（基础数学专业论文）华沙圈上连续映射的混合性质及树映射的稠密混沌.pdf

华沙圈上连续映射的混合性质及树映射的稠密混沌 摘要 本文主要研究了华沙圈上连续映射的混合性质及树映射的稠密混沌 在第一章，我们简要介绍拓扑动力系统的历史背景和本文的写作背景 在第二章，我们主要研究华沙圈上连续映射的混合性质对于连续映 射f ：w 一而言，我们证明了以下结论t( 1 ) f 是拓扑传递的当且仅当， 是d e v a n e y 混沌的；( 2 ) ，是拓扑传递的当且仅当，是混合的；( 3 ) f 是拓扑传 递的则，舍有马蹄；( 4 ) ，传递蕴舍对所有的整数mf 含有n 周期的周期点 在第三章，我们主要研究了树t 映射的混沌令f ：t t 是连续映射 证明了下列性质是等价的：( 1 ) f 是通用混沌，( 2 ) 对某个6 0 ，f 是通用6 一 混沌，( 3 ) 对某个j 0 ，是稠密6 一混沌，( 4 ) 或者存在唯一的传递的非退化 的连通闭集，或者存在k ( k 2 ) 个有公共端点的传递的非退化的连通闭集；且 如果 ，是非退化的连通集合，则f ( j ) 是非退化的，且存在传递的连通集合如 和整数n 使得，( ，) n h a ( t o ) 口 关键词：华沙圈拓扑传递拓扑混合 稠密j 一混沌 通用混沌 t h em i n gp r o p e r t i e s0 nm a p s0 fw a r s a wc i r c l e a n dd e n s ec h a o so ft r e em a p s a b s t r a c t i nt h i sp a p e rw em a i n l ys t u d yt h em i x i n gp r o p e r t i 髑o i lm a p so fw a r s a wc i r c l ea n d d e n s ec h a o so ft r e em a p s i nc h a p t e ro n e ，w ei n t r o d u c es i m p l yt h ed e v e l o p m e n ta b o u tt o p o l o g i c a ld y n a m i c a l s y s t e ma n dt h eb a c k g r o u n do ft h i sp a p e r i nc h a p t e rt w o ，w es t u d ym a i n l yt h em i x i n gp r o p e r t i e 8o nm a p so fw a r s a wc i r c k w f o rac o u t i n u o u sm a p ，：w _ w ，w ep r o v et h ef o l l o w i n gr e s u l t s ： ( 1 ) ，i st o p o l o g i c a lt r a n s i t i v ei fa n do n l yi f ，i sc h a o t i ci nt h es e n s ed e v a n e y ；( 2 ) ， i st o p o l o g i c a lt r a n s i t i v ei fa n do n l yi ffi sm i x i n g ；3 、| i st o p o l o g i c a lt r a n s i t i v ei m p l i e s | h a sah o r s e s h o e ；( 4 ) ，i st o p o l o g i c a lt r a n s i t i v ei m p l i e s ，h a v ep e r i o d i cp o i n t so fn p e r i o d f o re a c hi n t e g e rn i nc h a p t e rt h r e e ，w es t u d ym a i n l yd e n s ec h a o so ft r e em a p s l e ttb eat r e ea n d ，：t ? b eac o n t i n u o u sm a p ，w es h o wt h ef o l l o w i n gf o u rc o n d i t i o n sa r ee q u i v a l e n t ： ( 1 ) ，i sg e n e r i c a l l yc h a o t i c ，( 2 ) ，i sg e n e r i c a l l y6 一c h a o t i cf o rs o m e6 0 ，( 3 ) ， i sd e n s e 】yj c h a o t i cf o rs o m ej 0 ，( 4 ) e i t h e rt h e r ee x i s t s8u n i q u et r a n s i t i v ec l o s e d n o nd e g e n e r a t ec o n n e c t e ds e to rt h e r ee x i s tk ( k 2 ) t r a n s i t i v ec l o s e dl i o nd e g e n e r a t e c o n n e c t e dc o m p o n e n t sh a v i n g c o l n l l l o ne l l d p o i n t ；m o r e o v e r ，i fji san o nd e g e n e r a t e c o u n e c t e ds e tt h e n ，( ，) i sn o nd e g e n e r a t e ，a n dt h e r ee x i s tat r a n s i t i v ec o n n e c t e ds e t 矗 a n da ni n t e g e rns u c ht h a t ，“( ，) ni n t ( 1 0 ) 口 k e yw o r d s ：w a r s a w c i r c l e ；t o p o l o g i c a lt r a n s i t i v e ；t o p o l o g i c a lm i x i n g ；d e n s e l y 6 - c h a o t i c ；g e n e r i c a l l yc h a o t i c 原创性声明 本人声明：所呈交的学位论文是在导师指导下完成的，研究工作所取得的成果和相 关知识产权属广西大学所有，本人保证不以其它单位为第一署名单位发表或使用本论文 的研究内容。除已注明部分外，论文中不包含其他人已经发表过的研究成果，也不包含 本人为获得其它学位而使用过的内容。对本文的研究工作提供过重要帮助的个人和集 体，均已在论文中明确说明并致谢。 论文作者签名：庞琳期f ； z 。d 7 年钿功日 学位论文使用授权说明 本人完全了解广西大学关于收集、保存、使用学位论文的规定，即： 按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版本： 学校有权保存学位论文的印刷本和电子版，并提供目录检索与阅览服务； 学校可以采用影印、缩印、数字化或其它复制手段保存论文； 在不以赢利为目的的前提下，学校可以公布论文的部分或全部内容。 请选择发布时间： 回即时发布 口解密后发布 ( 保密论文需注明，并在解密后遵守此规定) 黼一庇琳切降名：帚1 叩年 b 月l 口日 广西大学硕士学位论文 华沙舶上连续映射的混合性质及树映射的耦密混沌 第一章引言 动力系统的研究起源于牛顿的经典力学在牛顿的理论中，一个系统的运动规律完 全由一簇以时间为参数的微分方程所决定，但绝大多数的微分方程不能用已知函数的积 分来表示其通解，这导致微分方程定性理论的研究十九世纪八十年代h p o i n c a r 6 ( 1 8 5 4 - 1 9 1 2 ) 创立的微分方程定性理论，其精神是不通过微分方程的显示解而直接研究解的几 何和拓扑性质二十世纪早期，g d b i r k h o f f 在继承并发展h p o i n e 盯工作的基础上， 为这一学科建立了大范围的理论框架，使动力系统一词首见专著q 从二十世纪六十年 代初开始，动力系统迅速活跃起来，新的研究方向相继产生今天的动力系统大致有微 分动力系统，h a , m i l t o n 动力系统吐拓扑动力系统，复动力系统，遍历论，随机动力系 统等若干方向 拓扑动力系统研究一般的连续系统，在纯粹的意义下研究动力系统最基本的概念和 晟广泛的共性一维动力系统是拓扑动力系统研究中的一个重要研究方向一方面，它 为一般系统的研究提供了特例另一方面，由于它自身特有的规律，其本身就是一个极 富吸引力的数学课题1 9 6 4 年，乌克兰数学家s a r k o v s k i i 发现了一个关于区间自映射的 周期轨道的周期序关系( 即著名的s a r k o v s k i i 定理) 随后，一维动力系统得到了蓬勃的 发展近些年来，一些科学工作者对一维空间如y 星形树，树，图，无囤曲线等一些特 殊连续统上连续自映射的动力性质的研究表现出了相当的兴趣主要是人们发现好多流 形上的动力性质与这些空间上的连续映射有关华沙圈就是典型的无圈曲线 我们知道，尽管华沙圈w 是一个紧致空间，但它的拓扑性质与线段或圆周的拓扑性 质都有很大的不同，例如它不是局部连通，能够分割平面，但却又是单连通的在连续 统理论中华沙圈经常作为类圈而非类弧连续统的典型例子而出现因此对于定义在华沙 圈上的连续映射的动力性质的讨论近年来受到了许多学者的关注并已经做出了相当多的 成果【3 一吲，文章 9 1 0 】分别讨论了k 华沙圈的某些动力性质和华沙圈的等度连续性 如在文献 3 1 中，熊金城等人指出： 定理11 | 是华沙圈，设，：w w 是华沙圈上的连续映射则： 广西大学硕士学位论文华沙圈上连鳓映射的混合性质展树映射的稠密混沌 ( 1 ) 华沙圈w 是一个s a r k o v s k i i 空间 ( 2 ) f 的中心为周期点集的闭包p ( f ) ，中心的深度不大于4 即n 4 = 尸( ，) ( 3 ) 周期点集的闭包和回归点集的闭包相等，即p ( f ) = r ( ，) ( 4 ) h ( f ) = 0 当且仅当，的周期点的周期都是2 的方幂 在文献 4 】中，顾荣宝教授研究了华沙圈上连续自映射是等度连续的充要条件在文 献吲中，刑志涛等人讨论了华沙圈上连续映射的混沌，指出对于华沙圈上的连续映射， 而言。，的拓扑熵大于0 ，是d e v a n e y 混沌，是强混沌，是s s 混沌的，这些叙 述都是等价的 在文献【6 】中，张更容等得到如下结论： 定理12w 是华沙圈，设f ，g ：w 一是连续映射 ( 1 ) 如果r ( y ) = w ，则，= i d ( 2 ) 对任意递增的正整数序列a ，h a ( f og ) = h a ( g 0 ，) 在本文第二章中，我们主要研究华沙圈w 上连续映射的混合性质主要结果是： 定理2 2 2 设f ：w w 是华沙圈上的连续映射，则，是拓扑传递的当且仅当， 是d e v a n e y 混沌的 定理22 4 设f ：w 一是华沙圈上的连续映射，则，是拓扑传递的当且仅当， 是混合的 定理2 2 5 f ：w w 是华沙圈上的连续映射，如果，是传递的，则，含有马蹄 定理2 2 6f ：w w 是华沙圈上的连续映射，如果，是传递的，则对所有的整数 n ，f 含有n 周期的周期点 l a s o t a 1 1 】给出了通用混沌( g e n e r i cc h a o s ) 的概念，根据这个定义，s n o h a 1 目定义 了通用d 一混沌，稠密混沌和稠密6 一混沌，进一步证明了区间映射是通用混沌，意味着 对某个6 0 ，它是通用6 一混沌，并且证明了通用6 一混沌与稠密6 一混沌的概念是一 致的，但区间映射如果是稠密混沌不一定是通用混沌在文章中，s n o h a 给出了区 2 广西大学硕士学位论文 华沙圈上连续映射的混合性质及树映射的稠密混沌 间映射是稠密混沌的特征，证明了对分段单调区间映射而言，稠密混沌和通用混沌的概 念是一致的m u r i n o v a 1 4 推广了s n o h a s 工作。显示了对于完备的度量空间x ，通用 6 一混沌和稠密6 一混沌是等价的，并且给出了一个系统，它是通用混沌但不是通用6 一 混沌s y l v i er u e t t e 1 5 】证明了如果紧致区间，上的连续自映射，是稠密非通用混沌， 月4 存在不变的区间递减序列，对，2 而言，他们中的任意一个都含有马蹄，这蕴含了区间 映射如果是稠密混沌，则存在一个6 周期的周期点，且它的拓扑熵至少是( 1 0 9 2 ) 2 ，并且 进一步给出了拓扑熵等于( t 0 9 2 ) 2 的实例在本文第三章，我们把区间映射的一些结论 推广到了树映射上，得出下面主要结果： 定理3 2 3 令t 表示树，f ：t t 是连续映射下列性质等价： 1 ) ，是通用混沌， 2 ) 对某个6 0 ，f 是通用j 一混沌， 3 ) 对某个6 0 ，是稠密6 一混沌， 4 ) 或者存在唯一的传递的非退化连通闭集，或者存在k ( k 2 ) 个有公共端点的传递 的非退化连通闭集；且如果l ，是非退化的连通集合，则f ( j ) 是非退化的，且存在传递 的连通集合而和整数n 使得，( j ) n i n t ( i o ) 0 3 广西大学硕士学位论文 华沙圈上连续映射的混舍性质反树映射的稠密混沌 第二章华沙圈上连续映射的混合性质 2 1 有关的概念 首先，我们先介绍一些与本文有关的记号及概念在本文中。我们用表示正整数 集合，设( 五d ) 表示紧致度量空间，s ：x x 是连续映射我们假设尸= i o ，”1 ，n = 1 ，2 ，且，o 是恒等映射，序列尸( z ) ，n = 1 ，2 是点z x 的轨迹，记为o i ( x ) 或 者d ( z ，) 点茁x 称为周期点如果对某个n n 使得尸( z ) = z 成立满足上述条件 的最小的n 称为z 的周期当，( z ) = z 时，正称为，的不动点设f 缸( ，) ，p ( f ) 分别 表示，的不动点集合和周期点集合 如果对z x 的任一邻域u 都存在n n 使得尸( z ) u ( ，“( u ) nu o ) ， 则z 称为f 的回归点( 非游荡点) 令兄( ，) ，q ( ，) 分另4 表示所有回归点集合和非游荡 点集合设z ，y x ，如果对每个佗n ，y = n 。 ，( z ) ，n ，则y u ( $ ，) 记“，( ，) = u 。e x w ( x ，) 显然，f i x ( x ) cp ( z ) cr ( 。) cw ( x ) cq 0 ) 如果对x 中的任意两个非空开集u 和y ，都存在n n 使得尸( ，) n v 噍则称， 是拓扑传递的如果存在e 0 ，使得对任意的z x 和x 的任意邻域u ，存在y u 和 n n 满足d ( 尸( z ) ，r ( 笋) ) e ，则称，是对初值敏感依赖的如果，满足下列条件t ( 1 ) ，是拓扑传递的，( 2 ) ，的周期点在x 中是稠密的，( 3 ) ，是对初值敏感依赖的，则 称，是d e v a n e y 混沌的众所周知，条件( 1 ) 和( 2 ) 蕴含条件( 3 ) 如果对每个n n ，尸是拓扑传递的，则称，是拓扑全传递的如果对任意的两个包 含于x 的非空开集c ，和矿，都存在正整数，使得对于每个n n 都有尸( n v 瓯 则称，是拓扑混合的显然，拓扑混合蕴含，拓扑全传递，而后者蕴含，拓扑传递 华沙圈是平面r 2 中以下5 个集合的并t w o = 扛，y ) r 2i 茹= 0 ，- 1 y 1 ) ， 胍= ( z ，y ) r 2iz = 0 ，- 3 y - 1 ， w 2 = 扛，可) r 2 io 。l ，! f = 一3 ) ， 4 广西大学硬士学位论太 华沙圈上篷续映射的差合性质及树映射的稠密混沌 w 3 = ( z ，y ) r 2 w 4 = ( 墨们r 2 i 善= 1 ，一3 ! ，o ， 0 z s l ，! f = s | m 譬) 设z = ( 0 ，1 ) ，给出任意点z 一0 ) ，我们用睨( z ) 表示包含z 的w 一伽) 的连通分支，用z 。z 表示。( z ) ；记 ，y ) = a w ：z 。a 都 有f ( f ) n z ：z 。6 ) 毋 证明：假设存在某个值b 。a ，使得f ( f ) n 扛：零 。h = 9 情况l ：对每个z 。b 有z 。6 ) 和巩= ( a ，6 ) 显 然巩，是中的两个非空的开集且对每个n n 有p ( 以) n 巩= 口，这就与，是传 递的矛盾 情况2 ：对每个z o 有z 。，( z ) 由引理2 2 3 ，则存在某点c 。b 使得州z ，b 1 ) c p ，c ) 令仉= ( ，c ) 和巩= 扣：z 。c ) 显然巩，观是w 中两个非空开集且对每 个n n 有r ( 巩) n 巩= 毋这与，是传递的矛盾口 定理2 2 3 设，：w w 关于华沙圈w 是拓扑传递的，如果。w 使得v ( $ ，f ) = 6 广西大学硕士学位论文华沙皤上连续映射的混合性质爰树映射的稠密混兜 那么对每个正整数s 有“，( 正，广) = w 成立 s - 1 证明：任意取定整数s 和集合b i = w ( f i ( z ) ，。) ，0 iss 由于u 鼠= w ，则至 i = o 少有一个鼠有非空的内部此外，由于z 的轨道不能包含一个周期点，则，不能映区 间于一点由于对每个0 i 1 ，则 存在i 。吣ca ，由引理2 2 3 ，存在某个不动点y 使 得暑，a ，则，( g ) = g 这与g = 五o = l ，2 ，h ) 被，循环置换矛盾 口 推论2 2 1 设，：w 一是拓扑传递的，则对每个正整数s ，是传递的，即，是 全传递的 引理2 2 5 设，：w 一是华沙圈上的连续映射，则，是混合的当且仅当对 所有点c 。b 。a 和所有非退化区间、jcw w o ，存在整数使得对任意n ，尸( ，) ) 【6 ，c 】 i 正l t j l ：假设，是混合的，仉= ( a ，6 ) ，巩= q ：z 。c ) 如果，c w w o 是上的 非退化开区间，因为，是混合的，则存在i ，使得对任意的付n 1 ，尸( j ) n 巩o 同理， 存在2 ，使得对任意的n n 2 ，( 刀n 巩口因此对所有的n m 衄 1 ，2 ) ，尸( j ) 与巩，巩都相交，由弧连通性可知r ( j ) ) 1 6 ，c 】如果jcw w o 不是w 上的区 7 广西大学硕士学位论丈华沙圈上篷续映射的混合性质及树映射的稠密混沌 间，我们考虑i n t ( j ) o 假设对所有点c 。b 。n 和所有非退化区间jcw w o ，存在正整数，使得对 任意n 尸( ，) 3 【6 ，c 】令仉y 是w 中两个非空开集令正是两个非退化区间 满足j c u n ( 一) ，k c v f l ( w w o ) ，且存在点c 。b 。d 使得k c 【b ，c 1 通 过假设，存在整数，使得对任意n ，( ，) ) 慨c 1 k ，因此尸( u ) n v o 口 定理2 2 4 设，：w 一是华沙圈上的连续映射，则，是拓扑传递的当且仅 当，是混合的 证明：充分性是显然的 现在我们假设，是拓扑传递的，令jcw w o 是一个非退化区间，b ，c w 满 足b ( a ，c ) 由定理2 1 ，存在周期点z t ，再由定理2 1 ，存在周期点0 1 ( n ，6 ) 和 x 2 和：z 。c 令女是z l ，z 2 的周期的公倍数令g = ，k = ug n ( ，( j ) ) ，其 中i = 0 ，l ，一1 由于对所有的几和i 一1 ，i ( z ) g n ( ，( 刀) ，区间托是连通的 此外，根据推论2 ，2 1 ，9 是传递的，因此j 如在w 中是稠密的从而对于每个i k l ，飚 在w 中是稠密的所以存在正整数胍使得g n ( i ( 刀) ) p 1 ，z 2 对每个i k 一1 成 立令n = 仇 0 ， h ， k 一1 既然正1 ，勋是9 的不动点，则对每个i 一l ， 当n n 时，矿( ，( ，) ) 3 和l ，勋 这就意味着对每个n n k ，尸( j ) ) 伽“。2 则 对每个n n k ，“( ，) 3 【6 ic 】也成立由引理2 2 5 知，是混合的 口 定理2 2 5 设，：w 一是华沙圈彤上的连续映射。如果，是传递的，则，含有 马蹄 证明：由引理2 2 3 ，对每个b 。口都有f ( 1 ) n p ：正 。6 ) 9 设z 1 ，x 2 是w j 中， 的两个不动点，由传递性可知，f ( ，) 是内部为空的闭集不失一般性，假设茁1 。z 2 且( z 1 z 2 ) n f ( 1 ) = 口，因此对任意的z l 。z 。勋，0 ) 。z 成立 ( 1 ) 若对任意的z 1 。z l 若对所有z u ，i ( x ) 。z l ，则盯是不变的由传递性 知，这是不可能的则存在石 。z 1 使得，( $ ) 1 0z 1 因为，( 。2 ) = z 2 。z 1 ，由连通性 知，存在b 。z 1 使得，( 6 ) = x l ，选取b 使得i - 1 0 1 ) n ( x l ，6 ) = 口 8 广西大学硕士掣位论文华沙圈上连续映射的混合性质爰糖块射的秘密混沌 如果对所有的z ( z 1 ，都有，( z ) b ，则对所有的z ( z l ，6 ) 有z i 。f ( x ) 。6 因此区间( z l ，6 ) 是不变的由传递性知，这是不可能的因此存在y ( z l ，6 ) 使得f ( y ) = b 令 = k t ，y l ，也= 由，6 】，则f ( j x ) n ，( 无) = u 也，因此，含有马蹄 ( 2 ) 若对任意的z 1 。z 。z 2 ，( z ) 。z 成立 令u = p ：z 。z 2 ) 若对所有z u ，f ( x ) 。z 2 ，则u 是不变的由传递性知， 这是不可能的则存在z 。z 2 使得，0 ) i oz 2 因为，( 0 1 ) = z 1 。勋，由连通性知， 存在6 。z 2 使得f ( b ) = 石2 ，选取b 使得i - 1 ( z 2 ) n ( b ，x 2 ) = 9 如果对所有的z ( b ，2 ：2 ) 都有，( z ) b ，则对所有的茁( b ，x 2 ) 有b 0 ，( 。，y ) 为模6 的厶一y a r k e 对，称( z ，笋) 是一个西一y o r k e 对所有模6 的i a - y o r k e 对组成的集合记作l y ( f , 6 ) ， 所有乜一y o r k e 对组成的集合记作三y ( ，) 定义3 1 2 【1 qx 是紧致度量空间，令，：x x 是连续映射和6 0 如果l y ( f ) 在x 2 中是剩余的( r e s i d u a l ) ，则称，是通用混沌， 如果l y ( f ，6 ) 在x 2 中是剩余的，则称，是通用6 一混沌， 如果l y ( f ) 在x 2 中是稠密的，则称，是稠密混沌， 如果l y ( i , 在x 2 中是稠密的，则称，是稠密6 一混沌 定义3 1 3 1 1 1x 是度量空间，令，：x x 是连续映射如果对石的每个邻域c ， 都存在y u 和n 0 使得d ( f ”( $ ) ，r 0 ) ) ，则称点卫是一不稳定的一不稳定 点集记作t 以( ，) 如果以( ，) = x ，则称系统( x ，) 是一敏感的 1 1 广西大学硕士学位论文华沙圈上连续映射的混合性质_ 反树映射的稠密混沌 3 2 树映射的稠密混沌 引理3 2 1 【1 q 令x 是不含孤立点的紧致度量空间，：x x 是连续映射，则， 是拓扑传递的当且仅当存在一点z 使得z 的轨道在x 中稠密；同时具有稠密轨道的点 的集合是一个稠密的g 6 集合并且，如果z 的轨道在x 中稠密，则“，( z ，) = x 且对 所有的整数n 0 ，“( z ) 的轨道也是稠密的 引理3 2 2 ( 见 1 1 中命题6 2 4 ) 令，：x x 是紧致度量空间上的连续映射如 果，是稠密的6 一混沌，则对所有的e 1 我们将显示，只有唯一的不动点 令c 是，的不动点如果存在c 。使得c g ，则，( _ ) = 百由于e 。的元 素被，循环轮换，所以这是不可能的类似的，c 不可能在t 的端点因此点c 只能 是。中几个不同元素的公共端点令 ，以是中有公共端点c 的不同元素则 i 0 = 1 ，k ) 被，循环轮换，且c 是，唯一的不动点 反之假设b 是，的另一个不动点由前面知b 是中一些元素的公共端点令 f 1 ，f m 是。中有公共端点b 的不同元素。则c i ( = 1 ，m ) 被，循环轮换则至 少存在一个整数l i m 使得f 叠 ，五，进而存在整数1 j k ，对任意的 7 0 ，p ( 乃) o 矗= 9 ，这与，是拓扑传递的矛盾因此c 是，唯一的不动点 口 定理3 2 2 设，：t t 是一个连续映射如果，是拓扑传递的但非拓扑全传递 的，a t 为唯一的不动点，点a 的分支数为n a ，j l ，厶为r 一 a 的n 个连 通分支的闭包，则存在映射g ： 1 ，h a 一 1 ，h a 使得对每个自然数i t t a 都 有： ( 1 ) i 为g 的周期点； ( 2 ) ，( 五) = 占( o 且，“jj 是拓扑全传递的 证明：如果，是拓扑传递的但非拓扑全传递的，a t 为唯一的不动点，点a 的分 支数为r l a ，以，。k 为r 一 a ) 的l r l a 个连通分支的闭包，由定理3 1 ， ，- 1 厶 被，循环轮换，因此存在映射g ：1 1 ，) 一 1 ，n a 使得对每个自然数i t a 1 3 广西太学硕士学位凳文华沙圈上连续映射的混合性质夏村映射的藕密混沌 都有；i 为g 的n a 周期点；f ( f f i ) = j g ( o 且，”4l 是拓扑传递的 假设，i 不是拓扑全传递的由定理3 2 1 的证明知，“i 正有唯一的不动点 a ，且彳i m ( j o ，这与a 是，“l 五的唯一的不动点矛盾因此对每个自然数i n 山 f n lj ：是拓扑全传递的 口 引理3 2 4 令f ：t t 是连续映射，且，是稠密混沌则 1 ) 如果j 是非退化的连通集合，则对所有的礼0 ，f n ( j ) 是非退化的连通集合 2 ) 如果j 1 ，占是不相交的非退化连通集合使得，( 五) c 五+ 1 。d p 则j l ， p ) 是有公共端点的连通集合；当五是闭集时，p = 1 3 ) 如果j 是闭的非退化连通集合使得f ( j ) cj 且，( 厂) c ，则j n ，9 证阴：1 ) 如果j 是非退化的连通集合，则存在0 ，各) j j 使碍( z ，譬) 是l i - y o r k 对，这样l i m 8 t 仍。+ 。d ( f ”( ，) ) 0 ，并且如果f ( s ) 缩为一点，则对所有的n 0 ，f n ( 刀 是退化的，这是不可能的 2 ) 令j 1 ，一，占是不相交的非退化连通集合使得，“( 以) c 五+ l 。d p ，假设存在0 i ，j p 使得j 与乃之间的距离d 大于零由连续性，存在，7 0 ，使得如果d ( z ，y ) o ，d ( z ，y ) = e 则存在递增 序列( 啦) i 邳使得氐) k 胡定义五。= n 屯；显然玩是闭的非退化的连通集合， ，( 玩) c 且风+ lc 情况1 ：存在递增序列( m i ) i o 使得对所有的i 0 ，j r 。+ 。i n t ( j f 。) 则取j ：= 情况2 ：如果情况1 的假设不满足，则存在n20 使得对所有的n n ，k 。正 i m ( r ) ，即对所有的n n ，j 厶与k 的一个端点重合既然d ( k 。) 一0 ，我们能找到 一个递增的序列( r a i ) i _ o 满足m o = n ，且使碍对所有的i 0 ，d ( j o 。) 0 使得，对每个 闭的非退化的连通集合j ，如果f ( j ) c ，则d ( j ) 那么存在j 0 使得，是通用 6 一混沌， 证明：假设对任意的6 0 ，存在非退化的连通闭集j 使得对任意的n o ，d ( f “( j ) ) j ( 3 1 ) 下面证明这是不可能的令0 0 ，”+ 2 ( j ) ) m j 且 d ( u o 严+ 2 + 1 ( j ) ) m 6 ，令y = 0 厕= 歹”一( 夏) 则y 是翔的非退化的连 通集，f ( y ) cy 且d ( y ) 2 玎击由题设知；d ( y ) 2e ，这与j 0 ，使得对所有非退化的连通闭集工存在n 0 ， d ( 1 ”( ，) ) 6 由引理3 2 4 ( 1 ) 知如果j 是非退化连通集合，则尸( 力也是非退化的则 令 l i ms u p d ( i “( ，) ) j ( 3 3 ) n _ + o o 1 6 广西大学硕士拳位论文华沙圈上连续呋射的混台性质放树块射的稠密混沌 b k ( r 1 ) = ( 互，! ，) t tls u p d ( f ”( z ) ，“( ! ，) ) ，7 n 2 且 + b = n 玩( 以 t = 0 下面显示对所有叼 叩，则存在z ，。7 j 1 使得a ( s “( z ) ，尸( z ) ) ，7 ，且存在暑，以使得尸( 功= ，“( z ，) 因此b k ( 们f l ( 五) o 对所有的m 0 ，”( j 1 ) ，”( j 2 ) 毋由( 3 3 ) 存在 i r l , k 使得d ( 尸( j 2 ) ) 6 叩 则存在毛茹7 j 2 使得d ( 尸( z ) ，p ( z ) ) r 由假设存在y s x 使得，n ( 可) g 尸( 如) 这榉，或者矗( ，( 们，( z ) ) 露或者d ( 尸白) ，夕( 。，) ) 零，因此取( 功n ( 五如) 9 。 集合b k ( u ) 是开集，由b a k e 8 定理，对所有的叩 1 是z 中非退化的连通分支，且以度量递减排 序令p 1 使得d ( ) 2 当且仅当1 i p 对每个i 1 ，疵( 正) n 以( ，) 口，因此由 引理3 2 8 ( 3 ) ，存在n i 1 使得a ( “( 正) ) 之s 则存在 r i 1 ，p 使得，“( 五) c 厶 因此存在j 1 ，p ) 和m 1 使得，”( 易) c 易记y = u o 0 ，是通用6 一混沌， ( 3 ) 对某个6 0 ，是稠密6 一混沌， ( 4 ) 或者存在唯一的传递的非退化的连通闭集，或者存在k ( k 2 ) 个有公共端点的 传递的非退化的连通闭集；且如果j 是非退化的连通集合，则，( j ) 是非退化的，且存 在传递的连通集合i o 和整数竹使得广( ，) ai n t ( i o ) 9 证明；( 2 ) 兮( 3 ) 是显然的；我们将显示( 1 ) 净( 2 ) 和( 3 ) 辛( 4 ) 兮( 1 ) ( 1 ) 号( 2 ) 假设，是通用混沌若存在一列闭的非退化连通集合( 厶) 。 0 使得，( 厶) c 厶且? i m 。_ + + o 。d ( 厶) = o 由引理3 2 6 ，假设对于而的诱导拓扑，厶+ 1ci n t ( 厶) 并且 我们假设j o = 正否则考虑稠密混沌，i d o 代替， 集合l y ( f ) a ( t 蚝) 是t 珞上稠密的函集合由命题3 2 ，1 ，存在稠密的g d 集合厶ct 使得对所有的z 如，存在y j 厶满足( 。，l y ( f ) 由b a i r e s 定理， a = n 。 0 a 。是r 的一个稠密g 6 集合令z a 对每个整数i 0 存在y k ，使 得( 毛y ) l y ( ，) 特别的，l i ni n f 。_ + + o od ( ，( z ) ，( 暑，) ) = 0 既然j 屯+ 。c ，m ( j 气) ，则 存在p 20 使得，( 。) j 气，这样对所有的k p ，( z ) j 气但n i ，o j = p ，这样 l i m k 。+ 。，( z ) = z 另一方面，a x a 是t x t & 稠密的g j 集合，则( a a ) n l y ( i ) o 这与如果( 马z ) a a 则。= l j i n ，。+ 。，( 石) = l i 埘l f i _ + 。，( z ) 矛盾 1 9 广西大学硕士学位论文 华沙田上连续映射的混合性质及树映射的稠霉混沌 以上显示了存在e 0 使得。如果对每个闭的非退化的连通集合j 使得，( j ) cj ， 则d ( 刀2e 则由引理3 2 7 ，存在6 0 使得，是通用6 一混沌 ( 3 ) 号( 4 ) 假设3 ) 成立由引理3 2 2 ，是对初值敏感依赖的由命题3 ，2 2 ，存在 闭的非退化的连通集合1 1 ，使得，( 厶) = 厶+ 1 。甜p 并且，1 1 1u u 厶是传递的；由引 理3 2 4 ( 2 ) ，p = 1 ，即，l j l 是传递的 假设屯是另一个传递的非退化的连通集合由引理3 ，2 ，4 ( 3 ) 知 n 如o 如果 i n t ( 1 1 n 如) 9 则1 1 = 1 2 = o m n 如) ；否则j 1 n 1 2 缩为一点因此有唯一一个传递的 非退化连通闭集，或者存在k ( k 2 ) 个有公共端点的传递的非退化的连通闭集 最后考虑非退化连通集t ，由引理3 2 4 ( 1 ) 知，( j ) 是非退化的因为i y ( ，a ) o ( j j ) o 则s u p n _ , + 。a ( f ”( ，) ) 26 ，这意味着存在整数i ，p 使得，i ( 刀n ，+ p ( 刀9 令x = u 。，o ，件“( d ，x 至多有p 个非退化的连通闭集，且被，循环轮换由引理 3 2 4 ( 2 ) 知，x 是一个连通闭集我们有l ( x ) cx 且，i x 是初值敏感的这样由命 题3 2 2 和引理3 2 4 ( 2 ) ，存在非退化的连通闭集kcx 使得，l k 是传递的由x 的定 义，存在整数n 20 使得广( 刀n i n t ( k ) o ( 4 ) 净( 1 ) 首先假设非退化连通集的象是非退化的，存在两个非退化的连通集合 ，屯 使得，j 五( i = 1 ，2 ) 是混合的，且对每个非退化的连通集，存在n 0 和i 1 ，2 ) 使 得尸( ，) f - 1 i n t ( i i ) o 定义6 = 竹“仃 d ( ) ，d ( 屯) 令i ，j 1 ，2 k ，k 和，j 是拓扑混合的，这样 ( ，) i h x b 也是混合的，特别地它是传递的令g 巧是点( 。，y ) 五如的集合，其 中