（基础数学专业论文）kp和广义hs耦合kdv方程的精确解.pdf

摘要 孤立子理论是应用数学和数学物理的一个重要组成部分，是非线性科学发展的一个 重要方向现在已有许多成熟的求得非线性方程精确解的方法，达布变换和h i r o t a 双线性 就是两种十分有效获取孤子方程精确解的方法本文从以下两个方面进行对孤子方程精 确解的探讨； 一是依据达布变换的理论，构造2 2 谱问题屯= u 垂= 垂吼= 圣及其 相应( 2 + 1 ) 维k p 方程；c o t = ；酊1 ”鲫+ ( 矗。一；”2 ) z 的达布变换，且进行了严格的证 明并通过变换w ( x ，t ) = ( 口( 毛”，t ) ) 3 + r 1 得到k p 方程的精确解然后以“= 0 ，口0 作为 种子解，利用此达布变换得到( 2 + 1 ) 维k p 孤子方程的多孤子解并讨论了n = 1 ，n = 2 时的简单情况，最后适当选择参数做出了单孤子的图像 二是运用h i r o t a 方法，给出广义h i r o t a s a t s u m a 耦合k d v 方程 lu t = ( “。一6 u u z ) + 3 ( v w ) z k 三： 的双线性变换u = 一( 1 n f ) 。”= 孚，”= ，将孤子方程化为双线性形式 l ( ；珑一d z d t ) f ，= 3 9 h ( d t + d 3 ) g ，= 0 ( 0 1 ) l ( d t + d 3 ) h ，= 0 并用摄动法求出了孤子方程的n 一孤子解，最后作出了单孤子解的图形 关键词；k p 方程；广义h i r o t a - s a t s u m a 耦合k d v 方程；达布变换；h i r o t a 方法；精确解 a b s t r a c t 傺14 烈锄，l c o z ， k e yw b r d g k pe q u a t i o n ；g e n e r a l i z a t i o no ft h eh i r o t a - s a t s u m ac o u p l e dk d vs o u t o n e q u a t i o n s ；d a r b o u xt r a n s f o r m a t i o n ；h i r o t am e t h o d ；e x a c ts o l u t i o n 1 目i 言 非线性演化方程的求解是在理论与实践中都很重要的研究课题精确解，特别是行波解可 以很好的描述各种物理现象，如振动、传播波等但由于非线性方程的复杂性，至今仍有 大量的方程无法求出精确解孤立子理论是非线性科学的一个重要方向，它反映了一类非 常稳定的自然现象，如江河中某一类水波，光纤中光信号的传播，等离子体中的磁流体流 动波等在流体力学，等离子体物理，非线性光学，经典场论和量子场论等诸多学科中孤 立子理论都起着重要的作用 人们在对非线性科学的研究中提出了孤子的概念，一般说，任何空间中传播的扰动， 都称为波在传播中不改变形状，大小和方向的波称为孤波。两个孤波经过相互作用仍不 改变形状，大小和方向，称为孤立子( 简称孤波) 孤立波具有非常奇特的性质，它们在 相互作用时保持稳定的波形，这种颇类似于粒子性质的波在自然界中具有一定的普遍性 早在1 8 3 4 年，英国科学家s o t t r u s s e l 就发现了孤子水波【3 4 ，3 5 】直到1 8 9 5 年，荷兰著 名数学家k o r t e w e g 和他的学生d ev r i e s 研究了浅水波运动，得到了著名的k d v 方程，从 而在理论上证实了孤立波的存在性【3 6 】许多科学领域如流体力学、等离子体物理、非线 性光学、聚态物理、超导物理、经典场论和量子场论等都包含着和孤立子理论密切相关的 问题，利用孤立子理论已经成功的解释了物理上长期用经典理论未能得到解答的现象在 应用上，如利用孤立波来改进信号传输系统，提高传输率等也取得了可喜的进展另一方 面，随着孤立子物理问题的研究，孤立子的数学理论也应运而生，为非线性偏微分方程及 非线性科学的研究注入了新的活力，形成了比较完善的理论体系 目前，在孤立子理论中，已有一系列方法用来求解非线性偏微分方程的精确解，如反 散射方法【1 ，3 ，6 ，2 4 】、b f i c k l u n d 变换 5 ，7 ，9 ，2 5 ，2 1 】、达布变换方法( d t ) 1 l ，1 6 ，1 9 ，2 7 ， h i r o d a 双线性方法【8 ，6 ，3 | 7 】、p a i n l e v 6 分析方法【1 2 ，1 3 】、l i e 对称方法【1 0 ，1 4 ，1 5 】以及 代数几何方法【1 7 ，1 8 ，2 3 ，2 6 】，非线性化方法【2 0 ，2 3 】、齐次平衡法【2 ，2 2 】等这些方法 涉及到经典分析和泛函分析、微分方程和动力系统，l i e 群、l i e 代数和无穷维代数、微 分几何，拓扑学、复分析、椭圆函数、代数几何及计算数学等诸多数学分支它们的发现 和使用，不但使过去难以求解的非线性偏微分方程得以成功的求解，而且不断的发现许多 非线性方程的有重要意义的新解特别是近年来，随着计算机的发展和符号运算如m a p l e 的m a t h e m a t i c s 出现，使复杂冗长的代数运算可以在计算机上完成，为孤立子方程的求解 提供了更有力的工具 1 达布变换方法是求解非线性方程显式解的十分有效的方法之一通常从一个平凡解出 发，首次达布变换和连续作达布变换可以分别得到方程的单孤子解和多孤子解，它最初来 源于一个世纪以前达布所提供的处理二阶常微分方程( s c h r s d i n g e r 方程) 谱问题的一个方 法【4 3 】经过一个世纪的发展，达布变换已经形成了较为完整的理论它的基本思路是； 利用非线性方程的一个解及其l a x 对的解，借助于谱问题之间的规范变换，得到达布变 换，然后通过代数运算及微分运算得出非线性方程的新解和l a x 对相应的解近年来，达 布变换方法得到迅速的发展，以成功地应用于一系列求与特征植问题相联系的非线性孤 子方程的精确解【1 9 ，2 7 】发展趋势由一维到多维，由单一的孤子演化方程到耦合演化方程 组达布变换的优点非常明显，只须作一次完全可积的线性方程组的求解，然后就可以用 代数运算来得到非线性孤子方程的新解它的关键是寻找一种保持相应的l a x 对不变的 规范变换 在求解非线性演化方程的限孤子解的方法中，还有一种重要而直接的方法，这就是 由日本数学家h i r o t a 提出的双线性方法【8 ，6 ，3 7 h i r o t a 方法相对于反散射方法而言被称 为直接方法，这种方法的优点在于它是一种代数而不是解析的方法h i r o t a 方法是1 9 7 1 年h i r o t a 3 8 】为了求出k d v 方程的多孤子解而发展起来的，这种方法已从求k d v 方程、 m k d v 方程【3 9 】、s i n e - g o r d o n 方程【4 0 】、非线性薛定鄂方程【4 j 的n 孤立子解而发展成 一种求解一大批非线性偏微分方程孤立子解的相当普遍的方法这种方法的关键是相关 的变量变换，把非线性方程化成为双线性方程之后通过摄动方法找到非线性方程的精确 解从而在孤子方程方面形成了独特的理论和方法体系 其基本思路是；首先通过函数变换，诸如有理变换，对数变换，双对数变换等将方程进行 双线性化，将其转化成所谓的“双线性形式”，而后借助于d - 算子的特殊性质，通过通常 的微扰法将扰动展开式截断成有限项，从而达到求解这些双线性形式的目的，最后导出方 程的n _ 孤子解 本文将分别运用d a r b o u x 变换方法和h i r o t a 双线性方法，研究两个新的非线性演化 方程的精确解 在第二部分首先提出一个新的l a x 对吒= u 西= h 圣吼= 圣利用相容性 给出孤子方程构造与之想联系的达布变换，然后在变换”( z ，玑t ) = ( v ( x ，”，t ) ) 3 + 7 1 之下导 出k p 方程的n 孤子解 2 在文献【2 9 】中r h i r o t a 和j s a t s u m a 导出了一个耦合k o r t e w e g - d ev r i e s ( k d v ) 方程 这就是通常所指的h - s 耦合k d v 方程，该方程通常描述不同色散关系的两列长拨的相互 作用许多与( 1 1 ) 相关的研究已经广泛而深入，例如它的孤子解，l a x 对，b a c k l u n c l 变 换，守恒律及其文献中f 2 9 ，3 0 ，3 1 ，3 2 】的其他性质受文献 4 1 】的启发，在第三部分中我 们考察属于这梯队的广义h i r o t a - s a t s u m ac o u p l e dk d v 方程【4 2 】 隹蔓1 i t + 3 扣咄 运用h i r o t a 方法通过变换u = 一( 1 n f ) 一。= 手， = ，将其双线性化，然后采取微扰 法，借助d 一算子的性质，通过求解双线性形式的方程得到非线性方程的n 一孤子解 3 譬 2 ( 1 + 1 ) 维孤子方程和( 2 + 1 ) 维k p 方程的达布变换及其精确解 1 达布变换 我们考虑( 2 + 1 ) 维k p 孤子方程； 毗= i 霹1 + ( 去w 。一；”2 k ( z 1 ) 其中露1 ，( 以y ，t ) = 。i ( 8 ，g ，t ) d s 在 2 8 】中已经用非线性化方法求出了这个方程的拟周 期解，同时证明了若“( 为y ，f ) ，u ( $ ，y ，t ) 是耦合方程 ( 小( 拟嘉意意美鬻；鼍篡嵩拙2 】) 仁z ， h a 壶睦a 3 挚+ ；u 俨学+ 3 u 。a ( 芷# ) 一3 6 u ”( 岛l ) + 6 u 3 ”21 ( ：) 。2l 等嘉裔蓄淼二裂端r i = 1 卜s ， i + 9 t 1 2 一x s v - l t k + ( 1 + ，r ，。一；( 1 + ，r ，u 口。】 的解， ( z ，”，t ) = ( ( z ，f ，t ) ) 3 + n 是方程( 2 1 ) 的解在这一节我们将构造方程( 2 1 ) 的 d a r b o u x 变换 其中u 具有下列形式 圣z = u 西，圣=( ：) 肚- a + u 2 v1 4 ( 2 4 ) 和相应的辅谱问题 这里； 和 曙儿) = 以1 2 ) 以2 1 ) 曙2 2 ) = = 西 吼= 毋 ( 2 5 ) ( 2 6 ) h = ( 霉甜 仁， w 1 1 = 一舻+ ( 务一 ) “。+ “2 + ( 一器) ( z n ”) 。：+ ；( t n ”) ： “1 2 ) = 2 v a + 2 u 一 订2 1 = 2 “v a + 2 “( 軎) + 2 v v z 一妒r v w 1 1 = + a 2 一( 务一；) “。一“2 一( ；一静) ( f ”) 。一；( i n ”) ： 耽= 引， 仁s ， 一a 3 + ( 2 ”3 + r 1 ) 一矗i 护( 芷笋) + 舻1 铲( 芝軎l ) + 扣+ 势) a ( 芷产) + 由“。t ”2 + 嘉“t b ( 孕一口2 ) + t 3 一刍( 2 v 一。r 。，“。一耵1 ( 2 口一器) t t k m 一( 2 删+ ) ( 口2 + 罟) 2 v a 2 + ( 2 u v t k ) a + ；地潍一2 “+ ( 2 牡2 一扣一4 v ( v 3 + r 1 ) 2 挚a 2 + 【2 v a 。- 。rt ) 。+ 2 “挚】入+ a 2 ( 挚) + 凯a ( 挚) + ( 2 “2 + u 。) ( 挚) 一如( 2 挚) 2 + 3 一( 2 3 + r 1 ) a + 南护( 生軎丑) 一丽1 7 萨( 壁古l ) 一扣+ 势) a ( 望兰軎l ) 一击“。 2 一矗t 。( 等一目2 ) 一u 3 + 刍( 2 v 一。r ，u 。t + 专( 2 v 一静) t 口m ：+ ( 2 u v + t k ) ( 口2 + 等) 这里u ，v 是位势函数，a 是常谱参数 首先引入谱问题的规范变换 其中t 由下式确定 西= t 圣 死+ t u = u t 5 ( 2 9 ) ( 2 1 0 ) 进而l a x 对( 2 4 ) ( 2 5 ) ( 2 6 ) 转化为 其中 毛+ t = t 噩+ t = t 圣。= u 垂 毛= 圣 圣t = 垂 ( 2 1 1 ) ( 2 1 2 ) ( 2 1 3 ) ( 2 1 4 ) ( 2 1 5 ) 谱问题的规范变换称为达布变换，若它将相应的谱问题转化为相同形式的谱问题 a b d1 ， n 一1n 一1n - 1n 一1 4 = + 钆妒，b = 风以c = 仇妒，d = d k a k = ok = ok = ok = o ( 2 1 6 ) 设妒( 如) = ( 妒1 ( ) ，i p 2 ( b ) ，) r ，妒( b ) = ( 妒l ( ) ，锄( ) ) r ，是( 2 4 ) 的两个基本解，通过( 2 9 ) 知，存在常数满足 j ( a 妒l ( ) + b 仇( ) ) 一( a 妒1 ( ) + b 忱( ) ) 2 o ， ( 2 1 7 ) i ( g 妒1 ( ) + d p 2 ( b ) ) + 竹( g 妒1 ( ) + d 仍( ) ) = 0 ， 进一步，( 2 1 7 ) 可以写成线性系统 g a + + o 呀i b 。= ：o 。, ， c z j s ， 薹k = 0 一啦坩一彬 ( 2 1 9 ) 。一1 ( 2 ) le ( 仇+ q 仇) 砖= 0 其中 q = 等密筹矧，1 j 2 n 一1 ， ( 2 2 0 ) 当常数，( k 若k j ) 适当选择时，( 2 1 9 ) 的系数非零，因此，如果我们选取 趾t 一”，c n - 1 茬荤 ( 2 2 1 ) 剩余的如，取，q ，d k ( o s n 一1 ) 可由线性系统( 2 1 9 ) 唯一确定，而口在下文中给定 矩阵( 2 1 6 ) 表明d e t t ( ) t ) 是a 的2 n 一1 次多项式且 d e t t ( ) = a 2 阻( ) d ( ) 一b ( ) g ( ) 另一方面，由( 2 1 8 ) 可知 所以 a ( b ) = - a j b ( ) ，g ( ) = 一a i d ( b ) 2 n - 1 d e 玎( a ) = 卢( 一x j ) ， j = l 这表明( 0 j52 n 一1 ) 是d e t t 的根( 其中卢与a 无关) 命题2 1 ：设n 满足一阶微分方程 以j m = - - ；a 。t n ( d n 1 ) 由式子足十t 矿= ( r t 确定的矩阵疗与矩阵u 具有相同形式，即驴可以表示为 疗= ( 莓a h 7 ( 2 2 2 ) 露= “一 如h ( d n - i ) ，( 2 2 3 、 哥3 = ”3 一；a 一l # 将原来的位势函数“和”映射为新位势面和o 证明：设t _ 1 = ( d e f t ) _ t 且 c 已+ t c ，t = ( 2 ： 笔2 ： 耄) ， c z z a ， t + 表示t 的伴随矩阵，容易验证，l l 和亿是 的( 2 n ) 次多项式由已知条件( 2 2 1 ) 知f 1 2 和，2 l 是a 的( 2 n 一1 ) 次多项式当a = 知u = 1 ，2 ，2 n 一1 ) 时，利用( 2 4 ) 和( 2 2 0 ) 可以得到方程 乃。= 2 堡# + 2 ( 一“) 乃一2 曰 1 j 3 n ( 2 2 5 ) 利用上述关系通过直接计算，所有0 = 1 ，2 ，2 n - 1 ) 是厶( 3 ，l = 1 ，2 ) 的根，进而( 2 2 4 ) 可以改写成 ， ( 死+ t u ) t + = ( d e t t ) p ( ) o ，( 2 2 6 ) p ( a ) 有以下形式 跗，= ( 璀k 扩珊篡趔) ， 其中p ( 0r ，j = l 2l - o ，1 ) 与a 无关，所以方程( 2 2 6 ) 等价于 疋+ t c 厂= p ( a ) z( 2 2 7 ) 比较等试( 2 2 7 ) 中a n + l ，a 和a 一1 的系数，可以得到 硝：) = 一1 ，碴= 1 ，砖? = 一2 c n - 1 ， ( 2 2 8 ) 艘一l = a 一l 。+ 2 挚 8 ( 2 2 9 ) ( 2 3 0 ) p ；= ( t n a ) 。+ ( 1 n d n - 1 ) 。一“ 将( 2 2 2 ) 代入( 2 2 s ) 一( 2 3 1 ) 有 ( 2 3 1 ) p ( o ) 1 = 露，p = 2 。，奄一一面，硝：= 2 芷护， ( 2 3 2 ) 对比( 2 , 1 0 ) 和( 2 2 6 ) ，即得 驴= p ( a ) 证毕注当n = 1 时，假定a 一1 = 占l l = n 1 = d l = 0 ，上述达布变换可以写为 豇= “一1 6 f n ( d 。) ，( 2 3 3 、 0 3 = 口3 一 0 , a o 若妒( ) 和妒) 也同时满足( 2 5 ) ，采用与命题2 1 类似的方法可以证明在变换( 2 9 ) 和 ( 2 2 3 ) 共同作用下，由( 2 1 1 ) 式确定的蟊与n 有相同形式 命题2 2 ：设n 满足一阶微分方程 o y t n a = ( “一l a z l n d n 1 ) 2 + 磊j 南一；) ( 一a , 1 d n 1 ) 一( ；一丽叁骑) ( m ( ”3 一学) 一+ 拟”3 华k 一“2 + ( 抒一 ) u 。+ ( 一务) ( z n ”) z 。+ ；( “n ”k ) 2 + 4 ( 口3 + r 1 ) 一a 一1 ( 2 2 ) 由式子( 2 1 1 ) 确定的矩阵玩与矩阵h 具有相同形式，在变换( 2 9 ) 和( 2 , 2 3 ) 作用下，将 原位势函数“和”映射为新位势面和i 证明，设t 一1 = ( d e f t ) 一1 t + 且 c 咿= 茗鲫9 1 2 ( a 9 2 t；) 仁。a ， 、9 2 2 州 容易验证9 1 l 和9 2 2 是a 的( 2 n + 1 ) 次多项式由已知条件( 2 2 1 ) 知9 1 2 和q a l 是入的 ( 2 n ) 次多项式当a = 如u = 1 2 ，2 n 一1 ) 时，利用( 2 5 ) 和( 2 2 0 ) 可以得到方程 町掣= 2 挚+ 轧( 乌丑) + 2 一警一2 卜a j 2 上- - 7 、且3 v n 一 ) ( 2 3 5 ) + u 2 + ( 一器) ( 1 n 口) z z + ；( z 一) ： 勺一( 2 a + 2 u v t k ) 碍 1 s j s3 n 通过上述关系，直接计算可以知道沁是g 。l ( s ，f = l ，2 ) 的根，进而( 2 3 4 ) 可以写成 ( 马+ t h ) t + = ( d e 玎) q ( a ) ， q ( ) 有以下形式 叫乳篙搿黼弹趔。般撩趔 其中哟( ，j = l ，2 ，z = o ，1 ，2 ) 与 无关 所以方程( 2 3 6 ) 等价于 蜀+ t k = q ( a ) t 比较( 2 3 7 ) 中a + 2 ，a + 1 和的系数，可以得到 g 弹= 一1 ，q ( 2 = 1 ，疆= 拶= 0 ，拐) = 一2 c n l = 2 学 次幂 口i ：+ q i j a n 一2 + q ( 1 ) 1 2 c n l = 一a 一2 + ( 知一 ) + u 2 + ( 一毋) ( z n ) 。 + ；( 打l 付) ：+ 2 ( 2 + r v ) b n 一1 + a t l n c t q l i ) 一1 + a 1 1 ) 一2 + q ( 1 ) 1 2 d 一l = 2 v a 一1 + 2 ( m t k ) + 2 b r 一2 摆+ 蠢：a 一l + 以? l ? k l + q ( 2 ) 2 2 c n 一2 = 一c n 一2 + 2 ( 口2 + 罟) d 一1 也：b 一1 + 西d 一1 + d d 一2 = 2 v c n l d 一2 ( 2 3 6 ) ( 2 3 7 ) ( 2 3 8 ) a “一1 次幂 罐a 一1 = 一g i ：a 一2 一q ? 1 ) a 一3 一q 墨了一l q i ( k 一2 + u 2 + ( 击一 ) t 。+ ( 一赤) ( 1 n 口k + ( f 礼钟) 劲a ，一1 一a 一3 + 2 ( 锄2 + r ) b n 一2 + 2 u ( v 2 + ；) + 2 v v x 一爷1 召k l + 坚! ! ：半 q ；爹d 一l = 一q ( o b r l q ( 1 ) 1 1 b n 一2 一q ? i ) b n 一3 一口 2 d 一2 + 2 v a n 一2 + ( 2 u v v z ) a n 一1 + 口一3 一m 2 + ( 南一) u x + ( ；一面r ，) ( z 舢k + l ( 1 n v ) 2 l b n l + 生学 ( 2 3 9 i ) 捌a 一1 = 一建；a 一2 趔o n 一1 + 口( 1 ) 2 2 c n 一2 一口( 2 ) 2 2 c n 一3 + 2 u ( v 2 + ；) + 2 v v z r v - 酬d 一1 一印一3 + p + ( 素一 ) 毗+ ( 一赤) ( f 删k + ；( 跏 ) 劲秭一1 + 2 ( 2 + ；) d 一2 + 坚学 醴字d 一l = 一出b n 一1 一建j b ，一2 一丞_ d 一2 一一建d 一3 + 2 口l ? k 一2 + ( 2 u v v z ) o 一1 + d n 一3 一【t 上2 + ( 寺一 ) “。+ ( 一击) ( 1 n 口k + ；( j n 竹) 劲d 一1 + 生学 另一方面，利用命题2 1 ，比较方程( 2 2 7 ) 中a ，a 一2 的系数，有 a n 一1 。= 2 0 c n l 一2 血jb n 一1 b n 一1 。= 2 u b n 一1 2 b n 一2 2 v a n 一1 + 2 0 d 一1 珊一l 声。2 c n - 2 - - 2 c n - 1 a - l 一2 华d - 1 一托国一1 ( 2 4 0 ) d n 一1 。= - - i ) ( 1 n a ) d n 一1 + u d n 一1 一面d 一1 b n 一2 。= 2 u b n 一2 2 b n 一3 2 v a n 一2 + 2 0 d n 一2 ( ? r 一2 ，$ = 2 c n 一3 2 u c n 一2 2 ( v - 垫z - r v r ) d n 一2 + 2 ( ! ! 軎n ) a _ 一2 根据( 2 4 0 ) 和命题2 2 中的( 2 2 + ) ，并联立孤子方程( 2 2 ) ，通过复杂计算，可以得到 馥字一一q 器= 一陋2 + ( 蠡一 ) 面。+ ( 一击) ( f n 。) 。+ ；( z n 。) 劲 q l o ) = 2 丽一。，q 学= 2 。， 攒= 2 豇( 。2 + ) + 2 。玩一争 证毕 根据命题1 和命题2 ，达布变换( 2 9 ) 和( 2 2 3 ) 将l a x 对( 2 4 ) 和( 2 5 ) 映为相同形式 的l a x 对( 2 1 3 ) 和( 2 1 4 ) ，并且两个l a x 对通过相容条件都可以得到相同形式的孤子方程 ( 2 2 ) 我们也称( 垂，t ) _ + ( 壬，面) 是孤子方程( 2 2 ) 的达布变换 综上所述，有下面定理成立 定理1 ：孤子方程( 2 2 ) 的一个解( ，1 ，) 在达布变换( 2 9 ) 和( 2 2 3 ) 作用下，映射为另 一个新解( 面，o ) ，其中a n 一1 ，d n l ，由已知条件( 2 2 1 ) 和线性系统( 2 1 9 ) 确定 若也满足( 2 4 ) 和( 2 6 ) ，对乒= t 两端关于t 求导，得 我们有下列命题： 五= 亿西，晚= ( 互+ t v 2 ) t 1( 2 4 1 ) 命题2 3 ：设o t 满足一阶微分方程 c o t l n a = 一刍伊( 至兰軎l ) + 南护( 学) + 扣+ 象) a ( 学) + 南面。2 + 界1u - u - 。( 、2 。r t i 2 ) + 豇3 一葫2 ，( 2 口一争) 。一一击( 2 口一争) 面z 一( 2 豇。一) ( 口2 + 争) 一 a o ( a 一1 ) 2 + 2 ( 丽一) 强一l + 引2 c n - 1 a 一1 + 2 ( 口2 + 等) d 一l + 2 u c n 一1 + 佩也】 ( 2 4 2 ) + 【( 2 口一) + 2 u ( v 2 + t 1 ) 扣一2 ( v 2 + v ) ( - 2 u v + 一2 v a n 一1 + 2 0 d n 1 ) 一耐1 护( 争) + 硒1 护( 华) + 扣+ 参) a ( 挚) + 嘉“。”2 + 嘉u ( 孕一v 2 ) + 3 一刍( 2 口一争) t k z 一嘉( 2 v 一和) “z 一( 2 u v + ) 扣2 + 等) 由式子( 2 1 2 ) 确定的矩阵蟊与矩阵k 具有相同形式，在( 2 9 ) 和( 2 2 3 ) 作用下，将原位 势函数t 和 映射为新位势豇和o 证明；设t 一1 = ( d e f t ) 一1 t 且 ( t t + t v 2 ) t ：f 1 l ( a ) 1 2 ( a 1 ， ( 2 4 3 ) r 2 l ( a ) r 2 2 ( a ) 容易验证r l l ( a ) 和r 2 2 ( a ) 是a 的( 2 n + 1 ) 次多项式由已知条件( 2 2 1 ) 知r 1 2 ( a ) 和r 2 1 ( a ) 是a 的2 n 次多项式当a = ( j = 1 ，2 ，2 n 1 ) 时，利用( 2 6 ) 和( 2 2 0 ) 可以得到方程 即= 2 挚a 2 + 【噶产+ 2 “学】a + ；护( 学) + 2 “a ( 争) + ( 2 t 上2 + 抛) ( 牛) 一如( 争) 2 + 2 q d 3 一( 2 ”3 + r 1 ) a + 拶( 学) 一赤铲( 挚) 一( 叶势) a ( 争) 一石1 。u 。口2 一葡1 ，( 争一口2 ) 一护+ 蠡( 2 口一争) 地”z + 刍( 2 口一器) t k z + ( 2 u v + z ) ( 口2 + 弩) 】 田 2 a 2 + ( 2 u v 一) a + t ，删一2 u v x + ( 2 t 2 一“z ) 一4 v ( v 3 + r 1 ) 】 通过上述关系，直接计算可以知道b u = l ，2 2 n - 1 是r “( 入) ( 3 ，f l ，2 ) 的根，进而( 2 a 3 ) 可以写成 ( 正+ t 班) t + = ( d e t t ) r ( a ) r ( a ) 有以下形式 砌州 篇嚣端攫 其中喇( 0 、k ，j = 1 ，2 ，z = o ，1 ，2 ) 与a 无关 ( 2 4 5 ) 、 毖 吣2 + q a + “船 a ，n ，2 +舻 肌趱 砷2 +矗妒 娩 所以方程( 2 4 5 ) 等价于 正+ t = r ( a ) t 令略玎中a o 的系数为喇巧( i j 取1 或2 ) 叫1 1 ) = 叫1 2 ) 叫2 1 叫2 2 ( 2 4 6 ) 一蕊1 护( 争) + 驴i 铲( 挚) + 扣+ 势) a ( 牛) + 击u 。口2 + 壶”( 孕一v 2 ) + “3 一玉( 2 一ry 。一击( 2 v 一) “。一( 2 u v + ) ( 口2 + 鲁) 口一2 u v z + ( 2 t 2 一“。) 口一4 v ( v 3 + r 1 ) 萨( 争) + 凯a ( 挚) + ( 2 “2 + u 。) ( 孚) 一4 ( 学) 2 击伊( 学) 一秘1 铲( 挚) 一扣+ 格2 v1 l 酬- - x 血v 、一硒1 “。口2 一壶t t 。( 等一 2 ) 一t 3 + 刍( 2 v 一rv 。：+ 击( 2 一) “t b + ( 2 u v + ) ( 口2 + 鲁) 比较( 2 4 6 ) 中a 帕，a + 2 的系数，可以得到 r 箝= 一1 ，如爹= 1 ，r 泞= 矗挈= 0 ，r 箬e 一2 西一。= 2 ：且 ( 2 4 7 ) a + 1 次幂 r i j + r g a n l + r 3 ) a n 一2 + r 曰( n 一1 = 2 ( 钉34 - r l ? ) 一a 一2 + 2 扣+ 罟) 召k l r ；b n l + r 日知一2 + r 2 ) d n l ：2 ( t 一) + 肋a 一1 + b n 一2 ( 2 4 s ) 矗：+ 攫a n 一1 + 爹一1 + r 罂c _ 一2 = 一c _ 一2 + 2 ( ”2 + 譬) d 一1 摆b 一1 + 趟挈d l + r 2 d 一2 = 2 v c n l + d 一2 a “次幂 r ：= 一r i ，a 一l r 佟a 一2 一r ( 3 a 一3 一r i l ? k 一1 一r ；拿7 一2 + ( 2 v 3 + r 1 ) a 一1 一a 一3 + 【( 2 移一) + 2 u ( v + ) 】b 一1 + 2 ( 口2 + ) 母一2 + o t ( 1 n e ) + 叫1 l r d 一1 = 一r i j b 一l r ，l c 2 1 ) 一n 一2 一r g b n 一3 一r 管d _ 一2 + ( 2 u v 一) a 一1 + 2 v a 一2 - ( 2 v 3 - 4 - r 1 ) b n 一1 + b n 一3 + 魄2 ( 2 4 9 ) 攫) = 一以：a 一1 一r 箬a 一2 一r ( 1 ) c n l 一矗爹c n 一2 一辽爹c n 一3 + ( 2 v 3 + r 1 ) g 一1 一e 一3 + ( 2 口2 + 蛩) d 一1 + 【( 2 v 一rv z + 2 u ( v + 罟) 】d 一1 以j d 一l = 一矗：b n 一1 一摆) b n 一2 一矗爹d 一2 一以爹d _ 一3 + ( 2 u v 一口。) l o k 一1 + 2 v c n 一2 一( 2 v 3 + n ) d 一1 + d 一2 a n - 1 次幂 r 2 d 一l = 一r ( o b 一l r 1 1 ) b n 一2 一r 。( 2 ) - - 一3 r i 3 2 ) b n 一4 一r i d 一2 一r i 拿d 一3 + 日k l a z n 口 - f b n l ，+ ( 2 u v 一) a 一2 + 2 v a 一3 一( 2 v 3 + r 一1 ) b 一2 + b 一4 + 叫1 2 a 一l 一哦1 1 b 一l ( 2 5 0 ) 矗拿d 一l = 攫b 一1 一j 口一2 一摆口一3 一以箩d _ 一2 一d 爹d 一3 + ( 2 u v t k ) 1 7 一2 + 2 口l ? k 一3 一( 2 v + r i ) d 一2 + d 一1 a f ， n + d 一n + 哦1 2 ) c n l 一哦n d 一l 另一方面，利用严格证明的命题2 1 ，比较方程( 2 2 7 ) 中a ， 一3 的系数，有 b n 一2 = 2 u b n 一2 2 b n 一3 2 v a n 一2 + 2 口d 一2 d 一2 ，z = 2 盘7 1d 。n - - 2 - - 。( 如f n n ) d n - 2 - - 2 v 一3 ( 2 5 1 ) b n 一3 。= 2 u b n 一3 2 b n 一4 2 v a n 一3 ( 知一2 一= 2 c n 一3 2 u c n 一2 2 ( 2 曼吉盐) d 一2 + 2 ( 曼! 軎l ) a r 一2 根据( 2 4 2 ) 和( 2 5 1 ) ，并联立孤子方程( 2 3 ) ，通过复杂计算，可以得到 r 箝 r 擘 r 学 r g 一爹= 一1 堙= 0 2 啻 2 啦 ! 4 一矗= 2 ) 3 + r 1 2 丽一 1 2 。3 - - 广rv $ + 2 面学 r 留= 一毋= 一蘅1 矿( 学) + 形1 俨( 学) + 扣+ 象) a ( 学) + 矽1 。口2 + i 矿1 面面。( 等一。2 ) + 豇3 一嘉( 2 。一。r 。，z 一一而1 f ( 2 。一争) 面砚”一( 2 面。一。z ) ( 。2 + 弩) r i 警= o 。一2 日+ ( 2 a 2 一面。归一4 0 ( 0 3 + r 1 ) 攫= ；护( 里兰軎l ) + 2 面a ( 学) + ( 2 f i 2 + ) ( 学) 一蜘( 学) 2 对比( 2 1 2 ) 和( 2 4 6 ) ，易得仍= r ( a ) 证毕 命题( 2 1 ) 一( 2 3 ) 表明：达布变换( 2 1 9 ) ( 2 2 3 ) 将l a x 对( 2 4 ) ( 2 5 ) ( 2 6 ) 映为l a x 对 ( 2 1 3 ) ( 2 1 4 ) ( 2 1 5 ) 故利用相容条件得到相同形式的孤子方程( 2 2 ) ，( 2 3 ) 换句话说，两个 l a x 对可以推导出方程( 2 1 ) 定理2 设，= 口3 + r l ，亩= 0 3 + r 1 ，则由达布变换( 2 9 ) 和( 2 2 3 ) 可以从2 + 1 维k p 方程的 一个解生成另一个解 o = 哥3 + r l = 口3 一；a 一1 + r l 其中a 一l ，d 一1 可由线性系统( 2 1 9 ) 唯一确定 称变换( 以u ，”) 。( 事，面面) 为( 2 + 1 ) 维k p 方程的一个达布变换 1 5 ( 2 5 2 ) 2 精确解 利用上面给定的达布变换我们可以得到孤子方程( 2 1 ) 一系列的精确解以平凡解 t = 0 ， 0 的常数作为种子解，代入l a x 对( 2 4 ) ，( 2 5 ) 和( 2 6 ) 中，可以得到( 2 4 ) 、 ( 2 5 ) 和( 2 6 ) 的基本解选取两个基本解为 其中 一( 秘麓砌白) 州轳( 鼬筹江白) ， 其中t 白2 勺! ! ：兰! ：堕二2 ( 3 + r ，) 】( 2 5 4 ) 勺= 、24 - 4 ( 3 4 - 7 1 ) 1 j 2 n 一1 根据等式( 2 2 5 ) 有 。= 嘉誊觏+ 嘉1 j s 2 n - - 1( 2 5 5 ) 由线性系统( 2 1 9 ) ，利用克莱姆法则求解，得 a = a 一。= 全 ， c n - 1 锷v j ， v 一：节。 d = 半， 五d = 一c n l a ， 1 盯1al(71a1 a i 盯l a ，一2a f 一1 1 0 2a 2 u 2 a 2 镌 眈a f - 2 a - 1 1 0 3a 3a 3 a 3 a ； a 2 r - 2a 争- 1 1 o 2 n 一1a 2 n 一1o 2 n i a 2 n 一1a ；一1 o 2 n 一1 a 2 n - 一2 la ：名兰1 1 6 ( 2 5 6 ) l x a 一1 = = 1 盯1a 1盯1 入1 口l a ，一2口盯1 a ，一1 一a r 1 眈a 2观k 眈a ，一2v a 2 a n 一a 参 1口3a 3a 3 a 3 以a ，一2w 3 a n 一1 一a 争 1 a 2 n 一1a 2 一1 a 2 n 一1 a 2 n 一1c r 2 一1 a 2 n - 一2 l甜a 一l 2 n - 一1 l a 0 0 一l 1 仃1a l 盯1 a l a 盯l a 一2盯l a r 一1 1 眈a 2眈a 2柏 观a ，一2眈a ，一1 1 田a 3田a 3a ； c r 3 a ，一2c r 3 多一1 1 哪一l沁一1 盯2 一1 a 2 一1 a ；一1 一 o 2 n 一1 a 2 始1 0 2 n 一1 、2 n 一- 1 l 从而利用达布变换( 2 2 3 ) 得到方程( 2 2 ) ，( 2 3 ) 的非平凡解，进而在变换 t d ( z ，! ，t ) = ( 口( z ，”，t ) ) 3 + r l 之 ； 有： l 面= “一 如l n ( d n 1 ) ， 扣旧) 3 = 3 l o z a n l ( 2 5 7 ) l 酬】= ( 口【】) 3 + r 1 我们考虑上述达布变换的结果在n = i 和n = 2 时的简单情况； ( i ) 当n = i 时设a = a l ，u = 0 ，口= 1 ，根据已知条件( 2 2 1 ) 和线性系统( 2 1 9 ) ，可以得到 函2 了1 雨- - l o l z 。2 一：妒1 - - 雨l o l z 如扣弘11 ) 2 1 _ 等篙藩】 如c r l = 弘11 ) 2 卜等篙等】 一h ) 3 【躺一等篙蒜， 1 7 ( 2 5 8 ) ( 2 5 9 ) ( 2 6 0 ) ( 2 6 1 ) ( 2 6 2 ) ( 2 6 3 ) 进而，利用达布变换( 2 3 3 ) ，孤子方程( 2 1 ) ( 2 2 ) ( 2 3 ) 的一个解为 面 1 1 = 鼠l n ( 玩) = 一i 1 硼o l z z 一( 1 n a l ) 。 1 】) 3 = 7 1 ，2q 1 训2 等篙蒜 口【1 】= ( 云【1 ) 3 + r 1 ( 2 6 4 ) ( 2 6 5 ) ( 2 6 6 ) 当参数适当选择时，此解是单孤子解 ( i i ) 当n = 2 , a = 0 = 1 ，2 ，3 ) “= 0 ， 0 利用已知条件( 2 2 1 ) 和线性系统( 2 1 9 ) ，有 a - = 譬， d 1 ： = a a l = = 通过直接计算，我们可以得到 研2 】 扣 2 ) 3 科2 】 ”嵩a ，i 一半 i(71a 1 1 0 2 2 1 0 3a 3 a d l = 一仍 v a l o 1 一艇 v a 2 a 2 一鸠 v ) 1 3 0 3 一碡 n l a x h ( d 1 ) ， 护一； ( 哥【2 1 ) 3 + r 1 1 8 ( 2 6 7 ) ( 2 6 8 ) ( 2 6 9 ) ( 2 7 0 ) 以 叽 以 1 1 1 叽 观 田 ； n = i 时我们选择适当参数可以得到下列得孤子图 0 0 8 0 嘣 0 0 8 加5 o - 0 6 0 0 4 o 0 8 0 0 3 0 8 0 0 2 o 0 8 0 0 1 f i 9 1 【l 】，a = o 4 ；r = 0 0 8 ；= 0 1 1 9 f 撕2 ；( t z z z 一6 u u 。+ 3 ( u k 【。：一地。+ s “。 通过变换u = 一o ( 1 n ，) 一”= 手，”= ， la ( h l f ) 。h = 陋( 1 n ，) 。；。一6 a 2 0 n f ) 。( i n f ) 。】+ 3 ( 笋k n ( 1 n ，) 耐= ；陋( 1 n ，) 一一3 a 2 ( 1 n ，) ：。】+ 3 碧 【a 学= 拟学一3 ( 学d 2 ) 2 ) 一3 舻( 学) 2 】+ 3 笋 ( j l u 。4 一d x d t ) f f = 3 9 h 7 9j 产一7 9 ) 一z 一3 ( i n ，) z z ( ；) t 等叫等一s 等等阳等等 瞄烈咄_ i l 彤d ；n g ( z ，t ) ，扛，t ) = ( 击一寿) n ( 岳一旁) ”9 p ，t ) ，( z ，t ，) l z =