（应用数学专业论文）广义正定矩阵的研究.pdf

电子科技大学硕士学位论文 广义正定矩阵的研究 摘要 本论文比较系统地研究了实对称正定矩阵、h e r m i t e 正定矩阵和两类广义正 定矩阵亚正定矩阵和复正定矩阵的基本性质尤其是它们的若干充分和必要 条件，最后还讨论了这四类正定矩阵之间的关系。 第一章：除引入h e r m i t e 矩阵、h e r m i t e 正定矩阵和实对称正定矩阵较重要 的性质外，还建立了它们的其它一些重要性质，尤其较全面地总结和建立了它们 的若干充分和必要条件； 第二章：建立了亚正定阵的一些重要性质，给出了实方阵的特征值实部和虚 部的表达式，并导出了实方阵的特征值范围尤其是导出了其虚部范围，同时着重 较全面地总结、建立和推广了亚正定阵的若干充分和必要条件 第三章：建立了复正定矩阵的一些重要性质，给出了复方阵的特征值实部和 虚部的表达式，并导出了复方阵的特征值范围，同时着重较全面地总结、建立和 推广了复正定矩阵的若干充分和必要条件； 全文小结：从集合论的观点出发，对己讨论过的四类正定矩阵实对称正 定矩阵、h e r m i t e 正定矩阵、亚正定矩阵和复正定矩阵之间的关系作了比较细致 的论证与探讨。 关键词：h e r m i t e 矩阵，h e r m i t e 正定矩阵，实对称正定矩阵，亚正定矩阵，复正 定矩阵，s c h u r 补，主子阵，特征值 电子科技大学硕士学位论文 r e s e a r c ho ng e n e r a l i z e dp o s i t i v ed e f i n i t em a t r i c e s a b s t r a c t i nt h i sd i s s e r t a t i o n , w es y s t e m a t i c a l l yd i s c u s st h ef u n d a m e n t a lp r o p e r t i e sa n dt h e n e c e s s a r y a n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o n so fr e a l s y m m e t r i cp o s i t i v e d e f i n i t e m a t r i c e s ，h e r m i t i a np o s i t i v ed e f i n i t em a t r i c e sa n dt w ot y p e so fg e n e r a l i z e dp o s i t i v e d e f i n i t e m a t r i c e s _ m 或a p o s i t i v e d e f i n i t em a t r i c e sa n dc o m p l e x p o s i t i v e d e f i n i t e m a t r i c e s f i n a l l y , w ed i s c u s st h er e l a t i o na m o n gt h e s ef o u rt y p e so fp o s i t i v ed e f i n i t e m a t r i c e s i nc h a p t e r1 , w eg i v es o m eo t h e ri m p o r t a n tp r o p e r t i e so t h e rt h a ni n t r o d u c i n g s o m ei m p o r t a n to n e sa b o u th e r m i t i a nm a t r i c e s ，h e n n i t i a np o s i t i v ed e f i n i t em a t r i c e s a n dr e a ls y m m e t r i cp o s i t i v ed e f i n i t em a t r i c e s e s p e c i a l l y , w es u m m a r i z ea n de s t a b l i s h s o m eo f t h e i rn e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o n sr o u n d l y i n c h a p t e r2 , w eg i v e s o m e i m p o r t a n tp r o p e r t i e s o fm e t a p o s i t i v ed e f i n i t e m a t r i c e s ，t h ee x p r e s s i o no f r e a la n di m a g i n a r yp a r ta b o u te i g e n v a l u e so fr e a ls q u a r e m a t r i c e sa sw e l la st h er a n g eo fe i g e n v a l u e so fr e a ls q u a r em a t r i c e s ( e s p e c i a l l yt h e r a n g eo ft h e i ri m a g i n a r yp a r t ) o nt h eo t h e rh a n d , w es n mu p e s t a b l i s ha n de x t e n d s o m en e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o n so f m e t a p o s i t i v ed e f i n i t em a t r i c e sr o u n d l y i nc h a p t e r3 , w eg i v es o m ei m p o r t a n tp r o p e r t i e so fc o m p l e xp o s i t i v ed e f i n i t e m a t r i c e s ，t h ee x p r e s s i o no fr e a l a n di m a g i n a r yp a r ta b o u te i g e n v a l u e so fc o m p l e x s q u a r e m a t r i c e sa sw e l la st h er a n g eo f e i g e n v a l u e so f c o m p l e xs q u a r em a t r i c e s o nt h e o t h e rh a n d ，w es u mu p ，e s t a b l i s ha n de x t e n ds o m en e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o n s o f c o m p l e xp o s i t i v e d e f i n i t em a t r i c e sr o u n d l y i ns u m m a r y , w ed i s c u s si nt e r m so fs e tt h e o r yt h er e l a t i o na m o n gr e a ls y m m e t r i c p o s i t i v e d e f m i t em a 慨s , h c r m i t i a np o s i t i v ed e f i n i t em a t r i c e sa n dt w ot y p e so f g e n e r a l i z e dp o s i t i v ed e f i n i t em a t r i c e s - - m e t a p o s i t i v ed e f i n i t em a t r i c e sa n dc o m p i e x p o s i t i v ed e f i n i t em a t r i c e s k e yw o r d s ：h e r m i t i a nm a t r i x ，h e r m i t i a np o s i t i v e d e f i n i t e m a t r i x ，r e a l s y m m e t r i cp o s i t i v e d e f i n i t em a t r i x ，m e t a p o s i t i v ed e f i n i t e m a t r i x ，c o m p l e xp o s i t i v e d e f i n i t em a t r i x ，s c h u rc o m p l e m e n t ，p r i n c i p a ls u b m a t r i x ，e i g e n v a l u e 电子科技大学硕士学位论文 独剖性声鬻 本人声明所呈交的学位论文是在导师指导下进行的研究工作及取得的研究 成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包括其他入 已经发表或撰警遘豹繇究残果，纛不包含为获褥毫予稀缓大学蕺萁毽教鸯掇橡夔 学位或证书丽使用过的材料。与我同工作的同志对研究所傲的贡献均融在论文 中作了明确的说明并表示谢意。 签名；霹籁；年胃 e t 关于论文使用授权的说明 本学位论文的作者完全了解电子科技大学有关保黧、使用学位论文的规定， 畜权保整并羯嚣家毒关嫠门或辍掏送交谂文貔复露终秘皴盘，是诲论文被焱蕤嚣 借阅。本人授权电子科技大学可以将学位论文的全部或部份内容编入有关数据库 进行检索，盯以采用影印、缩印绒扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 签名：导拜签名： 日期：年月日 塞差翌篷查堂矍主整蕊塞 m 。( p ) c “ r ”避 a r _ 蠢 a 牵 冀( a ) 鼬a i m 五 d e t a r a n k a d i 域a l ，a 2 ，a 。) 符号 数域p 上n 阶方阵的集食 全体n 维复剃商量缎成静集合 众俸n 维实裂彝爨缝戏熬集台 炬阵a 的转鬣 辍菸a 豹共辍 艇阵a 的共辗转鬟，帮a ，= i 7 蠢薅a 翡特缀僮 笈数五的实部 簸数名的虚部 方簿a 约簿爱式 攮阵a 酶获 以8 1 , a ：，a 。必皇辩霆元静对蹙薄 a ( ：。k ) n 阶阵a 的符标为i t 如， 的行和列标为i t ，2 ， 燃畦 i 静弼( 箕中l 蔓i t o ，则称a 为复正定矩 阵( 注意这里的a 不一定是h e r m i t e 矩阵) ，但未对这类广义正定矩阵作进一步 电子科技大学硕士学位论文 的深入论证与研究。1 9 9 5 年，李俊杰在文献【1 2 】中对复正定矩阵的基本性质，特 征值分布，行列式估计，+ 相合意义下的标准型以及它们的h a d a m a r d 积和 k r o n e c k e r 积的正定性等作了较深入的讨论。研究复正定矩阵和研究亚正定矩阵 有一些类似的方法，这两者在性质和充分必要条件上也有一些类似之处。实际上， 复正定矩阵是本论文讨论的四类正定矩阵中概念最广泛的一类正定矩阵，它既可 以看作是h e r m i t e 正定矩阵的推广，也可以看作是亚正定矩阵的推广，实对称正 定矩阵、h e r m i t e 正定矩阵、亚正定矩阵都是它的特例，因此它的性质完全适用 于这三类正定矩阵，详情可以参看本论文第三章和全文小结。 2 本论文的主要工作 本论文比较系统、深入和细致地研究了实对称正定矩阵、h e r m i t e 正定矩阵 和两类广义正定矩阵亚正定矩阵和复正定矩阵的基本性质尤其是它们的若 干充分和必要条件，最后还讨论了这四类正定矩阵之间的关系。 第一章：除引入h e r m i t e 矩阵、h e r m i t e 正定矩阵和实对称正定矩阵较重要 的性质外，还建立了它们的其它一些重要性质，尤其较全面地总结和建立了它们 的若干充分和必要条件； 第二章：建立了亚正定阵的一些重要性质，给出了实方阵的特征值实部和虚 部的表达式，并导出了实方阵的特征值范围尤其是导出了其虚部范围，同时着重 较全面地总结、建立和推广了亚正定阵的若干充分和必要条件； 第三章：建立了复正定矩阵的一些重要性质，给出了复方阵的特征值实部和 虚部的表达式，并导出了复方阵的特征值范围，同时着重较全面地总结、建立和 推广了复正定矩阵的若干充分和必要条件； 全文小结：这也是本论文不可分割的极重要的组成部份。在全文小结中，从 集合论的观点出发，对已讨论过的四类正定矩阵实对称正定矩阵、h e r m i t e 正定矩阵、亚正定矩阵和复正定矩阵之间的关系作了比较细致的论证与探讨，使 大家不仅能更加深刻地理解这四类正定矩阵各自的概念，而且对它们彼此之间的 关系也会有一个比较明晰和透彻的了解。对这四类正定矩阵之间的关系这样比较 明朗化的讨论，在其它文献上是未曾见到过的。 最后要指出，凡本文中未注明出处的都是新的结果或者对已有结果的改进或 推广。 2 电子科技大学硕士学位论文 第一章h e r m i t e 正定矩阵 本章主要介绍我们学习过的常规的正定矩阵_ h e m l i t e 正定矩阵( 包括实 对称正定矩阵) 及其重要性质和特征。矩阵的广义正定性正是以h e r m i t e 正定矩 阵为基础展开讨论的，因此了解和熟悉h e r m i t e 正定矩阵及其重要性质和特征是 我们讨论广义正定矩阵亚正定矩阵和复正定矩阵必备的基础。 1 i i t e r m l t e 矩阵 h e r m i t e 矩阵在矩阵理论中是极其重要的矩阵类型。h e r m i t e 正定矩阵是以 h e r m i t e 矩阵为基础展开讨论的，因此有必要了解和熟悉h e r m i t e 矩阵及其重要 性质和特征。 定义1 1 1 1 9 矩阵a _ 8 f e m 。( c ) 称为h e r m i t e 矩阵，是指a = a + ，其中 a + = 4 7 = 口，】。如果a _ 一a + ，则称之为反h e r m i t e 矩阵。 定理1 1 1 1 9 1 设a ，b e m 。( c ) ，则： 1 ) a + a + ，a a * 和a * a 都是h e r m i t e 矩阵。 2 ) 如果a 是h e r m i t e 矩阵，那么对所有k = - i ，2 ，3 ，a 是h e r m i t e 矩阵。 3 ) 如果a ，b 是h e r m i t e 矩阵，那么对任意实数a ，b ，a a + b b 是h e r m i t e 矩阵。 4 ) a a + 为反h e r m i t e 矩阵。 5 ) 如果a ，b 是反h e r m i t e 矩阵，那么对任意实数a ，b ，a a + b b 是反h e r m i t e 矩阵。 6 ) 如果a 是h e r m i t e 矩阵，那么i a 是反h e r m i t e 矩阵。 7 ) 如果a 是反h e m r i t e 矩阵，那么认是h e r m i t e 矩阵。 8 ) 每个a m 。( c ) 可以唯一地表示成a = h + s 和a 早h + 汀的形式，其中 1 h = l ( a + a + ) 是h e r m i t e 矩阵，称为a 的h e r m i t e 部份； z 1 s = l ( a - - a * ) 是反h e r m i t e 矩阵，称为a 的反h e r m i t e 部份； 2 j t _ 一( a - - a * ) ，t 是h e r m i t e 矩阵。 z 9 ) 如果a 是h e r m i t e 矩阵，则a 的主对角元皆为实数。 一 如果把m 。( c ) 类比作复数集c ，那么h e r m i t e 矩阵集合就可类比作实数 集r 。c 中的复共轭运算类似于m 。( c ) 上的( 伴随) 运算( 即取共轭转置) 。 一个实数是使z = = 的复数z ；一个h e m r i t e 矩阵是使a = a + 的矩阵a e m 。( c ) 。 正如每个复数可唯一地写成z = h + i t 一样( 其中h ，t r ) ，每个复方阵也可唯一 地写成a = h + i t 的形式，其中h 和t 都是h e r m i t e 矩阵。 定理1 1 2 ( h e r m i t e 矩阵的充要条件) 电子科技大学硕士学位论文 设a m 。( c ) ，则下述条件彼此等价( 互为充要条件) ： 1 ) a 是h e r m i t e 矩阵 2 ) a 是h e r m i t e 矩阵 3 ) a7 是h e r m i t e 矩阵 4 ) a + 是h e r m i t e 矩阵 5 ) a 。1 是h e r m i t e 矩阵 6 一对所有x c “1 ，x * a x 是实数 7 ) 吲a 是正规矩阵，且a 的所有特征值都是实数 8 ) 对所有s e m 。( c ) ，s a s 是h e r m i t e 矩阵 9 ) k a 是h e r m i t e 矩阵( k 是非零实数) 1 ) 2 ) ，1 ) 3 ) ，1 ) 4 ) ，1 ) 5 ) 和1 ) 营9 ) 很容易由h e r m i t e 矩阵的 定义得出，这里证明从略。 类似地，可以得到： 定理1 1 3 ( 反h e r m i t e 矩阵的充要条件) 设a m 。( c ) ，则下述条件彼此等价( 互为充要条件) ： 1 ) a 是反h e r m i t e 矩阵 2 ) 4 是反h e r m i t e 矩阵 3 ) a 7 是反h e r m i t e 矩阵 4 ) a + 是反h e r m i t e 矩阵 5 ) a 。是反h e r m i t e 矩阵 显然有： 定理1 1 4 设a e m 。( c ) ，则 a 是实阵当且仅当a + = a 7 。 从而显然有： 定理1 1 5 实对称矩阵一定是h e r m i t e 矩阵。 定理1 1 6 州( h e r m i t e 矩阵的谱定理) 设a m 。( c ) ，则 a 是h e r m i t e 矩阵当且仅当存在一酉矩阵u m 。( c ) 和一个实对角阵a m 。 4 电予莽 技丈学麟士学证论文 ( c ) ，使得a m u a u 4 。 此外，a 是实h e r m i t e 缒阵( 即实对称阵) ，警氨仅当存在突歪交矩阵p 和一个实对角阵人。使褥a = p a p 。 1 2h e r m i t e 菠定矩臻 意义l 。2 。l 嘲设a e m 。( e ) 惩h e r m i t e 簌阵，始巢瓣黪骞嚣零辩鳖x e c ”1 ， 蠢 x * a x 0( 1 , 2 ，1 ) 则称a 为h e r m i t e 正定雉阵。 黧莱( 1 2 。1 ) 所要求麓严格不等式减弱成x a x e 0 ，爨| l 穆a 笼h e r m i t e 半 疆定嫩薄。 建遵l 。2 + l 【9 1 a 是h e r m i t e 悉迩矩阵，则a 靛谬对角元是亚嶷数。 迩义l 。2 2 f 9 l 浚a ，赫醛。 a 悬菠定h e r m i t e 矩黪 6 ) 援a 煞链一难予矩箨楚h e r m i t e 援定筑阵 7 ) 嗍焱的艇霄黪援蘧郡建委实数 8 ) 辨3 对任意嚣奇异阵q e m 。( e ) ，q * a q 燕蓬定h e r m i t e 矩阵 + 5 电子科技大学硕士学位论文 9 ) 吲a 的顺序主子矩阵的行列式全大于零 l o ) 9 1 存在非奇异矩阵c e m 。( c ) ，使得a = c + c ( 即与单位阵i 。相合) 对任引m m z 从和瓤蝌a ( 黔妒 是正定h e r m i t e 矩阵 祧讯k 一腔：埔a ( 曩兮其s c h u r 补a a 2 都是正定h e r m i t e 矩阵 ，对任意k c k n 一，n ：，a ( ：+ - - 2 2 - ： 和其s c h u r 补 a 瞄甚都是正h e r m i t e 矩g g ) 存在一个k ( 妣n _ 1 ，n 2 ) ，有a 瞄：协- t - 2 , , * ： 和其s c h 柑 a 瞄2 一都舡定n e m n c 矩阵 1 5 ) k a 是正定h e r m i t e 矩阵( k 是正实数) 1 6 ) a 存在某一顺序主子阵a 。= a ( ：；： 与a 关于a 。的s y l v e s t c r n 均是正 h e r m i t e 矩阵( 1 k ，- l ，n 2 ) ，a 关于非异顺序主子阵a 。= a ( ：i ： 的s v l v e s t e r 阵s ( k ) 常譬如下【l 】 s ck，2、s。k。+，l。,k+。ls。k+。l,“，1，善ts，2 deta。f：2。三，t，砘汁，n 1 7 ) a 的任意顺序主子阵a l 与a 关于a 的s y l v e s t c r 阵均是正定h e r m i t e 矩阵 ( 1 k i r l ，n 2 ) 18 ) a 的任意主子矩阵的行列式都大于零 证明1 ) 营2 ) ，1 ) 3 ) ，1 ) 铮4 ) 和1 ) 5 ) 很容易由正定h e r m i t e 矩阵的 6 电子科技大学硕士学位论文 定义得出，这里证明从略。 1 ) j 1 1 ) 和1 ) j 1 3 ) ：因为a 是h e r m i t e 矩阵，所以可设： 因为a 是正定h 一矩阵，故其主子阵a ( 1ii 匀和 a ( ：品都舡定h 一沁矩川隋异a 所以a ( 黔廿 a ：i ：) 一b + c a ( ：i ： ，。1 b 及a a ( ：；： 2 a ：i ： 一bc a ( ：ii ： ，。1 b + 都存在。设a t 2 a ( ：；： ， c = a 置： ，肚b 尝 瑚意给定心一，心， 根据引理1 2 1 ，有： q 。曰+ 名：答川。廓协蓄等l _ 。1 因为a 是正定h e r m i t e 矩阵，所以a - 1 也是正定h e r m i t e 矩阵，故a 一1 的主 子阵( 们) - l 和( a f ：发： ) _ 1 也都是正定h e r m i t e 矩，从而 船刖a ( 篇嚣： 和从。= a ( * 匀都是正肌r m i t e 矩。 1 1 ) 等1 2 ) 和1 3 ) j 1 4 ) ：显然。 1 2 ) j 1 ) ：考虑 ( ：； + ( 台c 一曰：4 ，b ( ：j = ( 二。； ( 台c b ：。b 0 硝a 。x 吣妻c z - b 叫b lji z + t+ 4 x + 4 1j 这里( ：j 中各子块的分法设为使上面的分块乘法运算始终能够进行的分 ， n 阼 2 2 b + + ，。l 4 、 女 一 一 2 2 8 ，、 4 ，。l = a 鬯子辩技大学疆士学整论文 法。 令a x = b ，剃可得x * a 女= b 。，x + a x + c b + a b = c 。予难得到： ( ：享 + ( 吉c b ：一口 ( ：；) = 刍言) 下面证明f 吉c b 0 a ；。b i j e 正定i t e 矩阵。 易知( 詈c 一四：。嚣) + = ( 吾c 一嚣0 。4 。曰) ，故( 詈c 县* a t b i 是 任绘黪零囱量z e c n x l , 将z 努块菇：黔( 主 ，其中z ；芒e “l ，z ：e 扣“m ， z t 靼z ：不全为零。有 z 4 ( 台c 一嚣：霹0 黔泫麓) ( 台e 一嚣0 。蠢0 ( 之z 1 气；a k z l + z ： ( c b + a ；1 b ) z2 因为a ( 黔匀啾撒8 c h a r ；* 1 n a ( 舟啪吣都舡 定洳矩阵，虽z ，和z ：不全毙零，所以舻( 台c 一嚣0 。髯雪) 弘z ：a 。z ，+ z ；e e b + a ：x b ) z 2 翊，疑瑟( 0c 一嚣0 。，嚣 楚正定一秘矩簿。 又因为窿享1 是j 雾阵，敖凌1 ) 8 ) 知 ( ：州吉c 一口o ( ：硝刍言- - a 芷定如聪 ( y i 州4 一p + 掷黼一( 妒p + 摊；) = ( 4 础c 善“吣习 电子科技大学硕士学位论文 法。 这里( ；二0 中各子块的分法设为使上面的分块乘法运算始终能够进行的分 令y + c = b ，则可得c y = b + ，a i - - b c 。b + y + c y = a i ，于是得到： ( r i 州4 一p 4 掷就：a 下面证明卜b 。c 。1 兰 是正定删t e 矩阵口 易知p 一警。矿目+ = 卜一警。1 匀，故( 4 一警。舻习是 h e r m i t e 矩阵。 任给非零向量z e c n x l 将z 分块为：z = l p z ：, j ，其中z 。c “，z ：c ( m m ， z 。和z ：不全为零。有 z + ( 4 一b 。c - 1 b + 兰 z ；( z ：z ：) ( 爿i b 。c 。1 b + 兰 ( 主 = z ：c a 。一 b c 一1 b + ) z i + z ；c z2 因为a 2 + 2 - - ：) = c 和轴h u t ：；b a a ( ：麓一 a i b c b + 都是i e 定h e r m i t e 矩阵，且z1 和z 2 不全为零，所以 z r 警。1 扩o z z ：( a ：一b c 。z ，捌c z ：批从而 r 警。 兰 是正定h e r m i t e 矩阵。 又因为f ；匀是非异阵，故由1 ) 8 ) 知 i + r p + 掷h 刍c b ) = a j 叠ih e r m i t e 黥 9 电子科技大学硕士学位论文 是正定h e r m i t e 矩阵即对所有非零向量x c “1 ，有x * a x 0 营对所有非零向量 x c ，有x + ( k a ) x 0 ( 因为k o ) ，此即k a 是正定h e r m i t e 矩阵。 1 ) 1 6 ) ：a 关于a i 的s y l v e s t e r 阵为( ( 1 e t a ) ( a a ) 1 1 】，a 是正定 h e r m i t e 矩阵营a 存在某一顺序主子阵a i 与a ，a 均是正定h e r m i t e 矩阵 ( 1 k i 广l ，n 2 ) a 存在某一顺序主子阵a t 与( d e t a ) ( a a t ) 均是 正定h e r m i t e 矩阵。( 因为d e ta o ) 1 ) 1 7 ) ：a 是正定h e r m i t e 矩阵营a 的任一顺序主子阵a t 与a i 均 是正定h e r m i t e 矩阵( 1 k i r l ，n 2 ) 铮a 的任一顺序主子阵a t 与( d e t a 女) ( a a t ) 均是正定h e r m i t e 矩阵。( 因为d e t a i o ) 1 ) 营1 8 ) ： a 是正定h e r m i t e 矩阵则a 的任一主子矩阵是h e r m i t e 正定矩 阵，所以a 的任一主子矩阵的行列式大于零。反之，a 的任一主子矩阵的行列 式大于零，则a 的顺序主子矩阵的行列式全大于零，从而a 是正定h e r m i t e 矩 阵。 口 定理1 2 3 9 1 ( 同时对角化) 设a ，b m 。( c ) 是h e r m i t e 矩阵，若存在a 和b 的一个实线性组合是正定h e r m i t e 矩阵，则存在非奇异矩阵c m 。( c ) ， 使得c * a c 和c * b c 都是对角矩阵。 推论1 2 1 设a e m 。( c ) 是正定h e r m i t e 矩阵，b e m 。( c ) 是h e r m i t e 矩阵，则存在非奇异矩阵c e m 。( c ) ，使得c + b c 是对角矩阵且c + a c = i 。 1 3 实对称正定矩阵 我们最熟悉的和最简单的正定矩阵是实对称正定矩阵。 定义1 3 1 1 7 1 r l 阶实对称方阵s 称为实对称正定矩阵，如果对于任一非零实 向量x r “1 ，都有x 7 s x 0 。如果成立的是x 7 s x o ，则称s 为实对称半正定 矩阵。 定理1 3 i 实对称正定矩阵) 正定h e r m i t e 矩阵 ( 实对称正定矩阵 表 示由所有实对称正定矩阵组成的集合， 正定h e r m i t e 矩阵 等意义相同，下文中 均使用相同的符号，不再另作说明) 证明任给a e 实对称正定矩阵 ，则a 的所有特征值均大于零。又因为a 1 0 电子科技大学硕士学位论文 是实对称矩阵，所以它也是h e r m i t e 矩阵，根据定理1 3 2 中的1 ) 7 ) ，得出 a 正定h e r m i t e 矩阵) ，故 实对称正定矩阵 正定h e r m i t e 矩阵 口 上面的定理告诉我们，实对称正定矩阵是正定h e r m i t e 矩阵的特例。 在定理1 2 2 ( e 定h e r m i t e 矩阵的充要条件) 的大前提条件中将条件a e m 。 ( c ) 加强为a m 。( r ) ，即这时对应的大前提条件加强成为a 是实对称矩阵， 则可相应地得到下面实对称正定矩阵充要条件中的7 ) 2 0 ) ： 定理1 3 2 ( 实对称正定矩阵的充要条件) 设a m 。( r ) 是实对称矩阵， 则下述条件彼此等价( 互为充要条件) ： 1 ) a 是实对称正定矩阵 2 ) 吲存在实对称正定矩阵b ，使得a = b 2 3 ) 嗍a 的一切主子式都大于零 4 ) a 实对称半正定且d e t a 0 5 ) s l 任意n m 实矩阵c ，且r a n k c - - m ，都有c 7 a c 为实对称正定矩阵 6 ) 吲存在非奇异矩阵p e m 。( r ) ，使得a = p 7 p ( 即a 合同于单位矩阵i 。) 7 ) h1 是实对称正定矩阵 8 ) a 的任一主子矩阵是实对称正定矩阵 9 ) a 的所有特征值都是正实数 1 0 ) 对任意非奇异阵q e m 。( c ) ，q * a q 是实对称正定矩阵 1 1 ) 对任意非奇异阵p m 。( r ) ，p7 a p 是实对称正定矩阵 1 2 ) a 的顺序主子矩阵的行列式全大于零 1 3 ) 存在非奇异矩阵q m 。( c ) ，使得a = q * q ( 即与单位阵i 。相合) 触赳m z 从 黔：) 和其s c h u r ：* b a a 都 是实对称正定矩阵 ，s ，存在一个k c s k s n - - l , n 2 ) , 有a ( 1i ：习和其s c h u r ；* ba a ( ：；i 爿 都是实对称正定矩阵 电子科技大学硕士学位论文 对髓啦n 叱n z m l 川k + l2 和其s 姗补 a f ：ii ： 都是实对称正定矩阵a 【七+ 1 i + 2 一j 都是实对称正定矩阵 1 7 触一个k ( 1 妪一1 ，n 捌，有a m k + 1 l2 和其s c h w 补a a 旺：ii ： 都是实对称正定矩阵 1 8 ) k a 是实对称正定矩阵( k 是正实数) 一 1 9 ) a 存在某一顺序主子阵a 。= a r l ；：a 与a 关于a 。的s y l v c s t e r 阵均是实 对称正定矩阵( 1 k n 一1 ，n 2 ) ，a 关于非异顺序主子阵a 。- a - ( 1 2 i a 的 s y l v e s t e r 阵s ( k ) 定义如下1 1 。 a l 门 ；i l ，i ，j _ k + 1 ，n i 嘞j 2 0 ) a 的任意顺序主子阵a l 与a 关于a i 的s y l v e s t e r 阵均是实对称正定矩阵 ( 1 k s n 一1 ，n 2 ) 匀口 ，n、 彳 厂lii1ji 薯 = 中其 ，粤 h “ 一 r l l 娃 电子辩挂大学礤士学蛰谂文 第二鬻亚正定矩阵 对于矩阵正定性的研究，过畿一直局限于实对称矩阵和h e r m i t c 矩阵。1 9 7 0 零，j o h n s o nc r 在文献【1 3 】串弓l 入了实歪定矩簿瓣概念：设a e m 。( r ) ，羞珏 绘x e r “1 且x 0 ，都有x 7 a x 0 ，则称a 为实迮定矩障( 注意这里的a 不一 定是实对称矩阵) 。1 9 8 5 年，h o r n ，r ，a ，和j o h n s o n , c r 也在他们的名著m a t r i x a n a l y s i s 书孛提出了实菠定矩黪戆定义”，但泰对这类广义正寇短阵 乍遴一步 的深入论证与研究。同年，李炯生在文献 4 1 对这类广义正定艇阵的性质和特 髹作了较深入煞磷究。1 9 9 0 年，麓倍袭在文献【 】串提交了蘧歪宠矩薄夔定义翻， 势对其进行了较系统的论涯与研究 1 l i “】。实正定擞阵和亚蔗定矩黪这两个定义实 际是等价的( 参见本章弧正定矩阵的充分必要条件一节) ，它们都已把实对称矩 阵的限制去掉。本章使用艇正定矩阵的概念，将讨论亚正定阵的些性质，给出 了实方静静特征馕实部翻疆部豹焱这式，莽寻密? 实方阵瓣特薤镳范围笼冀是导 出了其虚部范围，同时着重建立和推广了驻正定阵的一些充要条件，以丰富亚正 寇阵理论。 除特掰说明朗魄方外，本章所讨论的矩阵誉为实方阵。 2 。l 耍燕定矩簿蕊定义 我们知道实方阵可唯一地表泳成a 亍毒( a 十a ) + 击( a - - a ) 的分解形 二五 式。令r ( a ) = 言( a 十a 7 ) ，s ( a ) = 寺( a a 7 ) ，煎a = r ( a ) + s ( a ) 。 二二 葵孛r ( a ) = 去( a + a ) 豫兔方阵a 秘瓣黎分支，霆瓣髂薄；s ( 轰) 一妻( a 二 一a ) 称为方阵a 的反对称分支，是反对称阵。以下的分解式a 等r ( a ) + s ( a ) 均指这种意义的分解。 定义2 1 。l ”翔果实穷阵a 豹怼熬分支廷( a ) 是实慰称燕定阵，翼g 称a 为亚正定矩阵。 定毽2 。l 。l 实对称疆定矩阵 譬 嚣蓬定瘫黪 f1 证盟任绘a a 实对称正定筑阵) ，则r ( a ) = 妻( a + a 7 ) = a 是实对称 z 藏定矩阵，根据怒义2 1 1 即得a e 亚磁定矩阵) ，因此 实对称难定矩降) ( 亚 疆定矩降。 麓 另外，如果a 是亚磁定阵，s 是反对称实阵，则a + s 是亚难定阵。这是因 为r ( a + s ) = r ( a ) 悬实对耘纛定蓐。 电子科技大学硕士学位论文 用亚正定阵的定义很容易证得两个亚正定阵之和是亚正定阵。 2 2 亚正定阵的一些基本性质 定义2 2 1 l l主子式全大于零的实阵称为完全主正阵。 定理2 2 1i l l 亚正定阵必是完全主正阵。 由此显然有： 定理2 2 2 皿正定阵的行列式必大于零。 从而有： 定理2 2 3 亚正定阵是非奇异阵。 定理2 2 4 亚正定阵a 的主对角元素a ( k = 1 ，n ) 全为正实数。 证明因为a 亚正定，故a 为完全主正阵，所以a 的主子式全大于零，特别 地，其一阶主子式也全大于零耀口d 姒( ：) _ a * o ( k = 1 ，n ) 口 定理2 2 5 实方阵a 的特征值a 对应的特征向量为x ，则： r e 2 ：x * r ( a ) x j + 爿 i m 五= x * ( i - i f s ( 广a ) ) x ( 其中i 为虚数单位，i2 = - - 1 ) 证明由a x = 兄x 得 ( r ( a ) + s ( a ) ) x _ a x ( 2 2 1 ) 再得到x + ( r ( a ) + s ( a ) ) x = 2 x * x 即x + r ( a ) x + x * s ( a ) x = a x * x( 2 2 2 ) ( 2 2 1 ) 两端取转置共轭得x + ( r ( a ) - - s ( a ) ) = 兄x + j x + r ( a ) x x + s ( a ) x = z x * x ( 2 2 3 ) ( 2 2 2 ) + ( 2 2 3 ) 得： x r ( a ) x _ ( 兄+ 五) x + x = r c 五x x 等 r e 兄：x * r ( a ) x x x ( 2 2 2 ) 一( 2 2 3 ) 得： x s ( a ) x = 1 ( a 一互) x + x 爿h n a x + x j 2 i m a ：x * ( - i s ( a ) ) x 口 x + x 一 引理2 2 1 【2 1 ( r a y l e i 曲斑t z ) 设a e m 。( c ) 是h e r m i t e 矩阵，则 1 ) m i n 2 ( a ) x + x x + a x m a x 兄( a ) x + x ( v x c “) 1 4 电子科技大学硕士学位论文 2 ) m 戕五( a ) ：m a ) 【x = * a x ：m a 】【x + a ) ( x o 爿+ 爿 z + 上亡1 y j 矿 3 ) m i n _ , ( a ) = r a i n 竺竺= m a nx + a x x o 爿+ x x j 2 1 下面的性质对所有实方阵都成立，对亚正定阵当然也成立。在一般文献上只 给出了实方阵特征值的实部范围( 2 2 4 ) ，这里再补充给出其虚部范围( 2 2 5 ) 。 定理2 2 6 ( 实方阵的特征值范围) 若a = r ( a ) + s ( a ) m 。( r ) ，则： r a i n 旯( r ( a ) ) r e a ( a ) - ：m a x 五( r ( a ) )( 2 2 4 ) m a n ( - - i 兄( s ( a ) ) ) i m 旯( a ) _ m a x ( 一i 兄( s ( a ) ) )( 2 2 5 ) 证明r ( a ) 是实对称阵，所以是h c r m i t e 阵，由引理2 2 1 及定理2 2 5 ，