（理论物理专业论文）宇宙拓扑缺陷与暗能量.pdf

内容 摘 要 本文利用段一士教授提出的0 一映射拓扑流理论，研究了宇宙论 中的四种拓扑缺陷，并证明了一种广义的 序参量场可以构成暗能量 并提供负压。 我们首先介绍本论文所需的预备知识，如隐函数定理、u ( 1 ) 规范 势分解和0 一映射拓扑流理论，这是我们处理拓扑缺陷的理论基础。 认识到在序参量场的零点处，可以自 然的产生各种拓扑缺陷，而且 缺陷的种类由序参量场的维数决定。接着我们介绍了宇宙论的基础 知识，包括r一w度规、宇宙动力学方程、d o p p l e r 频移和宇宙大尺 度测量等，这是理解宇宙现象和研究暗能量的基础。 我们具体讨论了序参量场作为宇宙中暗能量的模型，对于理论 的体系给出了完整的表述。我们从序参量场的拉氏量密度出发，推 导出了其能动张量，然后我们得到了其密度和压强。取一定的近似 其密度和压强的比 值为负一，这就证明了一种广义的序参量场可以 作为暗能量并提供使宇宙加速膨胀的负压力。利用0 一映射拓扑流 理论我们讨论了四维时空中，由上述序参量场可能产生的四种拓扑 缺陷，它们是不同维数的序参量场在其零点处产生的，有时空的畴 壁、单极、宇宙弦和纹理。 abs tract i n t h i s d i s s e r t a t i o n , w e h a v e s t u d i e d f o u r k i n d s o f c o s m i c d e f e c t s u s i n g 功 - m a p p i n g t o p o l o g y c u r r e n t t h e o r y , w h i c h i s p r o p o s e d b y p r o f . y i - s h i d u a n , a n d p r o v e d t h a t o n e g e n e r a l o r d e r p a r a m e t e r fi e l d c a n c o mp o s e d t h e d a r k e n e r g y a n d p r o v i d e t h e n e g a t i v e p r e s s . w e fi r s t i n t r o d u c e d t h e i m p l i c i t f u n c t i o n t h e o r e m , t h e d e c o m p o s i t i o n o f u ( 1 ) g a u g e p o t e n t i a l a n d 0 - m a p p i n g t o p o l o g y c u r r e n t t h e o r y a s a f o u n d a t i o n f o r t h e e x p l o r i n g o f t o p o l o g i c a l d e f e c t s . s o w e c o u l d g e t t h a t t h e t o p o l o g i c a l d e f e c t s w e r e p r o d u c e d f r o m t h e z e r o p o i n t s o f t h e o r d e r p a r a m e t e r fi e l d n a t u r a l l y . a n d t h e c l a s s o f d e f e c t s i s d e c i d e d b y t h e d i me n s i o n o f t h e o r d e r p a r a me t e r fi e l d . l a t e r w e i n t r o d u c e d t h e f o u n d a t i o n o f t h e c o s m o lo g y , i n c l u d i n g r - w m e t r i c , c o s m i c d y n a mi c s e q u a t i o n , d o p p l e r f r e q u e n c y s h i f t a n d t h e m e a s u r e o f l a r g e s c a l e i n u n i v e r s e , w h i c h i s n e e d e d f o r u n d e r s t a n d i n g t h e p h e n o me n o n o f t h e u n i v e r s e a n d d a r k e n e r g y we m a i n l y s t u d i e d t h e m o d e l o f d a r k e n e r g y w i t h g e n e r a l o r d e r p a r a m e t e r fi e l d i n d e t a i l , a n d w e g a v e a w h o l e e x p r e s s i o n o f t h i s t h e o r y . f r o m t h e o r d e r p a r a m e t e r fi e l d s d e n s i t y o f l a g r a n g e ， w e g e t t h e e n e r g y m o m e n t u m t e n s o r o f i t . a n d w e d e r i v e d t h e d e n s i t y a n d p r e s s u r e i n t e n s i t y f r o m e n e r g y mo me n t u m t e n s o r . t h e r a t i o f o r d e n s i t y a n d p r e s s u r e i n t e n s i t y w o u l d c h a n g e d t o 一 1 , i f w e u s e d i t s a p p r o x i ma t i o n . s o w e c o u l d p r o v e t h a t o n e k i n d o f g e n e r a l o r d e r p a r a m e t e r fi e l d c a n a c t a s d a r k e n e r g y a n d p r o v i d e t h e n e g a t i v e p r e s s f o r t h e a c c e l e r a t i n g o f c o s m i c i n fl a t i o n . f o u r t o p o l o g y d e f e c t s w e r e i n v e s t i g a t e d u s i n g 0 - m a p p i n g t o p o l o g y c u r r e n t t h e o r y . t h e s e d e f e c t s a r e d o ma i n w a l l , m o n o p o l e , c o s m i c s t r i n g a n d t e x t u r e , a n d t h e y a r e a l l p r o d u c e d f r o m t h e z e r o p o i n t s o f o r d e r p a r a m e t e r fi e l d . 原 创 性 声 明 本人郑重声明: 本人所呈交的学位论文，是在导师的指导下独立进行 研究 所取得的成果。学位论文中凡引用他人已 经发表或未发表的成果、 数据、观点等，均已明确注明出处。除文中己 经注明引用的内容外， 不 包含任何其他个人或集体己经发表或撰写过的科研成果。 对本文的研究成 果做出 重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。 本声明的 法律责任由本人承担。 论 文 作 者 签 -9 : 4 w 一 日期 :; 些 件一州2 柑 关于学位论文使用授权的 声明 本人在导师指导下所完成的论文及相关的职务作品，知识产权归属兰 州 大学。本人完全了解兰州大学有关保存、使用学位论文的规定，同意学 校保存或向国家有关部门或机构送交论文的纸质版和电子版，允许论文被 查阅和 借阅:本人授权兰州大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入 有关数据库进行检索，可以采用任何复制手段保存和汇编本学位论文。 本 人离校后发表、 使用学位论文或与该论文直接相关的学术论文或成果时， 第 一 署名 单 位仍 然为 兰 州大学 。 保密论文庄解密后应遵守此规定。 论 文 作 者 ” “ 卜 遨 鲜一 导 师 签 “ _ - -t 一 日 期 : 第一章前言 儿何和拓扑现在是我们研究物理问 题的重要工具。 几何的重要性早已为我们所熟知， 例如著名的广 一 义相对论的数学基础是黎曼几何; 在现代理论物理中应用最广泛的规范场理论，纤维丛及其上的联络可以看作是这个理论 的 基础，虽然当年杨振宁和mi l l s 提出非阿贝尔规场论时并不是受其启发。 拓扑方面，拓扑学早己应用到物理的各个领域。例如凝聚态理论中的各种拓扑缺 陷，4 h e 超流体中的锅旋、超导体中的涡旋、b e 。 中的涡旋等。宇宙论中的各种拓扑缺 陷 ， 如 宇宙 论中 的畴 壁 ( d o m a i n w a l l s ) 、 宇 宙 弦( c o s m i c s 七 r i n g s ) 、 单 极( m o n o p o l e s ) 和纹 理( t e x t u r e ) 等。 由 段一 士教授 建立的 0 一 映 射拓 扑流 理论 结合 u ( 1 ) 规范 势分 解【2 6 - 2 9 ， 使 拓扑学 在 物 理学中的应用向前迈出了一大步。段一 士教授用过去提出的规范势可分解和具有内部结 构的新观点，以及0 一映射拓扑流理论建立了新的拓扑场论和新的拓扑量子力学理论及拓 扑流分岔理论，并在许多物理前沿力 一 向和数学上得到重要应用。这一 理论是近代拓扑物 理和场论方面的重要创新。该理论揭示了规范场的儿何与 拓扑之间的直接内在联系，开 辟了 拓扑与物理学中新的研究领域。并且这一理论具有严谨性、直观性和可操作性。 目 前价 一 映 射拓扑流 理论已 广泛 应用 于研究 磁单 极的 拓扑流 3 0 1 : 拓扑 弦理 论3 2 1 . 旋 错和位错连续体的拓扑示性数 1 7 , 1 8 , 2 5 , 3 3 ;早期宇宙中的时空缺陷的拓扑结构及拓扑分 岔 1 9 , 2 1 , 3 4 卜g a u s s - b o n n e 七 一 c h e r n 定 理的内 部 拓扑结构 2 6 , 3 5 ,整 数和分数量 子霍尔 效应 的 拓扑结 构 3 6 , 3 7 : 超淤 l o n d o n 方 程拓扑 场 论3 8 : 太阳黑 子的 拓扑 结构 及其分 岔 3 9 1 . 玻 色一 爱因斯坦凝聚和c h e r n - s i m o n s 场论中涡旋的拓扑量子化及其分岔4 0 , 4 1 . g b c 定理的 内 部 结 构 和 m o r s e 理 论4 1 1 ; 近代 超 弦 理论 中 p - b r a n e s 的 产 生 及其 拓扑 结 构 4 2 等 等， 取得了 重要成果。 本 文利 用 段 一士 教授 的0 一 映 射 拓 扑流 理 论， 讨 论了 宇 宙中的 四 种拓 扑 缺陷. 证 明了 由一种广 一 义的序参量场可以构成暗能量。 本 文的 结 构如 下， 在第 二章 中 介绍 了 规范 势 分 解理 论 和0 一 映 射 拓扑 流理 论， 这 是以 后各章的理论基础。第三章详细的介绍了宇宙论的基础知识，这是研究暗能量的基础。 第四章我们具体讨论了 序参量场作为宇宙中暗能量的模型，对于理论的体系给出了 完i 的表述，也证明了一种1 义的序参量场可以作为暗能量提供使宇宙加速膨胀的负压力。 第五章中我们讨论了宇宙论中存在的四种拓扑缺陷，它们是不同维数的序参量场在其5 点处产生的，有四维时空的畴壁、单极、宇宙弦和时空纹理。第六章为全文的总结。 第二章 预备知识 这 一 章我们将介绍木论文的 预备知识，首先是隐函数理论，隐函数理论是我 们在函 数的形式不是很清楚的时候， 研究其解的情况的有力工具。在我们研究场的拓扑性质的 时候，场的形式一般是不清楚的，因此隐函数理论在此将起很重要的作用.本章的第一 小节中我们给出了隐函数的一般理论，第二节中我们给出了一个简单的 k=1 时隐函数 的 例 子， 及 其 特 殊的 性质 。 第二 部 分 是u ( 1 ) 规 范 势分 解， 我 们从 s o ( 2 ) 规 范 势出 发 导出 了 u ( 1 ) 规范 势 的 分 解形 式， 证明 u ( 1 ) 规范 势 是 有内 部 结 构的 。 第 兰 部分 是 0 - 映 射 拓 扑 流 理论，我们给出 了0 - 映射理论中的拓扑张量流内部结构，证明了只有在矢量场的零点 拓扑 流才不为零，这是后面研究宇宙拓扑缺陷的基础。 2 . 1隐函数理论 让我们考 虑一个具有n 个包含n+k 个变量方 程的系统3 . ， x n a l . ， x n讼， u k ) =0 a k ) =0 ( 2 . 1 . 1 ) , x n , u l ， 二 ， ， ， 内=0 以粼踞 我们令 x 二 斌 二 ， x n u =护.二护 上方程组可简化为 尹( 二 ， 动=0 , a =1 , 2 , , n ( 2 . 1 . 2 如 果 上 述 方 程 在点 ( a , b ) 其中 ( a = a l , . a n ; b = b , . . . b 勺 及其 邻域内 是 连 续的 。 并f l 其 2 .2 x=1 时的隐函数理论 阶偏 微商也是连续的，则存在其j a c o b i a n 行列式 在( a , 的 点不为零 一a= a y ( 2 . 1 . 3 ) 瓢瓢 豁 或 ( 2 . 1 .4 ) 在上 述条件下，隐函数方程在点( a , b ) 的 邻域内 有唯一一组解 砂=砂时， ， 护 ) ，“ =1 , , n( 2 . 1 . 5 ) 2 . 2 k = 1 时的隐函数理论 当k=1 是，我们可以把隐函数方程写为 o a 臼， 二尹， t ) = 0 , a = 1 , 2 , n( 2 .2 . 1 ) 或者写为 o a ( 二 ， t ) =0 , a 二1 , 2 , ， n 因此我们得到 凡功 a d x i =0 , a =1 , 2 ,n; u= ( 2 .2 . 2 ) ( 2 .2 . 3 ) n 定义j a c o b i a n 矢量为 ， * l 0 、 f u l . . 1 n a j i 二 1= e a l 山 / 0 0 a 1 i n g x u d o - 竺 j x a n 1 , 2 , n ( 2 .2 . 4 ) 或者写为 ， * l m l a 0 a l e ,二 a n - 1a a / 2 夕 二 a l .a ,v ac be1 a o - n - 1 a 0 - n ax p n - 1 ax u ( 2 . 2 . 5 ) 由( 2 .2 . 3 ) 式我们可以 得到 。: ;* _ :;* 己 二 。 j a、 一 。 ( 2 . 2 . 6 ) 式左边乘以 a 1 a n - 1 -，得到 ca i .i1n -1vr cn 1./4n - 1f1xd x j a ( w 、 一 。 ( 2 . 2 .7 ) 由 mu r n a g h a n 公式， 我们可以 得到: (: da 一 sn )d x lj a 0 ) 一 。 ( 2 .2 . 8 ) _ _ _ _ _g 2 . 3 s o ( 2 ) 规范势 分解 即 帕到 d x j d x 0 ) 一 dx j ( d x 二 0 ( 2 . 2 .9 ) 加临 。并二( 2 .2 . 1 0 ) 、1月j 苗一x zj冲1、 r j j 0 (约 - d x d , 2 j l ( ) 一 j 2 ( 1 d x n j n ( 1 d x o = j o ( l ( 2 .2 . 1 1 ) 我们定义 j c 0 ) 一 j o ( 0 ( 2 . 2 . 1 2 ) e o i . .a n o=c m. .n n( 2 . 2 . 1 3 ) e 杯 1( 2 . 2 . 1 4 ) 化为 e u i an ojo (x ) 一 、 a、 ad0n axi .a0-nbxan ， j ( x 一 ，一 * a 0 .15 -x k7l 1二 ,go ano x p n( 2 .2 . 1 5 ) 这就是通常的 j a c o h i a n 行列式的定 义。 因为 x 0 = t , 所以 等式( 2 . 2 . 1 1 ) 可以 写为 d x .d t j il ; r 0 1 芍 = - 下 下 丁拜 7 ) j l s ) =1 , 2 ,， ， , n ( 2 . 2 . 1 6 ) 这样我们就得到一个重要关系 d x t d亡 i t =1 , 2 ， 二， ， n ( 2 . 2 . 1 7 ) 隐函数理论将在后面的 拓扑 流理论中 发挥重要作用。 2 .3 s o ( 2 ) 规范势分解 设n 0 为单位矢量场( 二 分量单位矢量 场) n 0 n =1 ( a =1 , 2 )( 2 .3 . 1 ) 9 2 . 4 u ( 1 ) 规范 势分解 n 。 的协变微商为: d l n a = a u n a 一 、 护 。 ( 2 .3 . 2 ) 对 s o ( 2 ) 规 范 势 ， 才 = 一 护， 才 = 1 ， w 澄 = 一 1 定 义 :w ua b = c a bb v , c a b = - eb a ， c l 1 = 6 22 = 0 , c 12 = 1 , 6 2 1 = - 1 则: d , , n = 今 n a 一 。 n b b , , n b( 2 . 3 .3 ) 定 义:k a = c a b n b 则:ka n a =c a b 7 6 a ,r t b =0 , ka ka = 马t ta = 今 n a 一 马k 0 d , n k a =a 1 ,? t k “ 一 b( 2 . 3 . 4 ) 凡 =沐 n a k “ 一 d w n a k a = c a ba l, n a n b 一 。 a b d a n a n b ( 2 .3 . 5 ) 2 . 4 u ( 1 ) 规范势分解 我们用普通的矢量场护代替公式( 2 .3 . 2 ) 中的单位矢量场n a 则 d u o = a o o a 一 w a bo bi ( 2 . 4 . 1 ) 写为分量形式 d t,o 一 a m 一 。 1 2 2u d , o 2 一 a , m ， 一 。 2 1 ,14t 1 令 。 1 2u = b u . w jy2 1 = - b m 则 d 1, 1 = a , m l 一 b w ,p 2 d , 2 = 几 o 2 干 b l a gd 由上两式可得 d u ( o 1 + i 0 2 ) = a , (0 1 + io 2 ) 一 b u ( o 2 + i q5 l ) 2 . 5 q5 一 映 射拓扑流理论 =a ( 0 1 + i 0 2 ) + i 凡( 叻 + i 0 2 ) ( 2 .4 . 2 ) 令 : v) =护十 i 0 2 可得劝 的 协变微商 d 砂二 称0 + i b y , o 因 对v, 进行u ( i ) 变换的协变微商可 写为 ( 2 .4 . 3 ) d , v ) =伟v)一 i a , o ( 2 .4 .4 ) 其 中 人 对 应 u ( 1 ) 规 范 势 ， 则 我 们 可 以 看 出 尽 = - a j , 即 a ll = 峪 山 ( 2 . 3 .5 ) 式得u ( 1 ) 规范势: a= 一 。a b a o n a n b + e a b d . n a n b ( 2 .4 .5 ) 如 果 我 么 采 用 n 0 为 s o ( 2 ) 规范 平 行 场即 :d f , n a = 0 则u ( i ) 规范势可分解为 a , = 一 。 a b a 1 n a n b ( 2 .4 .6 ) a , = e a b n a 兔 n b 通过 上 面的 讨 论， 我们 应该 主意 到 0 二c 动二0 ( x 1 , x 2 , x 3 ) a r “ 中 的 波 函 数 ( 复 标 量 函 数 ) . 而 子 = ( 0 1 (r) , 0 2 ( , ) ) 可 看 作 二 维 复 空 间 (二 维 流 形 ) 上 的 矢 量 场 。 2 .5 - 映射拓扑流理论 映射拓扑流论的实质是结合 规范势分解理论，揭示了 儿何与拓扑之间的内 在联系。 有了 价映射拓扑流理论， 我们就 可以 得到 很多 物理现象的内 在拓扑性质。 设 x 为一 个 ( n十 哟维 的 光滑的 流形， 其 局 域坐 标为 砂伽=1 , 2 , ， 二 ， n+ 劝， r n 为n 维的e u c li d i a n 空间。 考虑一个 光滑映射: x一 r n，其给出了 x上的n 维光滑矢量 场 尹=尹( x ) , a =1 , 2 , ， 二 ， n ( 2 . 5 . 1 ) 毋 的 单 位 矢 量 可 表 示为 。 一羔, 110 1 一 ， . 0 . , 。 、 一 h i p日 ( 2 . 5 . 2 ) 它是映射 几:x一s n - 1 ( 2 . 5 .3 ) 2 .5 0 一 映射拓扑流理论 其中 s n - 1 是r n中的 单位球，且 n a 是球丛的 截而。 r n 中的单位球的面元是( n一1 ) 一 形式 1 = a (s n - 1 ) (n - 1 ) !e a 1 a . . , a 1 d r t a a a a =1 , . ， . ， n ( 2 . 5 .4 ) 其中 a ( s n - 1 ) ) = a d n a , a l , 2 7 r n 1 2 r ( 2 ) ( 2 . 5 .5 ) 为球s n - 1 的的表面积。 我们从( 2 .5 . 4 ) 式构造一个n 一 形式 k=d q兰凡 ，i+, d x u l a d x m a . . . a d x u n( 2 .5 . 6 ) 其中 k p , .m n k u 、 一 。 n 的对偶张量是 x (s n - 1)(n - 1 )i一a u1(n a1 a un九 “ 兔， 。 a n ( 2 .5 . 7 ) ka 1入 二=e a 1 . a x 11 1 f t n v 9 x k u ( 2 .5 .8 ) 把( 2 .5 . 7 ) 代入( 2 . 5 . 8 ) 式得 k,入 。=a ( s n - 1 ) (n巧) ! 9 a e0. 1 a , , f 入 1入 x 1 1 1p n 认 , n 9 , 2 n . . . 8 1 ,n n a n( 2 .5 .9 ) 显然 d a;k a1.ax = 六 .9 a.(v g-;k -l.ak ) = “ ， 一 ,2 ，一 “ ( 2 . 5 . 1 0 ) 因 此 ， k a 1 . . a k 是 反 对 称的 并 且 是守 恒的 。 我们定义无阶拓扑张量流 j a 1 入 “ 二 k k . .a n 即 ( 2 .5 . 1 1 ) ， “ a 一 a (s n _ 1丽- 1 )f 9x 一“ ” “” un a ,ln a la j n a .b 1,n n a (2 .5 .12 ) 因二 “ =0 1 / 11 0 11 6 y71“ 一 击 a .o b + o ba v(赢 ) ( 2 . 5 . 1 3 ) 上式代入( 2 . 5 .8 ) 式得 户 a k 1 a ( s n - 1 ) ( n一1 ) i 斌 9 a e a i . .a , 户 a k i n“ 、 0 ， 0 a 1。 、 ， u p 1 幼 i a ll n u 62 w- 日 w 日 a o n o n ) ( 2 . 5 . 1 4 ) 2 . 5 - 映射拓扑流理论 上式等于 7 a . ， 、 一 1 a ( s n - 1 ) (n- 1 ) ! g ; ea i 1 一a ( s n - 1 ) (n - 1 ) !7e0 1 1 =a ( s n - 1 ) (n 一 1 ) !福 ea t 入 k p i 入 儿 拜 1 入 九 料 1 “ 、 。 ， 0 . 1、 。 一 u p 八正而 n 1 o u 日 w 日 护2 几n , /,0. na s . . . 19 0 , n fn - o ,q nl o a (箭a l, lo ll 二 、 。箭) v 1 a ak a aa ,9 , , , 功 e n 今 、 功 a n. a a n ( 2 .5 . 1 5 ) 护沪沪 定 义 一 个 k 阶 j a c o b ia n 张 影a y. (要 ) 为 e a y.t k a 1 .fan vial ,k a 0 f1a 0 a 2i. 二 a fyn 0 “ 一 户二 因 a 卜 a 、 a a ， . a 卜 a 、 a a ， . a 卜 a 、 a a ， .c a l .a n . a a q a ne= b aa l (n 一 1 ) ! 把上式和( 2 .5 . 1 6 ) 式代入( 2 .5 . 1 5 ) 式得 入 1* 1。 ，功 “ 、 ， ; ， 7 八 1 . .i k=二汰 。 ( 一-、 j人 1 a (s n - 1 ) g . 一、 ii0 iin 因为 e a a a .a n ( 2 . 5 . 1 6 ) 从岁-x ( 2 . 5 . 1 7 ) ( 2 .5 . 1 8 ) 从w-x k 0立 日 训n一 一 1 a 1n - 2 (l10 t3 淤l n ll 训 f o r f o r n 2 n= 2 ( 2 .5 . 1 9 ) 我们定义 n维0 空间l a p l a c i a n 算符为 , a 2 a 价 a 口 功 a ( 2 .5 .2 0 ) 。耐 ， 一 (n 一 2)a (s n - )6 ( ) ( 2 . 5 .2 1 ) a d (ln ji0 11) = 2 ,r6 ( )( 2 . 5 .2 2 ) ，o 0、 口fio t甘ee尸 二号下 矛 二 二 、 11 0 1 1 1 , a(sn-1)6()2,6(0) f o r f o r n 2 n= 2 ( 2 . 5 .2 3 ) 因为 a ( s ) 二2 7 r ,所以 ( 2 . 5 . 1 8 ) 式写 为 ， 、 、 一 雀6 w ) j a , .a m ( 0 ) x / 9 x a ( 2 .5 . 2 4 ) 2 .5 - 映 射拓扑 流理论 这 样 我 们 就 把 拓 扑 流 ， 写 为 了 创 构 和 j a c o b ia n 乘 积 的 形 式 。 从 上 式 我 们 发 现 ， 只 有 在 毋 ( x ) 的 点 拓 扑 流才 不 为 零 。因 此 研 究 掀 哟= 0 解是 致关 重要 的 。 c ( x ) =。 构 成的 方 程组 为 0 1 (x 1 , y 2 ( x i , ， ,x n + 勺= 。 ， x n + k ) =0 ( 2 .5 . 2 5 ) o 伙x 1 ， 二 ， x n 十 ” 我 们 可以 假设 上 述 方程 组 有 i 个 解， 表 示 为 才 ( : =1 , 2 , 是 掀 x ) 的 非 奇 异 点时 ， 即 约 。由隐函数理论，当这些解 a ( m l , 过 . , m n ) i o ( x , x 1 , 一 x 川 z , . 笋0( 2 . 5 .2 6 ) 一- 名 l 加少一x j护.t j 我们可以得到如下用参数表示的解 x p = 才 间， ， 确，li 二 1 , 2 , . . . , n i = 1 , 2 , ( 2 . 5 . 2 7 ) 其 中 脚 标 代 表 第 个 解 ， 并 且 参 数 u i ( i 一 1 , 2 , . . . , k ) 展 成 一 个 具 有 度 规 为 9 i .， 一 9 u 影影 的 k 维子流形，称其为介映射在流形x中的 第i 个奇异子流形从。我们定义一个 x上的正则 ( n o r m a l ) 子流 形 m， 和 奇 异子 流 形对 应 ， 用 参 数 。 伙 a = 1 , 2 , . . . n ) 来 表 示， 令 从是 i i 在 m 上 的 邻 域 ， 其 边 界 为 a m ,;， 那 么 15 ,6 矢 量 场 o (x )在 流 形 从上 z; 点 的 广 义 环 绕 数 ， 可 由 高 斯映射14 1 n : a m i 一 尹 一 1 给出 wi a ( s n - 1 ) ( n一1 ) i。 ( 。 。 ;. 。 、 。 一 d 二 一 a . . .a d 。 一 ) ( 2 . 5 . 2 8 ) 其中 。 “ 表示映 射。 的拖回 ( p u l l b a c k )。言 表示，m ill 点 淤 覆益a 从一次， 单位矢 量n 0 将覆 盖 s n - 1 (瘫 盖 的 区 域 ) 琳次 。 诚是 一 个 拓 扑 不 变 量 又 称 为 高 斯 映 射 度 。 利 用 外 微 分 形 式和斯托克斯定理，我们得到 二 饭 飞砰1- a (s n - 1)(n 目 _ 1) 瓜 e a n n, . a n d , 一 a dx n (2 .5.29 ) 或者写为 w . 二 一 a( b 一i ) t ! v一1 ) 1j a9; 一 、 a a ，一、 、 、 一 * 一 * dv a n (2 .5.3 0) 定 义 v 代 表( 价 ， ， 。 妈和份5 . 2 4 ) 式 相 似 的 推导 我 们 可以 得 到 、 一 触)了 ( i v ) 、 ( 2 . 5 .3 1 ) 2 .5 0 一 映射拓扑流理论 由于 + o o了 。 :叻=0 0 f o r 69 0 ( 2 . 5 .3 2 ) 1产1 一- 函 了下几、 工口 定义 、 代表( .u 1， 1 6 k ) 我们有 + 0 o f o r x = z ; ( u ) b(-)，一 5p 一 ，一 ( 2 . 5 .3 3 ) f o r x 7 z x ( u ) + o o f o r z =剐动 0 了 口 r x 0 4 , ( 二 ) ( 2 . 5 . 3 4 ) 因 此，我 们能 够假设 ( 类比于6 ( f w) 的 推导) 5 ( (二 ) ) 一 ec j 6 (y 一 zj (u ) ( 2 . 5 . 3 5 ) 其中 系 数 c j ( j = 1 , . . . , n ) 为 止。 将 ( 2 . 5 .3 5 ) 代 入 ( 2 . 5 .3 1 ) ， 我 们有 w t 一 j m . 一 (2 一 : ( ) / dn y 一 f1: 一 “ 一 zi(u)j / dn vv 一 。 ( v ; (一 ( 2 . 5 , 3 6 ) 这给出 c 、 _ 一 一g 业- - i j ( o / v ) i x . (二 ) i ( 2 . 5 . 3 7 ) 令 w ; i =o i l ， 我 们 得 到 a ( 初 的 最 终 展 开 式 。 二 价反 o m李 夕二下 戈 一 r 气 于 一 一 下乙 l x 一 z i 七 u) ) , 言i m v ) z . ( u ) ( 2 . 5 . 3 8 ) 其 中 r 枯 e a 叫 做 0 - 映 射 的 h o p f 指 标。 a i 的 意 义 是， 当 i 覆 .零点 a m的 邻 域一 次 ， 矢 量 场 沁 覆 盖 介空 间 的 相 应的 区 域 a i 次 。 公 式 ( 2 . 5 .3 8 ) 具 有了 拓 扑 信息 o i l 就 成 为 普 通 6 - 理 论 的推广 6 ( f ( - ) ) = 又一占 ( 二 一 : ) 名 = 1、 一 一 1. ( 2 . 5 .3 9 ) 因 此， 从上述的 表达式我 们知 道( 2 . 5 . 2 4 ) 式所 给出的拓扑 流了 标 入 ” 能够被表达为 户“ 一 六e a iin i6 (:f7 g. i= 1 一 z i(u ) j a , . . a , ( o / x ) j ( 0 / v ) 4 i ; c ( 2 .5 . 4 0 ) 2 . 5 q5 一 映射拓扑流理论 其 中 双刃v ) i l i 户下 二 ， 厂 ，丫 分 六 i二二 匕 i i j +/ v 川或 ( 二 ) ( 2 . 5 .4 1 ) 叫 做介映 射的 b r o u w e r 度。 通 过 上 述 拓 扑 流的 完 整 表 达式 我 们 看出 ， 户 a k 的 内 部 结 构以 s ( 动 的 展 开 式 来 表 征 ， 它 包含了 风 和 77 b 等 拓扑 信 息 如果 我 们取 口二t 为时 间 分量， u ( 1 = 2 ， 二 ， 哟 为 空间 参 量。 广义拓扑流的内部结构表示了， 在流形x中有l 个携带拓扑核9 i 二风 7 ) y ( i 指标不求 和)的( k 一1 ) 维拓扑物体。奇异子流形n i ( : 二1 , 2 , . . . , k ) ， 表示它们的世界面。 第三章 宇宙论基础 3 . 1 宇宙学原理 宇宙学原理是一种假设， 但我们认为它是合理的理。 其表述为: 在宇观尺度下，任何时刻三维宇宙空间是均匀和各向同 性的。 其中宇观尺度指的是在大于或等于1 0 8 光年的宇宙空间内。均匀和各向同性指的是宇 宙空间内任一点和任一点的任一方向物理上不可分辨的。 宇宙学原理提出的主要根据是: 1 、据地球_ 的观测， 在人于1 0 8 光年的宁 宙空间 范围内，星系的分布、射电 源的计数 和微波背景幅 射等， 基本上都是均匀的各向同性的。 2 , “ 哥白 尼”原理的推广。哥自 尼原理的自 然推广就是宇宙不存在任何中 心，因此 我们从任何一点 观测宇宙，得到的都 应该 是一 样的宇 宙演化图景。 3 . 2 r o b e r t s o n - wa l k e r 度规1 在一四维 平直欧氏空间， 利用直角坐标系的 弧元为: d 1 2 二d x d x = d x d x + ( d x 4 ) 2 , w 二 1 , 2 , 3 , 4 : =1 , 2 , ( 3 .2 . 1 ) 在四维平直时 空中 常曲 率流形e ( : .:. 维球) 满 足: 二 !x + (x 4 ) ， 一 王( 3 .2 . 2 ) 其中、 是黎曼曲率为常数，对 几 式微分得 护d x 4 + x d x =0 d x 4= x d x y 4 ( 3 .2 . 3 ) ( 3 .2 . 4 ) 4 , 2 l x d x x d x t u x = i - a =下 一 一 一二 - 下 x一/盘一vx . ( 3 .2 . 5 ) 虽 3 .2 r o b e r t s o n - w a l k e r 度规i 则( 3 . 2 . 1 ) d 1 2 =d x d x 二r ( x i d x i ) 2 1一n x x i ( 3 .2 . 6 ) 当坐标换为球坐标 x 1 二r s i n 0 c o s ,p x 2 二r s i n o s i n o :r 3 =r c o s o 则 3 . 2 . 6 ) 化为: d 1 2二 d r 2 1一rc r 2+ r 2 ( d b 2 + s i n 2 b d cp 2 )( 3 .2 . 7 ) 这是空间的尺度不随时间变化的二维空间的度规形式，如果空间的尺度是变化的我们需 要作一个尺度变换，把原先的度规乘以一个正的时间函数尺度因子a ( 约 得 d l 一(:)!焉 + 一 (db 2 + s in 20 d w 2) ( 3 .2 . 8 ) 对坐标相应的变换得 : =a ( t ) r d r = a ( t ) d r r ,2 一 。 2 ( t ) r 2 则上式化为: d 1 2 _ .一 .d r 1一 .z + r 2 ( d b 2 + s in 2 b d 0 2 ) ( 3 .2 . 9 ) 子飞 乃 显然空间的曲率变为 一朔 由 此我们 看出当a ( 幻 随时间变化时 一空间是动态的其曲率将随时间而变。 广义相对论四维时空中度规的普遍形式为: d s 2 =- 9 f , d x i d x ， “ 。 二 0 , 1 , 2 , 3 ; x 0 = c t =- 9 o o c 2 d t2 一 g o ic d t d x 一 9 ij d x d x j i , j = 1 , 2 ,3 ( 3 .2 . 1 0 ) 如果我 们采用 局部随动坐标系或宇宙时，则 9 o 0=一 1 ; s o i =0 1 9 3 .3 理想流体的能 动张 量 如果 我们再 考虑由宇宙学原理决定的光速各向 等性和亡 为常数时的超曲 面为超球面则 - 9 i j d x i d x j =d i e d s 2 = d t 2 一 . 2 ( t ) (d , 21 - k r2 + 一 “ b2 + 一 “ “ * ” 这就是所谓的r- w度规。由 前面的 推导 过程来看， r- w度规是由 宇宙学原理决 定的 和 具体的引力理论无关。 r一w度规是包含a ( t ) 和、 俩 个米知 量的运动学方程 如果按照我们定义的度规形式: d s 2 =- 9 u , d x d x “ ， 。 =0 , 1 , 2 , 3 x 0 = c t ( 3 . 2 . 1 1 ) 则对r一w度规有: d 3 2 =- 9 o 0 ( d x o ) 2 一 。 i j d x d x l i , j = r , 0 , p ; 9 o i = 9 i o = 0 为了方便我们令: 9 i j = 9 ij a 2 ( t ) d 8 2 =- 9 o o c 2 d t 2 一 a 2 ( t ) g ij d x d x i ( 3 .2 . 1 2 ) 其中 : g o o =一 1 蚕， = 1 1一 k r 2 加 b =r 29 w w = r 2 s i n 2 0( 3 .2 . 1 3 ) d s 2 = c 2 d t 2 一 。 2 ( t ) 9 ij d x d x j( 3 .2 . 1 4 ) 3 . 3 理想流体的能动张量 如果流体中 每点都有速度v ，并只以 此速度运动的观测者看见他周围的流体是各向同 性的， 则我们就可以 称这 样的流体为理想流体2 1 ,当我们以格个字宙为研究 对象 时， 按照 宇宙学原理， 那么我们的宇宙就可以 看作为理想流体。在经典流体力学中理想流体的运 动方程由e u l e r 方程决定: d v_ p -二 p j 一 v p a乙 ( 3 . 3 . 1 ) 它可以改写为下列分量形式: 最 (; 一 ) 一 ， f 一 a,t 0j ( 3 .3 . 2 ) 虽 3 .4 e i n s t e 工 n 场 方程和r i c c i 张量表示 其 中 :t 7 = p b l + p v , v a 称为理想流体的动量密度张量，把上式推广到广义相对沦 ，四 维形式的广义协变能动张 量为: t a i =( p c 2 + p ) u u + p 9 p , ( 3 .3 . 3 ) 其 中 。 “ 二 等 为 四 维 速 度 矢 量 ， ， 为 压 强 1 。