（应用数学专业论文）n11高阶微分方程m点边值问题正解的研究.pdf

摘要 摘要 微分方程有着深刻而生动的实际背景，它从生产实践与科学技术中产生，而又 成为现代科学技术中分析问题和解决问题的一个强有力工具。最近几十年，随着微 分方程定性理论的发展，许多实际问题得以解决，如在经济金融保险领域、生物种 群的数量结构规律分析、疾病和病虫害的控制与防治、遗传规律的研究等许许多多 的方面。微分方程为研究诸如上述现实问题的发展过程提供了一个非常合适的数学 模型平台，成为一个极为活跃的研究方向。而在实际应用中，很多问题都需要归结 到微分方程边值问题的求解。因此，研究微分方程边值问题具有重要的理论意义和 实际用途。 本论文主要应用非线性泛函分析的方法来研究高阶微分方程边值问题正解的存 在性，全文共分四章，其主要内容如下： 首先，本文在第一部分主要介绍微分方程的起源和国内外在边值问题领域的研 究现状以及本文的主要研究内容： 然后，本文在第二部分利用k r a s n o s e l s k i i 不动点定理和。h o l d e r 不等式研究了一 类含有可数多个奇点的高阶多点边值问题正解的存在性 i p 推广了一种求解多点边值 问题相对应的g r e e n 函数的方法，即用两点边值问题的g r e e n 函数来表示多点边值 问题的g r e e n 函数，借助这种方法较简便地求得了g r e e n 函数的表达形式以及g r e e n 函数的性质，最后得到了该边值问题的可数个正解。 其次，本文在第三部分利用l e r a y s c h a u d e r 的度理论，研究了一类系数可变号 的高阶多点边值问题正解的存在性，给出了该多点边值问题的g r e e n 函数，并且构 造出另外两个边值问题，使得这两个边值问题的解之和即为本章所研究的边值问题 的解。对这两个构造的边值问题，通过定义合理的全连续算子，都至少存在一个正 解，即有本章所研究的边值问题至少存在一个正解的结论。 最后，本文在第四部分利用l e g g e t t w i l l i a m s 不动点定理研究了一类高阶多点边 值问题，求出了此边值问题的g r e e n 函数，得到了解的一些性质，并且定义了全连 续算子和凹泛函，得到了至少存在三个正解的结论。 关键词常微分方程；边值问题；锥；不动点定理；度理论；正解；g r e e n 函数 河北科技大学硕士学位论文 _ _ _ _ _ _ _ _ _ 目_ _ _ _ = = e 蛊ii 一, , n _ t _ _ 自= = = e j 目| | _ e = = = _ _ _ _ 目_ l a b s t r a c t d i f f e r e n t i a le q u a t i o n sh a v eap r o f o u n da n dv i v i da c t u a lb a c k g r o u n d t h e ya r i s ef r o m t h ep r o d u c t i o na n ds c i e n c et e c h n o l o g ya n da r eap o w e r f u li n s t r u m e n tt oa n a l y z ea n ds o l v e p r o b l e m si nt h em o d e ms c i e n c ea n dt e c h n o l o g y i nr e c e n td e c a d e s ，d e v e l o p m e n ti nt h e q u a l i t a t i v et h e o r yo fd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sh a sb e e nm o t i v a t e db yan u m b e ro fa p p l i e d p r o b l e m s f o re x a m p l e ，i nt h ef i e l do fe c o n o m i ca n df i n a n c i a li n s u r a n c e ，t h ea n a l y s i so f t h es t r u c t u r eo ft h en u m b e ro fb i o l o g i c a ls p e c i e s ，t h ec o n t r o la n dp r e v e n t i o no fd i s e a s e s a n di n s e c tp e s t s ，t h es t u d yo fg e n e t i ca n ds oo n t h ed i f f e r e n t i a le q u a t i o n sp r o v i d ea l l a p p r o p r i a t ep l a t f o r mf o rt h em a t h e m a t i c a lm o d e l t or e s e a r c ht h ed e v e l o p m e n tp r o c e s s ，a n d b e c o m ea ne x t r e m e l ya c t i v er e s e a r c hd i r e c t i o n i np r a c t i c e al o to fq u e s t i o n sn e e dt ob e a t t r i b u t e dt ot h es o l u t i o n so fb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m s o ，s t u d y i n go nb o u n d a r yv a l u e p r o b l e mf o rd i f f e r e n t i a l ，e q u a t i o n si sv e r yi m p o r t a n t ，f o rd e v e l o p i n gt h ek n o w l e d g eo f t h e o r ya n dp r a c t i c a la p p l i c a t i o n t h i sd i s s e r t a t i o nd i s c u s s e sm a i n l yt h ee x i s t e n c eo fp o s i t i v es o l u t i o n sf o ro r d i n a r y d i f f e r e n t i a le q u a t i o n sb ym e a n so ft h em e t h o d so fn o n l i n e a rf u n c t i o n a la n a l y s i s t h ep a p e r i sd i v i d e di n t of o u rc h a p t e r s m a i nc o n t e n t sa sf o l l o w s ： f i r s t l y ，i nc h a p t e ro n e ，w ei n t r o d u c et h eh i s t o r ya n dc u r r e n ts i t u a t i o no ft h e 。t h e o r yo f o r d i n a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，a n dt h em a i nc o n t e n ti nt h i sp a p e r s e c o n d l y ，i nc h a p t e rt w o ，b yu s i n gk r a s n o s e l s k i if i x e dp o i n tt h e o r e ma n dh o l d e r i n e q u a l i t y ，t h ee x i s t e n c eo fc o u n t a b l ym a n yp o s i t i v es o l u t i o n s f o rs o m en o n l i n e a r n t h o r d e rm - p o i n tb o u n d a r yv a l u ep r o b l e mi sd i s c u s s e d am e t h o dt of i n dt h eg r e e n s f u n c t i o nf o rac l a s so fo r d i n a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n si sa l s og e n e r a l i z e d ，t h a ti st h e a s s o c i a t e dg r e e n sf u n c t i o nf o rt h em p o i n tb o u n d a r yv a l u ep r o b l e mi ss u c c e s s f u l l yg i v e n b yt h eg r e e n sf u n c t i o nf o rt h et w op o i n tb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m ，a n de a s i l i e rt oo b t a i n t h eg r e e n sf u n c t i o n sf o r ma n dt h ep r o p e r t i e sb yt h i sm e t h o d a tl a s t ，c o u n t a b l ym a n y p o s i t i v es o l u t i o n sa r eo b t a i n e d t h i r d l y ，i nc h a p t e rt h r e e ，w ec o n s i d e r ac l a s so fan o n l i n e a rn t h - o r d e rm - p o i n t b o u n d a r yv a l u ep r o b l e mw i t hc o e f f i c i e n tt h a tc h a n g e ss i g nb yu s i n gl e r a y s c h a u d e r d e g r e et h e o r y t h ea s s o c i a t e dg r e e n sf u n c t i o nf o rt h em p o i n tb o u n d a r yv a l u ep r o b l e mi s s u c c e s s f u l l yg i v e n t w oo t h e rb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m sa r ec o n s t r u c t e d ，a n ds o l u t i o n so f t h et w ob o u n d a r yv a l u ep r o b l e m sm a k eu pt h ef i n a ls o l u t i o n t h e nb yd e f i n i n gs o m e r e a s o n a b l ec o n t i n u o u so p e r a t o r s o n ep o s i t i v es o l u t i o ni so b t a i n e df o re a c ho ft h et w o l i a b s t r a c t b o u n d a r yv a l u ep r o b l e m s s o ，t h ec o n c l u s i o ni st h a to n ep o s i t i v es o l u t i o ni sg o t f i n a l l y ，i nc h a p t e rf o u r ，b yu s i n gl e g g e t t w i l l i a m sf i x e dp o i n tt h e o r e m ，ac l a s so fa n o n l i n e a rn t h o r d e rm p o i n tb o u n d a r yv a l u ep r o b l e mi ss t u d i e d t h ea s s o c i a t e dg r e e n 7 s f u n c t i o nf o rt h em p o i n tb o u n d a r yv a l u ep r o b l e mi sf i r s t l yg i v e n ，t h ep r o p e r t i e so ft h e s o l u t i o na r ea l s og i v e n t h e nb yd e f i n i n gt h er e a s o n a b l ec o n t i n u o u so p e r a t o r ，t h r e e p o s i t i v es o l u t i o n sa r eo b t a i n e d k e yw o r d so r d i n a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n ；b o u n d a r yv a l u ep r o b l e m ；c o n e ；f i x e dp o i n t t h e o r e m ；d e g r e et h e o r y ；p o s i t i v es o l u t i o n ；g r e e n sf u n c t i o n l l l 河北科技大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进行研究工 作所取得的成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方 式标明。除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体己经发 表或撰写过的作品或成果。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名：绦叁札 留年 ) 月i 同 指导教师妊噻影子 p 0 8 年1 3 - j 9f 同 河北科技大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意学校保留 并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。本 人授权河北科技大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检 索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。 口保密，在一年解密后适用本授权书。 本学位论文属于 q 怀保密。 ( 请在以上方框内打“4 ”) 学位论文作者签名：徐赵拯 如谚年l 阴，同 亍 瞎r 名乡 ， 名 乒 墼 胁 蚵 手 狮 年 导 诅 燃 如 第1 章绪论 第1 章绪论 1 1研究的目的与意义 微分方程的形成与发展是和力学、天文学、物理学以及其他科学技术的发展密 切相关的，远在十七、八世纪，在力学、天文学、物理学和技术科学中，就借助于 微分方程，取得了巨大成就。数学的其他分支的新发展，如复变函数、李群、组合 拓扑学等，都对微分方程的发展产生了深刻的影响。当前计算机的发展更是为微分 方程的应用及理论研究提供了非常有力的工具。 在微分方程理论的定解问题中，除初值问题之外，还有一类同数学物理问题密 切相关的所谓边值问题和特征值问题。这一问题的研究，从十九世纪三十年代由 s t u r m 和l i o u v i l l e 讨论二阶线性方程的边值问题和s t u r m l i o u v i l l e 特征值问题开始， 到二十世纪由h i l b e r t 等人奠定了常微分方程的边值问题的理论问题，不论在问题的 深度和广度方面还是在研究方法上都有了很大的发展。 边值问题正解的理论研究作为常微分方程边值问题的一部分，在最近三十年中 有了迅速的发展。国际文献中这一领域的论文已有数百篇，一九九四年以来连续出 版了有关边值问题正解理论的专著3 本f 1 3 】。广泛的应用背景是促使这一理论迅速发 展的基础。 目前，对边值问题的研究已经覆盖了常微分方程、泛函微分方程、脉冲微分方 程、差分方程和带有拉普拉斯算子的微分方程，尽管人们对于边值问题的研究取得 了一系列成果，但是许多问题的理论研究尚不完善，对于这些问题进一步的研究， 无论是在理论上还是在实际应用中都有很重要的意义。 微分方程多点边值问题广泛出现在弹性稳定性理论以及多种不同材料构成的电 路问题中，也出现用分离变量法求解偏微分方程多点边值问题的过程中，对于二阶 以及高阶线性微分方程多点边值问题的研究已经获得了些结果。此后，对于一些 非线性微分方程多点边值问题解的存在性的讨论也取得了很多结果。 1 2 国内外研究现状 由于在现实世界中往往需要求解边值问题模型的正解，人们对它进行了广泛的 研究并取得了丰富的成果。e r b e 和w a n g 在文献( 4 】中首先利用锥上的k r a s n o s e l s k i i 不动点定理1 5 j 研究了二阶两点边值问题 “”+ 口( t ) r ( 髓) = o ，0 f 0 ，, t e ( o ，1 ) ，口刁 0 ，叼( o ，1 ) ，口7 7 1 ，利用s c h a u d e r 不动点定理和一个积分算子表达式， 证明了在某些条件下，存在b ，当0 0 ( i = , 2 , - - - , 聊一2 ) ，0 皇 邑 毛一2 o ( i - - 1 , 2 ，m - 2 ) ，o = 岛 岛 岛 岛一： 岛一，= 1 ，o k ；毒 1 ，并 且厂： o ，1 o ，o o ) x g - o ，) 是连续的，仍可以证明对于厂赋予一定的增长条件下， 边值问题正解的存在性。 1 2 2 带l a p l a c i a n 算子的微分方程边值问题 在八十年代初期，人们对于非牛顿流体力学，多空介质中的气体湍流，弹性理 论，血浆问题，宇宙物理等大量的应用领域及其对非线性偏微分方程的径向解的研 究发现，对这些问题的研究可归结为所谓的带有p l a p l a c i a n 算子的微分方程 ( 昨( h ，) ) + 口( f ) ，( 柚，h ) 一0 , 0 f 1 。从八十年代末期开始，许多国内外专家学者均 对此类问题进行了研究，并取得了很大的进展，请参见文献 1 7 ，x 8 。在文献 1 7 q b ， 王俊禹引入了一个比较新颖的算子，通过锥拉伸锥压缩定理讨论了带有p l a p l a c i a n 算子的微分方程 ( g ( “) ) + 口( f ) 厂( “) 一0 ，0 o ( f ；o ，l ，n - l , j - 1 , 2 , - - , m - 2 ) ， o ；彘 岛 岛( 乞，： 岛1 - t 1 ，并且o t 毛 1 。在文献【2 4 】中，g u o 利用 l e g g e t t - w i l l i a m s 不动点定理，在，满足增长条件的情形下，证明了此边值闯题至少 存在三个正解。 为了在证明中应用解的凹性，上面所做的工作是在假设( 一1 ) “f 非负的条件下完 成的。对于具有变号非线性项的高阶边值问题多个正解存在性的研究成果很少。在 文献 2 5 1 e e ，g u o 利用双锥上的不动点定理，也就是l e g g e t t w i l l i a m s 不动点定理的 推广形式，在，满足增长条件的情形下，证明了下列2 n 阶m 点边值问题 y ( n ( f ) = 厂( y ( f ) ，y ( r ) ，户【 一1 ( f ) ) ，os fs1 m y 洚( o ) - , s i y 陋h ( o ) 一o ，y 洚( 1 ) 一尸( 毒) ，1 i 0 ，ito ，1 ，聍- 1 ， j ；1 , 2 ，垠一2 ，0 一彘 岛 岛 岛： 岛以一1 。 上面讨论的都是l i d s t o n e 类型的微分方程。近几年来，对于三阶、四阶边值问 题的研究也逐渐引起学者们的重视，参见文1 欷 2 6 ，2 7 】。如在文献【2 7 中，b a i 采用上 下解方法证明了下列四阶三点边值问题 “( 4 t ) 一，( f ，“( f ) ，“( f ) ，醒”( f ) ，“”( f ) ) ，0 t 1 “( 0 ) tur ( 1 ) = h ”( o ) z “”( 1 ) = 0 存在一个解。 1 3 本文主要研究内容 我们主要研究高阶微分方程多点边值问题正解的存在性问题，全文共分4 章。 第l 章绪论主要介绍有关微分方程边值问题的发展历史和研究现状。 第2 章研究了一类含有可数多个奇点的高阶多点边值问题正解的存在性问题， 微分方程形式如下 4 第】章绪论 “扣( f ) + 口( f ) 厂( h ( f ) ) = o ，f ( o ，1 ) 带有下列边值条件之一 “( o ) = t 比( 点) ，“( o ) = = “一2 ( o ) = o ，“( 1 ) = o 和 h ( o ) 。o ，“7 ( o ) = = h 扣一2 ( o ) ；0 ，“( 1 ) 一尼r “( 量) 口( f ) 在区间( 。专 上有可数个奇点。本章首先求出了忍阶两点边值问题的解，得到了 相应的g r e e n 函数以及g r e e n 函数相应的性质，然后用两点边值问题的g r e e n 函数来 表示多点边值问题的g r e e n 函数，得到了高阶多点边值问题的g r e e n 函数的表达形 式以及g r e e n 函数的性质，之后再利用求得的g r e e n 函数构造全连续算子，最后利 用k r a s n o s e l s k i i 不动点定理和h o l d e r 不等式得到了此边值问题的可数个正解。 第3 章考察类系数可以变号的高阶多点边值问题 “( t ) + a a ( t ) f ( “( f ) ) = o , te ( o ，1 ) “( o ) 2 酗比( 咖”( o ) 一p ”( o ) = o ，“( o ) z “( 1 ) ( 1 - i ) 其中口( f ) 是可以变号的，口+ ( f ) = m a x 0 ，口( f ) ) ，口一( 1 ) = m a x o ，一口( f ) ) ，首先求出边 值问题的g r e e n 函数，利用求出的g r e e n 函数来限定系数口( t ) 的口+ ( t ) 与口一( t ) 的关 系，构造出边值问题( 1 1 ) 解存在的充分条件。然后通过对6 和万进行限制，当a ( o ，万) 时，考虑下面的边值问题 “h ( t ) + a a + ( f ) 厂( 甜) 一o ，f ( o ，1 ) u r ( o ) t 七( 最) ，“”( o ) 一一“( n - 1 ) ( o ) 一o ，“( o ) = “( 1 ) ( 1 2 ) 面 对边值问题( 1 2 ) ，首先构造出与其等价的积分方程，通过定义一个全连续算子和一 个同伦等式，利用l e r a y s c h a u d e r 的不动点定理，即可得到边值问题的正解以及解 得一些性质。之后再考察下面的边值问题 y h ( f ) + a 口( f ) ，( 云点( f ) + y ( f ) ) 一a 口+ ( f ) ，( u 一五( f ) ) = o ，f ( o ，1 ) 5 河北科技大学硕十学位论文 y 7 ( o ) t t y ( 善) ，y ”( o ) 一。y “。1 ( o ) to ，y ( o ) ；y ( 1 ) ( 1 - 3 ) 对边值问题( 1 3 ) ，利用l e r a y s c h a u d e r 的不动点定理同样也可求得一个正解。最后 根据边值问题( 1 - 2 ) 和边值问题( 1 - 3 ) 的解的性质以及方程的特点，得到了边值问题( 1 1 ) 的一个正解，即为边值问题( 1 2 ) 和边值问题( 1 3 ) 的解之和。 第4 章研究了下列高阶多点边值问题 u ( 神( t ) + ，( i , u ) 一o j f ( o ，1 ) 成一2 “( o ) = o ，“”( o ) t ；“n 一2 ( o ) = o ，u ( 1 ) - t “( 磊) 首先给出了此边值问题的g r e e n 函数，并得到了解的一些性质，之后通过定义全连 续算子和凹泛函，最后利用l e g g e t t w i l l i a m s 不动点定理讨论了此边值问题，得到了 三个正解。 6 第2 章含有奇点的高阶多点边值问题正解的研究 第2 章含有奇点的高阶多点边值问题正解的研究 2 1预备知识 近年来，常微分方程边值问题由于其广泛的应用背景已经成为一个重要的研究 课题。微分方程多点边值问题存在于应用数学和应用物理等多种领域中，二阶线性 微分方程边值问题的研究最早见于文献 2 8 ，此后，对于二阶非线性多点边值问题的 正解进行研究的文献也越来越多，具体参见文献 2 9 3 3 。近年来，高阶多点边值问 题的研究也引起了学者们的注意，参见文献 3 4 1 ，但是对于微分方程含有奇点的情况， 讨论的文献并不多见。在文献 3 5 中，k a u f m a n n 和k o s m a t o v 采用锥上的k r a s n o s e l s k i i 不动点定理和h o l d e r 不等式讨论了含有可数个奇点的二阶两点边值问题，并得到了 边值问题的可数个正解。基于文献 3 5 1 ，本章讨论了一类含有可数个奇点的高阶多点 边值问题正解的存在性问题。 在本章里，我们讨论的方程如下 “( ”( f ) + 口( r ) 厂( 甜( ，) ) = o ，f ( o ，1 ) 气己 ( 2 1 ) 带有下列边值条件之一 m - 2 u ( o ) = 忍甜( 纠，“( o ) = = “似。2 ( 0 ) = o ，“( 1 ) = 0 ( 2 2 ) t = l 和 m - 2 u ( o ) = o ，“7 ( o ) = = 材”2 ( 0 ) = o ，u ( 1 ) = 砖“( 专) ( 2 3 ) t = l 在本章中，我们假设下列条件满足： h 1 ) 存在序列 气) ：。满足+ - t k ( ken ) ，f ， o ，使得对所有的， 广，1 - t ，都有口( ，) 日； h 3 ) 存在一个p 14 吏得a ( t ) f o ，1 】； h 4 ) 厂： o ，0 0 ) 一 0 ，o 。) 是连续的： h 5 ) 玎2 ，p0 ( i = 1 2 一，m - 2 ) ，0 卣 磊 磊一： 1 ，o 砖( 1 一) o ( 净l ，2 ，m - 2 ) ，0 螽 受 厶一2 1 ，0 k , c - 1 - iu l ，材尸n 孢。，| i 砌| | | | “| i ，m 尸n 。i 则t 在尸n q 2 q ，) 中有一个不动点。 定理2 2 ( h 。1 d e r 不等式) 设厂p 【岛予】，g 口k 6 】，其中p 1 ，石1 + i 1 = 1 ， 则磨三l 毋6 】，并且f l 厂( s ) g ( s ) - l l f l pi l g l l 。若厂丢【口，6 】，gep 【口，6 】，则 g _ k 6 】，并且f 厂( s ) g ( j ) t 出- w i t ，i l g l l 。 对于足理甲_ 出现的一些范数小等式，我们规足 1 ) 【口，6 】代表可测空间，并且f f 厂( s ) f p d s 表示勒贝格意义下的可测。 2 ) 【口，b - e 愀l l o 定义为：i l s l l 产= ( f f 厂( s ) l p 出) ；。 2 2 主要结论 引理2 1 对少( f ) c o ，1 】，边值问题 “( “( f ) + y ( f ) = o ，f ( o ，1 ) 默( o ) = o ，封( o ) - - = ”棚( o ) = o ，u ( 1 ) - 0 ( 2 ，4 ) 8 第2 章含有奇点的高阶多点边值问题止解的研究 比) 一 0 ，使得 河北科技人学硕+ 学位论文 ，寸m ，i ，n 一，】g ( f ，s ) 瓦g ( 岛( s ) ，s ) 之菇g ( f ，s ) ，v t , se o ，1 ( 2 - 7 ) 瓤捌n ，南卜卜 n - 1 1 一( 1 一s ) 磊 证明 1 ) 显然g ( f ，s ) 在【o ，1 【o ，1 上是连续的。 对0sss ts 1 ， ， s 岛( s ) 1 。 t - x ( 1 一s ) ”1 一t - - s ) 1 - ( f 一拯) “一t - - s ) ”1 o 。所以由式( 2 - 6 ) 可知go ，s ) 芝o ，v t ，s e o ，1 。 2 ) 对某一固定的o s 1 ，g ( t ，s ) 在ft 岛( s ) - 匕( s 岛( s ) 1 ) 取得最 1 一( 1 一s ) 五 大值，即 因此有 m 。q a 。，x 叫g ( f ，s ) 2g ( b ( s ) ，s ) ，v s 0 ，1 g ( f ，s ) sg ( o l ( s ) ，s ) ，v t ，s o ，1 下面证明式( 2 ? ) 成立。 冷5 固定，由譬质可知g ( ，s ) c 2 ( o ，1 0 1 ) ，在三角形区域s f 和f s ， 竺毫善型是连续的。同样由性质可知，g ( f ，s ) 作为f 的函数，满足边值问题( 2 5 ) 的 边界条件，再由罗尔定理可知，存在。 乙，： 乙一， f ： f 1 1 ，使得里毫掣：。 其中f ，t0 j ( s ) t 1 一( 1 一s ) n - l - j ，5 0 ( 5 ) 1 ，1 墨，s 咒- 2 。 对删：呻在 上掣 o ，使得g ( r ，s ) p ( ，) y t g ( o , ( s ) ，s ) ，f r , l - r ， s f o ，1 1 ，因此不等式( 2 7 ) 成立。 。赋；口，厂适当的限制条件，我们就可以证明边值问题( 2 1 ) 和( 2 2 ) 有可数个正解。 引理2 4 设m - 2 砖1 一嚣一1 ) 1 ，对y ( f ) c o ，1 】，边值问题 “( n ( f ) + y ( r ) = o ，f ( o ，1 ) “( o ) ：窆砖( 考) ，“( o ) = = “棚( o ) = o ，“( 1 ) = o ( 2 - 8 ) 有唯一解 一 “( ，) = 一小) 出 堑：暨型尘龀：篷竺 1 一k ，( 卜等_ ) 一 一。 ， 河北科技大学硕+ 学位论文 - _ _ _ 皇昌昌= = 昌昌- 置墨昌哥蕾e 曩宣胄_ 曲皇蛊墨奄昌= = 暑= = 蛊譬蛊昌皇昌置：薯曩穹： ：_ ：皇_ 阜昌：昌e _ _ l l = 墨昌昌e = ：= | j 宣昌一t 莹型鳖掌型m - 2 壁鲨 1 一砖( 1 一只一)o 、 oo ， 证明删= 一_ c 锑( j ) d s + a t - 1 + 幽 因为材( ，( o ) = o ，f = 1 ，2 ，”一2 ，可得4 ：o 。再利用边界条件群( o ) ：r n - 2 砖甜( 毒) ， “( 1 ) = o ，直接带入有 整理有 解得 a = b = m 科- 2f 错儿胁计刁 一f 错灿脚= 。 = c 谢巾) 出 喜+ 曙k i - 1 ) 召= 薯砖f 铄坪) 出 砖劈- 1 彳+ l 召= 砖f 辫y ( s ) 出 ，t l ，= l，t l 。” i ，f if ： 争筛y 瞧置) c 错小，出 召= 邕盛掌塑簦鲨 1 - 墨( 1 一。1 ) 因此边值问题( 2 - 8 ) 有唯一解 廿一f 出 1 2 、l_， 俨 卢巩 一 ，jii 匆 州一 一 第2 章含有奇点的高阶多点边值问题正解的研究 茔! 暨竺二噬坐：兰篷竺 1 一j i = ，1 一等以) 一 7 + 塾妄暨鲨二趁壁竺 1 一t1 一等以) 一 i 引理2 5 设o t ( 1 一f q ) 1 ，边值问题 一“如( t ) 。o ，f ( o ，1 ) 的g r e e 1 函数为 砧( 。) tm 善- 2 咖( 咖”。护( 。) 一。州一。 ( 2 - 9 ) 其中g ( f ，s ) 如式( 2 6 ) n g y 。 证明 边值问题( 2 - 8 ) 的唯一解可表示为 “( ，) 一高 q ( 1 一s ) “一( ) ”1 弘) 出+ ，( 1 一s m s ) 出 一i 二南薯七f l 产( 等以( 1 5 ) “一( 毒一s ) ”q ) y ( s ) 出 ；南 弋h 广1 七叫弘) 出+ ，广1 ( 1 叫川小) 出 薪 一1 小 q 小 以， m d y 厂 叫 厂 吖 旧 吖， 0。，_乏 o ! h v q 墨齐 l 卜 一 河北科技大学硕士学位论文 使得 +：二瓣1-tn-1 m 刍- 2 tl e ( 彩旬( 1 一s ) ”一( 岛一5 ) “以) y ( s ) 出 ( 1 _ 以y 凼 ) 一上g l ( f ，s 涉( s ) 出 e i i 理2 6 设。 0 ，聊n r l u ( 啦以州i i 定义算子互为： 五“( f ) = fg 1 ( t ，s ) 口( s 沙( 材( 5 ) ) 出，o t l ( 2 - 1 2 ) 显然u ( t ) 是边值问题( 2 1 ) 和( 2 - 2 ) 的解当且仅当“( f ) 是算子互的一个不动点。 定理2 1 要求算子正是全连续的，并且是锥保留的。如果五是连续的，并且是紧 的，那么互是全连续的。下面的引理表明对r ( 。专) ，互：只_ p ，并且互是连续的 和紧的。 引理2 7 算子五是全连续的，并且对每一r f ，o ：丢 ，互：一只。 证明固定：( 。告) ，因为对所有的s 【o ，1 】，材只，有厂( z ，( s ) ) 。，口( s ) 在 有定义的点都是非负的。又因为对所有的f ，s o ，1 】，有g 1 ( ，s ) 0 ，因此对所有的 ，f o ，1 ，甜p ，有五甜( f ) 0 。 设甜只，对所有的r 【o ，1 】，由式( 2 1 1 ) 和式( 2 - 1 2 ) 有 冲r a 卜i n f 】互“( r ) = ，删n jf g 1 ( f ，s p ( s ) ( “( s ) ) 出 1 5 河北科技大学硕士学位论文 ：岩：= = = e 昌：= ：；_ ：i 薯昌= = = 景墨= = = 昌岛篁昌= = = = 罩昌墨皇口昌篇高皇暑高宣曩田- 墨昌富= = = j 重暑宣皇薯= = j e 。m i n g j ( 柚) 口( s ) 厂( “( s ) ) 出 以fg 1 ( ，s p ( j ) 厂( 材( s ) ) 出以互甜( ，) 因此，删曼l 互甜( ，) 以惭i i 。 显然式( 2 1 2 ) 定义的算子夏是连续的。由a r z e l a a s c o l i 定理可知，互是紧的，所 以算子l 是全连续的。 为了简便，引入记号 a 2 磊了丽“2 2 丽丽 定理2 3 设条件h 1 ) _ - h 5 ) 成立，存在序列 靠 ：，旦满足气+ ， 气 t k ，k = 1 ，2 ， i ： 序列 气 ：，和 吆 ：满足r + ， 蜀，啦 - l r - k ， k = l ，2 ，：，其中 m ( 人，+ 。) ，l ( o ，人：) 。若对每一个自然数七，厂满足下歹| j 条件： h 7 ) 对所有的材【o ，r k 】，y ( u ) l r k ； h 8 ) 对所有的甜 吆，吆 ，厂( “) 尥： 则边值问题( 2 1 ) 和( 2 2 ) 有可数个正解 ：。，对每一个露= 1 ，2 ，都有- t l u t 忙吩。 证明考虑e 的开子集中的两个序列 q m ) 二， q ：，。) 二。，并作如下定义： q 啦= 甜e ii i u l r k ；，q ：，。= 甜ei i “0 攻) 设存在序列 ：，且对所有的意，满足 。， 靠 如 0 , 一m m i n 。u ( ，) 九i t 扰吣 固定k ，设材只n 讹：。，x cs 【气，1 一龟】，有 k 玖2 1 1 4 - 邓r a p i n 刈u ( s ) 掰( s ) _ h m r k m 蛳a x l - - l lg i ( 1 f ，s 灿 ，e i o ，】| 。7 r k = u i i 下面设“