（系统理论专业论文）代数结构提升的若干结论.pdf

s h a n d o n gu n i v e r s i t yd o c t o r a ld i s s e r t a t i o n 代数结构提升的若干结论 姚炳学 ( 山东大学数学与系统科学学院，济南，2 5 0 1 0 0 ) 提要 同序结构和拓扑结构一样，代数结构也是一种重要的数学结构。超代数结 构作为一种特殊的代数结构，早在上世纪七十年代就受到人们的重视。1 9 3 4 年， e m a r t y 首次先引入超群【i l 的概念。三年后， l s w a l l 研究了一类特殊的超群， 即循环超群柏。随后，人们便开始研究超群上的等价关系f 引、超群的同态与同构 】、以及超群胚【5 1 与超结构】，甚至一般的超代数系统吼同时，人们对幂半群 及其子群，也做了相应研究。 提升代数系统的代数结构，是超代数结构研究的一个重要内容。1 9 8 5 年， 李洪兴教授等在研究商群的基础上创造性地引入h x 群1 4 , 1 5 1 的概念，引起了 大批学者的广泛关注，并在幂群的结构与构造 1 6 - 2 1 , 3 2 , 3 3 、幂群的分类 2 2 , 3 5 、及 幂群的同态与同构关系m 2 7 1 3 0 引1 等方面出现了大批研究成果。实事求是地说，在 幂群研究的最初一段时期内，人们一直存在这样的疑问：是否所有的幂群都是 某种商群? 这确实是一个人们必须面对的问题。令人振奋的是，人们已经构造出 了不同构于任何商群的幂群3 2 3 4 儿州，这使群的代数结构的提升，有了前所未有 的重大突破。 幂群的单位元对幂群的结构具有至关重要的影响。在第一章中，我们根 据幂群的单位元的特点，并考虑到幂群中元素的核的特征，将幂群分为正则 幂群与非正则幂群，并建立了正则幂群与一致幂群的的结构定理：正则幂群 必为一类特殊的拟商群，从而它与其底群的某子群的个商群同构：面一致 幂群恰为底群的某子群的一个商群。通过建立结构定理，人们就能更容易看 清楚幂群与商群的异同。同时，我们引入幂群中元素的广核的概念，并讨论 了广核的若干性质。可以看出，在非正则幂群中，广核比核具有更好的性质， 非正则幂群中所有元素的核必为空集，而其元素的广核则必有非空的。 定理1 3 1 1 设善为群g 上的正则幂群，则 ( 1 ) e 是亭的正规子群， v i s h a n d o n gu n i v e r s i t yd o c t o r a ld i s s e r t a t i o n ( 2 ) 善= a e la 舌+ ) ，且有( a e ) ( b e ) = ( a b ) e ，v a ，b 孝+ ， ( 3 ) 善兰 为了能构造出更具一般性的幂群，我们引入了关于一个子群的正规子集概 念，并利用这种正规子集，构造出一般的幂群，建立起一般幂群的构造定理。 由于这种正规子集未必含底群的单位元，因而所构造的幂群可以包括非正则幂 群。同时，我们给出了若干不同构于其底群的任何商群的例子。 定理1 4 3 设日为群g 的予群，d 为g 的非空子集，若对任意的h ，h ，h ： 有( h t d ) ( h z d ) = ( h i h 2 ) d ，则驯d = h d h 目) 是g 上的幂群，且 n d 兰驯d ，其中旦= 忸g 1 x d = d ) 为幂群的单位元d 的广核 推论1 4 1 设日为群g 的子群，d 为g 的非空幂等子集，若d 关于h 正规， 贝0 h d = h d i h e 日 是g 上的幂群，且乡j ；r n d 兰h d 模糊数学的迅速发展，使得群的代数结构不仅可以向其幂集上提升，而且 可以向其模糊幂集上提升。1 9 8 9 年，罗承忠教授等提出了模糊h x 群【4 7 1 的概念 开始了模糊幂群的研究1 4 8 - 5 2 】，从而使群的代数结构的提升有了层次特征。在第 二章中，我们将群的代数结构向其模糊幂集上提升。对一类具有s u p 性质的正则 模糊幂群与一致模糊幂群，分别建立了其结构定理。为了构造模糊幂群，我们 通过引入关于子群的模糊正规予集，进而给出广义模糊商群，并建立了模糊商 子群的对应定理。 定理2 4 2 设为群g 的子群，层为g 的幂等模糊子集若e 关于h 正规。 则h e = h e ih e h ) 是g 上的模糊幂群 定理2 4 - 3 设日为群g 的子群，e 为g 的模糊独异点则 ( 1 ) 对任意的啊，h 2 h ，有啊e h 2 e e ( 奸1 h ：) = e ( e ) ， ( 2 ) 对任意的 ，h 2 h ，有 e = h 2 e e ( 婶1 如) = e ( 垮1 岛) = e ( e ) ， ( 3 ) 若e 关于日正规，则驯e = ( h e ih h ) 是g 上的模糊幂群 随着群的代数结构的提升，人们自然想到提升其他代数系统的代数结构 像环、模及格等代数系统的代数结构的提升。1 9 8 8 年，李洪兴教授首先考虑了环 的代数结构，并提出了h x 环f 7 3 ，7 4 j 的概念。不久，很多学者对h x 环做过细致研 v i l s h a n d o n gu n i v e r s i t yd o c t o r a ld i s s e r t a t i o n 究，并得到了若干有意义的结果。随后，人们又陆续考虑了模 8 7 , 8 司及格 8 9 - 9 1 1 的代 数结构的提升。由于这些代数系统的运算远比群的运算复杂，因而其代数结构 的提升也困难得多。虽然钟育彬教授证明了非平凡h x 环的存在性79 1 ，但构造 一个具有一般性的h x 环并不容易。另外，这种h x 环也不包括普通的商环，这 使得其研究范围受到极大地限制。为了改进环的代数结构的提升，2 0 0 0 年，我 们提出了广义h x t 7 5 】环与幂环【7 6 l 的概念，使幂环不仅包括h x 环，而且包括商 环。同时，我们将环的代数结构不仅提升到其幂集，而且提升到其模糊幂集 7 7 l 。 在第三章与第四章中，我们将环的代数结构，向其幂集与模糊幂集上提 升。一个幂环首先是一个加法幂群，自然具有幂群的类似性质。根据幂环的 零元的特征，我们将幂环分为正则幂环与非正则幂环，并建立了正则幂环与 一致幂环的结构定理。虽然我们未对幂环的乘法具体定义，但只要这个幂环 是正则的，那么它的乘法就唯一确定。而一个一致幂环必为其低层环的菜子 环的一个商环。同时，我们将环的代数结构向其模糊幂集上提升，并对一类 具有s u p 性质的模糊幂环，建立了结构定理。 定理3 2 8 设( 倪，+ ，o ) 为环r 上的正则幂环，则 ( 1 ) a ，b 9 1 ja + b = ( 口十q ) + ( b + q ) = ( 口+ b ) + q ，其中a a ，b b ， ( 2 ) 4 ，b 倪= ，a 。b = ( 口+ q ) 。( b + q ) = a b + q ，其中a a ，b b ， ( 3 ) 婀= 砸+ q ia e 吼+ ) ， ( 4 ) 兰( 9 1 ，吼 定理3 ，2 1 l 设( 吼，+ ，o ) 为环r 上的一致幂环，则 ( 1 ) 辨是月的子环， ( 2 ) q 是吼的理想， ( 3 ) a 倪j a = a + q ，其中口a ， ( 4 ) ( 9 1 ，+ ，。) 2 1 名，其中_ 冶为贸+ 关于其理想q 的商环 定理4 3 5 设( 飒，+ ，。) 为环r 上的模糊幂环，d o ) = 爿r ( 9 1 ) = h 则 ( 1 ) 吼一= u 1a 吼 是r 的子环， ( 2 ) q 为关于吼一的模糊正则半理想， ( 3 ) 孵。= a 孵i a h o ) 是( 孵，+ ，。) 的子环， i s h a n d o n gu n i v e r s i t y d o c t o r a ld i s s e r t a t i o n ( 4 ) 吼1 = 吼 q = 扣+ q l 口吼 定理4 3 7 设( 甄+ ，o ) 为环r 上的模糊幂环且有s u p 性质如果 o = q ，h = 日( 贸) ，则 ( 1 ) m ：= u a 。l a 吼) 是r 的子环， ( 2 ) q 是关于弧：的模糊正则理想， ( 3 ) 吼= 飒：q = 口- t - o i a m ：) 为了能构造出非正则幂环，我们引入了关于子环的半理想与正则半理想 概念，利用半理想与正则半理想，构造出一般幂环与正则幂环，并具体给出了 若干非正则h x 环与非正则幂环的例子。相应地，我们引入了模糊正则半理 想概念，建立了环同态下模糊正则半理想的对应定理以及模糊正则拟商环的 同构定理。 定义3 3 3 设h 为环r 的子环，为尺的子半环( 子环) 且，+ 1 = ，若 u u 0 ) ，则称，为关于子环的半理想，( 理想) 若，还满足i ， 则称，为子环的半理想( 理想) 定理3 3 6 设h 为环r 的子环，为关于子环日的半理想，则( h t ，+ ，。) 是 r 上的幂环，且乡备n 兰驯，- 其中，= x r i x + i = ，) ， 月i = h 4 - i ih h ) ，( h i + i ) 。( h 2 + i ) = h l h 2 + j ，v h t ，h 2 h 定理4 2 8 设日为环r 的子环，e f ( r ) 为关于的模糊正则半理想，则 ( ，e ，+ ，。) 是日上的模糊幂环这里，我们将r 的模糊子集看作是日的模糊子 集。 关键词：幂群，幂环，核，正则，一致。 i x s h a n d o n gu n i v e r s i d o c t o r a ld i s s e r t a t i o n s e v e r a lc o n c l u s i o n so ft h eu p g r a d eo f a l g e b r a i cs t r u c t u r e y a o b i n g x u c ( s c h o o lo f m a t h e m a t i c s a n ds y s t e ms c i e n c e s ，s h a n d o n g u n i v e r s i t y , j i n a n ，2 5 0 1 0 0 ) a b s l r a c t s u c ha so r d e rs t r u c t u r ea n d t o p o l o g i c a ls t r u c t u r e ，a l g e b r a i cs t r u c t u r ei so n eo f t h e m o s ti m p o r t a n tm a t h e m a t i c a ls t r u c t u r e s a sas p e c i a la l g e b r a i cs t r u c t u r e ，t h eh y p e r a l g e b r a i cs ( a u c t u r e sh a v eb e e np a i dm o r e a t t e n t i o nt of o ra b o u t s e v e n t yy e a r s f m a r r y i n t r o d u c e dh y p e rg r o u p 】f i r s ti n1 9 3 4 a n dt h r e ey e a r sl a t e rh s w a l ls t u d i e da s p e c i a lk i n do fh y p e rg r o u p ，c y c l i ch y p e rg r o u p 【2 1 i m m e d i a t e l y , p e o p l eb e g a nt o s t u d y t h e e q u i v a l e n tr e l a t i o n s 引t h eh o m o m o r p h i s m s a n di s o m o r p h i s m s l 3 1 4 i na h y p e r g r o u pa n dh y p e rg r o u p o i d s1 5 】a n dh y p e rs t r u c t u r e s 6 8 , a n de v e nt h eg e n e r a lh y p e r a l g e b r a i cs y s t e m s f 9 】i nt h em e a n w h i l e ，p e o p l eh a v es t u d i e dt h ep o w e rs e m i g r o u p s a n di t ss u b g r o u p s i ti sa ni m p o r t a n tc o n t e n tt ou p g r a d ea l g e b r a i cs t r u c t u r e so fa n a l g e b r a i cs y s t e m i n h y p e ra l g e b r a r e s e a r c h p r o f e s s o rl ia n do t h e r s i n t r o d u c e dh xg r o u p 1 4 , 1 5 1 c r e a t i v e l yo n t h eb a s i so f s t u d y i n gq u o t i e n tg r o u p si n1 9 8 5 ，a n dd r a wt h ea t t e n t i o no f an u m b e ro fs c h o l a r sw h o g a i nag o o d h a r v e s ti ns t r u c t u r e sa n dc o n s t r u c t i o n s i 越1 , 3 2 , 3 3 t h ec l a s s i f i c a t i o n s 【2 2 ，3 5 】- t h e h o m o m o r p h i s r na n di s o m o r p h i s mr e l a t i o n s l 2 4 2 7 j o j l lo f p o w e rg r o u p s ，a n ds oo n ，t ob eh o n e s t ，d u r i n gt h ef i r s tp e r i o do ft h er e s e a r c ho f p o w e rg r o u p ，p e o p l ea l w a y sw o n d e r e di fa l lt h ep o w e rg r o u p sa r ec e r t a i nq u o t i e n t g r o u p s ，a n di t i si n d e e da p r o b l e mt h a tp e o p l eh a v et of a c e t ob ei n s p i r i n g ，p e o p l e h a v ec o n s t r u c t e ds o m ep o w e rg r o u p st h a ta r en o t i s o m o r p h i cw i t ha n yq u o t i e n t g r o u p s 【3 2 3 4 ，4 2 删，w h i c h m a d et h e u p g r a d e o f a l g e b r a i c s t r u c t u r e so f g r o u p s u n p r e c e d e n t e dg r e a tb r e a k t h r o u g h i d e n t i t yo f a p o w e rg r o u pm a k e sg r e a ti n f l u e n c e so nt h es h u c t u r eo ft h ep o w e r g r o u p i nt h ef i r s tc h a p t e r , b a s e do n t h ec h a r a c t e r i s t i c so ft h ei d e n t i t ya n dt h ek e r n e l s o f e l e m e n t so f a p o w e rg r o u p ，a l lp o w e rg r o u p sa r ed i v i d e di n t or e g u l a rp o w e r g r o u p s s h a n d o n gu n i v e r s i t yd o c t o r a ld i s s e r t a t i o n a n dn o n r e g u l a rp o w e rg r o u p s ，a n dt h es t r u c t u r a lt h e o r e m so fr e g u l a rp o w e rg r o u p s a n du n i f o r mp o w e rg r o u p sa r ee s t a b l i s h e dr e s p e c t i v e l y ar e g u l a rp o w e rg r o u po n g r o u p gm u s tb ea s p e c i a lq u a s i q u o t i e n tg r o u p ，s oi ti si s o m o r p h i cw i t haq u o d e m g r o u po fs o m es u b g r o u po fg ，w h i l eau n i f o r mp o w e rg r o u po n gi se x a c t l ya q u o t i e n tg r o u po f s o m es u b g r o u po fg b ye s t a b l i s h i n gt h es t r u c t u r a lt h e o r e m s ，t h e d i f f e r e n c e sa n dt h es i m i l a r i t i e sb e t w e e np o w e rg r o u p sa n do r d i n a r yq u o t i e n tg r o u p s c a ne a s i l yb ef o u n do u t i nt h em e a n t i m e ，t h ec o n c e p to fg e n e r a l i z e dk e r n e l so f e l e m e n t so f a p o w e rg r o u p i sp r o p o s e da n ds o m e p r o p e r t i e so fg e n e r a l i z e d k e r n e l sa r e d i s c u s s e d i tc a l lb es e e nt h a tt h ec o n c e p to fg e n e r a l i z e dk e r n e l si sv e r ye f f i c i e n ti n s t u d y i n gn o n - r e g u l a rp o w e rg r o u p s i nan o n r e g u l a rp o w e rg r o u p 掌，a l lk e r n e l so f e l e m e n t so f 孝a r c c e r t a i n l ye m p t y w h i l et h eg e n e r a l i z e dk e r n e l sa r cn o t t h e o r e m1 3 i il e t 掌b ea r e g u l a r p o w e r g r o u po n g ，t h e n ( 1 ) ei s a n o r m a ls u b g r o u po f 考+ ( 2 ) 毒= a e ia 孝+ ) ，( 口e ) ( 6 e ) = ( a b ) e ，v d ，b 掌+ ( 3 ) 手兰 i no r d e rt oc o n s t r u c tg e n e r a lp o w e rg r o u p s ，t h ec o n c e p to fn o r m a ls u b s e tw i t h r e s p e c tt oag i v e ns u b g r o u pi si n t r o d u c e d ，w i t hw h i c h t h en o n r e g u l a rp o w e rg r o u p s c a r tb ec o n s t r u c t e d t h e ns e v e r a lc o n s t r u c t i v et h e o r e m so fg e n e r a lp o w e r g r o u p sa r e e s t a b l i s h e d i nt h em e a n w h i l e ，as e r i e so f e x a m p l e so fp o w e rg r o u p so n gt h a ta r en o t i s o m o r p h i cw i t ha n yq u o t i e n tg r o u po fg a r ec i t e d t h e o r e m1 4 3l e tha n ddb es u b g r o u pa n d n o n e m p t y s u b s e to f g r e s p e c t i v e l y i f ( h , d ) ( h 2 d ) = ( h i h 2 ) d f o r a l l h i ，h 2 h ，t h e n 驯d = h d f h ) i sa p 。w e r g r o u p 。ng s u c h t h a t 乡缶n 曼兰h i d ，w h e r e 盆2 x e g i x d = d i s t h eg e n e r a l i z e dk e r n e lo f t h e i d e n t i t yd o f n d c o r o l l a r y1 4 tl e thb eas u b g r o u po fga n dd 只( g ) b en o r m a lw i t h r e s p e c t t o h i fdi s i d e m p o t e n t ，t h e nh d = h d f h h i s a p o w e r g r o u p o n g s u c h t h a t n 旦兰即 t h eq u i c k d e v e l o p m e n t o ff l 】_ z z ym a t h e m a t i c sm a k e si t p o s s i b l e t h a tt h e s b m d 啦i g u l i i 惯哪嗍碘酾瓣 一卜 气冀一一一 a l g e b r a i cs t r u c r t r e so fg r o u p s a r eu p g r a d e df r o mt h e i ru n i v e r s e st ot h e i rp o w e rs e t s 船 w e l lt ot h e i rf u z z yp o w e rs e t s p r o f e s s o rl u oa n do 吐悖r sp u tf o r w a r dt h ec o n c e p to f f u z z yh xg r o u p si n1 9 8 9 【4 7 1 ，w h i c hb e c a m et h eb e g i n n i n go f t h er e s e a r c ho f 缸写 p o w e rg r o u p s 4 s 。5 2 】，s o t h a tt h eu p g r a d eo fa l g e b r a i cs t r u c t u r e so fg r o u p sh a st h e s t r a t i f i e dc h a r a c t e r i s t i c s i nc h a p t e r2 ，t h ea l g e b r a i cs t r u c t u r e so f g r o u p s a r eu p g r a d e d f r o mt h e i ru n i v e r s e st ot h e i rf u z z yp o w e rs e t s s o m es t r u c t u r a lt h e o r e m so fr e g u l a r f u z z yp o w e rg r o u p sa n du n i f o r mf u z z yp o w e rg r o u p st h a th a v es u pp r o p e r t i e sa r e e s t a b l i s h e dr e s p e c t i v e l y b yi n t r o d u c i n gt h ec o n c e p to ff u z z yn o r m a ls u b s e tw i t h r e s p e c tt o ag i v e ns u b g r o u p ，an u m b e ro fg e n e r a l i z e df u z z yq u o t i e n tg r o u p sa r e o b t a i n e d a n dt h e ns e v e r a lc o r r e s p o n d e n c et h e o r e m so ff u z z yq u o t i c n ts u b g r o u p s 黜 e s t a b l i s h e d t h e o r e m2 4 2l e thb ea s u b g r o u p o fga n dl e te f ( g ) b ea n i d e m p o t e n tf u z z yn o r m a ls u b s e tw i t hr e s p e c tt oh ，t h e n 驯e = ( h eih 日) i sa f u z z yp o w e rg r o u po n g t h e o r e m2 4 3l e t 日a n deb es u b g r o u pa n df u z z ym o n o i do f g ，r e s p e c t i v e l y t h e l l ( i ) e h 2 e 铀e ( i l h 2 ) = e ( e ) ，w h e r e ，h 2 h ( 2 ) e = 岛e e ( 阿h 2 ) = e ( k ) = e ( e ) ，w h e r e7 l i ，h 2e h ， ( 3 ) h e = 矗e lh 日 i sa f u z z y p o w e r g r o u p o n g i fei sa f u z z y n o r m a l s u b s e tw i t hr e s p e c tt oh n a t u r a l l y , 、i t l lt h eu p g r a d eo f a l g e b r a i cs t r u c t u r e so f g r o u p s p e o p l et h i n ko f t h e u p g r a d eo fa l g e b r a i cs t r u c t u r e so fo t h e ra l g e b r a i cs y s t e m s ，s u c ha sr i n g s ，m o d u l e s ， l a t t i c e s ，a n ds oo n p r o f e s s o rl if i r s tc o n s i d e r e d t h eu p g r a d eo f a l g e b r a i cs t r u c t u r e so f r i n g si n1 9 8 8 ，a n dr a i s e dt h ec o n c e p to fh xr i n g sf ，3 7 4 1 ，a n dt h e ns o m er e s e a r c h s c h o l a r sh a v eo b t a i n e dal o to fs i g n i f i c a n tr e s u l t sa b o u tf i xr i n g s l a t e rp e o p l e g r a d u a n yc o n s i d e r e d t h eu p g r a d eo f a l g e b r a i cs t r u c t u r e so f m o d u l e s s 7 , 8 8 1a n dl a t t i c e s i s ”n b e c a u s et h eo p e r a t i o n so ft h e s ea l g e b r a i cs y s t e m sa t ef a rm o r ec o m p l i c a t e d t h a nt h o s eo f g r o u p s 。t h eu p g r a d eo f t h ea l g e b r a i cs l x u c t u r e si sm u c hm o f ed i f f i c u l t p r o f e s s o r z h o n g h a s p r o v e d t h ee x i s t e n c eo f n o n - t r i v i a lh x r i n g s 【7 9 1 b u ti ti ss t i l ln o t e a s y t oc o n s t r u c ta g e n e r a lh xr i n g i na d d i t i o n ，t h i sk i n do f h xr i n gd o e sn o tc o n t a i n o r d i n a r yq u o t i e n tr i n g ，w h i c hi m p o s e sg r e a tr e s t r i c f i o no ni t sr e s e a r c hs c o p e i no r d e r h i s h a n d o n gu n i v e r s i t y d o c t o r a ld i s s e r t a t i o n t oi m p r o v et h eu p g r a d eo ft h ea l g e b r a i cs t r u c t u r e so fr i n g s ，w eh a v ep u t f o r w a r dt h e c o n c e p t so fg e n e r a l i z e di - i xr i n g f 7 5 1 a n dp o w e r r i n gf 7 6 】w h i c hm a k e t h ep o w e r r i n g c o n t a i nh x r i n g 觚w e l lo r d i n a r yq u o t i e n tr i n g s i m u l t a n e o u s l y , w e h a v e u p g r a d e d t h e a l g e b r a i cs t r u c t u r e so f r i n g sn o to n l yt ot h e i rp o w e r s e t sb u ta l s ot ot h e i rf u z z yp o w e r s e t s 7 7 1 i nc h a p t e r3a n dc h a p t e r4 ，t h ea l g e b r a i cs t r u c t u r e so ff l a g sa r eu p g r a d e dn o t o n l yf r o mt h e i ru n i v e r s e st o t h e i rp o w e rs e t s ，b u ta l s of r o mt h e i ru n i v e r s e st ot h e i r f u z z yp o w e r s e t s a p o w e rr i a gi sf i r s ta n a d d i t i v ep o w e rg r o u ps om a n yc o n c l u s i o m o f p o w e rr i n g sa r es i m i l a rt ot h o s eo fp o w e rg r o u p s b a s e do n t h ec h a r a c t e r i s t i c so f z e r oe l e m e n t so f p o w e r t i n g s ，a l lp o w e rr i n g s a r ed i v i d e di n t or e g u l a rp o w e r f l a g sa n d n o n - r e g u l a rp o w e rr i n g s ，a n dt h e ns e v e r a ls t r u c t u r a lt h e o r e m so fr e g u l a rp o w e rr i n g s a n du n i f o r mp o w e r t i n g sa l ee s t a b l i s h e dr e s p e c t i v e l y t h em u l t i p l i c a t i o no f ap o w e r r i n gi sn o td e f i n e ds p e c i a l l y , b u ti t i su n i q u e l yd e t e r m i n e df o far e g u l a rp o w e rr i n g ， w h i l eau n i f o r mp o w e r r i n g0 1 1r i n gr i se x a c t l yaq u o t i e n tr i n go f s o m es u b f i n go f r 1 f ia d d i t i o n , s o m es t r u c t u r a lt h e o r e m so ff u z z yp o w e rt i n g st h a th a v es u pp r o p e r t i e s a r eo b t a i n e d t h e o r e m3 2 8l e t ( 9 1 ，+ ，。) b ea r e g u l a rp o w e rr i n go nr ，t h e n ( 1 ) a ，b 吼j a + b = ( a + q ) + ( b + q ) = ( 口+ 6 ) + q ，w h e r e 口a ，b b q ) a ，b 倪等aa b = ( 口+ q ) o ( 6 + q ) = a b + q ，w h e r e 口a ，b b ( 3 ) 飒= 口+ q l a 辨+ ) ( 4 ) 郴，+ o ) t h e o r e m3 2 。1 1l e t ( 9 = i ，+ ，o ) b eau n i f o r mp o w e r r i n go n r ，t h e n ( 1 ) 贸+ i s as u b r i n go fr ( 2 ) qi s 缸i d e a l o f 鼾+ ( 3 ) a 飒辛a = 口+ q ，w h e r e a a ( 4 ) ( 鼢，。) = 誓形，w h e r e 鼍名i s t h e q u o t l e n t r i n g 。f 弧+ c 。n c e m i n g q t h e o r e m4 3 5l e t ( 孵，+ ，。) b eaf u z z y p o w e rr i n go n r s u c ht h a t q ( o ) = ( 孵) = h t h e n ( i ) 丽：= u ( j i a 贸 i s as u b f l a g o f r s h a n d o n gu n i v e r s i t yd o c t o r a ld i s s e r t a t i o n ( 2 ) qi saf u z z yr e g u l a r s e m i i d e a l 、i t l lr e s p e c tt og = i h ( 3 ) 贸= 彳飒f 彳 零 i s as u b r i n g o f ( 贸，+ ，。) ( 4 ) 双l = 筑 q = 如+ q ia 孵 t h e o r e m4 3 7l e t ( 贸，+ ，。) b ea f u z z yp o w e rr i n go nr 、v i 血s u pp r o p e r t y i f o = oa n dh = h ( 孵) ，t h e n ( 1 ) 9 t ：= u a i a 哪i s a s u b r i n go f r ( 2 ) o i sa f u z z yr e g u l a ri d e a lw i t hr e s p e c tt o 吼： ( 3 ) 吼= 擞：q = a + q l 口瑕： i no r d e rt oc o n s t r u c tn o n r e g u l a rp o w e rr i n g s ，t h ec o n c e p t so fs e m i i d e a la n d r e g u l a rs e m i i d e a lw i t hr e s p e c tt oas u b r i n ga r ei n t r o d u c e da n d as e r i e so fc o n s t r u c t i v e t h e o r e m so f g e n e r a lp o w e rr i n g sa n dr e g u l a rp o w e rr i n g sa r ee s t a b l i s h e d t h e ns o m e e x a m p l e so fn o n - r e g u l a rp o w e rr i n g sa r ec o n s t r u c t e dw h i c hc o n t a i ns o m en o n - r e g u l a r h x t i n g s i nt h em e a n w h i l e t h ec o n c e p to ff u z z yr e g u l a rs e m i i d e a li si n t r o d u c e da n d s o m ec o r r e s p o n d e n c et h e o r e m so ff u z z ys e m i i d e a l 9u n d e rr i n gh o m o m o r p h i s ma r e o b t a i n e da n ds e v e r a li s o m o r p h i s mt h e o r e m so f f u z z yr e g u l a rq u a s i q u o t i e n tr i n g sa r e e s t a b l i s h e d d e t m i t i o n3 3 3l e thb ea s u b d n g o f ra n dl e t ，b ea s u b s e m i r i