（基础数学专业论文）多四元数siegel域上的cauchyszego核及其相关问题研究.pdf

摘要 指出并修改了d e r - c h e nc h a n g 等人在文 6 】中的一个错误，导出了双四元数s i e g e l 域上 的四元数值c a u c h y - s z e 9 5 核；给出t a 元数s i e g e l 域 - h a r d y 空间的边值刻画；用代数的 方法证明了多八元数左d 解析函数紧致奇点的可去性，以及满足一类微分方程的左d 解 析函数紧致奇点的可去性；利用八元数的弱结合性对已有的八元数矩阵的行列式的定义 进行了简化；给出t a 元数解析函数的一个简单构造方法，并借此定义了各种初等八元数 解析函数 关键词：八元数，h - 型群，c a u c h y - s z e 9 5 核，多八元数解析函数，弱结合性，初等八元 数解析函数 a b s t r a c t f i xal e a ki n 6 】，t h eq u a t e r n i o n - v a l u e dc a u c h y - s z e 9 5k e r n e lo ft h eh a r d ys p a c e o nt h es i e g e lh a l fs p a c emi sd e d u c e d ；o c t o n i o n i ch t y p eg r o u pi si n t r o d u c e da n dt h e h a r d ys p a c eo nt h eo c t o n i o n i cs i e g e lh a l fs p a c ei si n v e s t i g a t e d ；a p p e a lt ot h ea l g e b r a i c m e t h o d ，w ep r o v et h a tl e f to - a n a l y t i cf u n c t i o n so fs e v e r a lo c t o n i o nv a r i a b l e sa n dl e f t 0 - a n a l y t i cf u n c t i o n sw h i c hs a t i s f yak i n do fp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n sc a n n o th a v e c o m p a c ts i n g u l a r i t i e s ；w es i m p l i f yt h ed e f i n i t i o no fd e t e r m i n a n to ft h eo c t o n i o n i cm a t r i x u s i n gt h es o - c a l l e dw e a ka s s o c i a t i v i t yo ft h eo c t o n i o n ；as i m p l ec o n s t r u c t i o no fo - a n a l y t i c f u n c t i o n si sg i v e n 。f r o mw h i c ht h ee l e m e n t a r yo c t o n i o n i ca n a l y t i cf u n c t i o n sa x ed e 舫e d k e y w o r d s ：o c t o n i o n ，h - t y p eg r o u p ，c a u c h y s z e 9 5k e r n e l ，o a n a l y t i cf u n c t i o n so f s e v e r a lo c t o n i o nv a r i a b l e s ，w e a ka s s o c i a t i v i t y ，e l e m e n t a r yo c t o n i o n i ca n a l y t i cf u n c t i o n s 第一章引言与主要结果 如果一个代数a 同时还是一个赋范的向量空间，并且其范数“| ，满足i l a b l i = 1 1 0 l l i i b l l ， 则称a 为赋范代数；如果由o ，b a 及a b = o 可推出a = 0 或6 = 0 ，则称a 为可除代数早 在1 8 9 8 年，h u r w i t z 就已证明，除了实数r ，复数c ，四元数日和八元数d 外( r c h d ) ，实数域上再也没有其它赋范的可除代数 1 6 】关于乘法，实数和复数满足交换律和结 合律，四元数不满足交换律但满足结合律，八元数则是非交换非结合的 四元数在物理和工程方面有广泛的应用m a x w e l l 电磁方程可用四元数以极其简洁 的形式表达四元数分析的发展始于2 0 世纪3 0 年代 1 1 ，1 2 】，在此后的2 0 多年的时间里，瑞 士数学家r f u e t e r 和他的学生的优秀工作使得四元数分析趋于完善8 ，3 5 四元数分析 是单复变函数论向高维发展的一个辉煌的成就 把四元数分析推广到高维，主要有两个方向一个是由d e l a n g h e ，b r a c k x 和s o m m e n 等 人于上世纪7 0 年代建立和发展起来的c l i f f o r d 分析5 】，它是建立在结合代数c l i f f o r d 代数( 一 般来说不是可除的) 上的分析理论，现已被广泛应用于数学和物理等多个方面另一个方 向是八元数分析由于八元数乘法的非交换性和非结合性。八元数分析进展缓慢，其基本 理论框架直至u 1 9 9 8 年才建立起来1 8 】 h a r d y 空间理论是调和分析的一个重要组成部分，它在微分与积分方程、偏微分方 程、控制论及散射理论等许多方面都有重要的应用在不同的区域上，可以定义不同结构 的h a r d y 空间比如c 叶1 中的s i e g e l 上半空间为 定义在其上的全纯函数f 属于h a r d y 空间h 2 n ) 当且仅当 s u p i e ( z ) 1 2 d 1 3 ( z ) oj a 蹦n 其中e ( 名) = f ( z + i ) ，i = ( 0 ，0 ， ) 对任意的f 冗2 “) ，f 有l 2 ( 拟n ) 范数意 义与几乎处处意义下的边值f 6 ，且有积分表示 1 3 ，3 3 f ( z ) = s ( z ，u ) f 6 ( u ) d p ( 叫) ， z “n ，a 明n 其中 ，、 n11 ，、 n !l 6 ( z ，u j2 4 7 r n + l r n + l ( z , w ) 称为复值c a u c h y - s z e g s 核，而r ( z ，) = ( w n + 1 一z n + 1 ) 一? z k y a k 2 0 0 8 年，d e r - c h e nc h a n g ( 张德健) 等人在文【6 】中讨论了四元数h e i s e n b e r g 型群( 简称h 一 型群) 及s i e g e l 半空间上左h 解析函数构成的h a r d y 空间，把上述多复变数的情形推广到 含两个四元数变量的情形他们得到了如下结论： 定理a 设f 冗2 ( m ) ，则 、， 乃 n 芦 十 m + n cz rl = n “ ( i ) 存在f 6 l 2 ( 姒) ，使得在l 2 ( 妣) 范数的意义下，有e ( g ) j 妣_ f 6 ( _ o ) ； ( i i ) 上述p 的全体构成l 2 ( 0 2 1 ) 的闭子空间，且有f 6 i i 工。( a 嘶) = i i f l | h ：) ； ( i i i ) f 有积分表示 ， f ( q ) = s ( g ，u ) f 6 ( ) 卵( u ) ，口= ( q l ，q 2 ) 矶， ，妣 其中 s ( q ，u ) = 未r - 5 ( 叫) ，r ( 叫) = t q 2 - f - 万2 一万1 口1 遗憾的是，作者忽略了复解析函数和四元数解析函数有本质的不同，导致t c a u c h y - s z e 9 5 核的计算和解析性的判断都是错误的我们容易验证，对于固定的u ，s ( q ，u ) 并不是 左日一解析的经过反复的计算与验证，我们得到 定理b 设f 咒2 ( m ) ，贝j j f ( q ) = 乜s ( 鼋，叫) f 6 0 ) 叩) ，q = ( q l ，q 2 ) 矾其中 s ( q ，u ) = s ( 口2 + 西一2 万- 9 1 ) ， 咖) = 暑 竿+ 警 ，叫 积分表示中的s ( q ，u ) 称为四元数值c a u c h y - s z e 9 6 核 本文同时研究了多个四元数变量的情形，把上面关于咒2 ( 矾) 的结果推广到咒p ( 己乙) 定理c 设f 冗p ( ) ，1 p 1 ) 上的全纯函数不能有紧致的奇点1 9 8 8 年，p e r t i c i 用分析的方法证 明了类似的结论在m 维四元数空间日n ( 佗 1 ) 中也成立【3 1 】接着，a d a m s 等人用代数 方法给出了这一结论的证明，他们还将此方法用于满足一类微分方程的左日解析函数 及c l i f f o r d 分析中 1 ，2 而关于多八元数函数的讨论，就作者所知，还未见诸于任何文献 一个自然的问题是，在( 多) 八元数分析中类似的结论是否成立? 在a d a m s 等人所使用 的代数方法的启发下，我们证明了： 定理d 设k 是0 “( n 1 ) 中的紧凸集r o n k 是连通的若t 厂是0 n k 上的多八元数 左d 一解析函数，则厂可以唯一地延拓为一个多八元数左d 一整函数 当佗= l 时，我们不能期望有类似的结论，c a u c h y 核就是其中的一个反例，但我们有： 定理e 设k 是0 中的紧凸集k o k 是连通的若d k 上的左0 解析函数厂在d k 上 满足微分方程 p ( d ) f = 0 ，( 1 1 ) 其中p 是一非零的实系数一元多项式，则，可以唯一地延拓为一个在0 上满足( 1 1 ) 的左d - 整函数 一 以上这些只是对多八元数解析函数的初步尝试，其中还有很多问题( 比如多八元数解 析函数的c a u c h y 积分公式和t a y l o r 展式等) 有待我们研究 在第五章我们讨论了八元数代数上的行列式理论众所周知，实数域和复数域上的矩 阵理论和行列式理论早已成为自然科学的基础工具四元数矩阵和行列式理论，伴随着 四元数的诞生就一直有人研究由于八元数的非结合性，要定义八元数矩阵的行列式，使 其保持实矩阵行列式所具有的性质，就比较困难李兴民和袁宏在这一方向上迈出了关键 而重要的一步在 2 2 】中他们把一个八元数矩阵a = 【o t ，) 的行列式定义为 d e t ( a ) = ( 一1 ) r ( 竹( 眈( o 。，o 锄，口砌。) ， ( 1 2 ) o 1 ，a 2 6 s 其中7 ( 口1 ) 与7 - ( 观) 分别代表0 1w - - - ( i i ，i n ) 与i f 2 = ( j l ，矗) 的反序数，( a i 。j a i 。h ) 代 表这几个数的所有排列的左和右结合积之和这样定义的行列式保持了通常意义下的行列 式的许多良好性质，且满足八元数自共轭矩阵的行列式为实数 八元数的乘法虽然不满足结合律，但经过观察与计算，我们发现 2 8 ： 定理fv n ，z 1 ，z 2 ，z 。0 ，有： ( x i 。) a = ( x i l x i 。x i n ) b “1 ，t 2 ，一，i n ) s ( n ) ( i l ，i 2 ，i 礼) s ( n ) 其中s ( n ) 表示集合 1 ，2 ，n ) 的置换群，a ，b 表示任意两种指定的结合方式 3 我们把这一性质称之为八元数的弱结合性由此出发便可简化上述八元数矩阵行列 式的定义【2 8 ： 定义g 设a = ( a i j ) n n 是一扎阶八元数方阵，定义其行列式为： d e t ( a ) = s g n ( j m j ，矗) ( n l j l a 2 j 2 。巧。) z ， ( i l , j 2 ，如) s ( n ) 其中 ( z - x 2 z n ) f _ a 嘉 x i ) x i - i ) ( t 1 ，i 2 ，i n ) s ( n ) 这样定义的行列式本质上与( 1 2 ) 式相同 在第六章，我们讨论了初等八元数解析函数众所周知，在复分析中，解析函数是最基 本和最重要的研究对象，其对有限次四则运算和复合运算封闭，这一性质给研究带来了很 大方便由于非交换性，在四元数分析、八元数分析及c l i f f o r d 分析中，解析函数只对加减 运算封闭，一般不再对乘法、求逆及复合运算封闭；这无疑是阻碍其发展的一个重要因素 于是，就有必要讨论满足这一性质的非平凡函数类的存在性及其相关问题在文【27 】中，作 者首次给出了这一函数类受其启发，我们给出了一个构造八元数解析函数的非常简洁 自然的方法，这比文【1 8 和文 2 4 中的方法要省很多计算量 定理h 假设f ( z ) = 乱( z ，y ) + i v ( x ，y ) 在qcc 上复解析，则如下函数 删z ) - - - - u ，喾) + 罾巾。，喾h = 知。 在区域 z ：x o , 弓7 笋) q ) co 上是一0 解析函数 由此方法，我们可以很快地得到一些0 一解析函数，比如， e x p ( 垆毗弘0 0 掣：c 。婴丝1 产7 型7 ，z 0 ， k = o k = o ：琊i n 加妻( _ 1 ) 知虹气1 丽7 矿7 ej)2k+lsin(x) ，z d ，= 死( s i nz ) = ( 一1 ) 知竖二三面玎r 一，z d ， = 石1 = e x p ( - x l n n ) ，z o ，黝 1 它们都是0 一解析函数，分别称之为八元数指数函数，八元数正弦函数和八元数r i e m a n n z e t a 函数类似地，还可以得到八元数幂函数，八元数对数函数等等我们把初等复解析 函数在变换死下的象称为初等八元数解析函数 值得注意的是，按这种方法构造出的解析函数对有限次四则运算和复合运算封闭，而 且可以很容易地将之推广到四元数分析及c l i f f o r d 分析中相信这给日后的进一步研究会 带来方便 4 第二章预备知识 任一四元数q h 都可写成q = 岛x i e i 其中鼬g = x o ，i 驰q = 兢( 1 i 3 ) 均 属于r ，e i ( o i 3 ) 是基元，其乘法满足e 3 = e o ，e i e o = e o e = e i ，e 2 i = 一1 ( 1 i 3 ) 以及e l e 2 = e 3 = 一e 2 e 1 ，e 2 e 3 = e 1 = 一e 3 e 2 ，e 3 e l = e 2 = 一e l e 3 g 的范数，共轭和逆分 别定义为l g i = ( ；吒2 ，1 z ，虿= x o e o 一诘31 x i e i ，口- 1 = q i q l 2 对任意的q 1 ，q 2 ，q 3 h ， 有 q l q 2 l = l q l i i 口2 i ，丽= 4 q = 2 ，q l q 2 = 一q 2 一q l ，( q l q 2 ) q 3 = q l ( q 2 q 3 ) 设q 是r 4 中的开集，称函数f c 1 ( q ，h ) 在q 上左( 右) 皿解析，如果d 厂= ；e 筹= 0 ( f d = ：差勖= o ) 这里d = ；e 矗，其共轭万= ：瓦去若l 厂在q 上既左日一解析 又右日一解析，则称其为q 上的日一解析函数由- d d f = a f = f d d 可知任一左( 右) 日解析 函数必是一调和函数 在本文第三章的最后一节( 引理3 4 ) ，我们发现左( 右) 日一解析函数具有如下与复解析 函数类似的良好性质 厂( q ) 在硝上左( 右) 日一解析每净v a h ，( q g ) ( ，( g a ) ) 在舻上左( 右) 日一解析 关于四元数及四元数分析的更多工作可参看i s ，3 5 八元数是实数域上一个8 维的可除代数，它关于乘法非交换与非结合设e o ，e 1 ，e 7 是 其中一组基，满足e 3 = e o ，e i e o = e o e i = e i ，e ；= - 1 ，i = 1 ，2 ，7 记 w = ( 1 ，2 ，3 ) ，( 1 ，4 ，5 ) ，( 1 ，7 ，6 ) ，( 2 ，4 ，6 ) ，( 2 ，5 ，7 ) ，( 3 ，4 ，7 ) ，( 3 ，6 ，5 ) 】i ， 则对任意的三元组( 口，p ，7 ) w ，有 e 口e 口2e , 72 - - e b e a ，e b e 7 。e a2 - - e 7 e pe t e a2e 口2 - - e a e 7 对每个z = j 孔e t 0 ，r e x = 如称为z 的标量部分( 实部) ，彳= ；毛e 称为z 的 向量部分，其第i 个分量兢记为i m t x ( 1 i 7 ) z 的共轭为虿= ；z 瓦= 黝一言非负 数= ( ；z ；) 称为z 的范数( 或模) 八元数的共轭和范数满足：i x v l = 蚓，z 虿= 勋= 2 ，可= 可虿( z ，y o ) 对z o ，z 。= - 2 称为z 的逆【x ，y ，z 】= ( x y ) z z ( 可z ) 称 为z ，y ，z d 的结合子，它满足 i x ，y ，z = 【y ，z ，z 】= 一【秒，z ，z 】， z ，z ，y 】= _ ，z ，y 】= 0 设q 是r 中一个开集，如果厂c 1 ( q ，d ) 且满足d ，= ；e i 瑟= o ( f d = ja o 盟x ie i = o ) ，则称，在q 上左( 右) d 解析，这里d 及其共轭万分别定义为d = ；e 矗，西= ；砑茜 若厂在q 上既左0 一解析又右0 解析，则称其为q 上的0 解析函数由- d ( d f ) = ( - d d ) f = f = f ( d - d ) = ( 1 厂d ) 万可知任一左( 右) d 一解析函数必是一调和函数 关于八元数和八元数分析的更多工作可参看 1 8 ，2 0 ，2 1 ，2 3 ，2 4 ，2 6 】等文献 为了在高维情形建立日p 空间，1 9 6 0 年，e m s t e i n 和g w e i s s 将全纯函数的概念推广 到高维 3 4 ，建立了以他们的名字命名的s t e i n - w e i s s 共轭调和函数系( 以下简称s w 共轭调 和函数系) 一个向量值函数f = ( p o ，t l ，) 被称为s w 共轭调和函数系，如果它的分量满 足下列广义c a u c h y - r i e m a n n 方程： 我们有： ( 肋，肛1 ，) 是s - w 共轭调和函数系仁令 ( p o ，p 1 ，p 2 ，t 3 ) 是s w 共轭调和函数系仁今 ( 伽，p 1 ，p 7 ) 是s w 共轭调和函数系毒 p o 一# 1 i 是复解析函数； 3 伽一p i e i j 是h 一解析函数 1 8 】； t = 1 7 p o 一胁e 是。一解析函数 1 8 ，1 9 i = 1 对于最后一条，反向的推出“仁”并不成立，在文 2 5 中作者指出，存在o 一解析函数g ，其共 轭的所有分量并不构成s w 共轭调和函数系他们还得到以下有趣的结论： ( 肋，p 1 ，p 7 ) 是s w 共轭调和函数系乍令 v 入0 ，o 一p i e i ) 入是左d 一解析函数 = 1 告辛v 入o ，a ( p 。一胁e t ) 是右d 一解析函数 1 = 1 在第三章的引理3 5 ，我们得到一个与之平行的结果： 7 两的所有分量构成冗8 上的s w 共轭调和函数系号v a 0 ，( 口7 - ) 在钟上左d 一解析 乍号比0 ，厂( 7 - a ) 在萨上右0 一解析 6 他 o ) 变为自身的变换且保持边界刎= t ：r ( 7 - ) = 0 ) 不变 此外，易证( 3 2 ) 式还定义了一个群0 在集甜上的作用通过它在原点处的作用 p ，t 】：( 0 ，0 ) h ( u ，i u l 2 + e t ) ， 我们可以将p 与0 u 等同起来：o 弓p ，t 】h ，川2 + e t ) 0 1 d 3 2 s i e g e l 半空间上的四元数值c a u c h y - s z e g i i 核 在矾的边界0 4 ，_ 1 上通过下式引入测度d f l ： f ( q ) d f l ( q ) = f ( 9 1 ，i q l1 2 + e 芒) 由1 d t ，v f ( q ) g ( a u l ) ， j o b l l ，h r 3 其中g ( o u l ) 表示0 4 1 _ e 具有紧支集的连续函数全体 满足i | f li 何。( 甜。) = ( s u p 。 o i g ( q ) 1 2 a f t ( q ) ) 虿 o 。，且在矾上左日一解析( 即对每个 变量都左日一解析) 的函数f ( g ) 的全体称为s i e g e l 半空间矾上的h a r d y 空间，记为咒2 ( 矾) 其 中足( g ) = f ( q + e e 0 ) ，称之为f ( 口) 的垂直( 或纵向) 平移，而e o = ( 0 ，0 ，0 ，0 ，1 ，0 ，0 ，o ) 定理3 1 设f 7 - 1 2 ( m ) ，则有 f ( q ) = s ( q ，u ) p ( w ) d f l ( w ) ，q = ( q a ，q 2 ) 矾 j 砌1 其中 s ( q ，u ) = s ( q 2 + 西一2 两1 1 q 1 ) ， s ( ) = 暑 等+ 6 ( n i e i u 。) 2 p j ：h 8 积分表示中的s ( q ，u ) 称为四元数值c a u c h y - s z e 9 6 核 证明据文 6 】，s ( 9 2 ) 全s ( q ，o ) 是一与q l 无关，对9 2 左日一解析且满足s ( 6 2 q 2 ) = 5 - 1 0 s ( q 2 ) 的函数，而s ( q ，“，) = s ( 9 2 + 砺一2 历- - l q l ) 满足s ( q ，u ) = 甄瓦面从以上条件可知s ( 9 2 ) 是5 阶 齐次的左日一解析函数，仿【5 可证 ，匀2、 t 万耘e ( q 2 ) ：0 i j 2 ， 是这类函数的一组基其中 e ( q 2 ) = 2 7 r 2 e ( 9 2 ) 2 研q 2 ， 为四兀数值c a u c h y 核，它是一个h 一解析函数从而有 s ( q 2 ) - 。三。亳e ( 9 2 ) = 。点。( 垫铲+ 警) ，o i j 2 1 i1 1 l c j h ( 0 i j 2 ) 待定 首先，i 扫s ( q ，u ) = 甄而可得r ( 0 i j 2 ) 且c o l = c 0 2 = 0 其次，令 f ( g ) _ f ( 9 1 ，口2 ) = ( 去叫k = 阿1 - 4 ( 1 + 而r e q 2 ) 乒l + q 2 ， 则易知f ( 口) 在m 上左解析，且有 i i f | | 乞z ) _ s 伽u p ， 妣i f d q ) 1 2 卵( g ) = 厶酬训。( 阿1 + 等群) 蜊q ) = 9 厶寿斋上。存斋 o ) 则q l 成为一齐次群，且相应的齐次群维数为1 0 考虑分布 k ( h ) ：l i mk 。( h ) = 20 2 e ) b ：俐， 并记9 1 = e ：y i e i 则易证： i k ( ) i c p - 1 0 ( ) ， 1 0 l 羲k ( 九) l c p 。1 1 ( ) ，o z 3 ， i 杀k ( h ) l c p 一1 2 ( 九) ，1 j 3 由于c 是投影算子，故c 是强( 2 ，2 ) 型，且忙川l 。( 妣) ii f ll l 2 ( 0 嘶) 由齐次群上调和分 析的理论( 如见 3 3 ) 即可完成证明口 当l p o 。时，仿n t - t 2 ( 矾) 我们可以定义咒p ( m ) ，并得到与定理a 中的( i ) 和( i i ) 平行 的结果这样我们就能容易地证明下面的 定理3 3 对1 p 2 ) 对任一正数6 ，碥上的伸缩变换定义为占o ( q ，q n + 1 ) = ( 6 9 ，6 2 q n + 1 ) 而对任意的冗= ( 冗1 ，冗2 ，7 ) h “( i 死i = 1 ，i = 1 ，n ) ，上的旋转定义为n ( q 7 ，+ 1 ) = ( 冗 g ，g n + 1 ) 引进h 型群q n = h 竹r 3 = p 7 ，t 】：a h n ，t = ( t 1 ，t 2 ，t 3 ) r 3 ) ，其乘法运算规 定为：陋，t 】。归，8 】= q + p ，t l + s l 一2 i r a l ( 万口) ，t 2 + s 2 2 i m 2 ( 万q ) ，t 3 + s 3 - - 2 i m 3 ( 万a ) 】 对每一 = p 7 ，t 】q 礼，定义上的平移变换 q = ( q 7 ，+ 1 ) hh ( q ) = ( q 7 + u 7 ，g n + 1 + i u 7 1 2 + 2 万q 7 + e t ) 上的这三种变换对高维c a u c h y - s z e 9 5 核的计算起着十分重要的作用 设1 p 。ki f 。( q ) l p 邸( 口) ) 石1 o 。且在上 左h 一解析的函数f ( 口) 的全体为s i e g e l 半空n u 。_ k 的h a r d y 空n ，记为爿p ( ) 其中 疋( q ) = f ( q + e e o ) ，e o = ( o ，o ，1 ，0 ，0 ，o ) 、l - 。、_ 一 4 n 个0 易知于俨( ) 是一b a n a c h 空间，特别地，7 - 1 2 ( ) 是一h i l b e r t 空间 定理3 4 设f 舻( ) ，1 p o ； s ( 7 已( g ) ，7 已( u ) ) f 6 ( u ) d p ( u ) ，v 7 已； s ( ( g ) ， ( u ) ) p ( u ) 筇( u ) ， v h q n 即有s ( q ，u ) = s ( 6o 口，5ou ) 6 4 6 = s ( 冗( g ) ，冗) ) = s ( 危( g ) ，危) ) 从而s ( g n + 1 ) 全 s ( q ，o ) 是一与g ，无关，关于+ 1 左日一解析的一2 死一3 阶的齐次函数，且s ( q ，u ) = s ( + 1 + 而一2 万g ，) 口 至于怎样才能算出系数c r 点。，我们目前还无能为力如果按照上一节的方法确定各个 系数，则因未知数太多及表达式中含高阶偏导数，计算量将变得非常巨大，而且这种方法似 乎毫无规律可寻而在多复变的情形，所需要确定的系数只有一个，计算简单这是因为四 元数解析函数的结构要比单复变中复解析函数的结构复杂得多受复值c a u c h y - s z e 9 5 核 及上c a u c h y - s z e 9 6 核计算结果的启发，我们猜测 c 2 邮，o = ( 2 7 r ) 轨，而当( 7 ，s ，t ) ( 2 n ，o ，o ) 时，c r 8 ，t = 0 这一猜测还有待验证事实上，若假设当( r ，8 ，t ) ( 2 n ，0 ，o ) 时，c r ，。，t = 0 ，则可以采 用f 0 u r i e r 变换的方法算出c 2 邶，o = ( 2 7 r ) 凯为此，注意到e ( ) = 一去万= 一嘉( 否o 石n 一 筹e 1 一差e z 一筹e 3 ) ，其中= f 1 r r 4 中的n e 毗o n 位势可设 。j 0 2 + 1 n 0 2 n + 1 n0 2 n + 1 n0 2 n + l n s 2 l 瓦万一丽q 一o x 酽o x ：钇一5 x 驴o z 3 也3 ， 1 2 厶厶厶厶 = = = 、，、l，、l， 国 国 f f f 令f ( 9 7 ，+ ) = ( 甓拶一而0 2 n + l ne - 一丽0 2 n + 1 ne z 一丽0 2 n + 1 ne 3 ) i 。+ 鼽+ ，7 - 1 2 ( ) ，则有 f ( 0 ，1 ) = ( z 。2 ) 2 州i 脚 = 一( 2 n + 2 1 1 - 2 2 n 一3 而 因此得 = 厶训：壹i = 0 ( 3 ，i 一二。 0 2 + 1 n 沈扩“ 0 2 n + a n 以驴+ 1 0 2 n + 1 如；卅1 0 2 n + 1 如护1 0 2 n + 1 a z 驴+ 1 峨 0 2 - + a n a z 3 ”a z i 0 2 n + 1 n 如3 ”o x i 2 d x l d x 2 d x 3 l + w n + l 卵( u ) 2 d x l d x 2 d x 3 ) ) ( x l , x 2 , x 3 ) 2 如。如：如3 ( 上。 ( 上。 e 一2 霄 ( 1 e 1 + z 2 毒2 + 。3 如) z 3 + 髫+ 彦+ 器 幽， x o = l + 1 ，7 1 2 必) 卜。嘞如3 篆糯- 4 - 必) | 2 i 如。如。如3z 3 + 钎+ 器器岭一州。 7 r e - 2 伽屑丽) 2 d x l d x 2 d x 3 7 r 2 ( 2 7 r ) 4 n + 2 ( z ；+ z ；+ z ；) 2 n e - - 4 _ ，r z o 、z i + z ；+ z ；如1 d x 2 d x 3 j r 3 r ( 4 n + 3 ) 2 4 n 7 r 2 - x 0 4 1 一， 厶 0 2 n + l n a z 3 ”o x i 2 d x ld x 2 d x 3 i 筹( 2 砌t 上。 e 一2 ，r ( z l e l + z 2 已+ 。3 3 ) z 3 + 髫+ 镗+ 器 必) 1 2 如。如z 如3 喜r ( 4 佗+ 3 ) 2 “舻2 7 r 2 x o 址3 ，i = 1 ，2 ，3 o f ( 2 n + 3 ) 2 2 n 一3 = c 佗f ( 4 n + 3 ) 2 一饥一1 7 r 2 ( 1 + l u 7 1 2 ) 一4 n 一3 d w 7 jh n = r ( 4 n + 3 ) 2 - 4 n - 1 7 r 2 丽2 7 r 2 n 互1 b ( 2 n , 2 n + 3 ) ， e - n = 一2 2 - 2 7 i - 2 n 卅c 2 n ，o ，0 _ ( 2 7 r ) 凯 定理3 5c a u c h y & 叼搬影算子c ： ( 咧g ) _ 刚l i r a s ( q + e e 。，u ) 似) 即( u ) ，q 溉 是( 口( 溉) ，护( a ) ) 有界的n p o 。) 1 3 3 3 3 3 3 厂厶厂厶厂厶厂厶厂厶 = | l = l i 证明与定理3 2 的证明类似，考虑分布 k ( ) = s ( ) bg ，阳t ，h = ( 扎) q n ， 并记口7 = ( y 1 ，y 2 ，y 4 n ) ，d = 4 n + 6 为相应的齐次群q n 的维数则只要证 i k ( ) i c p 卅( ) ， l 杀砌) i 节扣1 ( 坝1 一 i 一 4 n ， f o 未j k ( h ) l c p d 一2 ( 尢) ，1 歹3 即可口 我们还可容易证明 定理3 6 算子 ( c f ) ( q ) = s ( g ，叫) ，( u ) d f l ( u ) ，q 碥 ，况缸 是( 汐( 妣) ，钟( ) ) 有界的阻 p j 3 3 s i e g e l 半空间上左o 解析函数构成的h a r d y 空间 令砒为p 上的h a a r f l l j 度利用0 4 与p 的关系在a 酣上通过下式引入测度d f l ： f ( 7 ) 叩( 7 - ) = f ( n ，i 丁11 2 + e t ) d t l d t ，v f ( t ) g ( o u ) j砌doxm 利用这一测度我们可以定义驴( p ) = p ( 别) ( 0 p 0 ，则e ( 7 ) 在a 甜的某个邻域内有定义 特别地，e ( 7 - ) 在a 酣上有定义对于给定的p ( ； p 。) ，称满足 f 咒p ( u ) - - - - ( 哿厶瞰丁舻嘶) ) ；1 o 。， 且在甜上分别关于n ，仡左d 一解析的函数f f f ) 的全体：为s i e g e l 半空间“上左d 解析函数构 成的h a r d y 空间，记为r i p ( u ) 当1 p o 。时，7 t p 似) 是一b a n a c h 空间；而当g p 1 时，舻) 是一n 6 c h e t 空间 特别地，对于“2 ) ，在其上定义内积( ，- ) ( 定义的合理性可从后文看出) ： ( f ，g ) = 觋厶丽g 如) 卵( 丁) ，v f , g e 冗2 ( 蛳 则在此内积下m 2 ) 成为一实h i l b e r t 空间 1 4 定理3 7 设f ( 丁) 似) ( ； p o ) 为磷设； p 。岛i 厂( u + e ) l p 如) 石1 = ii 川彬( 琏) o 。的函数f ( 7 - ) 的 全体为r 晕上的h a r d y 空间，记为舻( 辟) 引理3 1 s 设，c 1 ( q ，d ) 满足d ，= 0 ，则当p ；时i 厂i p 是q 内的次调和函数 仿【9 ，1 4 ，我们可以证明： 引理3 2 设f 舻( 冗旱) ( ； p p 。 f ( u + e v ) l p 咖刚川 且存在f 6 口( r 7 ) 使得 f ( u + e v ) _ f b ( 钉)