（系统工程专业论文）一类新的超混沌电路系统及其控制、同步与电路实现.pdf

江苏大学硕士学位论文 摘要 本文利用状态反馈控制方法，提出了一类新的非线性超混沌电路系统。以此 为基础，进一步研究该系统的动力学分析、超混沌电路、混沌控制以及含未知参 数超混沌系统同步问题。从宏观层面上，分析系统的相互关系和动力学行为。从 微观层面上，从定性和定量的角度分析系统的动力学行为和轨道。同时研究系统 的稳定性及其控制问题，寻找混沌控制、混沌同步的一般规律。将一些有效的混 沌控制方法运用于非线性复杂超混沌电路系统的混沌控制和混沌同步中，同时通 过数值仿真对理论分析的结果加以验证，并加以电路实现，探讨系统的实际应用。 研究结果将进一步丰富非线性超混沌电路系统的理论与应用，在理论上、方法上 和应用上都具有一定的创新性。 首先，基于一个三维混沌电路系统，利用状态反馈控制方法构造相应的四维 超混沌电路系统。对新构建的超混沌电路系统的特性进行了详细分析，包括验证 其超混沌性质，相空间轨迹分析，l y a p u n o v 指数谱和分岔图分析等。仿真结果显 示，系统的特性非常丰富。同时利用e w b 设计了该系统的超混沌电路，电路仿 真结果与数值模拟具有一致性，进一步验证了系统的超混沌特性。 其次，基于新提出的超混沌电路系统研究了该系统的控制问题。分别应用线性 反馈控制，加速控制，非线性反馈控制方法把超混沌控制到不稳定的平衡点，并 讨论控制到周期和准周期轨的情况，最后，应用数值仿真验证了所选控制器的有 效性。 本文最后研究了两个含未知参数超混沌系统的函数投影同步问题，提出了一种 新的参数确认和同步方法，通过l y a p u n o v 稳定性理论和自适应控制理论使得两个 不确定超混沌系统达到投影同步，数值仿真表明了所设计的控制器有效性和理论 推导的正确性。 关键词：混沌，超混沌，l y a p u n o v 指数谱，分岔图，超混沌电路，投影同步 i i 江苏大学硕士学位论文 a b s t r a c t t h et h e s i sp u t sf o r w a r dan e wn o n l i n e a rh y p e r c h a o t i cc i r c u i ts y s t e m b yu s i n gt h es t a t ef e e d b a c kc o n t r o lm e t h o d s b a s e do ni t ，t h ed y n a m i c s a n a l y s is ，h y p e r c h a o t i cc i r c r u i t ，c h a o sc o n t r o lo ft h eh y p e r c h a o t i cs y s t e m a n dt h e s y n c h r o n i z a t i o no ft w od i f f e r e n th y p e r c h a o t i cs y s t e m sw i t h u n k n o w np a r a m e t e r sa r ef u r t h e rs t u d i e d f r o mt h em a c r ol e v e l ，t h em u t u a l r e l a t i o n sa n dd y n a m i c a lb e h a v i o r so fs y s t e ma r ea n a l y z e d ；o nt h em i c r o f a c e t ，t h ed y n a m i c a lb e h a v i o r sa n do r b i t so fs y s t e ma r ea n a l y z e df r o mt h e p e r s p e c t i v eo fq u a l i t a t i v ea n dq u a n t i t a t i v e b e s i d e s ，d i s c u s s i n gt h es y s t e m s t a b i l i t ya n dc o n t r o lp r o b l e m sa n dl o o k i n gf o rt h eg e n e r a lia w so fc h a o s c o n t r o la n dc h a o ss y n c h r o n i z a t i o n s o m ee f f e c t i v ec h a o sc o n t r o lm e t h o d s i su s e dt ot h ec o n t r o la n d s y n c h r o n i z a t i o n o f n o n l i n e a r c o m p l e x h y p e r c h a o t i c c i r c u i t s y s t e m ，v e r if y i n gt h et h e o r e t i c a l r e s u l t s b yu s i n g n u m e r i c a ls i m u l a t i o n s ，f u r t h e r m o r e ，ac i r c u i ti sd e s i g n e dt or e a l i z et h i s n e wh y p e r c h a o t i cs y s t e m t h er e s u l t sw i l lf u r t h e re n r i c ht h et h e o r ya n d a p p l i c a t i o no fn o n l i n e a rh y p e r c h a o t i cc i r c u i ts y s t e m ；a n dh a v eac e r t a i n d e g r e eo fi n n o v a t i o ni nt h et h e o r y ，m e t h o d sa n da p p l i c a t i o n s f i r s t l y , b a s e d o nat h r e e d i m e n s i o nc h a o t i c s y s t e m ，a n e w f o u r - d i m e n s i o n h y p e r c h a o t i cs y s t e m i sc o n s t r u c t e d b y t h en o n l i n e a r f e e d b a c kc o n t r o lm e t h o d c h a r a c t e r i s t i co ft h i sn e wh y p e r h a o t i cs y s t e mi s s t u d i e di nd e t a i l ，i n c l u d i n gv a l i d a t i n gt h eh y p e r c h a o t i cs y s t e mq u a l i t y , a n a l y z i n g p h a s et r a c k ，c a l c u l a t i n gl y a p u n o ve x p o n e n t s ，d r a w i n g i i i 江苏大学硕士学位论文 b i f u r c a t i o nf i g u r ea n ds oo n s i m u l a t i o nr e s u l t si n d i c a t et h ed y n a m i c a l b e h a v i o ro ft h i sh y p e r h a o t i cs y s t e mi sv e r yc o m p l e x f u r t h e r m o r e ，a c i r c u i ti sd e s i g n e dt or e a l i z et h en e wh y p e r c h a o t i cs y s t e mb ye w b t h e e w br e s u l t ss h o wa g r e e m e n tw i t hn u m e r i c a ls i m u l a t i o n s s e c o n d l y , t h ec o n t r o lo fan e wh y p e r c h a o t i cs y s t e mr e p o r t e di nt h e t h i r dc h a p t e ri sd i s c u s s e d t h el i n e a rf e e d b a c kc o n t r o l ，s p e e df e e d b a c k c o n t r o la n dn o n l i n e a rf e e d b a c kc o n t r o lm e t h o d sa r eu s e dt o s u p p r e s s h y p e r c h a o st ou n s t a b l ee q u i l i b r i u m f u r t h e r m o r e ，e f f e c t i v el i n e a rf e e d b a c k c o n t r o lm e t h o di su s e dt os t a b il i z e h y p e r c h a o st op e r i o d i co r b i t sa n d q u a s i p e r i o d i c o r b i t s n u m e r i c a ls i m u l a t i o ni s p r o v i d e d t os h o wt h e e f f e c t i v e n e s so ft h et h e o r e t i c a la n a l y s i s a tl a s t ，t h ep a p e ri n v e s t i g a t e st h ef u n c t i o np r o je c t i v es y n c h r o n i z a t i o n o ft w od i f f e r e n th y p e r c h a o t i cs y s t e m s an o v e lp a r a m e t e r si d e n t i f i c a t i o n a n ds y n c h r o n i z a t i o nm e t h o dh a sb e e np r o p o s e dt om a k et h es t a t e so ft w o d i f f e r e n tu n c e r t a i nh y p e r c h a o t i cs y s t e m sa s y m p t o t i c a l l ys y n c h r o n i z e du pt o as c a l i n gf u n c t i o nf a c t o rv i at h el y a p u n o vs t a b i l i t yt h e o r ya n da d a p t i v e c o n t r o l t h e o r y n u m e r i c a l s i m u l a t i o n ss h o wt h ee f f e c t i v e n e s so ft h e p r e s e n t e dm e t h o d s k e yw o r d s ：c h a o s ，h y p e r c h a o s ，l y a p u n o ve x p o n e n t s ，b i f u r c a t i o n ， h y p e r c h a o t i cc i r c r u i t ，p r o j e c t i v es y n c h r o n i z a t i o n i v 独创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立 进行研究工作所取得的成果除文中已注明引用的内容以外，本论文不 包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果对本文的研 究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明本人完全 意识到本声明的法律结果由本人承担 学位论文作者签名： 2 0 0 9 年1 2 月 15 日 指导教师签名： 2 0 0 9 年1 2 月 15 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意学校保留并向国 家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。本人授权江苏大 学可以将本学位论文的全部内容或部分内容编入有关数据库进行检索，。可以采用影印、缩 印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。 本学位论文属于 保密口，在年解密后适用本授权书。 不保密 学位论文作者签名：m 蛳 指导教师签名： 一年乙月f 少日 洲年 f ( 明f 乎日 第一章绪论 1 1本课题的研究背景 2 0 世纪下半叶，非线性科学获得了前所未有的蓬勃发展。作为非线性科学中 最重要的成就之一，动力学系统中复杂现象的发现以及混沌学的创立和发展，开 创了非线性科学的新纪元，被誉为2 0 世纪物理学上继相对论和量子力学之后的 第三次革命。所谓混沌是指确定的非线性系统表现出的看似无序但又有规律的复 杂行为，由于混沌对初值的敏感依赖，这种行为是难以预测的，所以在工程实践 中常常带来很多的麻烦，甚至导致工程系统彻底瘫痪，最后引起整个系统的崩溃。 从1 9 6 3 年第一个混沌数学模型l o r e n z 系纠1 】被发现以来，混沌一直在数学 与物理中被作为纯理论问题来进行分析和研究，由于混沌系统的极端复杂性，使 得人们曾经一度认为混沌现象是不可预测和控制的，然而，近十多年来的研究表 明，混沌是可以控制和预测的，而且在实际中也是很有用的。因此混沌控制和反 控制的研究已成为数学、物理、工程和生物医药等学科的研究热点。 经过近几十年的发展，尤其是最近十多年的迅猛发展，混沌控制与同步及应 用研究已获得了重大的突破性进展，人们已逐渐改变了对混沌运动的不稳定性， 不可控制的陈见，并开始利用混沌，应用混沌。目前国内外已经提出了许多不同 的控制混沌的方法，如：o o y 方法、偶然正比反馈技术( o c c a s i o n a lp r o p o r t i o n a l f e e d b a c k ，简称o p f 技术) 、自适应控制、线性反馈控制、自适应反馈控制等方 法【2 。6 】。混沌控制目标由最初的不动点、低周期轨道的镇定发展到高周期轨道或 准周期轨道的镇定；被控制的对象也由最初的低维系统发展到高维系统乃至无穷 维系统( 时空混沌的控制) 。混沌控制正在日渐形成系统化的理论体系。同时， 混沌控制在光学、等离子体、化学反应、流体、电子回路、人工神经网络、生物 系统等大量实验和应用中得到验证f 圳。 混沌同步从总体上来说属于混沌控制的范畴，根据目前的文献报道，在混沌 同步中应用较多的有如下几种类型：第一种类型是1 9 9 0 年p e c o r a - c a r r o l l 提出的 驱动一响应同步方案【lo j ；第二种类型是耦合同步方案：第三种类型是由k p y r a g a s 提出的连续变量微扰反馈方案；第四种类型为h u b e r m a n 和l u m e r 在1 9 9 0 年提 出的自适应控制方案。另外还有噪声感应同步，主动被动同步等。在自然界 及实验室里存在着大量的同步现象，并有相当大的普遍性。自从1 9 9 0 年p e c o r a 和c a r r o l l 提出了混沌同步的原理并在电路中得以实现以来，人们提出了各种混 沌同步方法，如驱动一响应同步、变结构同步、耦合同步、反馈同步、脉冲同步 等方法。 迄今为止，最好的混沌实验结果是在非线性电路中得到的。混沌电路诞生于 日本l 。1 9 7 8 年，日本京都大学的上田宗亮对非线性电感加上正弦电压的电路 作仿真试验时第次在电路中发现混沌。1 9 8 3 年，美国著名电学专家蔡绍棠教 授提出了蔡氏电路( c h u a ，sc i r c u i t ) 1 2 , 1 3 】，使人们能从电路的角度对混沌机理进行 研究，蔡氏电路也因此被称为混沌特性和应用的经典范例。近来国内外的学者对 混沌电路中的非线性动力学特性研究越来越受到广泛重视，但到目前为止，人们 实珊或控制利用的绝大多数都属于低维系统中一般的混沌，这些混沌通常是一个 典型的三维现象，其最大特点是只有一个正的l y a p u n o v 指数五，它反映非线性 系统的轨迹只在某个方向上产生不稳定( 发散或扩张) ，以指数形式发展。但是， 实际上在自然界、社会经济领域以及实验室中广泛存在高维非线性系统，它们可 能存在不止一个正的a 的混沌行为，这类高级混沌态称之为超混沌，其最大特征 值至少有二个正的a ，即在至少两个方向上出现指数型的发散轨迹。 由于超混沌系统具有更复杂的动力学行为，采用常规的相空间重构【h 】，回归 映像和非线性预测等很难破译利用超混沌加密的信号，实际研究的高维超混沌电 路比较少，因此目前高维超混沌电路的物理机制和实现方法成为一个全新的课 题。 1 2 本课题的研究现状和发展前景 目前，混沌控制和同步在多个方面都有了突破性的进展t 1 5 锄1 。在混沌控制方 面，陈关荣等研究了一类新型的混沌系统，考察了动力系统的稳定性问题f 2 2 】； p y r a g a sk 等利用反馈控制的方法研究了连续系统的控制问题；w a n gx u e d i ， c h a n gl i n 等应用跟踪控制的方法分别研究了c h e n 系统，耦合电机系统的控制研 究；s u nm e i ，t i a nl i x i n 等提出了一个新的能源经济系统并对其作了动力学分析 2 和自适应同步研究；c a ic u o l i a n g ，h u a n gj u a n j u a n 等利用b a c ks t e p p i n g 自适应控 制方法研究了l i u 系统等的混沌控制，以及一类超混沌系统的动力学分析和混沌 控制。c h e nx i a n g r o n g ，l i uc h o n g x i n 等，基于波特图的频域近似方法，研究了分 数阶l i u 混沌系统，设计了树形电路单元实现分数阶l i u 混沌系统，并设计了简 单有效的线性反馈控制器，实现了分数阶l i u 混沌系统的混沌控制。z h a n gm i n 等研究了不确定时滞混沌系统的自适应动态神经网络控制，研究了一类具有不确 定时滞的非自治混沌系统的控制问题，同时引入动态结构自适应神经网络，以消 除系统的不确定性，改善了逼近速度与网络复杂度的关系。l i nm i n 等研究了耦 合双稳系统的随机共振控制，w ur a n c h a o 等研究了时滞离散神经网络的同步控 制问题，y a n gc h a o y u 等研究了基于蜂拥控制算法思想的时空混沌耦合反馈控制。 在混沌同步方面，l ud i a n c h e n ，s o n gj u a n 利用l y a p u n o v 直接法和激活控制法 研究了s q c f 混沌系统和s c c f 混沌系统的异结构同步；p a r kjh 研究了超混沌 c h e n 系统的自同步问题；f e n gjw ，c h e nsh ，w a n gcp 研究了超混沌r 6 s s l e r 系 统的自同步问题c a ig u o l i a n g ，h u a n gj u a n j u a n 研究了超混沌c h e n 系统和超混沌 r 6 s s l e r 系统的耦合自同步问题，并且利用主动控制法和b a c k s t e e p i n g 自适应方 法实现了这两个超混沌系统之间异结构同步。g a oy a n g 等研究了多重边融合复 杂动态网络的自适应同步问题，w a n gx i n y u a n 等研究了自治混沌系统的线性和 非线性广义同步问题。c h e nx i a n g r o n g ，l i uc h o n g x i n 等研究了基于非线性观测器 的一类分数阶混沌系统完全状态投影同步，h a nm i n ，n i uz h i q i a n g 等提出了一种 参数摄动的混沌异结构同步方法，l vl i n g 等研究了不确定自催化反应扩散时空 混沌系统的延时同步问题。 混沌电子电路的理论设计与硬件实现及其在混沌保密通信中的应用是非线 性电路系统领域的前沿课题，它主要起源于上世纪6 0 年代和8 0 年代人们对 l o r e n z 系统和c h u a 系统的电路设计与实验。近年来，这一研究领域有了长足进 展，新的混沌与超混沌电路，尤其是多方向、网格状、大数目多涡卷等一类新型 混沌与超混沌电路的理论设计与硬件实现等问题备受人们的关注和重视，目前超 混沌电路的产生已经成为了一个热门研究课题。 混沌控制和同步不仅在保密通信、信息处理等领域，而且在生物医学等方面， 都具有巨大的应用潜力和发展前景，目前已经提出了许多实现混沌控制和同步的 3 一些可能应用方案，主要是通过电子线路、激光系统、神经网络和计算机系统等 来实现。总之，充分利用混沌的固有特性，在混沌系统控制和同步的基础上开发 其应用的潜力，这是在混沌研究中重要而又具有长远意义的课题。在理论和实验 研究不断取得进展的同时，人们也正在不断开拓新的应用领域。众多的控制和利 用混沌的例子：对混沌激光器、混沌二极管电路实现了控制；在通信、生理学、 化学反应工程等方面不断地产生了新的技术构想，并有希望很快地成为现实。更 深信地说，人的思维与活动实际上是有控制的混沌活动，其意义与规律远没有被 人们认识并利用。我们有理由相信，控制和利用混沌的前景必定是十分广阔和无 比美好的。 混沌动力学研究是非线性科学研究中的一个热点问题，应用前景十分广阔。 混沌控制、混沌同步在诸如电子学、电路系统、保密通信、密码学、化学反应、 流体混合、生物系统、脑科学、神经网络等领域已有成功的应用，并取得了许多 非常有用和藿要的成果，正是这些应用前景不断地刺激混沌研究的深入和发展。 由于超混沌系统在科技应用领域有着巨大潜能，近年来超混沌在保密通讯，非线 性电路，激光，控制及同步方面有着极大的研究兴趣( 2 4 3 。 1 3 本课题的研究内容 本文研究一类新的非线性超混沌电路系统的动力学分析、混沌电路设计、混 沌控制、同步及其应用。在以下几个方面开展研究： 1 提出一类新的非线性超混沌电路系统 基于一个三维混沌电路系统，利用状态反馈控制方法，在三维自治混沌电路 系统中引入一个简单的非线性控制器，构造了一个新的四维超混沌电路系统。 2 研究一类新的非线性超混沌电路系统的复杂动力学特性 ( 1 ) 从宏观层面上；研究探讨超混沌电路系统的全局动力学行为特性。如系 统的对称性，系统的耗散性及耗散分析，系统的平衡点，不变流形，l y a p u n o v 指数和l y a p u n o v 维数等。 ( 2 ) 在微观层面上，研究探讨在系统的平衡点附近的混沌拓扑分岔性质。利 用数值模拟分析混沌系统在吸引子邻域的动力学行为和慢流形轨道，从而进一步 揭示系统出现混沌现象的原因。研究系统在平衡点邻近的动力学行为，如h o l f 4 拓扑分岔，倍周期分岔，时序图等。 3 研究探讨非线性超混沌电路系统的混沌电路设计 作为系统的物理实现，设计并构造出系统的混沌电路是一项关键工作。基于 无量纲状态方程，采用线性电阻、线性电容、运算放大器、模拟乘法器、非线性 元件等，并探索新的电路设计方法，来设计实现新的非线性超混沌电路系统的混 沌电路。 4 研究探讨非线性超混沌电路系统的混沌控制及两个含未知参数超混沌系 统的函数投影同步 ( 1 ) 研究超混沌电路系统的混沌控制问题。以l y a p u n o v 函数和r o u t h h u r w i t z 判据等微分方程的基本理论为工具，以符号动力学的理论、方法为基础结合非线 性混沌系统的特点，将一些有效的混沌控制方法比如线性反馈增益控制、加速控 制、非线性反馈控制等方法运用于一类新的复杂混沌系统的混沌控制中，把超混 沌摔制到不稳定的平衡点，并讨论控制到周期和准周期轨的情况，同时通过数值 模拟对理论分析的结果加以验证。 ( 2 ) 研究两个含未知参数超混沌系统的函数投影同步问题。提出了一种自适 应控制方法，通过l y a p u n o v 稳定性理论和自适应控制理论使得两个不确定超混 沌系统达到投影同步，数值仿真表明了所设计的控制器有效性和理论推导的正确 性。特别是超混沌系统的异结构同步问题的研究，是目前非线性科学的热点问题 和前沿问题。 5 第二章基本概念和基本理论 本章对非线性动力学理论的发展和研究内容作简单介绍，同时阐述了混沌和 混沌理论的一般控制方法。 2 1非线性动力学理论 客观物质世界表现为一定的现状和随时间演化的状态改变即运动。对物体运 动变化的研究称为动力学。动力学所研究的对象是动力系统。从某种意义上讲， 动力系统指的是种抽象的运动，是系统所有运动特性的综合。 非线性是相对线性而言，它指自变量和因变量之间没有成正比或反比那样的 线性关系。当然在实际情况下，不会只有两个变量那么简单；非线性表示系统受 非线性微分或差分方程支配。自然界和社会中充满了以非线性关系存在着的现实 或过程，称为非线性动力学系统。如气缘变化、般市的涨落、脑电信号的变化、 神经放电、心电节律的改变等，都可成为非线性动力学系统。非线性动力学研究 非线性系统各种运动状态的定性和定量变化规律( 即动力学特性) ，尤其是系统 的长时间演化行为。概括地说，非线性动力学的主要任务是探索非线性现象的复 杂性。 随着非线性科学的发展，非线性动力学理论应运而生。非线性动力学理论是 一个大的范畴，混沌理论、分叉理论、分形理论和孤立子理论等都包含在其中。 非线性特性( 平衡点稳定性、分叉、混沌、周期解、周期运动稳定性等) 分析是 研究非线性系统的一个主要内容。尽管这方面的研究在实际应用中还不够成熟， 但我们完全有理由相信，通过不断注入新的活力，非线性动力学理论会在实际中 更羽翼丰满。 2 2 混沌概述 混沌是非线性动力学系统所特有的一种运动形式，它广泛地存在于自然界， 诸如物理、化学、生物学、地质学以及技术科学、社会科学等各种科学领域。混 沌实际上并不“混”，即非纯粹的“无序 ，又非纯粹的“有序”，而是两者的统 6 一，具有内在的规律性和普适性，内容包含着丰富的信息资源及可开发应用的潜 能。 2 2 1 常见的几种研究混沌的方法 在对非线性系统进行研究时，首要的问题是对系统是否混沌的判断，然后根 据实际需要对系统进行控制研究、稳定性分析研究或者分岔分析等等。下面介绍 几种判断或者预测系统是否出现混沌的有效方法。 1 直接观测法 这种方法是根据动力学系统的数值运算结果，画出相空间中轨迹随时间的变 化图，以及状态变量随时间的历程图。通过对比、分析和综合以确定解的分岔和 混沌现象。在相空间中，周期运动对应封闭曲线，混沌运动对应于一定区域内随 机分离的永不封闭的轨迹( 奇怪吸引子) 。利用这种方法确定分岔点和普适常数。 2 庞加莱截面法 对于含有多个状态变量的自治微分方程系统，可采用庞加莱截面法进行分 析。其基本思想是在多维相空间( 而，出。衍，x ：，出：刃，帆出) 中适当选取一 截面，在此截面上某一对共轭变量如( x ，出，衍) 取固定值，称此截面为庞加莱截 面。观察运动轨迹与此截面的截点( 庞加莱点) ，设它们依次为昂，鼻，p 。，原 来相空间的连续轨迹在庞加莱截面上便表现为一些离散点之间的映射 p 川= 珑。这样就原动力系统所决定的随时间的连续运动转变为在庞加莱截面 上的一个离散映射。这不仅给研究带来很大方便，而且映射还保持原连续系统的 拓扑性质。单变量的周期运动在相平面的轨迹是封闭曲线。二变量的周期运动2 x2 维相空间的轨迹是二维环面。对于n 3 更多变量情形，周期运动和准周期 运动的轨线是在维环面上，其与二维庞加莱截面的交点也同样是一些离散点或 封闭曲线，至于混沌，因其在相空间的轨迹具有随机性，它在庞加莱截面上将形 成一片或多片密集点，因此可抛开相空间的轨道，借助计算机画出庞加莱截面的 截点，由它们可得到关于运动特性的信息：当庞加莱截面上只有一个不动点或少 数离散点时，运动是周期的；当庞加莱截面上是一闭合曲线时，运动是准周期的； 当庞加莱截面上是沿一条线段或一曲线弧的分布点集时，运动便是混沌的。以上 7 为稳定图像，若考虑暂态过程，稳定的定态n - - i p a 是一系列离散的庞加莱点，最后 才变为一个不动点。 3 l y a p u n o v 指数分析法 对耗散系统的混沌运动的吸引子，初始条件的微小差别将使得轨道变得迥然 不同。耗散作用从整体上说是一种稳定因素，它使轨道收缩但从局部上看，相 邻的两轨道却有互相排斥而分离。为了定量地刻画混沌系统相邻的两点相互分离 的快慢，人们引入了l y a p u n o v 指数。例如，对一维映射 x 。+ l = f ( x 。) 腆i p y y , l 。l 初始点为x 。，它的一个相邻的点为+ & 。，则经过五次迭代后，它们之间 的距离为蹴。： 厂n 。+ 承。) 一厂( ) - 型竺警尘。 蹴 初始点是相互分离还是靠拢由以下条件来决定：当i d f d x l 1 时，经过迭代 后这两点将分开；当l d f 矗x l 1 时，经过迭代后这两点将靠拢。 在不断地迭代的过程中，l d i l a x 的值在不断地变化，为了从整体上观察相邻两轨 道分离或靠近的趋势，必须对迭代次数取平均。为此，设平均每次迭代所引起的 指数分离中的指数为缓则原来相距为占的两点经过1 7 次迭代后，两点间的距离 为 o e e n l e m = 1 n ( + 占) 一广( ) l 当占专0 ，刀_ 0 时， l e ( x o ) = 脚一磐去k 盥等盥l ：脚剖掣l 实际上，上式与初始值无关，因此可改写成 肚物净 剖 式中，称为l y a l ) u n o v 指数，表示在多次迭代中平均每次迭代所引起的相邻离 散点之间以指数形式的分离或靠拢的情况。 在，z 维相空间中，艿x 是玎维的，从而皿有n 个值。在t - = t o 时，以x o 为中 8 心6 x ( x o ，t o ) 为半径做玎维超球面，由于各方向收缩或扩展程度不同，随着时间的 演化，在f 时刻，该n 维超球面将变形为1 7 维超椭球面。此超椭球面的第f 个坐 标轴方向的半轴长为万t ( ，t o ) ，则l y a p u n o v 指数三e 的第f 个分量三局的值为 毕l 独纠 f 由此可见，三e 的7 个不同值表示轨道沿不同的方向收缩或扩张。对于一维 情形，吸引子只能是不动点( 稳定定态) ，此时，l e o 。对于不动点，任意方 向的艿x 。都要收缩，故这时两个l y a p u n o v 指数都应该是负的，即( l e ll e 2 ) = ( ) 。至于极限环，如果8 x ，始终垂直于环线方向，它一定要收缩，此时l e 0 ，a k 0 ，- a ( a c ) ( 6 + c ) 一a k 0 时方程( 3 5 ) 特征根a 的实部为 负。 然而，由已知，在d ，b ，ck o ，c l o 条件下，上述条件不能达到，也就是说， 这个唯平衡点局应为不稳定的，所以，新系统( 3 2 ) 能产生混沌或超混沌。 3 2 4l y a p u n o v 指数谱与分岔图分析 系统的主要动力学特性可通过其l y a p u n o v 指数谱和分岔图来分析。利用 l y a p u n o v 指数谱分析时，对于平衡点有l e 4 l e 3 l e z l e t 0 ；对于周期轨道有 目= o ，上西屯岛 l e z 0 ；对于准周期轨道有l e l = l e ：o ，目 岛 0 ，l e 3 = o ， l e 4 0 ，l e t + l e 2 + l 日咖为了揭示在新的超混沌系统( 32 ) 上参数对动力学特性 的影响，设定参数a - 2 75 ，b - 3 ，c = 1 93 ，h = 29 。k 在 0 ，5 0 变化。 系统( 3 2 ) 的l y a p u n o v 指数谱和变量x 的分岔图如图32 和33 所示。 ；“ i 1 e 主2 呈 3 4 5 1 卜唁扩分弓 图32 系统( 32 ) 随著k 变化的l y a p u n o v 指数谱 u51 0 1 52 d拍5 4 04 5钟 图33 系统( 32 ) 随着k 变化的t 吖分岔囤 从图3 2 和3 3 可知，l y a p u n o v 指数谱和分岔图的结果一致。从图3 2 可知， 随着k 的变化，系统( 32 ) 在超混沌、混沌、周期和准周期轨道间转化。具体表现 麟 葛 博 5 o 加 如r ： 当0 k - 22 0 ，2 6 0 - k - 1 4l o 时，存在两个正的l y a p u n o v 指数，显然系统处于 超混沌状态。l 较k = 33 时的超混沌吸引子如图3i ( a ) - ( c ) 所示。 当1 42 0 e 1 61 0 时，最大l y a p u n o v 指数为正，表明系统处于混沌状态图 34 ( a ) 显示t ) l 忏k = 1 48 时的混沌吸引子相图。 当1 92 0 2 77 0 时，有两个l y a p u n o v 指数为0 ，其它两个为负数表明系统 处于准周期状态。如图34 ( b ) 所示。 当2 77 0 - o ，b 3 o ，b l b 2 b 3 ( 4 4 ) 时特征值允实部是负的。因此，我们得到 当口= 2 7 5 ，b = 3 ，c = 1 9 3 ，h = 2 9 和k = 3 3 ，并且k l ，岛，岛，硒满足( 4 4 ) 时，受控 超混沌电路系统( 4 2 ) 渐近稳定到平衡点e ( 0 ，0 ，0 ，0 ，) 。 4 1 2 加速反馈控制 假设“，= u 2 _ 。o ，“4 是加速形式且甜t = 一毛少，其中尼1 加速反馈系数。则 受控系统( 4 。1 ) 可以写成 l 贾= a ( y - x ) 1 夕：缸+ 钞一昭+ “ 也：) ，2 一舷 ( 4 5 ) 【砍= 一k x k , ( a x + c y - x z + “) 系统( 4 5 ) 的j a c o b i 矩阵为 j= 一n 6 o k k lb e 1 00 c01 0h 0 一k l c 0一k1 ( 4 6 ) 矩阵( 4 6 ) 的特征方程为 ( 名+ 厶) ( 允3 + 6 l a 2 + 6 2 旯+ 玩) = 0 其中b l = a - c + 矗，如= a k , - a b ，6 3 = a k 当a = 2 7 5 ，b = 3 ，c = 1 9 3 ，h = 2 9 和k = 3 3 时， 很容易得到6 3 2 9 0 7 5 0 。根据r o u t 】n h u 州i t z 准则，6 l o ，6 1 6 2 6 3 o 即 玲3 2 8 7 2 ( 4 7 ) j a c o b i 矩阵( 4 6 ) 的特征根兄实部都是负的，因此，我们得出 当a = 2 7 5 ，6 = 3 ，c = 1 9 3 ，h = 2 9 ，k = 3 3 且k l 满足( 4 7 ) 时，受控超混沌电路系统 ( 4 5 ) 渐进稳定到平衡点耳0 ，0 ，0 ，0 ，) 。 4 1 3 非线性反馈控制 在这部分，我们将应用非线性反馈控制方法把超混沌电路系统( 4 1 ) 控制到平 衡点以o ，0 ，0 ，0 ，) 。设定“z2 一向y ，“。2 一心甜且“l ：“3 = 0 ，其中邓l 严f 2 确矿( 卢1 3 0 尻是正的反馈增益) ，当，仍的值改变时，系统从超混沌状态被控制到平衡点e 的速度也随着变化。 受控超混沌电路系统( 4 1 ) 可写成 f 文= a ( y x ) j ? 2 钞一勉+ “一后少 ( 4 8 ) l 三= y 2 一h e ”7 【吱= 一k x k 2 u 构建l y a p u n o v 函数如下 矿之p + 加2 。) + 去( 丘州+ 去如卅 式中k 是待定参数，对y 求导得： 矿= 感+ 炒+ z 之+ 铭磊+ ( 毛一露) y 2 + ( 乞一克) 铭2 = 一a x 2 一( 尼+ 一c ) y 2 一h z 2 一k u 2 + ( 口+ 6 ) 砂一奴“+ u y = - ( x ，y ，z ，“) 口 口+ b 2 o 七 2 口- t - b 2 k + 一c o 1 2 o k 2 o一1 2 h0 0k + 伊把 显然，要使系统( 4 8 ) 是渐近稳定的，要求p 是正定的，根据矩阵论知识可知，当p 必须 满足 即当 a 0 口( 尼一c ) 一( t a + b ) 2 o h 0 础一缸+ + 羔竺丛) 矿+ 壁c 一一1a o 、 4444 3 l 降，塑巡一 ， 矩阵p 是正定的，因此矿是半负定的，但不能直接得出受控系统( 4 8 ) 在以0 ，0 ，0 ，0 ，) 矿o ，x ，y ，z ，“匕，毛一七，幺一k + k 文，y ，z o ，五瓦， 由v = 一x 1 a ，可得 f 。( e ) l l x l l 2z fx r p x d , f 观= 矿( o ) 一y p ) 矿( o ) ， 其中五m i 。( 尸) 为正定矩阵p 的最小特征值，所以辄男五“瓯2 ， 根据b a r b a l a t 引理 骢l l x ( , ) l l = o 即工，z j 掰将渐近收敛到零，因此，受控系统( 4 8 ) 渐近收敛到平衡点e ( 0 ，0 ，0 ，0 ，) 。 4 1 4 非线性双周期函数，双曲函数和三角函数反馈控制 假设“1 = 钳2 = “3 = o ，列4 是非线性双周期函数形式且甜42 一l q s n ( 一x + 夕；川，七l 是反馈系数，一t q s n ( - - x 4 - y ；聊) 是j a c 。b i 椭圆正弦函数，聊( 0 0 。 假如( a - c ) ( 1 q - a c - a b ) l q a 即k 1 6 2 6 8( 4 1 1 ) j a c o b i 矩阵( 4 1 0 ) 有四个负实部的特征值。 当系数趋向1 , a 0 时，j a c o b i 椭圆正弦函数将产生双曲函数和三角函数。我们 将在系统( 4 9 ) 考虑两个特殊例子。 当m - - 9 , 1 时，系统( 4 9 ) 变为 f 戈= 口( y x ) i 夕= b x + c y - x z + u 1 三：y 2 一h z 2 ) 【五= 一缸一k lt a r l h ( 一x + y ) 即“。是双曲函数形式甜2 一k - t a n h ( 一x + y ) ，其中血是反馈系数。 当m 专0 时，系统( 4 9 ) 变为 f y c = a ( y 一曲 i 夕= b x + c