要通过定量的方式判断纠缠度的大小，对于多体 纠缠系统，人们目前还没有找到一种十分理想的度量方法，其中n e g a t i v i t y 1 是用得 较多的一种，但是也有很多不足的地方，而对于两体系统而言，纠缠态的描述已经相 对比较完善了。 在两体量子系统中，w o o t t e r s 2 ，3 】引入的c o n c u r r e n c e 常常被用来描述纠缠态的大 小纠缠度，这也是目前用得最广泛的一种方法，它的具体形式是这样的： 如果引入子空间o o ) ，i0 1 ) ，1 1 0 ) ，i lz ) 的态密度矩阵p ，同时它的自旋翻转密度矩阵 p 可以写成 户= ( qo 仃j ，) p ( 盯j ，p o r j ，) ， 7 ( 2 2 ) 第二章量子纠缠态的含时演化 海森堡自旋链中纠缠态的含时演化 其中p 是态密度矩阵p 的复共轭矩阵，并且五o = 1 , 2 ，3 ，4 ) 是矩阵只= p p 本征值的算 术平方根，且按照降序排列。那么纠缠度c o n c u r r e n c e 可以定义为： c = m a x & 一如一如一厶，o ，。 ( 2 3 ) 两体系统的约化密度矩阵有时候也可以写成以下更常见的形式： p = 0 0 m 0 y 00 oo y 0 w 2 0 0 ， ( 2 4 ) 这样，c o n c u r r e n c e 的另一种形式是：c = 2 m a x ly 弋丽，o 。当c = i 时，两粒 子间处于最大纠缠态，当c = 0 时，两粒子间没有纠缠态。 2 2 纠缠态的含时演化过程 在两体系统中，纠缠态是否存在以及纠缠态的大小可以通过测量系统的 c o n c u r r e n c e 来确定。如果要实现量子调控，就需要研究纠缠态的动力学行为和它的 时间演化。在量子力学理论中，s c h r f d i n g e r 方程给出了量子态随时间演化所满足的 运动方程： i h 昙9 1 ( 0 ) = m i 缈( r ) ) ， ( 2 5 ) 其中i ( f ) ) 是t 时刻的波函数，h 是系统的哈密顿量，壳= h 1 2 刀r 是普朗克函数，本文 中取壳= 1 。方程( 2 5 ) 式表示系统的波函数随时间的演化方程，如果知道该量子系统的 初始状态l y ( o ) ) ，则任意时刻t 时的波函数可以写成： l 妙( f ) ) = e x p - 云i h ( f ) 西】l y ( o ) ) 。 ( 2 6 ) 在本文所讨论的量子系统中，系统的哈密顿量通常不显含时间t ，因此，方程( 2 6 ) 式可以写成： ) = e x p ( _ 一) i h t i , 沙( o ) ) 。 8 ( 2 7 ) 海森堡自旋链中纠缠态的含时演化第二章量子纠缠态的含时演化 对于任意两个不同时刻的波函数之间的联系，我们引入幺正算符u ( t ) 来表不： l ( f ：) ) = u ( ，) l 吵( f 。) ) ，或者i 缈( ，) ) = u ( f ) i ( o ) ) 。u ( t ) 被称作含时演化算符，并且，幺 正算符u ( t ) 可以写成： = 唧串= 年c 叩下- i e j t 忻, ) ( 纺i ， ) 其中髟和l 纺) 分别是系统哈密顿量的本征值和本征态。这样，系统的密度矩阵 户( ，) = l o ) ) 缈f 也是一个与时间t 有关系的量，它可以写成： p ( r ) = u ( f ) l 少( o ) ) ( y ( o ) i u + o ) 。 ( 2 9 ) 2 3 环境对纠缠态的影响 在量子信息处理的实际应用中，外界环境对系统纠缠态的影响是处处存在的。例 如外部磁场的大小和方向会对系统的纠缠会产生影响 4 1 5 】，自旋系统的相互作用比 率会影响纠缠的行为，一个系统和环境之间产生的纠缠会导致系统的纠缠发生变化。 环境对纠缠的影响，一般会导致量子信息的衰减，甚至退相干【1 6 2 3 1 ，某些特殊情况 下，会出现纠缠值的跃变。人们通过不同的量子系统研究外部环境因素对纠缠的影响， 例如，当一对自旋粒子同一条自旋链耦合时，量子信息通过自旋链的传递；自旋粒子 同一维i s i n g 链耦合时，通过纠缠态在量子临界点附近得到强化从而判断量子相变 2 4 - 2 8 ，等等。 本文通过一对自旋粒子同一条各向异性的海森堡x x z 环形自旋链的耦合，探讨 环形自旋链作为外部环境时对自旋粒子对之间纠缠的动力学行为和含时演化的影响。 同时，还分析了外磁场和各向异性对海森堡x y 自旋链自身存在的纠缠的含时演化的 影响。 9 第二章量子纠缠态的含时演化 海森堡自旋链中纠缠态的含时演化 参考文献 k w o o t t e r s ，e n t a n g l e m e n to ff o r m a t i o no fa na r b i t r a r ys t a t eo ft w oq u b i t s ，p h y s r e v l e t t ( 1 9 9 8 ) 8 0 ，2 2 4 5 vc o f f m a n ，j k u n d u ，a n dw k w o o t t e r s ，d i s t r i b u t e de n t a n g l e m e n t ，p h y s r e v a ( 2 0 0 0 ) 6 1 ，0 5 2 3 0 6 gv i d a l ，c o m p u t a b l em e a s u r eo fe n t a n g l e m e n t ，p h y s r e v a ( 2 0 0 2 ) 6 5 ， 0 3 2 3 1 4 x w a n g ，a b a y a t ，s gs c h i r m e r , a n ds b o s e ，r o b u ge n t a n g l e m e n ti n a n t i f e r r o m a g n e t i ch e i s e n b e r gc h a i n sb ys i n g l e - s p i no p t i m a lc o n t r o l ，p h y s r e v a ( 2 0 1 0 ) 8 1 ，0 3 2 3 1 2 s i d o r o n i na n d a i z e n c h u k ，h i g h - p r o b a b i l i t y s t a t et r a n s f e r sa n d e n t a n g l e m e n t sb e t w e e nd i f f e r e n tn o d e so ft h eh o m o g e n e o u ss p i n 一1 2c h a i ni na n i n h o m o g e n e o u se x t e r n a lm a g n e t i cf i e l d ，p h y s r e v a ( 2 0 1 0 ) 8 1 ，0 2 2 3 2 1 s - s g o n ga n dgs u ，t h e r m a le n t a n g l e m e n ti no n e - d i m e n s i o n a lh e i s e n b e r g q u a n t u ms p i nc h a i n su n d e rm a g n e t i cf i e l d s ，p h y s r e v a ( 2 0 0 9 ) 8 0 ，0 1 2 3 2 3 j d o u k a sa n dl c l h o l l e n b e r g ，l o s so fs p i ne n t a n g l e m e n tf o ra c c e l e r a t e d e l e c t r o n si ne l e c t r i ca n dm a g n e t i cf i e l d s ，p h y s r e v a ( 2 0 0 9 ) 7 9 ，0 5 210 9 a t r i b e d ia n di b o s e ，s p i n 一1 2h e i s e n b e r gl a d d e r ：v a r i a t i o no f e n t a n g l e m e n ta n d f i d e l i t ym e a s u r e sc l o s et oq u a n t u mc r i t i c a lp o i n t s ，p l a y s r e v a ( 2 0 0 9 ) 7 9 ， 0 1 2 3 3 1 j m m a t e r a , r r o s s i g n o l i ，a n dn c a n o s a ，t h e r m a le n t a n g l e m e n ti nf u l l y c o n n e c t e ds p i ns y s t e m sa n di t s r a n