（应用数学专业论文）单位球上的径向算子与berezin变换.pdf

中文摘要 本文主要研究在单位球上，b e r g m a n 空间上的算子的紧性和其对应的b e r e z i n 变 换在单位球的边界消没之间的关系本文对径向算子给定一些特殊条件，证明在这 些条件下算子是紧算子与其所对应的b e r e z i n 变换在单位球的边界消没是等价的，进 一步研究一类特殊的径向算子，即记号是径向的t o e p l i t z 算子 全文共分为四章来详细论述上述问题 第一章为前言，主要介绍所研究问题的一些背景，以及本文所要研究的问题 第二章主要列出了一些相关定义和基本定理在这些知识的基础上，给出单位 球上的径向算子的定义并且给出关于径向算子的一些引理及证明，以便为本文主 要结果的证明提供理论依据 第三章给出了单位球上，b e r g m a n 空间上的有界径向算子a 是紧算子等价于其 对应的b e r e z i n 变换在单位球的边界消没的充要条件并且根据此定理找出了另一 类满足这一等价性的t o e p l i t z 算子 第四章为结束语，总结全文的工作 关键词：t o e p l i t z 算子；b e r g m a n 空间；径向算子；b e r e z i n 变换；紧的；有界的；单 位球 a b s tr a c t i nt h i sp a p e r ，w ei n v e s t i g a t et h ec o n n e c t i o nb e t w e e nc o m p a c t n e s so fo p e r a t o r so n t h eb e r g m a ns p a c ea n dt h eb o u n d a r yb e h a v i o u ro ft h ec o r r e s p o n d i n gb e r e z i nt r a n s - f o r m w ep r o v et h a tf o rac l a s so fo p e r a t o r st h a tw ec a l lr a d i a lo p e r a t o r s ，a no s c i l l a t i o n c r i t e r i o na n dd i a g o n a la r es u f f i c i e n tc o n d i t i o n su n d e rw h i c ht h ec o m p a c t n e s so fa no p - e r a t o ri se q u i v a l e n tt ot h ev a n i s h i n go ft h eb e r e z i nt r a n s f o r mo nt h eu n i ts p h e r e w e f u r t h e rs t u d yas p e c i a lc l a s so fr a d i a lo p e r a t o r s ，t h a ti s ，t o e p l i t zo p e r a t o r sw i t har a d i a l l 1 ( b n ) s y m b 0 1 t h ep a p e ri sm a i n l yd i v i d e di n t of o u rc h a p t e r s t h ef i r s ts e c t i o ni st h ei n t r o d u c t i o no ft h ew h o l ep a p e r w et a l ka b o u tt h eb a c k - g r o u n do ft h i sp a p e r ，a n dm a k ep l a n sf o rt h er e s e a r c ho ft h ep r o b l e m t h en e x ts e c t i o nc o n s i s t so fd e f i n i t i o n sa n df u n d a m e n t a lt h e o r e m s w es t a t ead e f - i n i t i o na n ds o m el e m m a so i lr a d i a lb o u n d e do p e r a t o r sf o rt h ep r o o fo fm a i nr e s u l t s t h et h i r ds e c t i o nw ep r e s e n tan e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tf o rt h er a d i a lb o u n d e d o p e r a t o ra t ob ec o m p a c to nt h eb e r g m a ns p a c ei nt h eu n i tb a l li nt e r m so ft h eb e r e z i n t r a n s f o r ma p p r o a c hf o ra ，a n da l s od e t e r m i n eaf a m i l yo fo p e r a t o r sw h i c hs a t i s f yt h e c o n c l u s i o n a tl a s t w es u m m a r i z et h er e s u l t so ft h ew h o l ep a p e r k e yw o r d s ：t o e p l i t zo p e r a t o r ；b e r g m a ns p a c e ；r a d i a lo p e r a t o r ；b e r e z i nt r a n s f o r m ； c o m p a c t ；b o u n d e d ；u n i tb a l l 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作和取得的 研究成果，除了文中特别加以标注和致谢之处外，论文中不包含其他人已经发表 或撰写过的研究成果，也不包含为获得墨鲞盘堂或其他教育机构的学位或证 书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中 作了明确的说明并表示了谢意。 学位论文作者签名：肌、印埒签字日期： 即谚年多月) 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解苤鲞盘鲎有关保留、使用学位论文的规定。 特授权墨鲞盘堂可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检 索，并采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编以供查阅和借阅。同意学校 向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权说明) 学位论文作者签名： 舳、矽确 签字日期：矽穆年多月力日 导师签名： 阅嘶 签；日期硼年衫月易日 第一章前言 绎 第一章前言 要想获得真理的知识，唯有两件武器，那就是清晰的知觉和严格的演 笛卡尔( d e s c a r t e s l 所谓算子就是一种映射一方面，与线性泛函一样，赋范线性空间上的 线性算子( 线性泛函是特殊的情形) 也是泛函分析研究的基本对象另 一方面，运算永远是数学研究的重要对象，线性算子的理论将微分、积分 等在近代学中最为基本的运算手段，抽象为建立在空间上的映射关系，并 加以统一处理 对最基本、最简单的数学结构的感悟与理解是学会数学、学懂数学 最为关键的一步线性算子理论是深刻反应许多数学问题本质的数学分 支，有着十分广泛的应用背景，同时她可以用十分抽象的数学语言来加以 概括和描述 线性算子的理论不仅是学习数学学科本身的关键，而且为其他学科 的学习和研究提供了简便的方法和重要的工具 例如，在现代控制系统中，系统本身由一算子来描述，这个算子把输入 信号p ( ) 转化成输出信号秒( t ) ：耖= 邓 在许多问题中，我们常常把所讨论的算子进行”线性化”，以达到简 化问题而使问题更易于解决的目的，例如：弹性细杆在轴向压力下的变化 被描述为一个二阶线性常微分方程 挈+ a s i n 妒：0 n - s 其中妒是x 轴正向与弯曲杆的切线之间的夹角，s 表示弯曲杆的弧长为了研 究方便，常常将这个方程线性化： 掣+ 、：0 a v万一十 2 n 8 对于其他更一般的问题也常常这样处理因此，线性算子的理论就成为现 代控制理论、物理以及其他学科领域中所使用的重要工具 函数空间上的算子理论，是算子理论中十分活跃，并引起广泛关注的 1 第一章前言 分支之一这是因为算子理论中许多深层次的问题都可以模型化为具体的 函数空间上的，由具有某种特殊性质的函数所诱导的算子的相应问题。人 们通过对这些具体”算子”的研究来揭示”抽象”算子的内在性质确 切地说，就是利用诱导出算子的那个函数的分析性质来刻画该算子在算 子理论意义下的性质解析函数空间上的算子理论的研究，是近几十年来 算子理论研究的成功例子之，特别是在b e r g m a n 空间上的若干类型算子 的讨论在近二十年来十分活跃，并产生了一些新的工具，获得了许多深刻 的结果我之所以选择”线性算子的紧性与b e r e z i n 变换在单位球的边界消 没等价的充要条件”作为研究生毕业论文的课题，就是因为：一方面，这一 问题的研究需要运用泛函分析、函数论、算子理论的相关知识，这就使 我阅读了大量的文献资料，从而对夯实知识基础，培养我的学习、科研能 力大有益处；另一方面，通过课题的研究，可以了解当前国际上的研究前沿 由于任意一个有界线性算子a 三：是由它的b e r e z i n 变换囊唯一确定 的，因此可以通过b e r e z i n 变换a 来研究算子a 的性质定义： 毋= a i a 工：，a 是紧算子营l i ma ( z ) = o ) a x l e r 和z h e n g 【3 】证明了t o e p l i t z 算子的乘积的有限和属于秽，其中t o e p l i t z 算 子的记号是有界的但是【1 6 】中给出的两个例子说明了任意单一的有 界t o e p l i t z 算子巧并不一定属于移对于t o e p l i t z 算子r ，在什么条件下属于秽这一 问题，许多算子理论和全纯空问理论方面的数学研究者研究了很多年，并 且得出了很多重要的结论和方法以下列举在单位圆盘上对t o e p l i t z 算子 的记号进行限定从得到t f z 9 的一些结论 ( i ) ，是有界的，正的，那么t s 猡( 参见 3 ，1 0 】) ( i i ) ，是有界的，径向的，那么t i 椤( 参见1 8 】) ( i i i ) ，关于伪双曲度量是一致连续的，那么t s 秽( 参见 1 3 】) ( i v ) ，是径向的，巧是有界的并且对于0 r l ，( r ) 一击f ，( s ) s d ( s ) 是 有界的，那么t s 秽( 参见【1 6 】) 以上所有的结论均是在单位圆盘上成立的参考文章 1 6 】，采用相似的 思维方式，本文研究了单位球上的t o e p l i t z 算子及一般有界径向算予的紧 性与它们所对应的b e r e z i n 变换在单位球的边界消没之间的关系，从而找出 了属于毋另一类算子在证明过程中，我们采用了不同的方法和一些复杂的 2 第一章前言 计算技巧许多学者一直以来致力于研究记号为径向函数，全纯函数空间 上的t o e p l i t z 算子的有界性、紧性和t o e p l i t z 算子的一些代数性质，例如，记号 为径向函数的两个t o e p l i t z 算子的零乘积性，t o e p l i t z 算子的交换性，并取得 的重大成果有兴趣的读者可以参考【1 - 6 ，9 ，1 1 ，1 4 ，1 5 ，1 8 】 3 第二章径向算子的定义及引理 第二章径向算子的定义及引理 本章第一节提供t o e p l i t z 算子理论和b e r e z i n 变换的一般性定义和结 果第二节主要在第一节的基础上给出径向函数，径向算子的定义和关于 径向算子的一些引理证明了： a 是b e r g m a n 空间：上的有界径向算子， e a ( z ) = ( ! 竺 羞兰导1 卫) 考z q = 6 a z a e 口) 是b e r g m a n 空间l ：一组的标准正交基 当q p 时， = 0 ， 当o t = p 时，记。口= 显然，有界径向算子a 是对角算子， e d ) 是算子a 的对角线元素 本章为本文主要定理的研究做好了充足的准备 2 1 基本定义和基本理论 在本节中，我们首先介绍一下本文中涉及到的一些基本概念和定理 定义2 1设d 是赋范空间x 的子集，如果d 的任意一个无穷子集必包 含一个收敛子列，则称d 是列紧的若这个子列收敛到d 中的点，则称d 是自 列紧的 定义2 2在拓扑空间x 中，集合d 称为是紧的，如果x 中每个覆盖d 的开 集族中存在有穷个开集可以覆盖d 定义2 3 x ，y 是巴拿赫空间，t ：x 一】，是线性算子，如果对】，中的任意 有界子集d ，t 关于d 的值域五两是紧的，则称t 是一个紧线性算子，或者叫做 全连续算子 定理2 1设日是h i l b e r t 空间，t 是日上的有界线性算子，t 是紧的的充要 条件是：如果z 。弱收敛n o ，则砌n 按范数收敛到零即死n _ 0 ，( n o 。) 4 第二章径向算子的定义及引理 定义2 4d v 是单位球玩上的规范化的勒贝格测度，v ( 风) = 1 把单位 球玩上的满足 i f ( z ) t 2 d r ( z ) 。 j b n 的函数，( z ) 的全体记作五2 ( 玩，d r ) 通常定义范数 例i ：( ，( z ) 1 2 幽( z ) ) ，( ，l 2 ( 晶，如) ) jb ” 则l 2 ( 玩，d r ) 是巴拿赫空间定义巴拿赫空间l 2 ( 玩，d v ) 的内积 ：对于任 意的，g l 2 ( b n ) ， = f ( z ) g ( z ) d v ( z ) ， b 。 定义2 5 定义b e r g m a n 空间l 2 ： l ：= ，i ，是鼠上的全纯函数，并且，l 2 ( 玩，咖) 】l 定义2 6 如果函数，是豌上函数，且 卅l i m l m ) = o 则称函数，在单位球的边界消没 定义2 7存在唯一函数三：使得 ，( 叫) = = f ( z ) k w ( z ) d v ( z ) ，f 三： jb 。 我们称k w ( z ) 为再生核函数，又可以记作g ( z ，加) 定义2 8定义投影算子p ：l 2 ( 玩，咖) 一： p f ( z ) = g ( z ，w ) y ( w ) d v ( w ) ，b 。 定义2 9 设妒l o o ( 玩) ，定义巧：l ：一l ： 死( ，) = p ( q o f ) ，三： 5 第二章径向算子的定义及引理 显然，当，l o o ( 风) 时，t o e p i t z 算子巧是有界的，当，l 1 ( 风) 时，t o e p i t z 算 子巧并不一定是有界的 定义2 1 0 如果a 三：是有界线性算子，定义： a ( z ) = ，名b n 其中 是：的内积，并且是：中的规范赋值函数： 姒咖湍= 赫 使得i i 也l i = 1 我们称a ( 名) 为a 的b e r e z i n 变换 显然，b e r e z i n 变换是有界函数且l ：上的任意有界线性算子都是由其所 对应的b e r e z i n 变换唯一确定的 我们记i s l = 0 1 1 + + q n ，a ! = a 11 口佗! ，其中q = ( o i l ，a n ) 对于z = ( z l ，) g 和复指标q = ( a l ，a 九) ，令z 口= z 1 篇n 引理2 1 几a 1 2 d a = 踹 岛 引理的详细证明参见 1 9 】 “加( 警) 5 舡址a 其中，口是复指标，e 口( z ) 是加权b e r g - m a n 空i l l 2 的一组标准正交基 引理2 2赋值函数k ：能用标准正交基的和表示，即 k ( 协) = ( 1 一i z l 2 ) 孚瓦i 万e 口( 伽) ，w b n 6 第二章径向算子的定义及引理 b e r g m a n 空间上有界线性算于的b e r e z i n 变换司以表不成： a ( z ) = ( a k z ，也) = 厶。a k ：( 伽) 丽d v ( 加) = 厶。( a ( 1 制) 孚e 口一e a ( z ) e 小) ) ( 埘) 孚驯z ) 丽巾) = 厶。1 - 计1 毛羽e p ( z ) a e a ( 伽) 而酗( 伽) ( 2 1 ) = ( 1 一i z l 2 ) 1 丽e 卢( 名) 厶。a e a ( ”) i 丽如( 伽) ：( 1 一i z l 2 ) n + 1 b o b 卢( a e a , e b ) - z p 对b e r e z i n 变换的性质有兴趣的读者可以参考 4 ，6 ，1 3 ，l s 2 2径向算子的定义及引理 定义2 1 1( 1 ) 如果，是l 1 ( 玩) 中的函数，函数r a d ( f ) 定义为 ， t a d ( ，) = ，( i z t ) d a ( ) js n 我们称r a d ( f ) 为，的径向如果，等于，的径向，我们说，是径向的 ( 2 ) 令u = u ( n ) 是h i l b e r t 空间c 他上所有酉算子组成的集合这些线性算 子u 是内积不变的： = 其中z ，w c n ，u u 显然u 是o ( 2 n ) 的紧子集对于l ：上的有界线性算子a ，定 义 ， r a d ( a ) = 瞄a 场d u ， ，u 其中u u 是酉矩阵，d u 是h 獬测度，场是酉算子，满足：对于，l ：和z b ”，( 场，) ( z ) = 厂( z u 圩) 我们说算子a 是径向的，如果a = r a d ( a ) ( r a d ( a ) ，夕) = 厶。r a d ( a ) f ( w ) 一g ( w ) d v ( 叫) = 厶。( l 盼a 场，( w ) d u ) g ( w ) d ( 叫) = l d u 厶。v 孑a v u f ( 伽) 9 ( w ) d v ( 叫) = l ( v 孑a v u f ，g ) d u 7 第二章径向算子的定义及引理 我们首先介绍k e h ez h u 尸, 经在【1 8 】中证明了的一个引理 引理2 3 ( 推论1 3 1 0 ，【1 8 ) 假设 e n 和 是日中的正交集，并且 k ) 是一 趋于零的复数列如果定义在日上的线性算子t 满足 o o t x = k ( 叩n ) o n ，z h ， ，扎= l 那么t 是紧的 下面的定理是t a u b e r i a nt h e o r e mo fh a r d y - l i t t l e w o o d 的应用，关于定理的 证明，感兴趣的读者可以参考【7 】或者 8 】 引理2 4 假设0 v ， o 南) 是一复数列，满足： s u pi a a ( k + 1 ) 口一1 将径向算子a 的紧性 与b e r e z i n 变换在单位球的边界消没之间的关系转化为： 耷什么条件下。 i i i l ( 1 一i z l 2 ) “6 乏o a i 1 2 = o 能够推出。珏_ o ，n _ c o ? 。l 一、 7 口 最后，根据l i t t l e w o o d 定理，s t i r l i n g 公式，通过一系列运算技巧和构造方 法，对一般有界径向算子a 的对角线元素和k ( a 一a k - 1 ) 进行限定，从而得出 径向算子a 的紧性与b e r e z i n 变换在单位球的边界消没等价的充要条件，并 加以证明 我们已经知道，有界，巧一定有界但是，l 1 ( 既) 时，巧并不一定有界如 果厂是有界且径向的，t s 秽这一结论已经得到证明那么，在，l 1 ( 玩) 且，是 径向的情况下，t i 移的充要条件又是什么呢? 在本章按照这一思路给出了相关定理和证明 3 1 一般径向算子的紧性- 与b e r e z i n 变换在单位球的边界消没等价的 充要条件 正交基 e a ) 是由单项式 ) 构成的，但是 严) 是无序的，从而正交基 e a 也 没有明显的顺序，为了方便起见，需要对正交基 e a ) 进行排序，我们可以先 通过复指标的排序给出单项式严的一个排序原则。如下： 当i a i i 3 i 时，规定a p ； 当1 口i = 俐时，如果存在一个j o ，对任意的j ，我 们规定a 3 例如，假设n ：3 ，按照上面的原则对单项式【z n ) 进行排序后得到 1 ，z 1 ，z 2 ，z 3 ，z i ，z l z 2 ，z l z 3 ，兹，z 2 2 3 ，苟， nnn 第三章径向算子的紧性与b e r e z i n 变换在单位球的边界消没等价的充要条件 给 e n ) 排序后，就得到了序列 n | | c ) ，其中= ( a e 七，e 七) 特别的，如果n d 仅仅 依赖于h = 七，那么我们说a k = a a 如果无特殊说明，在以下内容中所提到 的序列 o 知) 就是将o a = ( a e a ，e q ) 进行排序后所得到的序列 引理3 1 如果a 是有界径向算子且 n | | c 】，是a 的对角线元素那么a 是紧 的当且仅当1 i ma 惫= 0 ，c + o 。 证明 假设a 是紧的显然 e 屉) 弱收敛于0 ，那么 i a e k i _ 0 ，k _ 因此，当七一 。时。 i a k i = i ( a e k ，吼) i i i a e k l e 詹i i = i i a e k l i _ 0 从而l i ma 七= 0 七o 。 反之，假设，l i r aa k = 0 e 七) 是标准正交基，那么对任意的z 三：，都有z = 尤 o oo 。 z ，e 靶) e 是。从而a z = ( a x ，) e 又因为a 是线性有界的，所以 k = lk - - - - 1 ( a x ，e k ) = af，曼(z，em)em)，ek、= l o 。，那么 i m 彳( z ) = o 当且仅当a 是 l 引_ 1 一 紧的。( i e a 秽) 证明a 的有界性能够推出 s u p l a 口l = s u p i ( a e 口，e 口) lsi i a f i 1 ) o 使得 s u 七p 抬 c s u p ( 1 譬紫i + l 揣卜i ) 00 j 。一 j = o 又因为e 嘭= 书牟湍。南一n o ，再次应用s t i r l i n g 公式7 - ( n + 七+ 1 ) k ! 一( 尼+ 1 ) 竹，得，l i mo 惫= ，= l jk + o 。 3 2 径向t 鞋q t o e p l i t z 算子的紧性与b e r e z i n 变换在单位球的边界消没等 价的充要条件 引理3 2 如果，是径向函数，那么o n = ( t f e 口，e 口) 仅仅依赖于川 证明 ( 巧e 口，e a ) = ( 厂e n ) ，e a ) = 厶。( f b f ( 让) e a ( 札) k ( 叫，u ) 如( 钆) ) 云确0 ) = k ，( u ) e a ( u ) d v ( u ) f s g ik ( 伽，让) i 而d v ( 叫) = f b nf ( u ) e n ( u ) d v ( 乱) 厶。k ( u ，w ) e 口( w ) d v ( w ) = 厶。，( u ) e a ( u ) i 而如( u ) = k ，( z ) 嘴川2 d v ( z ) ( 3 6 ) = 掣2 n 詹r 2 n - l d r 氏，( r 毒) i ( r f ) a 1 2d a ( 毒) = 掣2 nf 0 1r 2 n + 2 a | _ 1 f ( 7 ) d r 氏删2 d a ( 毒) = 掣2 n 踹詹r 2 n + 2 卅i1 ，( r ) d r = 2 ( n + i q i ) 詹r 2 n + 2 n i 一1 ，( r ) d r 那么o n = ( 巧e 口，e q ) 仅仅依赖于l a i 口 1 4 第三章径向算子的紧性与b e r e z i n 变换在单位球的边界消没等价的充要条件 若，l 1 ( 玩) ，令厂( z ) = 厶。，( 伽) 恢( 加) 1 2d 口( 伽) ，那么 巧( z ) = ( 巧也，k z ) = ( p ( f k 。) ，k z ) = k ( f b = f ( 钍) 七：( 乱) k ( 伽，u ) d 秒( 钆) ) 丽幽( 叫) = kf ( u ) k ：( u ) 如( u ) kk ( 硼，u ) 瓣( 加) = k f ( u ) k 。( u ) k z ( u ) d v ( 仳) = 厂( z ) 引理3 3 如果，是径向函数，那么巧也是径向的 证明 如果，是径向的，并且u 是任意的酉矩阵，那么f ( z ) = f ( z v ) 对于v z b n 我们有 r a d ( t f ) ( z ) = ( r a d ( t i ) 七z ，k z ) = l ( 咐巧v u k z ，k z ) d u = l ( t i w k 。，w k z ) d u = ld u 厶。t s v u k ：( ( ) 场也( ( ) d y ( ( ) = ld u 厶。( kf ( w ) y u k 。( 叫) k ( ( ，w ) d v ( w ) ) v u k z ( ) d y ( ( ) = 。觇b 、 = 。d u b 、f = l u d ul b 。f = l u d ul b n f ) 场也( 训) y u k 。( w ) d v ( w ) ) l k 。( w u 日) 1 2 d v ( w ) ) d 驯等晶d v ( w ) u ) 凼耥d v ( w ) = l d u f b n ，( 伽) i k z ( 叫) 1 2d v ( w ) = f ( z ) = t sz ) 因l t 七r a d ( t f ) = 那么巧是径向的 口 根据定理3 1 ，引理3 2 及引理3 3 ，不难得到下面的推论 推论3 1 如果，是l 1 ( 玩) 中的径向函数，乃是有界算子且s u p 引奄( 。知一a 豇一1 ) i 】 0 0 ，那么巧是紧的当且仅当l i m f ( r ) = i mf ( z ) = 0 。 r 一1 一l 圳_ 1 1 5 第三章径向算子的紧性与b e r e z i n 变换在单位球的边界消没等价的充要条件 定理3 2 假设，是l 1 ( b n ) 中的径向函数且巧是l 2 j ：有界算子，如果对 于任意的o r 1 , f 一击ff ( s ) s d ( s ) 是有界的，那么巧是紧的，当且仅 当1 i 翠，( r ) = 0 r l 一 证明 令= ，根据( 3 6 ) 和引理3 2 得 ，1 ，i l n 惫= o n = 2 ( n + i a i ) r 2 n + 2 1 a i 一1 ，( r ) d r = 2 ( 亿+ 七) r 2 n + 2 七一1 ，( r ) d r ( 3 7 ) ，0，0 因此 k ( a k o 七一1 ) ，= 2 k ( n + 七) 詹r 2 n + 2 k - 3 f ( r ) ( r 2 1 ) d 7 + 2 知詹r 2 n + 2 七一3 ，( r ) d r ( 3 8 ) 根据( 3 7 ) 和( 3 1 ) ，显然 s u l i c pi i i i = s u p2庇r2卅23巾)dr=su七p志ik j 0 i g 。m i o o ( 3 9 ) l i c七t 6 十 一上 并且有 k 2 竺茹羔痞= 竺呈1 壶乞i s ：p 7 e 3 加， + 2 七( 礼+ 七) 詹r 2 n + 2 七一3 击( f ，( s ) s d s ) ( 7 _ 2 一1 ) d r 、 因为i ，( r ) 一击f ，( s ) s d ( s ) l o 。，所以存在c 1 使得 s u p1 2 k ( n + 七) 詹r 2 n + 2 k - 3 ( ，( 7 - ) 一暑孑ff ( s ) s d s ) ( r 2 一1 ) d r l ! s ；研1 2 惫( 铭+ 妫詹r 。扎+ 2 k - 3 ( r 2 _ 1 ) d r i ：c 。8 u p 而b 三。 。j d 令f ，( s ) s d s = g ( r ) ，那么夕7 ( 7 ) = 一r f ( r ) 及夕( 1 ) = o 因此 2 七( 卅七) 詹r 2 7 2 3 击( f ，( s ) s d s 胪_ 1 p ( 3 1 2 ) = 一2 k ( 佗+ 七) 詹r 2 n + 2 k - 2 9 ( r ) d r 一2 kn + 忌) 詹r 2 n + 2 k - - 3 9 ( r ) d r 、 通过计算得到 一2 k ( 佗+ 忌) 詹r 2 n + 2 k - 3 9 ( r ) d r = 瓣- 2 k ( n + k ) 詹g ( r ) d r 2 叶2 枉2 = 制1 9 ( r ) r 2 n + 2 肛2 阽+ 詹厂( r ) r 2 n + 2 k - l d r i = 糊茄辆 = 丙甬- 面k o 七一o 1 6 第三章径向算子的紧性与b e r e z i n 变换在单位球的边界消没等价的充要条件 再根据( 3 1 ) ，得 同理 另一方面 s u p 卜c 咒州z j 一恸。3 卅，d r l - 2 n 2 + k ( 2 n 七+ 丁k ) 詹， ( r ) r 2 卅2 七出 ( r ) r 2 n + 2 知一1 d r = 裂+ 蝴2 k - 1 2 ( n + k k ) = 瓣- k a k 2 西苒一一2 孬苒蕊 那么存在q ，仍使得 一2 k ( 佗+ 七) 詹r 2 n + 2 k - 2 9 ( r ) d r 刿2 n + 2 k - 1 詹j f ( r ) r 2 n 栅+ 1 d 7 - 一- 2 k ( n + k ) o k + 1 2 丽2 而巧本莉 ( 3 。1 3 ) 一2 七( 礼+ 七) ， 。1r 2 n + 2 k - - 2 9 ( r ) 打 m a x q i 。小岛l n 抖- b q i + qi 。七十- 再根据( 3 。1 ) 得 8 u 七p 卜( 佗+ 七) z 0 1r 2 n + 2 k - 2 9 ( 州r i 妯u 知p ( qi n 卅q i 。m i ) ( 3 1 4 ) 联系( 3 1 2 ) ，( 3 1 3 ) 及( 3 1 4 ) ，我们知道 s u 。p1 2 k ( 礼+ k ) i 0 1r 2 n + 2 k - 3 1 1 - - r ，( s ) s d s ) ( r 2 1 ) d r l s u 七pj 一2 七( 扎+ 后) 詹r 2 n + 2 k - 2 9 ( r ) 打l + s u 。pi 一2 七+ 惫) 詹r 2 n + 2 k - 3 9 ( r ) 办i 通过( 3 1 0 ) ，( 3 1 1 ) 及( 3 1 5 ) ，得至u s u pl j i 。因此 k s u pi k ( a k a k 一1 ) l s u pi i i + s u pi i i i o o kkk 因为，是径向的且巧是有界算子，再根据( 3 5 ) 及推论8 知巧是紧的，当且仅当 口 l i mf ( 7 ) = 0 r l 一 1 7 第四章结束语 第四章结束语 解析函数空间，特别是日2 和b e r g m a n 空间上的算子理论的内涵十分丰 富，文献又浩如烟海，因此，在解析函数空间上，有许多算子理论课题可以研 究同时，大量的文献资料为我们研究算子理论提供了大量的理论依据和 研究方法，为算子理论的深入研究奠定了坚实的基础对算子理论感兴趣 的读者可以加入到算子理论研究的队伍之中，为算子理论的发展，乃至数 学学科的发展作出贡献 1 8 参考文献 参考文献 【1 】p a h e m ，o nt h er a n g eo ft h eb e r e z i nt r a n s f o r m ，j f u n c t a n a l 2 1 5 ( 2 0 0 4 ) ，2 0 6 - 2 1 6 【2 】p a h e ma n d 玄c u s k o v i d ，at h e o r e mo fb r o w n - h a l m o st y p ef o rb e r g m a ns p a c et o e p l i t z o p e r a t o r s ，j f u n c t a n a l 1 8 7 ( 2 0 0 1 ) ，2 0 0 - 2 1 0 【3 】p a h e ma n dd z h e n g ，c o m p a c to p e r a t o r sv i at h eb e r e z i nt r a n s f o r m ，i n d i a n au n i v e r s i t y m a t h e m a t i c sj o u r n a l4 7 ( 1 9 9 8 ) ，3 8 7 4 0 0 p 。a h e ma n dd 。z h e n g ，t h eb e r e z i n et r a n s f o r mo nt h et o e p l i t za l g e b r a ，s t u d i am a t h e - m a t i c a1 2 7 ( 1 9 9 8 ) ，1 1 3 - 1 3 0 z e l j k oc u 舀k o v i 6a n dn v r a o ，m e l l i nt r a n s f o r m ，m o n o m i a ls y m b o l sa n dc o m m u t i n g t o e p l i t zo p e r a t o r s ，j f u n c t a n a l 1 5 4 ( 1 ) ( 1 9 9 8 ) ，1 9 5 2 1 4 m e n 西i s ，f u n c t i o ni n v a r i a n tu n d e rt h eb e r e z i nt r a n s f o r m ，j y h n c t a n a l 1 2 1 ( 1 9 9 4 ) ，2 2 3 - 2 5 4 【7 】g h h a r d y , d i v e r g e n ts e r i e s ，c l a r e n d o np r e s s ，1 9 4 9 【8 】 b k o r e n b l u ma n dk h z h u ，a na p p l i c a t i o no ft a u b e r i a nt h e o r e m st ot o e p l i t zo p e r a t o r s ， j o u r n a lo fo p e r a t o rt h e o r y 3 3 ( 1 9 9 5 ) ，3 5 3 3 6 1 【9 9i l o u h i c h i ，e s t r o n s ea n dl z a k a r i a s y , p r o d u c t so ft o e p l i t zo p e r a t o r so nt h eb e r g m a n s p a c e ，i n t e g r a le q u a t i o n so p e r a t o rt h e o r y , 5 4 ( 2 0 0 6 ) ，5 2 5 5 3 9 【1 0 】d l u e c k i n g ，t r a c ei d e a lc r i t e r i af o rt o e p l i t zo p e r a t o r s ，j o u r n a lo ff u n c t i o n la n a l y s i s 7 3 ( 1 9 8 7 ) ，3 4 5 3 6 8 【11 i l o u h i c h ia n dl z a k a r i a s y , o nt o e p l i t zo p e r a t o r sw i t hq u a s i h o m o g e n e o u ss y m b o l s ，a r c h m a t h 8 5 ( 2 0 0 5 ) ，2 4 8 - 2 5 7 【1 2 】k s t r o e t h o f f , t h eb e r e z i n et r a n s f o r ma n do p e r a t o r s o i ls p a c e so fa n a l y t i cf u n c t i o n s ，b a n a c h c e n t e rp u b l 3 8 ( 1 9 9 7 ) ，3 6 1 3 8 0 【1 3 】k s t r o e t h o f f ，c o m p a c tt