（基础数学专业论文）两类非线性波动方程解的衰减性质.pdf

两类非线性波动方程解的衰减性质 基础数学专业 研究生钟越指导教师赖绍永 中文摘要：本文讨论了两类具有边界条件的非线性波动方程。在适当的初值条件下 得到了这两类方程解的存在唯一性及相应能量的衰减性质。 第一章简单说明了研究这两类偏微分方程的重要性及国内外相关的一些研究 近况 第二章讨论了类带非线性边界衰减条件的k i r c h h o f f 型问题，即 t t t t ( z ，) + 让t 扛，t ) + 2 u ( 。，) 一m ( i l v u l l 2 ) a u ( z ，t ) 10 ，0 = q o ，t i p _ 1 ) u ( 。，o ) = u o ( z ) ，( z ，0 ) = 7 1 1 ( z ) ，2 n ， ( 0 - 2 ) u = 0 ，l = p l 0 ，明， m ( i i v u 胪) 丽o u + 掣十n “州u 铲“。 ( 0 - 3 ) = g i u p u ，e o = f o 【0 ，刀，( o - 4 ) 这里9 = 9 0 一r ) u ( r ) d r 。在口2 ，y 0 条件下，利用f a e d o - g a l e r k i n s 近似 方法建立先验估计，我们得到了问题( 0 - 1 ) 一( o 一4 ) 的解在空问l o 。( o ，( 3 0 ，h 。( q ) ) 中 的存在唯一性；当n = 7 时，利用扰动能量方法证明了系统( 0 - 1 ) ( o - 4 ) 能量的长 时间衰减性 第三章研究了具有摩擦消耗边界条件的非线性波动方程，即讨论了如下问题 第l 页 孛文摘要 解的衰减性质 孔托一p ) 牡如一 。z t + ，( 珏) = 0i n ( 0 ，1 ) ( o ，( 3 0 ) u ( o ，t ) = 0i n ( 0 ，o o ) ( 0 - 5 ) ( 0 - 6 ) “( z ，0 ) = “o ( z ) ，“t ( z ，0 ) = u i ( x )i n ( 0 ，1 ) ，( 0 - 7 ) ，t ( 1 ，t ) + g ( t s ) ( s ) u 。( 1 ，s ) + u t ( 1 ，s ) ) d s = 0 i n ( 0 ，c o ) ， ( 0 - 8 ) ju 这里p ( ) 啊1 。, c o ( o ，o o ：r ) ，c 1 ( 爬) 使用f a e d o - c a l e r k i n s 近似方法，我们得 到了系统陋5 ) 一( f 】_ 8 ) 解的适定性运用松弛函数9 及9 ( 松弛函数的微分) 的预解 核m ，我们证明了系统能量和松弛函数具有相同的衰减形式，即当松弛函数按指数 衰减时，系统能量则按指数形式衰减；当松弛函数按多项式衰减时，系统能量则按 多项式形式衰减 本文参考了文f 7 ，1 3 ，2 2 】的研究方法并部分推广了他们的工作 关键词：非线性波动方程；f a e d o - g a l e r k i n s 近似系统方法；扰动能量方 法：初边值问题：一致衰减 z h o n g y u e l 9 9 7 1 2 6 c o m 第2 页，共3 7 页 毕业论文 t h e d e c a y i n gp r o p e r t i e s t y p e so fn o n l i n e a r o fs o l u t i o n sf o rt w o w a v es y s t e m s m a j o r ：m a t h e m a t i c s a u t h o r ：z h o n gy u e s u p e r v i s o r ：l a is h a o - y o n g a b s t r a c t ：t h i sp a p e rd e a l sw i t ht w ot y p e so fn o n l i n e a rw a v ee q u a t i o nw i t h m e m o r yc o n d i t i o n sa tt h eb o u n d a r y t h ee x i s t e n c e ，u n i q u e n e s sa n du n i f o r m d e c a yo fs o l u t i o n sf o rt h e s et w ok i n d so fw a v ee q u a t i o n sw i l lb ee s t a b l i s h e du n d e r t h ea s s u m p t i o n so fi n i t i a l - b o u n d a r yd a t a i nc h a p t e ro n e ，t h ei m p o r t a n c ea n ds o m eb a c k g r o u n d so fr e c e n ts t u d yf o r t h e s et w ok i n d so fn o n l i n e a rw a v ee q u a t i o n sa r eb r i e f l yi n t r o d u c e d i n c h a p t e rt w o ，w es h a l lc o n s i d e ran o n l i n e a rp r o b l e ma s s o c i a t e dt ot h e k i r c h h o f ft y p ew a v ee q u a t i o n sw i t hn o n l i n e a rb o u n d a r yd a m p i n g 毗t ( 。，) + u t ( z ，) + 2 “( z ，t ) 一m ( 1 l v u l l 2 ) ，t ) = 0 ，q = nx o ，丁 ) ， u ( z ，0 ) = ：u o ( z ) ，u ( z ，0 ) = 仳l ( z ) ， z n ， u = 0 ，e 1 = r 1x 【0 ，t i ， 圳1 v u 酽o 。u + 掣+ u + g ( 圳u 。l a u t = g * m ，e 。_ r 0 l o , 卸， w h e r eg u = j ：g o r ) u ( r ) d r w h e no t 三，y 0 ，u s i n gf a e d o - g a l e r k i n sa p - p r o x i m a t i o nt oc o n s t r u c tp r i o r ie s t i m a t e lw eg e tt h ee x i s t e n c ea n du n i q u e n e s s o fs o l u t i o n sf o rp r o b l e m ( 0 - 1 ) 一( o 一4 ) i nl 。( 0 ，。，h ( n ) ) t h el o n g - t i m ed e c a yo f s o l u t i o n sf o rs y s t e m ( o - 1 ) 一( o 一4 ) i sa l s op r o v e db yp e r t u r b e de n e r g ym e t h o dw h e n 第3 页 u = y i nc h a p t e rt h r e e ，an o n l i n e a rw a v ee q u a t i o na s s o c i a t e dw i t hf r i c t i o n a ld i s s i p a t i v eb o u n d a r yc o n d i t i o nw i l lb ed i s c u s s e dt h a ti s ，w ew i l ld i s c u s sd e c a y i n g p r o p e r t i e so fs o l u t i o n sf o rt h ef o l l o w i n gp r o b l e m 咄c 一户0 ) t b 。一i i 材f + ，( u ) = 0i n ( 0 ，】) x ( 0 ，o o ) ， u ( o ，t ) = 0i n ( 0 ，o o ) ， n ( z ，0 ) = 钍o ( z ) ， u t ( z ，0 ) = “l ( 。)i n ( 0 ，1 ) ， r 4 ( 1 ，t ) + 9 ( t s ) ( p ( s ) “。( 1 ，s ) + u t ( 1 ，s ) ) d s = 0i n ( 0 ，o o ) ， w h e r ep ( t ) 。1 , c o ( o ，0 0 ：r ) ，c 1 ( r ) s i m i l a r l y ，t h ef a e d o - g a l e r k i n s a p p r o x i m a t i o nt e c h n i q u ew i l lb eu s e dt og e tt h ew e l l p o s e d n e s so fs o l u t i o nf o r p r o b l e m ( o - 5 ) 一( 0 8 ) l e t t i n ggb ear e l a x a t i o nf u n c t i o na n dd e n o t i n gb y t h er e s o l v e n tk e r n e lo fg ( t h ed e r i v a t i v eo ft h er e l a x a t i o nf u n c t i o ng ) ，w es h a l l s h o wt h a tt h ee n e r g yh a st h e $ 8 2 1 2 er a t eo fd e c a ya st h a to ft h er e l a x a t i o n f u n c t i o n n a m e l y , t h ee n e r g yd e c a y se x p o n e n t i a l l yw h e nt h er e l a x a t i o nd e c a y s e x p o n e n t i a l l ya n dp o l y n o m i a l l yw h e nt h er e l a x a t i o nd e c a y sp o l y n o m i a l l y i nt h i sp a p e r ，w es h a l lm a i n l yr e f e rm a t h e m a t i c a lt e c h n i q u e sw h i c hw e r e u s e di nr e f e r e n c e s 【7 ，1 3 ，2 2 i tc a nb es a i dt h a tt h em a i nr e s u l t si nt h e i rw o r k s a r ep a r t i a l l ye x t e n d e d k e yw o r d s ： n o n l i n e a rw a v e e q u a t i o n ；f a e d o - g a l e r k i n sa p p r o x i m a t i o n m e t h o d ；p e r t u r b e de n e r g ym e t h o d ；i n i t i a l - b o u n d a r yv a l u e ；u n i f o r md e c a y 第4 页 s y m b o l l a p l a c e 葬子 v梯度 r边界 ( )大干或等于( 小于或等于) 不等于 e元素与集合的属于关系 n集合的交 u集合的并 卷积 求和 o 。 无穷大 撕 关于时间的一阶导数 协t u 关于时间t 的二阶导数 第6 页 第一章p r e f a c e l ，l b a c k g r o u n da n ds i g n i f i c a n c e i no u rn a t u r ew o r l d ，t h e r ee x i s t sal a r g eo fn o n l i n e a rp r o b l e m sw h i c hn e e d t ob es o l v e d s o m eo ft h e s en o n l i n e a rp r o b l e m sc a nb ed e s c r i b e da n dm o d e l l e d b yn o n l i n e a rp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s t h e r e f o r e ，i ti si m p o r t a n tt h a tw e s h o u l ds t u d yt h e s en o n l i n e a re q u a t i o n si nt h e o r y u s i n gr e s u l t so ft h et h e o r y o b t a i n e d ，s o m en o n l i n e a rp h e n o m e n ac a nb ec l e a r l yu n d e r s t a n d t h ee x i s t e n c eo fs o l u t i o n sa n du n i f o r md e c a yf o rn o n l i n e a rp r o b l e mh a v e b e e ni n v e s t i g a t e db ym a n ys c i e n t i s t s i n1 8 8 3 ，t h en o n l i n e a re q u a t i o nu t t + m ( i l w l l 2 ) u = 0i sf i r s ti n t r o d u c e db yk i r c h h o f f 5 ji no r d e rt os t u d yt h en o n l i n e a rv i b r a t i o n so fa ne l a s t i cs t r i n g ，a n di sc a l l e dt h ek i r c h h o f fs t r i n g t h e n ，a l a r g eb o d yo fl i t e r a t u r er e g a r d i n gv i s c o e l a s t i cp r o b l e m so fk i r c h h o f ft y p ew i t h m e m o r yt e r m sa c t i n gi nt h ed o m a i no ri nt h eb o u n d a r yc a nb ef o u a di n 【1 - 4 ，1 5 1 8 1 a m o n gt h en u m e r o u sw o r k si nt h i sr e s e a r c hf i e l d ，x f a na n ds ，z h e u 6 jp r o v e dt h ee x i s t e n c eo fc o m p a c tk e r n e ls e c t i o n sf o rt h ep r o c e s sg e n e r a t e db y s t r o n g l yd a m p e dw a v ee q u a t i o n so fn o n d e g e n e r a t ek i r c h h o f ft y p em o d e l l i n gt h e n o n l i n e a rv i b r a t i o n so fa ne l a s t i cs t r i n g s a n t o sf 7 】s t u d i e dt h ea s y m p t o t i cb e h a v i o ro fc o r r e s p o n d i n gs o l u t i o n sf o ran o n l i n e a rw a v ee q u a t i o no fk i r c h h o f ft y p e w i t hm e m o r yc o n d i t i o na tt h eb o u n d a r y t h em a i nr e s e a r c hi d e a sa n dt e c h n i q u e s t od e a lw i t ht h en o n l i n e a rw a v e sc a na l s ob er e f e r r e dt ot h ew o r ko fr o v e r a 【1 1 l a n dt o d o r o v a 【1 9 】 f o ru n i l a t e r a lp r o b l e mw i t hn o n l i n e a r b o u n d a r yd a m p i n ga n dm e m o r y 第7 页 第一章p r e f a c e s o u r c et e r m ，j e o n gj ab a e 1 3 】h a ss t u d i c dt h ee x i s t e n c eo f s o l u t i o n sa n du n i f o r m d e c a yf o rt h ef o l l o w i n gw a v ee q u a t i o n p ( x ，) t 协( z ，t ) 一( 1 十j i w l l 2 ) ( z ，t ) 20 ，0 = q 1 0 ，司， ( 1 - 1 ) u ( x ，0 ) = u o ( z ) ，u t ( 。，0 ) = l ( z ) ， z n ，( 1 - 2 ) “= 0 ，e 1 = f l 【0 ，卅， ( 1 - 3 ) m ( 1 - _ i v 1 1 2 ) 塑o v + u + u t + 口( t ) l u r t = 9 i u r u ，e 。= r 。 o , t t l 一4 ) w h e r e n i sa b o u n d e d i n 豫”a n d f ：= 锄w h e n a n = f 0a n dp = 1 ，t h ep r o b l e m ( 1 一1 ) 一( 1 4 ) i sd e s c r i b e db yy a m a d af 8 a n dm a t s u y a m a 1 0 j f r o t aa n dl a r l k i n 【1 4 lg e n e r a l i z e dt h e i rr e s u l t st ot h ec a s ew h e np i sa p o s i t i v ef u n c t i o n f i n a l l l jy p a r ka n dj j b a e 1 2 】h a v ei n v e s t i g a t e dt h ee x i s t e n c eo fs t r o n gs o l u t i o n s a n du n i f o r md e c a yo ft h ef o l l o w i n gc o u p l e dp r o b l e mw i t hn o n l i n e a rb o u n d a r y d a m p i n ga n dm e m o r ys o u r c et e r m 啦f m ( i l w l l 2 + j v v l l 2 ) u 一0 ：0 i n n ， “一m ( i w u l l 2 + i i v v l l 2 ) a v a v = 0 i nq o nt h eo t h e rh a n d ，t h ee x i s t e n c eo fs o l u t i o n sa n de x p o n e n t i a ld e c a yf o r w a v ee q u a t i o nw i t hf r i c t i o n a ld i s s i p a t i v eb o u n d a r yc o n d i t i o nh a v eb e e ns t u d i e d b ym a n ya u t h o r s ( s e e 【2 2 ，2 5 2 8 ) i nt h i sr e s e a r c hf i e l d ，f a b r i z i oa n dm o r r o 【2 4 】 s t u d i e dt h ee x i s t e n c e ，u n i q u e n e s sa n da s y m p t o t i cs t a b i l i t yo fs o l u t i o nf o ral i n e a r w a v ee q u a t i o nw i t hb o u n d a r yc o n d i t i o no fm e m o r yt y p e q i n 2 0 】p r o v e dt h a t i n i t i a l d a t a ( u o ，u j ) i ss m a l l i n t h e h a ) ( h 2 - n o r m a n ds t a b i l i t y b e h a v i o r o fs o l u t i o n f o ro n ed i m e n s i o n a ln o n l i n e a rw a v ee q u a t i o n s i m i l a r l y , r i v e r aa n da n d r a d e 【2 3 】p r o v e dt h a ti n i t i a ld a t a ( u o ，u 1 ) i ss m a l li nt h eh 2 h l _ n o r ma n du n i f o r m d e c a yo fs o l u t i o nf o ro n ed i m e n s i o n a lw a v ee q u a t i o nw i t hav i s c o e l a s t i cb o u n d a r y c o n d i t i o n q i n 【2 1 】a l s os t u d i e da b l o wu pr e s u l tf o ra t y p eo fw a v ee q u a t i o n sw i t h z b o n g y u e l 9 9 7 1 2 6 c o m第8 页，共3 7 页 毕业论文 第一章p r e f a c e m e m o r vb o u n d a r yc o n d i t i o n m o r e o v e r ，w i t hab o u n d a r yc o n d i t i o no f1 3 a e m o r y t y p e ，m a u r o 2 2 】s h o w e dt h ea s y m p t o t i cb e h a v i o ro fs o l u t i o nf o r t h ef o l l o w i n g w a v ee q u a t i o n u “一p ( ) u 。= 0 i n ( 0 ，1 ) x ( 0 ，o 。) ， ( 1 - 5 ) u ( o ，t ) = 0 i n ( 0 ，o 。) ， ( 1 - 6 ) u ( z ，0 ) = o ( z ) ，t ( z ，0 ) = u l ( x ) i n ( 0 ，1 ) ，( 1 - 7 ) 口( j ，f ) 十夕p 一5 ) p ( 8 ) - d l ，5 ) d s = 0 i n ( 0 ，) ，( 1 - 8 ) w h e r e9d e n o t e st h er e l a x a t i o na n du ( t ) r e p r e s e n t saf u n c t i o no f 川訾( o ，o 。：r ) 1 2 o b j e c t i v e s i nc h a p t e rt w oo ft h i sp a p e r ，w es h a l lc o n s i d e rt h ep r o b l e m ( 0 - 1 ) 一( 【】_ 4 ) w i t h n o n l i n e a rb o u n d a r yd a m p i n ga n dm e m o r ys o u r c et e r m ，w h e r et h ek e r n e lgd e - s c r i b e st h ed a m p i n ge f f e c t so ft h ec o r r e s p o n d i n gw & v e sa n dt h et e r ma 2 “i st h e k i r e h h o f fp l a t e w es h a l la p p l yf a e d o - g a l e r k i n sa p p r o x i a t i o nm e t h o dt os h o w l h ew e l l p o s e d n e s so fp r o b l e m ( 0 - i ) ( o 一4 ) ，a n dt h e n ，w h e no t = ，y ，w ew i l ld e f i n e e n e r g ye q u a t i o na n du s ep e r t u r b e de n e r g ym e t h o dt op r o v et h eu n i f o r md e c a y o fe n e r g yf o rs y s t e m ( 0 - 1 ) 一( o 一4 ) ，w h i c hi sd i f f e r e n tf r o ms y s t e m ( i - 1 ) 一( 1 4 ) i nc h a p t e rt h r e e ，w ew i l ld e mw i t ht h es t a b i l i t yo fs o l u t i o nf o raw a v e e q u a t i o n s ( o - 5 ) 一( 0 - 8 ) w i t hs t r o n gd a m p i n gt e r m 地a n d am e m o r ye f f e c ta tt h e b o u n d a r y , w h e r er e l a x a t i o nf u n c t i o ngi sp o s i t i v ea n dn o n d e c r e a s i n g ，n o n l i n e a r t e r m ，c 1 ( r ) ud e n o t e st h ed i s p l a c e m e n ta n dp ( t ) r e p r e s e n t saf u n c t i o no f w 。i , ”n ，o 。：r ) ，w h e r ep ( t ) p o 0a n d p ) s0f o ra l lt 0 c o m p a r i n g t ot h em a i nw o r ki n 【2 2 】，t h es a n l ed e c a yp r o p e r t i e so fs o l u t i o n sf o rs y s t e mp 5 ) ( 0 - s ) w i l lb ee s t a b l i s h e d b u tt h es y s t e m 睁5 ) 一( o 一8 ) i nt h i sp a p e ri sd i f f e r e n t z h o n g y u e l 9 9 7 1 2 6c o n l 第9 页共3 7 页毕业论文 第一章p r e f a c e f r o mt h ep r o b l e md i s c u s s e di n 【2 2 1 i ts h a l lb es h o w nt h a tt h es o l u t i o no fs y s t e m ( o 一5 ) 一( o 一8 ) a u dt h er e l a x a t i o nf u n c t i o nh a v es a m e r a t eo fu n i f o r md e c a yi nt i m e 1 3m e t h o d s i nt h i sp a p e r ，f a e d o - g a l e r k i n sa p p r o x i a t i o nm e t h o di su s e dt og e tt h ee x - i s t e n c ea n du n i q u e n e s so fs o l u t i o n sf o rs y s t e m s ( o - i ) ( o 一4 ) a n d ( 0 - 5 ) 一( o - 8 ) ，t h e u n i f o r md e c a yo fe n e r g yf o r ( 01 ) 一( o 一4 ) i so b t a i n e db yp e r t u r b e de n e r g ym e t h o d a n dt h eu n i f o r md e c a yo fe n e r g yf o r ( 0 - 5 ) 一( o 一8 ) i sd i s c u s s e db yu s i n gt h ec o l l s t r u c t i o no fas u i t a b l el y a p u n o vf u n c t i o n 击w h i c hs a t i s f i e s 爰们) _ c l 咖( ) + c 2 e 叫。r 五d 西( t ) _ c 1 庐1 + ：( ) + 赤， w h e r ee l ，c 2 ，oa n d - 7a r ep o s i t i v ec o n s t a n t s a l s o ，w es h a l lu s em e t h o d si n 【7 | t o d e s c r i b et h en o n l i n e a ra n dd a m p i n gt e r m s z h o n g y u e l 9 9 7 1 2 6 c o r n第1 0 页，共3 7 页毕业论文 第二章e x i s t e n c ea n du n i f o r md e c a yo fs o l u t i o nf o ra n o n l i n e a rw a v ee q u a t i o no fk i r c h h o f ft y p e 21i n t r o d u c t i o n t h i sc h a p t e ra i m st oc o n o - t i t it h ef o l l o w i n gn o n l i n e a rp r o b l e m u t t 扣，t ) + ? l t 扛，t ) + 2 u 扛，t ) 一m ( 1 l v u l l 2 ) a u ( x ，t ) = 0 ，0 = q 0 ，t a 一1 ) u ( x ，0 ) = t t 0 ( z ) ， u d x ，0 ) = 】( z ) ， z q ，( 2 - 2 ) u = 0 ，e 1 = f l 0 ，卅， ( 2 - 3 ) m ( i i v u l l 2 ) 塑o v + 垡掣+ u + g ( 驯吲c , u t = 9 + i u r u ，岛= r 0 【o 卅，( 2 - 4 ) w h e r eni sab o u n d e dd o m a i ni nr “w i t hc 2b o u n d a r yf ：= o f 2 ，p = r o u r l ，再n 巧= 曲a n d f o ，f xh a s p o s i t i v e m e a s u r e s u ( s ) i s c lc l a s s f u n c t i o n j i k ea sl + s ，+ u = z 2 鲋一咖( 棚r ，情训2 = 喜互l 瓦o u l 2 d z ，u = 善n 器2 a n d 口d e n o t e st h eu n i to u t e rn o r m a lv e c t o rp o i n t i n gt o w a r d s 工、p r o b l e m ( 2 - 1 ) d e s c r i b e ss m a l la m p l i t u d ev i b r a t i o n so fa ne l a s t i cs t r i n g ( s e e1 9 1 ) i nt h i sc h a p t e r ，w es t u d yt h ee x i s t e n c ea n du n i f o r md e c a yo fs o l u t i o n sf o r p r o b l e m ( 2 - 1 ) w i t hn o n l i n e a rb o u n d a r yd a m p i n ga n dm e m o r ys o u r c et e r m t h e k e r n e lf u n c t i o n9 ( t ) o fp r o b l e m ( 2 - 1 ) 一( 2 4 ) d e s c r i b e st h ed a m p i n ge f f e c t so ft h e c o r r e s p o n d i n gw a v e sm a d 2 “i st h ek i r c h h o f fp l a t eo fs y s t e m m o r e o v e r ，w h e n o = 7 ，t h eu n i f o r md e c a yo ft h ee n e r g yf o rt h ep r o b l e m ( 2 - 1 ) 一( 2 4 ) i sd e f i n e db y 即) = 扣出川2 + 扣叫驯卧扣v u ( f ) 旷+ 扣u 旷+ 扣脬。 第1 1 页 第二章e x i s t e n c ea n du n i f o r md e c a yo fs o l u t i o nf o ran o n l i n e a rw a v ee q u a t i o no f k i r c h h o t y p e y ：= 札h 1 ( q ) ；t 土= o o n r l ，( 札， ) ：= u ( z ) u ( ) d z ， ( u ，v ) r 。= u ( x ) v ( x ) d f ， ；，r o2 上l u ( x ) l d z ， 3 f o 4 10 i l u l l = i i “i i l 。( n ) ， l l u l l o o = l p ( n ) t os o l v eo u l p r o b l e m ，w ea 8 s u m et h a tt h ef o l l o w i n gc o n d i t i o n sa r es a t i s f i e d ( 尸1 ) l e t 珏o ，u l vnh 2 ( n ) a n ds a t i s f yt h ec o m p a t i b i l i t yc o n d i t i o n s u o = a u 0 2 a u l = 0 o n f l ， m ( i w u 洲2 ) 警+ 1 a ( a f u o ) + u 。+ 鲫) 胁l ：o o nf 0 ( 岛) l e tg w 1 ，。( o ，o o ) n w l , 1 ( o ，。0 ) ；g ( t ) 20 f o r t 0 ，a n d m o g ( t ) g 。( ) 一m 1 9 0 ) ，v t t o ， g ( o ) = 0 ，一( ) l m 2 9 ( t ) ， 【0 ，t o ， w h e r e m o ，m l ，m 2 oa n d l - 1 fg ( r ) d r 0 n o w ，w es t a t eo u rm a i nr e s u l t s t h e o r e m2 1 1 u n d e rt h ea s s u m p t i o n s ( p 1 ) a n d ( b ) ，w et x s s u m e 理7 o a n da i 与f o rn 3 ，o r 口，1 0f o r 礼= 1 ，2 t h e nt h e r ee x i s t sau n i q u e s o l u t i o nuo fp r o b l e m ( 2 - 1 ) 一( 2 4 ) t os a t i s f y n l 。( o ，c o ；y ) ， “l ( o ，o 。；y ) ，u “2 ( o ，c o ；l 2 ( n ) ) t h e o r e m2 1 2 a s s u m i n gt h a tt h ec o n d i t i o n so ft h e o r e m2 ，1 1h o l d ，i fo = 7 ， t h e nt h e r ee x i s t sp o s i t i v ec o n s t a n t sga n d 伤s u c ht h a t e ( t ) sc 1 e ( 0 ) e 印( 一c 2 e t ) v t t o t h eo r g a n i z a t i o no f t h i sc h a p t e ri sa sf o l l o w s i ns e c t i o n2 2 ，w es h a l l e s t a b l i s ht h ee x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so fs o l u t i o nf o rp r o b l e m ( 2 - 1 ) 一( 2 4 ) t h e n ， t h eu n i f o r me x p o n e n t i a ld e c a yf o rp r o b l e m ( 2 - 1 ) 一( 2 4 ) w i l lb ep r o v e di ns e c t i o n 23i na d d i t i o n ，w es h o u l ds t a t et h a tt h et e c h n i q u e sf o rt h ep r o o fo fo u rm a i n z h o n g y u e l 9 9 7 1 2 6c o m 第1 2 页，共3 7 页毕业论文 第= 章e x i s t e n c ea n du n i f o r md e c a yo fs o l u t i o nf o ran o n l i n e a rw a v ee q u a t i o no f k i r c h h n f ft y p e t h e o r e m sa r eb a s e do nt h o s eo f 【1 3 】 2 2p r o o fo fw e l l p o s e d n e s s i nt h i ss e c t i o n ，w ep r o v et h et h e o r e m2 11 t h em a i ni d e ai st ou s et h e g a l e r k i n sa p p r o x i m a t i o nm e t h o dt os h o wt h ee x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so fs o l u - t i o nf o rp r o b l e m ( 2 1 ) ( 2 4 ) t od ot h i s ，w el e t ( 嘶) 姬b eab a s i so f 晡4