（基础数学专业论文）hilbert空间中框架的稳定性.pdf

h i l b e r t 空间中框架的稳定性 王娟 摘要：小波分析是应用数学的一个重要的分支，框架理论是小波分析的重 要组成部分，框架的稳定性是框架理论中的重要研究内容 本文主要是研究了h i l b e r t 空间中框架的稳定性，包括一般框架和两类重要框 架的稳定性，其中重点讨论了小波框架的稳定性同时，还系统研究了h i l b e r t 空间 和赋范空间上的共轭线性算子，为更好的研究框架的稳定性奠定了基础全文共分 为三章： 第一章；研究了h i l b e r t 空间中一般框架的稳定性首先，总结回顾了h i l b e r t 空间中的b e s s e l 列，框架与框架算子的概念以及它们的相关性质并给出了一系列等 价刻画然后，讨论了一般框架的稳定性，进而为讨论g a b o r 框架和小波框架两类 特殊框架的稳定性奠定了基础 第二章：研究了g a b o r 框架和小波框架两类特殊框架的稳定性讨论了它们成 为框架的一些充要条件条件以及相关重要性质，重点讨论小波框架的稳定性并且得 到了小波框架良好的性质 第三章：研究了h i l b e r t 空间和赋范空间中的共轭线性算子讨论了共轭线性 算子对应于线性算子的一系列重要性质，并且研究了线性算子与共轭线性算子的一 些关系 关键词：稳定性；h i l b e r t 空间框架；g a b o r 框架；小波框架；共轭线性算子 o nt h es t a b i l i t yo ff r a m e sf o rh i l b e r ts p a c e s w a n gj u a n a b s t r a c t w a v e l e ta n a l y s i si sa ni m p o r t a n tb r a n c ho fa p p l i e dm a t h e m a t i c s t h e o r yo ff r a m e si sa ni m p o r t a n tp a r to fw a v e l e ta n a l y s i s ，a n dt h es t a b i l i t yo ff r a m e st a k e s a ni m p o r t a n tp a r ti nt h es t u d yo ff r a m e s i nt h i sa r t i c l e ，w em a i n l ys t u d yt h es t a b i l i t yo ff r a m e sf o rh i l b e r ts p a c e s ，i n c l u d i n g t h es t a b i l i t yo fg e n e r a lf r u m e sa n dt h a to ft w oi m p o r t a n tc l a s s e so ff l a m e s a n dw et a k e m u c ha t t e n t i o nt ow a v e l e tf l a m e s f u r t h e r m o r e w es t u d yt h ee o n j u g a t el i n e a ro p e r a t o r s o nh i l b e r ts p a c e sa n dn o r m e ds p a c e s w ed i v i d et h ea r t i c l ei n t ot h r e ec h a p t e r sa sf o l l o w s ： i nc h a p t e r1 ，w em a i n l yd i s c u s st h es t a b i l i t yo fg e n e r a lf r a m e s a tf i r s t ，w er e c a l l t h ed e f i n i t i o n sa n dt h ee h a r a e t e r a z i t i o n so fb e s s e ls e q u e n c e s ，f r a m e sa n df r a m eo p e r a t o r s a n dg i v es o m ee q u i v a l l e n tc h r a c t e r i z a t i o n so ft h e m w et h e ns t u d yt h es t a b i l i t yo ff r a m e s a n do b t a i naf o u n d a t i o no ft h ef o l l o w i n gs t u d yo ng a b o rf r a m e sa n dw a v e l e tf r a m e s i nc h a p t e r2 ，w es t u d yt h es t a b i l i t yo fg a b o rf r a m e sa n dw a v e l e tf r a m e s s o m e s u f f i c i e n ta n dn e c e s s a r yc o n d i t i o n sf o rt h e ma r eg i v e n w ed i s c u s st h es t a b i l i t yo ft h e s e f i a m e sa n do b t a i ns o m er e s u l t s i nc h a p t e r3 ，w es t u d yt h ec o n j u e a t el i n e a ro p e r a t o r so nh i l b e r ts p a c e sa n dn o r m e d s p a c e s as e r i e so fi m p o r t a n tp r o p e r t i e so ft h e s eo p e r a t o r sa r eo b t a i n e d ，s o m er e l a t i o n s h i p s b e t w e e nc o n j u g a t el i n e a ro p e r a t o r sa n dl i n e a ro n e sa r ea l s od i s c u s s e d k e y w o r d s s t a b i l i t y ；f l a m ef o rh i l b e r ts p a c e s ；g a b o rf r a m e ；w a v e l e tf r a m e ；c o n j u - g a t el i n e a ro p e r a t o r i i 学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我在导师的指导下进行的研究工作及取得的研 究成果。尽我所知，除文中已经注明引用的内容外，论文中不包含其他个人已经 发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得陕西师范大学或其它教育机构的学位 或证书而使用过的材料。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中 作了明确说明并表示谢意。 作者签名：搬日期：作者签名：生。( 墨殴 日期：丝? 石jj 学位论文使用授权声明 本人同意研究生在校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属陕西师范大 学。本人保证毕业离校后，发表本论文或使用本论文成果时署名单位仍为陕西师 范大学。学校有权保留学位论文并向国家主管部门或其它指定机构送交论文的电 子版和纸质版；有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进入学校 图书馆、院系资料室被查阅：有权将学位论文的内容编入有关数据库进行检索 有权将学位论文的标题和摘要汇编出版。 作者签名：坳 前言 小波变换的概念是由法国从事石油信号处理的工程师j m o r l e t 在1 9 7 4 年首先 提出的，通过物理的直观和信号处理的实际需要经验建立了反演公式，当时未能得 到数学家的认可1 9 8 6 年著名数学家y m e y e r 偶然构造出一个真正的小波基，并 与s m a l l a t 合作建立了构造小波基的方法及其多尺度分析之后，小波分析才开始 蓬勃发展起来，它与f o u r i e r 变换，窗e 1f o u r i e r 变换相比，这是一个时间和频率的 局域变换，因而能有效的从信号中提取信息，通过伸缩和平移等运算功能对函数或 信号进行多尺度细化分析( m u l t i s c a l ea n a l y s i s ) ，解决了f o u r i e r 变换不能解决的许 多困难问题，从而小波变化被誉为“数学显微镜”，成为调和分析发展史上里程碑式 的进展 小波分析是应用数学的一个重要分支，近几年来发展迅速在图象压缩，信号 分析，数据处理，信噪过滤等等方面都有广泛而有效的应用，一直以来都是中外学 者研究的重点，参见文献 1 1 一【5 而框架理论又是小波分析中一个极为重要的构成 部分其中框架的稳定性因为在理论以及实际中都有深远的意义，所以一直以来都 是关注的焦点，参见文献【6 】- 【1 1 本文所研究的稳定性主要是定义在h i l b e r t 空间中的，h i l b e r t 空间w 上的框 架f 厶) 。，稳定性的问题主要是指；对框架 a ) 。e ，进行一些“小的扰动”后得到的 序列是否仍是框架的问题例如：当 ，n 。e ，为“上的框架时，讨论 ，n + g n 。卧 t 厶) 。f 能否成为饨的框架的问题，这都属于框架的稳定性问题 第一章，讨论h i l b e r t 空间中一般框架的稳定性，给出了b e s s e l 列，框架的一系 列等价的刻画，并且在此基础之上研究一般框架的稳定性，得到一系列重要性质 第二章主要研究h i l b e r t 空间l 2 ( 豫) 中两类特殊框架： g a b o r 框架和小波 框架的稳定性我们主要是通过类似于g a b o r 框架的稳定性的方法讨论小波框架 f 妒。) 。艇z 在扰动n 时的稳定性对于小波框架，当妒以及a 。与n 的距离满足所 限定的条件时， 妒。 。z 通过微小的扰动仍然构成空间l 2 ( r ) 中的框架 第三章中，我们深入研究h i l b e r t 空间和赋范空间中的共轭线性算子首先讨 论复h i l b e r t 空间上的共轭线性算子及其连续性，定义共轭线性算子的共轭线性伴 随算子，研究它的重要性质，在此基础上定义共轭线性可逆算子并讨论它们的一系 列重要性质；给出了对应于共轭线性算子的r i e s z 表示定理以及算子极化等式的相 应表示式；定义并给出自伴共轭线性算子、反酉算子等价条件；然后研究了赋范空 间中的共轭线性算子，讨论共轭线性算子的连续性，得到连续复共轭线性算子空间 c c l ( x ，y ) 与连续算子空间b ( x ，y ) 之间的关系，同时更进一步的研究w 一对偶空 间c c l ( x ，c ) 的性质最后，讨论i 一对偶算子与。一对偶算子之间的关系， 并且得到一些算子之间的交换关系 第一章h i l b e r t 空间中一般框架的稳定性 引言 h i l b e r t 空间中框架的稳定性一直以来都是焦点问题，人们经常会问：对h i l b e r t 空间中的框架进行“小的扰动”后还是不是框架? 如果是，那么这种“小的扰动” 应当符台什么样的条件? 在本章中，我们主要是围绕h i l b e r t 空间中一般框架和两 类重要框架的稳定性展开讨论的 1 1h i l b e r t 空间中的b e s s e l 列 本文用丸表示复的可分无限维h i l b e r t 空间，j 表示一个可数集( 将作为指标 集) ，( 工) 表示，有限子集之集，f 2 ( j ) 表示满条件。，i c 。1 2 + o 。所有可数的复数 族 ) 。e i 构成的h i l b e r t 空间，简记为f 2 ，s ( c ) 表示所有可数的复数族 ) 。e i 之 集，其中的元素 。，可以看成定义在j 上的一个复值函数，：，- c 于是 f 2 ( j ) = c n ) 。，：c n c ，i c 孔1 2 + 。) = ，：j 叶c ：i f ( n ) 1 2 o ，使得 i i 岛厶| | g ( 1 c n l 2 ) ，v c n ) 。，1 2 n e a n e a e 。f 1 lso i l c 。) 叫 岛) 俐c ，v ae ，( z ) n e i ( 4 ) v c n ) 。，1 2 , 。， 收敛 ( 5 ) v z “，。州z ， ) 1 2 收敛； ( 6 ) 存在正常数m s 使得 ) 1 2 m s l i = i i = , v x 丸，v a ，( z ) n e a 注1 1 5 v s b ( ，) ，t s 的共轭算子由下式给出 且? - 有 厶，v c n ) 吲1 2 n ， 厶) 1 2 = i i t s z i l 2 i i t s + | | 2 | | z i l 2 = i i t s l l 2 1 1 = 1 1 2 n e l 1 2h i l b e r t 空间中的框架与框架算子 定义1 2 1 【1 】设，= 厶 。，鼽( ，) 且存在正常数a ，b 使得 a i i z i l 2 ，n ) 1 2 b i i z i l 2 , v x 丸， ( 1 ，2 1 ) n e l 则称，为觎中的一个框架( f r a m e ) 3 对于一个框架，= a 。，记 4 ，= s u p a 0 ：a i i x l l 2 茎i ( 。， ) 1 2 ，v z “) n e i b f = i n f b 0 ：厶) 1 2 b i i x l l 2 , 比“) h e l 分别称a f ，b j 为f = ，佗) 。j 的框架下界与框架上界显然 a s l i x l l 2 茎厶) 1 2sb s i i x l l 2 , v z 7 t n e i 定义1 2 2 【1 】对于一个框架f = 厶) 。若a f = b ，则称，为“中的一个 紧框架( t i g h tf r a m e ) 特别，当a s = b f 一1 时，称，为7 4 中的一个正规化紧框架 ( n o r m a l i z e dt i g h tf r a m e ) 用珊( n t f n ( i ) ，n t f n ( i ) 分别表示7 4 中的所有以指标集，标号的框架，紧框 架与正规化紧框架之集显然，b e s s e l 族，框架，紧框架与正规化紧框架之间有下 面的关系： b 州( ，) 3f m ( ，) t f u ( z ) t f m ( ，) 命题1 2 3 设s b u ( z ) ，gef u ( i ) ，l i t i i l 2 0r x 寸 任意的口“，有 1 | 巧g 0 = i i t ，x4 - 乃z | | i i t 9 x l l i i t ，x l l a g i l x l l 一0 巧i i i i x l l = l i i x l l 这就证明了f 士g f u ( n 推论1 2 4 设f ，g f h ( j ) 满足 【a ，i i 巧旧n a 9 ，l | 弓旧= 0 ， 贝9 ，士g j k ( j ) 定义1 2 5 【1 1设，= 厶) 。j 与9 = g n ) 。j 是丸的两个框架且满足以下条 件： = ( z ， ) 鼽= ( 文g n ) ，v x w ， n e l n e i 则称g = g n ) 。，为，= 厶) 。，的一个对偶框架( d u a lf r a m e ) 4 显然，若g = 鲰) 。，为，= 厶 。e ，的一个对偶框架，则，= ) 。e r 也是 9 = 乳) 。，的一个对偶框架此时，我们称 ，19 ) 是一对对偶框架( p a i ro fd u a l f r a m e s ) 引入对偶框架这一概念的目的是：寻找- - x 寸框架，使它们能够通力合作， 以便表示任一向量，进而生成整个空间下面的推论1 2 9 证明：任一框架都有对偶 框架因此，框架实际上是一种基 定义1 2 6 【1 】 设，= 厶 。，是丸的一个框架且满足以下条件： c 。) 。，e5 证( ，) ，c 。，n = 0 辛= o ，v n n e ， 则称，= n i 为c o 一独立框架一i n d e p e n d e n c ef r a m e ) 用， ( ，) 表示日的以j 指标集的所有u - 独立框架之集，o w ( j ) 表示w 的以 j 为指标集的所有正规正交基之集 定理1 2 7 【6 】 设，= ) 。g = t 鼽) 。，为丸中的两族元素，则 ，9 是一 对对偶框架当且仅当f ，geb n ( i ) 且马t f = i 引理1 2 8 1 6 设，= ) 。，eb h ( n 则 ( 1 ) ，风( ，) 静巧下有界甘巧+ 是满射静巧+ 巧可逆( 即为双射) ； ( 2 ) ，e t f n ( i ) 乃为数乘等距( 即存在等距算子s 及非零常数k 使得? ，= k s ； ( 3 ) ，鳓( ，) j t j 具有闭值域； ( 4 ) ，j 毋c ( j ) 甘t s 可逆，即t f 。b ( f 2 ，丸) ； ( 5 ) ，0 “( j ) 铮t ，是酉算子，即巧+ 巧= i h ，t l d = 印 推论1 2 9 【6 ) 设，= ) 。，s x ( i ) 则 ( 1 ) g = g 。h f r ( i ) 且a b ( r ，觎) 为满射辛如ef 钆( 耽 ( 2 ) f = a ) 。jef k ( ，) 甘存在h i l b e r t 空间坛与其正规正交基 e 。) 。i 及满射 ae b ( r ，7 - ) 使得a e 。= 厶( v ne 功 ( 3 ) ，= ) 。ie 功( ，) 甘存在h i l b e r t 空间“的正规正交基 e n 。j 及满射算 子a eb ( n ) 使得a e 。= 厶( v n n 推论1 2 1 0 6 1 设，= ) 。jef k ( n a = ( 巧d ) - 1 ，n ，则 ( 1 ) ，= ) 。，e r x ( x ) 且 z = e 0 使得对任一g = g n 。， b 州( j ) ，当l l ，一9 l | 0 满足a + 赤 1 使得 c 九) n e c c ，v a ，( ，) 有 | | c 。( ，n 一9 。) l l 刈c 。圳+ p ( 蚓2 ) ， ( 1 3 1 ) n an e n e a 则9 = 甄) 。，( n 证明 由条件( 1 3 1 ) 知：v ) 。acc ， c a 厂( j ) 有 j ( ，凡一g n ) l l ( a 百7 再) ( i c n l 2 ) n e a n e a 于是，根据定理1 1 4 知：，一g = 厶一g 。) b h ( i ) ，从而g = 9 。) b 日( j ) 进一 步，由条件( 1 3 1 ) 知 i i t z + c 一毛+ c 1 | a | i t s + c l | + u l l c l l ，v c f 2 对任一。7 t ，在上式中取c = t s ( t i + 乃) = t i 。，得 i l z 一码+ t f 。l l a i i 。| | + p 1 | t f 茁， ( 1 3 2 ) 由定理l - 2 1 5 知：1 | 弓o b ，2 赤所以，由条件0 - 3 2 ) 得到 i x - 马+ 牛| | ( 卢赤川扛| | 因此l l 咕一乃4 弓| l a + p 赤 1 故马巧可逆，因而t g + 为满射再由引理1 2 8 知：g = q n ) 。，j k ( j ) ，证毕 定理1 3 5 1 q 设a 是b a n a c h 空间x 上的线性算子，且存在常数a l ，a 2 【0 ，1 ) 使得 | | z a z | | a 1 | i z | | + a 2 l i j 4 卫| | ，、，。x ， 则对任a 0 , a a i 是有界可逆算子且v x x ，有 望掣忙雌i i ( a - a r 驯is 坐掣忙m 7 r 了了i ：i i z i | 眦a a j ) - 1 x r 二了i 兰i 1 1 z 推论1 3 6 1 8 】在定理1 3 5 的条件下，算子a 有界且其谱满足条件o ( a ) n ( 一o 。，0 = o 推论1 3 7 1 9 ( n e u m a n n 引理)设a 是b a n a c h 空间x 上的有界线性算子且 a 一训 1 ，则对任意的a s0 ，a a j 可逆且 | | ( a 一。7 ) 一1 。| | si ：二1 i j i 二而l l 。j | ，v 。x 定理1 3 8 f 1 9 】设x ，y 为b a n a c h 空间，以v ：x _ y 为线性算子，且存在常 数a 1 ，a 2 0 ，1 ) 使得 f i u x y z i i 茎a 1 i i u x l i + a 2 lj y 。l i ，v x x ， 则以下结论成立： ( 1 ) u 有界铮v 有界； ( 2 ) u 下有界铮v 下有界； ( 3 ) u 有闭值域甘v 有闭值域； ( 4 ) u 为有界满射甘v 为有界满射； ( 5 ) u 为单射铮v 为单射； ( 6 ) u 为有界可逆算子甘v 为有界可逆算子 定理1 3 9 【1 。】设x ，y 为h i l b e r t 空间，以v ：x _ y 为线性算子，且存在常 数 1 ， 2e 【0 ，1 ) ，p 20 使得 i u z 一矿z | | 1 i i u z i i + m i w ：i i + # l l 。：l l ，v z x 则以下结论成立： ( 1 ) u 有界当且仅当y 有界； ( 2 ) 如果u 是有界满射，则u u + 可逆； ( 3 ) 如果u 是有界满射且a l + , l l u + ( u d + ) _ 1 | | l ，则v 是有界满射； ( 4 ) 如果u 是有界可逆算子且a 1 + 圳u + ( u u + ) _ 1 | | l ，则v 是有界可逆算子 定理1 3 1 0 设，= ( ，礼 。，g = 9 。 。f s ( z ) 且存在常数 l ， 2 【0 ，1 ) ，灿20 使得v a f ( n v c n ) 。 c c ，有 c 。( ，n 一跏) 忪a l i i c 。圳+ a 2 | | | | 9 。i i + p ( 川2 ) ， ( 1 3 ，3 ) n an ai an a 则以下结论成立： ( 1 ) ，是b e s s e l 族当且仅当g 是b e s s e l 族 8 ( 2 ) 如果，是框架且1 1 + 赤 1 ，则9 也是框架- 证明 ( 1 ) ：只需证明必要性设，是b e s s e l 族由条件( 1 3 3 ) 可知v ae f ( n v c 。) 。 c ，有 从而 c a g 。i i n a i i 岛( 厶一鲰) i i + i l 厶| | n an e a ( 1 + a 1 ) | | c 。a l l + a 2 1 1 i i + p ( 川2 ) n e an e an c a c n 鼽i i _ 兰恚| | | | + r 兰石( i 1 2 ) n e a 。n e a n a 曼( 戡+ 盏三删) 故由定理1 1 4 知：9 是b e s s e l 族 ( 2 ) ：设，是框架且1 t + 赤 0 ，使得 | | r n 9 l 。+ 剖o 。 。 b _ 蚓s u 吣p 】k e z i n e z a ( z ) 9 ( x - - h a - - 沁o o 则 m b ”“9 ) m , n e z 构成l 2 ( r ) 的框架，框架界分别为百a ，百b 1 1 证明考虑工2 ( r ) 中具有紧支撑的连续函数，则有 l ( f ，m m b t n 。9 ) j 2 = ； ( z ) 1 2 m n 。) 陋 m n 6 z 。 n e z 十；忑r 而m 一；) n e z m 。 对于任意的k z ，定义 因此，我们有 所以 h k ( z ) = 咒a 9 ( z ) 印 n e z 啪唧啪啪 z 巩 t 一 讲 蛳 一 一叫 陬 陬 l 墨簇 删 圳 啪“三、 如 蹦 曝碱 乖 球 ， 控 谤= 篡= z 旧 v r_1曲，一一。 一胁忡卅班丢孕 一m 似 m 忡 卯 一 九门v忆 一 i i 0 ，g l 2 ( r ) 在长度为 的区间具有支撑且存在 a b 0 ，使得 asf i g ( z n a ) 1 2 b ， n 6 z 对于几乎所有的z r ，则 慨”& “g ) 。艇z 是l 2 ( r ) 的框架且框架界为譬，鲁 2 2 小波框架 定义2 2 1 1 6 l设母l 2 ( 弧) 柳，k z n a 1 ，b o 定义 锄，k ( z ) = 。 币( 一z k b ) ， 若 奶，k j ，女z 构成三2 ( 瓞) 的框架，则称 奶， ) ，t z 为l 2 ( 碾) 的小波框架同样可以 用算子定义框架，即：空间l 2 ( r ) 的小波框架是由给定的函数妒通过平移和定标 变换得到的，它的基本形式为 & n 妒h z ，其中常数口 1 , b 0 ，容易证明， 妒，r l 1 ( r ) nl 2 ( 豫) 并且i f 咖，i i l = = i m i l = 如果函数 奶，t ) 。k z 构成l 2 ( 豫) 中的框架，则称币是l 2 ( r ) 中的框架函数( f r a m e f u n c t i o n ) ，l 2 ( r ) 中的全体框架函数记为f f ( l 2 ( r ) ) 定理2 2 2 【15 】( 必要条件) 若 呜， k z 构成l 2 ( 腱) 的一个框架，则 訾j 4s _ 。掣s 訾b ， 1 3 z g 眦 2 z ， p忖 l 一6 a 一6 一 一 七一6 0 一 卫 9 on z g 咄妣 等a 半武s 等b ， 注2 2 3由以上的两个不等式可知妒是基本小波 定理2 2 4 1 ”】( 充分条件)常数o 1 , b 0 ，给定函数妒l 2 ( r ) ，并且假定 拒l ，凰丕腑7 ) 1 2 一k ；0 n e z 胎帆 抄。， 肛僦，邑胎帆沁”， 则 & ”t b ”币) m , n e z 构成妒e 工2 ( r ) 的框架，框架界为鲁，鲁 定理2 2 5 【2 1 】设o22 为正整数且b 0 ，假定 口 妒( 一z 一舳) ) j z 是上2 ( r ) 中具有界a ，b 的框架，则对于所有同n 互素的正整数n “n 一 。 妒( 一z 一譬) ) ，z 也 构成l ( 爬) 的框架，框架界仍为a ，b 定义2 2 6 【6 】设皿是由l 2 ( 盐) 中有限个函数构成的集合，由妒生成的( 二 摊) 小波系统定义为； w 勺； 勘死妒：妒e 皿，j ，kez ) 我们将皿中的函数称为母波 命题2 2 7设勺是由一个母波妒生成的小波系统，则w 正交当且仅当以 下条件对于任意的z 和j o 都成立： c ，= 。1 裂谳 证明如果正交，因为由以上的情况知是所给的条件是正交系统定义中 的一部分，所以显然成立 为了证明命题的反方向仍然成立，我们应当首先发现平移和定标算子都是酉算 子，即：v f ，g l 2 ( r ) ， ( ，1 s a g ) = 死，t k g ) = ( ，j g ) 并且可以推知 s b t k = t t d 8 ， d 因此，我们可得 ( 咖k ，奶，k ) = ( s 2 ，巩妒，- t k 妒) = ( 妒，妒) = 1 所以当j j 也成立证毕 注2 2 8 我们可以将命题1 2 6 改写为：皿正交当且仅当以下条件对于任 意的k z 和j o ： ( 蜘m 扣 。1 裂需 定义2 2 9 【2 1 】设妒l 1 ( r ) n l 2 ( r ) ，且存在正常数a ，b 0 使得 a 1 妒( 2 - j u ) 1 2 ，。e 骢 j z 则称妒是一个二进小波( d y a d i cw a v e l e t ) l 2 ( r ) 中的全体二进小波之集记为d w ( l 2 ( r ) ) 定理2 2 1 0 1 2 1 】 二进小波必是小波 定理2 2 1 1框架函数必是二进小波 证明 若 奶，k ) j ，k z 构成l 2 ( r ) 中的框架，则由定义知；v ，l 2 ( r ) ， 而 a l l f l l 2 咖肼圳川2 ； ( 2 2 1 ) j k c z 1 5 奶，) f 2 = i 坤) 2 评；可可d t l 2 ，k e z j ，i z j 一。 = 2 寻厂。f ( 2 j 。+ 2 飞) 瓣。 k e z o o 。 。薹暴歪l 仁，( 2 西( 咄请。酬2 。毳杀乏i 薹e ：r ( f + 加m 西c 咄刮。 。j e k e zl 斯( 乏弦2 州西删f 鼬1 2 3 毳新”i 驴砌吼删伊划2 = 釉巾( u 十2 州) 声( u + 2 删z ， i c 口m 所以，根据( 2 2 1 ) 式可知： 州1 1 2 - o ，咖艇，在( 1 ，3 ) 式中令 m ) = 孺1x 扣。吣l 2 ( r ) ， 则有 b 2 f i z ：，( 2 ( 。+ 2 7 r f ) 声( z + 2 。f ) 1 2 d z j z 。” e z = 2 j 厂。l ，( 2 j 卫) 西。出 j z j o 。 2 薹z 仁慨叫 “瓤炉出 2 丢矩篙陬圳2 出 2 夏去仁圳2 出 1 6 令_ 0 ，则 i 乒( 如) 1 2 b ，。n ( 2 2 3 ) 另一方面，v w o ， 0 ，存在正整数m 使得： 以挑。i 西( 圳2 山 哪 ( 2 。4 ) 令0 e 百2 - j 6 + l ，f z ，和u 1 2 - j o j 0 一，2 一j 【) o + 丌】，函 数- = 去x 【w o - 。, w o + s 满足： ，( + 2 丌f ) ) = 0 ( 2 2 5 ) 因此 o 。 2 一o j 0 + 一，三2 k 乏触2 j 川州) ) 审( w + 2 x ) i t 塞鞭：” 吾f 丽陬刊啦删) j ( 赤尹 纠。妻z 裟n - 吲2 j 因为e 0 因为q 0 是任意的，由( 2 2 3 ) ，( 2 ，2 7 ) 式知 一m c f l v i 审( 2 叫。) 1 2 ( 2 2 6 ) 一 i 审( 2 一训2 ( 2 2 7 2 ) j z 对于u 0 ，同样可以证明成立，所以根据( 2 2 3 ) ，( 2 2 、7 ) 式可以知道，母为二进小 波证毕 2 3 小波框架的稳定性 定理2 3 1 f 1 8 】设伪 j ，为希尔伯特空间日的具有界a ，b 的框架， 9 j j j 为日中的序列，若( 疗一9 j j e j 构成日中的b e s s e l 列且其界m 0 ，总3 5 0 ，使得 ( 1 ) 上搿i f ( t ) l d t e ，0 q ，v zer ( 2 ) 层i f ( t ) l d t e ，0 卢一o t d ； ( 3 ) 丘i f ( t ) l d t e ，其中ecb 用为可测集且0 0 , v x r ，当i ( z + q ) 一( z q ) l = 1 2 0 l 0 ， 当i k 一训 譬，v nez 时，。z l r ( o “z ) i e