（精密仪器及机械专业论文）XUV双元件平面对称光学系统像差(精密仪器及机械专业优秀论文).pdf

k 海犬学硕士学位论文 摘要 在真空紫外和软x 射线( ) ( i ) 光栅光谱仪系统的设计和优化中，尤其在 掠入射或接收角较大的情况下，像差是影响仪器分辨率的重要因素。目前，国 际上存在的x u v 平面对称光学系统的像差理论大多针对单元件系统，而实际 应用中，x u v 光学装置都是由若干元件组合而成。在多元件轴对称光学系统中， 由于像差对孔径光线坐标的影响较小，因此孔径光线坐标通常都采用线性近似 处理。但对于平面对称光学系统而言，光线是斜入射的，因此，像差对光线孔 径坐标的影响通常比较严重；另一方面，在计算多元件系统的波像差时，如果 孔径光线坐标采用线性近似，则系统波像差具有简单的表达形式，所以我们有 必要研究孔径光线线性近似下像差精度的有效性。 本文具体研究内容及结果如下： l 、在平面对称衍射理论的基础上考虑折射率的影响，推导了平面对称折射 光学系统的像差，结果使得反射、衍射、折射光学系统的像差系数可以用同一 组公式表达；当入瞳沿光轴偏离光学元件表面时，修正了单元件波像差系数以 及像差系数。 2 、在计算双元件平面对称光学系统的波像差时，采用拟合法得到孔径光线 在两块元件之间的三阶传输方程：结合光线追迹解析法，推导出精确的像差系 数表达式，并参考单元件波像差系数，将像差表达式转换成双元件波像差形式。 最后分析了像差式的结果，并将其总结为两部分：1 ) 孔径光线线性近似下的像 差系数；2 ) 孔径光线高阶形式下的像差系数修正项( 包括离焦部分的高阶修正 项) 。 3 、结合光线追迹程序s h a d o w 和像差表达式结果对光栅光谱仪模型进行 数值验证。结果表明：1 ) 在离焦量比较小的情况时，孔径光线线性近似下的像 差精度足够高；2 ) 即使在大离焦量时，像差系数离焦部分的高阶修正项也可以 忽略不计：3 ) 在掠入射下子午方向修正项对像差精度的影响比弧矢方向要严重。 关键词：真空紫外软x 射线光学；波像差；光线追迹；平面对称光学设计 v 上海大学硕+ 学位论文 a b s t r a c t w h e nd e s i g n i n ga n do p t i m i z i n gag r a t i n gs p e c t r o g r a p ho fv a c u u m - u l t r a v i o l e t a n ds o f tx - r a y ( x u v ) ，t h ea b e r r a t i o ni st h ei m p o r t a n tf a c t o rt oe f f e c tt h er e s o l u t i o n o fi n s t r u m e n t ，e s p e c i a l l yw i t ht h eg r a z i n gi n c i d e n c ea n g l e t h ec u r r e n ta b e r r a t i o n t h e o r i e sa r eo n l ys u i t a b l ef o ra no p t i c a ls y s t e mw i t has i n g l ee l e m e n t ，w h i l ei n p r a c t i c a la p p l i c a t i o n s ，m o s to ft h ep r a c t i c a lx u vs y s t e m sa lec o m p o s e do fs e v e r a l o p t i c a le l e m e n t s i na l la x i a l l ys y m m e t r i c a lo p t i c a ls y s t e ms u c ha sl e n ss y s t e m ，t h e a p e r t u r e r a yc o o r d i n a t e s a r ed e a l tw i t ha c c o r d i n gt og a u s s i a no p t i c sw i t h o u t c o n s i d e r i n ga b e r r a t i o n b u ti nap l a n e - s y m m e t r i c a lo p t i c a ls y s t e m , e s p e c i a l l yg r a z i n g i n c i d e n c eo p t i c s ，t h ee f f e c to fa b e r r a t i o no nt h ea p e r t u r er a yi sm u c hm o r es e r i o u s o nt h eo t h e rh a n d ，t h ew a v ea b e r r a t i o nt h e o r yh a st h es i m p l e s tf o r mi ft h e a p e r t u r e r a yc o o r d i n a t e st a k et h el i n e a ra p p r o x i m a t i o n t h e r e f o r e ，i ti sn e c e s s a r yt o s t u d yt h ea c c u r a c yo fa b e r r a t i o nf r o mw a v e - a b e r r a t i o nt h e o r yw h e nt h el i n e a r a p p r o x i m a t i o no fa p e r t u r er a yi sa p p l i e d t h em a i nw o r k si nt h ep a p e ra r ea sf o l l o w s ： t a k i n ga c c o u n to ft h e e f f e c to ft h er e f r a c t i v ei n d e xo nt h ea b e r r a t i o n ，t h e a b e r r a t i o n so fr e f r a c t i v eo p t i c a ls y s t e m sa t ed e r i v e da n de x p r e s s e di nau n i f i e d f o r mf o rb o t hd i f f r a c t i v ea n dr e f r a c t i v e p l a n e s y m m e t r i co p t i c a ls y s t e m s b e s i d e s ，t h em o d i f i c a t i o n so ft h ew a v ea n dr a ya b e r r a t i o n sa r ed i s c u s s e dw h e n t h ep r i n c i p a lr a yi sc h a n g e dr e s u l t i n gf r o mt h ed i s p l a c e m e n to ft h ee n t r a n c e p u p i lf r o mo p t i c a ls u r f a c e 。 i nt h ec a l c u l a t i o no fw a v ea b e r r a t i o n so fd o u b l e e l e m e n ts y s t e m ，w en e e dt h e t r a n s f e re q u a t i o no fa p e r t u r er a yb e t w e e no p t i c a ls u r f a c e s t h et r a n s f e re q u a t i o n w i t ht h et h i r d o r d e ra c c u r a c yi so b t a i n e dw i t hp o l y n o m i a l f i tm e t h o d t h e n a c c o r d i n gt ot h ep r o c e d u r eo fc a l c u l a t i o no fr a y t r a c i n gs p o td i a g r a m ，w ed e r i v e t h ea c c u r a t ea b e r r a t i o ne x p r e s s i o n s ，w h i c ha r ef i n a l l yt r a n s f o r m e di n t ot h ef o r m v i 上海大学硕上学位论文 o fw a v ea b e r r a t i o nb a s e do nt h ee x p r e s s i o n so fw a v ea b e r r a t i o n c o n s e q u e n t l y , w ef i n dt h a tt h ea b e r r a t i o n sc o m ef r o mt h ec o n t r i b u t i o n so ft w op a r t s1 ) t h e a b e r r a t i o n sw i t ht h el i n e a ra p p r o x i m a t i o no fa p e r t u r er a y , 2 ) m o d i f i c a t i o n s b r o u g h tb yt h eh i g h e r - o r d e ri t e m so fa p e r t u r er a y ( i n c l u d i n gt h em o d i f i c a t i o no f h i g h e r - o r d e rd e f o c u s ) w em a k et h en u m e r i c a ls i m u l a t i o nt ot h ed e s i g ne x a m p l ew i t ht h er e s u l t a n t a b e r r a t i o ne x p r e s s i o n sa n dr a yt r a c i n gb ys h a d o w t h en u m e r i c a lr e s u l t ss h o w t h a t1 ) t h ea b e r r a t i o nw i t hl i n e a ra p p r o x i m a t i o no fa p e r t u r er a yh a st h ee n o u g h a c c u r a c yf o rm o s tc a s e si ft h ei m a g ep l a n ei sp o s i t i o n e dc l o s et ot h ef o c u s ；2 ) t h e m o d i f i c a t i o n so ft h ed e f o c u sa b e r r a t i o n sc a l lb en e g l e c t e de v e nl a r g ed e f o c u s e x i s t s ；3 ) t h em o d i f i c a t i o n so fa b e r r a t i o n so nt h em e r i d i o n a lp l a n ei sm o r e s e r i o u st h a nt h a to nt h es a g i t t a lp l a n ew i t ht h eg r a z i n gi n c i d e n c eo fa n g l e k e y w o r d s ：x r a yo p t i c s ；w a v ea b e r r a t i o n ；r a yt r a c i n g ；p l a n e - s y m m e t r i c o p t i c a ld e s i g n v i l 上海大学硕士学位论文 原创性声明 本人声明：所呈交的论文是本人在导师指导下进行的研究工作。 除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已发 表或撰写过的研究成果。参与同一工作的其他同志对本研究所做的 任何贡献均己在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 签名：淞栖翟日 本论文使用授权说明 本人完全了解上海大学有关保留、使用学位论文的规定，即： 学校有权保留论文及送交论文复印件，允许论文被查阅和借阅；学 校可以公布论文的全部或部分内容。 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 一盟m 师签名：盔电吼产 i i 上海大学硕j ：学位论文 1 1 课题来源 第一章绪论 本课题来源于国家自然科学基金资助项目x u v 光学系统的波像差理论及 高分辨成像研究，项目编号：1 0 7 7 5 0 9 5 。 1 2 课题研究的目的和意义 真空紫外及软x 射线( x u v ) ，光谱范围一般认为是从0 3 n m 到大约2 0 0 n m ， 属于短波段和超短波段光学研究范畴，是光学学科中的新研究领域之一。该波 段中高分辨率的光谱仪和高反射率的镜片等光学技术已经得到了一定水平的发 展【l 训，利用这个波段可以创造更多的科学和技术发展的机遇，因此近年来被广 泛应用于生物、材料、微加工、超大规模集成电路和空间光学研究领域。同时， 这些研究应用的发展对x u v 光学元件和系统的精度提出了更高的要求，对光 学系统的设计、研制提出了不同程度的挑战，例如高性能的x u v 光谱仪的能 量分辨率要求达到数万以上；x u v 微聚焦系统的空间分辨达到亚微米；应用于 空间观测的望远镜往往要应用复杂的非球面光学元件，在足够的光学传输效率 前提下，得到尽可能高的空间分辨能力。因此，提高我国高性能x u v 光学仪 器的设计、研制水平将会有力地推动上述各领域的研究水平，更好的满足生产 力的发展需求。 对x u v 光谱仪系统来说，尤其对掠入射或大的接收角的情况下，像差是 影响仪器分辨率的重要因素，由于像差的影响会造成仪器的能量和空间分辨率 不能满足实际精度的需要；加上x u v 光学装置结构复杂，造价昂贵，如何有 效地解决像差问题在x u v 光学系统设计中是不容忽视的。许多科学家在这方 面作了大量的研究，取得了一系列理论成果。但是，大多数像差理论都针对单 元件系统而言，而实际应用中，x u v 光学装置，例如高能量分辨率的单色器系 统和高空间分辨率的显微成像系统，都是由若干个元件组合而成。目前，国内 对x u v 多元件像差分析理论的研究工作开展的还比较少。国外在这方面的研 上海大学硕士学位论文 究，主要是应用光线追迹解析法提供的结果，定义x u v 光学系统的设计评价 函数，并采用比较繁琐的迭代过程对系统参数进行优化设计。为了满足实际应 用的需要，更好的开发这些高性能的复杂系统，有必要发展更方便多元件系统 设计的像差理论。而应用波像差理论研究光学系统的评价函数及系统参数优化 设计的一个突出优点是：波像差理论清楚表达了各像差系数与系统参数之间的 关系，因此应用波像差方法来研究多元件系统的像差，将为设计者确定光学参 数提供理论依据和参考。 1 3 国内外研究概况 1 3 1 国外研究概况 真空紫外和软x 射线光学系统般由多个衍射光栅( 镜面可以看作光栅的 特例，即取光栅线密度为零的情况) 组成，其像差由光栅基底的面形，光栅条 纹的分布以及系统元件间的组合结构共同来决定。衍射光栅的像差直接影响到 仪器的分辨率，是设计中需要考虑的主要问题之一，对此的研究很早就开始了。 影响衍射光栅像差的两个要素是光栅基底面形以及光栅刻槽分布。通过改 变面形消除像差始于h a r o w l a n d 对凹球面光栅的研究，随后许多人都对此进 行了不同程度的研究。a d a n i e l s o n 和p l i n d b l o m 、s m o r o z u m i 和e i s h i g u r o 等讨论了凹面光栅的像散特性【5 - 8 l ，b e w o o d g a t e 讨论了柱面光栅的成像特性 1 9 】，h h a b e r 较早的研究了超环面光栅的成像特性0 0 ，t n a m i o k a 建立了椭 球面光栅的像差理论，对椭球面光栅的成像性质进行了详细分析 i h z l 。w c c a s h ”1 和d c o n t e n t 1 4 - 1 5 在考察椭球面常规刻录光栅时，发现了面形函数的三 次项、四次项细微变形后具有消彗差、球差的优越性。随着理论的发展，各种 不同面形的消像差光栅，如柱面光栅、椭球面光栅、超环面光栅等陆续研制出 来，并取得了成功的应用 1 6 - 1 8 】。但非平面基底的加工精度要求高，成本高昂， 安装调试困难，因此其应用局限在高端光谱仪器上。 通过改变光栅刻线形状与刻槽分布消除像差始于1 8 9 5 年c o m u 发明的平面 变间距光栅。他认识到准直光入射到线密度变化的平面光栅时，会改变衍射波 2 上海大学硕上学位论文 前的形状，具有自聚焦能力。但这一阶段光栅加工工艺的研究重点在于如何控 制刻刀，使得刻线间距更加均匀，因此c o m u 的工作并没有引起重视。全息加 工技术的发展为变间距光栅的实现提供了条件，使得曲面变间距光栅得以实现， 并应用到实践。1 9 7 4 年，h n o d a 等人提出了使用球面波干涉形成变线距弯曲 条纹的方法【1 9 圳】，该方法记录的全息光栅具有四个可调的记录参数，具有一定 的像差校正能力；他们还比较了全息光栅和机械刻划光栅之间的成像性能，在 理论上找出了二者之间的联系，建立了全息光栅的一般成像理论，给出了数值 光线追迹的算法。m s i n g h 和qr e d d y 研究了全息凹面光栅在s e y a - n a m i o k a 单色器中的应用1 2 2 。p d a v i l a 和s s i n g h 考虑了椭球面光栅全息刻录方法及 相关应用2 3 诩】。m k o i k e 与m d u b a n 进一步提出了使用非球面波记录变线距 全息光栅的思想【2 5 粕】，使得变线距光栅具有很强的像差校正能力，在高分辨率 光谱仪与同步辐射光束线中取得了广泛的应用。 与此同时，随着自动控制和精密仪器技术的进步，机械刻划光栅也开始向 着变间距消像差的方向发展，机械刻划消像差光栅已经可以达到十纳米级的刻 槽定位精度2 7 乏9 1 ，促进了光栅像差理论的进一步发展f 3 0 。3 1 。 目前在x u v 光学系统设计和像差分析中，国际上存在四种主要的光栅像 差理论： 1 ) 光程函数像差理论。h gb e u t l e r 等在h a r o w l a n d 凹球面光栅研究的 基础上，运用f e r m a t 原理，给出了第一个比较完整的凹面光栅成像理论 3 4 】，后 来经过t n 锄i o k a 【3 5 弓6 1 ，h n o d a 1 9 】等进一步发展，形成了比较完善的光程函 数理论。该理论的历史最为悠久，公式简洁，使用广泛。但它的像差表达式仅 仅在光线的衍射角等于零、且像平面位于系统子午、弧矢的重合焦面上才是精 确的。 2 ) 点列解析像差理论。该理论是由t n a m i o k a ，m k o i k e 和s m a s u i 等发 展下来的 3 7 - 3 9 】，是目前高分辨率光栅成像性能分析的主流方法。开始n a m i o k a 等应用光线追迹解析法，把相关表达式都展成级数，得到单个椭球面光栅三阶 像差表达式；后来将该方法扩展到双元件光栅系统，得到孔径光线三阶近似下 的像差表达式。该方法虽具有真正意义上的三阶精度，但表达形式过于复杂， 上海丈学硕上学位论文 较难应用于系统的设计和优化。 3 ) 李变换理论。日本学者k g o t o 和t k u r o s a k i 删最早将非线性动力学常 用的l i e 代数方法运用到光栅光学系统的像差分析中，c p a l m e r 进一步发展和 运用了这种基于l i e 变换的像差理论【4 2 】。该理论采用数学运算方法，误差较 小，可以比较精确的模拟像面上的成像情况。但是公式的计算量太大，还停留 在处理单元件的阶段，并且只给出了球面光栅的结果，目前还没有应用的实例 报道。 4 ) 波像差理论。该理论是m p - c l l r i s p 于1 9 8 3 年在分析全息超环面光栅的 像差时提出的 4 3 - 4 4 】，他定义了一个不在光栅中心的孔径光阑，采用像散面作为 参考波阵面，运用近基理论对光学系统的坐标实行归一化处理，成功地使得波像 差理论可应用于多元件光学系统的像差分析和优化设计。该理论是第一个多元件 像差理论，波像差系数公式简洁，物理意义明确，实用性强，其显著的优点是， 可以通过调整系统元件间的组合结构来实现消像差。但在他的研究中，仅给出了 超环面一种面形的全息光栅的波像差系数；并且在计算像平面上的几何像差分布 时，只分析了出射波阵面是球面，像平面位置在焦平面处的成像情况，当系统的 成像位置偏离焦平面和出射波面为非球面时，计算结果与实际严重不符。最近， l u 对波像差理论做了更加深入的研究【4 5 】。他把参考波阵面定义成超环面，并根 据光线几何，应用多项式拟合法，求得光线在光学元件和入射波阵面上位置坐标 的映射关系，从而得到具有四阶精度的波像差表达式；并同样应用这种拟合法求 得光学元件和出射波阵面上位置坐标的映射关系，得到了具有三阶精度的像差结 果。但在计算多元件系统的波像差时，孔径光线按照线性近似来处理。这种处理 对于光束掠入射下的弧矢聚焦光学系统( 光学元件具有较小的弧矢曲率半径) ， 会使像差的计算产生较大的偏差。 1 3 2 国内研究概况 在国内，较多的是对常规光学透镜光学系统开展波像差的分析评价方面工 作；也有应用光路径函数方法对复杂光栅系统的像差系数展开分析研究，但更 多的是应用光栅几何像差理论开展光谱仪器设计方面的工作。 4 上海大学硕士学位论文 1 4 论文的主要研究内容 本论文作者攻读硕士学位期间承担课题的工作为基础，对平面对称光学的波 像差理论进行了扩展，并对x u v 双元件平面对称光学系统的波像差理论进行了 深入的研究，使波像差方法适用于光线掠入射下双元件系统的像差计算，同样也 为多元件平面对称光学系统的像差分析提供理论参考。本文共分为五章，具体内 容如下： 第一章说明了课题研究的来源、阐述了对文u v 多元件系统的像差分析进 行理论研究的必要性及其意义，介绍了该项研究的概况和研究内容。 第二章介绍了l u 的波像差理论基本思想，研究了折射光学系统的波像差问 题；当入瞳沿光轴偏离光学元件表面时，对波像差系数以及像差系数进行修正。 第三章结合波像差方法和光线追迹解析法，推导出孔径光线三阶近似条件 下，双元件平面对称系统的波像差精确表达式，解决了孔径光线高阶近似下的 双元件像差问题。 第四章应用光线追迹程序s h a d o w 对双元件光栅波像差理论进行了数值 验证；并讨论了像差系数各组成项对像差的影响。 第五章对全文进行了总结，给出了主要的研究成果和结论，并对后续研究 需要解决的问题进行了展望。 5 、 上海大学硕士学位论文 第二章平面对称折射光学系统的像差 2 1 引言 在绪言中提到过，光程函数理论，解析点阵图理论等像差理论仅适用于单 元件光栅系统的像差分析，无法满足复杂光学系统的实际需要。主要原因有两 个：1 ) 这些理论都假设光瞳位置在光栅的中心，而实际的多元件系统，光瞳不 一定在元件的中心位置；2 ) 复杂的x u v 光谱仪器，通常由一系列具有平面对 称特性的镜面和光栅组成，而对于平面对称光学系统，如果光束以掠入射方式 入射到光栅表面时，衍射光会产生很大的像散现象，实际出射波阵面比较接近 环面或柱面形状，如果仍采用传统的球面波作为参考波阵面，就会造成像差处 理的结果严重偏离实际情况【3 8 】。要发展多元件光学系统的像差理论首先要克服 这两个问题。 在探索多元件系统像差分析方面，m p c h r i s p 4 3 - 4 4 】迈出了重要的一步。 1 9 8 3 年，他发展了波像差理论，他定义了一个任意位置的孔径光阑，这样光瞳的 位置就不仅位于元件的中心：在计算波像差时，不再运用传统的球面波作为参考 波阵面，而是采用像散面为参考波阵面( 该像散面的所有法线皆通过子午和弧矢 焦线) ，定义实际波面与参考波阵面之间的距离为波像差，克服了上述第二个限 制。另外，他采用近基理论归一化坐标，使各个单元件的波像差可以相加，得到 光学系统总的波像差，使该理论可以应用到多元件系统的设计。但该理论仅在小 光束孔径成像时误差较小，而且几何像差的计算只允许像平面只能在焦平面上， 出射的波阵面为准球面，分析的成像光栅面形仅为超环面。产生上述现象的原因 可以总结为两点，首先该理论定义的参考波阵面为像散面，此面实际上是不存在 的，因为弧矢线为曲线而非直线；另外，在计算光线几何像差过程中，衍射光线 偏离参考光线的方向是以像方参考波阵面上光线位置坐标的导数给出，实际应该 对像方实际波阵面上光线坐标位置求偏导。 害d x 寸c h r i s p 研究中存在的几个关键问题，l u 发展了适用于平面对称多元件光 删系统的波像差理论【4 5 】，它可以精确处理一般的平面对称多元件光学系统的像 6 上海大学硕士学位论文 差，并且可以应用于各种面形的反射镜或光栅、像平面在任意位置等的光学系统。 l u 的工作具体体现为以下几点内容。 1 ) 首先拓展波像差理论适用的光栅面形范围，使该理论适用于一般面形光 栅的像差分析：在计算光束几何光程过程中，所有相关表达式都达到关于光线 孔径坐标的四阶精度。 2 ) 针对x u v 光学系统是平面对称的特点，采用超环面作为系统的参考波 阵面来定义波像差，把它的焦线方程展开成在入瞳处波阵面上光线位置坐标的 四阶多项式；采用多项式拟合法，求出在光学元件表面和入瞳处波阵面之间的 光线位置坐标的映射关系。 3 ) 在波像差转换为光线几何像差过程中，衍射光线偏离参考光线的方向由 波像差关于出瞳处实际波阵面上光线位置坐标的导数给出，采用多项式拟合法， 求出在光学元件表面和出瞳处实际波阵面之间的光线位置坐标的映射关系。通 过上述工作，l u 最终推导出具有四阶精度的平面对称光栅系统波像差公式，并 利用波像差求得具有三阶精度的光线像差系数。 2 2 平面对称折射系统的像差系数 2 2 1 折射和反射系统的区别 如图2 1 和2 2 所示为平面对称光学系统的成像示意图，图( a ) 和图( b ) 分别 表示反射和折射光学系统。d 是光学元件的顶点，x y z 是其顶点坐标系，户是坐 标系z r l z 、“毛及卅“彳的原点，这三个坐标系分别用来表示光线在光学元件 表面、入射和像差波阵面上的位置，且7 7 、几和“互相平行。d o d d i 位于对称平 面x o z 内，它是系统的基光线；s o 取是点光源。浓出的主光线；u 、材分别表 示物方和像方的视场角。 反射和折射系统具有相似的光线几何，只是像方空i 丑j 的折射率及衍射角和折 射角的规定不同。假定物方和像方的折射率分别为和确。入射角、衍射角或折 射角口、分别是基光线的入射、衍射或折射部分关于z 轴定义的，假定从z 按 7 卜海大学硕士学位论文 逆时针转到该光线为正，反之为负，如图2 3 所示。所以只要在本文结果表达式 中令q n o ，就是衍射( 或反射) 系统的像差公式。对于折射光学系统，只要将 公式中的卢用1 8 0 + j 8 替换即可。和。是两个像平面，z 。垂直于d d l ，与o 点相 距0 ，和。成驴角，如果从z 。转到z 是逆时针方向，则为正，且例 州2 。 s 1 ( a ) ( b ) 图2 1 平面对称光学系统光线示意图( a ) 反射，( b ) 折射 8 上海大学硕士学位论文 | | p 杪书心 ) c 墨 o p d c a le l e m e n t ( a ) z ， o p t i c a le l e m e n t 图2 2 子午平面内光线和坐标系示意图( a ) 反射，( b ) 折射 ( a ) z z 1 x x 1 z 1 图2 3 物平面和像平面的坐标系和角度( a ) 反射，( b ) 折射 般平面对称系统面形方程4 6 】可表示为： z2 巳o x 2 + c 0 2 y 2 + c 3 0 x 3 + c t 2 x y 2 + c 4 0 x 4 + y 4 + 乞2 x 2 y 2( 2 - 1 ) 勺表示光学元件表面的面形系数，包括超环面、椭球面、抛物面等面形。 9 上海大学硕上学位论文 图2 4 是主光线和孔径光线在弧矢平面内的光线示意图，q 和q 分别是入、 出射光瞳中心，在传统折射光学参考文献和书籍中，一般用、t 表示物方视场 角和入瞳位置。在研究平面对称光学系统中，用表示物方视场角更方便，并且 定义一个非物理参量，来表示入瞳的位置： o p 一= y t 基u l ， ( 2 - 2 ) 对于光线斜入射于平面对称光学系统，其主光线与光学元件的交点f 不在 轴上，它的位置坐标【4 5 1 是 舅= u 2 c o ，2t a n a 量_ 甜2 ， 歹= u l ， 享 - u 2 ，2 铴2 ( 2 - 3 ) 图2 4 主光线和孔径光线在弧矢平面内的示意图 由图2 4 ，八t 和“、，( y 、r 、u 、，分别表示对应的像方空间参量) 之间的关系为 厂= b ) 一舢小兰 协4 ， 肛睁卜小号 u = n o a a 础，t - 为 协5 ， 2 2 2 折射光学系统的像差 在参考文献【4 5 1 中，平面对称光栅系统的波像差表示成物方和像方空间光束的 波像差的贡献： w = + 彬彻+ n m a ( 2 6 ) 最后一项n m 2 是光栅刻槽引起的光程差，全息和机械刻划光栅的刻槽函数【3 8 1 可表 示成 1 0 上海大学硕十学位论文 肛吾+导(坠，+鱼y2+塑矿+鱼拶2+垃一+nz_lx2y2+等-2 222 8 48j ，4 + 一) - 7 ) 仃 仃k 。 其中仃为有效光栅常数，f 、由参考文献p 3 1 中的方程( 2 0 ) ( 2 2 ) 定义。 把耽彩和形蒯展成z ，刁，u 的四阶级数形式： 44 = i z 7 r 1 7 “。，= 吆z 。州( ，+ 歹+ 七4 ) ， ( 2 - 8 ) 日ku k 其中m 咖= m u k ( c t ，) 是物方波像差系数，表2 1 是其具体表达式。 表2 1 物方波像差系数m i j k m 瑚 - s i n ( a ) 鸠 c o z s a l c o 。s 一2 ) m 3 0 0 兰( 豇n 雩。s 口( c o 名s 口2 呸。 一2 q 。c 。s 口 m 0 2 0 躬也c o s 刁 m ：。 圭( 警陪- 2 c 眈c o s a 卜c l s 刁 m 蛐 c 。s 8 c(482c。2乞)c22，_s 口”2 - 3 c o s 2a ) 。, c 2 2 0 2 s i 乞n 2 口c 如s 2 i ，_ n 2 口c 。s 口 m 潲 8 男口i 畦褰l 1 f ，s i n2 口c o s 2 口、1 c 0 2c o s a ( 2 - 3 c o s 2 口) c 2 0 c 0 2s in2口+ 鸠加 耳【c 2 0c o s c t - - 石j 2 叫 _ ，s i n 2 a z r 肘i 圭a ；s i n t t t - - c t 2 z z c o s 口- - 2 吃。t c 。s 口 上海大学硕十学位论文 互1l ( s i n 2a + c 。 c 0 2 s 名2a f _ 人；+ c 0 2 1 2 zc 乞o s 口q2 - 2 2 s 。i n 2 口c 2 2 1 2c o s m m c 加ts i n 2 口 3 乞。c 。s 口 ，甜 收： 一一3 吖i 气：八，c o s 口fl 一翌1 l 2 尸薪n 2 口一6 缸，zc 。s 口一q ：艺c 。s 口 4 r 。 2 l 名 ”“ m o l l一人，一2 c 0 2 l c o s ，i ( a i + 2 c 0 2 l c 。s 口) 人；一4 气，3c o s g - - 2 q ：魄c 。s 口 m a , s i n a ，s i n 2 口2 c 1 2 z c 。s 口 乞 z 1l ( s i n 2a 。c o s a ：_ c 0 2 s 名2a ) a ，r c o s o f ( 2 - 3 c o s 2a ) , 2 c z o c o 孝1 n 2 口 m 2 l l c , , l s i n 2 a _ 2 c 2 2 ，c 。s 口 名 m 0 3 i 参c t o s o ! 畔卢警4 c 0 4 1 c o s o t 像方的波像差系数由m g k ，_ 们驭，呓，z ) 得到，、嘭、分别表示 物方和像方的子午和弧矢焦距。 考虑物方和像方空间的折射率，把波像差表达式( 2 8 ) 扩展到折射光学系统： 形= 睨可+ 惕彬棚+ n m a ( 2 9 ) 将u = - ( n o r z l ) u 暑u o i u 代入( 2 9 ) ，上式写成 其中 且 形= 助k z 1 7 “ g + j f + 霓4 ) ， ( 2 1 0 ) = 。( 口，1 ) + n l ( - n o 1 ) 朋缸( ，呓，巧，) + 八暑惕， ( 2 - 1 1 ) w t j k = f l o 1 ( a , r m , r 。, 1 ) + ( 一彬蚝( ，呓，们+ t a n t j k ( 2 - 1 2 ) 1 2 上海大学硕十学位论文 a = ( 所力o - ) r ，由文献【3 9 1 中的表1 列出。 传统轴对称光学的像差是基于高斯光学定义的。为了定义平面对称光学系统 的像差，相应的也要求其一、二阶波像差系数为零。首先，由暇0 0 = 0 就可以得 到光栅方程或折射系统的s n e l l 定律( 对于折射系统m = 0 或a = o ) ： n os i n a + r z ls i n f l = m 州盯 ( 2 - 1 3 ) 它定义了基光线的方向。第二，由w o l l = 0 ， ，2 c o , c o s a - 1 1 叫( 2 c o , 2c o s 夕一专) - 人， ( 2 ， 式( 2 1 3 ) ( 2 1 4 ) 定义了主光线的方向。第三，由o o = 0 和甄2 0 = 0 ，得到 2 气。c ”s c o s 鲈( 半+ 半卜人 协 2 ( n o c o s t z + n t c o s f l ) 一p 汁人 ( 2 - 1 6 ) 式( 2 1 5 ) ( 2 1 6 ) 分别定义了子午和弧矢方向的焦平面位置。由式( 2 1 5 ) 和 式( 2 1 7 ) 直接得出，- ( 甩l n o ) l = n u o l 。 在满足式( 2 1 3 ) ( 2 1 6 ) 条件下，系统的像差由式( 2 1 0 ) 中剩下的高阶 波像差产生，其四阶波像差表达式为 = 珂( w , o o z + w 2 。z 刁2 + 嵋0 0 2 4 + w 2 加z 2 7 7 2 + w 0 4 0 7 4 + 位z ”2 + k 1 3 7 7 “3 ( 2 - 1 7 ) + 0 2 2 2 u 2 + w 0 2 2 7 72 u 2 + w l l i z r l u + 1 7 7 3 u + w 2 l i z 2 r u ) 文献描述了如何利用波像差求光栅系统像面上的光线像差。对于折射光学 系统，其过程相同，但求光线在子午和弧矢平面内偏离参考波阵面法线的偏向角 时，需要考虑像方空间折射率： = 去等，彰= 去器( 2 - 1 8 ) 上式中砗硝是光线在像差波阵面上的坐标。第二，应该用n o ，。人：“代替文献 【4 5 1 方程( 5 1 ) 中的a ；u 。第三，文献f 4 5 1 中的光线坐标是在像面。上( 如图2 3 ) ， 为了计算像面上的光线坐标，其方程( 5 5 ) 应修正为 上海人学硕：l 学位论文 五2 鑫tx t + i , + 罐孚 亿 咒= 掣z o + 背z o 枷一訾z o z p z p z p 一 这样，最后导出在像面上的几何像差为 x i = 二了( z x + d 2 0 0 x 2 + a 0 2 。r 1 2 + 吃z 3 + 吐2 。z r l 2 + 甜2 + 碗l l f l u + d , 。l z r l u + 4 0 2 z u 2 ) c o s 口 舅= h o l 。r l + l “+ 曩l 。z r l + 曩。i z 拓+ 红l 。z 2 r l + h 0 3 。r 1 3 + ，甜3 + k l z 2 甜+ h 0 2 i r l 2 u + h o l 2 r l u 2 像差系数咖和h o , 由表2 2 列出。假如r o i l = 1 ，即为衍射光学系统的像差系数。 瓠和向驰由波像差和离焦像差( 包含离焦量1 舭a 部分) 两部分组成。因为w 2 0 0 = 0 ，w 0 2 0 = 0 ，所以离焦像差不可能直接由波像差导出，但我们的结果给出了离 表2 2 像差系数颤和向独 小孚 = 华“砜，小嘶+ 匀l 4 0 0 人。c o s , o 畋 哿似，咖( 半_ 。户产t a n 磊2 0 r 泓。w s l2 p 。a m s i np c 眨 l l 恕m “n ， f o w l 0 2 八。ts i n ( a 一声) ： c o s , o s i n a t 1 4 上海大学硕十学位论文 等一3 t a n ( + 萼一笛 + 3 ( 一2 ，t a n 二+ 人。( 义芋 吃 c o s 譬小ps ；n 触。 人c o s 2 ( 2s i 叩+ 詈印伽矽2 t a n t i c , o ) t a n 哿等哿卜”2 加协矽 西2 0 饥p 2 乞, p k 2 s i n t i c , , ) s l n ( 2 f 1 ) c o , 伽 哿荨螂2 r o e 2 0 w u - 2 a t a n p , o w , 加 4 1 1 + o - 2 a ) w 。t a n + 2 人。，( c 。s 1 2 , 8 ) s ；n q ： 2 人ms l n ( 2 f 1 ) c o z l t a n 矽 哿一器) w ，0 2 - at a n 肫。+ ( 1 - 2 a h 驯 4 0 2 。咖酏舻气，2 ) + 学 l o a ， 。z 一人。石 啊l o 2 “人擎号筇切n 铂们r o w , l l + 八，人。s i n p + a 。人。c o s f l t a n 札, , - s i n w t + 6 t a n 盹她3 辚- a = c o s 锄 i + 人，a ( c 。s 届c 加鲥等) ( a - a 2 ) a 月c 。f 饥八。c o s f l ( s i n f l + 甍s f l t a n s i n , f lt a n f l c 2 0 ) t a n 上海大学硕十学位论文 2 帆c 2s i 厂w h o + 6 f l r o c o z + 魏州- 2 a , c o s o s j 肌州 红l o + 铷s 鹏+ 半严一龛字 a ”爿幽肚甍吒l t a n 一s i 眇j r 伽 3 帆i + 2 伽概( m 帆i ) + c 。t s o , 卜w i + 可w i l l 卜矽 2 l 蚝卜珈，c o s - a s i n 删 1 2 2 砒：+ 2 t a n 3 编：( 1 w i + w l o ：) + 南卜+ 了w l o z ) t a n 妒 + 2 a 。c o ：i ( a ，c o s f l - a 。s i n f l t a n ) 3 0 4 帆p r ：a n f l r ：j o ：+ 丽r o w 1 2 0t a i l 痧+ 号( 小。s - as i n t i t a n ) c o s ， 帆“f l r o c o 以以酱饥 2 3 主光线位置改变引起波像差系数的修正 2 3 1 入瞳位置改变引起像差系数的修正 当入瞳在光学元件处的情况下，即，= 0 时，平面对称光栅系统像差系数的 正确性已经应用光线追迹解析法【3 8 1 得到证明【4 5 1 。现在像差系数扩展于折射系统， 只要在文献【4 5 j 的光程函数中考虑物、像空间的折射率： f = n o s o p + n a p b + n m 2 ( 2 - 2 1 ) 然后，按照相同的过程，就可以得到折射系统的像差系数。比较知道其结果和我 们表2 2 中的像差系数在，= 0 时完全一致。 如果入瞳沿光轴偏离光学元件表面，即，0