（基础数学专业论文）一类非线性二阶微分方程解的性态.pdf

摘要 本文对比如下方程 k ( f ) ( 少( f ) ) 。 + 9 ( f ) 厂( y ( f ) ) ：o ，f ，。 的更一股形式的方程 k ( f ) 庐( y ( f ) ) 】+ g ( f ) 厂( y ( f ) ) ：0 ，f f 。 解的振动渐近性进行研究本文中的些结果，去掉了 1 3 中对方程所 加的f 为可微单调非减函数的要求，用l p 。 1 3 中更为简捷分析的方法， 得到了比文献中更深入的结果 本文分为四章，主要讨论了痧( “) 是偶函数及奇函数两种情形下，关于 二阶非线性微分方程 k ( f ) 妒( j ，( f ) ) 】+ q o ) 厂( ，( f ) ) ：0 ，f f 的解的振动渐近性本文的主要结果是在第二章中，得到了主要定理l 如下： 定理1 设 。l i r a 。( ( 蚺= o o 且对任意常数c ，o 和充分大的，使 l i r a 1 1 赤船m 西= o 。 那么方程( 1 ) 的有界解或者振动，或者每有界非振动解当f 呻。o 时单调 趋向于零 第三章中，得到了新的定理8 定理8 设( 2 ) 成立，如果对任意正常数c 和充分大的t ， 熄们南十 那么方程( 1 ) 的有界解或者振动，或者每一个有界非振动解当f 斗c 0 时单 调趋向于零 因此，本文的结果，是对上述文献中相关的结论的改进并推广 关键词：二阶微分方程；非线性；振动 a b s t r a c t i n t h i sp a p e rt h eo s c i l l a t o r yb e h a v i o ri si n v e s t i g a t e df o rs o l u t i o n so f e q u a t i o n s k ( f ) ( y ，o ) ) 】+ g ( f ) 厂( y ( f ) ) ：0 ，f f 。 w h i c hi sm o r eg e n e r a lt h a n k ( f ) ( y ，( z ) ) 一】+ g ( f ) 厂( y o ) ) ：0 ，f f 。 s o m eo ft h er e s u l t si st od e l e t et h er e q u i r e m e n t st ot h e e q u a t i o n sa d d e d e x i s t e n c eo ff a n d m o n o t o n i c a l l yn o n d e c r e a s i n gi n 【1 3 】，u s i n gt h e e a s i e r w a yt h a ni n 1 3 t oo b t a i n f u r t h e rc o n c l u s i o n st h a ni n t h e r e f e r e n c e s t h i sp a p e ri n c l u d e sf o u rc h a p t e r s t h eo s c i l l a t o r yb e h a v i o rt h es o l u t i o n s f o rt h en o n l i n e a rs e c o n do r d e re q u a t i o n s ： k ( f ) 妒( y ( f ) ) 】+ g ( f ) 厂( y ( f ) ) ：0f f 。， i nt h eo d df u n c t i o na n de v e nf u n c t i o nt o ( “) i nt h es e c o n dc h a p t e r ，t h e r e r e a c h e dm a j o rt h e o r e m1 t h e o r e m1i f l i r af q ( s ) d s = 。 r 呻j ，0 h o l d s ，a n yn u m b e rc 0a n db i ge n o u g hts u c ht h a t l i r aj ：+ “丽c 胁v r ) 出= 。 t h e n e v e r yb o u n d e ds o l u t i o ny ( f ) o fe q ( 1 ) i se i t h e ro s c i l l a t o r yo r m o n o t o n i c a l l yc o n v e r g e st oz e r oa s i nt h et h e r ec h a p t e r , h a v ean e wt h e o r e m8 t h e o r e m8 i f ( 2 ) h o l d s ，a n yn u m b e r c 0a n db i ge n o u g hts u c h 烛州南如卜 t h e n e v e r y b o u n d e ds o l u t i o n y ( f ) o fe q ( 1 ) i se i t h e ro s c i l l a t o r yo r m o n o t o n i c a l l yc o n v e r g e st oz e r oa s t 、 t h ep a p e ri m p r o v e sa n d g e n e r a l i z e s t h er e l a t e dc o n c l u s i o ni n t h e a b o v ed o c u m e n t k e yw o r d s k e yw o r d s ：s e c o n do r d e r ；d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ；n o n l i n e a r 第一章引言 第一章引言 微分方程的振动理论在微分方程的定性理论及边值问题研究中占有重要的地 位，在科学技术领域中有着非常广泛的应用振动理论是微分方程定性理论的一个 重要分支，也是多年来定性理论的研究中十分活跃的方向见( 1 1 9 ) 随着这一 方向研究的深入，国内外的学者, f i j 色w j 造了许多行之有效的研究方法，建立了一系列 这类方程的振动性的结果，极大地丰富了它的研究内容，无论是对线性方程还是非 线性方程的研究，历年来已取得了大量的研究成果振动理论的快速发展为许多学 科和尖端技术( 如连续本体力学，种群生物学，电子学，核反应堆力学，经济学， 航天技术，现代控制论以及其它领域) 的研究和发展提供了得力而有效的数学工具 最近 卜3 对一类非线性常微分方程 k o ) ( y ，( f ) ) a 】+ q o ) 厂( y o ) ) ：0 ，f - t 。 ( 木) 的振动性作了研究，获得一系列结果在文献 1 中讨论过方程( 1 ) 的特殊形式 即( “) 取成“。，d = p ，p 为偶数，g 为奇数时解的振动性问题，得到了以下几个 q 结果： 定理h 设口：p ， g ( f ) 0 ，口( f ) 为最终正函数，如果 q r q ( j ) 凼= 0 1 3 j ，o 成立，且存在t - t 。使 瞌( d r ) 味o 。 那么方程( ) 的每一个有界解或者振动，或者当f 斗0 0 时单调趋向于零 定理b 设口：旦， g ( f ) 0 ，n ( f ) 为最终正函数，如果 q f 志( d r ) ：出= m 成立，且下面的条件满足 娄二阶微分方程解的性态 ( 1 ) o f 。g o ) a s o 。， 熄【七( f 咖m ) i 如= o o d o ) 4 那么方程( $ ) 的每一个有界解或者振动，或者当t 斗c 0 时单调趋向于零 定理c 如果 f 。g o ) a s ：m j ，0 成立，且厂满足以下条件 ( i ) f 7 0 ) 0u ( o ，0 0 ) ； ( i i ) f 7 ( “) 兰0 u ( 。，0 ) ； ( i i l ) 矽( “) o ( “0 ) j t f ( o ) 0 那么方程( ) 的每一个有界解或者振动，或者当f 斗0 0 时单调趋向于零 在文献 3 中讨论了较方程( 十) 更广泛的方程 【口( f ) ( y ，o ) ) 一】+ g ( f ) ，( y ( g o ) ) ) ：o ， ( ) 及 ( 叫y ，( 叫“一1 ( y ，o ) ) 一】+ g o ) 厂( y ( g ( f ) ) ) ：o ( 术) 获得了刻划这两个方程解的性态的若干充要条件，主要结论如下： 定理d 没 i q ( t ) d t = 成立，方程( 十) 任意有界解y ( f ) 振动或单调趣于零当且仅当对充分大的常数t r 。 有 魄f 击( 胁胁) i d s 一 定理e 若 0 0 ( “) 为连续函数且当“0 时庐( z r ) 可微，庐( o ) = 0 在上述条件下，我们 假定方程( 1 ) 的任何初值问题的解均在 r ，0 0 ) ，t f 。有定义且唯一 定义1 微分方程的解称为振动的，如果它的零点集合是无界的，否则称它是非 振动的 定义2 微分方程称为振动的，如果它的任何解都是振动的；如果它有一个非振 动解，则称微分方程是非振动的 类一阶微分方程解的件态 第二章( “) 是偶函数情形 在本节中，( ) 是偶函数，且( “) 0 ，( o ) = 0 ，当“ 0 时庐( “) 0 以。1 ) 为妒 ) 当“ 0 时的反函数 定理l 设 嫩f q o ) d s = c o 且对任意常数c 0 和充分大的，使 l i r a + 1 南r 咖凼一- ( 3 ) 那么方程( i ) 的有界解或者振动，或者每一有界非振动解当f 趋于无穷时单调趋向于 零 证 设y ( f ) 为方程( 1 ) 的有界非振动解，并设! 受y ( f ) 0 先设y ( t ) 0 ，当f f i ，o 情形( i ) 设t 充分大时y ( f ) o ，因而y ( f ) 单调非减因此 蛩y ( f ) = m - o 于 是，由f 的连续性有j 鲤，( y ( f ) ) = f ( m ) o 因此存在f z f - ，使f f z 时 1 厂( y ( f ) ) 亡f ( m 。) i 对方程( i ) 从r ，到f 积分可得 a ( t ) f b ( y 缸) ) 一a ( t ：) 庐( y ( ，) ) 一s , i i , ( m 。) q ( s ) 出 一l f ( m ，) f g ( s ) 出 因此，由庐 ) 的偶函数性质可得 y 稚m “等胁胁 上式两端由t ：到f 积分有 4 第一章偶函数 加m 心，+ ( 等f q ( r ) d r ) 卜 在( 4 ) 式中，令f 哼0 0 ，由( 3 ) 将导致y ( t ) 斗0 0 ，与y ( t ) o 矛盾 情形( i i ) 设t 充分大时y7 ( f ) 玉o ，因此，l i m y ( t ) = m ： o 当f t 。时成立 情形( 1 ) 设t 时y ( f ) 0 ，那么定存在一个正数吖，使 嫩，( f ) = m ， o - 由f 的连续性有 l i m f ( y ( t ) ) = f ( m ，) 0 因此存在五f l , 使f i2 时，厂( y ( f ) ) 去厂( m ，) 对方程( 1 ) 从- 到f 积分得 d ( f ) 庐( y ( f ) ) 一d ( ) ( y ( t ) ) s 一掣胁 。 令t 寸o 。，由( 2 ) 知( 7 ) 式的右边趋向于一o o ，与n ( f ) 庐( y 缸) ) o 矛盾 情形( 1 1 ) 设t 兰时y 印) s0 ，因此l i m y ( t ) = m 。 0 ，由f 的连续性有 l i r n f ( y ( t ) ) 2 f ( m ) o ，故存在i ，使f 时，( y ( f ) ) f ( m 。) 从而由方程( 1 ) 可得 口( f ) 庐( y ( ，) ) 纠研( y 一掣小出 令t 斗o o ，由( 2 ) 和( 8 ) 将导致一个矛盾 情形( i i i ) 如果y ( f ) 是振动的，且设y ( f ) 有零点 。曩使y ( f ) 在 ( n 。，n n ，) 上为正或者为负由方程( 1 ) 有 a ( n 一) 庐( y ( x + ) ) 一a ( n ) 妒( y ( ) ) n m ) 出 由q ( t ) 的性质及y ( t ) 0 知，由上式可得 o = 一r n 。k i + , g ( s ) 厂( y ( s ”出 0 ， 可以验证方程满足定理1 的全部条件因此，由定理l ，方程的每个解或者振动， 或者单调趋于零显然，y ( f ) = 二是此方程的一个趋于零的非振动解文献 1 、 2 及目前有关其它文献中的结果，在这里都不能应用来判定此方程的这种性质 例2 考虑微分方程 ( r l y ( f ) 1 ) + t y5 ( f ) = 0 ，t 0 可以验证方程满足定理l 的全部条件，由定理1 方程的每一个解或者振动或者单调 趋于零文献 1 、 2 及其它文献中的结果都不能在这里使用 注2 本文的方法如果应用于文献 3 中的方程 k ( f ) ( _ y ( r ) ) 。j + g ( f ) ( y ( g o ) ) ) = 0 ，t t 。， 进彳亍研究，也可以相应地改进并推广 3 中的结果 定理3 设厂 ) 存在且，( “) 0 ，如果 iq ( s ) d s 0 l i m 。 b + 。l 斋胁m 卜一 ， 那么方程( 1 ) 的每一个有界解j ，( f ) 或者是振动的，或者每一个有界非振动解当f 斗0 0 时单调趋向于零 证明 假设y ( f ) 是方程( 1 ) 的有界非振动解，也就是当t ，。时y ( f ) 0 或y ( r ) 0 的情形，y ( t ) 0 ，由式( 1 1 ) 可得， 甓斜知 ， 对( 1 2 ) 式从f 到f 积分得 筹瓣揣f ( y ( t 一出 ) ( y ( f ) ) ) 由( 1 3 ) 式可知 出筹黜， 由条件( 9 ) ，当t f 时由上式可以推得 胁娜等掣 因y ( t ) 0 ，y ( f ) o ，所以当f f 时，由f 的性质知f l y ( t ) ) 厂( y ( o ，) ) 0 从而由 上式可得 胁胚瓮掣， 由上式利用( “) 的性质可得 六“ 掣出卜 对上式从t , 至l j t 积分得 掣斗 ， y ( t ) 一y ( t ，) 由( 1 0 ) 知( 1 4 ) 式的左端当t - - + 0 0 时趋向于+ 0 0 ，而其右端是有界的，矛盾 情形( i i ) 设f f 1 f 。时y7 ( f ) o 若l i m y ( t ) = 0 则定理已证否则，当f 2 f l 时，对方程( 1 ) 9 , t ：到f 积分得 n ( f ) ( y ( f ) ) = a ( t ：) 庐( y ( ：) ) 一f ，k ( s ) 厂( y ( 5 ) ) p j 第二章偶函数 上式的第二式用分部积分法 2 口( f z ) 庐( y 7 ( f ：) ) 一，( ) ，。) ) f g ( 5 ) 西 ( 1 5 ) + f t ：y ( s ) 厂( y ( s ) ) f ：g ( r ) d r d s 由于t t 时y ( f ) 0 ，( f ) 0 - 那么当f - t 2 时y ( t ) m ，再由f 的性质知当t f ：时，厂( y ( f ) ) f ( m ) 0 故从( 1 6 ) 式可以推出 ( f ) ( y ( z ) ) 口( f ：) ( y ( f ：) ) 一，( m ) fg o ) a s ， 从而得到 f ( m ) i jq ( s ) 由n ( f ：) 矿( y ( f ：) ) 那么当t t 2 时， f ( m ) i f q ( s ) c b 口( f ) ( y o ：) ) 因为t t 时y ( f ) o ( 1 8 ) 类= 阶微分方程解的性态 士见征由 端剡叫一剑鬻辫蚴l 厂( y ( f ) ) j 厂2 ( y ( f ) ) 得 甓铲蚴f ( y 辫( t _ f j t , 邪 厂( y ( f ) )。) ) 对上式从n ，到积分得 一或如砂筹群慨一 ， ( 1 8 ) 式与( 1 9 ) 式显然矛盾 例3 考虑如下微分方程 ( 古p i ( f ) 。) + 砉y 沁) = 。，z o ，常数口 - 容易验证方程满足定理3 的全部条件因而方程的所有有界解或者振动，或者当 f 斗。0 时单调趋于零目前国内外已知结果都不能应用于此方程 例4 考虑如下微分方程 专( y v ) ) 2 ) + 歹1 y5 ( f ) = 。，f ，。，2 为常数 容易验证方程满足定理3 的全部条件由常微分方程解的存在定理，知方程的初值 问题解在( 0 ，。) 上有解因而方程的所有有界解或则振动，或则当t _ 0 0 时单调趋于 零目前国内外已知结果都不能应用于这有方程 推论4 ，设( “) = g o 盯= 形，其中p 、q 如前所述，如果f ( “) 存在且厂o ) 0 ， 条件( 9 ) 和( 1 0 ) 成立，那么方程( 1 ) 的有界解或者振动，或者每一个有界非振动解当 t 斗c 0 时单调趋向于零 注3 该定理是对文献 i 中的定理3 的推广 如果定理3 中f 的条件由下面的条件 ( i ) 厂( “) 0“( 0 ，) ； ( i i ) ，( “) 0“( 一，0 ) ( 2 0 ) ( 2 1 ) ( i i i ) 矿( “) 0 ( “0 ) 且f ( o ) 0 ( 2 2 ) 代替，就可以得到下面的结论 定理5如果( 2 ) 式，( 2 0 ) 式，( 2 1 ) 式和( 2 2 ) 式都成立，那么方程( 1 ) 第= 章偶函数 的每一个有界解y ( f ) 或者是振动的，或者每一个有界非振动解当t _ m 时单调趋向于 零 证明设y ( f ) 是方程( 1 ) 的有界非振动解，且l i m y ( t ) 0 不失一般性由( 2 0 ) 式和( 2 1 ) 式我们得到，y ( t ) 0 时厂( y ( f ) ) 0 先设y ( f ) 0 ，当t t 】f o 情形l 没t t t 。时，0 ) 0 对方程( 1 ) 从t 2 到t 进行积分 n ( 伽( y ( f ) ) = 口( f ) 妒( y ( f ) ) 一fb ( s ) 厂( y ( s ) ) k 利用分部积分法由上式可得 a ( t ) o ( y ( f ) ) = ( t2 ) ( _ y ( f ：) ) 一，( y ( f ) ) fg o ) d s + f ：y ( s ) 厂( y ( s ) ) ：g ( r ) d r d s 因为f t 。时y7 ( f ) 0 ，f7 ( y ( f ) ) 0 ，f f t q ( t ) 0 ，那么从上式推出 n ( f ) ( y ( f ) ) o ：) ( y ( f ：) ) 一，( y ( f ) ) i l lq ( s ) d s ( 2 3 ) 因为当t t l 时y ( f ) 0 ，y7 ( f ) 0 ，所以一定存在一个正数m 使得 ! 娈y ( f ) = m 一 0 那么当f t 2 f l 寸y ( t ) m ，从而厂( y ( f ) ) f ( m - ) 0 ，因此由( 2 3 ) 式得 口( f ) ( y 7 ( f ) ) ( f ：) ( y ( f ：) ) 一f ( m ，) fg ( s ) 西 ( 2 4 ) 根据( 2 ) 式知( 2 4 ) 式的右端当t 斗m 时趋向于一( 2 0 ，而其左端是正的，矛盾 情形2 设t t l t o 时j ，( f ) 0 由方程( 1 ) 得恒等式 筹铲卜一剑等等蚴 ， 于是 篇裂蔓掣f ( y ( t _ f j x , 如岫 ( 1 3 ) 厂( j ，( f ) ) ) 、 类二一阶微分方程解的摊态 由( 2 ) 式知上式的右端当t 斗时趋向于一0 0 ，而冥左端是正的，矛盾 情形3 若j ，( f ) 是振动的，那么一定存在单增序列 。接使y ( 。) = 0 且有 t ( n 。，n r + ) 使y ( f ) 0 由已知条件知g ( f ) 0 且在任何区问上不为零， e “揶) 幻o ( 1 8 ) 7 现在由 絮掣 叫一剑鬻警塑 对上式由t 。到f 积分得到 掣掣掣f ( 如油y ( t - b ,厂( y ( f ) )，) ) 对上式从n 。到。积分得 一跏她镤群n x 一 y ( 1 8 ) 7 式与( 1 9 ) 式显然矛盾 其次设_ y ( f ) o o 时趋向于一o d ，而其左端是正的，矛盾 情形2 ：设t f o 时y ( f ) 0 对方程( 1 ) 从一t2 到t 进行积分 d ( f ) 庐( y ( f ) ) = a ( ；z ) ( 两一f 【g ( s ) ( y ( s ) ) 协 由上式利用分部积分法得 a ( t ) o ( y 沁) ) = a ( - t ：) 声( y ( - t ：) ) 一，( y ( f ) ) f q ( s ) d s + f 7 y ( s ) ，( y ( s ) ) f ig ( r ) 矗r d s 2 塑三至塑里垫 n n t 时y ( f ) 0 ，( y ( f ) ) 0 ，且q ( f ) o ，那么从上式推出 口( f ) 驴( y7 ( f ) ) s 口( ；：) ( y ( - tz ) ) 一厂( y o ) ) f 7 q ( j ) a s ( 2 5 ) 又因为当f 时y ( f ) 0 因此由( 2 5 ) 式得 o ) 妒( y o ) ) 曼“( j ：) 妒( y ( - t ：) ) 一f ( m ：) j 。q ( s ) a s ( 2 6 ) 根据( 2 ) 式知( 2 6 ) 式的右端当f 斗0 0 时趋向于一0 0 ，而其左端是正的，矛盾 情形3 ，：若y ，( f ) 是振动的，那么一定存在单增序列 。羟使y ( 。) = 0 且有 f ( 。，n 。) 使，( f ) 0 由已知条件知g ( f ) o 且在任何区间上不为零， r 1q ( s ) d s 0 现在由 鬻铲卜一剑警 上式由t 到f 积分得 筹胖掣f ( 一盼) 幽y ( t 厂( y ( f ) ) ) ) 山- 对上式从n 。到。积分得 一踟啦笺辫n r 显然有与定理3 的情形( i i i ) 一样的矛盾 推论6 设妒( “) = “。，盯= 么，其中p 、q 如上所述，如果条件( 2 ) 、( 2 0 、 ( 2 1 ) 和( 2 2 ) 式成立，那么方程( 1 ) 的有界解或者振动，或者每一个有界非振动解当 t 斗o o 时单调趋向于零、 注7 推论6 即是文献 1 中的定理4 一 二壅三堕垡坌塑堡塑塑竺查 第三章驴( 。) 是奇函数情形 在本节中，设庐( “) 连续可微，且对任何“，庐( “) 0 ，庐一。( “) 为矿( “) 的反函数 引理7 设( 2 ) 成立，y ( f ) 是方程( 1 ) 的有界非振动解，那么当t 充分大时， 有y o ) 0 ，贝0 y ( r ) 0 的情形 由方程( 1 ) 得 y ( f ) ( 口( r ) 庐( j ，( f ) ) ) 1 + y ( f ) g ( f ) 厂( y ( r ) ) ：0 由厂所满足的条件知当t 充分大时( n ( f ) ( y ( f ) ) ) 。 0 ，将有y ( f ) 0 ，i i m y 0 ) = m 0 于是，由厂 的连续性有， 鳃厂( y ( f ) ) = 厂( m ) o 、因此存在一 - t 。使f 正时，( y ( f ) ) ；，( m ) 对方程( 1 ) 从正到f 进行积分得 口( f ) 妒( y ，( f ) ) 如( t ) 缈h ) ) 一 ( ”) g ( s ) a s 令f 斗o 。，将导致一个矛盾因而少( f ) o 时则最终有，( ，) 0 y ( t ) 0 的情形 由方程( 1 ) 得 y ( f ) b ( f ) 妒( y7 ( ) ) ) + y o ) g ( f ) ( y ( f ) ) = 0 由厂所满足的条件知当f 。充分大时0 ( r 。) 庐( 少( f ，) ) y o ，因而当t 充分大时 a ( t t ) 矿( j ，v ，) ) 或者为负或者为正设a ( t 。) ( y ( f ) ) o ，将有，( f 。) o ， j 鲤，( t ) = m - 0 于是，由的连续性有， i m f ( y ( t ”= ( m 。) o o 时单调趋向于零 证明i 殳y ( t 1 是方程( 1 ) 的有界非振动解 y ( t ) 0 的情形： 由引理7 知存在f ，z 。，当f t ，时y ( f ) 0 ， 于是 驷( y ( 咖= f ( m ) o ，因此存在屯。使f f ：日c f ( y ( 嘞；厂( ) 对方程 ( 1 ) a t 2 n t 积分可得 口( f ) 庐( y7 ( f ) ) 口( f ：) 妒( y ( f ：) ) 一f 吉厂( m ) q ( s ) 出， 一j 1 厂( m ) t g ( s ) 出 于是由上式可以得到 如砸胚一掣去出， 从而由庐( “) 的性质可知 y m 脚“( 等胁灿 ) a t ：到f 积分上式有 儿脚心，+ 州 等胁肌，卜 ， 类二二阶微分方程解的性态 令f 一。，由( 2 7 ) 式及。( “) 为奇函数司知( 2 8 ) l ，+ i m 。y ( t ) 2 “，这是一个才盾 y ( t 1 o ，因此l i m y ( f ) = m ，0 若m 1 o l j 容易验证，方程满足定理8 的所有要求因而方程的所有界解或则振动或则单凋趋 于零目前国内外已知结果都不能应用于此方程 类二阶微分方程解的性态 第四章对于更一般方程的推广 本章将推广前面两章的结果到下面更般的方程 k ( f ) ( y7 ( f ) i + e q 。( r ) i ( y ( f ) ) = 0 ，t f 。( 3 0 ) i = i 其中如下条件总假设成立 ( i ) a ( t ) 为连续函数，且a ( t ) 0 ； ( i i ) 妒( “) 为连续函数且当0 时庐( “) 可微，矿( o ) = 0 ； ( i i i ) q i ( r ) ，i = 1 ，2 m 为连续非负函数且在任何有限区间上都不恒为零 ( i v ) ，( “) ，i = 1 , 2 m 为连续函数当“0 时瓠( “) 0 ，i = 1 , 2 m ； ( v ) 存在连续函数- 厂( “) ，且矿( “) 0 此外，当“ 0 时，( “) f ( u ) ，而当“ 0 和充分大的t ，使 l i m 胁f t b + 1 丽cr 静岫出= o 。 ( 3 1 ) ( 3 2 ) 那么方程( 3 0 ) 的任何有界解或者振动，或者每一个有界非振动解，当f 趋于无穷时单 调趋于零 证 设y ( f ) 为方程( 3 0 ) 的有界非振动解，并设l i m g ( t ) 0 先设g o ) 0 ，当f f ，如 情形( ，) 设f 充分大时y ：0 因而y ( f ) 单调非减- 因此 鳃y ( f ) = m 一 o 于是的连续 性有 驷( y o ) ) 2 ( 肘) f - ，使f f 2 时 工( y ( f ) ) ；，( m ，) ，f = l ，2 第四章对于更一般方程的推广 对方程( 3 0 ) 从t ：n t 积分可得 d o ) 庐( y o ) ) 一a ( t ：) 庐( y 0 2 ) ) 一；嬉“s ) f i ( m t 油 由( 3 3 ) 和条件( i i i ) 可以得到 因此 于是可得 d ( f ) 驴( y o ) ) 一a ( t ：) ( y7 ( f 2 ) ) 一三2j f 厂( m ) 羔g 。( s ) 出 一l f ( m ) ( 新蛐- m 川弋 等f ：2 缸i = at 油， z i ) 一1 ( 3 3 ) 加m 也) + ( 掣( 缸州蛐- ， 在( 3 4 ) 式中，令t 斗0 9 由( 3 2 ) 将导致y ( f ) 斗与y ( t ) o 由工的连续性有 l i m ：( y ( f ) ) = 工( m ，) o ，i 2 l ，2 第凹章对于更一般方程的推广 因此存在t ：t 1 ，使t t 2 时 ( y ( f ) ) l ( m ，) ，扛l ，2 对方程( 3 0 ) 从i 到f 积分得 n ( f ) 妒( y ( f ) ) 一( i ) ( y ( i ) ) 一圭新蜘，出 利用条件( i v ) 和( v ) 可知 n ( f ) 庐( y 一口( i ) 庐( y ( i ) ) 一掣e 缸帕 当f 叶0 0 时，由( 3 1 ) 和( 3 9 ) 知e 式右边趋于一 0 情形( ) 设f i ! i c y7 ( f ) 0 因此l i m y ( t ) = m 。 o 由；的连续性有 l i m f , ( y ( t ) ) = l ( m 。) 0 ，i = 1 , 2 m 因此存在t ；t 3 ，使t f 4 时 ，( y ( f ) ) 2 l f g m 。) ，扛l ，2 从而由方程( 3 0 ) 可得 利用条件( v ) 可得 纠i y 恸 j ；：喜，( “蛐 纠i m y 恸一f ( m 。) e 缸出 令t 斗o o ，由( 3 1 ) 和( 4 0 ) 将导致一个矛盾 情形( 皿) ( 4 0 ) 类二阶微分方程解的性态 如果y ( f ) 是振动的，且设y ( f ) 有零点如_ 瑶使y7 ( f ) 在( k 。，n k h ) 上为正 或为负由方程( 3 0 ) 可知 ( 心一) 妒( _ y ( 即i ) ) 一a ( n x ) 妒( y 7 ( ) ) 一掌宝i = 1 删胁) 出 由q i ( f ) 的性质及y ( f ) 0 ，由上式可得 。一并参胁) 出 。 这是一个矛盾定理证毕 如果令o ) 2 “。，仃2 ，其中p 为偶数，q 为奇数于是由定理9 可以得到 如下结果 推论1 0 设 ) 2 “4 ，盯2 么，其中p ，g 如上所述如果( 3 1 ) 和( 3 2 ) 成 立，那么方程( 3 0 ) 的有界解或者振动，或者每一个有界非振动解，当t 斗。时单调 趋于零 定理1 1 设z ) 存在，i = 1 , 2 m 且 ，( m ) 0 ，i = 1 , 2 m ( 4 1 ) 如果 。芝“s ) d s 0 l i r a f 矿- l ( 南f 参( f ) 州出= m ( 4 3 ) 那么方程( 3 0 ) 的每一个有界解y ( f ) 或者振动，或者每一个有界非振动解，当t 斗o o 时单调趋于零 注5 定理1 1 的证明可类似定理1 0 进行我们还可以将庐为偶函数的情形证明 类似于第三章的结果 参考立= 献 参考文献 1 p e n gm i n g s h u ，g ew e i g a o ， _ l u a n gl i h o n g ，x u q i a n l i a c o r r e c t i o i lo nt h e o s c i l l a t o r y b e h a v i o ro fs 0 1 u t i o f i so f c e r t a i n s e c o n d o r d e r n o n l ir l e s rd i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s a p p l 舱t h c o m p u 1 9 9 9 1 0 4 ：2 0 7 2 1 5 2 p j y w o n g ，r p a g a r w a l ，o s c i l l a t o r y b e h a v i o ro fs o l u t i o n so f c e r t a ir ls e c o n do r d e ri l i o n lir l e a fd i f f e r e n t i a l e q u a t i o t i s ，j m a t h a n a l a p p l 1 9 8 ( 1 9 9 6 ) 3 3 7 3 5 4 ， l3j p e n gm i n g s h u ，g ew e i g a o ，w a n z h u i p r o p e r t i e sf o rs o l u t i o i l so f n o n i n e a rf u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a l e q u a t i o i l s a c t am a t h a p p s i n i c a ，2 0 0 2 ，2 5 ：3 6 7 3 7 1 4 l iw a r t o n g o s c i l l a t i o no fc e r t a i ns e c o n d o r d e rn o n l i n e a r d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s j m a t h a n a l a p p l ，1 9 9 8 ，2 1 7 ：1 1 4 l5 l i w a n t o n g p o s i t i v eo s c i l l a t i o r lo f s e c o n do r d e rn o n l i n e a r d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s j m a t h a n a l a p p l ，1 9 9 8 ，2 2 1 ：3 2 6 3 3 7 l 6 ja g a r w a i r p ，s h i o w l i n gs h ie h ，c h e h c h i hy e h o s c i l l a t i o i lc e r t a i n f o rs e c o n do r d e rr e t a r d e dd i f f e r e n t i a lea l 衄t i o r s m a t h c o m p u m o d e l l i n g ，1 9 9 7 ，2 6 ( 4 ) ：1 1l 7 h s uh 1 3 ，y e hcc o s c 订l a t i o nt h e o r e m sf o rs e c o n do r d e r h a l f l i i l e a l - d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s a p p l m a t h l e t t ，1 9 9 6 ， 9 ( 6 ) ：7 l 一7 7 8 j r g r a e fa n d p w s p i k e s ，s u f f i c i e n t c o n d i t i o i l sf o r i i o r l o s c i l l a t i o no fas e c o n do r d e rn o n l i q e i rd i f f e r e n t i a l e q u a t i o i l s p r o ca m e r m a t h ，s o c ，5 0 ( 1 9 7 5 ) ，2 8 9 2 9 2 l9jj r g r a