（电力电子与电力传动专业论文）非线性系统h∞控制及混合系统稳定性分析.pdf

上海交通大学硕士学位论文 h 。c o n t r o lo fn o n l in e a rs y s t e m sa n d s t a b l l i t ya n a l y s l so fh y b r l ds y s t e m s a b s t r a c t a l t h o u g ht h i sp a p e rm a i n l yi n t r o d u c e sh 。c o n t r o lo fn o n l i n e a r s y s t e m sa n ds t a b i l i t yo fh y b r i ds y s t e m s i ti n c l u d e st h eo m e r c o n t e n t s t h em a i nc o n t e n t si nt h i sp a d e ri sa sf o l l o w s ： ( 1 ) o b s e r v e rd e s i g n i n go f g e n e r a ls h i ps y s t e m b a s e do n s t a b i l i t y t h e o r e mo fn o n l i n e a rb i gs y s t e m ，i tu s e sm a i n l yt h es t a b i l i t yt h e o r yo f t h en o n l i n e a rb i gs y s t e mt od e s i g nt h eo b s e r v e ro f t h eg e n e r a ls h i pm o d e l ， w h i c hi san e wt h i n kt ot h eo b s e r v e rd e s i g n i n ga b o u tt h eg e n e r a ls h i p m o d e l t h en e wt h i n km a i n l yc a r lo m i tt h en o n l i n e a rs y s t e mp a r to ft h e o b s e r v e r se r r o rm o d e lb yu s i n gt h es t a b i l i t yt h e o r yo ft h en o n l i n e a rb i g s y s t e m f i r s t ，w ei n t r o d u c et h es t a b i l i t yt h e o r yo f t h eg e n e r a ln o n l i n e a r b i gs y s t e m s u b s e q u e n t l y , t h es h i pm o d e la n dt h ec o r r e s p o n d i n go b s e r v e r a r ea l s oi n t r o d u c e d ( 2 ) r e g i o n a lh 。c o n t r o lo fm i m o a f f i n en o n l i n e a rs y s t e mw i t h u n c e r t a i n t i e sv i as t a t ef e e d b a c k t h e h 。c o n t r o lp r o b l e m o fa f f i n e n o n l i n e a rs y s t e m sw i t hu n c e r t a i n t i e si ss t u d i e d ar o b u s tc o n t r o l l e ri nt h e f o r mo fs t a t ef e e d b a c ki sc o n s t r u c t e df o ra s y s t e m w i t hc e r t a i n m i s m a t c h i n gu n c e r t a i n t i e ss u c h a st h a t c o r r e s p o n d i n gc l o s e ds y s t e m i s a s y m p t o t i c a l l ys t a b l ea n di t sl 2g a i ni s l i m i t a b l e a ne s t i m a t i o no ft h e a t t r a c t i v ed o m a i ni sg i v e n ( 3 ) an e w 日。s w i t c h i n g c o n t r o lo f n o n l i n e a rs y s t e m s 。t h i s p a p e r i s c o n c e r n e dw i t ht h ep r o b l e mo fh 。c o n t r 0 1f o ra f f i n en o n l i n e a rs y s t e m s an e ws t a t ef e e d b a c k s w i t c h i n g c o n t r o l l e ri s d e s i g n e d s u c h t h a t c o r r e s p o n d i n gc l o s e d l o o ps y s t e m i sa s y m p t o t i c a l l ys t a b l ea n di t sl 2 - g a i n i sb e l o wap r e s p e c i f i e dv a l u e f 4 ) ah a wr o b u s ts t a b i l i t ya n a l y s i so f n o n l i n e a rs w i t c h i n gs y s t e m s ac l a s so fn o n l i n e a rs w i t c h e ds y s t e m si sc o n s i d e r e d a n das u m c i e n t c o n d i t i o no fr o b u s ts t a b i l i t yi sg i v e n t h ep r e s e n t e dr e s u l t sa r em o r e p r a c t i c a lt h a nt h ee x i s t i n gs t a b i l i t ya n a l y s e s f 5 1d e s i g na n dp e r f o r l t l a n c ea n a l y s i so fad i r e c ta d a p t i v ec o n t r o l l e r f o rh y b r i ds y s t e m s ad i r e c ta d a p t i v ec o n t r o l l e ri sd e v e l o p e db a s e do n m u l t i l a y e rn e t w o r k sf o rac l a s so fh y b r i ds y s t e m s t h es y s t e mt r a c k i n g e r r o ri sp r o v e nt oc o n v e r g et oas m a l ln e i g h b o r h o o do fz e r o ，w h i l et h e s t a b i l i t y o ft h e c l o s e d l o o ps y s t e m i s g u a r a n t e e d t h e t r a n s i e n t 上海交通大学硕士学位论文 p e r f o r m a n c e o ft h er e s u l t i n g a d a p t i v es y s t e m i sa n a l y t i c a l l yq u a n t i f i e d ( 6 1o b s e r v e rd e s i g nf o rh y b r i ds y s t e m s w ei n t r o d u c et h es u f f i c i e n t a n dn e c e s s a r yc o n d i t i o n st h a te n s u r et h ee r r o rs t a t ev a r i a b l ew h i c hi st 1 1 e e r r o rb e t w e e nt h es t a t ev a r i a b l eo ft h eh y b r i d s y s t e ma n dt h e s t a t e v a r i a b l eo ft h ea s s o c i a t eo b s e r v e rs y s t e mt ob es t a b l ei nt h e 1 a r g e e x t e n s i o n t h ec o n d i t i o n sa r et h a tt h e r ee x i s t sap o s i t i v em a t r i xwf o ra l l s u b s y s t e m i nh y b r i d s y s t e mw h i c h m e e t ss o m ec e r t a i nm a t r i x i n e q u a l i t i e s c o n s e q u e n t l y , am e t h o dt o s o l u t et h e p o s i t i v em a t r i x w ，t o c o n c l u d e w h e t h e rt h e r ee x i s t sawa n dt og e tt h ep a r a m e t e r so f t h eo b s e r v e rs y s t e m s t r u c t u r ei sg i v e n k e yw o r d s r e g i o n a l s t a b i l i z a t i o n ，h o 。t h e o r y , n o n l i n e a rs w i t c h i n g s y s t e m s ，s w i t c h i n gs e q u e n c e ，s w i t c h i n gt i m e ，r o b u s ts t a b i l i t y - 海交通大学颀士学位论文 第章引论 1 1 非线性控制系统概述 第一章引论 许多控制系统都具有非线性特性例如随动系统的齿轮传动具有齿隙和干磨 擦等，许多执行机构都不可能无限制地增加其输出功率，因此就存在饱和非线性 特性。以上所举的例子中的非线性是由于系统的不完善而产生的，这种不完善 实际上是不可避免的。有些非线性是系统动态特性所固有的。例如高速运动的 机械手各关节之间有哥氏力的耦合，这各耦合是非线性的，如果要研究机械手 高速运动的控制就必须考虑非线性耦合。电力系统中传输功率与各发电机之间 相角差的正弦成正比，如果要研究电力系统中的大范围运动时，就必须考虑非 线性特性的影响。还有一类对象本身是非线性的，但为了对它进行高质量的控 制，常常在控制系统中有意识地引进非线性的控制规律。例如时间最短控制就 要采用b a n g b a n g 控制，它是非线性的。严格来说，非线性特性是普遍存在的， 非线性系统才是最一般的系统，线性系统只是其中的特殊例子。非线性特性千 差万别，不可能有统一的普遍适用的处理办法。而线性系统则大为简单，可以 用线性常微分方程来描述。解线性常微分方程已有成熟的方法。因此线性控制 理论取得了很大的成就。对比之下非线性微分方程只有在个别情况下才有解析 解。这给非线性控制系统的研究带来极大的困难。 非线性系统和线性系统之间的本质差别可概括为以下两点： 1 对于线性系统重叠原理可以应用，对于非线性系统因为特性不是线性 的，因此重叠原理不能应用。对于重叠原理可以应用的系统，分析大为 简单，小信号和大信号作用下的结果应该致。对于重叠原理不能应用 的系统，分析大为复杂，大信号和小信号作用的结果可以大不相同。 2 一般来说对于非线性系统不能求得完整的解( c l o s e df o r ms o l u t i o n ) ， 目前的数学工具还远远不够。因此一般只能对非线性系统的运动情况作 一些估计，例如对系统的稳定性，动态品质等作出一些估计。 我们知道线性控制系统中的运动只可能有几种情况：如衰减的或发散的振 荡的或不振荡运动，或临界的振荡等等。非线性系统中的运动要复杂的多，可 以是振荡的或不振荡的过程，这种振荡严格来说不一定能用调和函数来表示； 可以是稳定的或不稳定的，这种稳定可以是全局的，也可以是局部的；可以出 现振荡的极限环，这种极限环可能有多个：还可能出现混沌( c h a o s ) 现象，既非 稳定的极限环，又非无限制的发散。总之，非线性系统中的现象要复杂的多。 由于许多控制系统中都有非线性，有些非线性对系统的运行是有害的，应 上海交通大学硬士学缱论文第一章引论 设法克服它的有害影响。有些非线性是有益的，应在设计时予以考虑。因此从 事控制工作的工程师和研究人员早就对非线性控制系统的研究予以很大的关 注。多年来在这方面已经积累了许多成果。但由于非线性系统的复杂性，在这 方面的研究工作有相当的困难，因此研究成果还远不能满足实际需要，在这方 面有待研究的问题还很多。近年来由于工程实际的需要以及人们对提高控制系 统智能化程度的重视，研究工作者对非线性系统理论给予很大的关注，希望能 够取得新的重要进展。 前面提到的非线性是普遍存在的，线性系统只是一个特例，但这决不能贬 低线性系统理论的重要性。线性系统理论仍然是系统理论的基础。许多非线性 系统的极限或临界情况是线性系统，许多非线性系统是由线性系统组合，引伸 或改造而来的。因此研究非线性系统理论应首先要对线性系统理论有较深入的 了解。事实上许多非线性系统的分析方法要借助于线性系统理论的成果。 1 2 非线性控制系统的数学方程 对于非线性系统人们常常采用微分方程或非线性算子方程来描述，本节介 绍非线性控制的微分方程描述方法。 相当广泛的一类非线性系统可用”阶常微分方程来描述， 型d t 呲m 她，铲，砸) 伽， ( 12 1 ) 其中”( f ) 为输入，y ( f ) 为输出。若定义 x ( ，) = y ( f ) ， x ：( f ) = y ( ) 一一一一一一一一一 一 “一 一一 一 上海交进大学硕士学位论文 第一章引论 x ( t ) = x 1 ( 吼，x 。( f ) r ， f ( t ，x ，1 1 ) = 【x 2 ，x 3 ，x n ，h ( t ，x l ，h ，”) 7 ， 则( 1 2 2 ) 方程组可写成向量微分方程的形式： x ( t ) = f t ，x ( f ) ，( f ) ，t 0( 1 _ 2 3 ) 式中x 为状态向量，x 。至为其状态变量在上面的推导中设u ( t ) 为单变量，若 系统中有多个输入，则式( 1 2 3 ) 的形式仍然可用，些时，( f ) 为向量 今后我们就用式( 1 2 3 ) 来描述一般非线性控制系统 对于一个用式( 1 2 3 ) 来描述的非线性控制系统，我们希望对于每一个输入 甜( ) 以下情况得以成立： ( 1 ) 式( 1 _ 2 3 ) 至少存在一个解( 解的存在性) ， ( 2 ) 式( 1 2 3 ) 只存在个解( 解的唯一性) ， ( 3 ) 对于时间半轴 o ) 上式( 1 2 3 ) 只存在一个解， ( 4 ) 在 0 ，m ) 轴上式( 1 2 3 ) 只存在一个解，而且这个解与初值x ( o ) 存在连 续变化的关系。 以上是我们的期望，这些要求是相当强的，只有对厂函数提出相当严格的 要求才能实现一般情况下方程式的解即使存在也是表达不出来的，只能对它进 行近似的估计或数值计算。 式( 1 2 3 ) 代表最一般化的非线性控制系统方程。如果厂函数与t 无关，则 称此系统为自治( 驻定) 的，否则称为非自治的( 非驻定) 的。 女口果”( ，) = 0 贝4 z = f t ，z ( ，) ，o z ( o ) = z o ( 1 2 4 ) 代表系统的自由运动。 在许多控制系统中输入量u ( t ) 可以从函数，中分列出来，此时系统方程可写 成以下形式： x = a ( t ，x ) + b ( t ，x ) u ( t ) ( 1 2 5 ) 称这样的系统是仿射的。它代表相当广泛的一类非线性系统，这类系统有其自 身的特点。 对于系统( 1 2 4 ) ，若x 。r ”，并且 f ( t ，x o ) = 0 ，v t t 。 则称z 。是系统( 1 2 4 ) 的平衡点如果x 。是扛t 。时的平衡点，则也是任一，t ， 时的平衡点。对于自治系统当然就不必指出平衡点和时间的关系。对于非自治 系统这就很重要了。如果x 。r ”是系统( 1 2 4 ) 在t = t 。时的平衡点，则在 型塑垒生垦整堑查丝鳖苎 蔓= 童! ! 鲨 f 1 f o 时 x ( t ) = f t ，x ( 吼t t 1 ；x ( t 1 ) = x o 将以x ( f ) = x o ，v t t ，为其唯一解 对于线性系统平衡点总是唯一的，对于非线性系统情况则不同。于是我们 给出以下定义： 如果在f 0 时刻x o 是系统( 1 2 4 ) 的平衡点，且在x 。的领域没有其他t = t o 时 刻的平衡点，则称x 。是孤立的平衡点 1 3 关于非线性常微分方程的解的存在性及唯一性 上节中提出对于非线性控制我们要求系统方程是有解的，解是唯一的，这 一问题很重要。本节将不加证明地介绍这方面的一些基本知识。我们讨论方程 ( 1 2 4 ) 的解的存在性及唯的条件。分两种情况： 1 局部解情况 定理1 3 1 如果式( 1 2 4 ) 中的，对t 和x 是连续的，若存在正常数 丁，h ，k ，使得 ( 1 ) 1 t f ( t ，x ) 一f ( t ，y ) 1 i , l l x y l l ，v x ，y b ，v t o ，r 】， ( 1 3 1 ) 其中b = x r ”；1 1 x 一| i ，) 代表尺”中的一个球， ( 2 ) f i f ( t ，x 。) l 矗，v ， o ，】 则在满足以下条件的艿的区间 0 ，翻中式( 1 2 4 ) 有一个唯一解。j 应满足的条 件是 h s e x p ( k 8 ) r ， ( 1 3 3 ) 万m i 咿，詈，志) 小1 ， ( 1 3 4 ) 定理中所列式( 1 3 1 ) 称为l i p s c h i t z 条件，k 称为l i p s c h i t z 常数式( 1 3 1 ) 表明只在局部区间满足l i p s c h i t z 条件，因此所讨论的解也是局部的 由定理1 3 】可得以下结论： 推论1 3 2 如果在( 0 ，x 。) 的邻域，对r 偏导数存在并连续，对t 的单边的 偏导数存在并连续，则式( 1 2 4 ) 在相当小的区间 0 ，们内存在唯一解。 2 全局解情况 定理1 3 3 如果在t 【o ，o 。) 区间中均存在有界常数七，和，使得 ( 1 ) i f ( t ，x ) 一，( f ，y ) 0 k t i l x y l l w ，y r n , v t 【o ， ， ( 1 3 5 ) ( 2 ) i i f ( t ，x o ) l l 吩，v t o ，刀， ( 1 。3 6 ) 丛墼塑2 曼墅塑丝女堡 差二重量! 堕 则式( 1 2 4 ) 在【o ，即，v t 【o ，) 区间内存在唯一解。 这里式( 1 3 5 ) 称为全局l i p s c h i t z 条件。粗略地说，如果系统在全局范围 内满足l i p s c h i t z 条件，则在全局范围内，在区间 o ，。o ) 内系统有唯一解。 定理1 3 4 如果函数，满足定理1 3 3 中所规定的条件，设z ( ) 和y ( ) 均 满足式( 1 2 4 ) ，即 x ( t ) = f t ，x ( f ) ，x ( o ) = x 。 y ( t ) = f t ，j ，( f ) 】，y ( o ) = y 。 则对每一占 0 ，存在相应的占( 占，乃 0 ，只要 i p 。- y 。j l 0 是系统( 1 4 2 ) 的有限动态性。 可控混合系统可表示如下： 叫? ) = ，( f ) ，9 0 ) ，甜o ) ) ，9 0 ) = v ( 石( f ) ，q ( t 一) ，甜( f ) ) ， ( 1 4 3 ) 这里所有的如1 4 2 ，g p , , y “( f ) r ”之外。 侈0 子x l = x 2 ，x 2 = 一a ( x 2 ) 十 】( 1 十v ) ，这里“【o ，1 ，v 1 1 , 2 ，3 ，4 】 篓堕望旦兰塑望! 竺望羔二苎三兰兰垩堂堕查塑塞竺垦! ! 竺竺堡型至竺竺堡坌壅垫 第二章李亚谱诺夫稳定性及非线性控制系统的微分变换 2 1 李亚谱诺夫稳定性定义 记x 7 叫x ：，矗。 ，则= i 羔x 川称为状态x 范数。设 y 2 a ，z 蜀，y r 2 ，r 一和马为不周的线性空间，为线性变换，则定义矩阵丁 的范数为l | 戥忆口其中口为最小的正数。 设系统方程为 y = r ( y ，t ) ，( 2 1 1 ) 设它有解y = 厂( f ) 用y ( f ) 表示任一由初值y ( “) = y 。确定的式( 2 1 1 ) 的解。 稳定性定义若对所有的f o ，均可有巧 o ，使得不等式f f y ( f 0 ) 一f ( t 。) i | 0 k = c o n s t 系统( 2 4 2 ) 称为系统( 2 4 1 ) 的第一次近似。现在给出这样的命题：由第一次 近似的渐近稳定或不稳定推出原系统的渐近稳定性或不稳定性。 定理2 4 1 ( 第一次近似的稳定性定理) 若第一次近似的系统的特征根均具 有负的实部，则系统( 2 4 1 ) 的零解是渐近稳定的。 定理2 42 ( 关于第一次近似的不稳定性) 第一次近似的系统的特征根只要 有一个根的实部是正的，则系统( 2 4 1 ) 的零解就是不稳定的。 2 5 基于非线性大系统稳定性的通用船泊系统观测器设计 本节应用非线性大系统的稳定性定理来作为通用船帕系统观测器设计的理 论基础，即根据它来确定观测器的系统参数，从而得出通用船帕系统观测器设 计的一种新思路。它在于把观测器误差模型中的非线性环节采用大范围稳定定 理给屏敝掉。首先介绍了非线性大系统的稳定性定理及船泊系统的模型介绍， 并给出了观测器的设计，最后仿真工作验证结果的有效性。 2 5 1 非线性大系统的稳定性 假设系统方程如下： x ，= a x ，+ ，( ，x ，_ ，x 川，x 。) ，i = 1 ”，h ， ( 2 5 1 ) x ，r “，4 r 。， 假定4 为稳定矩阵，f a x ，x 。) 与x ，无关，表示第i 个子系统与其它子系统的 联系。设 第二章李亚谱诺夫稳定性及非线性控制系统的微分变换 i i f , i - - - 。h o ( 2 5 2 ) 分析线性子系统 x ：a ，x ， ( 2 5 3 ) 由已经各线性子系统都稳定。设李亚谱诺夫函数 = x j 只x ，且4 j 只+ 只爿，= 一q ， 设 旯。x i2 一 0 是一个标量。 铲= v 一，b = b - b ，孑= 占一善，彳= 叩一本。仉= 占7 ，r 1 7 】，彳o = r o 一辛o 则系统状态变量误差方程为： 玩= ( a o 一。7 r c o ) 玩+ b o j ( 力万，b = - t 1 6 一二a c o 玩， 古；一m 一- d f + m 一，j ( y ) i m - 三j r ( y 埘c 。硫， ( 2 5 9 ) 4 。= 苫： ，。，b 。= ； ，。，c 。= 旷，l 。，k = 套： 。， 命题2 5 1 增益矩阵k 的选择是保证a 。一k c o 是稳定矩阵。 定理2 5 1 系统( 2 5 1 0 ) 是零解大范围内稳定的充分条件是，如下的矩阵a 是稳定矩阵。其中 a = 1 2 旯1 2 2 1 2 2 2 强 l 1 i 2 驾2 1 。2 i l 0 1 2 1 ， 2 置：，三 a 2 2 石：，： 如1 0 1 2 1 3 2 ( 2 5 1 1 ) 证明：在这里， 取q = ，9 x 9 ，q 2 = q ，= ，础，则一= l ，i = 1 , 2 ，3 ， 令 x = 硫，x ：= i ，b = 矿代表三个子系统的状态变量。厶，i = 1 , 2 ，3 = l ，2 的含义 如第一部分所述分别是对应的线性系统 x 1 = ( a o k c o ) x l ，x 2 = 一t - x 2 ，x 3 = 一m d x 3 的李亚谱诺夫函数中正定矩阵只，最，b 的最大特征值及最小特征值。 = 慨l ，( y ) 硎= 慨j ( y ) x ，忙1 1 3j x ，1 1 = 峙a c 涡川州i l 帆6 = m 。) f 一汐( y ) kc o 硫| l j i m - , j , c y ，x ：1 1 + l l m 。吾，7c y ，k c 。x ，0 1 3 1 忱1 1 + 1 ，：t l x ：0 苎苎型型竺竺篓苎 兰三兰圭垩塑堕查堡室竺垦! ! 些竺堡塑至竺塑堕坌皇垫 由于：肌圳l = 1 ，所以： ：。，f 2 s 乩k = h = | | f c 0 ：= 。= 卜书l c 。i i 把上面各式代入引理中，即( 2 5 7 ) 式即可。 讨论：本文的关键就在于把观测器中的非线性环节j ( _ y ) ，j 7 ( y ) 化简掉。 2 5 3 实例及仿真结果： 仿真研究建立在以下的船泊模型： m = 5 3 1 2 2 】0 6 o 0 o 8 2 8 3 1 1 0 6 o 0 2 7 2 2 9 1 0 5 4 3 9 3 3 1 0 。 1 0 0 0 00 t = l01 0 0 00 001 0 0 0 o 0 3 7 4 5 4 1 0 9 0 一4 3 9 3 3 1 0 6 4 1 8 9 4 1 0 8 r = o 1 1 3 。，0 2 1 3 。3 】 。l 0 ，m q 。k 引 q 2 i = - d i a g w ；l ，w 0 2 2 ，2 3 ) ，q 2 2 = 一d i a g 2 亏1 w 2 4 2 w 0 2 ，2 氏w 0 3 ) 取告，= 0 1 ，j m = 0 8 9 7 6 ，i = 1 , 2 ，3 ，k = 1 0 “ lo 01 00 1o 0l o o r = l 对k 的选择要求a 。一k c 。是稳定矩阵，所以对a 。7 一c o k 进行极点配置为一 0 1 ，一0 1 1 ，一0 1 2 ，一0 1 3 ，- 0 1 4 ，一0 1 5 ，一0 1 6 ，一0 1 7 ，- 0 1 8 ：通过计算得出式( 1 1 ) 中的 a的特征值是：一0 0 0 0 0 0 2 0 2 0 2 9 3 4 0 ：一0 0 0 1 0 0 5 9 8 9 6 1 3 8 9 ：一 0 0 0 1 4 8 1 8 5 7 1 5 1 9 1 ，所以是稳定矩阵，这时系统( 1 0 ) 是零解大范围稳定以下是仿 真结果，仿真的输入控制是： 1 0 0 0 s i n ( 0 0 5 0 1 0 0 0 s i n ( 0 1 0 10 0 0s i n ( 0 0 7 t ) ，r i o 的初值为 1 ，2 ，一1 ，一2 ，一1 5 ，一0 5 ，3 0 ，4 0 ，o 1 ，6 的初值是 一5 0 ，5 0 ，1 0 0 7 ，v 的初始值是 2 ，3 ，5 ：厅。的初始值是e o ，0 ，0 ，0 ，0 ，0 ，0 ，0 ，o n6 的初始值是 0 ，0 ，0 3 ：的初始值是 0 ，0 ，0 3 1 - 1 2 - 酽2 0 0 - 斗2o5 _l | j d o = a 1l，llj o o l 第= 章李亚谱诺夫稳定性爱非线性控制系统的微分变换 硫( f i g u r e2 - 1 ) ( 图2 - 1 ) b ( f i g u r e2 - 2 ) 图2 2 ) 2 6 非线。眭控制系统的微分变换 铲( f i g u r e2 - 3 ) ( 图2 3 ) 本节将讨论如下称之为仿射非线性系统的控制系统： l x = 厂( x ) + g ( x ) u = 厂( x ) + g ，( x ) “；， - # 1 y = h ( x ) 或y ，= ，( x ) ，j = 1 ，p ( 2 6 1 ) 其中x m ，1 l u ，y y ，m ，u ，y 分别是r i , ，p 维微分流形。我们将讨论系统 ( 6 】4 ) 的微分变换。 2 6 1 单输入单输出系统 考虑( 2 6 1 ) 的特殊情况即单输入单输出系统 x = ，( x ) + g ( x ) u ， y = a ( x ) ， ( 2 6 2 ) 其中“，y r ，x x ，一个n 维微分流形，厂，g 为 维向量场，h 为光滑函数。 定义2 6 1 设x ，如果存在x 。的邻域y 及正整数，使( 2 6 2 ) 满足条件 ( 1 ) 上，口 ( x ) = 0 ，v x v ，0 k r l ； ( 2 ) 上g 三7 1 办( z ) o ，v x v ， 则称( 2 6 2 ) 在点具有相对阶( r e l a t i v ed e g r e e ) r 。 如果系统( 2 6 2 )具 有相对阶 r n ， 令 矾( x ) = ( x ) ，声2 ( x o = l ( x ) ，妒，( x ) = t r - - 1 h 如果r n 则总可以找到n r 个函数 。( x ) ，妒。( x ) ，使矿( x ) = ( 氟，妒。) 7 ，在点的j a e o b i 矩阵是非奇异的。显然只 要使的j a c o b i 矩阵在点非奇异即可，于是驴。，丸的选取是任意的，特别 地，可以取咖，以使。以( x ) = o ，搬矿( y 是x o 的某个邻域) ，r + 1 i ” 兰坚塑堑箜塑要圭堂! i ! 鲨 兰三皇兰垩堂堂查堡塞堡垦! ! 竺堡堡型至竺塑塑坌变垫 如果系统( 2 6 2 ) 具有相对阶，聆，则存在局部坐标变换z = ( x ) 使( 2 6 2 ) 在z 坐标下有如下形式 z 1 = a z l + 曰 ( z ) + f l ( z ) u ) ， z 2 = 9 0 ) ，y = z ，( 2 6 3 ) 其中z l = c z 。，z ，7 ，z 2 = c z 。，z 。，7 ，4 = ：。i 1 ，b = 0 0 1 ，f l ( z ) 0 26 2 多输入多输出系统 考虑( 2 6 1 ) 并重写为 x = ，( x ) + g ( z 如= ( z ) + g ，( x ) ， i = l y ，= h j ( x ) ，j = 1 ，m ( 2 6 4 ) 注意这里考虑的是输入与输出数相等的情况，若输入数与输出数不相等，则问 题的表述要困难得多。 定义2 6 2 给定x 。x ，如果存在x 。的邻域矿及整数向量( ，) ，o ) 使满 足： ( 1 ) l 。，l ；_ ( x ) = o ，v x v ，1 ，m ，1 f 聊及0 k l 一2 ( 2 )矩阵 爿( r ) 三9 1 三厂1 h i ( x ) g 上7 一h 2 ( r ) 三g 。上r l h i ( r ) 上，一h 2 ( r ) 自工夕一h m ( x )l g 。h m ( x ) ( 2 6 5 ) 是非奇异的，协v ，则称系统( 2 6 4 ) 具有相对阶( 1 ，2 ，) ，( v e c t o r r e l a t i v e d e g r e e ) 。条件( 2 ) 也可写成a ( x o ) 非奇异。 令矗j ”1 = 巧h j ，i = 0 , 1 。，o 一1 = 1 ，卅。显然r = r f 打，任意选取”一，个 i = 1 光滑函数 办“，办 便光滑映射 ( r ) ：臼o ) ，卵( x ) ，站( x ) ，柏一( x ) ，办小，九( x ) r 在附近是局部微分同 胚。 设( 2 6 4 ) 在x o 点具有相对阶( 1r ，) ，则存在z o 的某个邻域内的局部坐标 变换z = ( x ) 使( 2 6 4 ) 有 苎苎兰丝苎兰型些i 丝 苎三兰! 垩堂堕墨塑墨! 坚! ! 垡竺丝型至笙塑堂坌壅垫 z 1 = a z l + 占( 口0 ) + ( z 弦) ， o o 1 ，c = “1 刁= ( 1 ，o ，o ) 1 。 口( z ) = 啊( x ) 一，夕h m ) ) | ，却一。( 。) ，f l ( z ) = 4 ( y ) f 。一( ：) ，爿 ) 是式( 2 6 5 ) 给 出。 z 1 = ( 2 1 ，z ，) 7 ，z 2 = ( z ，+ l ，z 。) 7 ，r = l i = i 定义2 6 3 设a c c ”为光滑向量场的集合，垤x ，( r ) c l z ，即a ( x ) 为 r 点切空间的子集。如果v r x ，( y ) 为l x 的子空间，则称a 为光滑分布 ( s m o o t hd is t r i b u t i o n ) 。 如果f 在局部坐标 h ，。) 7 中表示为f = ( 2 5 ，厶) 7 ，则在坐标 ( 。l ，x 。) 7 中j f o ) 可表示为 州班f 引： l 哆，j 。 萌e q 虢e q 萌a c 。 魏e c 。 囝0 e c l0 e c 。 这里j f ( y ) 称为，在点工的雅可比矩阵( j a c o bj ) 。 如果在某局部坐标下，光滑向量场f ，g c 。有局部坐标表示 厂= ( ，l ， ) 7 ，g = ( 9 1 ，g 。) 7 ，则定义运算l 】如下： 厂，g 】- 拿，一錾g ， ( i x 其中孥，喜表示，g 的雅可比矩阵。 聊 至三 ( = ； q 一一p，。，l y = 虬 口 户 珥 - 1 比 o + ， 2 ， o o z r，fl ， 1 i 如 4 jjl，ii一 户 靠 4 4 = 4 6 中心其 = 圭鲎茎望查兰堡兰竺! ! ! 鲨 兰三兰兰垩堂堂查整塞竺垒! ! 些堡堡型至竺塑墼坌窭堡 定义2 6 4 如果一个光滑分布具有性质v r l ，f