（固体力学专业论文）冲击载荷下纤维增强复合材料的分层扩展行为.pdf

：i 。j i，l j1 学位论文作者签名：孑三；良 日期：砌护2 砷 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者和指导教师完全了解东北大学有关保留、使用学位论 文的规定：即学校有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和 磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人同意东北大学可以将学位论文的全部 或部分内容编入有关数据库进行检索、交流。 ( 如作者和导师不同意网上交流，请在下方签名；否则视为同意。) 学位论文作者签名： 签字日期： 导师签名： 签字日期： 1 东北大学硕士学位论文 摘要 冲击载荷下纤维增强复合材料的分层扩展行为 ，摘要 连续纤维增强复合材料以其良好的综合性能成为最具发展前途的新型结构材料之 一，广泛的应用于许多重要的结构中。复合材料在使用过程中往往会出现不同形式的损 伤，如横向基体开裂、界面破坏、纤维断裂和层间分层。近年来的理论分析和实验研究 表明，层合复合材料的薄弱部位在层间，分层损伤是复合材料层合结构最严重的一种损 伤形式，导致结构强度大幅度下降，是层合复合材料结构在使用过程中的主要隐患。因 此，研究复合材料的分层机理、分层影响以及提高抗分层性能具有重要的理论意义和应 用价值。本文通过理论分析和数值模拟研究了冲击载荷作用下纤维增强复合材料的分层 扩展行为。 本文以复合材料力学和断裂力学为基础，对a n s y s 软件进行二次开发，编制了具 有分析几何非线性、材料非线性、接触非线性、分层扩展等功能的有限元软件，用于纤 维增强复合材料的分层扩展分析。 在计算过程中以能量释放率作为分层扩展的判据，通过解除相应节点的耦合约束来 模拟裂纹的动态扩展，同时激活双向弹簧单元和接触单元，分别用来模拟短纤维桥联力 和材料的不可穿透性。 本文研究了不同冲击能量下层合复合材料分层尖端的能量释放率、应力分布和开裂 稳定性，并对有无层间短纤维的情况进行对比。结果表明：层间短纤维能够减小分层尖 端的能量释放率，有效的减小裂纹的开裂速率，提高开裂稳定性。 关键词：冲击；复合材料；层间短纤维桥联；能量释放率；分层；稳定性 ，itfl 东北大学硕士学位论文 a b s t r a c t i m p a c t l o a d i n d u c e df i b r er e i n f o r c e d c o m p o s i t e m a t e r i a ld e l a m i n a t i o ng r o w t h b e h a v i o r a b s t r a c t c o n t i n u o u sf i b r e r e i n f c i r c e dc o m p o s i t el a m i n a t e sh a v eb e e nb e c o m eo n eo ft h em o s t e v o l u t i v ep o t e n t i a lm a t e r i a l sd u et ot h e i re x c e l l e n tc a p a b i l i t i e sa n dh a v eb e e nu s e di nm a n y i m p o r t a n ts t r u c t u r e s t h ec o m p o s i t em a t e r i a l sf r e q u e n t l ye n g e n d e rd i f f e r e n tm o d ed a m a g e w h e nt h e yh a v eb e e nu s e d , s u c ha sl a n d s c a p eo r i e n t a t i o nm a t r i xf r a c t u r e ，i n t e r f a c ed a m a g e ， f i b r ef r a c t u r ea n dd e l a m i n a t i o n i nt h er e c e n tr e s e a r c h e si n d i c a t et h a tt h es t r e n g t ho fl a m i n a t e s i nt h ed i r e c t i o na l o n gt h i c k n e s si sm u c hl o w e rt h a nt h a ta l o n gf i b e r s s od e l a m i n a t i o ni sa s e r i o u sf a i l u r em o d ew h i c hc a nl e a dt op r e m a t u r ef a i l u r eo ft h ec o m p o s i t el a m i n a t e sb e c a u s e o fs t i f f n e s sd e g r a d a t i o n d e l a m i n a t i o ni sam a i nh i d d e nt r o u b l ei nt h es t r u c t u r eo ft h e c o m p o s i t em a t e r i a l s h e n c e ，d e l a m i n a t i o nm e c h a n i s m ，d e l a m i n a t i o n e f f e c th a v e b e e n d i s c u s s e di nag r e a ta m o u n to fl i t e r a t u r e si nr e c e n ty e a r s ，t h er e s e a r c ho fi m p r o v i n gi t s t o u g h n e s sa n da n t i - d e l a m i n a t i o nc a p a b i l i t yb e c o m em o r es i g n i f i c a n c ea n dv a l u a b l e i nt h i s p a p e rs e v e r a lm a j o rp r o b l e m sa b o u td e l a m i n a t i o ng r o w t hw i t hi m p a c tl o a dh a v e b e e ns t u d i e d t h o r o u g h l yi nt h e o r e t i c a la n dn u m e r i c a la n a l y s i s i nt h i sp a p e r , b a s eo nc o m p o s i t em a t e r i a l sm e c h a n i c sa n df r a c t u r em e c h a n i c st h e o r y , a n o n l i n e a rf i n i t ee l e m e n tp r o g r a mi sd e v e l o p e dw i t ht h em o d eo fs e c o n d a r yd e v e l o p m e n to f a n s y ss o f t w a r et os t u d yg e o m e t r i cn o n l i n e a r i t y , m a t e r i a ln o n l i n e a r i t y , c o n t a c tn o n l i n e a r i t y a n dd e l a m i n a t i o ng r o w t ho fc o m p o s i t el a m i n a t e s e n e r g yr e l e a s er a t ei su s e dt ob et h ec r i t e r i o no f t h ed e l a m i n a t i o ng r o w t h , t h em o d e lc a n s i m u l a t ec r a c kg r o w t hb yr e l i e v i n gt h en o d e sc o u p l i n gr e s t r i c t i o n ，a c t i v a t et h es p r i n ge l e m e n t a n dc o n t a c te l e m e n tt os i m u l a t et h es h o r t - f i b e rb r i d g i n gf o r c ea n dt h eu n p e n e t r a b i l i t yo ft h e m a t e r i a l s e n e r g yr e l e a s er a t ea n dt h es t a b i l i t yo fl a m i n a t e si nd i f f e r e n ti m p a c te n e r g yh a v eb e e n s t u d i e di nt h i sp a p e r , a n dc o m p a r ew i t ht h a tn o th a si n t e r l a m i n a rs h o r t f i b e r r e s u l ti n d i c a t e s t h a ts h o r t f i b e rc a nr e d u c ee n e r g yr e l e a s er a t ei nc r a c kt i p ，r e d u c et h ev e l o c i t yo ft h ec r a c k g r o w t h ，i m p r o v et h es t a b i l i t y k e yw o r d s ：i m p a c t ；c o m p o s i t em a t e r i a l s ；i n t e r l a m i n a rs h o r t - f i b e rb r i d g i n g ；e n e r g yr e l e a s e r a t e ；d e l a m i n a t i o n ；s t a b i l i t y 。一n l 。一 - 、 ，上-i 东北大学硕士学位论文 目录 目录 声明i 中文摘要i i a b s t r a c t i i i 第1 章绪论。1 1 1 课题研究的目的和意义1 1 2 分层扩展问题的研究现状1 1 3 分层扩展问题的研究方法3 1 4 本文研究内容”3 第2 章分层扩展的理论基础5 2 1 动力学问题及其求解5 2 2 非线性问题的求解”6 2 2 1 非线性方程组的求解7 2 2 2 材料非线性问题及其求解“8 2 2 3 几何非线性问题及其求解9 2 2 4 接触非线性问题及其求解1 0 2 3 各向异性弹性体的本构关系1 3 2 4 能量释放率算法1 5 2 5 本章小结1 6 第3 章复合材料层合板分层扩展的有限元分析1 7 3 1 有限元分析模型的建立及求解1 7 3 1 1 模型参数及简化1 7 3 1 2 单元类型的选择1 7 3 1 3 有限元模型”1 8 3 1 4 裂纹扩展模拟”1 9 3 1 5 接触问题“1 9 3 1 6 冲击物的模拟2 0 一l v 东北大学硕士学位论文 目录 3 1 7 层间短纤维桥联力的模拟2 0 3 1 8 求解过程2 1 3 2 验证算例2 2 3 2 1h e r t z 接触验证2 2 3 2 2 冲击过程的验证2 3 3 2 3 能量释放率的验证2 4 ， 3 3 结果分析2 5 h 3 3 1 冲击过程分析”2 5 i 3 3 2 裂纹尖端变形场及应力场分析2 8 3 3 3 能量释放率分析2 9 3 3 4 裂纹尖端节点力及节点位移场分析3 1 3 3 5 裂纹开裂及稳定性分析3 4 3 4 本章小结3 7 第4 章层间短纤维对复合材料层合板分层扩展的影响3 9 、 4 1 层间短纤维对裂纹尖端变形场及应力场的影响3 9 4 2 层间短纤维对能量释放率的影响4 0 4 3 层间短纤维对开裂稳定性的影响4 1 4 4 本章小结4 3 第5 章结论与展望4 5 5 1 结论 5 2 展望”4 5 参考文献4 7 至殳谓寸4 9 东北大学硕士学位论文第1 章绪论 第1 章绪论 1 1 课题研究的目的和意义 复合材料是由两种或两种以上物理和化学性质不同的物质组合而成的一种多相固 体材料【。复合材料一般由基体和增强材料组成，增强材料分散在基体中，使基体得到 加强；而基体除承载外，在增强材料间起连接和保护作用。复合材料按其增强材料的形 状可以分为粒子增强复合材料，薄片增强复合材料和纤维增强复合材料；按其纤维的长 短可以分为短纤维增强复合材料和连续纤维增强复合材料；按其纤维性能的高低可以分 为先进复合材料和工程复合材料。先进复合材料是以碳纤维、硼纤维、k e v l a r 纤维和晶 须等高级纤维增强的复合材料；工程复合材料包括玻璃纤维增强塑料、玻璃纤维或钢纤 维增强水泥等【2 】。 由于复合材料具有比强度高、比刚度大、抗疲劳性能好、减振性能好和材料性能可 设计等一系列优点，使其广泛的应用于航空、航天、汽车、石油化工、船舶、医疗设备、 建筑、桥梁等重要行业中。连续纤维增强复合材料以其良好的综合性能成为最具发展前 途的一种新型结构材料之一。但是由于制造工艺的不足及受到外载荷或其它如冲击、温 度等外部因素作用下，复合材料在使用过程中会出现不同形式的损伤，主要包括：横向 基体开裂、界面破坏、纤维断裂和层间分层。近年来的理论分析和实验研究表明，层合 复合材料的薄弱部位在层间，分层是层合复合材料工程应用中破坏的主要形式，分层破 坏是层合结构所特有的性质。分层不仅会导致总体失效，而且即使是局部分层也会引起 刚度降低【3 l 。因此，研究复合材料的分层机理、分层影响以及提高抗分层性能具有重要 的理论意义和应用价值。 1 2 分层扩展问题的研究现状 由于连续纤维增强层合复合材料层间力学性能远低于纤维方向性能，在使用过程中 容易产生层间损伤和分层。分层损伤是复合材料层合结构最严重的一种损伤形式，导致 结构强度大幅度下降。结构出现分层以后，容易在很低的载荷下就发生分层失稳，随之 发生分层扩展，最终导致结构破坏。此外，复合材料在制造过程中产生的脱层、气泡等， 层合结构在装配、修理过程中的工具跌落碰撞，以及在使用期内受到的冲击等都将使复 合材料层合结构内部产生大量的分层损伤。按分层的平面几何特征可将分层分为两种类 型，即一维贯穿分层( 图1 1 ) 和二维浅埋或深埋圆形和椭圆形分层( 图1 2 ) ；按分层数目 一1 一 东北大学硕士学位论文第1 章绪论 可分为单分层和多重分层( 图1 3 ) 1 4 1 。一维贯穿分层在几何上比较简单，容易分析，经 常用于研究分层的机理、性质和规律。 图1 1 贯穿分层模型图 图1 2 深埋、浅埋分层模型图 f i 9 1 1i m p e n e t r a t ed e l a m i n a t i o nm o d e lf i 9 1 2d e e p o rs h a l l o wb u r i e d & l a m i n a t i o nm o d e l ( a ) 薄膜分层薄膜分层( c ) 多重分层( d ) 单层分层 图1 3 分层截面图 f i 9 1 3d e l a m i n a t i o ns e ：c t i o n 从8 0 年代初以来，分层问题的研究受到了广泛的关注。c h a i 等人【5 j 在1 9 8 1 年以一 维贯穿分层模型作为分析模型，使用杆的e u l e r 理论并根据g r i f f i t h 断裂准则分析了一 维分层屈曲问题。w h i t c o m b l 6 7 j 使用有限元法研究了层合板的一维分层屈曲和后屈曲以 及层间应力在裂尖区的分布，发现分层尖端存在奇异应力场。b o t t g e a 和m a e w a l 8 j 提出 一个双层圆板分析模型，分析了含圆形分层圆板在受压情况下的分层屈曲和扩展问题。 s i m i t s e s 9 】等人研究了均匀轴向受压情况下含贯穿分层构件的屈曲载荷并讨论了分层位 置、长度和深度对临界载荷的影响。e v a n s 等人【1 0 l 通过对双轴受压圆形分层层板的分析， 求出了能量释放率的解析式。g i l l e p s i e 和c d s n 【1 1 j 研究了热塑和热固基体复合材料的 一维贯穿分层的屈曲和扩展问题。k a r d o m a t e a s 1 2 1 讨论了不同边界条件对分层屈曲和扩 展的影响。以上研究都是基于薄膜分层( 图1 3 ( a ) ) 和单层分层( 图1 3 ( d ) ) 模型，在多重分 层( 图1 3 ( c ) ) 问题上，k a p a n i a 和w o l f e l l 3 j 运用有限元法，研究了含多重分层的梁板屈曲 问题。k u t l u 和c h a n g 1 4 - 1 6 j 采用平面应变四节点等参元，分析了含多个贯穿分层层合板 的压缩行为。对于二维分层问题，有限元分析是目前广泛使用的方法，包括三维有限元 一2 一 东北大学硕士学位论文第1 章绪论 法、二维板壳有限元法。w h i t c o m b 【1 7 _ 1 9 】在这方面做了大量的研究，使用2 0 节点等参元 对含分层层板的屈曲和后屈曲问题进行了三维有限元分析，并对分层前缘的接触效应进 行了研究。 连续纤维增强层合复合材料的弱点是层间剪切和拉伸性能很低，仅为纤维方向的几 十分之一，在使用过程中往往会由于层间剪应力或层间拉应力超过其强度而引起层间脱 粘破坏，即分层。因此抗分层问题的研究倍受关注。改善层间性能的途径主要可分为两 大类：一类是改善基体，主要是增韧 2 0 - 2 1 l ；另一类是在纤维方面进行处理【2 2 创。对于纤 维增强复合材料的增韧基理主要有两种理论：一种理论认为裂纹尖端破坏区拉断纤维所 需要的功对复合材料的增韧起主要作用，基体，纤维脱黏或分离以及纤维拔出的作用可 以忽略不计；另一种理论则认为脱黏过程是最主要的影响因素并得到了广泛的认同。 复合材料常常以板壳的形式存在于构件中，因此常常受到垂直于板面的载荷作用， 冲击载荷就是其中之一。冲击损伤按冲击能量可分为高能量，中等能量和低能量冲击三 种级别p l 。高能量冲击是指子弹或外界高速运动物体的冲击，这种冲击往往使结构发生 穿透损伤，进而引起结构失效；中等能量冲击不会出现穿透损伤，但可能会引起结构内 部的局部分层和纤维断裂；低能量冲击是指工具的跌落冲击或砂石、冰雹的撞击等。与 前两种能量级的冲击相比，低能量冲击发生频繁且不会在表面形成可目测的损伤，而是 在层合板内部造成大量基体开裂，层间分层等损伤，导致结构的剩余承载能力下降。因 此低能量冲击损伤的研究具有非常重要的意义和价值。本文对纤维增强复合材料在冲击 载荷作用下的分层扩展行为进行了研究。 1 3 分层扩展问题的研究方法 分层损伤的数值分析方法有很多，主要有r a y l e i g h r i t z 法，弹性力学有限元法和结 构力学有限元法三种1 2 6 1 。r a y l e i g h r i t z 法是最早用来分析含分层复合材料层合板屈曲问 题的一种数值方法，适用于以薄膜分层模型为基础的分析。有限元法是目前广泛使用的 分析方法，根据分层形状的不同，可以采用二维、准三维或三维分析。 随着对复杂应力条件下的失效准则的大量研究，已经提出了几十种失效准则，如最 大应力准则、最大应变准则，t s a i h i l l 准则，t s a i w u 准则、能量释放率准则等。由于分 层前缘的应力具有奇异性，分析裂尖应力将有很大困难，而标志分层前缘应力场强弱的 能量释放率是个有限值，因此，判断分层是否扩展的主要判据是能量释放率。 1 4 本文研究内容 一3 一 东北大学硕士学位论文第1 章绪论 本文利用断裂力学及复合材料力学的基本理论，通过有限单元法，研究了低速冲击 载荷作用下含贯穿分层的纤维增强复合材料的分层扩展行为，对不同冲击能量下纤维增 强复合材料的开裂稳定性进行了研究。论文的主要工作如下： ( 1 ) 建立有限元模型，编制相应的分析软件 本文在分析时采用贯穿分层的情况并根据对称性对模型进行简化。以a p d l 语言为 基础，对a n s y s 软件进行二次开发。编制了具有计算非线性、能量释放率、分层扩展 等功能的有限元分析软件。在计算过程中以能量释放率作为分层扩展的判据，通过解除 相应节点的耦合约束来模拟裂纹的动态扩展，采用双向弹簧单元和接触单元来模拟短纤 维桥联力和材料的不可穿透性。 ( 2 ) 对冲击载荷下的复合材料层板的分层扩展进行分析 采用重启动的方式分析复合材料层板在不同冲击能作用下的冲击过程，对冲击过程 中冲击载荷，位移及速度的变化进行了研究，分析了分层尖端的能量释放率、应力分布 和开裂稳定性。 ( 3 ) 分析层间短纤维对复合材料层板的分层扩展影响 引入短纤维桥联力，通过改变单元的刚度矩阵对短纤维桥联力进行修正。分析了短 纤维产生的桥联力在裂纹扩展过程中对分层尖端的能量释放率、应力分布和开裂稳定性 的影响。 一4 一 ， 东北大学硕士学位论文第2 章分层扩展的理论基础 第2 章分层扩展的理论基础 复合材料层合板在冲击载荷作用下会产生较大的变形而表现出几何非线性。当层合 板在受到外物冲击时，冲击物和层合板相接触产生接触非线性。同时还要考虑复合材料 本身的材料非线性行为对结构的影响。在分层扩展分析时，非线性的影响不能忽略。本 章将简要介绍以上问题在分析求解过程中涉及到的基本关系，包括：动力学问题及其求 解、非线性问题的求解、各向异性弹性体的本构关系、能量释放率算法。 2 1 动力学问题及其求解 动力学问题有两类研究对象：一类是在运动状态下工作的机械或结构，另一类是承 受动力载荷作用的工程结构【2 7 1 。动力学研究的另一个重要领域是波在介质中的传播问 题。在动力学问题中，系统的动力学方程可写成 朋a p ) + c 五( f ) + o ) 。q o ) ( 2 1 ) 式中d o ) 和五o ) 分别是系统的结点加速度向量和结点速度向量，m ，c ，k 和q 1 3 f ) 分别是 系统的质量矩阵，阻尼矩阵，刚度矩阵和结点载荷向量。 方程( 2 1 ) 是一组关于时间t 的二阶常微分方程，求解方法可以分为两大类，即振型二 叠加法和直接积分法。振型叠加法只适用于线性系统，直接积分法可以用于线性系统， 也可以应用于非线性系统。当外载荷为冲击载荷时，激起振型很多，采用直接积分法比 振型叠加法更加合适。直接积分法中又可分为隐式积分和显式积分，包括：中心差分法 ( 显示) 、h o u b o l t 法( 隐式) 、w i l s o n 0 法( 隐式) 和n e w m a r k 法( 隐式) 。本文在通过有限 元软件a n s y s 计算过程中采用了n e w m a r k 法。 n e w m a r k 法是由n e w m a r k 于1 9 5 9 年提出的，在t t + 出的时间区域内，n e w m a r k 法 采用下列假设： 或+ 址- d ，+ ( 1 6 ) 蕾+ 6 珥+ 垃1 血 ( 2 2 ) q + 山。口，+ 或，+ 【( 三一口) 玩+ 口t + 址】2 ( 2 3 ， 其中口和6 是按积分精度和稳定性要求决定的参数。同时，口和6 取不同的数值代 表不同的数值积分方案。 当口一1 6 ，6 - 1 2 时，n e w m a r k 法退化为线性加速度法，即时间间隔缸内线性假 设的加速度表达式为： 一5 一 东北大学硕士学位论文 第2 章分层扩展的理论基础 缉+ ，= 茸+ ( 茸+ & 一茸) f f ( o 0 5 时，在计算过程中引入数值阻尼，导致振幅不断衰减。 2 2 非线性问题的求解 非线性可以由材料性质，变形状态和边界接触条件引起的，即材料非线性，几何非 线性和边界非线性。 材料非线性是指物性方程中的应力和应变关系不再是线性的，即材料的应力应变关 系是非线性的。材料非线性问题可分为两类：一类是不依赖于时间的弹塑性问题，其特 点是当载荷作用以后，材料变形立即发生并且不再随时间变化。另一类是依赖于时间的 粘弹性，粘塑性问题，其特点是当载荷作用以后，材料不仅立即发生相应的变形，而且 变形随时间继续变化。 几何非线性是指结构在载荷作用过程中产生较大的位移和转动，使得结构的平衡方 程必须建立在变形后的状态，以便考虑变形对平衡的影响，同时应变表达式必须包含位 移的二次项。因此，平衡方程和几何方程都是非线性形式。 边界非线性最典型的例子是接触和碰撞问题。在接触和碰撞问题中，相互接触边界 ， 东北大学硕士学位论文第2 章分层扩展的理论基础 的位置和范围以及接触面上的力的分布和大小事先未知，需要在整个问题的求解中确 ! 定。 复合材料层合板受冲击载荷作用时会出现三类非线性同时发生的情况。由于非线性 问题的复杂性，利用解析方法能够得到的解答很有限，有限元方法在非线性问题的分析 中有着广泛的应用。 2 2 1 非线性方程组的求解 非线性方程组一般不可以直接求解，通常以一系列线性代数方程组的解去逼近i 矧。 不同的线性逼近方法对应不同的非线性方程组的求解方法。常用的求解方法有：直接迭 代法，牛顿法( 也称为n e w t o n r a p h s o n 法，简称n r 法) ，修正的牛顿法( 简称m n r 法) ， 拟牛顿法，载荷增量法和弧长法。 直接迭代法是最简单，最直观的方法，但是收敛速度慢，迭代过程不稳定，严重依 赖于初值的选取使得该方法在实际应用中很少采用。牛顿法收敛速度快，修正的牛顿法 和拟牛顿法则提高了计算效率。本文在计算过程中采用牛顿法。 式( 2 9 ) 为非线性方程组，其中k 或，是x 的函数 k x f( 2 9 ) 可改写为： 妒o ) 一k o p 一，0( 2 1 0 ) 设妒o ) 为具有一阶导数的连续函数，初始近似值为x ，第咒次迭代的近似值为 “ x ”。把妒o ) 在x ( “处泰勒展开，保留线性项，忽略高阶项得 妒帕) + 碎( 工一工o ) - o ( 2 1 1 ) 求解式( 2 1 1 ) 得到x 的新近似值x 伽+ 1 ) ，即 x ( 1 ) 一z - 一( 碎) 一缈 ) ( 2 1 2 ) 其中霹娑i ，在位移法有限元分析中代表结构的切线刚度矩阵，由相应的 a xi x - 一 单元切线刚度矩阵组集而成。通过与上一迭代步得到的结果进行相对误差比较，可以控 制收敛过程，判断是否收敛，如果收敛，迭代结束，否则令以一n + 1 ，计算切线刚度矩 阵进行下一步迭代。迭代过程如图2 1 所示。 一7 一 东北大学硕士学位论文第2 章分层扩展的理论基础 ) ， l 图2 1n e w t o n 法迭代示意图 f i g 2 1n e w t o ni t e r a f i v ea l g o r i t h ms k e t c hm a p 牛顿法在求解方程单根时的收敛阶不小于2 ，一般情况具有很快的收敛速度，同时 每次迭代也需要重新形成和求逆一个新的切线刚度矩阵砰。 2 2 2 材料非线性问题及其求解 材料非线性主要包括：非线性弹性，弹塑性，非线性粘弹性，粘塑性等。非线性弹 性材料是指加载和卸载时的应力应变关系相同且都是非线性的，即非线性弹性的应力应 变关系与加载历史无关。而弹塑性材料的应力应变关系曲线与加载历史有关。在解决复 合材料材料非线性力学问题时，大多数采用非线性弹性本构关系。常用的求解方法有： 直接迭代法，切线刚度法，应力转移法和初应力法，初应变法。 切线刚度法是一种变刚度法。对于非线性弹性材料，几何关系依然成立 一8 6 ( 2 1 3 ) 由虚功方程得到如下形式的平衡方程： r l ，矿o d v f c 1 4 ) jy 、7 由于应力应变关系是非线性的，因此应力和位移的关系也是非线性的。将应力应变 关系代入式( 2 1 4 ) 得到位移表示的平衡方程 k ( a ) a f ( 2 1 5 ) 材料的应力应变关系用增量形式表示为： d o 一珥( r ) d e( 2 1 6 ) 式中，珥是切线弹性矩阵。根据n e w t o n r a p h s o n 法，f td e b d 6 ，式( 2 1 5 ) 可进行迭 一8 一 东北大学硕士学位论文第2 章分层扩展的理论基础 代计算： j 攀6 i 。f rb t ( 7 ( d v ，尺l ) 1 jv 一j 0 6uy b t 口d v - f ) = f v b t d t b d v 6 ( + 1 ) ，6 ，+ 6 ( ) 6 ( o ) 。0 ( 2 1 7 ) ( 2 1 8 ) ( 2 1 9 ) ( 2 2 0 ) 式中，墨为切线刚度矩阵，尺为第k 次迭代得到的应力场对应的失衡力。计算出位移 增量和位移，判断是否收敛，如果收敛，停止迭代；否则，令k k + 1 ，计算切线刚度 矩阵并进行下一步迭代计算。迭代过程中单元应力的变化如图2 2 所示。 图2 2 切线刚度法单元应力示意图 f i g 2 2t a n g e n ts t i f f n e s sm a t r i xa l g o r i t h me l e m e n t s t r e s ss k e t c hm a p 2 2 3 几何非线性问题及其求解 几何非线性问题是由于大位移和大转动，或者结构内部产生很大的应变引起的非线 性问题。同材料非线性问题一样，几何非线性问题在结构分析中具有重要意义。在涉及 几何非线性问题的有限元方法中，通常采用增量分析的方法，主要有两种不同的表达格 式：完全拉格朗日方法( t o t a ll a g r a n g e ) 和更新拉格朗日方法( u p d a t e dl a g r a n g e ) 。完全 拉格朗日方法是始终以不变化的初始构形作为参考构形的表述方法。 以格林应变形式表示几何方程和增量形式的几何方程，并与以克希霍夫应力形式表 示的应力张量建立联系，应用变分原理建立有限元方程为： 妒( 鲋) 。l ( 矿) t 丛d k + 群鲋+ e f “1 _ 0 ( 2 2 1 ) 记 辟一 g t 詹g d 一9 一 东北大学硕士学位论文 第2 章分层扩展的理论基础 f 一 ( 气+ 磁) t s d r 霹为初应力矩阵或几何矩阵，有时也称为非线性应变增量刚度矩阵，f 是f i 时刻 的应力场对应的等效节点力矢量。 式( 2 2 1 ) 为非线性方程组，为方便求解将积分式中的位移应变和应力应变增量关系 线性化，即假设 a e 一( 气+ 磁+ 或) 鲥一( 气+ 磋) 耐 ( 2 2 2 ) a s 一磷- a e 一磷( 气+ 呓) 鲋 ( 2 2 3 ) 则式( 2 2 1 ) 日- i 简化为 ( 砭+ ) 甜一f h l 一e ( 2 2 4 ) 其中 一l ( 气+ 气) t 磷( 气+ 气) d ( 2 2 5 ) 线性化假定可能会引起解的偏移，为避免产生太大的计算误差，通常需要在每一时 问步或载荷增量步内采用牛顿法或修正的牛顿法迭代计算。 2 2 4 接触非线性问题及其求解 接触过程在力学上常常同时涉及三种非线性，即除了大变形引起的材料非线性和几 何非线性以外，还有接触界面的非线性。接触非线性是由边界条件的非线性引起的，主 要包括两个方面：一方面是接触界面的区域大小和相互位置以及接触状态不仅事先都是 未知的，而且是随时间变化的，需要在求解过程中确定；另一方面是接触条件的非线性。 接触条件主要包括：接触物体不可相互侵入；接触力的法向分量只能是压力；以及切向 接触的摩擦条件。由于这些条件是单边性的不等式约束，因而具有强烈的非线性。 接触问题属于不定边界问题，即使是简单的弹性接触问题也具有非线性，其中既有 接触面积变化所产生的非线性以及由接触压力分布变化所产生的非线性，也有由摩擦作 用产生的非线性。对于接触或将要接触的两个物体，其界面接触状态可以分成分离，粘 结接触和滑动接触三种。对于这三种情况，接触界面的位移和力的条件是各不相同的， 实际的接触状态往往在这三种状态间相互转化，导致接触问题的高度非线性。图2 3 表 示两个物体l 和l i 相互接触的情形，通常称物体i 为接触体，物体i i 为目标体。 一1 0 一 东北大学硕士学位论文 第2 章分层扩展的理论基础 图2 3 接触模型不葸图 f i g 2 3c o n t a c tm o d e ls k e t c hm a p 对于接触问题，要求得解析解答是十分困难的，只能采用数值模拟的方法。非线性 有限元法是解决这类问题的有效途径。接触过程通常是依赖于时间，并伴随材料非线性 和几何非线性的演化过程。特别是接触界面的区域和形状以及接触界面上运动学和动力 学的状态也是事先未知的。因此接触问题通常采用增量法求解，将接触条件改写成符合 非线性问题求解的增量迭代形式并引入求解方程。主要方法有：拉格朗日乘子法，罚函 数法，增广拉格朗日乘子法，摄动拉格朗r 乘子法。 将接触面约束条件引入势能泛酣2 9 1 ，则 石一u - w + g ( 2 2 6 ) 式中：u 为应变能，缈为外力功，g 为接触面约束条件对应的约束项。问题的解 相应于泛函的极值条件，即 a 万一6 【厂一6 形+ 6 g 一0 ( 2 2 7 ) 其中 6 u - l ( 6 e ) t o + 1d y ( 2 2 8 ) 6 一l ( 6 h ) t 厂“1 d y + l ( 翻) t 广“d i + ( 6 “) t p i i d v ( 2 2 9 ) 采用拉格朗日乘子法，则 g 一几钉( a ) t g “d r ( 2 3 0 ) 式中 a = ，疋，) t ( 2 3 1 ) g 一 g ：，g ：，g i ) t ( 2 3 2 ) a 为拉格朗日乘子。对式( 2 3 0 ) 求变分 一1 1 东北大学硕士学位论文 第2 章分层扩展的理论基础 6 g = l ( 觑) t g “d f + l ( 川16 9 d f ( 2 3 3 ) 将上式分成两个部分 ( 6 g ) = l ( 刚t g “1d f ( 2 3 4 ) ( 6 g l l ( 6 9 ) t a “1d r ( 2 3 5 ) a 为局部坐标系中接触面上的接触力矢量。从式( 2 3 3 ) 可得 6 【，一6 + ( 6 g ) 。一0 ( 2 3 6 ) 、， ( 6 g ) t o ( 2 3 7 ) 对于粘结接触状态，屯和都是未知的，由式( 2 3 7 ) 补充相应的方程数量。对 于无摩擦的接触情况，由于切向运动不受约束，因而一t o 。对于滑动接触状态， 无论是否有摩擦，都只有一个独立的拉格朗日乘子毛。用拉格朗日乘子法引入接触界面 约束条件可以使约束条件得到精确的满足。其缺点是增加了方程的自由度数，并且求解 方程的系数矩阵中包含零对角元素，给求解带来不便。 采用罚函数法，则 g 。抚( g ) t 人g d r ( 2 3 s ) 式中 a = d i a g ( a 】：，t ，口i ) ( 2 3 9 ) 其中，口：和西为罚系数，为设定常数。则 6 g l ( 6 9 ) t 人g “d f ( 2 柏) 对于无摩擦的接触状态，西一口：一0 。与拉格朗日乘子法比较，罚函数法的优点是 不增加问题的自由度，而且使求解方程的系数矩阵保持正定。缺点是约束条件只能近似 地被满足。增大罚参数人可使计算精度提高，但是接触问题中罚参数a 的大小常常受 到很严格的限制。罚参数越大，显示解法的时间步长的临界值降低得越多。罚参数过大， 则可能使相互接触的两个物体的相对运动发生虚假的反向，从而使解的过程不稳定。 增广拉格朗日乘子法将上述两种方法合成，即 g 2 l ( 口+ 扣) g 竹 ( 2 4 1 ， 相应的一阶变分为 5 g = l ( 6 9 ) t ( 口“g d f + l ( 耐) t g d f ( 2 4 2 ) 东北大学硕士学位论文第2 章分层扩展的理论基础 2 3 各向异性弹性体的本构关系 复合材料即使从宏观上看，也会呈现出明显的非均质各向异性，特别是对纤维增强 层合复合材料结构来说，各向异性的特性更加明显f 3 1 ，3 2 l 。这是复合材料与均质各向同性 金属材料的主要本质差别。 纤维增强层合复合材料单层可作为正交各向异性板，层板沿材料主方向的本构关系 可表示为 s 。& ：墨， s 2 1 $ 2 2s 2 3 岛ls 2s 3 3 o0o 0oo 000 oo0 00 0 ooo s 4 4 00 0 0 0 0 d 1 lb 20 1 3 0 d 2 。观0 岛，d 3 3 0 00 0 巩 00o0 0000 00 o0 00 oo d 5 5 0 0 瓯 ( 2 4 3 ) ( 2 4 4 ) 其中s 和( f ，j = 1 ，2 ，6 为材料主方向) 分别为材料的线性柔度系数和刚 度系数。s 可用工程常数表示为 降】2 1 ，巨 一q 2 墨 一u b | e 1 o o o 0 0 o 、| g b 0 0 0 0 0 o 1 g 3 l 0 o 0 0 o 0 1 g 1 2 ( 2 4 5 ) 用x t ( i = 1 ，2 ，3 ) 来表示坐标x ，y ，z ，即材料主坐标；最表示相应坐标方向的弹 性模量：为应力在f 方向作用时引起歹方向横向应变的泊松比，即。一詈( 仅有q 作 用) ；q 为f j 平面内的剪切模量。由于柔度矩阵的对称性，即岛- s ，可以得出 一1 3 历以以加从以所如幻“彩靠 “如易“如历以历加巩以 吲蚴枷o o o r ：毛 吲枷吲o o o 东北大学硕士学位论文 第2 章分层扩展的理论基础 詈一子 ( i ，i j ，j ，j = 1 ，2 ，3 )( 2 4 6 ) 吃 j 由此可见，式但4 5 ) 只有9 个独立的弹性系数。对于正交各向异性体来说，若坐标 方向与弹性主方向一致，正应力不会引起剪应变，剪应力也不会引起正应变，一平面内 的剪应力只能引起本平面内的剪应变，反之亦然。由于刚度矩阵和柔度矩阵互为逆矩阵， 所以刚度系数口；可由柔度系数& 来确定。 式( 2 4 5 ) 所表示的各向异性体的弹性关系是建立在假定坐标系的方向与弹性体材料 的弹性主方向相一致的基础上。各向异性体最突出的特点就是它的方向性。各向异性体 的弹性系数与坐标的取向有关。在许多实际问题中，所选取的坐标轴的方向并不位于材 料的弹性主方向上，因而必须对式(