（基础数学专业论文）离散时间markov链的遍历论.pdf

山东大学硕士学位论文 摘要 m a r k o v 链的遍历论是研究m a r k o v 链的渐进性态的理论m a r k o v 链在概率 论、随机微分方程、排队论、统计物理、m o n t ec a r l o 数值计算和迭代函数系统 的研究中有重要应用不变测度的存在性、遍历性和渐进稳定性是遍历论研究的 主要课题 本文研究了离散时间m a r k o v 链的遍历论中的几个重要问题主要方法是由 m a r k o v 链的转移概率测度导出测度空间或函数空间上的m a r k o v 算子，通过研究 算子的渐进性质，得到m a r k o v 链的遍历性质本文共分为四个章节 第一章研究局部紧可分度量空间上的m a r k o v 算子的遍历分解定理遍历分 解定理说明了基本遍历测度是不变概率测度空间中的”基本元素”，不变概率测 度可以表示成基本遍历测度的积分形式因此，遍历分解的研究有助于刻画不变 概率测度的存在性和唯一性y o s i d a 4 9 给出了紧空问上具有不变概率测度的 m a r k o v 算子的遍历分解定理r a d uz a h a r o p o l 1 1 研究了局部紧空间中的具有不 变概率测度的m a r k o v - - f e l l e r 算子的遍历分解定理，并给出了其遍历测度的支集 刻画公式本文第一章研究了具有盯有限不变测度的m a r k o v 算子的遍历分解定 理，并且将盯有限不变测度表示成基本遍历测度的积分形式而且还讨论了当 m a r k o v 算子具有严格可限制性时，遍历分解中的基本遍历测度的个数是有限的 本章的主要证明方法是先应用b i r k h o f f 平均遍历定理找到与盯有限不变测度等 价的不变概率测度，然后利用y o s i d a 遍历分解定理，寻找基本遍历测度 不可约性和遍历性是刻画m a r k o v 链渐进性态的重要概念在可数状态空间 中，我们通过状态空间中各个状态的通达性来定义不可约性在不可数状态空间 中，不可约则是通过m a r k o v 链到达任一开集的性质来刻画的遍历性是指不变 山东大学硕士学位论文 集为零测集或全集遍历性比不可约性要强在有限状态空间中，d r e v u z 5 1 j l - 明了m a r k o v 链遍历的充要条件是此链是不可约且非周期的本文第二章讨论了 不可数状态空间上的m a r k o v 链的不可约性与遍历性的关系，给出保守的m a r k o v 算子的不可约性与遍历性等价的条件，即不变测度的支集为全空间 唯一遍历性是指m a r k o v 链只有一个不变概率测度，它刻画了m a r k o v 链的稳 定分布的唯一性唯一遍历性要比渐进稳定性弱，比不变测度的存在性要强因 此，刻画唯一遍历性具有重要的意义p w a l t e r s 1 2 给出了紧空间中连续变换唯 一遍历的等价条件r a d uz a h a r o p o l 1 1 】研究了局部紧可分度量空间中 m a r k o v - f e l l e r 算子唯一遍历的充要条件是存在控制生成点本文第三章研究了 局部紧可分度量空间中m m k o v 算子的唯一遍历性，给出三个与唯一遍历性等价 的平均遍历定理和一致遍历定理本章结果是将p w a l t e r s 1 2 中紧空问上连续变 换的唯一遍历性等价定理推广到了局部紧空间中 不变测度的存在性和渐进稳定性是遍历论中研究的重要问题 l a s o t a - y o r k e 1 0 】用转移概率测度的渐进性给出了局部紧可分度量空间中 m a r k o v - - f e l l e r 算子不变测度的存在性和渐进稳定性的充分条件s m e y n ， r t w e e d i e 8 用f o s t e r - l y a p u n o v 条件证明了局部紧空间上m a r k o v 算子不变测度 的存在性，此条件只用到一步转移概率，比较容易验证t s z a r e k 3 3 ，3 4 ，3 5 ，3 6 ，2 7 ，9 】 研究了波兰空间中m a r k o v 算子存在不变测度和渐进稳定性的问题他给出了各 种类型的渐进性条件来确保不变测度的存在性和唯一性本文第四章给出了波 兰空间中m a r k o v - - f e l l e r 算子存在不变概率测度的一个比较容易验证的充分条件 此条件是说，如果m a r k o v 算子在一点等度连续，那么就存在不变测度，而且其 证明给出了不变测度的寻找方法此条件是t s z a r e k 2 7 1 中不变测度存在性条件 4 山东大学硕士学位论文 的推广和修正，比其它刻画不变测度存在性的渐进性条件更容易验证 关键词：遍历分解；不变测度；m a r k o v 算子；唯一遍历性；不可约性 山东人学硕士学位论文 a b s t r a c t e r g o d i ct h e o r yo fm a r k o vc h a i n si st h et h e o r yo fi n v e s t i g a t i n gt h ea s y m p t o t i c p r o p e n i e s 。fm 破。vc h a i n s m a r k 。vc h a i n sh a v es i g n i f i c a ma p p l i c 撕。n 繇s 。m e a r e a s ，s u c ha sp r o b a b i l i t y , s t o c h a s t i cd i f f e r e n t i a le q u a t i o n ，q u e u e i n gt h e o r y , s t a t i s t i c a l p h y s i c s ，m o m ec a r l on u m e r i c a lm e t h o da n di t e r a t e df u n c t i o ns y s t e m t h em a i n r e s e a r c h i n gs u b j e c t so fe r g o d i ct h e o r ya r et h ee x i s t e n c eo fi n v a r i a n tp r o b a b i l i t i e s ， e r g o d i c i t ya n da s y m p t o t i cs t a t i o n a r yp r o p e r t i e s t h i sp a p e rd e a l sw i t hs o m ei m p o r t a n tp r o b l e m si ne r g o d i ct h e o r yo fd i s c r e t e - t i m e m a r k o vc h a i n s i ti sm a i n l yt h r o u g hm a r k o vo p e r a t o rw h i c hi sd e f i n e db yo n e - s t e p t r a n s i t i o np r o b a b i l i t yo fm a r k o vc h a i n st o i n v e s t i g a t et h ee r g o d i cp r o p e r t i e so f m a r k o vc h a i n s t h e r ea r et o t a lf o u rc h a p t e r si nt h i sp a p e r t h ef i r s tc h a p t e rm a k e sr e s e a r c h e so nt h ee r g o d i cd e c o m p o s i t i o no fm a r k o v - - f e l l e r o p e r a t o r so nl o c a l l yc o m p a c ts e p a r a t em e t r i cs p a c e e r g o d i cd e c o m p o s i t i o nt h e o r e m s t a t e st h a te r g o d i cm e a s u r e sa r e b a s i ce l e m e n t s o fi n v a r i a n tp r o b a b i l i t i e ss p a c ea n d e v e r yi n v a r i a n tm e a s u r ec a nb ee x p r e s s e db yt h ei n t e g r a lo fe l e m e n t a r ye r g o d i c m e a s u r e s f r o mt h i sp o i n t ，t h er e s e a r c hw o r ko fe r g o d i cd e c o m p o s i t i o nc a nm a k e c o n t r i b u t i o nt ot h ec h a r a c t e r i z a t i o no ft h ee x i s t e n c eo fi n v a r i a n tm e a s u r e sa n d a s y m p o t o t i cp r o p e r t i e s y o s i d a 4 9 】p r o v i d e se r g o d i cd e c o m p o s i t i o nt h e o r e mo f m a r k o vo p e r a t o r sw i t hi n v a r i a n tp r o b a b i l i t i e so nc o m p a c t s p a c e s r a d uz a h a r o p o l 1i 】 i n v e s t i g a t e s t h es a m eq u e s t i o no nl o c a l l yc o m p a c ts e p a r a t em e t r i cs p a c e sa n d g e n e r a l i z e st h ec o n c l u s i o no fy o s i d a 4 9 m o r e o v e r , t h es u p p o r t so fe r g o d i cm e a s u r e s a r eg i v e n i nt h ef i r s tc h a p t e r , w ep r o v i d et h ee r g o d i cd o c o m p o s i t i o nt h e o r e mf o r 6 山东大学硕：f 二学位论文 m a r k o vo p e r a t o r sw i t ho - f i n i t ei n v a r i a n tm e a s u i ：ei nl o c a l l yc o m p a c ts e p a r a t em e t r i c s p a c e m o r e o v e r , w eh a v ep r o v e dt h a tt h e r ea r ef i n i t ee l e m e n t a r ye r g o d i cm e a s u r e s w h e nm a r k o vo p e r a t o r sa r es t r i c t l yc o n s t r i c t e d t h em a i nm e t h o di st of i n dt h e e q u i v a l e n ti n v a r i a n tp r o b a b i l i t yo ft h e 仃- - f i n i t e i n v a r i a n tm e a s l l r eb yb i r k h o f f a v e r a g ee r g o d i ct h e o r e ma n dt h e no b t a i ne l e m e n t a r ye r g o d i cm e a s u r e sb yy o s i d a e r g o d i cd e c o m p o s i t i o nt h e o r e m t h es e c o n dc h a p t e ro f f e r st h er e l a t i o n s h i pb e t w e e ni r r e d u c i b i l i t ya n de r g o d i c i t yo f m a r k o vc h a i n si nu n c o u n t a b l es t a t es p a c e i nc o u n t a b l es t a t es p a c e ，i r r e d u c i b i l i t yi s d e f i n e db yt h ec o n n e c t i o no fa l lt h es t a t e sw h i l ei ti sc h a r a c t e r i z e db yt h er e a c h a b ，l eo f m a r k o vc h a i n st oo p e ns e t si nu n c o u n t a b l es t a t es p a c e s e r g o d i c i t ym e a n st h a t i n v a d a n ts e t sa r en e g l i g i b l es e t so rt o t a ls e t s i r r e d u c i b i l i t yi sw e a k e rt h a ne r g o d i c i t y d 。r e v u z 6 p r o v e st h a te r g o d i c i t yi se q u a v a l e n tt oi r r e d u c i b i l i t ya n da p e r i o di n f i n i t e s t a t es p a c e s i nt h i sc h a p t e r , w eg i v et h ee q u i v a l e n tc o n d i t i o no fi r r e d u c i b i l i t ya n d e r g o d i c i t yo fc o n s e r v a t e dm a r k o vo p e r a t o r s t h a tc o n d i t i o ns p e a k st h a tt h es u p p o r to f i n v a r i a n tm e a s u r ei st h ew h o l es p a c e t h et h i r dc h a p t e rf o c u s e so nt h eu n i q u ee r g o d i cp r o p e r t yo fm a r k o vo p e r a t o r si n l o c a l l yc o m p a c ts e p a r a t em e t r i cs p a c e t h eu n i q u ee r g o d i cp r o p e r t ys a y st h a tt h e r ei s o n l yo n es t a t i o n a r ym e a s u r eo fm a r k o vo p e r a t o r s i ti sap r o p e r t yw h i c hi sw e a k e r t h a na s y m p o t o t i cs t a t i o n a r yp r o p e r t y , b u ts t r o n g e rt h a nt h ee x i s t e n c eo fi n v a r i a n t m e a s u r e s s ot h er e s e a r c hw o r ko fu n i q u ee r g o d i cp r o p e r t yi ss i g n i f i c a n ti ne r g o d i c t h e o r y p w a l t e r s 12 】i n v e s t i g a t e sc o n t i n u o u st r a n s f o r m a t i o n si nc o m p a c tm e t r i c s p a c ea n dg i v e st h r e ec o n d i t i o n se q u a v a l e n tw i t hu n i q u ee r g o d i cp r o p e r t y r a d u 7 山东大学硕士学位论文 z a h a r o p o l 1 1 】p r o v e st h a t as u f f i c i e n ta n dn e c e s s a r yc o n d i t i o nw h i c hg u a r a n t e e s m a r k o v - f e l l e ro p e r a t o ri su n i q u ee r g o d i ci st h a tt h e r ei s o n l yo n ec o n t r o lg e n e r i c p o i n t i nt h i sc h a p t e r , t h ea v e r a g ee r g o d i ct h e o r e ma n du n i f o r me r g o d i ct h e o r e mt h a t a r e e q u i v a l e n t w i t h u n i q u ee r g o d i c i t y a r eg i v e na n dp r o v e d t h i sp a r ti sa g e n e r a l i z a t i o no ft h er e s e a r c hw o r ko nt h eu n i q u ee r g o d i ct h e o r e mo fc o n t i n u o u s t r a n s f o r m a t i o n si nc o m p a c ts p a c eb yp w a l t e s 1 3 t h el a s t c h a p t e rm a k e sr e s e a r c h e so nt h ee x i s t e n c eo fi n v a r i a n tm e a s u r e so f m a r k o v - f e l l e ro p e r a t o r si np o l i s hs p a c e a tf i r s t ，l a s o t a - y o r k e 1 0 】g a v es u f f i c i e n t c o n d i t i o n so fe x i s t e n c eo fi n v a r i a n tm e a s u r e sa n da s y m p o t o t i cs t a t i o n a r yp r o p e r t i e so f m a r k o vo p e r a t o r si nl o c a l l yc o m p a c ts e p a r a t em e t r i cs p a c e t h ec o n d i t i o n sa r e c h a r a c t e r i z e db yt h ei t e r a t e dt r a n s i t i o np r o b a b i l i t i e s s m e y n ，r t w e e d i e 8 】p r o v e d t h a tf o s t e r - l y a p u n o vc o n d i t i o ng u a r a n t e e st h ee x i s t e n c eo fi n v a r i a n tm e a s u r e si n l o c a l l yc o m p a c ts p a c e s t h i s c o n d i t i o no n l yi n c l u d e s t h e o n e - s t e p t r a n s i t i o n p r o b a b i l i t ya n dt h e ni ti se a s yt ou s e t s z a r e k 3 3 ，3 4 ，3 5 ，3 6 ，2 7 ，9 】i n v e s t i g a t e dt h et w o q u e s t i o n si np o h s hs p a c e v a r i o u sc o n d i t i o n s w i t ht y p e so fi t e r a t e dt r a n s i t i o n p r o b a b i l i t i e sa r eg i v e nt op r o v et h ee x i s t e n c eo fi n v a r i a n tm e a s u r e sa n da s y m p o t o t i c s t a t i o n a r yp r o p e r t i e s i nt h i sc h a p t e r , w ec o n t i n u et h er e s e a r c hw o r ki np o l i s hs p a c e a n dg i v eo n es u f f i c i e n tc o n d i t i o n ，w h i c hs t a t e st h a tt h e r ei sa ni n v a r i a n tp r o b a b i l i t yi f t h em a r k o v - f e l l e ro p e r a t o ri se q u - c o n t i n u o u si no n ep o i n t i ti sc o n v e n i e n t t ou s e m o r e o v e r , t h ep r o o fg i v e sam e t h o dt of i n dt h ei n v a r i a n tp r o b a b i l i t y t h i sc o n d i t i o ni s ag e n e r a l i z a t i o no ft s z a r e k 2 7 8 山东大学硕士学位论文 k e yw o r d s ：e r g o d i cd e c o m p o s i t i o n ；i n v a r i a n tm e a s u r e ；m a r k o vo p e r a t o r s ；u n i q u e 9 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独 立进行研究所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不 包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。对本文的研 究作出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本声明 的法律责任由本人承担。 论文作者签名：獬 日期： 关于学位论文使用授权的声明 本人完全了解山东大学有关保留、使用学位论文的规定，同意学 校保留或向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论 文被查阅和借阅；本人授权山东大学可以将本学位论文的全部或部分 内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其他复制手段 保存论文和汇编本学位论文。 ( 保密论文在解密后应遵守此规定) 论文作者签名： 瞄师签名： 擞日 期：互鲤乒斟 山东火学硕士学位论文 - _ _ - - 莉罱 遍历理论( e r g o d i ct h e o r y ) 又称各态历经理论，是研究保测变换的渐近性态 的数学分支它起源于对为统计力学提供基础的”遍历假设”的研究，并与动力系 统理论、概率论、信息论、泛函分析、数论等数学分支有着密切的联系 自2 0 世纪3 0 年代开始，以伯克霍夫、冯诺伊曼、辛钦和其他许多数学家 的工作为标志，关于遍历性的研究形成了一个重要的数学分支在保测变换与 遍历定理中，上述问题在数学上的抽象化的提法如下：设( x ，b ，) 是一个测度空 问，通常假定( x ) = 1 ，即为概率测度，：xjx 是一个变换如果任意可测 集a b ( x ) 的原像集。1 ( a ) 仍是可测集( 即_ 1 ( a ) b ( x ) ) ，那么就称为可测 变换如果可测变换矽使得( 痧1 ( a ) ) = i t ( a ) 对任意a 丑( x ) 成立，那么就称 为保测变换( 更详细一些，矽称为是保持测度不变的变换，同时称为关于 不变的测度) 保测变换的物理背景，就是统计力学中的概率守恒运动长期以 来，数学上的遍历理论研究的主要对象是保测变换，其中心问题之一，仍然是探 讨适当的条件以保证时间平均= 空间平均，即慨i 善n - i 厂( z ) = l ，( x ) d 这里，是定义于x 上的适当函数( 其背景即统计力学中的物理量) ，整数n 可视 为离散化的时间变量，”表示矽的n 次相继作用但作为数学上的研究，必须 首先证明作为时间平均的极限( 在某种确定意义下) 的存在性这方面最早取得 的成果是冯诺伊曼的平均遍历定理( 1 9 3 2 ) 和伯克霍夫的个体遍历定理( 1 9 3 1 ) 平均遍历定理证明了对于平方可积的函数，其时间平均的极限在平均收敛的 意义下存在个体遍历定理证明了对于可积函数厂，极限在几乎处处收敛的意 义下存在有了伯克霍夫个别遍历定理，数学上不难证明：遍历性等价于测度 的不可分性所谓测度不可分性是说，如果a b ( x ) ，满足矽。1 ( a ) = a ，那么 1 0 山东大学硕士学位论文 ( a ) = o 或( a ) = 1 根据上述两条件的等价性，许多数学研究者索性就以测度 不可分性来定义遍历变换 继伯克霍夫和冯诺伊曼的开创性工作之后，许多数学家对个别及平均遍 历定理作了种种推广，包括把平均遍历定理推广到更一般的b a n a c h 空间和更一 般的变换：把关于点变换的平均遍历定理推广到关于马尔可夫过程的平均遍历 定理；把关于离散半群l 峻l 捌的个别及平均遍历定理推广到更一般的单参数半 群 识l 脚甚至多参数的情形等等由许多数学研究者得到的遍历定理的各种提 法有极大遍历定理，一致遍历定理，受控遍历定理，局部遍历定理，阿贝尔遍历 定理和次可加遍历定理等等 保测变换的谱理论研究，则是遍历理论与泛函分析相关联的重要课题上面 提到的遍历理论的研究工作，都假定事先有了一定的测度在数学研究中还可以 有这样一类问题，给定拓扑空间x 上的连续变换，是否存在x 上的概率测度 1 ，使成为保测变换? 并且这样的测度是否唯一? 这又引起了关于不变测度 的研究数学上已经证明，对于紧致的可度量化的空间x 上的连续变换，不变 测度必定存在如果这种不变测度是唯一的，那么关于该测度就必定是遍历 的这时称变换矽具有唯一遍历性 m a r k o v 算子理论起源于1 9 0 6 年，m a r k o v 1 提出了用随机矩阵的理论研究随 机过程的渐进性质这些矩阵定义了爬“上的正线性算子m a r k o v 的观点在许多 方面得到了推广后来f e l l e r 研究了一些不同的拓扑空问中作用在b o r e l 测度上 的m a r k o v 算子的性质h o p f 提出并研究了空间上的m a r k o v 算子本文则继续 这方面的工作，研究m a r k o v 算子的遍历理论 m a r k o v 过程是一类重要的随机过程，它是指那些将来的运动状态只与当前 山东大学硕士学位论文 的状态有关，而以前的运动状态不影响将来所处状态的系统根据m a r k o v 过程 的这种特殊性质，我们就可以通过m a r k o v 链在状态空间里的一步转移概率来刻 画m a r k o v 过程 本文研究由离散时间m a r k o v 链的转移概率测度定义的m a r k o v 算子的遍历理 论m m k o v 算子的遍历论在迭代函数系统、随机微分方程的渐进稳定性理论、 m o n t ec a r l o 的算法研究、概率论等方面有重要的应用针对遍历论中的重要研究 课题，我们讨论了m a r k o v 算子遍历论中的四个问题 首先，在第一章中我们给出了局部紧可分度量空间中m a r k o v 算子的无穷维 遍历分解定理也就是说，如果m a r k o v 算子具有仃唷限的不变测度，那么可以 找到基本遍历测度，使得该仃有限的不变测度可以表示成那些基本遍历测度的 积分形式遍历分解的研究工作开始于i c a y l o f f , b o l o l i o u b o f f 2 ，b e b o u t o f f 3 和 y o s i d a 4 ，5 】y o s i d a 遍历分解的主要目的是寻找一些”基本元素”- 基本遍历测度， 然后将任一不变概率测度表示成基本遍历测度的积分有了遍历分解，就可以通 过研究这些基本遍历测度的性质得到不变概率测度的性质从遍历分解的内容 来看，它有助于刻画解决不变概率测度的存在性和唯一性问题更重要的是，遍 历分解提供了遍历的不变概率测度的一个”参考系统”具体来说，( x ，d ) 是局部 紧的可分度量空间，m a r k o v 算子p ：m ( x ) 一m ( x ) 是由离散时问m a r k o v 链 f = i 鼻l d 的转移概率测度定义的m a r k o v 算子如果m a r k o v 算子p 具有不变概 率测度，那么存在一个由x 上的一些互不相交的可测集合组成的集类甲和一个 一映射0 ，其中。将甲中的任一元素对应一个遍历的不变概率测度如果 m a r k o v 算子p 存在一个盯有限的不变测度，是否也存在基本遍历测度? 本文第 一章研究了这个问题，找出了基本遍历测度，并且给出此仃有限不变测度的积 1 2 山东大学硕：l 二学位论文 分表示更进一步，我们讨论了当m a r k o v 算子p 具有严格可限制性时，基本遍 历测度的个数是有限的严格可限制性是说m a r k o v 算子将范数为1 的r 中的函 数映到一个紧集在某种意义上，严格可限制性相当于假定空间具有某种紧性 其次，我们讨论了不可数状态空间中，离散时间的m a r k o v 链的不可约性与遍 历性的关系不可约性与遍历性都是刻画m a r k o v 链的渐进性态的重要概念，有 助于寻找m a r k o v 链的渐进分布和稳定状态在可数状态空间中，遍历的m a r k o v 链是指所有的状态均为正回归的且非周期的，不可约性指所有的状态均为互通 的当状态空间不可数时，遍历性是说不变集为零测集或全集，不可约是用 m a r k o v 链到达任一开集的概率大于零来刻画的遍历性要比不可约性强当状 态空间中只有有限个状态时，d r e v u z 【6 】证明了m a r k o v 链的遍历性等价于此链 为不可约且非周期的本文第二章研究了不可数状态空间中，保守的m a r k o v 算 子的遍历性与不可约的关系，证明了当保守m a r k o v 算子具有的不变测度的支集 为全空间时，其遍历性与不可约性是等价的 第三章中我们给出了局部紧可分度量空间中唯一遍历的m a r k o v 算子的平均 遍历定理和一致遍历定理与唯一遍历性的等价证明唯一遍历性是m a r k o v 算子 的一个很重要的性质，是指m a r k o v 算子只有一个不变概率测度它刻画了 m a r k o v 链从不同的状态分布出发，最终都会达到同一状态分布的性质近来的 许多文献中 7 ，8 ，9 ，1 0 1 ，用转移概率的渐进性条件来描述m a r k o v 链的渐进稳定性， 进而得出m a r k o v 链的唯一遍历性r a d az a h a r o p o l 1 1 m 控制生成点的概念给出 了局部紧空间上m a r k o v - f e l l e r 算子唯一遍历的充要条件p w a l t e r s 1 2 研究了紧 空间中连续变换的平均遍历定理和一致遍历定理与唯一遍历性的等价性在紧 空间中，有界连续函数空间g ( x ) 的对偶空间是测度空间，根据r i e s z e 表示定理 山东火学硕士学位论文 和一致遍历定理可得出m a r k o v 算子的唯一遍历性但在局部紧空间中，测度空 间的对偶空间是具有紧支集的连续函数全体c o ( x ) ，所以有界连续函数对应的 可能不是一个测度这样，我们应用l a s o t a - y o r k e 引理和局部紧空间上c o ( x ) 在 g ( x ) 中的稠密性来证明局部紧可分度量空间上与唯一遍历性等价的遍历定理 最后一章讨论了波兰空问中，m a r k o v - - f e l l e r 算子遍历论中的一个重要研究课 题_ 不变测度的存在性第四章给出了波兰空间中，m a r k o v - - f e l l e r 算子的不变测 度存在的一个充分条件f e l l e r 性是指m a r k o v 算子将连续有界函数映为连续有界 函数f e l l e r 过程在三十年前成为m a r k o v 算子研究的主要课题1 1 3 ，1 4 ，1 5 ，1 6 ，1 7 ， 近年来，仍然有很多研究应用 1 8 - 2 5 但在大多数文献【8 ，1 3 ，1 5 d p ，都假定状态 空间是紧空间或局部紧的，然后研究不变测度的存在性和渐进稳定性在紧空间 或局部紧空间中，不变测度是通过转移概率测度列的弱收敛极限来寻找的，然后 用那些渐进性条件来保证不变测度的非平凡性后来t s z a r e k 2 6 ，2 7 ，2 8 ，9 1 将这些 条件推广到波兰空间中其证明方法主要是利用转移概率测度列的胎紧性来寻 找不变测度t s z a r e k 用a l a s o t a ，j a y o r k e 1 0 q b 的下方有界的方法构造胎紧列， 提出许多”集中性”条件，来确保不变概率测度的存在性本文继续这方面的工作， 给出了一个比较容易验证的充分条件，来确保不变测度的存在性即：如果 m a r k o v 算子的迭代序列在某点等度连续，那么该算子具有不变概率测度此条 件是t s z a r e k 2 7 q b 不变测度存在性条件的推广 1 4 山东人学硕士学位论文 第一章 无穷维遍历分解定理 本章我们研究局部紧可分度量空间上，具有仃有限不变测度的m a r k o v 算子 的遍历分解定理给出其仃有限不变测度的遍历积分表示，将其写成基本遍历 测度的积分形式更进一步地，我们证明了m a r k o v 算子的严格可限制性能确保 基本遍历测度的个数的有限性本章结构安排如下：首先给出本章的基本概念， 其次描述了y o s i d a 遍历分解定理，然后给出本章的主要定理及证明，即：当 m a r k o v 算子存在盯有限不变测度时，我们找出基本遍历测度，并得出任_ 不变 测度可以表示成基本遍历测度的积分接着又研究了一类重要的m a r k o v 算子一 可限制性m a r k o v 算子，证明了其基本遍历测度的个数是有限的 1 1 基本概念 x 是局部紧的可分度量空间，b ( x ) 是x 上的b o r e l 子集构成的盯玳数 ( x ，j 5 i ( x ) ，) 是测度空间，其中是x 上的仃有限测度m ( x ) 记x 上的概率测 度全体c ( x ) 是x 上的连续函数全体g ( x ) 是x 上的有界连续函数全体 c o ( x ) 是x 上有紧支集的连续函数全体 定义1 1 1 ：( q ，f ，p ) 是概率空间，善= 己j 。卸是一列取值于x 上的随机变量，如 果p ( 磊+ i bi 磊，幺) = p ( 磊+ l bi 鼻) ， v b b ( x ) ，n = o ，1 ，2 ， 那么 f = 六i 脚称为m a r k o v 链 定义1 1 2 ：映射p ( ，) ：x a ( x ) 一风称为转移概率测度，如果满足以下两个条 件： ( 1 ) v x x ，p ( x ，) ：b ( x ) 一r 是一个概率测度； ( 2 ) v a b ( x ) ，p ( ，a ) ：x 专r 是一个可测函数 山东大学硕一l ：学位论文 记p ( x ，j 5 j ) = p g + 。bl 磊= x ) 由此可见， 由m a r k o v 链导出的 p ( x ，b ) = p ( 六+ 。bi 幺= 工) 是一个转移概率测度 定义1 i 3 ：算子p ：m ( x ) 寸m ( x ) 称为m a r k o v 算子，如果满足 ( 1 )p ( “+ 五鲍) = a p ( m ) + 五p ( 鲍) ，v ，五酞+ ，“，鸬m ( x ) ； ( 2 ) p i ( x ) = ( x ) ，v 2 m ( x ) 若线性算子p ：m ( x ) 寸m ( x ) 是由转移概率测度p ( o ，) ：x n ( x ) 寸瓞导 出的算子，即p v ( a ) = lp ( 工，a ) v ( d x ) ，v v m ( x ) ，w j 5 i ( x ) 那么，容易验证由上式定义的算子p ：m ( x ) _ m ( x ) 是m a r k o v 算子 定义1 1 4 ：可测集a n ( x ) 称为不变集，如果p ( x ，a ) = 1 ，v x a 定义1 1 5 ：测度v 称为算子p 的不变测度，如果l ，= p v 定义1 1 6 ：测度l ，的支集s u p pv 定义为s u p pv = x x ：v ( b ( x ，占) 0 ，v s 0 本章我们考虑一类特殊的m a r k o v 算子，即m a r k o v - f e l l e r 算子 定义1 1 7 ：m a r k o v 算子p ：m ( x ) 专m ( x ) 称为m a r k o v - - f e l l e r 算子，如果存在 m a r k o v 算子s ：g ( x ) 专g ( x ) ，满足：( s f ，v ) = ( 厂，p v ) ，v f g ( x ) ，v y m ( x ) 其中s f ( x ) = s x f ( y ) p ( 工，d r ) ，v 石x 转移概率p ( o ，) ：x b ( x ) 专1 r 也可以导出f i ( x ，j i i ( x ) ，2 ) 上的m a r k o v 算子 p ：f i ( x ，b ( x ) ，j u ) 一f i ( x ，b ( x ) ，) ，按如下定义， 可( x ) = s x f ( y ) p ( 工，d y ) ，v f f i ( x ，曰( x ) ，) 定义1 1 8 ：我们称m a r k o v 算子p 是可限制的，如果存在一个紧集 fcf i ( x ，b ( x ) ，1 ) ，使得 l i m d ( p ”f ，f ) = o ，v f d 成立 - - - c o 其中d = f 已( x ，j 5 i ( x ) ，) ：f o ，l | fl i = 1 1 6 山东大学硕：卜学位论文 1 2 遍历分解定理 y o s i d a 遍历分解定理证明了在紧空间或局部紧的可分度量空间中，存在一 列基本遍历测度，它是不变概率测度空间里的”基本元素”如果m a r k o v 算子p 存在不变概率测度，那么不变概率测度可以表示成基本遍历测度的积分 下面首先给出几个重要集合的说明： 。( p ) = i z x i 舰! 窆k = op 厂( x ) = 。，v ，c 0 ( x ) l ； r o ( p ) = x d ( p ) ； r c ( p ) _ x e l - o ( p ) i 舰丢茎即( 瞻在，w c o ( x ) l ； 蹦p ) - x e f c ( p ) i 蝉) _ l l ，其