（理论物理专业论文）非线性振动系统的定量分析方法与混沌同步的研究.pdf

非线性振动系统的定量分析方法与混沌同步的研究 摘要 第一章中，k u z m a k l u k e 的多尺度法应用于研究质量慢变的矿井提升系统的 强非线性振动。首先应用该方法得到有一般非线性弹性力的强非线性振动系统解 的周期性条件及用j a c o b i 椭圆函数表示的平方非线性振动和立方非线性振动的 首阶渐近解。其次，将得到的结果分别应用于有平方、立方非线性弹性力的质量 慢变的矿井提升系统。最后，两个应用算例的渐近解的数值验证表踢首阶渐近解 是有效的，其最大绝对误差在数值上近似为小参数的二分之一。 第二章中，经典的l i n d s t e d t p o i n c a r e 摄动法( l p 法) 和改进的l p 法( m l p 法) 分别用于求得d u f f i n g 方程的渐近解。由b o s l e y 提出的数值解验证技术用 于证实该渐近解的定量精确度以及精确度的阶。为了更恰当地评价渐近解与数值 解的误差，本文对b o s l e y 的方法做了修正。数值阶验证表明用l p 法和m l p 法 求得的渐近解对小参数都是一致有效的。两种方法的误差比较表明m l p 法对大 参数仍然有效但l p 法对大参数失效。改进的l p 法克服了经典l p 仅对小参数有 效的缺陷，可以应用于强非线性振动。 第三章推导通过正弦态误差反馈控制耦合的两个n 维非自治混沌系统同步 的充分性判据。首先由l y a p u n o v 直接方法得到用矩阵不等式表示的同步判据， 然后根据6 e r s c h g o r i n 圆盘定理简化为一些代数不等式表示的判据。为了求得 这些判据，状态变量必须限制在某一区域内。相似矩阵有相同特征根的性质应用 于得到一些更优的同步判据。三个实际的非自治混沌系统：二维的 m a t h i e u d u f f i n g 方程，三维的陀螺仪系统和四维的扩音器系统的数值仿真证实 当这些同步判据满足时，耦合混沌系统确实可以达到同步。 第四章利用l y a p u n o v 稳定性理论和s y l v e s t e r 准则推导采用正弦态误差反 馈控制的主一从水平平台系统混沌同步的代数判据。一些仿真算例证实这些判据 的有效性。数值仿真显示同步时间随着耦合强度的增加逐渐减少并趋于一个最小 值。基于反馈控制大小的度量，本文引入一个新的概念：同步成本。它用于衡量 从施加反馈控制开始到达到完全同步过程中所需的控制成本。我们还数值地计算 出最小的控制成本和最优的祸合强度( 反馈增益) 。最小的成本意味最小的能量 输入，这在工程应用中是很有意义的。 第五章比较目前常用的两种代数型充分性判据，它们分别根据s y l v e s t e r 准则和g e r s c h g o r i n 圆盘定理得到的。本文从理论上证明：根据s y l v e s t e r 准 则得到的充分性判据优于根据g e r s c h g o r i n 圆盘定理得到的充分性判据。通过 三个典型的混沌系统：二维的d u f f i n g 方程，三维的l o r e n z 方程和四维的扩音 器系统，从理论和数值上进一步验证有关的理论结果。 关键词非线性振动；摄动法；数值验证；渐近解；混沌同步；代数判据；反馈 控制；l y a p u n o v 稳定性理论；s y l v e s t e r 准则；g e r s c h g o r i n 圆盘定理 o nq u a n t i t a t i v em e t h o d sa n dc h a o ss y n c h r o n i z a t i o n f o rn o n l i n e a ro s c i l l a t o r ys y s t e m s a b s t r a c t t h em u l t i p l es c a l e sm e t h o do fk u z m a k - l u k ei s a p p l i e d t o s t u d ys t r o n g l y n o n l i n e a ro s c i l l a t i o n so fm i n eh o i s ts y s t e m sw i t hs l o w l y v a r y i n g m a s s t h e k u z m a k l u k em e t h o di sf i r s t l ya p p l i e dt oo b t a i nt h ep e r i o d i c i t yc o n d i t i o no fs o l u t i o n s o fs t r o n g l yn o n l i n e a ro s c i l l a t o r sw i t hg e n e r a l l yn o n l i n e a rs p r i n g , a n dt h e nj a c o b i a n e l l i p t i cf u n c t i o n sa r eu s e dt oe x p r e s st h el e a d i n go r d e ra p p r o x i m a t es o l u t i o n so f q u a d r a t i ca n dc u b i cn o n l i n e a ro s c i l l a t o r s s e c o n d l y , t h ep r e v i o u sr e s u l t sa r ea p p l i e d r e s p e c t i v e l yt om i n eh o i s ts y s t e m sw i t hs l o w l yv a r y i n gm a s sa n dw i t hq u a d r a t i co r c u b i cn o n l i n e a rs p r i n g f i n a l l y , c o m p a r i s o n so fa s y m p t o t i cs o l u t i o n sw i t hn u m e r i c a l s o l u t i o n so ft w o e x a m p l e ss h o w t h a tt h el e a d i n go r d e ra p p r o x i m a t i o na r ei n d e e dv a l i d a n dt h e i rm a x i m a la b s o l u t ee r r o r sa r ea b o u th a l f o ft h es m a l lp a r a m e t e rv a l u e s t w op e r t u r b a t i o nm e t h o d s , t h ec l a s s i c a ll i n d s t e d t p o i n c a r e ( l p ) m e t h o da n dt h e m o d i f i e d l i n d s t e d t p o i n c a r e ( m l p ) m e t h o d ，a r eu s e d t oo b t a i nt h e a s y m p t o t i c e x p a n s i o ns o l u t i o n so f t h ed u f f i n ge q u a t i o n a n u m e r i c a lo r d e r v e r i f i c a t i o nt e c h n i q u e ， f i r s t l yp r o p o s e db yb o s l e y , i sa p p l i e dt od e m o n s t r a t et h ev a l i d i t yo ft h ea s y m p t o t i c s o l u t i o n s i no r d e rt o # v eam o r ec o m p r e h e n s i v ee v a l u a t i o no ft h ee r r o rb e t w e e nt h e a s y m p t o t i ca n dn u m e r i c a ls o l u t i o n s ，am o d i f i c a t i o ni sm a d et ob o s l e y sm e t h o d n u m e r i c a lc o m p a r i s o n so fe r r o r ss h o wt h a tt h em i j pm e t h o di sv a l i dn o to n l yf o r s m a l lp a r a m e t e rv a l u e sb u ta l s of o rl a r g eo n e sw h e r e a st h el pm e t h o di sv a l i do n l yf o r s m a l lp a r a m e t e rv a l u e s ，i e ，i n v a l i df o rl a r g ep a r a m e t e rv a l u e s s u f f i c i e n tc r i t e r i o nf o rs y n c h r o n i z i n gt w oi d e n t i c a ln o n a u t o n o m o u sc h a o t i c s y s t e m sc o u p l e db ys i n u s o i d a ls t a t ee r r o rf e e d b a c kc o n t r o li sf i r s t l yd e r i v e di nt h e f o r mo fam a t r i xi n e q u a l i t yb yt h el y a p u n o vd i r e c tm e t h o d t h em a t r i xi n e q u a l i t yi s t h e n s i m p l i f i e di n t os o m ea l g e b r a i ci n e q u a l i t i e sb a s e do nt h eg e r s c h g o r i nd i s c t h e o r e m i no r d e rt oo b t a i ns i m p l e ra l g e b r a i cc r i t e r i a ，t h es t a t ev a r i a b l e sa r er e s t r i c t e d u l i nas u b r e g i o n 。t h ep r o p e r t yt h a ts i m i l a rm a t r i c e sh a v et h es a m ee i g e n v a l u e si s f u r t h e ra p p l i e dt oo b t a i nm o r ef l e x i b l es y n c h r o n i z a t i o nc r i t e r i a n u m e r i c a le x a m p l e s a r es i m u l a t e dt os h o wt h a tc o m p l e t ec h a o ss y n c h r o n i z a t i o nc a nb ea c h i e v e du n d e r t h e s ec r i t e r i a b y t h r e e p r a c t i c a l n o n - a u t o n o m o u sc h a o t i c s y s t e m s ：t h e m a t h i e u d u f f i n ge q u a t i o no ft w od i m e n s i o n s ，ag y r o s t a ts y s t e mo ft h r e ed i m e n s i o n s a n dal o u d s p e a k e rs y s t e mo ff o u rd i m e n s i o n s s o m ea l g e b r a i cs u f f i c i e n tc r i t e r i af o rs y n c h r o n i z i n gm a s t e r - s l a v eh o r i z o n t a l p l a t f o r ms y s t e m sc o u p l e db ys i n u s o i d a ls t a t ee r r o rf e e d b a c kc o n t r o la r ed e r i v e db yt h e l y a p u n o vs t a b i l i t yt h e o r ya n dt h es y l v e s t e r sc r i t e r i o n ，a n dt h e i rv a l i d i t yi si l l u s t r a t e d w i t hs o m en u m e r i c a le x a m p l e s n u m e r i c a ls i m u l a t i o n ss h o wt h a tt h es y n c h r o n i z a t i o n t i m ea p p r o a c h e sa na s y m p t o t i cm i n i m a lv a l u ew i t ht h ei n c r e a s eo fc o u p l i n gs t r e n g t h t h ec o n c e p to fs y n c h r o n i z a t i o nc o s ti si n t r o d u c e db a s e do nam e a s u r eo ft h e m a g n i t u d eo ft h ef e e d b a c kc o n t r o la n dt h em i n i m a ls y n c h r o n i z a t i o nc o s ta sw e l la s o p t i m a lc o u p l i n gs t r e n g t hi sc a l c u l a t e dn u m e r i c a l l y t h em i n i m a ls y n c h r o n i z a t i o nc o s t r e f e r st ot h el o w e s te n e r g yi n p u t , w h i c hi so fg r e a tp r a c t i c a li n t e r e s t c o m p a r i s o n sa r em a d ew i t ht w op o p u l a rs u f f i c i e n t c r i t e r i af o rag e n e r i c m a s t e r - s l a v es y n c h r o n i z a t i o ns c h e m ec o u p l e db yl i n e a rs t a t ee r r o rf e e d b a c kc o n t r 0 1 t h es u f f i c i e n tc r i t e r i aa r ed e r i v e db a s e dr e s p e c t i v e l yo nt h es y l v e s t e r sc r i t e r i o na n d t h eg e r s c h g o r i nd i s ct h e o r e m ，w h i c ha r ee x p r e s s e di nt h ef o r mo fa l g e b r a i c i n e q u a l i t i e s i ti sp r o v e nt h e o r e t i c a l l yt h a tt h es u f f i c i e n tc o n d i t i o nb yt h es y i v e s t e r s c r i t e r i o ni sm o r ef l e x i b l e ( s h a r p ) t h a nt h a tb yt h eg e r s c h g o r i nd i s ct h e o r e m t h et w o s u f f i c i e n tc o n d i t i o n sa r ef u r t h e rc o m p a r e db yt h r e et y p i c a lc h a o t i cs y s t e m s ：t h e d u f f i n ge q u a t i o no ft w od i m e n s i o n s ，t h el o r e n zs y s t e mo ft h r e e d i m e n s i o n sa n da l o u d s p e a k e rs y s t e mo ff o u rd i m e n s i o n s n u m e r i c a ls i m u l a t i o n ss u p p o r tt h et h e o r e t i c a l r e s u l t k e y w o r d s ：n o n l i n e a ro s c i l l a t i o n ；p e r t u r b a t i o nm e t h o d ；n u m e r i c a lv e r i f i c a t i o n ； a s y m p t o t i cs o l u t i o n ；c h a o ss y n c h r o n i z a t i o n ；a l g e b r a i cc r i t e r i o n ；f e e d b a c kc o n t r o l ； l y a p u n o vs t a b i l i t yt h e o r y ；s y l v e s t e r sc r i t e r i o n ；g e r s c h g o r i nd i s ct h e o r e m 博士后出站报告原创性声明 本人郑重声明；所呈交的博士后出站报告，是本人在博士后合作导师的指导 下，独立进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不 包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文的研究作出重要 贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人对出站报告中存在的错误 负全部责任。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 博士后出站报告作者签名： 日期：2 0 0 7 年4 月2 2 日 謦遣寻 第一章矿井提升系统的强非线性振动 1 1 引言 矿井提升机作为地面与井下物质与人员流通的运输工具，在煤矿生产中有重 要作用。提升系统的振动是安全生产的首要问题，直接影响着矿井的生产能力和 人员、设备的安全，已引起很多工程技术人员的关注 卜4 。 本章考虑钢绳质量的矿井提升机罐笼与钢绳组成的振动系统，其力学模型见 图l 。在提升重物的过程中，系统的质量和刚度随着钢绳的伸长与缩短连续地变 化。由于质量和刚度的变化引起的系统固有频率十分缓慢的变化，因此这是一个 具有慢变参数的非线性振动系统【5 ，6 】， 知( f ) 警+ g ( 妫- o ， 其运动微分方程如下 ( 1 ) 其中肼( ) 是慢变质量，f = 8 ，是慢变时间( 0 0 r b ( r ) 0 时，对方程( 1 2 ) 再积分 一次可以解出y 。是f + 的椭圆余弦函数 y o = , 4 0 ( r ) c n 。( 足( v ) 识“7 ) ) + b o ( f ) ， 其中 4 2 志，b o 一丢c 考击删 4 2 瓦f i i 一云万亏甭“) 模数v 由方程 盟氅= 萼e x p ( 一r 抑 r 、- ”、”，u ， ( v 4 一v + 1 ) 4 9 a 2 确定，其中 ，( 订= s ：$ n 2 ( “，v ) c n 2 ( “，v ) a n 2 ( “，v ) a u 2 面1 了【0 一v 2 旷一2 ) k ( v ) + 2 ( v 4 - v 2 + 1 ) e ( v ) 】 更详细的推导及参数d ( r ) 和6 囊) 的不同符号的情况参阅【l o 】或【1 2 】。 当m 扩) = m ，+ ；y ( f ) 和g ( 弘7 ) = 口) j ，+ 6 ( 7 沙3 时，方程( 1 ) 为 丢，+ ；心f ) 】害 州 ) y + b ( m 3 = 。 当埘( f ) = m p + l g 上f ) 和g ( 只f ) = 口( f ) _ ) ，+ b ( f ) y 2 时，方程( 1 ) 为 丢，+ ；，酮1 参州f 沙+ 6 ( m 2 - o o ( 1 3 ) ( 1 4 ) ( 1 5 ) ( 1 6 ) 它们都是方程( 2 ) 的特殊情况，其首阶渐近解可分别由( 7 ) 和( 1 3 ) 式表示。 本章的首阶渐近解的精确度已相当令人满意，更高阶的渐近解可参阅【9 】。 1 3 算例 例l 考虑某矿井提升机的提升过程，其非线性弹性力为丢皋。一；y 3 ) ，其中丘e 分别为钢丝绳的横截面积和弹性模量。若罐笼重4 5 9 0k g ，一次提升量4 0 0 0k g ， 单位钢丝绳长度质量6 6 3k g m ，钢丝绳总抗拉力11 9 0 0 0k g 。提升速度1m s ， 罐笼位于下止点时钢丝绳长度3 2 0m ，即钢丝绳的慢变长度为 上( f ) = 3 2 0 一1 ，= 3 2 0 ( 1 一去f ) 系统满足的振动方程为 ( 9 2 9 7 2 - 7 0 7 2 害d t - 2 2 1 生d t + 3 2 0 ( 1 ( y 一1 3 ，) - 0 。 ( 1 7 ) 7 2 一s f 、” 。7。 其中s = 1 3 2 0 。当初始条件y ( o ) = l ，夕( o ) = o 时， k u z m a k l u k e 的多尺度法求得 的首阶渐近解为 ”= 辱( 驯， ( 1 8 ) 与数值解的比较见图2 。本文中数学软件m a t h e m a t i c a 用于完成相关的计算和作 图。 图2 方程( 1 7 ) 的首阶渐近解和数值解的比较：数值解，渐近解 例2 考虑某矿井提升机的提升过程，其非线性弹性力为焉( y j 1 y 2 ) ，其余数 据同例1 。系统满足的振动方程为 ( 9 2 9 7 2 - 7 0 7 2 娶- 2 2 l 虫1 1 9 0 刮0 0l(dtd t 3 2 0 ( 1，一三2 y 2 ) = 。 ( 1 9 ) 7 2 一占f l 。 。7、7 其中s = 1 3 2 0 。当初始条件y ( o ) = 1 ，夕( o ) = o 时， k u z m a k - l u k e 的多尺度法求得 的首阶渐近解为 y 。芍2 了亏；兰i i 册2 ( k 仍v ) + 4 f v ；三鲁+ t ， 、v 一v + l2 一v + l 与数值解的比较见图3 。 图3 方程( 1 9 ) 的首阶渐近解和数值解的比较：数值解渐近解 ( 2 0 ) 1 4 渐近解的数值阶验证 我们首先简单地介绍b o s l e y 的数值阶验证技术【1 3 】。假设非线性振动方程 的阶渐近解为 y 。，哪( f ，g ) = y o o ) + 8 y l ( f ) + e z y 2 ( f ) + + 占y ( f ) + d ( g + 1 ) ( 2 1 ) 则渐近解的绝对误差为 日( 似) = i y 一( s ) - y ，( l = l “力一兰n = - o s ”( f 1 = 。p “) = 如“( 2 2 ) 其中k 是常数。对方程( 2 2 ) 两边同时取对数得到 logeu=logk+(十1)loge(23) 这就意味着l o g e u 作为l 0 9 6 的函数是线性的且斜率为n + ia 这样，对于不同的 s 值画出l 0 9 8 - 与l o g e n 的关系图时，这些点应近似在一条直线上且用最小二乘法 6 拟合的直线的斜率近似为n + i 。计算( 2 2 ) 式时，文 1 3 - 1 7 均在一个固定点f = t o 取值，这可能带来误差计算的偶然性，因为误差值可能在某点较小但在其它点较 大。为了更恰当地评价渐近解和数值解的误差，本文采用在区间【o ，明上的最大 绝对误差，定义为 最大绝对误差= m a x e u ( t , z ) 2 h m a x i e n ( t , 6 ) 。 ( 2 4 ) 数值计算时，最大绝对误差可由下式近似计算 m a x e u ( f ，占) = m a x e n ( f f ，) ，f = l ，2 ，肌) ， ( 2 5 ) 其中t ，是区间【o ，卅上的点，m 是充分大的整数。在下面的验证中，除s 外，有 关参数取值同例1 和例2 。在( 2 4 ) 和( 2 5 ) 式中，取t = 3 0 ，f ，= 0 0 5 i ， 扛1 , 2 ，6 0 0 。g ( 由钢丝绳的长度和提升速度决定) 的验证区间为 0 0 0 1 ，0 0 1 。 为了验证例1 的首阶渐近解是0 ( 8 ) 阶，8 以步长0 0 0 3 从0 0 0 1 增加到0 0 1 ， 计算出方程( 1 7 ) 的数值解。其次，将渐近解( 1 8 ) 在同样的s 和f f 处取值。( 2 2 ) 式 中的j ，一( f ，8 ) 用方程的数值解代替，分别计算出首阶渐近解和数值解的误差。 误差随g 变化的l o g l o g 关系图见图4 ，用最d - - 乘法拟合这些误差点的直线方 程的斜率为1 0 3 9 0 4 8 ，这与理论上的斜率l 的相对误差为3 9 。误差来源部分 是由于频率( 4 ) 式的计算中用| o ，f ) 近似代替七( 只一) 造成的，部分是由于首阶 近似( 舍弃高阶项) 带来的。 类似地，为了验证例2 的首阶渐近解是d ( s ) 阶，占以步长0 0 0 3 从0 0 0 1 增 加到0 0 1 ，计算出方程( 1 9 ) 的数值解。其次，将渐近解( 2 0 ) 在同样的s 和处取 值。误差随e 变化的l o g l o g 关系图见图5 ，用最4 , - 乘法拟合这些误差点的直 线方程的斜率为1 0 2 7 3 8 ，这与理论上的斜率l 的相对误差为2 7 。 因此，用k u z m a k - l u k e 多尺度法求得的首阶渐近解对小参数s 是o ( s ) 阶的。 对于其它的参数值s ，例如，以步长0 0 0 3 从0 0 0 1 变到0 1 ，最大绝对 误差毛与参数g 的关系分别见图6 和图7 。从图6 和图7 可以看出，随着s 的增 大，渐近解与数值解的误差近似于线性增长。对于适中大小的参数值s ，最大绝 对误差反在数值上近似为参数g 的二分之一。对所有的s 【o 0 0 1 ，0 1 】，最大误 差仅分别为0 0 5 0 5 5 4 3 和0 0 5 4 7 9 7 1 。因此，k u z m a k l u k e 多尺度法有较高的精 确度 1 0 s z o = - 0 5 4 2 1 9 2 + 1 0 3 9 0 4 8 1 0 8 6 图4 当s 从0 0 0 1 到0 0 1 时，首阶渐近解( 1 8 ) 的数值验证 l o g e o = - 0 5 1 2 3 1 1 + 1 0 2 7 3 8 1 0 s s 图5 当s 从0 0 0 1 到0 0 1 时，首阶渐近解( 2 0 ) 的数值验证 图6 渐近解( 1 8 ) 的最大绝对误差e o 和参数s 的关系 图7 渐近解( 2 0 ) 的最大绝对误差e o 和参数s 的关系 1 5 结论 对于考虑钢绳质量的矿井提升机罐笼与钢绳组成的慢变参数振动系统， k u z m a k l u k e 的多尺度法能有效地用于求得用j a c o b i 椭圆函数表示的渐近解。两 个应用算例的渐近解与数值解几乎一致，进一步的数值验证表明k t t z m a k l u k e 的多尺度法求出的首阶渐近解是0 ( 8 ) 阶的，其最大绝对误差在数值上近似为小 参数s 的二分之一。 9 参考文献 1 龚宪生，谢志江，杨雪华。矿井提升机多层缠绕钢丝绳振动控制，振动工程学 报，1 9 9 9 ，1 2 ( 4 ) ：4 6 0 4 6 7 2 黄民，李功，张永忠。矿井提升机振动测试与故障诊断，煤矿机械，2 0 0 2 ， 1 2 ：7 8 - 8 1 3 朱华等。矿井提升机振动故障诊断，振动与冲击，1 9 9 7 ，1 6 ( 4 ) ：3 1 - 3 5 4 】y t e r u m i c h i ，e ta 1 m o d e l i n g , s i m u l a t i o na n da n a l y f i st e c h n i q u e si nt h ep r e d i c t i o n o fn o n s t a t i o n a r yv i b r a t i o nr e s p o n s eo fh o i s t r o p e si n l i f ts y s t e m s ，m a t e r i a l s s c i e n c ef o r u m , 2 0 0 3 4 4 0 - 4 4 l ：4 9 7 5 0 4 5 闻邦椿，李以农，韩清凯。非线性振动理论中的解析方法及工程应用，沈阳： 东北大学出版社，2 0 0 1 6 闻邦椿等。含慢变参数的非线性振动系统的振动特性，非线性动力学学报， 1 9 9 8 ，5 ( 2 ) ：1 8 1 - 1 8 8 【7 】g z k u z m a k a s y m p t o t i cs o l u t i o n so fn o n l i n e a rs e c o n do r d e rd i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s 、i l i lv a r i a b l ec o e f f i c i e n t s ，p r i m m a t m e h ，1 9 5 9 , 2 3 ：5 1 5 5 2 6 ( r u s s i a n ) ，t r a n s l a t e da s , a p p l m a t h m e c h ，1 9 5 9 ，2 3 ：7 3 0 7 4 4 【8 】j c l u k e ap e r t u r b a t i o nm e t h o df o rn o n l i n e a rd i s p e r s i v ew a v ep r o b l e m , p r o c e e d i n g o r o y a l s o c i e t y o f l o n d o n s e r i e s a ，1 9 6 6 , 2 9 2 ：4 0 3 - 4 1 2 【9 】ik e v o r k i a n , y el i e x p l i c i ta p p r o x i m a t i o n sf o rs t r i c t l yn o n l i n e a ro s d l l a t o r s w i t i ls l o w l yv a r y i n gp a r a m e t e r sw i t l la p p l i c a t i o n st of r e ee l e c t r o nl a s e r s s t u d i e s i n a p p l i e d m a t h e m a t j c s ，1 9 8 8 ，7 8 ( 2 ) ：1 1 1 1 6 5 【l o j i a n p i n gc a i ，y el i s t r o n g l yn o n l i n e a ro s c i l l a t o r s 埘t l is l o w l yv a r y i n g p a r a m e t e r s ，j o u r n a l o f s o u n d a n d h b m t i o n ，2 0 0 4 ，2 7 5 ( 1 - 2 ) ：2 4 1 2 4 8 【1 1 】y i p i n gl i e l a p s e dt i m eo fp e r i o d i cm o t i o nw i t hn e g a t i v ed a m p i n g ，a p p l i e d m a t h e m a t i c s m e c h a n i c s ( e n g l i s he d i t i o n ) ，1 9 9 2 ，1 3 ( 8 ) ：7 1 9 7 2 3 【1 2 】蔡建平。带慢变参数的强非线性振动分析及其应用，中山大学博士学位论 文，广州，2 0 0 4 【1 3 ld lb o s l e y at e c h n i q u ef o rt h en u m e r i c a lv e r i f i c a t i o no f a s y m p t o t i ce x p a n s i o n s , s i a m r e v i e w ，1 9 9 6 ，3 8 ( 1 ) ：1 2 8 1 3 5 f 1 4 s ak h u r i ，n u m e r i c a lo r d e rv e r f i c a t i o no ft h ea s y m p t o t i ce x p a n s i o no fa 1 0 n o n l i n e a rd i f f e r e n t i a e q u a t i o na r i s i n gi ng e n e r a r e l a t i v i t y , a p p l i e d m a t h e m a t i c s a n d c o m p u t a t i o n ，2 0 0 3 ，1 3 4 ：1 4 7 - 1 5 1 【1 5 】e l i a sd e e b a , s h i s h e nx i e t h ea s y m p t o t i ce x p a n s i o na n dn u m e r i c a lv e r i f i c a t i o n o fv a nd e rp o l se q u a d o n ，j o u r n a lo f c o m p u t a t i o n a l a n a l y s i s a n d a p p l i c a t i o n s ， 2 0 0 1 ，3 ( 2 ) ：1 6 5 - 1 7 1 【1 6 】s a k h u r i ，s x i e o nt h en u m e r i c a lv e r i f i c a t i o no ft h ea s y m p t o t i ce x p a n s i o no f d u f f i n g se q u a t i o n ，i n t e r n a t i o n a lj o u r n a lo fc o m p u t a t i o n a lm a t h e m a t i c s ， 1 9 9 9 ，7 2 ：3 2 5 3 3 0 【1 7 1b m u d a v a n h u , i l e 0 m a l l e y , j r an e wr e n o r m a l i z a t i o nm e t h o df o rt h e a s y m p t o t i cs o l u t i o no fw e e k l yn o n l i n e a rv e c t o rs y s t e m s ，s i a mj o u r n a lo f a p p l i e d m a t h e m a t i c s ，2 0 0 2 ，6 3 ( 2 ) ：3 7 3 - 3 9 7 第二章d u f f i n g 方程渐近解误差的数值验证 2 1 引言 用摄动法求非线性微分方程的渐近解一般表示为小参数s 的级数 “( r ) = s ”“。= “o ( ，) + s “1 ( f ) + s 2u 2 0 ) + ，# 0 通常，阶近似是指( 1 ) 式的截断： “( r ) = = “。( r ) + s ( f ) + 占2u 2 ( r ) + n = o 摄动法的一个主要目的是证明展开式( 1 ) 是致有效的，即( 2 ) 式的误差o ( e “1 ) 阶。传统的做法是选择几种特殊情况检验并证实渐近解与精确解( 如果存在) 或 数值解的误差相对较小。然而，仅有的几个比较还不足以证实渐近解精确到指定 的阶。事实上，文 1 ，2 指出：尽管误差值很小，它可能不按预期的那样随着 的增加变得越来越小。因此，有必要进一步验证所构造的解确实精确到预先指定 的阶。 很多振动系统都建模为著名的d u f f i n g 方程【3 】 + c a ；+ 6 1 3 = 8 p c o s i 2 t 其中表示关于时间t 的导数，s ，p ，q 是常数。经典的摄动法，如 l i n d s t e d t - p o i n e a r e ( l p ) 法、多尺度法和谐波平衡法，能有效地求出此方程的渐 近解但仅对小的占参数值有效。文 4 ，5 提出一种改进的l p 法( m o d i f i e d l i n d s t e d t - p o i n e a r e ( m l p ) m e t h o d ) 用于求d i l 街n g 方程的渐近解。该方法不仅对 小的8 参数值有效而且对大的g 参数值也有效。m l p 法的思想是将参数s 变换为 新参数口= 口( 0 而且不论占的大小，口= 口( s ) 都保持较小。文 5 选择几个占的值 验证渐近解与精确解或数值解的误差相对较小，以此来说明该方法是有效的。本 章将采用由b o s l e y 【2 】提出的数值阶验证技术进一步证实该渐近解的定量精确度 以及精确度的阶。此外，我们对b o s l e y 的方法做了修正。为了更恰当地评价渐 近解和数值解的误差，我们在区间，【o , t 】定义最大绝对误差，而不是文【2 ，6 - 9 】 在一个点f = t o 取值。数值验证表明用l p 法和m l p 法所求得的渐近解对小参数 占是一致有效的。误差的数值比较表明对于大参数占，m l p 法仍然有效但l p 法 失效。 2 2 解的新近展开式 考虑受谐波激励的d u f f i n g 方程 + c 0 0 2 “+ 8 3 = 8 p c o s d z ( 3 ) 满足初始条件 “( o ) = d ，d ( o ) = 0 。( 4 ) 作变换f = q r ，方程( 3 ) 化为 q 2 u 。+ ；u + 6 u 3 = e p c o s r 。 ( 5 ) 按照经典的l p 法 1 ，可求得方程( 5 ) 主共振时的三次近似解为 ”明孵( f ) = 1 1 0 ( f ) + 占甜1 ( f ) + s 2 4 2 ( f ) + s 3 甜，( f ) + o g 4 ) 0 5 ) 其中 q 砜+ 芒一却s 一丽1 ( z k 6 一批3 p + 3 2 p 2 炉 + 獗1 ( 8 k 9 _ 2 2 1 a 6 p + 2 3 砸3 p 2 _ 1 2 8 p 3 ) 矿， u o ( t ) = a c , o s l ，( 8 ) = 鑫s 3 f c o s f ) ， ( 9 ) “：( ，) 2 而去i 。5 c o s 5 f + ( 3 2 p - 2 妇5 ) c o s 3 f + ( 2 3 a 5 - 3 6 口2 力c 髑f ) ，( 1 0 ) 蚝( ，) 2 石去( 孙7 c o s 7 r + ( 2 0 踟4 p - 1 4 4 n 7 ) c o s 5 r + ( 1 7 8 2 a 7 5 0 7 6 a 4 p + 3 8 8 8 a p 2 ) e o s 3 r + ( 一1 6 4 1 a 7 + 4 8 6 8 a 4 p 一3 8 8 8 a p 2 ) c o s t )( 1 1 ) 类似地，投照m l pi 丢【5 1 ，可求得万程( 5