（基础数学专业论文）几类非线性多点边值问题解的存在性.pdf

摘要 本硕士论文由四章组成，主要讨论几类非线性常微分方程组多点边 值问题解的存在性 。 第二章研究了如下二阶常微分方程组多点边值问题 u ( ) + f ( t ，u ( ) ) = 0 ，0 t 1 ， ”( t ) + a ( t ，牡( t ) ) = o ，o t 1 ， m - 2知m - - 2 u 7 ( o ) = 玩u 7 ( 鳓， ( 1 ) = 啦u ( & ) 一啦u ( 鳓， i = 1i - - - - 1i = k + 1 m - 2lm - 2 v 7 ( o ) = 也( 稂) ， ( 1 ) = q ( 仇) 一c u ( 依) ， 其中，g c ( o ，1 】【0 ，o o ) ，【0 ，o o ) ) ，& ，啦( 0 ，1 ) ，已 & + l ，琅 眈+ l ，i = 1 ，2 ，m 一3 ，且a 0 ，玩0 ，q 0 ，也0 ，( i = 1 ，2 ，m 一2 ) 满足 詹m - 2lm - 2m - 2m - 2 0 瓴一6 4 l ，0 c i 一c i 1 ，魂 l ，d i 1 i = 1 i = k + l i = 1 i = l + 1 i = 1i = 1 我们利用不动点理论得到了方程组多个正解的存在性定理 第三章讨论了偶数阶三点边值问题 = 0 ，i = 0 ，1 ，m 一1 多正解的存在性问题，其中0 ，叩 1 ，0 a i 1 ，0 ；i 1 ，且，g c ( 【o ，1 1 【o ，o 。) ，【0 ，o o ) ) 。我们通过构造g r e e n 函数，在b a n a c h 空间应用 l i g g e t t w i l l i a m s 不动点定理，对此问题多正解的存在性进行了讨论和证 明 第四章讨论了下列三阶微分方程组 iz ( ) + ( ，可( ) ，z 7 ( ) ，z ( ) ) = 0 ，0 t 1 ， ly ( t ) + 厶( t ，z ( ) ，可7 ( ) ，可( t ) ) = 0 ，0 t 1 一m 1 矾 l l = 一 一 一v | 坯叫 一 一 = o o n w l l x u 让 嘲 沁 一一一一 m m d d驴驴u 一 一 协 ， 删脚 = i f 一 剐 叭神厕州吣 m 沏 在边值条件 z ( 0 ) = a 1 ， g l ( x ( o ) ，z ( o ) ，( 已1 ) ，y ( 已2 ) ，( 已m 。) ) = b 1 ， 1 ( ( 1 ) ，( 1 ) ，y ( 7 7 2 1 ) ，可( 啦2 ) ，y ( 叼2 n 。) ) = a ， u ( o ) = a 2 ， 9 2 ( y 7 ( o ) ，( o ) ，z ( a 1 ) ，z ( 1 2 ) ，z ( l m 。) ) = b 2 ， h 2 ( y ( 1 ) ，3 ，( 1 ) ，z ( 刀1 1 ) ，虫( 叩1 2 ) ，z ( 叩1 n ，) ) = c 2 下解的存在性，其中 c ( 【o ，1 r 3 ，r ) ，仇c ( 月! r ，l s m ，r ) ，h t c ( 舻。一t + 2 ，r ) ， a ，岛，g r ，& h ，；( 0 ，1 ) ，= 1 ，2 ，砚，a = 1 ，2 ，m ，i = 1 ，2 运用 拓扑度理论及上下解方法证明这类边值问题在适当的条件下解的存在 性 关键词：非线性微分方程组，多点边值问题，不动点定理，锥，n a g u m o 条件，上下解，拓扑度 a b s t r a c t t h i st h e s i so fm a s t e ri sc o m p o s e do ff o u rc h a p t e r s ，w h i c hm a i n l ys t u d yt h e n o n l i n e a rm u l t i - p o i n tb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m s i nc h a p t e rt w o ，b ym e a n so ft h ef i x e d - p o i n tt h e o r e m ，w ed i s c u s st h ee x j 8 - t e n c eo fa tl e a s tt h r e ep o s i t i v es o l u t i o n st ot h es e c o n d - o r d e rn o n l i n e a rm u l t i - p o i n t b o u n d a r yv a l u ep r o b l e m sa sf o l l o w ： u ( ) + l ( t ，u ( t ) ) = 0 ，0 t 1 ， u ( ) + a ( t ，t ( t ) ) = 0 ，0 t 1 ， m - 2 七m - 2 “( o ) = b i n 憾) ，钍( 1 ) = 掣( 釉一n t u ( 已) ， i = 1 m - 2 i = 1 l i = k + 1 r n - 2 u 7 ( o ) = 喀( 琅) ，u ( 1 ) = c i t ，( 依) 一c u ( 碾) ， i = 1i = 1 i = l + 1 w h e r e ，g g ( o ，1 】x 【0 ，o o ) ，【0 ，o 。) ) ，已，琅( 0 ，1 ) ，& 岛+ 1 ，碾 仇+ l ，i = 1 ，2 k ，m 一3 ，a i 0 ，b i 0 ，q 0 ，d i 0 ，( i = 1 ，2 ，m 一2 ) ，a n d0 r n - 2lm - 2m - 2 m - 2 啦一锄 l ，0 q 一q 1 ，瓯 1 ，也 1 i = 1i = k + li = 1 i = 1 + 1i = 1i = 1 c h a p t e rt h r e em a i n l yc o n s i d e r st h r e e - p o i n tb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m sf o r e v e n - o r d e rd i f f e r e n t i a ls y s t e m s w h e r e 0 毒，? 7 1 ，0 q ，0 p 石1 ，a n d ，g c ( 【o ，1 】【o ，o o ) ，【o ，) ) w e f o r ma n da n a l y s eg r e e nf u n c t i o n ，b ym e a n so ft h el e g g e t t w i l l i a m sf i x e d - p o i n t t h e o r e mi nc o n ei nb a n a c hs p a c e ，w es t u d ya n dp r o v et h ee x i s t e n c eo fa tl e a s t t h r e ep o s i t i v es o l u t i o n st ot h es y s t e m i nt h el a s tc h a p t e r ，w ei n v e s t i g a t et h ee x i s t e n c eo fa tl e a s tas o l u t i o nt o i i i 一 一 弘 一址鲣q 仉 o o “叫“ u 岫 b 戮一 m m d d )、i，r l 驴妒m ” 一 一 协 脚脚 刎刎杈杈 t h et h i r d - o r d e rn o n l m e a rd i f f e r e n t i a ls y s t e m sa sf o h o w ： z 删 ) + o ，y ( ) ，z 7 ( ) ，( t ) ) = 0 ，0 ts1 ， ( t ) + ，2 ( t ，z ( t ) ，y l ( ) ，矿( ) ) = 0 ，0 ts 1 ， x ( o ) = a 1 ， g l ( x 7 ( o ) ，( o ) ，( 已1 ) ，可( 已2 ) ，秒( 已m 。) ) = b 1 ， l ( 一( 1 ) ，( 1 ) ，可( 仡1 ) ，可( 伽2 ) ，秒( 啦n 。) ) = q ， v ( o ) = a s ， 卯( 可7 ( o ) ，秒( o ) ，z ( 亭z 1 ) ，z ( 1 2 ) ，z ( l 。，) ) = b 2 ， 2 ( 矿( 1 ) ，y ( 1 ) ，z ( 叼1 1 ) ，z ( ，7 1 2 ) ，z ( r n 。：) ) = c 2 ， w h e r e c ( 【o ，1 】xr 3 ，r ) ，g l c ( r m 3 一+ 2 ，r ) ，h i c ( r - 3 一+ 2 ，r ) ，a i ，鼠，g r ，如，儆( 0 ，1 ) ，= 1 ，2 ，豫，灰= 1 ，2 ，n i ，i = 1 ，2 。w ep r o v et h e e x i s t e n c eo fs o l u t i o nf o rt h eb o u n d a r yv a l u ep r o b l e mw i t ht h eu s eo ft o p o l o g i c a l d e g r e ea n dl o w e ra n du p p e rs o l u t i o nm e t h o d k e y w o r d s ：n o n l i n e a rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，m u l t i - p o i n tb o u n d a r yv a l u ep r o b - l e m ，f i x e d - p o i n tt h e o r e m ，c o n e ，n a g u m o - t y p ec o n d i t i o n s ，l o w e ra n du p p e rs o l u - t i o n s ，t o p o l o g i c a ld e g r e e i v 湖南师范大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立 进行研究工作所取得的成果除文中已经注明引用的内容外，本论文 不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果对本文的研 究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明本人完 全意识到本声明的法律结果由本人承担 学位论文作者签名：谢f 苫净，年b 月5 日 湖南师范大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同 意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允 许论文被查阅和借阅本人授权湖南师范大学可以将本学位论文的全 部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描 等手段保存和汇编本学位论文 本学位论文属于 1 、保密口，在年解密后适用本授权书 2 、不保密口 ( 请在以上相应方框内打“，) 作者签名：毋廖日期：沁罗年扫月s 日 导师签名：氟厶1 吼日期；竹5 月矿日 7 7 几类非线性多点边值问题解的存在性 第一章绪论 常微分方程是数学中一个古老而重要的分支，它在许多学科领域内 有着重要的作用，自动控制、各种电子学装置的设计、飞机和导弹飞行 的稳定性的研究、化学反应过程稳定性的研究等等，这些问题都可以化 为求微分方程的解，或者化为解的性质问题，参见【1 - 6 常微分方程边 值问题是常微分方程学科的重要组成部分之一，它在经典力学和电学 中有着极为丰富的源泉其中常微分方程两点边值问题有着极为重要 而广泛的理论和实际背景事实上，自1 9 8 3 年p i c a r d 运用迭代法讨论非 线性二阶常微分方程两点边值问题解的存在性和唯一性之后，常微分 方程两点边值问题的研究获得了蓬勃发展相比之下，常微分方程多点 边值问题起步较晚，k i g u r a d z e 和l o m t a t i d z e ( 1 9 8 4 ) ，i i i n 和m o i s e e v ( 1 9 8 7 ) 开始讨论二阶线性常微分方程多点边值问题1 9 9 2 年，g u p t a 开始研 究二阶非线性常微分方程三点边值问题解的存在性，此后，关于常微分 方程多点边值问题的研究取得了重大发展，但相对来说，所获得结果 及其应用比较零散常微分方程边值问题的研究方法主要方法有上下 解方法、单调迭代方法、打靶法、拓扑度方法、不动点定理等等，见【7 】 及其参考文献 一与本文直接有关的几个问题的研究现状 1 9 9 2 年，g u p t a 【8 】应用l e r a y - s c h a u d e r 延拓定理在至多线性增长的 条件下研究了二阶非线性常微分方程的三点边值问题 ， j = f ( t ，z ( t ) ，一( ) ) + e ( ) ，0 t 1 ，、 ix ( 0 ) = 0 ，x ( 1 ) = z ( 7 7 ) ，0 ，7 1 的解的存在性此后对二阶非线性常微分方程多点边值问题解的存在 性的研究，出现了许多重要结果 龙志文【9 】9 和王海华【1 0 】分别研究了二阶非线性多点边值问题 i 铭( ) + f ( t ，牡( ) ) = o ，0 墨t l ， j m 一2居 m 一2，1f ) 、 1 ( o ) = b i u 憾) ，u ( 1 ) = q t u ( & ) 一。t u ( 勘， 卜纠 硕士学位论文 其中f c ( 【o ，1 】x 【0 ，o o ) ，【0 ，o o ) ) ，6 ( 0 ，1 ) ，& 矗+ 1 ，i = 1 ，2 ，m 一3 a i o ，玩0 ，且满足0 a l 一a i 1 ，兢 o ( i = 1 ，2 ) 应用l e g g e e t t w i l l i a m s 不动点定理证 明边值问题( 1 4 ) 至少存在三个正解 林晓洁等【1 3 】讨论了三阶微分方程 ix ( t ) + f ( t ，z ( ) ，z 他) ，( ) ) = 0 ，0 t 1 ， 2 z ( o ) = o ， ( 1 5 ) l 夕( 茁7 ( o ) ，z ( o ) ，z ( - ) ，z ( 已) ，茁( n 一2 ) ) = a ， i ( z 7 ( 1 ) ，z ( 1 ) ，x ( 7 1 1 ) ，z ( 叼2 ) ，z ( 一2 ) ) = b ， 2 几类非线性多点边值问题解的存在性 其中& ，协( 0 ，1 ) ( i = 1 ，2 ，m - 2 ，歹= 1 ，2 ，n - 2 ) ，a ，b r ，f c ( 【o ，x x 舻，r ) ，g c ( 胪，r ) ，h c ( 舻，r ) 运用上下解方法证明了边值问题( 1 - 5 ) 的解的存在性 二本文的工作 本文第二章用文献【9 】的方法，讨论了二阶常微分方程组多点边值 问题 矿( t ) + f ( t ，u 0 ) ) = 0 ，0 t 1 ， ( ) - t - g ( t ，u ( t ) ) = o ，o t 1 ， m - 2七m - 2 ( o ) = 玩( 已) ，珏( 1 ) = o m ( 已) 一啦( 6 ) ， ( 1 6 ) i - - - - ii = 1i = k + 1 m - 2 jm - 2 ( o ) = 也u 7 ( 班) ，u ( 1 ) = q t ，( 琅) 一c u ( 班) ， 其中f ，g c ( 【o ，1 】【0 ，o o ) 【0 ，) ) ，a i 0 ，玩0 ，q 0 ，哦0 ，i = 1 ，2 ，m 一 2 ，满足 m - 2lm - 2 m - 2m - 2 0 啦一a i l ，0 q 一q 1 ，玩 1 ，也 1 ， = li = k + l = 1 i = 1 + 1 i - - - - - 1 - - - - 1 & ，琅( 0 ，1 ) 且& 钉l ，依 协+ l ii = 1 ，2 ，m 一3 我们利用不动点理论 得到了方程组( 1 6 ) 多个正解的存在性。 第三章受文献【1 1 】和f 1 2 】中的启发，讨论了偶数阶多点边值问题 l t ( 2 仇( ) = ( 一1 ) 仇f ( t ，u ( ) ) ，0 t 1 ， j t ，( ：h ( t ) = ( 一1 ) m g ( t ，u ( ) ) ，0 t 1 ， lt ( 2 ( o ) = u ( 2 ( 1 ) 一q u ( 2 。( f ) = 0 ，i = i 口( 铫( o ) = t ，( 2 ) ( 1 ) 一口( 2 ( 7 7 ) = 0 ，i = 其中 。 f ，叩 1 ，。 q 享1 ，。 p 石1 ，f , g ec ( 0 1 】【。，o o ) ，【。，o 。) ) 我们通过构造g r e e n 函数，在b a n a c h 空间应用l i g g e t t - w i l l i a m s 不动点 定理，对此问题多正解的存在性进行了讨论和证明 3 一。u 一 力 一 1 ，f l l 一 一 m m ， ， l l m 仉 硕士学位论文 第四章受文献【1 3 】的启发，研究了三阶微分方程组 ) + ( t ，y ( ) ，$ 7 0 ) ，( ) ) = 0 ，0 t 1 ， ! ，肿( t ) + 厶( t ，z ( t ) ，矿( ) ，i f , ( t ) ) = 0 ，0 t 1 ， x ( o ) = a 1 ，y ( o ) = a 2 ， g l ( x ( o ) ，z ( o ) ，可( 已1 ) ，y ( 已2 ) ，y ( 巳m 。) ) = b 1 ， ( 1 8 ) h l ( x 7 ( 1 ) ，( 1 ) ，可( 啦1 ) ，可( 啦2 ) ，! ，( 叼2 羁。) ) = c x ， g 2 ( 可7 ( o ) ，y ( o ) ，z ( f 1 1 ) ，z ( 1 2 ) ，z ( 1 ，。) ) = 岛， h 2 ( y 7 ( 1 ) ，秒( 1 ) ，$ ( ，7 1 1 ) ，z ( 7 7 1 2 ) ，z ( 叼l n 。) ) = 岛， 其中 c ( 0 ，1 】r a ，r ) ，g i c ( n - s t + 2 ，r ) ，h i c ( 舻a t + 2 ，r ) ，a ，鼠，g r ，已乜，。( 0 ，1 ) ，k i = 1 ，2 ，仇l ，五= 1 ，2 ，啦，i = 1 ，2 应用拓扑度理论 及上下解方法证明了问题( 1 8 ) 在适当的条件下解的存在性 4 一 几类非线性多点边值问题解的存在性 第二章一类二阶常微分方程组多点边值问题多个正解的存 在性 2 1引言 近年来，非线性微分方程边值问题或方程组边值问题正解存在性问 题引起了众多学者的关注 9 - 1 2 , 1 5 一删文献【9 】9 研究了如下单一方程边值 问题 l ( t ) + f ( t ，t ( ) ) = 0 ，0 1 ， j 侬一2 知m 2 1 u ，( 0 ) = 玩( & ) ，u ( 1 ) = 。t u ( & ) 一a i u ( i ) ， l i = 1i = l i = k + l 其中，c ( 【o ，l 】【0 ，。o ) ，【o ，。o ) ) ，& ( 0 ，1 ) ，& 已+ 1 ，l = 1 ，2 ，m 一3 ，a i o ，玩；o ，满足0 之啦一a i 1 ，兢 1 利用不动点定理得到了此 i = l i = k + l i = l 边值问题在相应条件下至少有三个正解的存在性 本章研究了如下二阶常微分方程组多点边值问题 t 挣( ) + f ( t ，”( t ) ) = 0 ，0 1 ， ( t ) + g ( t ，u ( ) ) = 0 ，0 t 1 ， 钍，( 0 ) = 玩u ( 铀， i = 1 m 一2 v 7 ( o ) = 以u 7 ( 啦) ， u ( 1 ) = 锄u ( 铂一m u ( 鼢， ( 2 1 ) i = 1i = k + 1 l m - 2 u ( 1 ) = c u ( 仇) 一q u ( 啦) ， 其中： ( a 1 ) f ，g c ( f o ，1 】x 【0 ，o o ) ，( o ，o o ) ) ； ( a 2 ) a i 0 ，b i 0 ，臼0 ，也0 ，( i = 1 ，2 ，m 一2 ) 满足 & ，讯( 0 ，1 ) 且& & + 1 ，依 哝+ l ，i = 1 ，2 ，m 一3 ， 应用不动点定理得到了方程组( 2 1 ) 多个正解的存在性 一5 一 反 一：i 良 一m q 一一 一 岛 。汹 o 吼 一一 一 吼 盎汹 0 ，记p ( 7 ，由= p p ：1 ( ) m 我们需要下面的引理： 弓l 理2 2 1 若( u ，u ) p ，贝! ju ( ) + v ( t ) ( 1 一t ) ( 0 仳i l + l l 0 ) ，t 【0 ，1 】 仿照文献【1 5 】引理3 1 的证明即可得证 引理2 2 2 1 9 设( a 1 ) ，( a 2 ) 成立，则( 乱， ) c o ，1 】c o ，1 1 是方程组 2 1 ) 的解当且仅当 枣中 fu ( t ) = 一后 一s ) ，( 8 ，t ，( s ) ) d s + a t + b ， i 钞( t ) = 一片( 一s ) g ( s ，u ( s ) ) d s + c t + d ， a ：一， f 玩一1 。 厶 m 一- 一2 ，班 g ：翌璧：竺：， d i 一1 b ：2 ：赢t z l c 1 一s ，c s ，u c s ，d 8 、- 妻。t o ( 靠一s ) ，( s u ( 5 ) ) d s + ；m 萎- 2 。“缸( , - s ) f ( s , v ( s ) ) d s - a ( 1 - 善k 嘶+ ；m 萎- - 2 1 嘶扎 几类非线性多点边值问题解的存在性 小训刚( s ) ) d s 一砉q 知州s 州s ) ) d 8【z ( 1 叫b ( s 川( s ”d s 一c 上鲰- s b ( s 一( s ”幽 + 。m - 2 色o 啦c 以刚灿卅l 一妇十黑础 定义全连续算子f ：e e 为 ( f ( u ， ) ) ( 亡) = ( ( ru ， ) ) ( ) ，( f 2 ( u ， ) ) ( t ) ) ，r t = ( 一( t s ) f ( s ，移( s ) ) d s + a t + b ，一( t s ) 夕( s ，u ( s ) ) d s + c t + d ) j 0j 0 固定r 【0 ，1 】，使得0 r ，在尸上定义 卢( u ，t ，) = 挺r a i r i ，n 射( u ( 亡) + 口( t ) ) = u ( 丢) + ”( 吾) ， 7 ( u ，t ，) = 。m i 壹a 。x 。】( u ( t ) + u ( ) ) = u ( 去) + u ( 主) ， 口( u ，t ，) 2 。m l a n x 。j ( u ( 。) + u ( 。) ) = u ( 7 _ ) + ( 7 ) 容易看出，对v ( ，钞) p 有，y ( u ，秒) = 卢( u ，秒) a ( u ，口) 进而由引理2 2 1 知：- y ( u ，妙) = m i n t 【r 】( u ( t ) + u ( t ) ) = u ( ) + 秒( ；) ；( i iui i + i i 口i i ) ，v ( u ，u ) 尸： 从而有l l + 帅l i 2 7 ( u ，u ) ，v ( 弘，u ) 尸( 2 2 ) 引理2 2 3f ：丽一p 证明设( u ，u ) 葡碉，由 ( 日( 札，y ) ) ( t ) = 一f ( t ， ( ) ) 0 ，( f 2 ( u ，u ) ) ) = 一g ( t ，u ( ) ) 0 ，t f o ，1 】 得( n ( u ，移) ) 讹) ，( 最( u ，t ，) ) ) 在【0 ，1 】上非增因此， ( f 1 ( 札，钉) ) 7 ( 鳓( n ( u ，u ) ) ( o ) ，( f 2 ( u ，u ) ) 7 ( 仇) ( f 2 ( u ，”) ) 7 ( o ) ，i = 1 ，2 ，m 一2 从而( r ( 札，钞) ) ，( 0 ) = 玩( r ( u ，钞) ) 憾) ( f x ( u ，u ) ) ，( 0 ) b i ， ( 足( “，u ) ) 7 ( o ) = 也( b ( u ， ) ) 7 ( 班) ( 足( 钆，u ) ) ( o ) d t 又由 所以 m 一2 r n - 2 硕士学位论文 玩 b a 0 ，使 ( 日1 ) 当z a p ( ，y ，c ) 时，7 ( f x ) 6 ； ( 风) p ( q ，a ) 谚，当z o p ( a ，a ) 时，a ( f x ) a ， 则f 在丽中至少有三个不动点x 。，满足 0sq ( z 1 ) o & ( z 2 ) ， p ( 茁2 ) b p ( z 3 ) ，y ( z 3 ) c 为方便记 2 3 主要结果及例子 一9 硬士学位论文 l 一毗+ 啦 i = li = k + 1 m - 2 m 一2玩& 七m 一2 睦+ 啦g 一蔷卜一( 1 一o 6 + n t 姚 瓯一1 i = 1 m - 2 哦班 而：= t l _ 万【+ c 霄一石笔 一( 1 一q 讯+ q 班) 】， - 一c i + c 扛h 1 也一1 讧1讧h 1 i = 1i = l + 1i = 1 入：= 去匹瓯一o t l ( 1 - - k ) t k ，入2 ：= 主匹q 一q 】( 1 一功) 轧 。i = 1i=k+l。i=1i = l + l 其中t k = m i n 毒k ，扭曲= m i n 7 t ，牡 定理2 3 1 设( a 1 ) ，( a 2 ) 成立，且0 o 6 b m a x 等，警) c 假 定，满足： ( g 1 ) 存在常数u ( o ，1 ) ，使得f ( t ， ) 忐； ( g 3 ) 存在常数仃( o ，1 ) ，使得s ( t ，u ) 百o a ，g ( t ，u ) 警对( t ，“，u ) 【0 ，1 】【0 ，a ix 【0 ，a 】成立， 则方程组( 2 1 ) 至少存在三个正解( u ) ，( u 2 ，v 2 ) 和( u 3 ，v 3 ) 满足 0s0 f ( u 1 ，u 1 ) a a ( u 2 ，吨) ，p ( u 2 ，v 2 ) b ( u 3 ，魄) ，且7 ( u 3 ，v 3 ) c 证明任取( u ， ) 卯( ，y ，o ：则7 ( u , v ) 2 普甄u ( 。) + 秒( 2 ) ) = u ( 考u ( 主) 由( u ，口) 只有0 “( ) + u ( ) c ，t b1 】，从而由式( 2 - 2 ) ，得0 u + v 2 c ，t 【0 ，1 】 再根据( g ，) ，得 ，y ( f ( u ，u ) ) = ( 日( 仳，u ) ) ( 去) + ( 兄( u ，u ) ) ( 言) ( r ( “，u ) ) ( o ) + ( f 2 ( u ，u ) ) ( o ) = 1 _ 二丁【( 1 一s ) ，( 刚( s ) ) d 8 0 1 一n t + a i 1 0 几类非线性多点边值问题解的存在性 丢砉( n t 一酬1 吨m i = 1i = 七+ 1 同理，当( ，u ， ) 【0 ， 】【；，6 】f o ，6 】时，f l ( f ( u ， ) ) b 故引理2 2 4 的 ( 尻) 满足 令( u ( ) ， ( ) ) 兰( i ，詈) ，t 【0 ，1 】，则a ( u ，u ) = 口，这就说明p ( 口，n ) 非 空 。 任取( u ， ) o p ( a , a ) ，则o e ( u , v ) 。蹦( u ( t ) + t ，( t ) ) = t t ( r ) + u ( r ) ，所以 0 u ( t ) + v ( t ) n ，t 【r i i 因( u ，”) p ，故 o 乱( ) + v ( t ) - i iu0 + 1 1 秒i l = u ( o ) + ( o ) ，t 【0 ，r 】， 从而由l jui l + l lul l 2 - r ( u ，v ) 2 a ( u ， ) = 2 a 得0 t + 2 a ，t 【0 ，1 】 再根据( g 3 ) 得 一1 3 - 硕士学位论文 a ( f ( u ，t ，) ) = ( n ( t | ，v ) ) c r ) 4 - ( f 2 ( u ，u ) ) ( r ) ( f l ( t | ，t j ) ) ( o ) + ( r ( u ，u ) ) ( o ) 专r o m - 2 1 ( 山，( 七 、一 一，o 、 1 一啦+ 口t 一妻锄小训掣 , f f ，u ( s ) ) 幽 + ；擎m - - 2 小叫帕川s ，) d s - a ”舡+ 。萎嘶， + 1 可m - 2 小刊 l o ，、 。，j 、 1 一c + c ” i = 1 l = - l 8 ，“( s ) ) 如 盯n 百。 + + 1 一 扛= 缸 l i - - - 1 m - 2 a i + 啦 = 缸+ 1 1 r i o ( 1 一s ) d s ( 1 一矿) n 如1 一圭q + m - 2q i = 1i = l + 1 竺?r m + ；q 上( 耽叫) d s lm - 2 q 仇+ 倪仇) 】 = l i = l + 1 七m一2 ( 1 一毗已+ n ；& ) 】 ，i l 【( 1 一s ) d s j 0 一塾”圭科m - 2 d 一1 仁1 饽h 1 2 n 1 4 一 q 吼) 】 i = 1i = k + 1 帕 几类非线性多点边值问题解的存在性 故引理2 2 4 的( ) 满足 因此，由引理2 2 4 知，f 至少有三个不动点，即方程组( 2 1 ) 至 少有三个正解( 社l ，u 1 ) ，( v 2 ) ，( 缸3 ，) 满足 0s o t ( u x ，u 1 ) a c e ( u 2 ，v 2 ) ，p ( t 2 ，v 2 ) b p ( u 3 ，v 3 ) ， 且，y ( u 3 ，忱) c 定理2 3 1 证明完毕 下面给出例子说明定理2 3 。1 的有效性 例2 3 1 考虑如下边值问题 f c t ， ) + ， ，t ， ) ) = 0 ，0st 1 ， 篡0 絮篡：赫 卜3 ， = ，u ( 1 ) _ 毯( ) 一 乱( ) ， 、。 = i l u 鸭) ， ( 1 ) = 口( ) 一百1 u l i 2 ) ， f 9 ( t ，札) = 【 一2 ) ， 一1 0 ) ， 业 1 3 业1 3 + 等( t 一4 ) ， o 1 3 u 1 ， 3 0 0 + 4 ( u 一9 ) ， 4 2 0 ， 0 u 2 ， 2 u 1 0 1 0 u 3 0 ， 3 05 ， 0 u 4 ， 4 t s9 ， 9 z t 3 9 ， 3 9 t ， 且6 = 0 ，( i = 1 ，2 ，m 一2 ) ，a l = 1 ，a 2 = 互1 ，毒1 = 吾1 ，已= i 1 ，贝! jt k = d l = ；，也= 0 ，( i = 2 ，m 一2 ) ，c l = 1 ，c 2 = 吾1 ，7 7 l = 5 1 ，啦= ；，则t t = ； 令r = 嘉，求得5 1 = ；，入= 去，如= 警，a z = 嘉 取n = 2 ，b = 2 0 ，c = 2 0 0 0 ，贝i j 当( t ，钍，u ) 【0 ，1 】【0 ，a 】【0 ，叫时， ，( 瓦口) = 吾 瓦b ， 当( t ，u ，口) 【0 ，1 】【3 9 ，c 】x 【3 9 ，c 】时， m ，u ) 3 9 1 等 9 ( 汕) = 4 2 。 学， 其中u = ； 故当( t ，u ，u ) 【0 ，1 】【0 ，c 】【0 ，c 1 时， 弛，咏等，鲋m 学， 其中u = ； 由定理2 3 1 可知，上述边值问题至少存在三个正解( u t ，v 1 ) ，( u 。，忱) 和( u 3 ，v 3 ) 满足： 0sa ( u l ，v 1 ) a q ( t 2 ，忱) ，p ( 札2 ，v 2 ) b z ( u 3 ，地) ， 且一y ( u 3 ，v 3 ) o ( i = 1 ，2 ) 本章运用锥理论和l e g g e e t t w i l l i a m s 不动点定理，对偶数阶常微分 1 7 硕士学位论文 方程组三点边值问题 ( - 1 ) m f ( t ，u ( t ) ) ，0 t 冬1 ， ( 一1 ) m 9 ( ，u ：! j 1 3 ，o 。1 ( 3 1 ) u ( 2 0 ( 1 ) 一a u ( 2 ) ( f ) = 0 ，i = 0 ，1 ，m 一1 ， u ( 尔( 1 ) 一触( 夏( 7 7 ) = 0 ，i = 0 ，1 ，m 一1 多个正解的存在性进行了讨论和证明，其中0 ，7 1 ，0 q ，0 卢 石1 ，且，g c ( 【o ，1 】【o ，o o ) ，【o ，o o ) ) 3 2 不动点定理 定义3 2 1 设p 是实b a n a c h 空间e 中的锥，称泛函妒：p _ 【0 ，o 。) 是锥上的非负连续凹泛函，若对任意的z ，y 只a 0 ，l 】，有 妒( 入z + ( 1 一a ) 可) 入妒( z ) + ( 1 一a ) 矽( y ) ， 定义3 2 2 设b , c ，d 是大于0 的常数，p 与砂定义如上定义凸集 r 与p ( 妒，b ，d ) 为 p c = 3 ，p ：0yi i c ) ，j p ( 妒，b ，d ) = 可p ：妒( 可) b 且0yl i d ) 定理3 2 1 f 1 7 ( l e g g e t t w i l l i a m s 不动点定理) 设e = ( e ，”0 ) 是b a n a c h 空间，p 是e 上的锥，砂：p _ r + 为连续凹泛函，存在常数0 a b 6 ； ( ) 对任意的y 夏，有l i 由0 d ，则妒( 如) b ， 则a 至少有三个不动点y l ，y 2 ，蜘一p c 满足 l ly 10 b ，并且0y 38 a ，砂( 船) b 一1 r 、，、， 吣 m m d o 沏 协 缸 u u 、-i-ii-jllil_l_一， 几类非线性多点边值问题解的存在性 3 3 预备引理 引理3 3 1 【1 7 1 边值问题 焉一篡兰 2 ， 的g r e e n 函数为 a ( t ，s ) 一s ) 一盎 ( t 一8 ) ， 盎 一s ) ， 引理3 3 2 设a k ( t ，s ) 是边值问题 的g r 0 s m i n t ，) ， 8 m a x t ，) ， ts s m a x t ，善】- ， m a x ( t ，f 8 1 ( 3 3 ) g 七( t ，s ) = g 七一l ( t ，z ) g ( z ，s ) d x ，( 3 4 ) 其中k 2 且g l ( t ，s ) = g ( ，s ) 证明当詹= 2 时，令一t t = y ，则边值问题( 3 3 ) 等