（概率论与数理统计专业论文）幂赋范顺序统计量极限分布.pdf

一 能 。一电 t - 纷 目录 摘要i a b s t r a c t 。i i 第一章前言和预备知识。 1 1 1 前言1 1 2 文献综述j 2 1 3 问题及论文安排5 第二章幂赋范极值分布。 6 2 1 幂赋范极值分布的一致表示及分类。6 2 2 线性赋范极值分布与幂赋范极值分布的联系1 0 2 3 例子1 5 第三章漂移随机足标下幂赋范顺序统计量的极限分布1 7 3 1 三种漂移分布的定义j 1 7 3 2 主要定理。1 8 3 3 定理的证明1 9 参考文献3 0 致谢。3 2 硕士期间发表完成论文3 3 西南大学硕士学位论文摘要 摘要 本文由两部分组成，研究幂赋范顺序统计量的极限分布第一部分主要研究独 立同分布随机变量序列幂赋范极值分布的一致表示；第二部分研究随机足标下幂赋 范顺序统计量的极限分布 当极限分布非退化时，幂赋范极值分布有六种类型，而寻求它们的统一表示在 统计理论分析及其应用中很有意义我们推导出六种极值分布的统一表示如下； 珥( z ) = e x p 一( 1 + ，- s i g ( r ( f ) ) l o g ( s 洲f ) ) z ) + ) q 7 f ) ， 其中7 - r 为幂赋范极值指数 此外，还得到分布函数属于幂稳定吸引场的一个涉及广义正规变化函数或正规 变化函数的充要条件特别是当分布函数属于幂赋范极值吸弓l 场时，该充要条件对 进一步判断它属于哪一类幂稳定律方便有用 第二部分主要研究具有随机足标的幂赋范顺序统计量的极限分布当正整数随 机指标n ( n ) 分别服从漂移负= 项分布、漂移泊松分布和漂移二项分布时，我们得 到相应的幂赋范顺序统计量的极限分布 关键词：幂赋范顺序统计量；极限分布；一致表示；随机足标；漂移分布 l l i m i td i s t r i b u t i o n so f0 r d e rs t a t i s t i c su n d e r p o w e rn o r m a l i z a t i o n j i a n gq i n d i r e c t e db y p r o f p e n gz u o x i a n g a b s t r a c t t h ec o n t e n to ft h i st h e s i si sa b o u tt h el i m i td i s t r i b u t i o n so fo r d e rs t a t i s t l c s u n d e rp o w e rn o r m a l i z a t i o n ，w h i c hi n c l u d e st w om a i np a r t s t h ef i r s tp a r tm a i n l y f o c u s e so nt h eu n i f i e dr e p r e s e n t a t i o no fl i m i t i n gd i s t r i b u t i o n so fm a x i m ao fi n d e p e n - d e n ta n di d e n t i c a l l yd i s t r i b u t e dr a n d o ms e q u e n c eu n d e rp o w e rn o r m a l i z a t i o n ，a n d t h el i m i td i s t r i b u t i o n so fo r d e rs t a t i s t i c su n d e rp o w e rn o r m a l i z a t i o na n dr a n d o m i n d i c ef o rt h es e c o n dp a r t i ti sk n o w nt h a tt h e r ea r es i xt y p e sp o w e rs t a b l el a w sf o rt h el i m i td i s t r i b u t i o n s o fm a x i m au n d e rp o w e rn o r m a l i z a t i o na si t sl i m i td i s t r i b u t i o ni sn o n g e n e r a t e t o e s t a b l i s ht h ea m i f i e dr e p r e s e n t a t i o no ft h ep o w e rs t a b l el a w si si n t e r e s t i n gi ns t a t i s - t i c a lt h e o r i t i c a la n a l y s i sa n di t sa p p l i c a t i o n s t h eu n i f i e dr e p r e s e n t a t i o no ft h es i x p o w e rs t a b l el i m i tl a w si sj 所( z ) = e x p 一( 1 + 丁咖( r ( f ) ) l 。g ( s 酬f ) ) z ) + ) 。1 p ) w h e r e 丁r t h ep o w e rn o r m a l i z a t i o ne x t r e m ev a l u ei n d e x m e a n w h i l e ，s o m en e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o n s ，r e l a t e dt og e n e r a lr e g n - l a r l yv a r y i n gf u n c t i o no rr e g u l a r l yr a v i n gf u n c t i o n ，f o rt h ed i s t r i b u t i o nb e l o n g i n g t oo n et y p eo fp o w e rs t a b l el i m i tl a w sa r ee s t a b l i s h e d ，w h i c ha l s oa r eu s e f u lt oj l 睁 t 匆t h ed i s t r i b u t i o nb e l o n g st ow h i c ht y p eo fp o w e rs t a b l el a w sa st h ec o n s i d e r e d d i s t r i b u t i o nb e l o n g st oo n et y p eo fe x t r e m ev a l u ed i s t r i b u t i o n s i nt h es e c o n dp a r t ，w es t u d yt h el i m i t i n gd i s t r i b u t i o n so fo r d e rs t a t i s t i c su n d e r p o w e rn o r m a l i z a t i o na n dp o s i t i v ei n t e g e rr a n d o mi n d i c ea st h er a n d o mi n d e x ( n ) f o l l o w st h es h i f t e dn e g a t i v eb i n o m i a ld i s t r i b u t i o n ，t h es h i f t e dp o i s s o nd i s t r i b u t i o n a n dt h es h i f t e db i n o m i a ld i s t r i b u t i o n ，r e s p e c t i v e l y k e y w o r d s ：e x t r e m eo r d e rs t a t i s t i c su n d e rp o w e rn o r m a l i z a t i o n ；l i m i t i n gd i s t r i b u t i o n ；u n i f i e dr e p r e s e n t a t i o n ；r a n d o mi n d e x ；s h i f td i s t r i b u t i o n i i 西南大学硕士学位论文 第章前言和预备知识 第一章前言和预备知识 1 1 前言 极值理论( e x t r e m ev a l u et h e o r y ) 兴于上世纪3 0 年代，主要研究自然界和人 类社会的些极端现象，如洪水，地震等自然灾害，大型土木建筑的安全性与可靠 性，特别足对金融风险，大额的保险理赔等小概率事件的估计与预测失灵，而极值 理论模型在极少的信息下能较为有效地在样本之外对极端事件发生的概率或大分位 数作出估计与预测我们知道关于线性赋范极值理论已经形成了系统性的研究，如 下是线性赋范极值类型定理； 设【k ) 足独立同分布( i n d e p e n d e n ta n di d e n t i c a l l yd i s t r i b u t e d ，以下简记为 i i d ) 的随机变量序列，其公共分布函数为f ( z ) 记= m a x l i 0 ，k r ，凡1 ，使得 l i mp n ：1 ( 一k ) z ) = l i mf n ( n 。z + k ) = g ( z ) ， ( 1 1 ) n t i 其中a ( x ) 为非退化的分布蕊数，那么c ( x ) 必为以下三大极值分布类型之一： - 弧= 1 z o ； 0 0 z 0 ； z 0 其中p 0 为常数，并简记为f d ，( 何) 称分布函数日1 和2 在幂赋范意义下同 类，如果存在常数a 0 和b 0 使得对任意的z r ? 有皿( z ) = h 2 ( a l z l b s ( z ) ) 成立 关于线性赋范极值理论方面的研究已经有大量成果，如对极值指数，y 的估计、 随机足标下极值的极限分布、二阶条件和矩收敛速度等等，觅文献g n e d e n k o 【2 ， l e a d b e t t e r ，l i n d g r e n 和r o o t z d n 3 ，r e s n i c k 4 】，d eh a h n 和f e r r e i r a 5 】等，而幂赋 范极值理论尚未形成系统性研究由予对圾值指数的研究在概率统计的理论和实际 中占有重要的地位，因此对幂赋范极值分布的统一表示的寻求显得更加重要随机 足标下极端顺序统计量的极限分布也足极值理论近期研究的热点问题，在金融保险 和排队论中有广泛的应用因此对随机足标下幂赋范极端顺序统计量极限分布的研 究，不仅有其理论价值，还具有一定的现实意义 1 2 文献综述 非线性赋范极值分布由p a n c h e v a 1 】最先提出并研究，其等价类称为最大半稳 定类( m a x - s e m i s t a b i l i t y ) 可以简要叙述为：对分布函数h ( z ) ，存在非负严格单增 函数k ( z ) ，使得对任意自然数n ，有 h ( x ) = h “( l 。( 。) ) 当k ( z ) = a n x + k 时，即为线性赋范极值分布；当厶( z ) = a n i x l b n s ( x ) 时，即为 幂赋范极值分布设 x 。) 为i i d 随机变量序列，其公共分布函数为f ( z ) ，如果 2 ，l-ll-f1-i【，llij(1i【 ，i(1一，cll 西南大学硕士学位论文第一章前言和预备知识 存在正常数列和k 使得( 1 2 ) 成立，则称f 属于日的幂赋范极值吸引场记为 f d p ( 日) ，并得到极值分布h ( x ) 只可能有六种类型p a n c h e v a ( 1 和 6 - 【9 】) 进 一步研究非线性赋范顺序统计量的极限分布为最大半稳定类的充要条件，即厶0 ) 应有的性质，对应的分布函数尾部表示，最大半稳定类的一致表示 幂赋范极值理论已有的研究重点在分析分布函数属于幂赋范极值类型吸引场的 充要条件或充分条件、赋范常数的确定、幂最大稳定分布性质的研究 m o h a n 和 r a v i 1 0 研究了一元和多元i i d 随机变量序列幂赋范情形，分布函数属于幂赋范 极值分布类( p - m a xs t a b l el a w s ) 的充要条件及幂赋范常数的确定、线性赋范极值分 布与幂赋范极值分布之问的关系，其研究与经典的线性赋范极值理论相关方法与研 究手段联系起来，推动了幂赋范极值理论的研究可以简要叙述如下： 命题1 i 臆理2 1 - 2 6m o h a n 和r a v i 1 0 】设f 为分布函数，r ( f ) = s u p ( z ： f ( x ) 1 ) 为其右端点，f 。 ) = i n f y ：f ( y ) z ) 为f ( x ) 的广义逆函数则， 以) f 岛( h 1 ，卢) 当且仅当r ( f ) = 。且1 一f ( e x p ( t ) ) r 让卢，英规范化常数可 为a n = 1 ，6 n = l o g f + 。( 1 1 n ) ； 例f d p ( h 2 p ) 当且仅当0 0 且对y 0 ，有l i m t 。l - f ( 1 t e x f p ( ( y ) f ( t ) ) ) = e x p ( 一可) ，其中，( ) = i 0 一f ( t ) ) r f ( ( 1 一f ( x ) ) x ) d x ，其规范化常数可 为a 。= f 一( 1 1 n ) ，k = ，( ) i 俐f d p ( h 6 ) 当且仅当r ( f ) 0 且对y 0 ，有l i m t o 。一1 - f ( 卜t e x f p ( ( y ) f ( q ) ) = e ) 中 ) ，其中，( ) = 1 ( 1 一f ( t ) ) f f f ( ( 1 一f ( x ) ) x ) d x ，其规范化常数可为 a n = - f + 。( 1 1 仃) ，6 。= ，( 一) 此外，幂赋范极值类型吸引场与我们所熟悉的经典线性赋范极值类型吸引场有 如下关系： 命题1 2 窿理3 1m o h a n 和砒m 【l o 】设f 为分布函数，则： f ，砂若f d t ( 西。) 或者；f d f ( a ) 且r ( f ) = o 。则f d p ( 风) ； 俐f d z ( a ) 且0 r ( f ) o o 兮f d a 风) 且r ( f ) o 。； 例f d l ( a ) 且r ( f ) 0 铮f 珥( 风) 且r ( f ) 0 铮f 岛( 凰，卢) ； 俐f d ( 皿n ) 且r ( f ) 0 ，则对任意固 定的s 1 ，当h ( x ) 0 时， 羹p i 警卜( 喇) z ) = 蓑掣f y k h y ( x ) d 眯蚓 上面所提到的关于幂赋范极值理论大部分都足线性赋范极德理论结果的相应推 广最近的一些研究成果：p a n c h e v a ，m i t o v 和n a d a r a j a h 9 分析分布函数属于最 大半稳定类的充要条件；b a r a k a t 与o m a r 1 5 1 分析中间秩与中心秩顺序统计量幂 赋范情况下的极限分布；b a r a k a t ，n i g m 和m a g d y 1 6 】得到三大类型对应的一致收 敛速度及全变差收敛速度总体而言，虽然目前幂赋范极值理论尚未形成系统性研 究，但有很多研究者正在致力予幂赋范极值理论的研究 西南大学硕士学使论文 第一章前言和预备知识 1 3 问题及论文安排 本文主要研究了独立同分布随机变量序列的幂赋范极值理论，由于有了极值分 布的一致表示我们就很方便地只需判别幂赋范极值指数7 - 的符号和尾端点r ( f ) 的 取值范围，即知道分布函数f 具体是属于哪一类吸引场，因此先研究了幂赋范极值 分布的一致表示；最后提出三种具体的漂移分布( 漂移负二项、漂移泊松和漂移二 项分布) ，并分别讨论了把它们作为随机足标时幂赋范顺序统计量的极限分布 文章安排如下： 第二章 研究i i d 随机变量序列幂赋范极值分布一致表示，及线性赋范极僵 分布与幂赋范极值分布的关系； 第三章 分析当随机足标服从具体的三种漂移分布时，幂赋范顺序统计量的 极限分布 5 第二章幂赋范极值分布 由p a n c h e v a 1 知幂赋范极值分布有六种类型，本章第一节主要研究这六种类 型的一致表示；第：节在一致表示的基础上探讨了幂赋范极1 誊分布与线性赋范三大 极值分布之间的联系；第三节给出了几个属于d p ( 日) 的具体分布 2 1 幂赋范极值分布的一致表示及分类 本节先给出( 广义) 正规变化函数的定义，再给出主要结论 定义2 1 若函数u ( t ) 满足条件：对任意的z 0 ，有 l i m 锵卅， 我们就称u ( t ) 是指数为7 的正规变化函数，记为u ( t ) r k 如果存在正函数 n ( t ) ，t r ，使得对任意的z 0 ，有 ， l i m 竺幽二鲨2 ：芝墨， t - - - o z a ( t )7 称u ( t ) 是指数为，y 的广义正规变化函数，记为u ( t ) c r v ( y ，o ( t ) ) 定理2 1 设 x j 是i i d 随机变量序列，其公共分布函数为f ，假设存在正 规范化常数和k 及非退化分布h ( x ) 使得( 1 2 ) 成立，则h ( x ) 必为以下表达 式： 研( z ) = 唧 一( 1 + 7 s i g ( r ( f ) ) l o g ( s 匆( r ( f ) ) z ) ) ) ，s i g ( r ( f ) ) z 0 其中7 - 酞，r ( f ) = s u p x ：f ( z ) 0 时，有s i g ( x ) = 1 且当丁= 0 时，等号右边化为e x p 一( s i g ( r ( f ) ) z ) 一啦f ) 称7 为幂赋范极值指数 、 为证明这个定理，需要下面几个引理 引理2 1 设 k ) 是i i d 序歹i j ，其公共分布函数为f ，假设存在规范化常数 a n 0 和k 0 及非退化分布h ( x ) 使得( 1 2 ) 成立，则下面几个论述等价： ( i ) 靖h 讷每个连续熹、z 亳 l i mp “( 口n i z l 6 ”s ( z ) ) = 日( z ) ( 2 1 ) 俐对0 o 时， l i m 扣。( 警铲) l 届o ：d ( z ) 其中o ( z ) ：= n c 日，b ( t ) ：= 6 【t 】 似，对d ( x ) = h 。( e 一1 ) 的每个连续点z 0 ， 当r ( f ) 0 时， l i m t o c 生豇蔓盟蚤攀= 1 0 9 ( 一d ( z ) ) ； 当r ( f ) 0 时，l i m t 一。一l o gu ( t x 6 f ) - ) o ga f t ) = l o gd ( x ) ， 其中口( t ) ：= n 嘲，b ( t ) ：= b t 1 即l o gi u ( t ) i 是( 0 ，+ o o ) 上的正规变换函数 证明：首先由d eh a a n 和f e r r e i r a 5 中的引理1 1 1 知( 2 ) 和( 3 ) 之间等价， 对等式左右两边取对数得到( 3 ) 和( 4 ) 显然等价下面我们只需证明( 1 ) 和( 3 ) 的 等价性对0 z 有d ( x ) d ( z ) 当r ( f ) 0 时，对 一( 一掣) v q q 一( 掣) v6 【q 一( 一学) v 电t 1 恕二( 掣) 南d ( 巧 堕堕盔堂塑主学位论文 第二章幂赋范极值分布 ( 1 ) 当r ( f ) s0 时，此时d ( z ) 0 对任意的z 0 ，显然有 l i mr “( a 1 x l “s ( z ) ) = l i r ap m n a n x k ) = 1 因此z 0 时必有h ( z ) 三1 ，下面只需考虑z 。，丁矗 其中h ( t ) ：= e ( e 。) ，注意h 菲退化知e 是单调减函数且不恒为常数，因此 曰7 ( o ) o 两边取广义逆之后为 州加 一丁帮 其中d ( 1 ) 0 ，h ( o ) 0 ，易得d ( z ) = - ( 1 0 9 日( z ) ) - 1 ，z 0 因此 l 。g 日( z ) = 一 ，一r 帮) 一1 7 f ，z 。 其中d ( 1 ) 0 ，日7 ( 0 ) 0 令1 为d ( x ) 的连续点，同样的方 法得到 熙型学= l o g d ( z ) - l o g d ( 1 ) = ：州，删( 2 5 ) 令l o g u ( t ) = w ( t ) ，对z 0 ，则( 2 5 ) 变形为 舰竖寄型翘，训 用与情形( a ) 相同的方法可得 f ( ) = 日一( o ) 竿，z o , r er 其中h + ( t ) ：= e + ( e 。) 由日非退化知p 单调递增且不恒为常数，因此 日一( o ) 0 更进一步得到 。一( z ) 亨 。 其中d ( 1 ) 0 ，h 一( o ) 0 注意d + - ( z ) = 一( 1 0 9 h ( x ) ) ，最后再经同型转换 得 何( z ) = e x p 一( 1 + 7 1 。g z ) 。7 r ) = c x p 一( 1 + t s i g ( r ( f ) ) l o g ( s i g ( r ( f ) ) z ) ) 一1 7 7 ，z 0 ( 2 6 ) 当l 不足d 的连续点时，方法与情形( b ) 相同证明，结合( 2 4 ) 和( 2 6 ) 定 理得证口 由定理2 1 的证明过程我们可直接得到如下结果： 9 西南大学硕士学位论文第二二章幂赋范极值分布 注2 1 r 砂当r ( f ) 0 时：有一w ( t ) g r v ( r ，6 ( t ) ) ，更进一步，当7 - 0 时：有w ( ) g r v ( r ，6 ( t ) ) ，由u ( t ) = e x p ( w ( ) ) ， 更进一步，当丁 0 时，0 l ，则f d p ( 日) 当且仅当对z 0 ，有 lim型塑掣：si9t-*( r ( 删竿，7 _ 咄o o b ( t1 、 7 - 其中l i m t 一。b ( t ) b ( t ) = c 0 更进一步， ( 1 ) 当r ( f ) 0 且r 0 时，则f d p ( 风，口) ，其中p = 1 r ； ( 4 ) 当r ( f ) ( 0 ，( 3 0 ) 且丁 1 ，则f d p ( 日) 当且仅当对z 0 ，有l o gi u ( t ) l v r v ( b ( t ) ，妒) ，即 h m 型坐装竺删：妒( z ) ， t - - * o 。 6 ( ) 。 其中妒不是常数，且b ( t ) b ( t ) 一c 0 更进一步地，妒草调递增当且仅当7 ( f ) 0 ； 妒单调递减当且仅当r ( f ) 0 、 2 2 线性赋范极值分布与幂赋范极值分布的联系 本节所得结果与m o h a n 和p 诅v i 1 0 的结论足一致的，但我们的证明将更多的 使用上一节的结论先给出主要结果 定理2 2 设 ) 是玩d 随机变量序列，其公共分布函数为f 当z 0 时，令足( z ) = f ( 唧( z ) ) ， 1 0 西南大学硕士学位论文第章幂赋范极值分布 ( 1 ) 如果r ( f ) 0 ，则 f 啡( 珥) 铮 ( 2 ) 如果r ( f ) 0 ，则 f b ( 所) 营 r d l ( 霍。) 只觑( a ) ， 日d z ( 垂。) f 2 d z ( m 。) 足d t ( a ) ， f 2 d l ( 圣。) 且n = - 1 r 且0 l = 1 7 - ， 且q = - i 7 且o = 1 7 - ， 7 0 7 - 0 证明：这里只给出情形r ( f ) 0 的证明，r ( f ) 0 可类似证得由条件可 知对任意的z 0 ，l i m 。一。f ”( a 1 x l b n s ) ) = 1 ，且当z 0 时， 1 i m f “( 一。( 一z ) h ) = ，l i m f ”a 。i x l b - s ( z ) ) = e x p - - ( 1 7 1 0 9 ( 一z ) ) 一1 7 ) n o 。 n _ 一 注意到f ( - a 。( 一z ) h ) = f ( - e x p ( 1 0 9a + kl o g ( - x ) ) ，令影= 一l o g ( - x ) ，则 l i r a 矸( 6 n 剪一l o g a n ) = e x p 一( 1 + 7 秒) 一1 r ) 由d eh a a n 和f e r r e i r a 5 】知 ( a ) 如果丁 0 ，得只d z ( 垂。) 且o l = l 7 ，其规范化常数满足以下关系； 。 ， l l o go n = o ； 【 k = ( 1 ( 1 一f o ) ( 他) 。 综上所述，定理证毕口 在推论2 1 的基础上，利用线性赋范极值的结论，可以进一步得到幂型极值分 布规范化常数的表达式 1 1 ，-，、一，、-一， 西南大学硕士学位论文第章幂赋范极值分布 推论2 3 在推论2 j 的条件下， 一 ( 1 ) 如果r ( f ) 0 且7 0 ，则f d r ( h 3 ，口) ，其规范化常数可为a 。= 1 ， b n = 一1 0 9 ( 一f 一( 1 一l n ) ) 且p = l r ； ( 4 ) 如果r ( f ) ( 0 ，。) 且丁 0 ，则f 岛( 凰，卢) ，其规范化常数可为a n = r ( f ) ， k = l o g ( r ( f ) f 。( 1 一l n ) ) 且p = - 1 r ； ( 5 ) 如果0 0 ，则f d v ( 研，卢) ，其规范化常数可为a 。= 1 ， b n = l o g f 。( 1 1 n ) 且= 1 r 证明：由予z ( r ) = 一l o g ( 一r ( f ) ) ，其中z ( r ) = s u p x ：f 1 扛) 1 ) 且 ( 1 ( 1 一r ) ) 。( n ) = 一l o g ( - 1 ( 1 一f ) ) 。( 佗) ) = 一l o gf 一( 1 1 n ) ，又因为 f x ( f 1 )，( f ) k ( t ) = ( 1 一只( s ) ) d s ( 1 一只( t ) ) = 一( 1 一f ( y ) ) y d y ( 1 一f ( 一唧( 一t ) ) ) 。 ，t j 一唧( 一t ) 因此从定理2 2 的证明过程立即可得结论( 1 ) ，( 2 ) 和( 3 ) 对结论( 4 ) ，( 5 ) 和( 6 ) 的 证明只需应用足d l ( g ) ，所以 ( a ) 当7 0 时，则 ，l o g = o 【 k = ( 1 ( 1 一兄) ) 。( n ) 1 2 西南大学硕士学位论文第：章幂赋范极值分布 注意z ( f 2 ) = l o g r ( f ) ，其中z ( 足) = s u p x ：b ( z ) 是e i d 随机变量序列，其公共分布函数为f ，则以下结论 成立： ( 1 ) 种f d t ( a ) ：当r ( r ) 0 时，则f d v ( h 6 ) j 当0 1 ( 1 ) 对于f 历( a ) 情形，则对z 0 ，存在正函数a ( t ) 使得l i m 扣o c u ( t x 础) - ) u ( t ) = l o g x 因此 踹卅器l o g 卅0 ( 1 ) ) 注意到对z 0 ，有l i m 扣。u ( t x ) u ( t ) = 1 成立所以 唱鬻锵一器地雄圳卜 更进一步当r ( f ) 0 时，令b i ( t ) = 一器，且当t 充分大时，5 1 ( ) 是大于0 的，因此 j i i n1 l o g j 导= - l o g x 加6 l ( t ) 由推论2 1 中r ( f ) 0 和7 = 0 知f 珥( 风) 当0 0 ， 恕譬每 最后由搬论2 1 中r ( j 。) = 。和7 = 0 ，我们得到f d p ( 凰) ( 3 ) 对f 皿( 皿a ) 情形，我们有r ( f ) 一u ( t ) r v _ 1 。，其中7 ( f ) 0 ，有 锵= 篇_ x - i c ( 器一1 ) ( 1 + d ( 1 ) ) u ( t )u ( t )、u ( t ) ，卜。卜川。 注意l i m 二o ou ( t z ) u ( ) = 1 成立且业v c t ) 是t 的递增函数，所以 ，k 掰一掰一篇一1 - x - 1 a ( 篇_ 1 ) ( 1 俐) 令如( z ) = 一去( 篇一1 ) ，且当t 充分大时，6 3 ( ) 是大子0 的，因此 ，；m 蠼o gc ( t ) ：一垡 由推论2 1 中r ( f ) 0 和7 = - 1 a 0 ，因此f d p ( 凰，卢) 且卢= q ( c ) 当0 r ( f ) 0 ，有 7 锵一z 令6 ( t ) = 1 ，由推论2 2 和推论2 3 中r ( f ) = 7 - = 0 ，结论得证 口 例2 2 设f 是( 一1 + ，亭) 上的均匀分布，则f 岛( 1 - 1 2 ，1 ) ，且对充分大的礼， 其规范化常数可为a n = e 和k = 1 ( n ) 证明：显然r ( f ) = e 0 ，且对z 1 ，u ( x ) = ( 1 ( 1 一f ) ) 一( z ) = 一1 x 因 此对z 0 ，有 ， u ( t x ) 1 0 9 可万 1 一z 一1 令8 ( t ) = 1 ( ) ，由推推论2 2 和推论2 3 中r ( f ) 0 ，7 = - 1 1 ，u ( x ) = - 1 z 一1 因此对z 0 ，有 玩等一竿 令6 ( t ) = 1 t ，由推论2 2 和推论2 3 中r ( f ) 0 ， l o g 鬻二、- l 幽g ( 1 十孺) 1 m 哪 令6 ( ) = 1 a ，由推论2 2 和推论2 3 中r ( f ) = o 。，7 - = 0 ，结论得证 口 1 5 西南大学硕士学位论文第= 二章幂赋范极值分布 例2 5 设a 0 f ( z ，= ：一。gz ，一a 差：茎： 则f d p ( 研，。) ，且对充分大的竹，其规范化常数可为o n = 1 和k = 礼1 屈 证明：显然r ( f ) = o o ，且对z 1 ，y ( x ) = 一e ；x p ( z 1 n ) 因此对z 0 ，有 i o g 鬻 q i t 一1 a x l a _ 1 1 a 令b ( t ) = 口一1 t 一，由推论2 2 和推论2 3 中r ( f ) = o o ，7 - = l 肚 0 ，结论得证 例2 6 设o t 0 fc丁，=三一c一ogcz，一口 当z 0 ，有 l o g 锵 q l t l a x l a 1 1 q 口 令b ( t ) = q 一1 t 1 口，由推论2 2 和推论2 3 中r ( f ) = 0 ，7 - = 1