（固体力学专业论文）电磁固体广义不连续位移边界积分方程方法.pdf

摘要 本文提出了横观各向同性电磁固体的广义不连续位移边界积分方程方法。系 统研究了基本解、裂纹尖端的奇异性、以及强度因子等基础理论问题，利用积分 方程方法研究了三维电磁固体中的共面和平行裂纹问的干涉效应，二维电磁固体 中的共线和平行裂纹间的干涉效应，以及各种电磁边界条件的影响。其主要工作 如下： ( 1 ) 建立点力基本解和集中不连续位移基本解之间的联系，提出一种求解广义 集中不连续位移( 包括不连续位移、不连续电势和不连续磁势) 基本解的 通用方法，导出三维电磁固体的广义c r o u c h 基本解。 ( 2 ) 根据电磁固体的s o m i g l i a n a 恒等式，用不连续位移基本解建立以裂纹面上 的广义不连续位移为基本未知量的超奇异积分方程。利用边界积分方程方 法，研究裂纹尖端的奇异性，并给出广义应力强度因子的广义不连续位移 表达式。根据与弹性体相应的不连续位移积分方程的等价性，提出了电磁 固体广义不连位移边界积分方程方法，研究不同电磁边界条件的影响、以 及电磁固体中任意形状的多裂纹问题。 ( 3 ) 提出电磁固体中的裂纹张开模型，考虑裂纹腔内电磁场的影响，针对这一 模型，提出一种非线性迭代解法。 ( 4 ) 将三维不连续位移基本解通过积分降维得n - - 维问题的基本解，并导出二 维电磁固体的广义c r o u c h 基本解。 ( 5 ) 提出二维问题的广义不连续位移边界积分方程方法，研究二维问题裂纹面 上不同电磁边界条件对解的影响。 关键词：电磁固体，裂纹，c r o u c h 基本解，广义不连续位移，边界积分方程方 法，强度因子，裂纹张开模型 a b s t r a c t i nt h i st h e s i s , t h ee x t e n d e dd i s p l a c e m e n t d i s c o n t i n u i t yb o u n d a r yi n t e g r a l e q u a t i o nm e t h o df o rt r a n s v e r s e l yi s o t r o p i cm a g n e t o e l e e t r o e l a t i cs o l i di sp r o p o s e d t h e f u n d a m e n t a lt h e o r i e s , s u c h 解g r e e n sf u n c t i o n , t h es i n g u l a rb e h a v i o r so ft h eh e a l - t i p f i e l d so fae r a e kt i p ，i n t e n s i t yf a c t o r , e t c ，a r es t u d i e d b yu s i n gt h eb o u n d a r yi n t e g r a l e q u a t i o nm e t h o d , t h ei n t e r f e r e n c eo fc o p l a n ea n dp a r a l l e lc r a c k si nt h r e e - d i m e n s i o n a l ( 3 0 ) m a g n e t o e l e c t r o e l a t i cs o l i d sa n dc o l l i n e a ra n dp a r a l l e lc r a c k si nt w o d i m e n s i o n a l ( 2 d ) m a g n e t o e l e c t r o d a t i cs o l i d si sa n a l y z e d 。t h ei n f l u e n c eo fd i f f e r e n tb o u n d a r y c o n d i t i o n so ne r a e kf a c e si ss t u d i e d t h em a i na c h i e v e m a n t sa r ea sf o l l o w s ： ( 1 ) t h er e l a t i o n s h i pb e t w e e ng r e e n sf u n c t i o n so fp o i n tf o r c e sa n dg r e e n s f u n c t i o n so fd i s p l a c e m e n td i s c o n t i n u i t yi se s t a b l i s h e d ，a n dav e r s a t i l em e t h o di s p r e s e n t e dt od e r i v et h ee x t e n d e dd i s p l a c e m e n td i s c o n t i n u i t yg r e e n sf u n c t i o n s a n d , t h e n , t h ee x t e n d e d c r o u c hf u n d a m e n t a ls o l u t i o n s o f3 d m a g n e t o d e c t r o d a t i es o l i da r eo b t a i n e d ( 2 ) b yu s eo ft h es o m i g l i a n ai d e n t i t yf o rm a g n e t o e l e c t r o e l a s t i cm e d i aa n dt h e e x t e n d e dd i s p l a c e m e n td i s c o n t i n u i t yg r e e n sf u n c t i o n s ，t h eb o u n a a r yi n t e g r a l e q u a t i o n sa r co b t a i n e di nt e r m so ft h ee x t e n d e dd i s p l a c e m e n td i s c o n t i n u i t i e s a c i o s st h ec r a c kf a c e s t h ee x t e n d e ds t r e s si n t e n s i t yf a c t o r si nt e r m so ft h e e x t e n d e dd i s p l a c e m e n td i s c o m i n u i t i e sa r ea l s od e r i v e d as o l u t i o nm e t h o di s p r o p o s e db yu s eo ft h ea n a l o g yb e t w e e nt h eb o u n d a r yi n t e g r a le q u a t i o n so ft h e m a g n e t o e l e c t r o e l a s t i cm e d i aa n dt h ep u r e l ye l a s t i cm a t e r i a l s t h ei n f l u e n c eo f d i f f e r e n te l e c t r i ca n dm a g n e t i cb o u n d a r yc o n d i t i o n s0 1 1t h es o l u t i o n si ss t u d i e d b yu s i n gt h i sm e t h o d , m u l t i p l ec r a c k sa r ea n a l y z e d ( 3 ) t h ec r a c ko p e n i n gm o d e li nt h em a g n e t o e l e c t r o e l a s t i em e d i ai sf i r s tp r o p o s e dt o c o n s i d e rt h er e a lc r a c ko p e n i n ga n dt h ee l e c t r i ca n dm a g n e t i cf i e l d si nt h ec r a c k c a v i t y a ni t e r a t i o na p p r o a c hi sp r e s e n t e df o rt h es o l u t i o no ft h en o n - l i n e a r m o d e l ( 4 ) g r e e n s f u n c t i o n s f o re x t e n d e d d i s p l a c e m e n t d i s c o n t i n u i t i e si n2 d m a g n e t o e l e c t r o e l a t i es o l i d a r oo b t a i n e db yt h em c a n so fi n t e g r a t i n gt h e c o r r e s p o n d i n gs o l u t i o n so f 3 dm a g n e t o e l e c t r o e l a t i es o l i d t h ee x t e n d e dc r o u c h f u n d a m e n t a ls o l u t i o n sf o r2 dm a g n e t o e l e c t r o e l a t i cs o l i da r cd e r i v e d ( 5 ) t h ee x t e n d e dd i s p l a c e m e n td i s c o n t i n u i t yb o u n d a r yi n t e g r a le q u a t i o nm e t h o df o r 2 dt r a n s v e r s e l yi s o t r o p i cm a g n e t o e l e c t r o e l a t i cs o l i di sp r o p o s e d t h ei n f l u e n c e o fd i f f e r e n te l e c t r i ca n dm a g n e t i cb o u n d a r yc o n d i t i o n s0 1 1t h es o l u t i o n si s s t u d i e d k e yw o r d ：m a g n e t o e l e e t r o e l a t i cs o l i d , c r a c k s ，c r o u c hf u n d a m e n t a ls o l u t i o n , e x t e n d e d d i s p l a c e m e n td i s c o n t i n u i t y , b o u n d a r yi n t e g r a le q u a t i o nm e t h o d ，i n t e n s i t y f a c t o r , c r a c ko p e n i n gm o d e l 电磁固体广义不连续位移边界积分方程方法 郑州大学硕士学位论文 1 引言 1 1 选题意义 随着科技的高速发展，智能材料的研究成为材丰斗科学与工程领域的研究热 点、前沿技术和基础技术【l 】，而且很多国家设置了专门机构、投入大量的人力 和物力进行研究。功能复合材料是以各种不同性能材料组合而成的多相复合材 料，具有独特的线性复合效应和非线性复合效应，尤其是电磁材料的研究和应用， 对功能复合材料的设计提供了非常广阔的自由度【2 ，3 】。 电磁固体是一种多功能复合材料，也是现在广泛应用的一种智能材料。它可 由两种单相材料压电与压磁材料经一定方法复合而成。由于压电材料和压磁 材料有将能量在不同形式间相互转换的能力( 如电能、磁能和机械能) ，从而被 广泛用于制作各种传感器和触发器，同时在电子、激光、超声、微波和红外线等 技术领域有重要用途。进一步的研究表明，由压电和压磁材料制成的复合结构表 现有一种在压电或压磁单相情况下所没有的电磁效应【4 7 】。 材料在制造过程中不可避免产生缺陷( 如裂纹、空洞、夹杂等闯题) ，在受 到力电磁载荷作用时，可能导致结构的失效破坏，而断裂破坏是这类结构中各 种原因( 如裂纹、寿命、振动、老化等等) 造成的一种主要失效形式。因此，电 磁介质或电磁固体裂纹问题的研究受到人们的高度重视 8 3 2 。 1 2 电磁固体断裂力学的研究现状及研究目的 近年来随着智能材料的广泛应用，特别是压电材料的深入研究，对电磁固 体的研究起到至关重要的作用，如今电磁固体的断裂研究已取得了很大的进展 【8 3 2 。但在边值阀题中，由于电场和磁场无处不在，电边界条件的提法营困惑 人们相当长时间，已有的研究成果表明【3 3 】：压电固体裂纹按其电学参数的不同， 可分为绝缘裂纹( i n s u l a t i n gc r a c k ) 和导电裂纹( c o n d u c t i v ec r a c k ) 。对于压电固体的 绝缘裂纹，常用的边界条件有：( 1 ) 电不可穿透边界条件( e l e c t r i c a l l yi m p e r m e a b l e ) ， 又称d p 边界条件 3 4 ，3 5 ，认为裂纹面上的法向电位移为零；( 2 ) 电可穿透边 界条件( e l e c t r i c a l l yp e r m e a b l e ) ，认为裂纹宽度很小，裂纹上、下表面的电势和电 位移的法向分量相等( 3 6 】：( 3 ) 电半可穿透边界条件( 张开裂纹模型) ( e l e c t r i c a l l y s e m i p e r m e a b l e ) ，这种边界条件界于可穿透和不可穿透边界条件之间【3 7 】：( 4 ) 电磁固体广义不连续位移边界积分方程方法郑州大学硕士学位论文 精确边界条件 3 8 】，该边界条件认为裂纹腔内介质为第二相材料，在裂纹面上严 格满足g a u s s 边界条件。同理，有电场与磁场性质的类同性，我们也可把电磁 固体裂纹按电磁边界条件分为下列情况 3 0 3 2 ：电磁均不可穿透裂纹、电磁均可 穿透裂纹、电不可穿透和磁可穿透裂纹、电可穿透和磁不可穿透裂纹，以及电磁 半可穿透裂纹和精确边界条件裂纹等裂纹边界条件。因此，电磁固体裂纹问题的 研究更为困难。 在电磁均不可穿透边界条件下，根据s t r o h 公式和保角变换与l a u r e n t 变换 技术，文0 3 推导了具有椭圆空洞的二维无限大各向异性电磁固体的g r e e n 函数。 文【1 4 研究了具有椭圆裂纹和刚性夹杂物的二维各向异性电磁固体的g r e e n 函 数。根据s t r o h 公式，保角变换和扰动技术，在文【1 5 】中研究得到带有缺损点的 无限大电磁固体g r e e n 函数的闭合解。文 1 6 1 对2 d 电磁固体的半无限平面或两 相界面，研究其任意极化方向的g r e e n 函数。根据s t r o h 公式，文【1 7 】研究得到 了含有一般夹杂物的二维各向异性电磁固体地无限、半无限、两相情况下的g r e e n 函数。文【1 8 】得到椭球形电磁固体夹杂物，在无穷远处受到均匀力电磁荷载作用 时的精确闭合解。根据广义s t r o h 公式， 无限、两相介质等问题g r e e n 函数【1 9 】， 推导出三维各向异性电磁固体无限、半 对于无限体得g r e e n 函数的精确形式。 文【2 0 】研究分析了三维电磁固体的椭圆赫兹接触问题。文 2 h 得到各向同性电磁 固体的一般解。文 2 2 】研究了混合边界问题的一般解，在裂纹界面上受到均质荷 载作用下得到不可穿透圆币裂纹，电磁场的三维精确解。文【2 3 】在电磁不可穿透 边界条件下，研究两相电磁固体在力电磁载荷作用下界面裂纹的扩展。 在电磁均可穿透边界条件下，文 2 4 2 6 研究了二维电磁固体中的可穿透裂 纹和可穿透多裂纹问题，如文【2 4 】根据s t r o h 公式推导出椭圆孔洞的一般解，当 孔口退化为裂纹时，给出裂纹强度因子和电磁场的精确解；文【2 5 】研究了任意荷 载作用下的裂纹问题。文 2 7 1 运用s t r o h 公式和s c h m i d t 方法，在反平面剪切载 荷作用下，通过f o u r i e r 变换给出电磁材料两个平行对称的可穿透裂纹相应的解。 文 2 8 】研究电磁固体椭圆空洞在无穷远处受到均匀的l n 型载荷作用的情 况，当空洞退化为裂纹时，给出了在穿透和不穿透两种极限情况下的精确解。文 【2 9 贝l j 分别分析了电磁板条在电磁不可穿透和电磁可穿透两种边界条件下，在纵 向剪切力作用下有限裂纹的广义应力强度因子，结果表明：对不可穿透裂纹，电 2 电磁固体广义不连续位移边界积分方程方法郑州大学硕士学位论文 场强度因子和磁场强度因子由边界载荷决定；而对于可穿透裂纹，电位移强度因 子和磁感应强度因子均为零。后来文 3 0 - 3 2 分别研究给出了二维、三维无限大横 观各向同性电磁固体中椭圆型球腔在受到无穷远处均匀力电磁载荷作用下的 解析解，当椭圆的短半轴趋近于零时，椭圆孔口变为裂纹，应力强度因子只与机 械强度有关。而电位移强度因子和磁感应强度因子不仅与外加的力电磁载荷有 关，而且也与参数之比口和a l y 有关，其中口为椭圆孔1 ：3 的短半轴与长半轴 之比，为椭圆孔口内固体的介电系数与电磁固体的当量介电系数之比，为孔 口内固体的磁通率与电磁固体的当量磁通率之比，并讨论了裂纹对电场和磁场的 可穿透性。结果表明：( 1 ) 当口口一一，a l y 一一时，裂纹腔中没有电场和磁 场，即裂纹对电、磁场都是不可的穿透的：( 2 ) 当a , a o ，a y 一0 时，裂纹 对电、磁场都是可穿透的，电位移强度因子和磁感应强度因子分别通过压电和压 磁效应产生；( 3 ) a p 一一，口y o 时，裂纹对电不可穿透，对磁可穿透，磁 感应强度因子通过压磁和电磁效应产生；( 4 ) a l p o ，口，一o o 时，裂纹对电 可穿透，对磁不可穿透，电位移强度因子通过压电和电磁效应产生。 到目前为止，研究对象大都为一些特殊的问题，对于较为复杂的问题，例 如：多裂纹问题、三维问题的一般形状裂纹、非均布载荷等等，还没有很好的方 法。另外，对一些基本理论问题，例如：三维裂纹尖端场的奇异指数及奇异行为 等问题仍没有很好的解决。 1 3 边界积分方程边界元方法概述 由于方程边界条件及实际问题的复杂性，绝大多数问题找不到相应的解析 解，常常采用数值方法进行求解。常用的数值方法为有限元法和边界元法：有限 元法要在全部区域及边界离散；而边界元法则是在积分方程的基础上，吸收了有 限元法的离散技术而发展起来的一种半解析计算方法，在区域内满足控制方程， 仅在边界上进行离散，特别是边界积分方程方法对于研究应力集中、应力奇异、 及超奇异等问题非常方便 3 9 - 4 8 。 c r o u c h 于1 9 7 6 年提出了不连续位移边界积分方程方法，或简称为不连续位 移法 4 9 】，该方法避免了子区域边界元法、特殊基本解边界元法等方法的缺点， 3 电磁固体广义不连续位移边界积分方程方法 郑州大学硕士学位论文 已证明在弹性、压电固体断裂力学中的重要性 3 9 - 4 8 ，5 0 - 5 2 】。例如：文【4 l 】在纯 弹性体中研究得到了单位集中不连续位移基本解，运用s o m i g l i a n a 恒等式建立了 弹性体的边界积分方程，并研究了裂纹边界的奇异性。利用同样方法，根据压电 固体单位集中不连续位移和不连续电势对应的基本解 5 3 ，5 4 ，并运用压电介质的 s o m i g l i a n a 恒等式，建立了压电介质二维和三维边界积分方程 5 5 ，4 2 ，并研究三 维压电介质不同绝缘裂纹电边界条件的影响【4 4 】。利用点力、点电荷对应的基本 解【5 6 ，5 7 】，建立了二维、三维压电固体导电裂纹的边界积分方程1 4 7 1 ，以及界面 裂纹的以不连续位移和不连续电势为基本量的边界积分- 微分方程 4 5 ，4 6 ，4 8 】。 边界积分方程边界元法的第一个关键问题是g r e e n 函数，即基本解。文 5 8 】 给出横观各向同性电磁固体基本解，但是含有符号函数。文【5 9 】得到三维横观各 向同性电磁固体的通解，并推导出几种基本解。文 6 0 】得到三维横观各向同性电 磁固体不同特征值相对应的无限、两相、半无限固体的三维g r e e n 函数。文 6 1 】 推导了2 d 与3 d 两相无限大横观各向同性电磁固体的g r e e n 函数。文f 1 9 】根据广 义s t r o h 公式推导了三维各向异性电磁固体无限，半无限、两相体的g r e e n 函数。 这些基本解为裂纹的研究提供了理论基础。另一关键问题是边界积分方程的建 立。对于电磁固体，运用广义点力基本解和电磁固体的s o m i g l i a n a 恒等式，建立 了相应的二维电磁固体边界积分方程 5 8 ，6 2 。 本文将根据电磁固体单位集中广义点力基本解 6 1 】，和电磁固体的 s o m i g l i a n a 恒等式建立边界积分方程。利用文 6 3 】的方法推出单位集中广义不连 续位移对应的基本解，建立广义不连续位移边界积分方程，进而研究电磁固体裂 纹尖端的奇异性，及在不同电磁边界条件下对奇性指数、奇性行为和强度因子的 影响。并利用积分降维方法，研究相应的二维问题。 1 4 本文工作概述 本文提出、并系统研究电磁固体广义不连续位移边界积分方程方法，主要工 作如下： ( 1 ) 利用文献【6 l 】中的广义点力基本解，根据电磁固体的s o m i g l i a n a 恒等 式，给出电磁固体内任意一点处的广义位移的积分表达式；根据单位集中广义不 连续位移的边界条件，得到各个方向上作用单位集中广义不连续位移基本解。 ( 2 ) 根据不连续位移基本解建立三维无限大电磁固体在任意分布的广义载 4 电磁固体广义不连续位移边界积分方程方法 郑州大学硕士学位论文 荷作用下的位于各向同性面上的任意形状的平片裂纹的边界积分方程。利用边界 积分方程方法，研究裂纹尖端广义应力的奇异性。 ( 3 ) 根据电磁固体不同边界条件，研究各种边界条件对裂纹解的影响。提 出一种考虑裂纹在广义外载荷作用下的张开裂纹模型。 ( 4 ) 通过积分降维技巧，求解给出二维电磁固体广义不连续位移基本解， 继而导出二维电磁固体中的广义c r o u c h 基本解。 ( 5 ) 根据二维电磁固体边界积分方程方法，研究不同电磁边界条件下裂纹 尖端的广义应力强度因子。 5 电磁固体广义不连续位移边界积分方程方法 郑州大学硕士学位论文 2 。三维电磁固体广义不连续位移基本解 基本解在固体力学的理论研究和应用中起着重要作用，它不仅是边界积分方 程边界元法的基石，也是微观结构中均一化方法的基本环节。因此本章研究求 解单位集中广义不连续位移基本解。 2 1 基本方程 在无体力、无电荷、无电流情形下，三维电磁固体的控制方程为【删： 盯g = o ， b j = o i ，j = 1 , 2 ，3 ( x ，) r z ) ( 2 1 ) 垦j = 0 其中o r u 、q 和曰，分别为应力、电位移和磁感应强度。 对于横观各向同性电磁固体，z 轴垂直于各向同性面，用位移- i ( 声1 ，2 ，3 分 别表示4 ，v ，w ) 、电势妒和磁势妒表示的本构关系为： o q = c 辨b t | + h i d i 2 + e 嚼节 + f 母p ， d i = ( “i + “) 2 一吼一g m i ， ( 2 2 ) b i = ，岫如t j + 牡f ) 2 一g 妒? k p m t ， ， 其中。州，e g ，厶，p f ，g f 和心分别表示弹性常数、压电系数、压磁系数、介电系数、 电磁常数和磁通率，详见附录a 。 2 2 边界积分方程 设无限大电磁固体中，有平行于材料各向同性面的任意形状的平片裂纹s ， 裂纹上下表面分别用s + 和s 一表示，如图2 1 所示。裂纹面位于坐标o x y 平面， 其外法线向量分别为： 一) s + = 仉o ，一1 ) ，“ s 一= o ，0 ，1 ) ( 2 3 ) 裂纹上所受的面力记为p 。( i - l ，2 ，3 ，或x , y ，z ) ，电位移边界值为口，磁感应强度的 边界值为y 。由基本解( 附录b ) 和电磁固体的s o m i g l i a n a 恒等式，得到电磁固 体内任意一点( x , y ，z ) 的位移u 。，电势矿和磁势的积分表达式为： 6 电磁固体广义不连续位移边界积分方程方法 郑州大学硕士学位论文 s 图2 1o s y 平面内任意形状的平片裂纹 f i g 2 1a na r b i t r a r i l ys h a p e dp l a n a rc r a c ki nt h eo x yp l a n e 川( x ，y ，力= 一+ 彤“，+ 伊+ r f ，妒蛉一一【带+ 伊+ r f ，5 c ，粥 + l s t p f u ；+ 砷：+ 撺? v s + l s 上p i u ；+ 砷：+ ，坶? m s ， 叩 拂加毒荔2 7 z 端嚣篡 d s ，亿4 ，+ l s p u ? + 砷d + 姆d 1 d s + i s d | u ；+ 砷。+ 牲o ， 一缈( y ，力= 眄叶+ q 8 妒+ r 5 y 】d s 一呼“，+ n 8 妒+ r 。妒】d s + l s b u b i + 砷b + f p b a s + l s 曲i u ：+ 砷3 + 归8 v s ， 式中：彳，q f ，f ，嘭，中f 和吖为扣方向单位点力基本解产生的面力、电位移边 界值为，磁感应强度的边界值、位移、电势和磁势，乎，q 。，r o ，叼，毋。和甲。为 单位点电荷产生的面力、电位移边界值、磁感应强度的边界值、位移、电势和磁 势，乎，q 5 ，f b , 町，垂。和甲。为单位点电流密度产生的面力、电位移边界值、磁 感应强度的边界值、位移、电势和磁势： 7 电磁固体广义不连续位移边界积分方程方法 郑州大学硕士学位论文 p ：= o 矗n i ，磷= d ：n i ，r ；= b i n k ， 秽= 口盖，q 。= d 7 以，r 。= 醒， ( 2 5 ) 掣= 盯盏 i ，q 。= d ? n ，r 5 = 口t b n i ， 上标“f ”、“d ”和“b ”分别表示与点力、点电荷和点电流有关的量。根据基本 解我们有以下表示式： 磁i s = 一焉，鄹；i s - = u ；、s ， q ? i r = q ；i s - , 中? i s = m 孔一， r ：0 = ：o 鼍；r = 鼍：r 。 节l r = 一舻b u 夕i r = u 夕i q 。i r = 一q ob m 。i s = 币ob r 。i 矿= - r 。i s - , l l ，oi s + = 甲。b p ? s 。r p ? ，u ：s + = u ；i p n 。k = q 5i s - , 中。i = 中。l j 一， r 。i r = _ r 。b 甲8 i r = 1 壬，8 b ( 2 6 ) 假定裂纹上、f 表囱的厂义载衙满足： p i ，= 一p ，i , - ，i ，= 一珊i ，i ，= 一r l ，一， ( 2 7 ) 一般裂纹表面所受载荷即是如此。 将式( 2 5 ) 、( 2 6 ) 与( 2 7 ) 代入式( 2 4 ) 中得： 虬y ，z ) = t 髟l l u , i + q 硎硎+ f 螂， 一矽( 五只z ) = 气+ 哗肛，+ q 。+ i 。i 矽驷搬， ( 2 8 ) - v ( x , y ，z ) = + 时+ q 8 m + r 。 凼， 上式的8 “川、0 妒j i 和j | 为裂纹面上的不连续位移、不连续电势和不连续磁势： 陋。i = 吩( s + ) - u 。( s 一) ， i 刎= 妒( s + ) 一妒( s 一) ， ( 2 9 ) 0 川= y ( s + ) 一妒( s 一) 将附录b 基本解带入( 2 8 ) 式得： 电磁固体广义不连续位移边界积分方程方法郑州大学硕士学位论文 “= 正+ 1 1 l t - o , , 。b b 呙一而( 1 7 - 而y ) 2 一端) + 缸q 一羔鲁一丽( ( - 可x y 】 硪再1 了+ 赤( r 5 ) 7 一+ ：_ l 碍( 是+ 毛) + 毛) 2 一( 孝- x ) ( q - y 嘻d ( 而岛+ 丽1 ) + l 叫【( 亭一曲壹只。导】+ 帅( 掌一壹q ：r d - - - 1 1 j 互| 、儿ff ：lo + 扣嘻靠争湖 ( 2 1 0 a ) 吣一蜘刊静叱丽1 丽+ 丽i 】 卅谁鸭一b ( 赤了一顽( 孝百- x 丽y 一熹鲁) 亿，舾， 嘻吣( 丽b 一丽( r _ 而y ) 2 一丽( r _ y ) 2 】 + ) 虹知+ 训4 i = 1i = 1 辞：争 n f儿o + 节刊萎4 只，争凇翻) ， w 铂彤叫喜等+ 叫喜警制喜警 一唾警一唾华，谢朋， ( 2 1 0 c ) 中川譬壹等+ u 咄, i - y 崎壹g o n b t 刊喜半 亿， 制喜警一唾半燃巩 一 9 厂0 1 p 一 向) 工一 f(么咄 一 r l + 电磁固体广义不连续位移边界积分方程方法郑州大学硕士学位论文 其中 “l ，i u 2 ，w i “， 毛= j f z ，( i = 1 ，2 ，3 ，4 ，5 ) ， ( 2 1 1 ) 弓= g 一力2 + ( 叩一力2 + 彳， 因此，固体中任意一点的广义位移可通过裂纹面上的广义不连续位移的积分形式 解析表示出来。其中的毛，a j ，b j ，c i ，b 及只等是与材料有关的常数，详见附录a 。 2 3 广义不连续位移基本解 假设裂纹为一边长为2 a = 2 b 的矩形裂纹s ，如图2 2 ，坐标系o x y 的原点o 与裂纹面的中心重合，裂纹在o x y 平面内，即裂纹平行于材料的各向同性面。 图2 2o x y 平面内矩形裂纹的中心位置 f i g 2 2a r e c t a n g u l a rc r a c ki nt h eo x yp l a n ec e n t e r e da tt h eo r i g i no f t h ec o o r d i n a t e s y s t e m 1 0 盟砰 峨净 盟霹啼 警 州 删 电磁固体广义不连续位移边界积分方程方法郑州大学硕士学位论文 由十裂纹的存征，征裂级上f 表曲上的j 义位杉出现同所，璺求单位集中r - 义不连续位移对应的基本解，既要满足电磁固体的控制方程( 2 2 ) ，又要满足下述 条件的五个解： l i m f 。1 】f “黼m 删i ，m w s = 1 ，o ，o o o ) ， ( 2 1 2 a ) 。t i 。m f l r “i i ，i m m i m , m , l l a s = o 10 0 ，o ) ，( 2 1 2 b ) 觋| “l l 怫懈i 陟i ) 搬= o ，o , 1 ，o ，o ) ， ( 2 1 2 e ) l 。i + m 。f 。 | 、1 “| | ，| | | ，i 饰i 纠l i 眵肛a 皤= o ，0 , 0 , 1 ，o ) ，( 2 1 2 d ) l 。i 。m fi l l “i i ，h v t l ，n , q l ，m ，i h w s = t o ，0 ，0 ，o 1 ( 2 1 2 e ) 满足( 2 1 2 a ) 与( 2 1 2 b ) 的两个解是非对称的，而满足( 2 1 2 e ) 、( 2 1 2 d ) 和( 2 1 2 e ) 的 三个解为对称的。 2 3 1 满足( 2 1 2 a ) 的基本解 在口习，平面内，满足( 2 1 2 a ) 式的边界条件为： 6 “( 善，7 ) 0 = 占( 善，玎) ( 2 1 3 ) 把式( 2 1 2 a ) 乘1 ( 2 1 3 ) 代入式( 2 1 0 ) z 1 0 ： “一。，陆一去一矗垮吣1 百一丽x 2 一矗) 以t 4 的 y = 吲蚺+ 丽1 + 扣；陆+ 去 】， 亿m ， 一一喜等， 锄 一喜警， 亿，4 一喜等， 4 。 奠中 g i x + y 。z + 7 2 , ( 2 1 5 ) = x 2 + y 2 + 刁2 + 刁，o = 1 , 2 ，3 ，4 ，5 ) 电磁固体广义不连续位移边界积分方程方法郑州大学硕士学位论文 划蚺t 护静扣畸净 一静c 气“打脶x 专一净 仃，= ，文c 。喜皿苦+ 喜c c “4 一马一z ，q ，专 ， g - 6 b ， 吒叫咿静皿c 矗+ 壶， ( x 2 + y z 嘞日墙+ 壶+ 寿 偿 + 毒味“一e 喝c ) 等， 即叱莲啦( 去+ 去) 蛐2 + y 2 ) 。喜吣( 矗+ 去+ 南) ( 2 1 6 d ) + x 妻味锚嘞马喝q 可3 z , 3 1 ， 噩= 。 t x 喜q - d r ( 嘉+ 去， 氓c x z + y 2 咖口赢+ 去+ 去， q 6 + z 喜( ，4 + 踟马+ 如c ， 3 群z i $ t 根据上述解，满足式r 2 1 2 b ) 的不连续位移基本解可通过坐标变换得到。 2 3 2 满足( 2 1 2 c ) 的基本解 毛e o x y 平面内，满足( 2 1 2 c ) 式的边界条件为： i “f ，刁) 8 = 占( 善，7 7 ) ( 2 1 7 ) 把式( 2 1 2 c ) 和( 2 1 7 ) 代入式( 2 1 0 ) 得到： “= 晶暑，v = 叫善4 只- 暑，w 一喜警， 亿s 幻 电磁固体广义不连续位移边界积分方程方法 郑州大学硕士学位论文 矿= 妻半，y = 砉警 ， 将式( 2 i s ) 代入本构关系( 2 2 ) 式中，可得到相应的应力，电位移和磁感应强 度： 吒3c“x乳df蛩+3xl苎a,4一皿一凡q寿，(219a)i-1i = lj j儿f -3cy窆,9l，q等+砂即4飞e氓q亩，(219b)i=l i - i j 、f1 i + 3 a d i f f i l ( 2 1 9 e ) ，= _ 2 厶。晶q 石，( x 2 + y 2 ) 品，i i 1 n n in n 、 一驷4m 坛 瞒崎一警) 将式( 2 1 8 ) 和( 2 ，1 9 ) q ，的晶分别替换为只：和，则可得到与式( 2 ，1 2 d ) 和式 ( 2 1 2 e ) 对应的基本解。 2 4 广义c r o u c h 解 假设在o x y 平面内有一个长为2 a 宽为2 b 的矩形裂纹( 如图2 2 ) ，裂纹中心 位于坐标系的原点。均匀分布的广义不连续位移犯。矿| i ，| | w 圳妒。i i 和p 。作用 在此裂纹面上。根据上述的广义不连续位移基本解，积分可以得到单元上的广义 应力场 瓣争嘴 孤 一。争 以 4亭 一 侉 庸铲嘻争 m 蜗 + 一i 砰 鸭 靠 忑：e蹦 私芝。 电磁固体广义不连续位移边界积分方程方法郑州大学硕士学位论文 咖聃嘧一半扑半 + 扯( 寿一华朴_ ：堑等型 ( 2 2 0 a ) + 蚓h 纠+ 墨s 脚墨每竭彬轨 吒= 聃t 半畴一孚槲 嘻墨：堑等剐也峙一翌铲删 峭护m 圳+ 墨气产】) 删玑 盯三= a l b 善4 【( 一，) 肛l + 仞一y 咖。状墨- 毒+ e ：等) + ( 划卟e 扩| j ) 卜毒+ ( ( 一) 2 + ( 纠) 2 ) 旁 叫加卜捣z ( 专一争删仉 彰= e 喜g 叫阡( 俐妒池嚼1 + 弩) + ( 匕肛心t + 比- 卜专懈叫2 砌叫2 ) 寿 一( 如h 卜如刎+ 如眵o ) ( 专一等) ) 喇仉 彰= 喜 【( f x ) 肛+ 卿一，) h i ) ( e 虿1 + 等) + 圳w 。o 峨e ”帅音+ ( ( 一) 2 + ( ) 2 ) 方 ( 2 2 0 c ) 一以加i i + 畴一静蝴， 其中 1 4 r i ：瓜写罚石丽 碍：厮鬲再i ；霄1 ，( f - l 2 34 ，5 ) ， 古= 丽4 z i 制叫均叫2 ，卜菇+ 寿， 相关的材料常数为： 簋l = c 4 4 国5 l d s s l ， 上；：= 【d j 墨+ 4 巳，毋一z s q 】， 葺3 = 只l l c “p 。墨+ 4 一岛5 马一工，c ：】， e = 只2 e “d l s ，+ 4 一e 1 5 马一，；j g 】， e 5 = 【c “d ，岛+ c “4 一岛5 b i 一工5 q 】， 叠l = q ，q id j ， = d 。， 比1 = c 1 3 只2 b ， 如l - - - - c t ，& 2 ， e l = e 3 1 j l d ， l = 岛1 只l d l ， 匕l = e 3 1 只2d ， e s i = 如d ， e l = l 哆l d i ， 肇。= 五，d ， 如。- - a 。只：q ， 如，= 厶d i ， e 2 - - - - ( ) l i ( c 3 3 4 一e 3 3 置一工3 q ) ， e 3 2 = 只l 毛( c 3 3 4 一e 3 3 b j 一厶3 g ) ， 上k = 毋2 墨( 巳，a i e 3 3 b i 一厶c j ) ， 三= & t ( 4 一岛，马一石，g ) ， 匕= 6 口j l ( # ，4 j + e b + 9 3 ，q ) ， t ，2 = 只l j 。0 站4 + 蜀+ g ”g ) ， 矗4 2 = 只2 墨( 龟，a f + g 驺岛+ 9 3 ，e ) ， 上乞= 只3 j i ( 岛3 a i + f ，3 目+ 9 3 ，g ) ， t 2 = q i 伤3 a i + g ”马+ c ) ， 三= 只。毛( 五3 4 + g 马+ f 3 ，q ) ， 工如= 只2 屯( 3 a i + 兽钿b + 3 3 c j ) ， e 5 2 = 只3 毛( 五3 a i + g 拈b l + 如g ) 对式( 2 2 0 ) 积分得 ( 2 2 1 ) ( 2 ，2 2 a ) ( 2 2 2 b ) r 2 2 2 e ) ( 2 2 2 d ) = 厶。( 谚肛。4 + 西驴b 一善4 【吃 o ：1 1 “i g 妒d + ( e ，0 l + 置一0 妒0 + e 。0 ) 纠】， ( 2 2 3 a ) 吒：厶。【q ；肛t i + q ；肛r 1 0 + 4 【4 ：( 剑弘。4 一e i l t v 。i 一( 互，0 w 4 + 互舻。8 十一，l p 。i i ) 幺】， ( 2 2 3 b ) 1 5 盯三：4 嵋。( 倒p 8 + 幺p 。i b 一( 珞w 咱+ 如眵r u + e ，眵t i b q ：+ 创) 】，( 2 2 3 c ) 噬：壹瞳。( 蚓。1 + 珐妒i b 一( 厶i i + 乩耖i i + 砭桫e i i ) ( 科+ 残) 】， 彰；壹暇。( 纠肛c l + 幺肛t i b 一( 乓1 1 w c 8 + e 肛t i i + 丘，p c l ( 纠+ 创) 】， 其中 纠= 醋曩+ ，爿+ 嚷曩+ 曩， 以= g 刍互。+ 足+ q 。曩+ g 乞日， 创= 只一谚，爿+ 吼碍一吒日， f = 1 , 2 ，3 ，4 ，5 ， 鲥= g ，l ，e + q 。爿一q ，乓一g 乞曩， q ：= 瓦一f ；一f ；+ f ；， f 2 2 4 ) 爿2 丽希丽2 丽高 冽 弘丽舅意丽班丽雨菰i 丽霄 “= 鬻，u x ) + z ； 纯= 拦悬， 瓯= 篇， g 扣端， 拈舞， 拈黼， g f 2 = 鬻， = 拦悬， 嚷= 篇， 瓯= 龋， 1 6 ( 2 2 5 b ) ( 2 2 5 d ) 韭埘等 力一孑踹 电磁固体广义不连续位移边界积分方程方法郑州大学硕士学位论文 吒= 而z , 矿( a - 珥x ) ， g 乞2 高鬻， 吼= 端 式( 2 2 3 ) 也可写成下列间接形式： 吖：壹巧孵4 ，：1 5 ， ( 2 2 6 ) 卢l 其中盯i = 盯三，a ；= 吒，盯；= 仃三，盯：= 噬，= 彤，h - - i