（基础数学专业论文）一个3×3矩阵谱问题的达布变换.pdf

。、 8 8 5c j t h ed a r b o u xt r a n s f o r m a t i o no f a3x3m a t r i x s p e c t r a lp r o b l e m b y m a h o n g c a i c o n t e n t s 1 i n t r o d u c t i o n 2 t h es o l i t o nh i e r a r c h y 3 d a r b o u xt r a n s f o r m a t i o n 4 e x p l i c i ts o l i t o ns o l u t i o n s 引论 孤子族 达布变换 显式解 目录 a b s t r a c t ad a r b o u xt r a n s f o m l a t i o nw i t hm u l t i p a r a m e t e r sf o ra3 3 m a t r i x s p e c t r a l p r o b l e mi so b t a i n e dw i t ht h e h e l p o ft h e g a u g e t r a n s f o i t n a t i o n b yu s i n gt h em e t h o do f d a r b o u xt r a n s f o r i l l a t i o nt h e e x p l i c i t s o l i t o ns o l u t i o n so ft h e c o u p l e d n o n l i n e a r s c h r 6 d i n g e r e q u a t i o n sa n d t h e i rh i g h e r - o r d e re q u a t i o n sa r eg i v e n 嘶文摘要 对于多参数的3 3 矩阵谱问题的达布变换可以在规范变换下 得到。利用达布变换的方法可以得出耦合的j 垡些蓥工堡杰搓及 其高阶方程的显式孤子解。 k e y w o r d s d a r b o u xt r a n s f o r m a t i o n ，s o l i t o n s ，3 3 m a t r i xs p e c t r a lp r o b l e m 啵键词 达布变换；孤立子；广义a k n s 谱问题 2 i i n t r o d u c t i o n i n1 8 8 3 s w e d e ns c i e n t i s tb i i c k l u n df o u n da l li n t e r e s t i n gp r o p e r t ym 】o f s i n e g o r d o ne q u a t i o nw h e nh es t u d i e dt h en e g a t i v eo r d i n a r yc u r v a t u r e ，i e i f “i st h es o l u t i o no fs i n e g o r d o ne q u a t i o n u “= s i nu ，t h e nw eh a v ean e w s o l u t i o nt h r o u g ht h ef o l l o w i n gt r a n s f o r m a t i o n ： r n + 万、u f i - j l = as i n ， l2 。 2 爿，邛m 字 w ec a l li tat r a i l s f o r m a t i o no fb i i c l d u n d t h eb a c k l u n dt r a n s f o r m a t i o ni sv e r y i m p o r t a n ta n di n t e r e s t i n g h o w e v e r i th a sb e e ni g n o r e df o ra l m o s to n eh u n d r e d y e a r s i th a s n o tb e e nu s e da sa ni m p o r t a n tm e t h o dt oo b t a i nt h es o l i t o ns o l u t i o n u n t i l1 9 6 0 sw h e nw ef o u n dt h a tt h es i n e g o r d o ne q u a t i o ni sv e r yu s e f u li n p h y s i c s ，a tt i l e s a m et i m e ，w ef o u n dt h a ti ti sf i tf b rk d ve q u a t i o n m ”， l i o u v i l l ee q u a t i o na n dn o n l i n e a rs c h r 跃l i n g e re q u a t i o n 6 7 ” g e n e r a l l ys p e a k i n g ，a s s u m ee q u a t i o n f ( u ，u ，u ) = 0( 1 1 ) i sa p a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n ， i ( “，u ，u ，) = o ，( f 1 , 2 )( 12 ) i sag r o u po f p a r a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n i fu i sas o l u t i o n o f ( 1 ) a n d ( 1 2 ) i s i n t e g r a l i t y ，t h es o l u t i o no f ( 1 2 ) i st h es o l u t i o no fa n o t h e rp a r t i a ld i f f e r e n t i a l e q u a t i o n ， g ( u ，“：，“o ) = 0( 1 3 ) w h i c hg i v eab 萏c l d u n dt r a n s f o r m a t i o nf r o m ( 1 1 ) t o ( 1 _ 3 ) t h es a m em e t h o di s u s e di nt h et r a n s f o r m a t i o nb e t w e e nl i o u v i l l ee q u a t i o na n dw a v ee q u a t i o n ， b u r g e r se q u a t i o na n dh e a te x c h a n g ee q u a t i o n 1 i f ( 1 1 ) a n d ( 1 3 ) a r et h es a m e e q u a t i o n ，t h et r a n s f o r m a t i o ni s as e l f - b a c k l u n d t a n s f o r m a t i o n i e d a r b o u x t r a n s f o r m a t i o n 5 1 6 m 6 ，2 8 1t h eb i c k l u n dt r a n s f o r m a t i o nh a sb e e nt h em o s t i m p o r t a n tm e t h o dt os t u d ys o l i t o ne q u a t i o na n dt h e r ea r em a n yp a p e r sa b o u t i t 【1 1 , 1 2 , 13 s o m eo f t h e ma r ea b o u tm u l t d i m e n s i o na n dc o n t i n u a l 1 4 , 1 8 , 1 9 , 2 0 , 2 1 】 3 i ti sw e l lk n o w nt h a tt h e r ea r em a n yw a y st oo b t a i ne x p l i c i ts o l u t i o n so f s o l i t o n e q u a t i o n s ，s u c h a st h ei n v e r s e s c a t t e r i n gt r a n s f o r m a t i o n ，t h ep o l a r e x p a n s i o nm e t h o d ，t h ea l g e b r o g e o m e t r i cm e t h o d ，t h ed a r b o u xt r a n s f o r m a t i o n m e t h o da n ds oo n 2 2 2 3 2 4 ，2 5 1t h em o s ti m p o r t a n tk i n da m o n gt h ee x p l i c i t s o l u t i o n sa r et h es o l i t o ns o l u t i o n s ，p o l a re x p a n s i o ns o l u t i o n sa n dq u a s i - p e r i o d i c s o l u t i o n s ，w h i c ha r eu s e f u li nm a n yf i e l d s a m o n gt h ev a r i o u sa p p r o a c h e s ，t h e d a r b o u xt r a n s f o r m a t i o nr d t ) 【1 2 ，2 6 , 2 7 ，2 研h a sb e e np r o v e dt ob eo n eo f t h em o s t u s e f u la l g o r i t h m i cp r o c e d u r e st og e te x p l i c i ts o l u t i o n so fs o l i t o ne q u a t i o n s 1 “ i nt h i sp a p e r ，w e 1 1d e r i v ead tw i t hm u l t i p a r a m e t e r sf o ra g e n e r a l i z e d a k n ss p e c t r a lp r o b l e mf r o mw h i c ht h es o l u t i o n sa r eg i v e n t h i sp a p e ri s o r g a n i z e da sf o l l o w s i ns e c t i o ni i ，w e 1 1d e r i v et h es o l i t o nh i e r a r c h ya s s o c i a t e d w i t ha3x3 s p e c t r a lp r o b l e m i ns e c t i o ni i i ，w ea r eg o i n gt oc o n s t r u c tad t o ft h e g e n e r a l i z e d a k n s s p e c t r a lp r o b l e mr e s o r t i n g t ot h e g a u g e t r a n s f o r m a t i o nb e t w e e n s p e c t r a lp r o b l e m s i ns e c t i o ni v , n e we x p l i c i ts o l u t i o n s a r eg i v e n b yu s i n gt h ed t i i t h es o l i t o n h i e r a r c h y a tf i r s t ，w es h a l ld i s c u s st h e f o l l o w i n gg e n e r a l i z e da k n ss p e c t r a lp r o b l e m ： y ，= u y ，y = o j ，y 2 , y 3 ) 7 ，( 2 1 ) w h e r e 引 a n di t sa u x i l i a r yp r o b l e m y t 。v y ，v = ( ) 一 b a s e do nt h e i n t e g r a b i l i t yc o n d i t i o n q + 【，v 】_ 0 ( 2 2 ) s u b s t i t u t i n gt h ee x p r e s s i o n so f i n t o ( 2 2 ) a n dc o m p a r i n gt h ec o e f f i c i e n t s 4 a o 兄 一 “ v ， f f 矿 i o t 曙 。 = o f 2 ，w eh a v e 巧甚，= v ：噬j ，+ u 2 巧? 一“。k 笋一v ，k 乎 _ ：一z ：v 。( k ，) + v ：( 噬一咏) + “：嘭 k = 一z 2 。v ( k ，) + “：( 瞪一臂) + i 1v 2 瞪 嗜枷= 咄一l u 。( 臂一嗜) + 号v ，嗜 唆= “。睹，一v ：噬，嗖= “，嘴一“：嗜 ，v ，3 ( ：k 。) = h k 字一v ：嘴，要= v , v g 一“：瞪 “= 嘲一“，( k r 一堙) 一v 1 嘧， “：。= _ 婴一“：( 瞪一巧p ) 一v z 堙 v l = v 3 ( n 。) 一v 1 ( 嘴 “i 嘤 v ：。= k 罢一v ：( 嘧一_ p ) - 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