（材料物理与化学专业论文）金属互连电迁移可靠性的新表征参量研究.pdf

摘要 随着现代电子技术的飞速发展，集成电路的小型化趋势越来越明显，器件特 征尺寸向着亚微米甚至超深亚微米量级发展，金属互连在电路中所占的比例越来 越大，互连线单位面积上承载的电流密度也越来越大，金属互连电迁移已成为超 大规模集成电路的主要失效机理之一。 本文在电迁移失效机理及电迁移传统表征参量探讨的基础上，将时间序列分 析方法引入电迁移噪声序列的分析。电迁移噪声序列是一种分形信号，具有分形 维数及自相似性。相关积分方法是一种时域分析方法。电迁移噪声的相关积分分 析结果表明，随着电迁移的进行，噪声信号主要成分发生变化，即由随机成分占 主导变化为确定性成分占主导。通过噪声信号产生的物理机制分析可以推断金属 薄膜中的电子运动状态由动态平衡转变为非平衡状态。另外，利用相关积分结果 估算的电迁移噪声信号分形维数可为探索金属薄膜材料中电迁移动力学提供信 息。 本文还应用高阶统计量分析方法分析了信号的非高斯性强弱。对电迁移实验 数据分析结果表明，信号的非高斯性随电迁移过程不断增强。这两种方法对于鉴 定电迁移损伤程度，预测电迁移失效都是比较灵敏的，可以作为新的互连电迁移 可靠性分析方法。 关键词：电迁移分形相关积分高阶统计量 a b s t r a c t w i t ht h ed e v e l o p m e n to f m o d e r ne l e c t r o n i ct e c h n o l o g y , t h em i n i a t u r i z a t i o nt r e n d o f t h ei n t e g r a t e dc 括c u ri sm o r ea n dm o r eo b v i o u s ，t h ec h a r a c t e r i s t i cm e a s u r e m e n to f t h ed e v i c ei sb e c o m i n gt h es u b - m i c r o m e t e ra n de v e nd e e p ，t h ev o l u m ep r o p o r t i o no f m e t a l l i ci n l e r c o n n e c t i o ni nc i f c u i ta n dt h ec u r r e n td e n s i t yd r o p p e do ni n t e r c o n n e c t i o n a r el i l o r ea n dm o r eg r e a t e r , e l e c t r o m i g r a t i o nh a sb e c o m eo n eo ft h em a j o rf a i l u r e m e c h a n i s m si nv l s i b a s e do n ab r i e fd e s c r i p t i o nt ot h ed a m a g em e c h a n i s mf o re l e c t r o m i g r a t i o na n d t r a d i t i o n a lt o k e np a r a m e t e r , t h et i m es e r i e s a n a l y s i s m e t h o d sa r et a k e ni n t o e l e c t r o m i g r a t i o nn o i s ea n a l y s i s t h en o i s es e r i e so fe l e c t r o m i g r a t i o ni so n ek i n do f f r a c t a ls i g n a l s ，矗a c t a ld i m e n s i o na n ds e l f s i m i l a r i t yo ft h es y s t e mc a nb eo b t a i n e d t h r o u g hi t c o r r e l a t i o ni n t e g r a li s am e t h o do ff r a c t a l t h e o r y , u s i n g i ti n e l e c t r o m i g r a t i o na n a l y s i s , w ef i n dt h a tt h r o u g he l e c t r o m i g r a t i o np r o c e s s ，t h ep r i m a r y c o m p o n e n to fn o i s es i g n a li sc h a n g e d ，t h ed o m i n a n tc o m p o n e n ti sc h a n g e df r o m r a n d o mc o m p o n e n tt oc e r t a i n t yc o m p o n e n t , a n de l e c l r o n sm o v e m e n ti sc h a n g e df r o m e q u i l i b r i u mt on o n - e q u i l i b r i u m 。i ts h o w st h eg e n e r a t i o nm e c h a n i s mo fn o i s eh a s c h a n g e d a n dt h r o u g ht h ee s t i m a t eo fc o r r e l a t i o nd i m e n s i o n , w ec a ne v a l u a t et h e f r a c t a ld i m e n s i o no fs i g n a lw h i c hb r i n g su ss o m eu s e f u li n f o r m a t i o ni n s y s t e m m o d e l i n ga n ds i m p l i f i c a t i o n h i g ho r d e rs t a t i s t i c sr e f l e c t st h en o n - g a u s so fs i g n a l ，o u r a n a l y s i s s h o w st h a t t h e n o n - g a u s s i sm o r ea n dm o r e o b v i o u s l yt h o u g h e l e c t r o m i g r a t i o np r o c e s s t h e s e t w om e t h o d sa r ev a l i di n c h a r a c t e r i z i n g e l e c t r o m i g r a t i o np r o c e s sa n dp r e d i c t i n gi n t e r c o r m e c t i o ni n v a l i d a t i o n , t h e yc a nb eu s e d a sn e w sa n a l y s i sm e t h o d si ne l e c t r o m i g r a t i o nr e s e a r c h k e yw o r d s ：d e c t r o m i g r a t i o n f r a v t a l ，c o r r e l a t i o ni n t e g r a l ，h i g ho r d e rs t a t i s t i c s 创新性声明 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究 成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢中所列的内容外，论文中不包含 其他人已经发表或撰写过的研究成果；也不包含为获得西安电子科技大学或其它 教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任 何贡献均在论文中做了明确的说明并表示了谢意。 申请学位论文与资料若有不实之处，本人承担一切相关责任。 j 一 本人签名：么亚杰日期：鱼亟：! ：旦 关于论文使用授权说明 本人完全了解西安电子科技大学有关保留和使用学位论文的规定，即：研究 生在校攻读学位期间论文工作的知识产权属西安电子科技大学。本人保证毕业离 校后，发表论文或使用论文工作成果时署名仍然为西安电子科技大学。学校有权 保留送交论文的复印件，允许查阅和借阂论文；学校可以公布论文的全部或部分 内容，可以允许采取影印、缩印或其他手段保存论文。( 保密的论文在解密后遵守 此规定) ，本学位论文属于保密，在年解密后适用本授权书。 本人签名：遂 导师签名 - 4 肌厶 t “。 日期：缈6 ) 二上塑 日期：。矿彬 第一章绪论 第一章绪论 1 1 研究背景 集成电路技术的进步和更新换代是以加工的最小线条尺寸的缩小和芯片集成 度的提高为标志的i l l 。随着现代电子技术的飞速发展，电子元器件、电子器件组 ，件尺寸己进入超深皿微米量级，金属互连在整个集成电路芯片中所占的面积越来 越大。与此同时，集成电路技术的进步要求金属连线的宽度减少，连线层数增加， 这直接导致了互连线中电流密度的急剧增大，热应力和电迁移应力相应增大，严 重影响了互连线的可靠性。现今，金属互连的电迁移失效问题已成为制约集成电 路技术发展的瓶颈，成为人们研究的热点【2 】。 金属互连电迁移是由于电流作用下互连薄膜中的金属原子受到运动电子的作 用而引起的物质输运现象。人们对电迁移表征参量的研究大致经历了以下几个阶 段：1 9 6 8 年，r o s e n b e r g 和b e r e n b a u 首次提出借助电阻研究电迁移过程【3 】，由于 其使用方便，很快成为表征电迁移过程的常用参量。但是，电阻所能反映的信息 毕竟有限，随着互连工艺的进步，很多实验样品在空洞成核前，有很长一段潜伏 期电阻几乎不变，而且为使得电阻变化而采用的加速寿命试验对于样品具有不可 逆的破坏性。1 9 7 3 年，v o s s e n 首次提出低频噪声可以用于金属互连可靠性评估【4 】。 噪声检测方法以其测试条件接近正常工作条件，非破坏性和灵敏度高等优点越来 越引起人们的重视。“厂，噪声的大小对金属薄膜的电迁移损伤和其他结构缺陷非 常敏感，可以作为电迁移评估及早期预测失效的工具。 在传统的噪声分析中，人们通常假设噪声的产生过程是高斯的和平稳的p 】。 然而，平稳与非平稳的概念是相对而言的，并没有绝对的平稳与非平稳。电迁移 过程是一种复杂的动态失效过程，它的噪声信号表现出一定的非高斯性与非平稳 性。传统的傅立叶变换只适用于平稳信号，无法全面反映电迁移信号中所携带的 信息嗍；另外，由于“厂噪声频谱是对信号的时域整体变换，仅能反映出噪声信 号的全局特性，却无法表述信号的时频局域性质，而这种性质恰恰是非平稳信号 最根本和最关键的性质【”。基于以上原因，近年来，越来越多的时间序列分析方 法被用于电迁移数据的分析中弘潮。 相关积分算法是人们在研究分形理论时提出的，相关维数属于分形维数的一 种，它反映了系统内部的复杂度和自相似性。近些年，相关积分算法在生物化学， 医学等研究领域得到广泛应用，我们将其应用于电迁移噪声分析，并将结果加以 分析说明；高阶统计量法被用于反映信号非高斯性的强弱，通过r 2 值的提取，我 4 金属互连电迁移可靠性的新袁征参量研究 们看到，通过对信号非高斯性强弱的反应，高阶统计量同样可以用来表征电迁移 过程。 本文所采用的相关积分法及高阶统计量法是现今比较流行的时间序列分析方 法，我们将它们应用予电迁移噪声时间序列分析，并对得出的结果结合电迁移内 部机理做出了合理的解释。分析结果表明，时间序列分析方法可以作为一种新的 表征电迁移过程的有力工具。 1 2 论文结构及研究内容 本文共分为五章，各章的内容具体安排如下； 第一章绪论。概述了本课题的背景；介绍了电迁移研究现状；总结了电迁移 表征参量的发展；提出了时间序列分析电迁移过程的重要意义。 第二章金属互连电迁移失效物理及表征参量与模型。详细介绍了电迁移现象 及其失效机理；总结了已有的电迁移表征参量的优缺点；研究了电迁移噪声的特 性。 第三章分形理论与相关积分法用于电迁移噪声分析。引入了分形的概念；证 明1 厂噪声是一种分形信号，用相关积分法分析电迁移数据并进行电迁移失效预 测，对结果给出物理解释。 第四章高阶通计量法用于电迁移噪声分析及结果讨论。将时序分析的高阶统 计量法用于分析电迁移信号与预测电迁移失效。对结果给出物理解释。 第五章结论与展望。归纳论文成果并展望课题的下一步工作。 第二章金属互连电迁移失散物理及表征参量与模型 第二章金属互连电迁移失效物理及表征参量与模型 ， 2 1 电迁移现象及失效机理 2 1 1 电迁移现象 电迁移现象是由于在电流作用下金属中的离子位移所致，是金属互连中的金 属原子受到运动的电子作用引起的物质输运现象。它首先表现为电阻值的线性增 加，到一定程度后就会引起金属膜局部亏损而出现空洞，或引起金属膜局部堆积 而出现小丘或晶须，最终导致突变失效，严重影响集成电路的寿命。 在半导体集成电路中，金属布线层大多采用铝淀积层。铝淀积膜是使用物理 淀积方法( 如真空蒸发、溅射、电子束淀积等) 形成的，为多晶结构，如图2 1 所示。在无电流应力情况下，互连线中由于晶格热运动，少数金属原子的能量可 图2 1 铝淀积膜的微观模式图 图2 2 电应力下导线中铝原子受力图 能超过晶格束缚能，成为自由原子，在互连线中自由扩散。但是在这种自扩散运 动是随机的，只是引起随机的金属原子问的重新排列而已，而且处于热力学平衡 状态而在应力作用下，金属互连线中有电流流过，互连线中金属原子的受力情 况如图2 2 所示州。其中e 是库仑力，与电场同一方向的。只为载流予( 这里 是电子) 撞击金属原予，作用在金属原子上的力，也叫电子风力。通过自由原予 与电子流的相互作用( 动量交换) 后，金属原子会出现宏观位移。应力作用下， 对于铝金属互连线，已知电子风力比库仑力约大十倍左右。因此应力作用下，互 连线中铝原子会沿电子运动的方向输运，在原子移动轨迹上产生原子空位，互连 线有效截面积减少，电流密度进一步增大，空隙生长如速，直至断条。同时，在 金属原子堆积的地方产生小丘1 1 “，造成临近布线的短路。图z 3 显示了扫描电子 显微镜下所观察到的电迁移现象【l ”。 5 6 金属互连电迁移可靠性的新表征参量研究 ( a ) 空隙生长产生断条( b ) 原子堆积产生小丘 图2 3 扫描电子显微镜( s 喇) 观察到的电迁移图像 综上所述，电迁移过程中的金属离子流可表示为： j t = j ：一j ； ( 2 i ) 其中，z 是由于与电子碰撞产生的流；砰是由于电场力产生的流。z 又可用经 验公式表示为： = ( e ) ( c f 见- o ( e o k t ) e ( 2 2 ) d 为离子扩散系数；为参与传输的离子浓度；k 为玻尔兹曼常数；以为电子电 阻率；e 为电场力；c ，为比例常数。令c 以一l = z ，即得： 以= e z n ( e d k t ) e ( 2 3 ) 2 ，1 2 电迁移失效机理 从缺陷产生和积累得角度，我们可以这样解释电迁移的失效机理，即在电迁 移过程中，在电子风和应力的作用下，互连线中的某些薄弱部位产生了缺陷；缺 陷的产生，重新改变了互连线中电流的分布，进而也会影响热分布；这两个过程 相互作用，决定了缺陷在哪些薄弱部位产生：随着时闻的增加，缺陷不断积累， 相邻较近的缺陷融合成一个大缺陷；当产生的缺陷足够大，在垂直电流的方向上 占有足够的面积，巨连线的电阻就会显著增加；最后当形成的缺陷横跨整个互连 线横截面，互连线断路。 第二牵金羼互连电迁移失蓑钫理及表征参量与横型 在图2 4 中，我们考虑金属原子a ，它的周围有十二个相邻的晶格位置，其中 之一被空位v 占据，其余被其他金属原子占据。在无电流应力条件下，由于热运 动，原子a 向其附近任何一个方向移动的概率是相等的；若在“电子风”吹动的 情况下。很明显原子a 向电子风方向移动概率大大增加。假设a 要与 原子发生 交换。其过程也只能是通过原子与空位的交换，即，l 移到空位位置，a 移到五位 置，空位移到原a 的位置，可见，空位移动一步之前移动了两个原子。同理，若a 往厶方向移动，空位移动一步须移动三个原子。所以，同等电子风力条件下，金 属原子移动方向不同，难易程度也不同。 图2 4 金属原子与其近邻的十一个原子和一个空位 最早报道应力诱发空洞最终导致电路断路失效的是在1 9 8 4 年提出 1 2 1 ，研究 认为失效是由于某个区域铝原子不断迁移，同时空位聚积所引起的。从此，应力 诱发空漏成为研究电迁移的一个重要方面。 研究发现，空洞的长成通常都与晶粒间界相联系 1 3 1 。半导体集成电路的铝布 线为多晶或者竹节结构，多晶为单晶微粒的集合体，竹节结构则可以看作是一系 列排列晶粒，其中狭窄的晶界将晶粒分隔开，具体两种结构如图2 5 所示。三叉 点( t r i p l ep o i n t ) 是三个晶界聚集在一个场所的地方，图2 6 给出的是三叉点 的示意图。a 点处产生小丘，在b 点处产生空隙。三条路径上输运的金属原子， 由于在a 点处挤在一条输运路径，故停滞不前，这个就成了a 点的小丘。在b 点 处，通过一个路径输运的金属原子分成两条路径急速的“携带出去”。这就成为b 点的空隙。这种分叉点的形成主要源自三个方面：结构缺陷、微观结构的不均一 7 8 金属互连电迁移可靠性的新表征参量研究 性及局部的温度梯度。般互连线宽大于晶粒尺寸时，微观结构为多晶结构，而当 线宽小于晶粒尺寸时，微观结构自然就变成了竹节状结构( 不包括晶界三叉点，并 且不包括连续的晶界路径) ，但这种结构很难制作1 1 4 】。c l e m e n t t ”1 在其论文中指出， 在互连线中，电迁移存在若干条扩散路径，而有效迁移率是由扩散最快的路径决 定的。最快扩散路径由微观结构、温度以及互连线质量等因素决定。设线宽为w ， 高为| 】，则有效扩散率为： d = q + 如警+ 4 警毋 沦t ) 其中d ，0 d 1 分别为晶格，晶界界面处的迁移率，略4 为晶界界面的宽度，d 为晶粒的平均尺寸。对于铝基金属，当线宽大于晶粒的平均尺寸时，晶界扩散占 主导地位，即当w d 时， d 垒 (25，d g 口 。 可见，晶界扩散在载流子扩散中占有主导地位，所以，晶界处也就成为空位聚集 与空洞长成的地点。 雹圜 图2 5 多晶结构与竹节结构 图2 6 晶界微观结构与三叉点 对予空洞成核的原因，一般认为是本地过饱和与空位凝结( 1 0 c a l s u d e r s a t u r a t i o na n dc o n d e n s a t i o no fv a c a n c i e s ) 。除了晶粒间界，晶粒本身 的形态也对空洞成核有影响。互连薄膜的晶粒间界一般为柱形的，可见的最大晶 粒尺寸一般限定为膜的厚度。多晶互连在晶粒尺寸较小的区域较之晶粒尺寸较大 的区域更易产生空洞成核。研究表明，当发生空洞成核时，初始是圆形的空洞达 到一临界体积，电场力的影响显著增强，在空洞边缘的晶粒内部产生裂缝( s l i t ) ， 裂缝尖端的原子随电流流走，产生失效。而初始为其他形状的空洞变化则会缓慢 许多。故为延长样品寿命，重要的是阻止初始为圆形的空洞成核及成长至临界体 第二章金属互连电迁移失蔽物理及表征参量与模堑 积( 因研究发现圆形空洞表面能最小) 1 1 3 。 2 2 电迁移过程传统表征参量及可靠性研究现状 2 ，2 1 奄迁移过程传统表征参量 电迁移过程表征参量是人们在研究电迁移过程中提出的用以反映电迁移程度 的物理量。随着人们对电迁移现象认识的逐步深入，表征参量也不断更新发展， 不同的表征参量可能反映了电迁移的不同内部特征，能够帮助人们更加深入的了 解电迁移现象。 1 9 6 8 年，电阻第一次被用来反映电迁移过程，当时看来，电阻测量简单易行， 提供了丰富的电迁移信息，很快成为常用的表征金属互连电迁移损伤的标准参量 f l o 】l 。通常的电阻测量都是结合着加速寿命试验进行的。加速寿命试验缩短了互连 线电迁移评估时间。因此人们叉发展了各种各样的加速寿命实验方法。根据失效 模式的研究和实验结果的分析，得出了金属互连线的电迁移寿命外推公式1 1 6 1 矿 m t f = 彳- j “c x p ( 嚣) ( 2 - 6 ) k 其中m t f 为中期失效时间( m e d i a nt i m et of a i l u r e ) ，也就是受测样品的统计寿 命，a 为布线固有常数，j 为流过互连线横截面的电流密度，单位为( a a m z ) ，n 为常数，通常取值为2 - 3 ，k 是玻耳兹曼常数，t 为互连线的绝对温度，通常包括 环境温度和电流热效应引起的互连线温升，单位为k ，e 为电迁移激活能，与互 连线材料、微观结构等有关。典型值为0 5 - 0 8 e v 。研究表明，e 值的不同暗示 了不同的电迁移机制：互 l 印。代表了金属的体积扩散( b u l km e t a ld i f f u s i o n ) ； a e 值在0 4 - 0 6 e v 之间，代表了晶粒问界与电迁移相关，空位在晶粒间界处聚集： 当e 为0 2 b e y 左右时，反映了氧化层表面扩散( o x i d e - f r e es u r f a c em i g r a t i o n ) 1 7 1 。随后，l l o y d 和k o c h 将a cw h e a t s t o n e - b r i d g e 电路用于电阻的精确测量【1 8 】， 他们认为早期电阻变化率与样品的寿命有关，可以通过精确测量电阻早期变化来 预测失效时间借助更加精确的电阻测试技术，v e r b r u g g e n 小组发现电迁移早期 电阻随时间并非是线性变化 1 9 1 k r a a y e v e l d 测量了短互连线的电阻，发现了 b l e c h - l e n g t h 效应大多数学者认为，电迁移空位聚集阶段电阻变化缓慢， 9 金属互连电迂移可靠性鲍赣表征参量研究 略有增大；空洞成核将引起电阻突然增大h m a r ch u n t 1 3 1 在他2 0 0 0 年的博士 论文中提出了与传统观念相反的观点。他的文章中指出，电阻突变( a r c ：a b r u p t c h a n g ei nt h er e s i s t a n c e ) 发生在小于l o o m s 的时间内。三种特性的a r c s 在实 验中被观察到，第一种是突增( u p w a r ds t e p s ) ，常发生在加速寿命实验的开始阶段 第二种是下降( d o w n w a r ds t e p s ) ，在加速寿命试验的后期常发生：第三种是波动 ( o s c i l l a t i o n s ) ，也常发生在加速寿命试验后期。在空洞逐渐成型的过程中，电阻 改变很小；在空洞形成时，电阻会有大的减小，因为理论上说，空位的快速凝聚 会减少电子散射中心的浓度。相对的，空洞消失对，电盟会显著增大，因空位形 成的电子散射中心的浓度会增加。他的这种观点并未得到广泛地认同。由于在电 迁移早期阶段，金属薄膜的电阻变化量不是很显著，要做到精确测量，也需要专 门的测量手段和技术，而测试条件较为苛刻，人们转而继续寻找新的电迁移表征 参量。 1 9 7 1 年，y o s s e n 首次提出将噪声测量用于金属薄膜申的缺陷检测。1 9 7 5 年， c e l a s c e 等人提出可通过噪声测量来研究电迁移f 2 i j 。随后，噪声检测在表征电迁 移过程中更是得到了越来越广泛的应用：s i m o e n 等人指出，1 厂嗓声信号比 电阻能更准确，更灵敏她反映电迁移状况，同时，他们认为电迁移低频噪声可用来 预测样品的失效时间，并通过老化试验得出经验公式： l o g ：r f = z l + z 2 l o g 2 ) ( 2 7 ) 其中研 f 为样品失效时间，v 2 ) 为与电迁移相关f t c j l f 2 噪声电压的均方值，z l 和 z ，为经验常数；f e n g 等人指出l ，厂，嗓声与互连的普适电导波动( u n i v e r s a l c o n d u c t a n c ef l u c t u a t i o n ) 密切相关l ”j ；s a t o s h i 等人则认为l 厂噪声对温度 的反应比电阻更加敏感，他们测得铝互连中1 f 7 噪声与温度的关系，最低已可测 至l l k 的温度；而c o t t l e 等人指出1 f 7 噪声与电迁移关系密切，激活能e 。值的 不同反映了不同的电迁移机制【2 ，) 。可见，1 ，嗓声的大小对金属薄膜的电迁移 损伤和其它结构缺陷非常敏感。可以作为电迁移评估以及早期预测失效的工具。 第二章金属互连电迁移失效物理及袭征参量与模型 2 2 2 电迁移可靠性研究现状 目前关于金属互连线的研究主要集中在几个领域：一是关于新型互连材料及 其集成技术的研究。这一研究的目的主要是为了满足未来微电子工艺高性能互连 的要求。再一个就是有关互线可靠性的研究，主要研究互连线的失效机理、监测 方法和模型。有关互连线可靠性的研究，不但可以指导我们探索新的互连材料和 技术，而且还可以对现有的互连技术和材料的寿命进行预测，并针对其主要失效 机理在工艺中设法加以避免。有着更为实际的价值。 我们搜集了近年来国内外研究金属互连电迁移的资料，从中总结出未来电迁 移可靠性可研究发展的若干方向： 一、电迁移表面物理的研究。对不同材料，不同晶粒结构，不同晶面的电迁移 现象进行研究p o l 。 二、 对电迁移可靠性进行统计分布的研究【3 ”。 三、试验条件改变对电迁移的影响。如，样品合金材料的不同、样品长宽比的 不同，制作工艺的不同及老化温度改变对电迁移有什么影响。 四、对电迁移现象通过i n s i t u 技术进行观测，运用了如s t e m ，a m f ，f i b ， s x f m 等较先进的仪器进行观察 1 9 3 2 1 。i n - s i t u 技术借助了先进的显微仪器， 帮助人们直接观察到电迁移损伤的发展。 五、迁移测试电路的改进。因直流测试系统需要大的去耦合电容才能测到频率 较低的部分，而容抗与频率成反比关系，容抗越大，输入变压器的电压值越 低，使得信噪比下降。故现在交流电桥测试技术与交流串绕技术( a c c r o s s - c o r r e l a t i o n ) 成为实验中应用的主要技术m 1 。 t 2 3 电迁移噪声特性 广义上讲，凡是功率谱密度与频率成反比韵随机涨落现象均可称为1 f 噪声。 电子器件中1 f 噪声电压功率谱密度可以写成以下形式： 鼠(力=a19f7(2-8) 式中，为通过器件的电流；，为频率；参数彳由器件结构特性决定；j ，为频率指 数b 为电流因子。由此可见，1 f 噪声具有两个基本特征：在一个相当宽的频率 范围之内，i f 噪声的功率谱密度与频率成反比；1 f 噪声电压或电流的功率谱密 度近似与通过器件的电流的平方成正比。在从金属膜电阻到半导体器件的所有电 子元器件中都观察到了1 f 噪，因此人们认为在1 f 噪声背后一定隐含着种基 本的统一机制。到目前为止，关于1 f 噪声的理论和模型各不相同，但是都是建 立在两个基本涨落机制基础上，一个是载流子输涨落机制，另一个是载流子迁移 率涨落机制。前者是m c w h o r t e r 引入的，后者建立在h o o g e 经验公式基础上。 金属互连电迁移可靠性鳆新表征参量研究 国外对噪声的研究大体经历了三个阶段：第一个阶段是在1 9 7 0 年前后，广泛 研究了各种噪声的形成机理及其与器件微观参数的关系；第二个阶段是7 0 年代中 期至8 0 年代中期，在对器件噪声特性作进一步深入了解的同时，研制开发了多种 低噪声分立器件和集成电路；第三个阶段大约是1 9 8 5 年开始，利用噪声( 特别是 低频噪声) 作为器件微观性质研究、质量和可靠性评估的手段。截至目前，电子 器件中的噪声成分仍是非常活跃的研究领域，尚未解决的问题仍有很多。 在传统的噪声分析中，人们通常假设噪声的产生过程是高斯的和平稳的( 捌。 然而，平稳与非平稳的概念是相对而言的，并没有绝对的平稳与非平稳。在实测 信号中，某阶统计量随时间改变的信号被认为是非平稳信号，最常见的非平稳信 号是自相关函数或功率谱密度随时间变化的信号p l 。电迁移过程是一种复杂的动 态失效过程，它的噪声信号表现出一定的非高斯性与非平稳性。我们以后的数据 处理结果证明了这一点。传统的傅立叶变换只适用于平稳信号，无法全面反映电 迁移信号中所携带的信息i 6 1 ；另外，由于1 1 f 噪声频谱是对信号的时域整体变换， 仅能反映出噪声信号的全局特性，却无法表述信号的时频局域性质，而这种性质 恰恰是非平稳信号最根本和最关键的性质p 1 。基于以上原因，近年来，越来越多 的时间序列分析方法被用于电迁移数据的分析中i j 4 】。 第三章分形理论与相关积分法用于电迁移噪声分析 ” 第三章分形理论与相关积分法用于电迁移噪声分析 几千年来，人们习惯于欧氏几何，崇拜欧氏几何。它是人类知识的结晶，是 人类的骄傲。欧氏几何把自然界的几何图形高度抽象，归纳为点、线、面等几何 元素；进而构造出三角形、矩形、梯形、圆和椭圆等十分规则的几何图形；用它 们又可以组成各种更为复杂的图形。本世纪7 0 年代以后，科学家开始跨入无序的 大门。数学家、物理学家和生物学家纷纷探索各类不规则现象。云彩不是球体， 山脉不是圆锥，海岸也不是折线。闪电的路径，人体微血管的结构，以及星系复 杂的漩涡状态等奇形怪状，麻点斑痕，破碎断裂，扭曲缠绕，参差不齐，纠缠不 清，这些不规则图形是不能用传统的欧氏几何来准确描述的。我们需要新的几何 语言，芒德勃罗创立的分形几何学应运而生f 2 ”。 实际上，对于什么是分形，到目前为止还不能给出一个确切的定义，人们通 常是列出其一系列特性来加以说明： ( i ) 分形集都具有任意小尺度下的比例细节，或者说它具有精细的结构。 ( i i ) 分形集不能用传统的几何语言来描述，它既不是满足某些条件的点的轨迹， 也不是某些简单方程的解集。 ( i i i ) 分形集具有某种自相似形式，可能是近似的自相似或者统计的自相似。 ( i v ) 一般，分形集的“分形维数”，严格大于它相应的拓扑维数。 ( ￥) 在大多数令人感兴趣的情形下，分形集由非常简单的方法定义，可能以变 换的迭代产生。 3 1 维数的概念与分数维 整数维数是整数，这还好理解，原来我们知道的整数维数是拓扑维数，只能 取整数，维数表示描述一个对象所需的独立交量的个数。在直线上确定一个点需 要一个坐标，在平面上确定一个点得用两个坐标，在三维空间中确定一个点得用 三个坐标，等等。除拓扑维数外，还有度量维数，它是从测量的角度定义的原 来的维数也可以从测量的角度重新理解。为什么要发展测量维数的定义? 其实维数 概念并不是从天上掉下来的，都有“操作”的成分，都可以从操作的角度说明。 我们知道，积分理论从黎曼积分发展到勒贝格积分，就是因为弓；入了“测度”这 一概念，这一举动克服了传统积分理论的许多缺陷，扩充了所研究的函数的范围 和极限的意义。后来柯尔莫哥洛夫( a n k o l m o g o r o v ，1 9 0 3 - 1 9 8 7 ) 将勒贝格测度引 入概率论，又为概率论奠定了坚实的基础。 现在从欧氏几何维数定义作进一步的推广把一个正方形的每个边长增加为 金属互连电迁移可靠性的新衰征参量研究 原来的3 倍，得到一个大正方形，它正好等于3 2 = 9 个原来的正方形。类似的， 把一个立方体的每个边长增加为原来的3 倍，就得到3 3 = 2 7 个原来大小的立方体。 推而广之，一个d 维几何对象的每个独立方向，都增加为原来的，倍，结果得到 个原来的对象。这三个数之间的关系是j 4 = n ，不难验证，对于欧氏几何中的一 切普通的几何对象，这个简单关系都是成立的。现在把这个关系式两边取对数， 写成 d ：业( 3 。1 ) l i i f 欧氏几何中由式( 3 1 ) 定义的拓扑维都是整数。但若将式( 3 1 ) 作为维数的定 义，对其不加以取整数的限制，我们则向前完成了一次“飞跃”。下面把这样推广 定义的维数称为分维，用大写字母d 来表示： d ：业( 3 2 ) l n f 式中的? 是变换倍数，我们可以把它看作是函数关系中的自变量，而n 是得到的 结果，它是自变量的函数，即n = 厂u ) 。最常见的函数关系有线性关系、指数关 系和幂指数关系，它们分别对应c ，+ d n c ( 3 3 ) 式中c , d 皆为常数。从上面变换哕的讨论可知。与分维定义有关的函数关系是幂 指数关系，简称幂率。当我们研究分形与分维问题时，最常用到的是双对数坐标。 若在分维的基础上更进一步，即可引出分维的概念：维数的定义都是基于用 尺度占进行量度的思想。对每个占，忽略尺寸小于艿时的不规则性来测量集合并 察看艿- 9 0 时这些测量值的状况。 假设f 为平面曲线，则测量值肘。( ，) 可用长为5 的集合度量整个f 所需的数 量决定。而f 的维数则由膨。( f ) 服从的幂定律( 如果有的话) ，即当万一0 ，若 对常数日和s ，有 matnhj(3-4) 这可说f 具有维数j ，而h 则可看成f 的“s 维长度”。取对数可得： l o g 肘j ( 叼l o g h - s l 0 9 8 ( 3 5 ) 在式( 3 5 ) 两端随着艿专0 ，而趋于0 的意义下。我们定义维d i m ( f ) 满足： d i r a ( f ) = t ，i 。m 甓笋 ( 3 - 6 ) 第三章分形理论与相关积分法用于电迁移噪声分析 1 5 如果极限存在，则d i m 称为f 的分形维。 从应用研究的角度考虑，人们发展出不同的分形维定义。常用的分形维数有： 容量维、信息维、关联维数、相似维数等等。本文后面所用的相关积分法所定义 的维数即为关联维数。其具体定义见3 1 3 节。 3 2 1 f 噪声的分形特性【矧 研究：f 噪声特性必须借助于噪声模型。l f 噪声模型大致可分为两类：物理 模型和统计模型。物理模型是建立在产生噪声的物理过程的微观研究理论之上的。 微观研究主要集中于产生噪声机制的微观细节和整体性质两个方面。统计模型 可分为三类：自回归滑动平均( a r m a ) 模型，分形积分模型和基于小波的模型。 其中分形积分模型是使用比较多的一种模型，分形布朗运动( f r a c t i o n a l b r o w n i a nm o t i o n s ) 模型( 简记为f b m ) 是其典型例子。f b m 模型是m a n d e l b r o t 和v a nn e s s ! 驯在布朗运动模型的基础上提出来的，它是布朗运动模型的推广。 定义1 ：满足下列条件的零均值随机过程称为布朗运动过程b ( f ) a ) 口( o ) = 0 ”十 b ) 口p ) 一占( j ) 是零均值的平稳正态过程，其方差与l t j l 成正比( j s ，) 。 c ) 丑( f 2 ) 一b 瓴) ，口也) - b ( t 2 ) ，口也) 一b 吒一1 ) 是相互独立的( t l r 2 ) b ) 和c ) 意味着布朗运动过程具有独立平稳的增量。布朗运动过程也称维纳 ( w i e n e r ) 过程。 定义2 ：给定一个常量0 h l ，那么具有h u r s t 参数日的分形布朗运动 。ai 易( f ) 为： 酬=点陋一s内柏+lhiir雠) c 蚓( h + 二、l j 其中，b ( s ) 为布朗运动。从这个定义可以看出，分形布朗运动过程是布朗运动过 程的日一要次分形积分。当日：丢时，嵋( ，) 即等于普通布朗运动过程曰( f ) 。其中 h u r s t 参数h 大体上代表了分形布朗运动过程的特性。f b m 模型可以被看作是白 t ，i 噪声的滑动平均( m o v i n ga v e r a g e ) ，其中过去的增量通过核o s ) “2 被加权。f b m 具有如下经验形式的功率谱密度： s - - - 1 1 1 1 7 ( 3 8 ) 1 6 金属互连电迁移可靠性的新表征参量研究 其中，= 2 h + l ，即具有i f 功率谱密度的形式。当0 h l 时，l ， 3 当 疗= 寺时，y = 2 ，因此p 跏运动模型只描述了l 1 8 混沌系统 可见，分维值确实能反映并刻划系统的复杂度。 3 3 1 相关积分法用于电迁移噪声分析 i v a no s o r i o 等人”1 提出，在他们的癫痫患者脑电波分析试验中，相关积分 值与( r a ) ”成比例，其中，m 是嵌入维数，a 是信号幅度。我们通过对样品n 1 的 实验数据分析，同样发现，电迁移的相关积分值满足同一规律。如图3 i ，随老 化时间的增长，信号幅度a 增大，相关积分值减少，同时( r a ) 0 5 时为非高斯的。通常认为l f 。是由多个弛豫过程形成的，在 许多实际的物理情况下和在许多复杂系统中，电学参量的涨落并不是服从高斯分 布，因为引起涨落的因素并不一定相互独立，而是具有一定的相关性i 柏】。 在信号处理理论中，有许多方法可以检验信号的非高斯性，例如图示法，j 2 一拟合检验，偏度峰度检验等。本文所采用的高阶统计量法是近年来应用十分广 泛的一种检验信号非高斯性方法。人们对高阶统计量的研究已有几十年的历史， 但直到8 0 年代