（课程与教学论专业论文）初中教学中培养学生数学思维能力的实践研究.pdf

独创性声明 本人郑重声明：所提交的学位论文是本人在导师指导下独立进行研究工作所 取得的成果。据我所知，除了特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他 人已经发表或撰写过的研究成果。对本人的研究做出重要贡献的个人和集体，均 已在文中作了明确的说明。本声明的法律结果由本人承担。 p 学位论文作者签名：丞 f 童 学位论文使用授权书 本学位论文作者完全了解东北师范大学有关保留、使用学位论文的规定，即： 东北师范大学有权保留并向国家有关部门或机构送交学位论文的复印件和电子 版，允许论文被查阅和借阅。本人授权东北师范大学可以将学位论文的全部或部 分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其它复制手段保存、汇 编本学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：盟 日 期：匕2 厶垒劲 学位论文作 工作单位： 通讯地址： 指导教师签名 电话：星! & ! ! 功 邮编：7 ；幽立l 摘要 随着社会的不断发展，2 1 世纪数学教育的核心问题已经发展成为如何对学生进行数学思 维方面的有效教育问题。由于数学本身就是与思维紧密联系在一起的科学，是一门典型的思 维的科学，于是怎样在数学教育教学中培养学生的数学思维能力和品质便自然成为广大数学 教育工作者和教师共同关注的问题。 本文首先阐述了数学思维的内涵、特性和基本形式。其次，针对初中生思维的特点，结 合案例对数学思维能力的几种基本形式的培养策略提出了自己的见解。由于初中数学思维能 力的培养主要是在数学课堂教学中得以实现，本研究对现有的相关资料进行了大量的阅读、 整理和分析，在此基础上，又对初中生数学思维能力培养的课堂教学做了必要的实验尝试， 获得了不少具有启发性的结论。最后，在对初中生数学思维能力培养的教学实验数据进行统 计分析基础上，提出了相应的教学建议。 关键词：初中生、数学教学、思维能力、策略 a b s t r a c t w i t ht h ed e v e l o p m e n to fo u rs o c i e t y m a t h e m a t i c se d u c a t i o nt h o u g h ti st h e21s tc e n t u r yi st h e c o r eo fm a t h e m a t i c se d u c a t i o n m a t h e m a t i c si s c l o s e l yl i n k e dw i t ht h et h o u g h to fs c i e n c e i s t h i n k i n go fs c i e n c e i nm a t h e m a t i c se d u c a t i o na c t i v i t i e st oc u l t i v a t et h es t u d e n t s 。m a t h e m a t i c a l t h i n k i n ga b i l i t yh a sb e c o m et h ec o n c e r no ft h em a t ht e a c h e r t h i sp a p e re x p o u n d st h ec o n n o t a t i o na n dc h a r a c t e r i s t i c so fm a t h e m a t i c a lt h i n k i n ga n db a s i c f o r m s s e c o n d l y , a c c o r d i n gt ot h ec h a r a c t e r i s t i c so fs t u d e n t st h i n k i n g ，t h et h i n k i n gc a p a c i t yi nm a t h s o fs e v e r a lb a s i cf o r m so ft r a i n i n g a n ds u p p l ym yo w n o p i n i o n sa b o u tt h i s a g a i n , m a t h e m a t i c sa n d t h ec u l t i v a t i o no f t h i n k i n ga b i l i t yi nm a t h e m a t i c sc l a s s r o o mt e a c h i n gi sm a i n l yr e a l i z e di nt h i ss t u d y , r e a d i n g ，s o r t i n ga n da n a l y z i n gt h ee x i s t i n gr e l a t e dm a t e r i a l ，a n dt h et h i n k i n gc a p a c i t yi nm a t h so f c u l t i v a t i n gs t u d e n t so fc l a s st e a c h i n ge x p e r i m e n t ，w i t hal o to fh a r v e s t f i n a l l y , i nt h em i d d l eo ft h e t h i n k i n gc a p a c i t yi nm a t h so fe x p e r i m e n t a lt e a c h i n ga n dt r a i n i n ga f t e rd a t aa n a l y s i sb a s e do n s t a t i s t i c a la n a l y s i s ，p u tf o r w a r dt h ec o r r e s p o n d i n gs u g g e s t i o n k e y w o r d s ：j u n i o rh i g hs c h o o ls t u d e n t s ，m a t h e m a t i c st e a c h i n g ，t h i n k i n ga b i l i t y , s t r a t e g y u 目录 中文摘要i 英文摘要 目录 弓i言1 一、问题的提出1 二、研究内容与方法2 第一章数学思维的理论概述3 一、数学思维含义的界定3 二、数学思维的特性5 第二章数学思维的基本方式概述及应用8 一、集中思维和发散思维8 二、再现性思维与数学创造性思维9 三、数学形象思维、数学逻辑思维和数学直觉思维1 0 第三章培养数学思维能力的教学过程和策略1 3 一、培养数学思维能力的课堂教学过程1 3 二、培养数学思维能力的策略1 6 第四章培养数学思维能力的教学实践与结果分析1 9 一、实验目的与实验假设1 9 二、实验过程与实验步骤1 9 三、实验结果与分析2 0 四、结论2 1 五、对本实验的反思2 1 结 语2 3 ：￥1 f 口z ：j 参考文献2 4 附录2 6 后。记3 4 1 1 1 东北师范大学硕士学位论文 引言 一、问题的提出 ( 一) 研究的背景 就我国现在的教育状况看，初中数学教育的成功与否主要还是体现在课堂教学中。在传 统的课堂教学中，为了应考这个主要目的，教师们似乎没有办法逃离题海战术，根本无暇顾 及其他。然而从理论上来讲，研究学生的思维活动是有利于提高学生的应考能力，因而是十 分必要的。从长远的观点看问题，让学生在老师的指导下，通过数学知识这个载体来探究数 学问题，学习数学的思维活动和主要方式，发展数学思维，才能够有效地培养学生的数学思 维结构，对学生今后的长远发展负责，也才能有效提高包括应考能力在内的各方面能力。 针对于此，本文进行了相关问题的有益的探索。 ( 二) 研究的意义 在现代数学教育改革中，数学思维的培养和训练日益成为人们关注的热点问题。数学思 维的品质、能力和方法，决定着一个人的数学思维水平，影响着他的数学知识水平、实际能 力和工作效率，进而影响着数学教育的社会效果。在数学教育中要强调培养运用数学知识的 能力，在能力培养中要强调数学思维的培育，这已是大多数数学教育工作者的共识。中学阶 段是学生数学思维发展的关键时期，这一阶段的数学思维水平对人的一生都有着重要的影响。 因此，深入研究数学思维的性质、内容和发展规律，探索数学思维训练的途径和方法，对于 数学教育改革具有十分重要意义。 1 适应数学课程改革的需要 从2 0 0 1 年开始实施的第八次基础教育课程改革历经近十年的历程，极大地推动了国内基 础教育的发展和完善。在推行第八次课程改革初期，教育部针对数学课程改革出台了全日 制义务教育数学课程标准( 以下简称数学课程标准) ，其中明确指出：“数学在提高人的 推理能力、抽象能力、想像力和创造力等方面有着独特的作用”，并且在课程目标中明确要求 “初步学会运用数学的思维方式去观察、分析现实社会，去解决日常生活中和其他学科学习中 的问题，增强应用数学的意识”。由此，数学思维能力和方法的养成、数学思维能力的培养便 被明确提到日常教学的日程中，并且日益受到学校和数学教师的重视。 2 数学学科教学的需要 加里宁曾经提出：数学是思维的体操。这一观点越来越受到广大数学教育工作者的认可。 数学教学对学生进行思维训练起到了极为重要的作用，这是其它学科无法进行比拟的。培养 抽象思维有利于学生形成数学概念，培养数学想象力是形成数学创造的主力，而培养逻辑思 维则有利于数学证明的形成。 3 目前数学教学过程中学生数学思维的培养存在的问题 1 东北师范大学硕士学位论文 ( 1 ) 教师不能够根据学生的实际水平培养学生的数学思维。教师在培养学生的思维过程 中，只是侧重于成绩较好的学生，很少能够顾及到差生的实际水平。班级中势必存在好、中、 差三种不同成绩的学生，大部分教师还只是注重优等生的学习，至于差生能不能够理解，理 解的程度如何老师很少注意到，培养过程两极化。 ( 2 ) 灌输式的思维培养模式。所谓灌输式的思维培养模式，是说教师思维往往取代学生 思维，越俎代庖。教师在讲解时有所选择，有所筛选，这个选择和筛选的过程往往是以自己 的意愿为主，很少考虑到学生想不想听。教师讲课时往往会不由自主的将自己的思维模式放 在学生身上，以为自己的思维模式就是学生的思维模式，因而忽略了学生的思维发展的特点 和现有的知识结构，导致课堂教学与学生思维严重脱节，因此教学效果往往会事倍功半。 ( 3 ) 思维培养的表面化。教师对学生思维的培养多是满足于对公式、公理、定理的套用， 对于问题探究的过程都是为了下文结论而服务的，所有的探究只是为了得出一定的结论，这 样的探究过程就难免过于目的性，流于表面缺乏思维的深刻性。 二、研究内容与方法 ( 一) 研究内容 1 以培养学生数学思维能力为核心的课堂教学模式。 2 以培养学生数学思维能力为核心的课堂教学策略。 ( 1 ) 组织有效的学习活动，培养学生的数学思维能力。 ( 2 ) 提供有效的教学协助，培养学生的数学思维能力。 ( 3 ) 优化练习设计，提升学生的数学思维能力。 ( 4 ) 优化板书设计，培养学生的数学思维能力。 3 以培养学生数学思维能力为核心的课堂教学实践研究 4 以培养学生数学思维能力为核心的课堂教学实验研究 ( - - ) 研究方法与思路 1 研究方法 本文主要运用文献分析研究、课堂观察、课堂实验等方法。首先运用文献分析法收集有 关数学思维能力、数学思维品质培养方面的资料，对这部分资料进行分析、分类和归纳，从 而为本文提供理论基础。其次，在教学过程中对笔者所在的班级进行观察，侧重于观察学生 现有的思维水平以及学生对数学问题的思维特点等，为后边的实验研究、策略的提出提供依 据。最后，对笔者任教的两个班级进行实验研究。根据已有的理论和数学思维培养的策略， 进行对比研究，从而验证之前提出的数学思维培养策略是否有实际意义和应用价值。 2 研究手段及思路 ( 1 ) 收集相关数学思维能力培养领域的的文献、政策。 ( 2 ) 通过调查、课堂观察等方法把资料归纳、整理、分析。 ( 3 ) 根据已有的理论基础，进行一个学期的以培养数学思维能力为核心的教学实践。 ( 4 ) 对课堂实验的结果进行分析，针对存在的问题提出对策，以期形成最终的结论。 2 东北师范大学硕士学位论文 第一章数学思维的理论概述 一、数学思维含义的界定 ( 一) 思维的含义 心理学家认为，思维是指人脑对客观事物的规律和本质的概括的和间接的反应过程1 。 思维是一种复杂的心理过程，当客观事物作用于人脑时，人脑会对各种信息有一个分析、 综合、比较、抽象、概括、系统化、具体化的过程。思维是认识的高级阶段，它是在感性认 识基础上进行的理性认识。思维过程是在人的实践活动中由感性认识，特别是想象的基础上 借助语言，以知识经验为中介实现的。实践活动是思维的基础，语言是思维的工具。 在心理学研究领域，思维一直备受关注。皮亚杰在他的发生认识论中提出，思维作为一 个认识发展过程，是一个内在结构连续的组织和再组织的过程，过程的进行是连续和经常的， 但是其结果是不连续的，即发展有阶段性。皮亚杰将儿童思维的发展分为四个阶段：感觉动 作阶段( 从出生一约2 岁) 、前运算阶段( 约2 岁一7 岁) 、具体运算阶段( 约7 岁一1 1 岁) 和形式运算阶段( 约1 1 岁一1 5 岁) 。运算是皮亚杰认识发展阶段论中的一个核心概念。所谓 运算是指通过逻辑推理将一种状态转化为另一种状态。例如，1 + 2 = 3 ，可以说3 是由1 和2 转化而来的。从3 中减去2 ，则3 也可以与2 作用转化为1 。皮亚杰的发生认识论为我们解释 数学思维提供了一种比较合理、比较符合实际的心理学依据。 ( 二) 数学思维概念的界定 数学知识本质上是数学思维活动的结果，因此，数学学习实质上就是学生在老师的指导 下，通过数学思维活动，学习数学家思维活动的成果，并发展数学思维的过程。 在这个学习过程中不仅涉及思维的形式、方法，而且涉及思维的内容，即数学对象的性 质，数学的特点和数学思想方法等。 什么事数学思维呢? 由于数学所研究的对象是纯粹的量，所以数学思维是客观世界的纯 粹的量的本质属性、相互关系及其内在规律性在人的头脑中概括的和间接的反映2 。数学思维 首先是思维，因此具备思维的一般特征。但数学思维又有自己的特点，她不是事物一般的本 质和事物之间一般的规律性关系在人们头脑中的反映。而是以“纯粹的量”的形式来反映事物 的本质和事物之间的规律性关系。与一般的思维相比，数学思维具有更高的抽象性。 当前对数学思维的定义，不同的学者定义的内容不同，各学者众说纷纭，难以统一。 心理学家认为，“数学思维过程主要是分析和综合的过程及其派生的抽象、概括、比较、 分类、统一化和具体化等一系列高级的复杂过程。”一般认为，数学思维过程是指以提出问题 为起点，思维主体以数学语言为工具，借助于各种数学知识，数学思维形式、思维方法的运 1 田万海数学教育学 m 】杭州：浙江出版社教育，2 0 0 2 p i1 3 2 周春荔，张景斌数学学科教育学 m ：北京：首都帅范大学出版社，2 0 0 1 年，p 1 6 0 3 东北师范大学硕士学位论文 行、碰撞、组合、互补和交换，最终获得问题解决的理性认识过程。 前苏联学者奥加涅认为：“思维是人们认识具体的数学科学，或是应用数学与其他科学技 术和国民经济等过程中的辩证思维。同时它的特性是由数学学科本身的特点及数学用以认识 现实世界现象的方法所决定的，并受一般思维方式的制约。3 国内的定义，也有多种。在我国数学界，王仲春教授提出：“数学思维是指人类关于数学 对象的理性认识过程，包括应用数学工具解决各种实际问题的思考过程。”4 王梓坤院士在其 今日数学及其应用一文中提出：“当代数学思维是一种定量思维。总之，数学思维是针对 数学活动而言的，通过对数学问题的提出、分析、解决、应用和推广等一系列工作，以获得 对数学对象的本质和规律性的认识过程。这个过程是人脑的意识对数学对象接收、分析、选 择、加工与整合”。， 王宪昌在其著作数学思维方法中指出：通常意义上，数学思维就是在数学活动中的 思维。准确的说，数学思维是人脑在和数学对象交互作用的过程中，运用特殊的数学符号语 言以抽象和概括为特点，对客观事物按照自身的形式或者规律做出的间接概括的反映。也有 学者认为，数学思维是人脑和数学对象( 空间形式、数量关系、结构关系) 交互作用并按照 一般规律认识数学内容的内在理性活动，它也是以认识数学对象为任务，以数和形为思维对 象，以数学语言和符号为思维载体，并以认识和发现数学规律为目的的一种认识形式。 数学思维过程是主体以获取数学知识或解决数学问题为目的、运用有关思维方式或方法 达到数学内容内在的信息加工活动。学生学习数学的目的是为了获得数学知识，掌握数学思 想方法，发展思维，形成能力，然后去解决现实中的问题。学生的能力是在获取知识和应用 知识的过程中形成的，有数学活动就有数学思维过程。因此作为数学教师必须懂得什么是数 学思维的过程和特征，在课堂教学中如何根据数学思维的特征，展示数学思维过程，培养学 生的数学思维能力。 尽管对数学思维的定义众说纷纭，但是笔者认为可以从以下几个方面进行理解： 第一、数学思维是认识的一种形式。数学思维是人类思维的表现形式之一，属于人类认 识的高级阶段。数学思维作为一种特殊的认识形式是指人们在认识具体的数学学科，或是将 数学应用于其他科学过程中的一种辨证思维。 第二，数学思维具有一定的特性。它的特性受到数学学科本身的特点和数学用以认识客 观世界现象的方法的制约。同样，也受到所采用的一般思维方式的制约。 ( 三) 数学思维发展的年龄特征 数学思维发展的年龄特征和初中生数学思维发展的特点，是发展数学思维的一个重要依 据，对初中生数学思维发展的年龄特征的研究是教师进行有效教学的基础。 心理学的研究表明，思维结构根据不同的年龄，表现出不同的发展阶段，这就形成了思 维发展的年龄特征。数学思维发展与个体的思维发展阶段相吻合，按照抽象概括水平由低到 3 王伸春数学思维与数学方法论【m 】北京：高等教育出版社，1 9 8 9 ，p 4 5 王仲春数学思维与数学方法论 m 】_ | e 京：高等教育； 版社，1 9 8 9 ，p 5 6 5 严士健面向2 1 世纪的中国数学教育【m 】南京：江苏教育出版社，i 9 9 4 ，p 4 4 东北师范大学硕士学位论文 高，可以分为这样几个层次。 1 直观行动思维 o 岁_ 。岁，是直观行动思维发展的主要阶段。直观行动思维发展是与个体的感知和动作 直接相关的思维。通常情况下，思维过程与动作过程同步，动作结束了，思维也就结束了。 如，儿童通过掰手指头或摆弄实物计数的过程中，停止了动作，思维随即停止。这是思维的 最低层次。 2 具体形象思维 3 岁- 7 岁，思维的典型特征就是具体形象思维的发展。具体形象思维是一般形象思维的 初级阶段形态，它是一种以事物的具体形象( 或表象) 俄日材料的再现性思维。在此阶段的 儿童达到了摆脱感知和具体动作的水平，主要借助于脑中有关事务表现的浮现进行计算。比 如，儿童对抽象数字“5 ”的认识需要借助于大脑中浮现的5 个苹果或者5 根手指头才能够理解。 3 具体形象思维向抽象逻辑思维过渡期 7 岁一1 2 岁，是思维发展的过渡阶段。过渡阶段主要位于小学阶段，由具体形象思维逐 渐向抽象逻辑思维过渡。在这个阶段儿童可以逐渐离开具体事物进行一定程度的抽象思考。 比如，儿童在可以理解整数的概念，进行整数的四则运算时已经脱离具体实物。但是，他们 在学习分数概念和进行分数运算时脱离具体形象的支持就会存在一定的困难。 4 经验型抽象逻辑思维 1 2 岁一1 5 岁，即初中阶段，学生的经验型抽象逻辑思维会得到显著发展。在这个阶段学 生的抽象逻辑思维得到初步的发展，但是在数学的学习中具体形象的成分仍然起着很大的作 用。在这个时期学生往往没有形成明确的抽象推理规则，而主要凭借于主体的经验进行数学 思维活动。 5 理论型抽象思维 1 5 1 8 岁，主要处于学生的高中阶段，理论型抽象思维将发挥主导作用。在这个阶段学 生的思维可以摆脱具体事物形象，进入明确的形式逻辑特征的抽象、概括、分析、综合、演 绎、归纳等一般化的理论思维阶段。 在了解了学生的数学思维发展的年龄特征后，应当明确这样两点： 数学教材的结构应当按照学生思维发展的年龄来组织。新课程改革中十分注意这一方 面的内容，教材的内容做到了螺旋式上升的编排结构，环环相扣，层层递进。 教师在进行数学教学时应当以学生的思维发展水平为依据，善于把握学生的最近发展 区，教学内容符合学生的实际水平。 二、数学思维的特性 ( 一) 高度抽象性 数学思维的高度抽象性是指在数学思维过程中需要把思维对象的一些具体的、表面的、 现实的属性舍弃掉，把思维对象抽象成为一定的数学关系( 如数量关系、空间图形或者逻辑 关系等) ，然后用数学符号把这些特定的数学关系表达出来。 东北师范大学硕士学位论文 数学思维的抽象性不仅表现在可以用一次抽象进行表达，通常可以进行多次的抽象。因 此，数学的符号化的语言是进行思维高度抽象的基础。 ( - - ) 概括性 思维之所以能揭示事物的本质和内在规律性关系，主要来自抽象和概括，即思维是概括 的反映，所以思维最显著的特点是概括性。概括性是思维研究的一个重要方面，也是思维活 动的速度、灵活迁移程度、广度和深度等智力品质的基础。概括水平是衡量思维水平的重要 标志。数学学科的特性决定了数学思维比一般思维具有更高、更强的概括性，因为数学思维 揭示的是数量之间的关系以及事物之间内在的结构，并且深入探求其规律，能够较容易地把 握同类或者相似事物共有的属性。在数学学习中，对数学对象进行抽象产生了数学原始概念， 这是对对象的概括了。然后数学又在这些原始概念的基础上进行新的抽象，从而得出概括程 度更高的概念，这种情况逐次进行下去。在数学中就得到抽象层次越来越高的概念，这是任 何其他科学思维所无法比拟的。 ( 三) 广阔性 数学思维的广阔性表现在能在多视角、多方面去思考问题，善于发现事物之间的各个细 微方面的联系，发现多途径解决问题的方法。不仅如此，数学的广阔性还表现在能够把它推 广到类似的事物和问题中，也就是我们常说的“举一反三”。数学中许多问题的解决是多途径 的，探求不同的解决问题的方法使学生的思路开阔，起到发散思维的作用。 思维的广阔性还表现在，能够做到从多方面去设想一种恰当的理论和方法，发现这种理 论和方法适用的问题，扩展理论和方法的应用范围。如数学中的结合律、换元法、对称法等 经常在各类应用题中用到。思维广阔性的对立面是思维的狭隘性，这是教师在教学中应当注 意的。 ( 四) 灵活性 著名科学家爱因斯坦曾经把思维的灵活性看成是创造性的典型特点。思维的灵活性表现 在能够做到实事求是，具体问题具体分析，具备较强的应变能力。学生善于根据具体情况的 变化，及时调整原有的思维过程与方法，灵活地运用有关定理、法则、公式，能够突破思维 定势的局限。培养思维灵活性的一个较好的方法就是培养学生“一题多解”或“一题多变”能 力。 ( 五) 独创性 思维活动中的独创性，一是表现在“独”字上，即可以独立地发现、分析和解决问题，二 是体现在“创”字上，能够创造性的、主动地主提出新见解和采用新方法。例如，高斯在1 0 岁时就能摆脱常规运算，采用新的计算方法，快速计算出l + 2 + 3 + + 1 0 0 = - 5 0 5 0 ，是非常具有 独创性的。数学教师在教学中，应当培养学生独立思考的自觉性，教育他们要勇于创新，敢 于突破常规的思考方法和解题过程，大胆提出新颖的见解和解法。思维的独特性有三个特点： 一是独特性，它具有个性色彩，自觉而独立地操纵条件和问题，进而解决问题；二是发散性， 它从某一给定的信息中产生为数众多的形式各异的信息，即找到两个及两个以上的方案、结 论或者答案，形成复杂的结构与复杂的活动方式：三是新颖性，它的结果( 包括概念、结论、 方案) 都包含着新的因素，它是一种探新的思维活动。思维独创性最重要的指标就是思维的 6 东北师范大学硕士学位论文 新颖性程度，但是这种新颖性并不是脱离实际的，而是具有一定的社会价值，只有如此才会 被社会所接受和认同。 ( 六) 批判性 思维的批判性表现在学生具有批判和质疑精神，不拘泥于现有的定理和结论，对事物的 评价有自己的主见。对于自己解决数学问题中得出的结论能够严格地批判解题过程和解题方 法是否恰当，具备独立思考的能力，拥有敢于提出问题和发表不同建议的意识。例如，课堂 教学中有的学生能够自觉的纠正自己所做作业中的错误，分析错误的原因，评价不同解法的 优良等。 教学中要培养学生思维的批判性就应当训练学生“质疑”的能力，多问“为什么? ”现在学 生的课外读物、练习册和复习参考资料五花a 1 7 ，学生不应该面面俱到，应当适当选择，对 现有资料要有批判的精神。华罗庚教授曾经指出，学习前人的经验并不是说要拘泥于前人的 经验，我们可以适当怀疑和批评前人的成果。有批判才会有进步。 7 东北师范大学硕士学位论文 第二章数学思维的基本方式概述及应用 数学思维方式的类型可以从不同的角度进行划分，按照思维的指向可以分为集中思维( 又 称收敛思维) 和发散思维( 又称辐射思维) ；按照智力的品质可以分成再现性思维和创造性思 维；按照思维活动的形式可以分为形象思维、逻辑思维和直觉思维。数学思维的不同方式之 间是相互作用，紧密联系的。 一、集中思维和发散思维 ， 集中思维是指一个方向深入问题和朝着一个目标前进的思维方式。即，集中思维是调动 各种信息，依据常规寻求解决问题、整理知识或总结方法的思维方式。集中思维的显著特点 是定向性、纵向性。定向性是指要解决的问题朝向一个目标前进，有着固定的方向，采用一 定的方法或途径对问题进行思考。集中思维的定向性也经常被称为思维定势。在设当的条件 下，思维定势能够快速的与主体已有知识联系起来，得到解决问题的有效方法，在学习和解 题过程中起到正迁移的作用。但是，过度的思维定势则表现出思维僵化、呆板等局限性，难 以从整体、多角度来把握问题。因此，教师在课堂教学培养学生思维的定向性的同时应当确 立学生具体问题具体分析的辩证思想。集中思维的纵向性也指思维的层次性，是指思维的目 标按着逐步深入的原则一次分解成为若干小目标，通过逐个解决小目标从而解决大的目标。 思维的纵向性体现了思维过程的连续性和渐进性，同时它更加强调各思维环节之间的层次性 和因果关系。表现在解题过程中为，将原来的问题分解成若干纵向连接的小问题，前面小问 题的解决是为了后续小问题服务的。 。发散思维是对已知信息进行多方向、多角度的思考，不局限于既定的理解，从而提出新 问题，探索新知识或发现多种解答和多种结果的思维方式。发散思维思路广阔，寻求变异、 变通，在思维方向上具有逆向性和多向性的特点。逆向性是指思维过程中从已有的习惯和思 路的反向去思考、分析和解答问题。表现为逆用定义、公式、定理，逆向推理，逆向证明， 从反方向形成结论等。思维的逆向性有利于摆脱思维定势，突破旧的思想观念，发现新的知 识。思维的多向性是发散思维的一个典型特征。它是指从尽可能多的方面来考察同一个问题， 使思维不再局限于一种模式或一个方面，从而获得多种解答和多种结果。发散思维的多向性 在解答问题中有三种主要的表现形式，“一题多变”、“二题多解”、“一法多用”。“一题多解” 发散的是问题的解题方法，“一法多用”是解法角度的集中，而“一题多变”具有更高的发散性， 是从命题角度和解法角度同时发散。在数学教学中，教师适时运用数学思维的发散性，对于 诱导、培养学生的创造性具有极大的作用。 集中思维和发散思维在数学思维能力的形成过程中是紧密联系，相互促进的，在解决数 学问题中，总的目标是寻求问题的最佳答案，是集中。但就思维过程的局部而言，主题需要 运用题目的条件和结论给出的信息进行广泛的联想、分析和思考，是发散。总的说，一个完 8 东北师范大学硕士学位论文 整的数学思维过程是集中思维和发散思维的有机结合。 在数学课堂教学中教师对培养学生的集中思维和发散思维是相辅相成，不可偏颇的。集 中的结果体现于只是的深度，发散的结果则表现在知识的广度。初中数学教材的编排侧重于 思维的集中，因此教师教学中在重视集中思维的同时，更应当充分发展学生的发散思维，使 得学生在教师的指导下能够独立运用自己的思维主动地获得知识。教师应善于挖掘有利于发 挥学生发散性的素材，适度适时地把将发散思维的培养贯穿于整个教学活动中。 二、再现性思维与数学创造性思维 再现性思维是一种整理性的一般思维活动。创造性思维是与创造活动直接相关的，体现 在数学发明、发现、创造过程中。再现性思维是创造性思维的基础，创造性思维是再现性思 维的发展。在初中数学教学中，应当特别注重数学创造性思维能力的培养。笔者在此主要对 数学创造性思维进行详细的阐述。 ( 一) 数学创造性思维的含义与构成因素 创造是指发现新事物、揭示新规律、解决新问题及获得新成果的过程。创造性思维可以 说是思维过程中的创造性活动，强调思维的结果具有创新性质。创造性思维实质上市合理地、 协调地运用逻辑思维形象思维以及直觉思维等多种思维方式，是信息有序化以产生积极的效 果和结果。创造性思维具有新颖性独特、灵活变通、突破常规的特点。 创造性思维是人类最高层次的思维活动，它的产生过程是多因素相互作用的结果，它的 产生过程有这样几个基本因素必不可少，即创造诱因、信息储备和序化方式。 创造诱因是指诱发思维主体产生创新意识的各种因素，它的主要作用在于形成问题情境， 促使主题开展有目的、积极地思维活动，寻求解决问题的途径。创造诱因包括学生主体的创 造兴趣、创造欲望及个人需要程度等。创造诱因是创造活动中的基础。 信息储备是指思维主体在问题情境形成时原有认知结构中储备的信息量，以及这些信息 是否足以推动问题的解决进程。如果具备充足的信息储备，学生就能够顺利将新旧知识联系 在_ 二起，逐步得到问题解决的方法。如果原有认知结构中信息储备量不足，则容易形成知识 断层，思维过程的中断。 序化方式是指思维主体有效地使用相关信息时所采取的思维方式，在思维过程中，主体 系统地、灵活地运用各种思维方式，并借助其他的科学理论与方法，促进有序信息系统的产 生。类比、归纳、直觉、想象、灵感等在创造性思维产生的机制中起着主导作用。 ( 二) 数学创造性思维的培养 数学创造性思维的培养关键在于激发学生创造性思维的发生机制，可以从以下几个方面 做起： 1 激发创造诱因方面，教师应当在日常教学中，注重选择一些具有较强发散性的数学问 题和素材，通过教师尽心设计问题情境，营造创造氛围，达到活跃学生的数学思维的效果。 由于在班级中学生的智力水平、知识水平存在着差异，因此教师在启发学生创造诱因时要根 9 东北师范大学硕士学位论文 据学生的实际水平，鼓励学生勇于发现问题，鼓励、保护学生的一切含有创造因素的想法和 活动。 2 在信息储备方面，教师不应忽视数学基础知识和技能的学习和培养，注重学生所学数 学知识的逻辑性和条理性。另外，通过课外活动、数学专题讲座、主题活动等多种方式，努 力扩展学生的知识面，加深对知识理解的深度。 3 在序化方式方面，数学创造性思维并不是单一性思维，不能孤立存在，因此教师应当 充分重视数学形象思维、数学逻辑思维及数学直觉思维等的培养，注重各种思维方式的辩证 应用，通过具体问题的钻研和探索，领会数学思维的规律和方法，发展学生丰富的想象力和 敏锐的观察力，提高数学思维的灵活性、严密性和批判性，达到对知识和问题举一反三、融 会贯通、概括迁移的程度。 三、数学形象思维、数学逻辑思维和数学直觉思维 ( 一) 数学形象思维 形象思维是人类的基本思维形式之一，在科学创造领域有着不可低估的作用。在数学领 域中，形象思维是普遍存在的。形象思维是人在头脑中运用形象( 表象) 来进行的思维。人 类发现、掌握事物的本质，人类科学技术的发明，首先是从形象思维开始的。我国著名科学 家钱学森曾经说：“我建议把形象思维作为思维科学的突破口这将把我们智力开发大大向 前推进一步。”学生智力开发首先来源于数学，通过数学教学培养学生形象思维能力，意义重 大。 形象思维是指凭借事物的形象和表象进行联想或者想象的一种思维形式。形象材料是客 观事物的整体在人脑中形成的表象。数学形象思维是以数学的表象、直感和想象为基本形式， 以观察、比较、类比、联想、不完全归纳、猜想为主要方法，并主要地通过对形象材料的意 识加工而得到领会的思维方式。形象性和想象性为其主要特征，思维的过程带着整体思考、 模糊判别的合情推理的倾向。 数学形象思维具有两种基本的形式，即表象和想象。表象是人脑对当前没有直接作用于 感觉器官的、以前感知过的事物形象的反映。个别表象是头脑中再现出来的某个具体事物的 形象，一般表现是头脑中再现出来的某一类事物的形象。数学图表、图形、概念以及数学符 号等，都是数学表象。想象是以大量的数学表象为基础，运用大脑中已有的数学思想对表象 进行加工、整合，形成新的数学表象思维。 由于数学具有抽象性的特点，传统教学中往往重视数学逻辑思维( 或数学抽象思维) 能 力的发展，具体形象思维经常处于边缘地位，得不到重视。自从2 0 0 1 年第八次课程改革实施 以来，数学形象思维对于数学学习的积极作用受到广大学者和教育者的重视。 1 形象思维是思维结构中的重要组成部分。虽然数学具有显著的抽象性，但是形象思维 是人们赖以建立和理解数学概念的基础，是数学思维由具体形象上升到抽象逻辑不可或缺的 环节。在数学整个知识体系中，从概念到命题和结论，无一不是从具体事务中抽象出来的。 例如，初中教材中统计图表的知识部分，图不仅是研究对象，而且也是很重要的数学语言， 东北师范大学硕士学位论文 它是进行数学思维表达的便利工具。用图表来表达数学内容可以化抽象为具体，深入浅出， 易于理解。 2 形象思维对于识记、保存及运用数学知识具有重要的意义。在数学学习时，通过将形 象思维转移到个体熟悉的、易懂的直观事物中，不仅能够更加容易和稳定的保持知识，而且 被保持的抽象知识因为具有丰富的直观背景变得易于提取和应用。 ( 二) 数学逻辑思维 数学逻辑思维是指一种以词语过程进行表达，以概念、判断、推理为其基本形式，以比 较与分类、抽象与概括、分析与综合、归纳与演绎等逻辑方法为其基本方法的思维方式。逻 辑思维是数学思维的核心，同时初中阶段是学生形成逻辑思维的关键期。任何其他数学思维 方式要么需要以逻辑思维为基础，要么需要运用逻辑思维进行表达。数学逻辑思维具有两个 典型的特征：抽象性和逻辑性。 数学是一门逻辑体系严谨的科学，“一方面主要的数学事实是按逻辑方法来叙述或论证 的，大量的数学概念抽象概括的形式化、公理化；数学原理、公式、法则的推理论证高度严 密等：另一方面在数学学习中不仅要记住逻辑体系组成的大量概念、公式、定理和法则，而 且也要进行概念的分类、定理的证明、公式法则的推导，广泛使用各种逻辑推理和证明方法。” 数学活动离不开推理，数学的知识体系实质上就是用逻辑推理的方法构成的命题系统， 因此，推理与数学关系密切，教学中应注重推理能力的培养。 教学中如何培养学生的推理能力呢? 我们认为重要的是要注意推理过程的教学，一开始 就要逐步养成推理过程“步步有根据”，严密的推理，在熟练的基础上又要逐步训练学生简缩 推理过程。 ( 三) 数学直觉思维 数学直觉思维是人脑对数学对象、结构和关系的敏锐的想象和迅速的判断。这种直接的 想象和判断没有严谨的逻辑依据，也没有经过严格的中间推理过程。直觉思维过程可以分为 直觉想象和直觉判断两种形式。对数学对象和问题的直觉判断和直觉想象的有机结合就是数 学直觉思维。 数学直觉思维具有直觉性和或然性的特点，直接性是数学直觉思维的本质特性，是指直 觉思维直接反应数学对象和问题，是对数学对象直接的洞察和领悟。数学直觉思维经常是在 一刹那完成的，含有顿悟的成分。直觉思维的或然性是指思维的结果不够准确严密，可能正 确，也可能错误。 直觉思维是学习数学不可缺少的思维形式。直觉思维在数学发现中起了极大作用，很多 数学定理最初都是来源于直觉猜想。因此，训练学生的数学直觉思维，对于将来的数学创造 和数学发明具有极为重要的意义。 1 培养学生大胆猜想的意识和习惯 猜想属于合情推理的重要表现形式，对于未定论的数学问题，大胆猜想有利于解题思路 的正确诱导。数学猜想具有一定的规律，要以数学知识和经验为支撑。但是，在日常教学中 1 1 东北师范大学硕士学位论文 培养大胆猜想、勇于探索的思维习惯，是形成数学直觉、发展和完善数学思维、获取数学发 现的根本素质。因此，日常数学教学，在强调思维的严密性，结果的准确定的同时，也要注 意思维的探索性和发现性，也就是说不该忽略数学猜想的必要性和合理性。 2 培养学生敏锐的观察力和丰富的想象力 观察是一种具有持久行的有目的、有计划的直觉活动。观察是主体在处理复杂事物中首 先要做的，具有很大的理解性和主动性。培养学生敏锐的观察力就是要培养他们对问题“一 眼看穿”、“见微知著”的能力。 教师培养学生的观察力就要引导学生仔细观察数学问题本身的结构特点、关系特征、图 形特征、属性结合特征等，引导学生展开适当联想，将要解决的问题与已有知识体系建立连 接，充分发挥直觉思维的优势，敏锐的做出判断决策、解决问题。 联想是产生直觉的先导。数学直觉思维的培养，要求教师在数学教学中注重学生思维的 非逻辑训练，鼓励学生敢于突破常规，善于发散，不受逻辑的约束，自由思考，要时常引导 学生对要解决的问题进行联想，丰富自己的想象力。 3 注重从整体上对数学知识和方法的掌握，发展和丰富学生的块状知识结构。 直觉思维的形成是以相关的知识及其结构为依据的。块状知识结构由数学定义、定理、 法则等组成，并集中地反应在一些基本问题，典型例题或方法模式中。很多其他问题的解决 往往可以归纳成一个或者几个基本问题，化归为某类典型题型或者运用其他某种方法模式。 教师在数学教学中，要引导学生首先掌握好数学学科的基本理论( 包括概念、定理和公 式等) 和知识结构，将具备内在联系的知识融合起来，形成牢固的知识结构，来提高学生的 数学直觉思维能力。 + 综上所述，数学思维能力培养，不是某一种思维的独角戏，也不可以将各类思维方式孤 立起来，而是应当在数学教学中从整体上把握各类思维之间的关系和交叉融合，根据数学教 材知识正确处理思维材料，进行科学教学。+ 1 2 东北师范大学硕士学位论文 第三章培养数学思维能力的教学过程和策略 据有关调查表明，数学教学过程中主要存在三类思维：数学家的思维；教师的思维； 学生的思维。数学家的思维集中体现在教材上，教师的思维在数学家的思维与学生的思维 之间起着桥梁的作用。学生是思维的主体，而教师是学生思维的主导。数学课堂教学的实质 就是思维过程的教学，因此教学中必须突出数学思维的过程，把揭示思维过程贯穿于课堂教 学的始终。另外，数学课堂教学中培养学生数学思维能力应当注重层次性：第一层次，广阔 性、目的性；第二层次，深刻性、批判性、主动性；第三层次，灵活性、敏捷性、创造性。 其次，加强学生数学思维能力层次性及学段间的联系。 一、培养数学思维能力的课堂教学过程 不同课型对学生数学思维能力培养的要求不同，其教学过程就有所差异。概念课：设境 探究展示概括变式巩固。规律课：设境猜想推证归纳反思运用。问题课： 问题导向探索总结发散讨论。尽管不同的课型培养学生思维能力的途径不尽相同， 但是通常意义上的课堂数学思维能力的培养大致有这样几个环节。 ( 一) 问题情境的创设。 学生对学习有无兴趣和求知欲望，是能否积极思维的重要的动机因素。问题情境的创设， 其目的在于引起学生的注意，驱动学生的思维，为学生提供学习任务。鲁宾斯坦认为，思维 始于问题，勇于发现问题的思维正是人的认识的基本特征。教师创设问题情境，使学生的己 有知识与新知识之间产生矛盾和冲突，激起学生对新知识的需要，探索的兴趣和愿望。课堂 教学离不开真实的问题情境，问题情境的真实性具有重要的潜在动机资源。因为只有当学习 发生在真实的、有意义的情境中时，学习才是有效的。那么问题情境来源哪里，怎样创设呢? 人本主义学者罗杰斯主张，问题情境存在于生活的现实问题中：生活中的现实问题对学生的 学习最有意义，面对熟悉的、真实的问题情境，学生会全身心地投入到探索中。由此推论， 教师应尽可能以现实生活为背景创设问题情境，问题情境应当具有真实性。 问题情境的恰当与否，直接影响着学生后续学习活动开展的好坏。国外一些学者认为， 恰当的问题情境是由新的、未知的知识，主体的认知需要，主体的认知可能三部分成分组成 的。教师设置的问题是问题情境的核心内容。通常情况下，恰当的数学问题应当符合这样几 个条件：( 1 ) 问题具有导向性。问题要有明确的目的，要使学生的思维趋向于某一确定的方 向，有利于解决当前要研究和解决的问题。(