（基础数学专业论文）某些全纯函数空间上的广义cesàro算子.pdf

摘要 本文所研究的对象是全纯函数所组成的某些函数空间之间广义c e s a r o 算子 的特性研究工作的主要结果体现在以下几个方面 给定 0 ，1 ) 上的正值连续函数u ，如果存在0sd l 和0 n b o 。，满足 ( p 1 ) 苷尘每在峨1 ) 上单调下降且，l i m 。苷笔朱= o ， 和 ( 局) 若尘每在瓯- ) 上单调上升且，峰荇尘每= o 。， 就称“是一个正规权函数( 简称u 是正规的) ，对复平面c 上的单位圆盘d ，以 h ( d ) 表示d 上全纯函数的全体定义b l o c h 型空间既( d ) 是h ( d ) 中满足 i l y l l 。= s u p w ( z ) | f ( ；) l 。o 的函数的全体；小b l o c h 型空间既，o ( d ) 是日( d ) 中满足 f 量m 1 。( z ) 叭。) f 2o 的函数的全体在n 维复空间中，设b = z c “； 1 ) 是 中的单位球， 船= z c “；i zj = 1 ) 是b 的边界b 上全纯函数的全体记作日( b ) 对，日( b ) ， 如果 i l i t 。= s u p w ( z ) i v f ( z ) i o o ， 则称，属于b l o c h 型空间既( b ) ；如果 h ，m l 。0 ) i v f ( 。) l 。o ， 则称，属于小b 1 。c h 型空间瓯，。( b ) 此处，v ( z ) = ( 菩，瑟) 是，的复梯度 当n = 1 日寸两种定义是一致的 给定d 上的全纯函数g ，以9 为符号的广义c e ! ；打。算子毛是日( d ) 上的线 性算子，其定义为 t g y ( z ) = f ( t ) g ( t ) a t ，e 日( d ) ，z d ( + ) j i i 浙江师范大学硕士论文 它是经典c e s a r o 算子的拓广我们刻画了不同b l o c h 型空间及小b l o c h 型空间之 间算子己的有界性和紧性，在空间类型上扩展了研究范围，推广了这一方面的已 有结果 给定单位球皿上的全纯函数g ，以g 为符号的广义c e s b r o 算子乃定义为 乃，( z ) = z 1 ，( z ) 瓣g ( 缸) 了d t ，日( b ) ，ze b ( ，+ ) 它是广义c e s 矗r o 算子在高维空间c “的拓广当n = 1 时，( + + ) 和( + ) 是一致的 这一算子的研究始于2 0 0 3 年我们研究了算子乃在某些全纯函数空间之间的特 性，包括不同加权b e r g m a n 空间之间，f ，q ，s ) 空间到b i o c h 型空间，日一到混合 模空问及a r o 。到b l o c h 型空间，得到了乃在相应空间上为有界算子和紧算子的 充要条件，加深了人们对广义c e s h r o 算子的认识 类似地，给定g 日( b ) ，定义以g 为符号的另一类广义c e s 打。算子岛为 l g ，( ：) = l g ( 幻) 蹰，( t z ) 了d t ， ，日( b ) ， zeb 我们讨论了不同加权b e r g m a n 空间之间和f ( p ，q ，s ) 空间到b l o c h 型空间的算子 岛为有界算子和紧算子的特征，在算子类型上扩展了研究范围，进行了有意义的 探索 关键词： 全纯函数空间，广义c e s 打。算子，有界性，紧性 中图分类号：0 1 7 4 5 e x t e n d e dc e s i r o o p e r a t o r so nc e r t a i n h o l o m o r p h i cf u n c t i o ns p a c e s a b s t r a c t i nt h i st h e s i sw ed e a lw i t he x t e n d e dc e s 氪r oo p e r a t o r sb e t w e e nc e r t a i ns p a c e so f h o l o m o r p h i cf u n c t i o n s ap o s i t i v ec o n t i n u o u sf u n c t i o n 。o n o ，1 ) i sc a l l e dn o r i n a li ft h e r ea r et h r e e c o n s r a n t 80 j 1a n d0 口 6s u c h 矗a t ( p 1 ) i 尘每诘d e c r e ”；n s 。n 旺- ) a n d l i m 。一若墨告= o ， a n d ( 恳) 若竺每h 协c r e a s i n g 。n 限- ) a n n l i r a 。一若尘知= 。 w ee x t e n di tt odw i t hu ( z ) = u ( i z l ) w ed e n o t edt h eu n i td i s ci nt h ec o m p l e xp l a n e c ，a n dd e n o t eh ( d ) t h ec l a s so fa l lh o l o m o r p h i cf u n c t i o n so nd af u n c t i o n ，日( d ) i ss a i dt ob e l o n gt ot h eb l o c h t y p es p a c e 鼠，( d ) i f l i ，。= s u p w ( z ) f ( z ) l 。， i o a n di ti ss a i dt ob e l o n gt ot h el i t t l eb l o c h t y p es p a c e 瓦oi f i 。l i 一m l 。( 列，。( 2 ) l = 0 l e tb = z c 竹； 1 b et h eo p e nu n i tb a l lo fc n ，a n dl e t 日( b ) b et h ef a m i l yo f a l lh o t o m o r p h i cf u n c t i o n so nb f o r ，j 了( b ) ，w cs a y ，3 v ( b ) p r o v i d e dt h a t n 朋。= s u p u ( z ) l v f ( z ) ， ；器 a n ds a y ，瓦o ( b ) p r o v i d e dt h a t 1 2 m l p ( 。) i v m ) i 2o h e r ev ( 2 ) = ( 若，瑟) i st h ec 。m p l e xg r a d i e n to ff ，w h e n n = 1 ，t h et w ok i n d s o fd e f i n i t i o n sa x ee q u i v a l e n t i i i i v浙江师范大学硕士论文 g i v e nah o l o m o r p h i cf u n c t i o ngo nd ，d e f i n ea ni n t e 昏- a lo p e r a t o r 马o n 日( d ) w i t hs y m b o lg ， 乃f ( z ) ；f ( t ) 9 7 ( t ) d t ，日( d ) ，2 d ( t ) j 0 t h i so p e r a t o ri sc a l l e dt h ee x t e n d e dc e s h r oo p e r a t o r ，i ti sag e n e r a l i z a t i o no ft h e c l a s s i c a lc e s & r oo p e r a t o ri nc o m p l e xp l a n ec w ec h a r a c t e r i z et h eb o u n d e d n e s sa n d c o m p a c t n e s so ft h eo p e r a t o r 乃b e t w e e nt h eb l o c h t y p es p a c e sa sw e l l a st h el i t t l e b l o c h t y p es p a c e s a c c o r d i n gt ot h i s ，w ee n l a r g et h er e s e a r c hf i e l do ff u n c t i o ns p a c e s ， a n dg i v ead e e p e rc l a r i f i c a t i o no ft h ee x t e n d e dc e s h r oo p e r a t o r f o rah o l o m o r p h i cs y m b o lgo nt h eu n i tb a l lb t h ee x t e n d e dc e s & r oo p e r a t o r t go n 日( 皿) i sd e f i n e db y t g f ( z ) ：_ f 1 ( t z f ( t z ) n g ( t 。) 譬，日( b ) ，。b ( + + ) z ) = 。) 等，日( b ) ，。b ( + + ) ，0 o a tt h ec a s eo fn = l ，( + ) i sj u s t ( ) t h cs t u d yo ft h i so p e r a t o rs t a r t e df r o m2 0 0 3 i nt h es e v e r a lc o m p l e xv a r i a b l e sc s k s e ，w cd i s c u s st h co p e r a t o r 乃b e t w e e nc e r t a i n h o l o m o r p h i cf u n c t i o ns p a c e s ，s u c ha sb e t w e e nd i f f e r e n tw e i g h t e db e r g r n a ns p a c e s ，f r o m f ( p ，q ，s ) s p a c et ob l o c h t y p es p a c e ，f r o m 日o os p a c et om i x e dn o r ms p a c ea n df r o m 月。s p a c et ob l o c h - t y p es p a c ei nt h eu n i tb a l l a n do b t a i nt h es u f f i c i e n ta n dn e c e s s a r y c o n d i t i o no f9s u c ht h a t 马i sb o u n d e do rc o m p a c t ，w h i c hi m p r o v e st h eu n d e r s t a n d i n g o ft h ee x t e n d e dc e s a r oo p e r a t o r s i m i l a r l y , f o rg 口( b ) ，w ed e f i n ea n o t h e re x t e n d e dc e s h r oo p e r a t o ro nh ( b ) f o r o w s l 口，( z ) = 1 岔( t z ) 跪，( t 名) 7 d t ， f 日( b ) ， 名b l 口，( z ) = 9 ( t z ) 跪，( t 。) 7 ， 日( b ) ， 2 b ，0 w ec o n s i d e rt h eb o u n d e d n e s sa n dc o m p a c t n e s so fl 口b e t w e e nd i f f e r e n tw e i g h t e db e r g m a n s p a c e sa n df r o mf ( p ，q ，s ) s p a c et ob l o c h t y p es p a c e w h i c he n l a r g e st h er e s e a r c hf i e l d o fo p e r a t o r sa n dc o n t r i b u t e st ot h ee x p l o r a t i o ni nt h ef i e l d k e yw o r d s ：h o l o m o r p h i cf u n c t i o ns p a c e ，e x t e n d e dc e s & r oo p e r a t o r ，b o u n d e d n e s s c o m p a c t n e s s c l c ：0 1 7 4 5 学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得 的研究成果。论文中除了特别加以标注和致谢的地方外，不包含其他人或其他机 构已经发表或撰写过的研究成果。其他同志对本研究的启发和所做的贡献均已在 论文中作了明确的声明并表示了谢意。 研究生签名： 吕子为 学位论文使用授权声明 日期：琊加 本人完全了解浙江师范大学有关傈留、使用学位论文的规定，即：学校有权 保留送交论文的复印件和电子文档，允许论文被查阅和借阅，可阻采用影印、缩 印或扫描等手段保存、汇编学位论文。同意浙江师范大学可以用不同方式在不同 媒体上发表、传播论文的全部或部分内容。保密的学位论文在解密后遵守此协议。 研究生签名；篆寸易 导师签名硼e 口 第一章 内容概要 1 1 引言 复变函数理论自1 9 世纪的三位杰出数学家c a u c h y , w e i e r s t r a s s 和r i e m a n n 奠定基础以来，已有一百多年的历史现在它已经是一门相当成熟的学科，并在数 学和自然科学的多个领域中都有重要的应用，见文献 1 12 0 世纪上半叶，h a r d y , l i t t t e w o o d ，p r i v a l o v 和s z e g o 等数学家将具有某些共同性质的一元全纯函数作为 一个整体来研究，发展成了函数空间的概念，从此金纯函数的研究形成了庞大的 体系，可见 2 】、 3 】和 4 多复变全纯函数理论源于单复变，一个十分自然的想法就是如何将单复变数 的成果推广到多复变数但单复变和多复变全纯函数理论有着本质的差别，比如 r i e m a n n 映射定理在多复变中就不能成立；再如多复变中有h a r t o g s 现象，而这在 单复变中并不会发生经过h a r t o g s ，l e v i ，r e i n h a r d t ，c a f t a n ，以及2 0 世纪中叶华 罗庚，k o h n ，h e n k i n 和h o r m m u d e r 等入的工作，到上世纪7 0 年代多复变全纯函数 理论已经成为内容十分丰富的研究领域，见 5 】5 、 6 】和n 最近的二、三十年来，多复变全纯函数理论与抽象代数、泛函分析，微分方 程和几何拓扑等数学分支紧密结合，强烈地吸引着人们的研究兴趣这其中，对各 类复变全纯函数空间的结构( 比如特征刻画) 以及函数空间上各类算子的研究尤 为活跃，见 8 】和阱 本文中，我们将对由单复变全纯函数所构成的不同b l o c h 型空间之间广义 c e s a r o 算子的有界性和紧性特征进行研究同时，我们将在n 维复单位球上，就 广义c e s 如。算子在某些全纯函数空间之间的有界性和紧性特征进行刻画，包括 日o 。空间、f ( p ，q ，s ) 空间、b l o c h 型空间、加权b e r g m a n 空间和混合模空间 1 2 研究背景与主要结果 给定f 0 ，1 ) 上的正值连续函数u ，如果存在0 冬d 1 和0 口 b 。，满足 ( p 1 ) 苷笔在瓯- ) 上单调下降且，蟀葶笔= 。， 1 2 浙江师范大学硕士论文 和 ( 尼) 若尘每在1 6 , 1 ) 上单调上升且，味 就称u 是一个正规权函数( 简称u 是正规的) 尚= o 。 我们以b 表示c n 中的单位球b 上全纯函数的全体记作h ( b ) b 上的日。 空间为 日。= ，月( b ) ；| | 刘。= s u p i ，( 。) i o o 给定正规权函数v ，令u ( 。) = u ( ) ，其中。b 对z = ( z l ，砘，) ， = ( w 1 ， ”， j c n ，定义c n 上的内积为 = 艺z 面，z 的模为 = i 对，日f b ) ，称v f ( z ) = ( 荔，若) 为，的复梯度定义b 上 的b l o c h 型空间和小b l o c h 型空间分别为 z l ( b ) = ，日( b ) ；i i f l i b 。= ，( o ) i + s u p u 0 ) f v ，0 ) j o 。 和 鼠t o ( b ) = i ，日( b ) ；l i r a lu ( 。) 1 v 化) i = o 卜 显然，在范数”i i 乳下，玩( b ) 成为b a n a c h 空间，且既o ( b ) 是玩( b ) 的闭子空间 特别地，取u ( r ) = ( 1 一r 2 ) o ，则当0 a l 和d = 1 时，耽( b ) 分别为单位球b 上 的l i p s c h i t z 空间和经典b t o c h 空间，见f 1 2 1 和【1 3 j 及它们所附参考文献当n = 1 时，皿上的b l o c h 型空间既( d ) 和小b l o c h 型空间既。o ( d ) 分别为 既( d ) = f 日( d ) ；i i 川。= s u p u ( z ) l 7 ( 。) l 。 和 乩，。( d ) 2i ，日( d ) ；川l i m l u ( z ) i f 协) f = o j ， 给定正规权函数妒和0 p o c ，b 上的加权b e r g m a n 空间躬( 妒) 定义为 嘶，= f e h ( b ) ；l i f l l p , ，= 加列，尚州。，) ； o 。) 其中d v 是b 上的标准体积测度当1 p 。时 a p a ( 妒) 是b a n a c h 空间；当 0 p 1 时，础( 妒) 关于d ( f ，g ) = i i ，一圳；，p 是f 一空间对，日( b ) ，记 | j ，l | ”矿 z 1 嵋c 加，鲁d r ) ， 。 p 。o ， 1 2 研究背景与主要结果 3 和 i l y l i 。t g 5 o 。s u ，p 。lm q ( y ，7 ) 妒( 7 ) 此处 删，r ) = 厶i ，( r 钏坳一。 q 。o ；蚝( 加) _ 彻s u p l 竹) 给定0 p ，q o 。，b 上的混合模空间岛，口( 妒) 是满足i f f l l m ，v o 。的函数，日) 的全体当0 p = q o o 时，h p ，g ( 妒) 就是加权b e r g - m a n 空间艇( 妒) 给定z b ，g ( w ，。) = l o g 蔽缶是b 上以z 为对数奇点的g r e e n 函数，其中 妒。是璐上满足忆( o ) = ：，纯( ：) = 0 和= 妒三r 1 的m 6 b i u s 变换对0 p ，s o 。， 一n 一1 q ，我们称空间f ( p ，q ，s ) 是日) 中满足 | | ，f | ，) = i f ( 哪+ s 触u pj 3i v f ( ”) m 一”) 。矿( w ，。) 如( w ) 。 的函数，的全体f ( p ，q ，s ) 空间是由赵如汉于1 9 9 6 年首先引入的，见 1 4 1 当 p ，q 和s 取特定值时，f 0 ，q ，s ) 分别就是我们常见的h a r d y 空间、b e r g m a n 空 间、空间、b m o a 空间、b e s o v e 空间和口一b l o c h 空间嚣( 1 一r 2 ) 。等当q + ss 一1 时，f ( p ，q ，3 ) 仅包含常值函数所以在往后的讨论中，我们总认为0 p ，s 。 一n 一1 q 一1 本文中，上述各类全纯函数空间统称为研究对象空间此处及往后，我们以 c 记与所讨论的函数无关的正常数，每次出现未必同一表达式a = b 意味着 e 一1 as b c a 本文研究的算子是广义c e s 鱼r o 算予经典的c e s h r o 算子e - j 与三角级数的 c e s b r o 求和有关，见 15 】它是通过全纯函数的t a y l o r 展式来定义的对单位圆盘 d 上的全纯函数，( z ) ，f 可以t a y l o r 展开成，( z ) = 登a 3 2 2 g 】作用在，下的像 j = u 为 ，j、 q 月。卜薹( 南篆钆尸 g ( 1 在h a r d y 空间三p ( d ) 上是有界的，其证明分幂次p 的范围而分别见于翻、f 1 6 】、 1 7 】 和 1 8 1 c 】在加权b e r g m a n 空间a p ( d ) 上也是有界的，但在8 ( d ) 上无界这一 4浙江师范大学硕士论文 论断的证明可见 1 1 】和 1 9 】由初等的幂级数运算可知 洲扣珂巾，( ，。s 吉) 。托 所以c 【1 可以看作是积分算子 , - 0 2 弛) ( 1 。g 击) 7 耐 ( 1 2 1 ) 和向后平移( b a c k w a r ds h i f c ) 算子 ，。丝与趔 的乘积由于向后平移算子在多数全纯函数空间上是保范算子，所以研究c 】在 这些空闻上的特性( 比如有界性和紧性) ，只需研究积分算子( i21 ) 相应的性质 于是，对给定d 上的全纯函数g ，人们很自然地去研究以g 为符号的广义c e s a r o 算子乃，其定义为 ! j ，( z ) = f ( t ) 9 7 ( t ) d t ，日( 贮) ，：d ， ( 1 2 2 ) 诸多学者对此算子进行了研究在 2 0 】中，p o m m e r e n k e 证明马在h 2 ( d ) 上有 界的充要条件是g 为b m o a 函数而在f 2 1 】中，a l e m a n 和s i s k a k i s 将这个结论 推广到l p 。o 的情形最近，a l e m u n 和c i m a 彻底解决了这棒的问题：给定 p ，q ( 0 ，。) ，刻画出g 的特征，使得映射乃：h p ( d ) h q ( d ) 是有界的，见 2 2 】 a l e m a n 和s i s k a k i s 研究了在上：，。( d ) 上马的特性，其中w 是a s 意义下的正规权 在 2 3 】中，对p 1 ，他们得到了使得乃在：，。( d ) 上有界的函数g 的充要条件 最近，王漱石和胡瘴剑就b l o c h 型空问上算子兀的有界性和紧性进行了讨论，见 2 4 j 本文中，我们将讨论t g ：乩( 哟一目。( d ) ( 或乩o ( d ) 一缉( d ) ) 分别为有界 算子和紧算子的特征，此处“，卢为不同的正规权函数 定理a 设。和p 是正规权函数，g h ) 则下列各款条件等价： ( 1 ) 乃( 既( d ) ) l 乳( d ) ； ( 2 ) 乃：鼠，( d ) 一6 0 ( d ) 是有界算子； ( 3 ) 潞p ( 删( z ) 俐恭 o 。 1 2 研究背景与主要结果 进一步，如果马：玩( d ) 一吼( d ) 是有界的，则 i t g l l = s 神u p 俐9 0 ) i 斋 定理b 设u 和p 是正规权函数，g 日( d ) 则下列各款条件等价： ( 1 ) t g ( 现，o ( d ) ) 鼠c o ( d ) ； ( 2 ) d ：既，0 ( d ) 一8 。o ( d ) 是有界算子； ( 3 ) g 吼o ( d ) 且 s u p 俐擘k ) l 0 高 p 时， s u p p ( ：) 豫9 ( 2 ) i ( 1 一i z l 2 ) 1 一型 = 2 t l 时 i i t gj l 2s u p t z ( ：) f 睨9 0 ) j ( 1 一i z l 2 ) 1 2 铲 ( i i ) 当n + 1 + q = p 时， ：u ；b pp ( 。) i 勘( 。) j1 0 9 而i zi p 时， 恐卢洲况g ( z ) f ( 1 一l z 附一半= o ( i i ) 当r t + l + q = p 时， j * 婴。出) 嘞( z ) 1 l o gi _ 三备= 。 定理f 设n + 1 + q p ，p 是正规权函数，g ( b ) 则下列各款条件等价： ( 1 ) 码：f ( p ，口，5 ) 一瓯( b ) 是有界算子； ( 2 ) b ：f ，q ，s ) 一( b ) 是紧算子； ( 3 ) g 玩( b ) 进一步，如果乃：f p ，q ，5 ) 一壤( b ) 有界，则 | | 乃“2i i g g ( 0 ) l l s 。 1 2 研究背景与主要结果 7 定理g 设n + 1 + q p ，肛是正规权函数，g 日( b ) 则下列各款条件等价： ( 1 ) 五：f ( p ，q ，s ) 一召“o ( b ) 是有界算子； ( 2 ) 毛：f p ，g ，5 ) 一召p ，o ( b ) 是紧算子； ( 3 ) g 召。，o ( 皿) ， 此外，我们还考虑了日”空问到混合模空间，日。o 空间到b l o c h 型空间以及 不同加权b e r g m a n 空间之间算子马为有界算子和紧算子的充要条件，得到了相 应的结论，我们的研究推广了i l o 】、【1 1 1 ，( 2 6 】【2 7 】、f 2 8 ) 、f 3 1 ) 、【3 6 ) 和：3 7 j 类似地，给定g 日( b ) ，可以定义以9 为符号的另类广义c e s h r o 算子k 为 l 9 ，( ? ) ：f 19 ( t 2 ) 敬，( 2 ) 譬，日( b ) ，z b ( 1 2 4 ) 9 ，( ? ) = 9 ( t 2 ) 敬，( 2 ) 等， ，丑( b ) ， z b ( ) j 0 f 李在( 3 0 】中研究了单位圆盘上蜀在加权b e r g m a n 空间和口一b l o c h 空闽之间的有 界性和紧性特征，在 3 lj 中得到了使得从f ( p ，q ，s ) 空间到。一b l o c h 空间中的算子 工。为有界算子的函数g 的特征 本文中，我们讨论不同加权b e r g m a n 空间之间和f ( p ，q ，s ) 空间到b l o c h 型空 间的算子l 。的有界性和紧性特征，主要结论如下 定理h 设妒1 ，妒2 是正规权函数，0 p ，q q 时 。即逝鳖二唑譬：i ! 丝塑 ；b妒1 i z j 翟幽坠黑竽塑z 8妒ll o ， 似情赫酢 8浙江师范大学硕士论文 这时 忙洲= 汹列器盎叫冒 定理i设妒l ，妒2 是正规权函数，0 p ，q g 时 鹪绁坠朵掣；。 一1 妒l l oj ，比) 为，咎坠d r ( 。) 。 。8 蜕一( z ) ( 1 一 z 1 ) 同时，我们还得到了使得f ( p ，q ，s ) 到b l o c h 型空间的算子岛为有界算子和 紧算子的函数g 的特征，得到了类似的结论这部分的研究工作不但拓广了算子 的类型，还推广和完善了r a o j 和 3 l j 中的结果 此外，给定日( b ) ，g 是皿上的解析自映射，定义h ( b ) 上的加权复合算子 “c 二为 u c g f ( z ) = ( z ) ，( 9 ( 名) ) ， z 皿 利用类似于研究f 0 ，q ，s ) 空间到b l o c h 型空间的算子的特性的办法，我们解决了 f 白，q ，s ) 到b e r s 型空间( 以及小b e r s 型空间) 的加权复合算子的有界性和紧性问 题，得到了以下结论 定理j 设n + l + q p 时 此时， 此时 s u pv ( z ) i ( z ) l ( 1 一 g ( z ) 1 2 ) 1 一二2 产 k o ( 2 ，2 1 ) 在本章中，凡出现函数h 就如( 2 2 1 ) ，届时不再另作说咀 引理2 2 i t 3 4 】设是正规权函数则h 日( d ) 且 o “2 。蓼乏l “( ”) 九( 7 ) 。s 夕u p 1 t 。( r ) h ( 7 ) 5 m 。 ( 2 2 2 ) 引理2 2 2 矧设u 是正规权函数，则存在0 qs1 使得对任意的。d q 1 雨d t s u p i f ( 圳：，既t 0 ( d ) 朋) = 。川川乩1 ) s u p ( i f ( z ) i ：f 苴0 ( d ) ，f ( o ) = o ，l l 州最。l 斋， 进一步， l m 州乳( - + 高) ，z 吨 引理2 2 3 t 2 4 j 设u 是正规权函数，g 日( 皿) & ，o ( d ) 则 ( 1 ) o = l i m l z l l - u ( 。) j 9 ( 。) 面五f 酬一i u ( 。) 1 9 7 ( z ) j 。c ； ( 2 ) 对任意的0 0 ，使得当u ( z ) l q 7 ( 。) i 6 时，p ( z ) ( ：) 船引高 0 ，使得当弘( z ) 1 9 ( z ) d l 时 俐，。) l 茜 1 ( 2 。锄 若g 瓯，o ( 皿) ，则由引理2 2 3 ， 0 = l i 娶警硝一l p ( z ) 1 9 ( z ) i 0 ，使得当p ( 2 ) 1 ，( z ) 1 5 时， 俐9 k ) f 斋 0 ，存在0 兄 1 一 使当月 1 时，有 俐9 0 m ，斋 s ( 2 2 4 ) 记m = j 斋，令j = 蠢贝。对川s 兄，当“( 。) i 9 7 ( 。) 1 d 时， 俐9 。) f 蔫纠圳s 心) i z r 斋 跏一 ( 2 2 5 ) 由f 2 2 4 ) 和( 2 ，2 ，5 ) 式知，当芦1 9 7 ( z ) 0 ，使得当“( 。) ( z ) l 5 时， 俐9 k ) 0i 蔫 s ( 2 2 - 6 ) ， w l o ， 2 3 主要结论 1 3 由于g & o ( d ) ，故存在0 r l ，使得对rsl z i l 有 p ( z ) ( z ) l j ( 2 2 7 ) 综合( 2 2 6 ) 和( 2 2 7 ) 式可得，当冠 1 时， 俐g 。) f 斋 s 证毕， 引理2 2 7 设w 是正规权函数则既，o ( d ) 中的闭集k 是紧集的充要条件 为k 是有界集且满足 t m l 倒s u p “( 。) i f 。( 2 ) i 2o ( 2 2 8 ) 证明： 证明类似于：3 5 j 中引理1 ，略证 2 3主要结论 定理2 3 1 设u 和肛是正规权函数，g 日( d ) 则下列各款条件等价 ( 1 ) 乃是既( d ) 到吼( d ) 中的算子； ( 2 ) 乃：玩( d ) 一甄( d ) 是有界算子； ( 3 1s 础u p ( 。) l g ( 玑月“而d t 进一步。如果马：鼠，( d ) 一g 。( d ) 是有界的，则 剐- - s 锄u p 俐，o ) i 0 ”斋：d u l j 证明： ( 1 ) ( 2 ) 设 厶 箍i 玩( d ) ，乳( 蚴，f ( d ) 并且满足 占l f ，n 一， 鼠20 和甚jj 厶一f i 乩= 0 则当n 一时， l a ( o ) 一，( o ) i + s u pr a ( z ) 厶( z ) 一，4 ( z ) i o ； ；d l f ( o ) i + s u p l l ( z ) l f ( z ) g ( z ) 一f 。0 ) i - 0 1d 浙江师范大学硬士论文 ：二一一 所以 厶( o ) 一，( o ) 厶( ：) 在d 上肉闭一致收敛于，( ：) ， ( 2 3 1 ) 并且对任惹的z d ， f ( o ) ；o ， ( 。) 9 7 ( z ) 一，7 ( = ) ( 2 32 ) 由( 2 3 1 ) 式知，对任意的z d ，有 ( z ) 一，( 。) m 一。) 所以 l i m ( z ) 9 7 ( z ) = ( z ) 9 7 ( z ) ，z 皿 ( 2 3 3 ) 结合( 2 3 和( 2 ，3 3 ) 式，我们有，( ：) 9 7 ( 。) ；f ( 。) 因此 f ( z ) = z 。f k ) 武= z 。，( ( ) 武= 马，( 这样，矗：乳( d ) 。毋。( d ) 是一闭算子由闭图象定理+ 马：( d ) 一瓯( d ) 是有界 的 ( 2 ) 兮( 3 ) 显然，9 ( z ) = 9 ( o ) + 后9 ( ) 武；9 ( o ) + 蜀( 1 ) ( z ) 故由( 2 ) ，g 耳t ( d ) _ 另一方面，由引理2 2 2 ，存在0 ( q 曼l ，使得对任意的：d g 丽d t _ o n = s u p l t t g f l i s ，, ：，乳( d ) ，慨l s u p , “( z ) l l ( z ) l l g ( z ) i = ，g u ( d 圳州也1 ) 口俐9 i 丽d t ，。d ( 2 3 4 ) 于是 掣i 9 7 l o1 斋 。o o w 、。， ( 3 ) = 争( 1 ) 设，玩( d ) 令 a = 掣i f o 高 o 使得 s u p 舻( 。) 1 9 7 ( z ) isb 。o ：d 2 3 主要结论1 5 结合( 2 3 5 ) 式我们有 弘( 2 ) l ( 马，) ( z ) i = p ( ：) l ，( z ) l i ，( ：) sp ( z ) i g ( z ) l l f ( z ) 一f ( o ) l + z ( z ) l g ( z ) l l f ( o ) l 兰绯o ) 防( 翻出 + 小) ( 圳邶) j 肛( z ) 叭z ) l i f l l & f o l “丽1 0 出+ 卢( 砒g ( z ) 叭。) u l o a l l fl h 钆中b i f ( o ) i e f 川乩- 进一步，对，玩( d ) ，由引理2 2 2 知 乃州乩= 由( 2 3 4 ) 和上式得 证毕 d t ) 丽1 c i f l p 6 。s 卿u p 俐9 k ) f 0 蒜z d w l o ， = 蔷俐夕7 j f l 丽d t o：d， ul j 定理2 3 2 设u 和肛是正规权函数，9 日( d ) 则下列各款条件等价： ( 1 ) o 是瓦o ( d ) 到瓯o ( d ) 中的算子； ( 2 ) 乃：既，o ( d ) 一吼，o ( d ) 是有界算子； ( 3 ) 9 1 3 。o ) ，且 s 锄u p 俐g o ) f 蔫 。2 d0“k j 证明： 类似于定理2 3 1 的证明可得( 1 ) ( 2 ) 和( 2 ) ( 3 ) 现证( 3 ) ( 1 ) 设 ，乳o ( d ) 我们只需证明乃，瓯，o ( d ) ，记 肚s 娜u p 删g k ) ij 高 0 ，由于f 既o ( d ) ，故存在0 r 0 1 ，当r 0 1 时， u ( z ) ，( z ) l 云r ( 2 3 6 ) 对r 0 i z l l ，令j = 身2 ，则由( 2 3 6 ) 式知 i m ，一似，i = f z f ( t z ) d t j f ( t z ) l d t z i 刍z “丽d t 汜。z ， 记b = s u pj ，( ：) f ，由于g 吼，o ) ，故存在r i ( r o ，1 ) ，使得当7 i t z l 1 时， p ( 。) j g ( 。) l 疠 综合上式和( 2 3 7 ) 式，对7 l l ，有 p ( = ) j ( 乃，) 7 ( z ) f = ( z ) i ，( 。) g 0 ) 4 g ( z ) l g ( z ) l l f ( z ) 一，( o ) l + ( z ) j 9 7 ( z ) l l f ( 2 ) 比) ( 圳刍f 雨d t + 胙7 ，j a 云+ 右b 所以乃f 瓯，o ( d ) 证毕 根据定理2 3 ，1 和定理2 3 2 ，有下面推论： 推论2 3 1 设u 和p 是正规权函数，g 日( d ) 则乃：既o ( d ) 一吼o ( d ) 是 有界算子的充要条件是g 既，o ( d ) 并且乃：瓯( d ) 一吼( 功是有界的 下面，我们刻画算子死在b l o c h 型空间及小b l o c h 型空间之间的紧性 定理2 3 3设u 和灿是正规权函数，g 日( d ) 则下列各款条件等价： ( 1 j 五：n ( d ) 一日“o ( d ) 是紧算子； ( 2 ) 马：既o ( d ) 一b 肿) 是紧算子； 二骂一肛( z ) 1 9 7 ( 。)