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弱拉斯克模的局部上同调模摘要 摘要 局部上同调理论是研究代数几何和代数拓扑的重要工具许多数学家对局部上同 调理论进行了研究，并将它进行了发展对于有限生成模的局部上同调模，很多学者 已经进行了研究并得出了很多较好的结果2 0 0 5 年，d i v a a n i - a a z a r 和m 蚯提出了弱 拉斯克模的概念，这是比有限生成模更广的一类模本文主要研究弱拉斯克模的局部 上同调模的相伴素理想、弱上有限性及弱拉斯克模的深度 首先我们介绍了局部上同调模、弱拉斯克模的概念以及与它们相关的一些基本结 论和基本定理，为我们进一步讨论课题提供必要的准备然后我们研究了弱拉斯克模 的局部上同调模的相伴素理想之集的有限性我们得到的主要结论是s 设m 是弱拉斯 克模，i 是非负整数，日；( m ) 的相伴素理想之集是有限的，假如以下任情形成立， ( a ) 对 l ，s u p p ( h i ( m ) ) 是有限集；( 卢) 对w i ，日；( m ) 是有限生成的接下去我 们研究了弱拉斯克模的深度我们得到的主要结论是；设模m 是弱拉斯克模，则模m 的l 深度d e p t h ( ，m ) = i i l 即n o l 研( m ) o ) 最后我们研究了弱拉斯克模的局部上 同调模的弱上有限性我们给出局部上同调模弱上有限性的一个结果，推广了【6 】中的 主要结论 关键词；局部上同调模；弱拉斯克模；相伴素理想；弱上有限模 作者；郝海军 指导老师：唐忠明教授 l o c a lc o h o m o l o g ym o d u l e so fw e a k l yl a s k e r i a nm o d u l e sa b s t r a c t a b s t r a c t l o c a lc o h o m o l o g yi sa ni m p o r t a n tt o o li ns t u d y i n ga l g e b r a i cg e o m e t r ya n da l g e b r a i c t o p o l o g y m a n ys c h o l a r sh a v eb e e na b s o r b e di ns t u d y i n gi ta n dh a v em a d es o m ee f f o r t t od e v e l o pi t m a n ys c h o l a r sh a v eb e e ns t u d y e do nl o c a lc o h o m o l o g ym o u l e so ff i n i t e l y g e n e r a t e dm o d u l e s i n2 0 0 5 ，d i v a a n i - a a z a ra n dm 瓶d e f i n e dw e a k l yl a s k e r i a nm o d u l e sa sa g e n e r a l i z a t i o no ff i n i t e l yg e n e r a t e dm o d u l e s i nt h i sp a p e r ，w em a i n l ys t u d yt h ea s s o c i a t e d p r i m e s ，w e a k l yc o f i n i t e n e s so fl o c a lc o h o m o l o g ym o d u l e so fw e a k l yl a s k e r i a nm o d u l e s a l s o w es t u d yt h ed e p t ho fw e a k l yl a s k e r i a nm o d u l e s f i r s t l y ，w er e c a l ls o m eb a s i cc o n c e p t s ，p r e l i m i n a r yr e s u l t sa n ds o m ef a m o u st h e o r e m s a b o u tt h e m ，w h i c hw i l lb ep r o b a b l yu s e di nt h i sp a p e r s e c o n d l y ，w em a i n l ys t u d yt h e f i n i t e n e s so ft h es e to fa s s o c i a t e dp r i m ei d e a l so fl o c a lc o h o m o l o g ym o d u l e sa b o u tw e a k l y l a s k e r i a nm o d u l e s o u rm a i n l yr e s u l ti st h a t ：l e tmi saw e a k l yl a s k e r i a nm o d u l e i 8a n o n - n e g a t i v ei n t e g e r ，t h e nt h es e to fa s s o c i a t e dp r i m e so f 日 ( m ) i saf i n i t es e t ，i fo n eo f t h ef o l l o w i n gc o n d i t i o n si st r u e ：( a ) s u p p ( ：日；( m ) ) i saf i n i t es e t ， ；( p ) 日；( m ) i s f i n i t e l yg e n e r a t e d ，坳 n e x t ，w es t u d yt h ed e p t ho fw e a k l yl a s k e r i a nm o d u l e s i t 8 s h o w nt h a tw h e nmi saw e a k l yl a s k e r i a nm o d u l e ，t h e - d e p t ho fm ，d e p t h ( i ，m ) i se q u a l t o n f r n o i h ( m ) o ) a tl a s t ，w es t u d yt h ew e a k l yc o f i n i t e n e s so fl a c a lc o h o m o l o g y m o d u l e sa b o u tw e a k l yl a s k e r i a nm o d u l e s w eg i v ear e s u l ta b o u tt h ew e a k l yc o f i n i t e n e s so f l o c a lc o h o m o l o g ym o d u l e s ，w h i c hg e n e r a l i z et h em a i n l yr e s u l to f 【8 1 k e y w o r d s ：l o c a lc o h o m o l o g ym o d u l e s ；w e a k l yl a s k e r i a nm o d u l e s ；a s s o c i a t e dp r i m ei d e a l s ； w e a k l yc o f i n i t em o d u l e s i i w r i t t e nb yh a oh 蛹u n s u p e r v i s e db yp r o f t a n gz h o n g m i n g 苏州大学学位论文独创性声明及使用授权声明 学位论文独创性声明 本人郑重声明：所提交的学位论文是本人在导师的指导下，独立进行研究工作所。 取得的成果除文中已经注明引用的内容外，本论文不含其他个人或集体已经发表或 撰写过的研究成果，也不含为获得苏州大学或其它教育机构的学位证书而使用过的材 i 料对本文的研究作出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明本人承 担本声明的法律责任 研究生签名：避日期： 学位论文使用授权声明 苏州大学、中国科学技术信息研究所、国家图书馆、清华大学论文合作部j 中国 社科院文献信息情报中，1 、5 有权保留本人所送交学位论文的复印件和电子文档，可以采 用影印、缩印或其他复制手段保存论文本人电子文档的内容和纸质论文的内容相一 致除在保密期内的保密论文外，允许论文被查阅和借阅，可以公布( 包括刊登) 论 文的全部或部分内容论文的公布( 包括刊登) 授权苏州大学学位办办理 研究生签名： 导师签名： 遂日期垫! 坠乡 让垃啉塑出：! 兰 弱拉斯克模的局部上同调模引言 引言 局部上同调理论来源于对代数几何的研究g r o t h e n d i e c k 最先提出这一理论并进 行了研究 1 9 6 7 年，h a x t s h o r n e 在g r o t h e n d i e c k 【9 】9 的讲义的基础上出版了l o c a l c o h o m o l o g y 一书，肯定了局部上同调理论作为研究工具，在研究局部代数中有很重 要的作用至今局部上同调理论在研究代数几何、代数拓扑等方面发挥了重要作用： 因而吸引了许多数学家对它进行研究，并将它进行了很好的发展2 0 0 5 年，作为有限 生成模的推广，d i v a a n i - a a s a r 和m a r l 提出了弱拉斯克模的概念，接着很多学者对弱 拉斯克模的局部上同调模进行了深入的研究，得到了一些比较好的结果 h u n e k e ( 1 2 ) ，h a r t s h o r n e ( 1 0 ) 分别提出了关于局部上同调模的两个问题：( i ) 第i 个 局部上同调模的相伴素理想之集在什么条件下是有限的? ( i i ) 局部上同调模在什么条 件下是厶上有限模? 自然地，关于弱拉斯克模的局部上同调模，这些类似的问题也被 提出这些问题是值得我们去考虑的本文正是围绕这些问题展开的 本文共分四章，主要有如下内容： 第一章主要介绍局部上同调模、弱拉斯克模的概念以及一些已知的命题、定理， 为我们进一步讨论课题提供必要的基础 第二章主要研究弱拉斯克模的局部上同调模的相伴素理想之集的有限性在局部 上同调理论中，一个比较重要的问题是确定第 个局部上同调模日；( m ) 的相伴素理 想之集在什么情形下是有限的h u n e k e 1 2 1 提出这个问题后，h u n e k e 和s h a r p 1 3 、 l y u b 畅n 浓【1 8 】，k a t z m a n 1 4 、s i n g h 2 4 】、s i n g h 和s w a n s o n 2 5 】等人在这方面做了不 少工作k h a s h y a z r m a n e s h 和s a l a x i a n 在【16 】中证明了当m 是有限生成模时，日 ( m ) 的相伴素理想之集是有限的，假如以下任情形成立： ( 口) 对巧 i ，s u p p ( h ；( m ) ) 是 有限集；( p ) 对w i ，日；( m ) 是有限生成的在这些研究的基础上，我们将这一结论 推广到弱拉斯克模上具体地，我们有如下结果： 命题2 1设j 是r 的理想，m 是弱拉斯克模设l n o 满足对所有j o ，1 ，2 ，t 1 ) ，日；( m ) 是有限生成的设日；( m ) 是有限生成子模，那么集合 弱拉斯克模的局部上同调模引言 a s s r ( 日j ( m ) n ) 是有限的 定理2 2设j 是r 的理想，m 是弱拉斯克模设i n o 满足对所有j o ；1 ，2 ，i 一1 ) ，h ( m ) 是有限生成的那么集合心r ( 研( m ) ) 是有限的 命题2 4 设j 是r 的理想，r - 模m 是弱拉斯克的，设r n 那么下述等价： ( i ) 存在个肛序列；g l ，x 2 ，脚，使得q i ，对歹= l ，2 ，； ( i i ) 日；( m ) = 0 ，对所有i r 定理2 5 设j 是r 的理想，m 是弱拉斯克模，那么g r a d e m ( ，) = i n “r n o l 坪( m ) o ( 规定m r ( 0 ) = o o ) 定理2 6 设j 是r 的理想，r - 模m 是弱拉斯克的，那么a s s r ( 研北m ( q m ) ) 是有限集 定理2 7 设m 是弱拉斯克的r 模，j 是r 的理想设他n 满足对所有的i 住， 集合s u p p ( z l ( m ) ) 是有限集，那么a s s ( 上哆( m ) ) 是有限的 注2 8 根据引理1 1 6 ( i i i ) ，以上命题结论可改为”a 豁r ( 日；( m ) ) 是有限的， 推论2 9 设尼模m 是弱拉斯克的，是r 的理想设n n 满足对所有的i ，l ， 研( m ) 是a r t i n 模，那么缸s r ( 上呼( m ) ) 是有限的 第三章研究了弱拉斯克模的深度b r o d m a m a 和s h a r p ( j 4 ) 和m a t s u m u r a ( 1 9 ) 在这 方面做了不少工作在此基础上，我们定义了弱拉斯克模的深度，并得到了一些有趣 的结果现把这一章主要结果列出： 定理3 1 设犀模m 是弱拉斯克的，是r 的理想假设n 彳m ，那么对于 个给定的大于零的整数佗，以下等价； ( 1 ) e x t 叠( n ，m ) = 0 , vi 他以及所有满足s u p p ( n ) v ( x ) 的有限生成的b 模； ( 2 ) e x t 盖( a i ，m ) = o ，vi 弼 ( 3 ) e x t 叠( n ，m ) = 0 , vi 0 定理1 1 0 设n 是嘶限生成的r 模，且j n 则d e p t h ( ，n ) = i n f i h ；( ) o ) 定理1 1 1 ( g r o t h e n d i e c k sv a n i s h i n gt h e o r e m ) 设是任何尼模，则研( ) = o v i d i m ( n ) 定理1 1 2 ( t h en o n - v a n i s h i n gt h e o r e m ) 设( r ，m ) 是局部环，n 0 是有限生成 的犀模且d i m ( n ) = n ，则磁( ) 0 下面我们给出拉斯克模和弱拉斯克模的定义 定义1 1 3 s lr - 模m 称作是拉斯克的，如果m 的任何子模都是m 的有限个准 素子模的交 6 弱拉斯克模的局部上同调模一基本概念、定理 注1 1 4 任何n o e t h e r 模都是拉斯克的 定义1 1 5 1 7 r - 模m 称作是弱拉斯克的，如果m 的任何商模的相伴素理想的集 合都是有限集 下面是【8 】中的个结果，在这里我们不给出证明过程 引理1 1 6 ( i ) 设o l m ，o 是个r - 模的正合列，那么m 是弱拉斯 克的当且仅当工和都是弱拉斯克的所以弱拉斯克模的任意商模及任意有限直和 都是弱拉斯克的 ( i i ) 设m ，n 是两个r - 模若m 是弱拉斯克的，是有限生成的，则e x t , ( n ；m ) 和t o r 孑( n ，m ) 都是弱拉斯克的，对于v i ， 0 ( i i i ) 设b 模m 满足s u p p r m 是有限集，则m 是弱拉斯克的特别的，任意a r t i n r - 模都是弱拉斯克的 例1 1 7 1 7 1 ( i ) 任意拉斯克模都是弱拉斯克的特别，任意n o e t h e r 模是弱拉斯克 的 ( i i ) 由于a r t i n 模的相伴素理想都属于其极大理想构成的有限集合，故任意a x t i n 模都是弱拉斯克的 这个例子给我们提供了相当多的弱拉斯克模的例子下面我们给出相伴素理想的 定义 定义1 1 8 1 1 9 1 设r 是环，m 是皿模，r 的素理想p 称作是m 的相伴素理想， 若存在z 尬使p = 姐n ( z ) m 的相伴素理想的集合记作a s s r ( m ) 或a s s ( m ) 接下去我们给出一个比较重要的引理，它是我们这篇论文中证明某些结论的重要 准备 引理1 1 9 设尼模m o 是弱拉斯克的，若r 的理想j z d r ( m ) ，那么r j ( m ) 0 证明：m 是弱拉斯克的，所以a s s n ( m ) 是有限集不妨设a s s r ( m ) = ( 尸1 ，p 2 ，b ) 由于i c z d r ( m ) =up = p lup 2 u u b ，由【1 1 ( 命题1 1 1 ) ，j 只，对某i 1 ，2 ，r ) 因为p i e a s s r ( m ) ，所以存在u m o ) ，使得最= a n n ( u ) 于是h 1 ： i v = 0 从而”f x ( m ) o ) 故r d m ) 0 口 7 弱拉斯克模的局部上同调模 二 弱拉斯克模的局部上同调模的相伴素理想 第二章弱拉斯克模的局部上同调模的相伴素理想 在这一章中我们讨论弱拉斯克模的局部上同调模的相伴素理想之集的有限性首 先我们有如下结论s 命题2 1设，是r 的理想，m 是弱拉斯克模设i n o 满足对所有歹圭 0 ，l ，2 ，i 一1 ) ，琊( m ) 是有限生成的设日j ( m ) 是有限生成子模，那么集合 a 船r ( h i ( m ) n ) 是有限的 证明：( 对i 用归纳法证明) 当i = 0 时，研( m ) = r z ( m ) 冬m ，于是a s s r ( h o ( m ) n ) 至a s s r ( m n ) m 是弱 拉斯克模，故a s s r ( m n ) 是有限集，从而缸8 冗( 研( m ) n ) 是有限集 设l 0 ，并令砑= m r z ( m ) ，那么研= n ( 硒= 0 ，而且研( 翮望研( m ) ，对 所有k 0 所以日；( 丽) 也是有限生成的，对所有歹 o ，1 ，i 一1 ) ；并且日j ( - ) 垡 h i ( m ) 由引理1 1 6 , m 是弱拉斯克的，从而可以用丽代替m 去证明结论，所以不妨 假设田( m ) = 0 从而根据引理1 1 9 ，存在y i n n z d r ( m ) 进一步，由于至日j ( m ) 是有限生成子模，根据命题1 5 、命题1 6 ，n 又是厶挠模，故存在n n ，使矿n = 0 令$ = y n ，则z i n n z d r ( m ) 且x n = 0 于是有以下行和列都正合的交换图； h i i l l ( m ) 三一上中1 ( m x m ) 皇一研( m ) 三日j ( m ) 上p 土t d 上 0 一研- 1 ( m x m ) 6 _ 1 ( ) 生一珥( m ) n _ 日；( m )( 1 ) ii o 0 其中e = 研- 1 ( p ) 由自然映射丌：m m x m 诱导，p 是自然映射，6 是连接同态，否 如下定义；m + 5 1 ( ) b - - - - - # j ( 仇) ，对所有m 研- 1 ( m z m ) ；q o 如下定义：d + n z t 观察到，k e r ( 回= ( 研1 ( m ) ) 是有限生成的由于r 是n o e t h e r 的，并且是有 限生成的，从而石- 1 ( ) 是有限生成的 8 弱拉斯克模的局部上同调模 二 弱拉斯克模的局部上同调模的相伴素理想 由于有正合列 j 一 群- 1 ( m ) 一日j - 1 ( 叫z m ) 一嘭( m ) ，n 从而研( m x m ) 是有限生成的，对所有七 i 一1 根据引理1 1 6 ，m x m 是弱拉斯 克的，所以由归纳假设，t ：= h f ( m x m ) i & _ 1 ( ) 只有有限个相伴素理想 由于是有限生成的，故a s s r ( n ) 是有限集，从而只要证 a 鹋月( 日j ( m ) n ) a s s r ( t ) ua s s r ( n ) ， 设p a 黯r ( 日j ( m ) n ) a s s r ( t ) ，只要证p a s s r ( n ) 设p = 龃n ( p ( 危) ) ，对某h 日j ( m ) 考虑t 的子模u ：= 否- 1 ( r p ( 危) ) ，那么由( 1 ) 的第二行，有正合列 0 一u 土r p ( h ) 上l ，o c r p ( h ) ) 一0 其中否t 定义为u 卜。否( t ) ，对所有t u 舻下定义为t ，一妒( t ，) ，对所有口r p ( h ) 由于u 是t 的子模，从而a s s r ( v ) a s s r ( t ) 由于p 譬妇r ( u ) ，从而由以上正 合列，有a s s r ( r p ( h ) ) , 冬a s s r ( u ) ua s s r ( 妒( r p ( 危) ) ) 由于p a s s r ( r p ( h ) ) ，从而p a s s r ( c p ( r p ( h ) ) ) 因为妒( j 印( ) ) ) = r 妒( p ( h ) ) = 月( 妒。力( 危) = r o do ( z ) ) ( 危) = r x h ，所以 p a s s r ( r x h ) 从而存在某s r ，使得p = a n n ( x s h ) 由于$ j ，而日；( m ) 是二挠 的，从而存在n n ，使得扩( 茁s 酌= 0 ，所以矿a n n ( x s h ) = p 由于p 是准素的，从 而p = a n n ( p ( ) ) 于是砒+ n = p ( x h ) = x p ( h ) = 0 ，从而x h n ，所以有x s h 由于p = 眦( 茁s l 1 ) ，我们有p a s s r ( n ) ，论断得证 口 下面我们给出本章的第个主要结论 定理2 2设f 是r 的理想，m 是弱拉斯克模设i n o 满足对所有j o ，1 ，2 ， 一1 ) ，研( m ) 是有限生成的那么集合a s s r ( 日；( m ) ) 是有限的 证明。在命题2 1 中设n = 0 ，我们立得结论 口 下面我们给出m 序列的概念 定义2 3 1 9 设m 是皿模，元素o r 称作是胁正则的，如果对所有0 z m ， 都有凹0 r 的元素a l ，a 2 ，a n 称作是 厶序列( 或m - 正则序列) ，如果下列两个 9 弱拉斯克模的局部上同调模 二 弱拉斯克模的局部上同调模的相伴素理想 条件成立： n - 1 ( i ) a l 是胁正则的，0 2 是m a i m - 正则的，是m a i m - 正则的； i = l n ( 2 ) m a i m 0 设x l l x 2 ，z 3 ，是个m 序列， 定义【2 l 理想j 相对于m 的次 r 称作这个序列的长度设i r 是理想， 呲们) = r 叩中存舭序弛恕渤，舟) ，若其他i 情形c _ z d “； 这里上确界是在n u o o ) 中取值 接下去我们讨论j 相对于弱拉斯克模m 的次的刻画首先我们有以下命题 命题2 4 设j 是r 的理想，r - 模m 是弱拉斯克的，设，_ n 那么下述等价。 ( i ) 存在个胁序列x l ，x 2 ，使得巧j ，对j = l ，2 ，r ； ( i i ) 日；( m ) = 0 ，对所有i 1 ，由，= 1 的情形知，存在x l i n n z d r ( m ) 从而有短正合列 0 _ _ m - 坠畸m 叫m 红i m 叫0 它给出正合列 日；( m ) 一日；( m x l m ) 一日；“( m ) ，歹n o 这说明了群( m x l m ) = 0 ，对所有歹 0 设9 _ g r a d e 肘( n 那么j 中存在个胁序列x l ，2 ：2 ，x 3 ，脚，使 得r 9 由命题2 4 ，日；( m ) = 0 ，对所有i r 从而p r 9 这证明了g r a d e m ( i ) p 现在设t p ，那么日；( m ) = 0 ，对所有i 0 ，并且结论对比g r a d e m ( j ) 小的值成立，那么存在可x n n z d r ( m ) 由定理 2 5 ，h f - 1 ( m ) = 0 于是以下正合列 诱导如下正合列 t 0 叫材兰一材叫m u m 一0 0 一田一1 ( m 乃m ) 一h f ( m ) - h f ( m ) ， 其中否是连接同态 设p a 黯r ( 研( m ) ) ，于是存在z 田( m ) ，使p = a n n ( 石) 由命题1 6 ，研( m ) 是l 挠模，于是可的某次幂零化z ，故y p 由以上第二个正合列，有z i m ( 石) ，故p a s s r ( h f 一1 ( m 乃m ) ) 于是a 豁r ( 研( m ) ) = 舡s r ( 研( m u m ) ) 由于g r a d e m f m ( j ) = 1 1 弱拉斯克模的局部上同调模 二 弱拉斯克模的局部上同调模的相伴索理想 夕一1 ，而且由引理1 1 6 ，m y m 是弱拉斯克的故由归纳假设，触r ( 群- 1 ( m y m ) ) 是有限集于是a 船r ( h f ( m ) ) 是有限集，从而结论成立口 下面是本章的第三个主要结论 定理2 7 设m 是弱拉斯克的皿模，j 是冗的理想设n n 满足对所有的i 1 ，并且对于所有i 0 ，故不妨假设m 是j 无挠的于是r j ( m ) = 0 ，从而有 扛正则元z i 于是 有以下正合列 0 叫m m m x m = 露叫0 ， 它诱导以下长正合列 一田一1 ( m ) j i 矸一1 ( m ) - 研一1 ( _ ) l 研( m ) 一 于是s u p p ( h ；( 府) ) 是有限集，v i n 一1 而且由引理1 1 6 ，丽是弱拉斯克的从而 由归纳假设有a 暑s ( 研- 1 ) 是有限的注意到s u p p ( i m ( 9 ) ) 至s u p p ( h ；* - 1 ( m ) ) 是有限 的应用【17 】( 引理2 2 ) 于正合列 0 一i m ( g ) 一衅。1 ( 硒一i m ( f ) 一0 ， 得缸s r ( h ( 纠是有限的注意到h ( ，) = ( o ：研( m ) $ ) 再利用【1 7 i ( 引理2 1 ) ，得 a s s r ( h ? ( m ) ) = a s s r ( o ：矸) dga 韶r ( o ：研( 材) z ) 是有限的 1 7 注2 8 根据引理1 1 6 ( i i i ) ，以上命题结论可改为”a s s r ( h ；( m ) ) 是有限的，矿 由于a r t i n 模的支集是有限的，故根据上述命题以下推论是显然的 1 2 弱拉斯克模的局部上同调模 二 弱拉斯克模的局部上同调模的相伴素理想 推论2 9 设品模m 是弱拉斯克的，j 是r 的理想设7 1 , n 满足对所有的i h ；( m ) 是a r t i n 模，那么a 鹃r c h t ( m ) ) 是有限的 1 3 弱拉斯克模的局部上同调模 三 弱拉斯克模的深度 第三章弱拉斯克模的深度 在这一章中我们给出弱拉斯克模的深度的概念，并且给出弱拉斯克模的深度的一 些刻画 首先我们有如下结论 定理3 1 设b 模m 是弱拉斯克的，j 是r 的理想假设i m m ，那么对于 一个给定的大于零的整数以下等价： ( 1 ) e x t 爻( ，m ) = 0 , vt 扎以及所有满足s u p p ( n ) 冬v ( i ) 的有限生成的品模； ( 2 ) e x t t ( a i ，m ) = 0 , vi 弼 ( 3 ) e x t 太( n ，m ) = o ，vi 1 ，设m a = m f m ，则由正合列 0 一m 上m 叫m 一0 ， 1 4 弱拉斯克模的局部上同调模 三 弱拉斯克模的深度 有e x t 盖( n ，m ) = o ，vi 1 ，由归纳假设，e x t l ( n ，m i ) = o ，vi n 一1 从而有正合列 0 一e x t _ ( ，m ) le x t i ( n ，m ) ，v i 住 但是e x t ( n ，m ) 被a n n ( ) 中的元素零化由于s u p p ( n ) = v ( a n n ( n ) ) v ( n 于是 j 冬、压莉，并且 的某次幂零化e x t i ( n ，m ) ，从而e 砒- ( ，m ) = o ，vi 口+ 1 但2 ；2 ，是i 中的极大尬- 序列， 从而由归纳假设，有g + 1 = n 一( s 一1 ) ，所以g = 竹一8 口 推论3 7 在上一定理的条件下，耖l ，是个m 序列d e p t h ( i ，m ) = n 证明：d e p t h ( ，m ) = n 凰( 型，m ) = 0 , vi 0 兮型是一个m - 序列 r l 1 6 弱拉斯克模的局部上同调模四 弱拉斯克模的局部上同调模的弱上有限性 第四章弱拉斯克模的局部上同调模的弱上有限性 研究局部上同调模的上有限性是研究它的一个重要方面这一章我们给出了弱拉 斯克模的局部上同调模的弱上有限性的一些结论 定义4 1 【1 0 l1 1 - 模m 称为厶上有限模，如果s u p p ( m ) v ( o ，且对于 o ，e x t 夤( r i ，m ) 是有限生成模 定义4 2 1 8 】设，是r 的理想，m 是尼模我们称m 是l 弱上有限的，如果 s u p p ( m ) y ( ，) ，且对于o ，e x t i 2 ( r x ，m ) 是弱拉斯克的 例4 3 s l ( i ) 设j 是冗的理想，r - 模m 满足s u p p 嚣( m ) y ( n 若m 是弱拉斯克 的，则由引理1 1 6 ( i i ) ，m 是l 弱上有限的特别地，若m 是有限生成模或a r t i n 模， 则m 是弱上有限的 ( i i ) 任意厶上有限模都是弱上有限的 在f 6 j 中d e l i i n o 和m a r l e y 证明了如下结果 定理4 4 设( r ，m ) 是n o e t h e r 局部环，j 是r 的理想，m 是维数为n 的有限生 成的r - 模，则琊( m ) 是i - 上有限的事实上，对 0 ，e x 噜( 冗l ，研( 必) ) 具有有 限长度 下面的命题是上一定理的推广 定理4 5 设m 是维数为d 的弱拉斯克的冗- 模，j 是r 的理想若对vz n z d r ( m ) , s u p p ( 怛 j 1 ( 0 ：研( 扩) ) 是有限的，则础( m ) 是l 弱上有限的 证明：若d = 0 ，由于d ( m ) 是弱拉斯克的，故由引理1 1 6 ，n ) 是厶弱上有限 的 设d 1 ，由于聊( m r i ( m ) ) 竺琊( m ) ，故可假设m 是l 无挠的于是存在n n z d a ( m ) n ，从而有正合列 0 叫m 上m 叫m a m = 府叫0 ， 1 7 弱拉斯克模的局部上同调模 四 弱拉斯克模的局部上同调模的弱上有限性 诱导长正合列 一研1 ( 厨) 一冽( m ) _ 础( 厨) 一 所以h d ( m ) = 里，( 。：研( 枷矿) ) ，由假设条件知，s u p p ( 旦( 0 ：删( 聊矿) ) 是有限的，故 根据引理1 1 6 ，霪t j 。( 。：卅( 扩) 是弱拉斯克的，即唧( m ) 是弱拉斯克的再次利用 引理1 1 6 ，得剧( m ) 是l 弱上有限的 口 1 8 弱拉斯克模的局部上同调模 参考文献 参考文献 【1 】m f a t i y a h ，i g m a c d o n a l d ，i n t r o d u c t i o nt o c o m m u t a t i v ea l g e b r a , a d d i s o n - w e s l e y p u b l i s h i n gc o m p a n y , 1 9 6 9 【2 】m p b r o d m a n n ，l e c t u r e so nl o c a lc o h o m o l o g y , i n s t i t u eo fm a t h e m a t i c sh a n o i ，2 0 0 1 【3 】m p b r o d m a n n ，f a l a s h g a r i ，af i n i t e n e s sr e s u l tf o ra s s o c i a t e dp r i m e so fl o c a lc o h o - m o l o g ym o d u l e s ，p r o c a m e r m a t h s o c 1 2 8 ( 2 0 0 0 ) 2 8 5 1 - 2 8 5 3 【4 】m p b r o d m a n n ，r y s h a r p ，l o c a lc o h o m o l o g y ：a na l g e b r a i ci n t r o d u c t i o nw i t hg e o m e t r i c a p p l i c a t i o n s ，c a m b r u n i v p r e s s ，c a m b r i d g e1 9 9 8 【5 】褚利忠，局部上同调模与广义局部上同调模，博士论文，2 0 0 7 【6 】d d e l f i u o ，t m a r l e y , c o f i n i t em o d u l e sa n dl o c a le o h o m o l o g y , z 凡他a p p l a l g e b r a 1 2 1 ( 1 9 9 7 ) 4 5 - 5 2 吲k d i v a a n i - a s z a r ，a m a l l ，a s s o c i a t e dp r i m eo fl o c a lc o h o m o l o g ym o d u l e s ，p r o c a m e r m a t h b o c 1 3 3 ( 2 0 0 5 ) 6 5 5 - 6 6 0 i s 】k d i v a a n i - a a z a r ，a m 蚯，a s s o c i a t e dp r i m eo fl o c a le o h o m o l o g ym o d u l e so fw e a k l y l a s k e r i a nm o d u l e s ，c o m m a l g e b r a3 4 ( 2 0 0 6 ) 6 8 1 6 9 0 【9 】a g r o t h e n d i e c k ，l o c a lc o h o m o l o g y ，l e c t u r en o t e si nm a t h e m a t i c s ，4 1 ，s p r i n g e r ，b e r l i n 1 9 6 7 f 1 0 1r h a r t s h o m e ，a 击l i l ed u a l i t ya n dc o f i n i t e n e s s ，i n v e n t m a t h 9 ( 1 9 7 0 ) 1 4 5 - 1 6 4 【1 1 1c h u n e k e ，j k o h ，c o f i n i t e n e s sa n dv a n i s h i n go fl o c a lc o h o m o l o g ym o d u l e s ，m a t h p r o c a m b p h i l 3 0 c 1 1 0 ( 1 9 9 1 ) 4 2 1 - 4 2 9 【1 2 c h u n e k e ，p r o b l e m so nl o c a lc o h o m o l o g y , i n ：f r e er e s o l u t i o n si nc o m m u t a t i v ea l g e b r a a n da l g e b r a i cg e o m e t r y , r e s e a r c hn o t e si nm a t h ，e d b ye i s e n b u dd ，a n dh u n e k ec ， j o n e sa n db a r t l e t t ，b o s t o n ，( 1 9 9 2 ) 9 3 - 1 0 8 1 9 弱拉斯克模的局部上同调模参考文献 【1 3 jc h u n e k e ，r s h a r p ，b a s sn u m b e r so fl o c a lc o h o m o l o g ym o d u l e s t r a n s a m e r m a t h , 9 0 c 3 3 9 ( 1 9 9 3 ) 7 6 5 - 7 7 9 。 f 1 4 】m k a t z m a n ，a ne x a m p l eo fr ni n f i n i t es e to fa s s o c i a t e dp r i m e so fal o c a lc o h o m o l o g y m o d u l e ，za l g e b r a2 5 2 ( 2 0 0 2 ) 1 6 1 - 1 6 6 【1 5 jm k a t z m a n ，t h es u p p o r to ft o pg r a d e dl o c a le o h o m o l o g ym o d u l e s ，i n ：c o m m u t a t i v e a l g e b r a 删绒af o c u so ng e o m e t r i ca n dh o m o l o g i c a las p e c t s , i n ：l e c t u r en o t e si np 妣 a n da p p l m a t h ，d e k k e r ，i np r e s s 【16 】k k h a s h y a r m a n e s h ，s h s a l a r i a n ，o nt h ea s s o c i a t e dp r i m e so fl o c a lc o h o m o l o g ym o d - u l e s ，c o m m a 冶2 7 ( 1 9 9 9 ) 6 1 9 1 - 6 1 9 8 【1 7 k b l o r e s t a n i ，p s a h a n d i ，t s h a r i f , an o t eo nt