（基础数学专业论文）用穿四孔环面的映射类群表示12纽结.pdf

大连理工大学硕士学位论文 摘要 三维流形中的( 夕，佗) 一纽结是近来低维拓扑学中一个非常重要的研究对象( 1 ，1 ) 一纽 结是0 ，死) 一纽结中特殊的类其结构简单，拓扑性质易于了解，近期很多文章也给出了 一些好的结论( 1 ，2 ) 一纽结是较( 1 ，1 ) 一纽结复杂的纽结，其性质与( 1 ，仇) 一纽结更为接近， 因此研究( 1 ，2 ) 一纽结就显得重要且有意义 ( 夕，n ) 一纽结是亏格为g 的n 一桥纽结的简称( 1 ，1 ) 一纽结即为亏格为1 的1 一桥纽 结由一对各含一条真嵌入的平凡弧的实心环沿边界粘合可以得到一个( 1 ，1 ) 一纽结，在粘 合的时候，无论粘合的方式如何，都可以得到( 1 ，1 ) 一纽结相应地，( 1 ，2 ) 纽结即为亏 格为1 的2 一桥纽结由一对各含两条真嵌入的平凡弧的实心环沿边界粘合可以得到一个 ( 1 ，2 ) 一链环，由于粘合方式的不同，这个链环或者是两个( 1 ，1 ) 一纽结或者是一个( 1 ，2 ) 一 纽结 本文主要结果是利用穿四孔环面的映射类群m c g 4 f ) 构造了( 1 ，2 ) 一纽结的一个代数 表示，即透镜空间l ( p ，q ) 中的( 1 ，2 ) 一纽结可以对应为m c g 4 ( t ) 某个秩为2 的自由子群 的一个元素与仅依赖于环绕空间的一个标准元素的复合 关键词：( 1 ，2 ) 一纽结；h e e g a a r d 分解；映射类群；穿孔环面 i a p r e s e n t a t i o no f ( 1 ，2 ) - k n o t sv i at h em a p p i n gc l a s s g r o u po ft h e4 t hp u n c t u r e dt o r u s a b s t r a c t ( g ，死) 一k n o t si sav e r ya c t i v eb r a n c ho ft h et o p o l o g yi n3 一m a n i f o l d ( 1 ，1 ) 一k n o t i sav e r ys p e c i a lt y p eo f ( g ，佗) - k n o t i t ss t r u c t u r ei s s i m p l ea n dt o p o l o g i c a lp r o p e r t i e sa r e e a s yt oe x p r e s s s o m ec o n c l u s i o n sh a v eb e e ng i v e nr e c e n t l y ( 1 ，2 ) 一k n o t sw h i c hi sd o s e dt o ( i ，n ) 一k n o t si sm o r ec o m p l e xt h a n ( 1 ，1 ) 一k n o t s ，s oi ti sm e a n i n g f u lt oe x p l o r e ( 1 ，2 ) 一k n o t s a ( 夕，竹) 一k n o t si sa l s oc a l l e dgg e n u sn - b r i d g ek n o t s s i m i l a r l ya ( 1 ，1 ) 一k n o ti sc a l l e d 1g e n u s1 一b r i d g ek n o t s i ng e n e r a l l y , a ( 1 ，1 ) k n o tc a nb eo b t a i n e db yg l u i n ga l o n gt h e b o u n d a r t yt w ot o r u sw i t hat r i v i a la r cp r o p e r l ye m b e d d e d t h e r ei sn or e l a t i o nw i t ht h e a t t c h i n gm a n n e r sf o rt h e ( 1 ，1 ) 一k n o t s i nc o r r e s p o n d i n gt ot h i s ，a ( i ，2 ) 一k n o ti sc a l l e d1 g e n u s2 一b r i d g ek n o t ( 1 , 2 ) 一k n o t sc a nb eo b t a i n e db yg l u i n ga l o n gt h eb o u n d a r t yt w o t o r u sw i t ht w ot r i v i a la r c sp r o p e r l ye m b e d d e d b u tw ec a no b t a i nd i f f e r e n tt h r o u g h a t t c h i n g m a n n e r sf o rt h e ( 1 ，2 ) - k n o t s w em a yg e ta ( 1 ，2 ) 一l i n kw h i c hi sa ( 1 ，2 ) 一k n o to rt w o ( 1 ，1 ) 一k n o t s t h i sc h a p t e ri n t r o d u c e da na l g e b r a i cr e p r e s e n t a t i o nf o r ( 1 ，2 ) 一k n o t s w ep r o v et h a t e v e r y ( 1 ，2 ) 一k n o ti nal e n ss p a c ec a nb er e p r e s e n t e db yt h ec o m p o s i t i o no fa ne l e m e n to fa c e r t a i nr a n kt w of r e es u b g r o u po fm c g , ( t ) w i t has t a n d a r de l e m e n to n l yd e p e n d i n go nt h e a m b i e n ts p a c e k e yw o r d s ：( 1 ，2 ) 一k n o t s ；h e e g a a r ds p l i t t i n g ；m a p p i n gc l a s sg r o u p ；p u n c t u r e dt o r u s i i i 大连理工大学学位论文独创性声明 作者郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下进行研究工作所 取得的成果尽我所知，除文中已经注明引用内容和致谢的地方外，本论文不包 含其他个人或集体已经发表的研究成果，也不包含其他已申请学位或其他用途 使用过的成果与我一同工作的同志对本研究所做的贡献均已在论文中做了明 确的说明并表示了谢意 若有不实之处，本人愿意承担相关法律责任 学位论文题目：墨窒坚i 叠：固鲍璺叁璺i 塞叠叁堕：业12 二丛络 作者签名：玉l日期斗年4 月牛日 用穿四孔环面的映射类群表示( 1 ，2 ) 一纽结 大连理工大学学位论文版权使用授权书 本人完全了解学校有关学位论文知识产权的规定，在校攻读学位期间论文 工作的知识产权属于大连理工大学，允许论文被查阅和借阅。学校有权保留论文 并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，可以将本学位论文的全 部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印、或扫描等复制手 段保存和汇编本学位论文 学位论文题目：一旦窒塑垫垒：固鱼皇亟煎主耋堑盘查生兰! 二鱼结 储签名：去鱼日期：丑年上月土日 导师签名： 日期：耳年阜月王日 3 2 大连理工大学硕士学位论文 1 绪论 1 1关于三维流形及纽结的研究现状 相比较其它数学分支而言，拓扑学是一门比较年轻的学科我们现在所称的“拓扑”这 一名词是由英文。t o p o l o g y ”音译而得的，这一词起源于希腊文，原意是地势学拓扑学 是一门几何学，它是研究( 拓扑) 空间在拓扑变换下不变性质的学问在拓扑学领域里，传 统的几何学中最重要的一些概念与不变量都不复存在，像欧氏几何学中的角度、长度，微分 几何学中的曲率、挠率等因为这些概念与不变量在拓扑变换下都是可变的，这就使得拓扑 学的研究方法同其它传统的几何学方法有着显著的区别从历史发展的角度来看，1 9 世纪 是拓扑学的萌芽时期，这时候已经有一些孤立、零星的研究，而使它成为一门独立学科则应 归功于1 9 世纪末、2 0 世纪初的法国大数学家p o i n c a r d 拓扑学诞生于上世纪初，在接下 来的1 0 0 多年中，拓扑学获得了迅猛的发展，分别形成了点集拓扑学、代数拓扑学、微分拓 扑学、几何拓扑学等众多分支，它与其它数学学科的联系也越来越紧密，并且彼此之间相互 影响、相互渗透，共同推动着数学的发展与进步 以低维拓扑为研究对象的低维拓扑学最早可以追溯到p o i n c a r g 那个时期，但只在近几 十年才有了飞速发展，却已成为拓扑学中一个比较活跃的方向三维流形理论可归属于几何 拓扑或者说是低维拓扑这一分支自2 0 世纪7 0 年代t h u r s t o n 提出纲领性看法以来，三维 流形理论成为数学中蓬勃发展的生长点之一除此之外，由于我们生活的世界是一个三维立 体的世界，我们熟悉的几何对象也往往都是三维或三维以下的，可以说三维流形是拓扑学研 究对象中最具有几何直观性的但是由于它的维数和余维数较低，就使得在高维流形研究中 很多行之有效的方法对它们难有作用，从而对三维流形的研究相对较困难，所使用的方法与 获得的结果也有别于其它拓扑学分支最典型的就是对三维流形的p o i n c a r d 猜想的研究这 一猜想是拓扑学的基本问题，说的是任一1 ：1 维同伦球面必定同胚于一死维球面( 礼3 ) 这一猜想最早是由拓扑学的创立者p o i n c a r d 在1 0 0 多年前提出的，它首先只是针对三维流 形在它提出后的一个世纪内，无数数学家向它发起挑战，广义的p o i n c a r d 猜想在( 钆4 ) 的情况在上世纪6 0 与8 0 年代都已经得到解决，而唯独三维流形的情形却显得异常的困难 与复杂，直到最近才由俄罗斯数学家佩雷尔曼在他的一系列文章中给出了解决的方法。这也 1 用穿四孔环面的映射类群表示( 1 ，2 ) 二塑结 扶一个侧面反映出低维拓扑的特殊性与巨大的魅力所在， 三维流形的基本问题是三维流形的分类问题要解决三维流形的拓扑分类问题，我们首 先需要对三维流形的内部结构进行深入彻底地研究解决这一基本问题还需要很长的一段路 要走，令人鼓舞的是经过几代拓扑学家的不懈努力，对以下几类流形的研究已取得显著的成 果； ( 1 ) 透镜空间岛，口是第一个被分类的三维流形 1 】透镜空间的分类与亏格为1 的闭曲 面的映射类群有关系。有以下定理： 1 ) l 1 ，q = 舻； 2 ) q = 士9 7 ( 模p ) 或q q 7 = 士1 ( 模p ) 有l p ，口= l v ，叮， ( 2 ) h a k e n 流形的分类f ，w a l d h a u s 在1 9 6 8 年指出h a k e n 流形主要由其基本群和谱结 构决定这棒就可以借助代数工具判断两h a k e n 流形是否拓亨 、同胚，在h a k e n 流形盼爵究 中不可压缩曲面起着非常重要的作用【2 】 ( 3 ) s e i f e r tf i b e r 流形也具有漂亮的分类定理，这方面可以在参考文献 1 】里看到相关结 果 另外关于双曲流形也有很多有意义的结果有关这方面。可见参考文献 3 】 纽结是三维拓扑的重要研究对象人们研究纽结的一个重要手段就是给出不变量，这些 不变量中既有从几何角度出发的，也有从代数角度出发的它们诸如桥数、交叉点数、环绕 数、隧道数、纽结多项式等等( 参见江一7 j ) 纽结理论与三维漉形理论有着密不可分的联 系，这点可以从l i c k o r i s h 等的工作中可以看出1 9 6 2 年数学家l i c k o r i s h 在文献 8 中证明 了任何可定向的闭的三维流形都可以由三维球面关于其中的某个链环作d e h n 手术得到， 珏lh i l d e n 和j m o n t e s i o n s 在1 9 7 4 年分别用不同的方法证明了任何可定向的闭的三维流形 都可以由三维球面关于其中的纽结作分支覆盖得到 9 1 1 】这重要结论为纽结的研究提 供了强有力的依据 到目前为止，对纽结给出的完整的分类还远远不能做到，但对某一些纽结的拓扑分类已 经取得许多进展，比如对交叉点数在+ 一以下的纽结的分类：二桥纽结的分类( 其主要恩想 是上述提到的l i c k o r i s h 的结果和透镜空间的分类定理) 1 2 曲面映射类群的表示发展状况 长期以来，人们对于盛面上的映射类群的结构和3 一流形的拓扑结构之间的关系非常感 兴趣人们发现映射类群是一个具有大量的子群和商群的群，它有很多好的代数性质，可以 帮助我们研究3 一流形；反过来，3 一流形有很深的几何结构饲如关于2 一子流形之间的 交结构以及许多内在的几何结构，可能成为研究映射类群的新的工具映射类群是拓扑空间 2 大连理工大学硕士学位论文 的一个重要的代数不变量简而言之，它是空间对称的一个离散群可定向的闭二维曲面的 映射类群有简单的表示，其中著名的生成元集合是由d e h n 扭转组成的，参见文献【1 2 】 w a j n r y b 给出了( 9 ，0 ) 一曲面和( 9 ，1 ) 一曲面由最少数目的d e h n 扭转生成，见参考文献 1 3 】在 1 4 】中，作者给出或者考虑到所有的d e h n 扭转或者考虑沿着非分离曲线的d e h n 扭转的一个表示这两个表示都是对称的，并且是有限的在 1 5 】中，给出了( 夕，佗) 一曲面 的有限表示 1 3 课题来源及本文结构 ( 9 ，b ) 一纽结是亏格为9 的b 一桥纽结( 1 ，1 ) 一纽结作为亏格为1 的l 一桥结，有其 特殊的拓扑性质最近有许多文章中都讨论了它的一些拓扑性质( 见 16 】一f 3 2 ) ，例如群的 循环表示和( 1 ，1 ) 一纽结的循环覆盖分支之间的严格关系在【17 】、【2 2 】和【2 9 】中被指出； 在文 4 1 】中给出了通过穿二孔环面的映射类群表示( 1 ，1 ) 一纽结等等对于上述( 1 ，1 ) 一纽 结的这些拓扑性质，将探索是否能够扩张到( 夕，b ) 一纽结或者0 ，b ) 一纽结中的哪一些具有 这个性质( 1 ，2 ) 一纽结较( 1 ，1 ) 一纽结复杂( 1 2 ) 一纽结的性质一般可以扩张到( 1 ，b ) 一 纽结这样对进一步研究( 夕，b ) 一纽结就迈进了很大的一步一个自然的问题就是将( 1 ，1 ) 一 纽结的性质推广( 或一定程度上推广) 到( 1 ，2 ) 一纽结上 受通过穿二孔环面的映射类群表示( 1 ，1 ) 一纽结的一些结论的启发，本文经过比较和研 究给出了通过穿四孔环面的映射类群表示( 1 ，2 ) 一纽结二者的区别在于，由一对各含一条 真嵌入弧的实心环面沿边界粘合可以得到一个( 1 ，1 ) 一纽结，无论粘合方式如何即定向与否 都将会是一个( 1 ，1 ) 一纽结；由一对各含两条真嵌入弧的实心环面沿边界粘合，粘合成一个 ( 1 ，2 ) 一链环，但由于粘合的时候粘合方式的不同，则得到或者是两个( 1 ，1 ) 一纽结或者是一 个( 1 ，2 ) 一纽结 本文利用穿四孔环面的映射类群构造了( 1 ，2 ) 一纽结的一个代数表示，证明了透镜空间 l p ，口) 中的任一( 1 ，2 ) 一纽结可以表示为穿四孔环面的映射类群的某个秩为2 的自由子群的 一个元素与仅依赖于环绕空间的一个标准元素的复合每个在透镜空间己( p ，q ) 中的( 1 ，2 ) 一 纽结都可以由m c g 4 ( t ) 中元素代表，其中m u g 4 ( t ) 中元素是由一个秩为2 的自由子群 和一个仅依赖于l ( p ，q ) 的元素组成，叫做标准的复合 本文所讨论的结构和内容如下： 第1 章回顾了三维流形的发展状况，主要内容如下：三维流形和纽结发展状况，映射类 群的发展状况和本课题的来源 第2 章回顾了纽结、映射类群和h e e g m u r d 分解等基本概念及其定理 第3 章回顾了映射类群的表示，并且给出了穿四孔环面的映射类群的表示 3 用穿四孔环面的映射类群表示( 1 ，2 ) - 纽结 第4 章回顾了( 1 ，1 ) 一纽结和m c g 2 ( t ) 的一些结论和具体的一些例子。 第5 章给出了( 1 ，2 ) 一纽结和m c g 4 ( t ) 的联系 第6 章给出了( 1 ，1 ) 一纽结的标准复合及表示 4 大连理工大学硕士学位论文 2 预备知识 下面回顾三维流形的一些基本概念 2 1纽结的一些基本概念及主要理论 定义2 1 一个纽结是指一维球面s 1 到三维球面s 3 上的一个嵌入，更一般的是指到到 t l 铲+ 2 上的嵌入；一般地，n 个s 1 到三维球面s 3 上的一个嵌入f ：us 1 _ s 3 称为一个 1 - - - - 1 扎一分支链环 有时我们认为纽结就是这样一个嵌入映射，更多的时候认为是这个嵌入映射的映射像， 这两者当然是等价的说法通俗的讲，纽结就是空间中一个打结的自身不交的闭曲线，而研 究纽结也就是研究它们打结的方式下面两个纽结从交叉点数角度来看是最简单的，分别是 三叶结和八字结( 如图2 1 ) 兰剐”结 图2 1 歹k 字赞 定义2 2 纽结k 在s 3 中的补空间是e ( k ) = 虿呖乖巧，其中刀( k ) 是k 在s 3 中的管状 邻域 二 5 用穿四孔环面的映射类群表示( 1 ，2 ) - 纽结 定义2 3 设m 为一个h a u s d o r f f 空间，如果m 中的每一点都有一个邻域同胚于形，则 称m 为一个n 流形m 一流形j 他为m 的维数，记为住= d i m m 如果m 中每一点都 有一个邻域同胚于舻，或者同胚于碎，其中碎= ( z 1 ，x 2 ，x n ) 舻k n o ) ，则称 m 为一个钆维带边流形记m 的所有有邻域同胚于艘的子集为o m ，称o m 为m 的 边界如果m 是紧致无边的流形，则称m 是一个闭流形 例如上面提到的一维球面s 1 就是一个一维的闭流形三维球面，实心球等都是很简单 的流形一个纽结的补空间也是流形，它们带有一个边界，这个边界是一个二维闭曲面，即 o e ( k ) 拳o n ( k ) 笺s 1 s 1 ，这样的闭曲面称为环面 定义2 4 设m 是一个n 维流形，称s 是m 的一个m 维子流形，若s 中每一点均有一个 邻域u ，使得( 以uns ) 同胚于标准对( 形，舻) ，称，：s _ m 是一个嵌入若，是从 s 到m 的子流形f ( s ) 的同胚，其中s 称为m 的一个嵌入子流形若还有艿sco m ， t n t ( s ) ci n t ( m ) ，则称s 是m 中一个真嵌入的子流形 定理2 1 ( j o r d a n 曲线定理j 平面兄上任何一个闭曲线是总是界定兄2 上一个2 一圃片 推论2 1 2 一球面s 2 上任何一个闭曲线岛总是界定r 2 上两个2 一圆片 定理2 2 ( s c h u o f l i e s 定理j 印中任何一个光滑绒p l ) 2 一球面都在r 3 中界定一个实心 球 推论2 2 s 3 中任何一个光滑绒儿，2 一球面都在s 3 中界定两个实心球 命题2 1 设m 是一个带边三维流形，d 3 是一个实心球，m 72m u d 3 ，其中m n d 3 名 o mna d 3 = d 2 。即m 7 是由m 和d 3 沿它们的边界上的一个2 一圆片粘合而得，则 m 7 = m 定理2 3 ( a l e x a n d e rj 9 3 0 ) 如果t 是s 3 聋r 3ur 中的一个光滑绒p l ) 环面，则t 界 定s 3 中一个实心环体辟s 1 d 2 ， 定义2 5 设m 是一个3 一流形，若日：m j _ m 是一个同胚，且对每个t f ， h ( x ) = h ( x ，) j m m 为同胚，则称h 为从h o 到h 1 的合痕侗痕，对于m 中的曲面 s 、岛，如果存在合痕日，使得风；i d m ，h 1 ( s 1 ) ；岛则称s 1 、& 是合痕的 定义2 6 以，流形t 兰s 1 d 2 称为实心环体( s o l i dt o r u s ) ，其边界恰是一个环面 俐t 上的一个纬圆一经圆系统( m e r i d i a n - l o n g i t u d es s 亡e 叫( m ，2 ) 是指二元对( s 1 z ，y d 2 ) 在保向同胚映射，：s 1 d 2 一t 下的像，其中z d 2 ，y s 1 有时我们 也称( m ，z ) 是a t 的一个纬圆一经圆系统 6 大连理工大学硕士学位论文 给定t 的一个纬圆一经圆系统( m ，z ) 和o t 上的本质的简单闭曲线c ，存在一对互素 的整数p ，q 使得在h 1 ( o v ) 中【c 】= p z + 口m 】相反地，如果存在一对互素的整数p ， g ，那么有0 7 上的本质的简单闭曲线c ，使得在h i ( o v ) 中f c = p j 】十g 【价】 事实：设置和正是两个实心环体，o t l 和0 i 2 分别是它们的边界，( m l ，2 1 ) ，( m 2 ，1 2 ) 分别是这两个实心环体的纬圆一经圆系统这两个环面之间的反向同胚，：o t 2 一o t l 可以 简单的用它们的纬圆一经圆系统来描述，那就是存在一对互素的整数p ，q 使得扩2 ) = p h 】+ q m l 】其中f 】表示它们在一阶同调群中的类，记r = p q 把丑和死通过同胚，：0 1 2 一o t l 粘和得到的定向流形在保定向同胚的意义下唯一 的取决于，( m 1 ) 在o t l 中的同伦类，也即取决于数对，g ) 我们把这样得到的流形称为透 镜空间己，口) l ( p ，g ) 可以表示任何的透镜空间，其中s 3 = l ( 1 ，0 ) ，s 1 s 2 = l ( 0 ，1 ) 并且，所有 表示同伦和同调类都用表示路径的相同符号 定理2 4 设p ，g ) 和，9 7 ) 是两对互素的非负整数，则l ( p ，q ) 和l ( p 7 ，q 7 ) 是保定向同胚 的，如果p 兰p 7 且q 三9 7 ( m o d p ) 或q q 7 兰l ( m o d p ) 下面我们给出纽结的一些等价关系 定义2 7 对于空间中的两个纽结k l 和鲍，说k 1 和鲍是等价的，如果存在二元对同 胚厂：( s 3 ，t ( 1 ) 一( s 3 ，) ，进一步地，如果s 保持依保持) s 3 定向， k 和如称为是 正简) 等价的当，保持s 的定向的同时，k 在其像上诱导的定向与k 的定向一致，说 k 1 和鲍具有相同的纽结类型 定义2 8 一个纽结k 和s 3 中的一个2 一圆片d 使得kn d = k no d 是一段弧新的 纽结k 7 = d ( k knd ) u ( o d knd ) 称为由k 通过一次圆片移动得到的这里链环 k 7 取定向使得k i d 与一d 的定向一致 定义2 9 两个s 3 中的纽结k 和k 7 称为具有相同的组合类型，如果存在一系列纽结k = 0 ，1 ，s + 1 ) 且有g o = k 和玩十1 = k 7 ，使得每个k + 1 由ki t 过- - z k 圆片移动得 到 定义2 1 0 两个s 3 中的纽结k 和k 称为环绕合痕的( a m b i e n t 妇d 叩i 如果存在s 3 的 环绕合痕h t ( o 1 ) ，使得h o = i d 且也定义了k 和k 7 称为具有相同的纽结类型 定理2 5 【4 6 】对于两个伊中的纽结k 和k 7 ，下列说法是相互等价的： 以) k 和k 7 具有相同的纽结类型 例k 和k 7 具有相同的组合类型 ( 3 ) k 和k 环绕合慕 7 用穿四孔环面的映射类群表示( 1 ，2 ) - 纽结 纽结的定向有两个图2 1 的两个纽结上的箭头标示了它们的一个定向如果把箭头 反向，则给出了纽结的另一个定向 定义2 1 1 伊一n ( k ) v y a x ， 设k 是铲中的一个纽结，n ( k ) 是k 在伊中的一个管状邻域记x = 令 ? o x o ( s 1 d ) 为一个同胚，m = xu ( s 1 d ) ( y 一允 ) ) ， 则m 是一个闭3 一流形称之为由m 沿着k 作一个d e h n 手术所得的流形 3 一流形的一个经典定理表明，每一个闭的3 一流形均可由沿s 3 中有限个互不相交的 纽结作d e h n 手术而得到 定义2 1 2 a = s 1 i ，d 4 一a ，t o ( o ，t ) = ( 8 + 2 7 r t ，t ) ，t i o a = i d o a ，c = s ；， 则称t 是a 上沿c 的d e h n 扭转 令c 是s 上定向的简单闭曲线，n ( c ) 是c 在s 上的一个正则邻域，n ( c ) 兰s 1 ， 令i ：aqs 是保向的、嵌入映射 则亡c 是s 上沿e 的一个d e h n 扭转 2 2 h e e g a a r d 分解的概念及基本理论 从本节开始，在不作特别声明时，以后涉及的流形均为紧致定向的三维流形 首先回顾闭三维流形的h e e g a a r d 分解 定义2 1 3 设m 为闭的可定向的连通的3 一流形，f 是m 中一个嵌入的分离曲面，它将 m 分成两个柄体y 、，满足a v = o w = f ，且vu fw = m ，则vo fw 称为m 的 一个h e e g a a r d 分解，记作( m ；vw ) 或( m ，f ) ，其中f 称为h e e g a a r d 曲面或分解曲面 定理2 6 每个闭的可定向的连通的三维流形均有h e e g a a r d 分解 定义2 1 4 m 的一个h e e g a a r d 分解( m ，f ) 的亏格定义为g = g ( f ) m 的亏格a ( m ) 是 m 的所有h e e g a a r d 分解中亏格最小的一个，即g ( m ) - - m i n g l g 是( m ，f ) 的亏格) 定义2 1 5 带边三维流形m 的一个h e e g a a r d 分解是指一对压缩体( h ，h 7 ) ) 满足m = 日u 日7 ，且日nh 7 = 辞h = 外h 7 定理2 7 任意带边三维流形均可分解成两个压缩体的并 下面给出著名的h a k e n 定理： 8 ck p z ， z z ，b 广 墨跏 o ，lj l i _ ， = c 大连理工大学硕士学位论文 定理2 8 ( h a k e n1 9 6 8 年j 设m 是一个连通的可定向的闭三维流形，m = vu f 是m 的一个h e e g a a r d 分解如果m 是可约的，则m 中存在本质二维球面s ，使得snf 是 f 上一条非平凡的简单闭曲线仰它在f 上不界定一个二维圆片夕 2 3映射类群的基本定义及定理 定义2 1 6 设岛是一个闭的、连通的、可定向的曲面，d i f f ( s ) ( d i f f ( s g ) ) 是岛上的微 分同胚构成的群( 保持定向的微分同胚构成的群) ，映射类群m c a ( s , ) 是r o ( d i f f ( s + ) ) ， 扩展的映射类群m c 喏是7 r 0 ( d i ，( 黠) ) 对于有限类型的曲面s = s ，b ，它的映射类群m c g ( s ) 指的是s 的保持定向的自同胚 的合痕类的集合，且这些自同胚固定边界的每一个分支3 一流形m 的映射类群是m 到 自身的保持定向的同胚的合痕类的集合，用m c g ( m ) 来表示它 令岛是一个亏格为夕的可定向的闭面，且令汐= 仞l ，p 2 ，) 是s 的一组有限 的、互不相同的点我们把保定向的同胚映射h ：岛一岛且满足九( 汐) = 汐构成的群记作 形( b ，夕) 与垆有关的穿孔曲面的映射类群是形( 岛，汐) 的合痕类的元素由同构知， 对于给定的与汐有关的面岛的穿孔映射类群仅依赖于汐的基数n 因此，我们简单地 把礼一穿孔曲面岛的映射类群记作m c g n ( 岛) 并且对于合痕类，我们用表示同胚的相同 的符号来表示 岛的礼一纯粹的映射类群p m c g n ( 岛) 是m c g , ( s ) 的子群，它是由保持每个穿孔不 动的映射类群构成存在一个正合列 1 _ p m c g , 。( 岛) 一m c g n ( 岛) _ n _ 1 ，其中n 是礼元对称群 定义2 1 7 是一个可定向的柄体，岛为其边界曲面，我们称cm c g ( s g ) 为柄体的 映射类子群，如果它的元素是由能扩展到的m c g ( s 9 ) 的映射类群构成的 易知，假设和妒是o h 到自身的两个合痕的自同胚，它们均扩张到日上不难看 到，咖和妒的扩张在日上也是合痕的可以这样来看，取一个压缩圆片系统，它能将柄 体切成一个球因为柄体是不可约的，我们可以看到和妒到这个圆片系统的扩张是合痕 的在应用这个合痕后，我们可以假设这些扩张和这个圆片系统上都是相等的现在沿着这 个圆片系统切柄体，得到的是一个3 球和3 一球的两个自同胚，这两个自同胚在它们的边 界上是相等的任意两个那样的映射在球的内部是合痕的，所以我们可以扩张这个合痕到球 上，从而到柄体上由此我们说m c g ( s ) 的一个元素扩张到日指的是这个元素的任意一个 代表元能够扩张到日 现在对h e e g a a r d 分解m = 日十u s 日一，考虑m c g ( s ) 的一个子群，这个子群中的元 9 用穿四孔环面的映射类群表示( 1 ，2 ) 一纽结 素能够扩张到日+ 和日一，用r ( h + ，h 一) 来表示这个子群由上讨论可知，存在一个合理 定义的映射 ：r ( h + ，h 一) _ m c g ( m ) 定理2 9 若m 是一个闭的3 一流形，它有一个h e e g a a r d 分解，这个分解的距离大于， 则r ( h + ，h 一) 的子群是有限的这里n 9 = 2 k + 2 6 ，它仅依赖h e e g a a r d 分解的亏格和6 及 定理2 1 0 若m 是环面的，则m 的任意h e e g a a r d 分解的距离至多为2 定理2 1 1 一个非环面的3 一流形依赖于合痕最多有有限个相同亏格的分解 利用上述的三个定理有 推论2 3 如果一个闭的3 一流形有一个亏格为夕的且h e e g a a r d 分解的距离大于的 h e e g a a r d 分解，则这个流形的映射类群是有限的 我们应该指出在研究h e e g a a r d 分解的距离的拓扑特征中的一些新的发展s c h a r l e m a n n 和t o m o v a 在 3 3 】中已经证明了以下定理： 定理2 1 2 如果一个亏格为夕的分解的距离是大于2 9 的，则( 依赖于合痕) 这个占一流形 的亏格为夕的分解仅有一个 1 0 大连理工大学硕士学位论文 3 映射类群的表示 上一章我们介绍了三维流形的一些基本概念，其中包括纽结、d e h n 扭转以及h e e g a , u r d 分解的一些基本概念；并且介绍了映射类群的一些基本概念及其定理为了本文的顺利进 行，本章回顾了映射类群的个表示，且给出了四孔环面的映射类群，为本课题研究做好准 备 3 1 介绍 令= 是一个带有r 个边界分支的亏格为9 的紧致可定向面令s = s ( ) 是面 上的简单闭路的合痕类对于口，卢s 定义( q ，) = m i n l anb i ：a q ，b p ) ； 用an = 仍，表示，( a ，) = 0 ； 用a 上p ，表示，( q ，) = 1 ； 用q - l - o b ，表示，( q ，) = 2 ，并且它们的代数相交数为0 如果a ，b 是横截相交在p 点的两个弧，则aub 在p 点从a 到b 的解开定义如下： 把a 定向，并且用面的方向来决定b 的方向则根据方向解决问题( 图3 1 ) 结果显然 与a 的定向无关 。h h - _ d l b 图3 1 1 1 雄 j。”一”。 ： 氐：局。_ 一、：? 。 。；j、。，一? 麴 ，|-。r-。h-r、， 位 、囊、；2攀一 孓蛩菇。 ，一一、，o t一 ap，l 臻 用穿四孔环面的映射类群表示( 1 ，2 ) - 纽结 如果a 上8 或者a o 上8 ，取a a ，b p ， i anb | = j ( a ，卢) 则曲线由分解所有在 an b 中从a 到b 的交叉点曲线是一个简单闭路，记作口6 我们令乜是曲的合痕类，则有如下定义：当a 上卢时有q p 上q ，a s i z ；当a 上op 时有a pl o 口，a 卢上o p 且沿着a 到p 的d e h n 扭转能通过如下方式得到初始图形： 若上，贝0d a ( p ) = q p ； 若a i o z ，贝0d q ( ) = ( 理卢) 3 2 映射类群表示定理 定理3 1 ( g e r v a i s ) 3 0 】对于可定义的紧致面s ，映射类群m c c ( s ) 有如下表示： 生成元s q ：o t 形( s ) ) 关系： f ，ij 如果o t 是零伦闭路的合痕类，则d n = 1 ( ，) 如果n 卢= d ，则口卢= t z t 口 门皿，如果( 卫上p ，灵l j 亡q 卢= z q d 卢亡：1 何7 ) 如果a 上0 8 ，则t a 。= t q 妇坛1 f ，) 如果a 1 0 8 ，贝l j 口o p 亡q 卢= t o ( a ，卢) ( ，v7 夕如图q ，7 ， 矗，则( z 口。卢7 ) 4 = = 如。z 。 如果我们令f ，v7 ，中的1 是平凡类，则一7 j 变成关系 f ，v ) 如果a l 8 ，则( 亡口如t a ) 4 = t o ( n ，卢) 我们注意到f ，i 夕，f ，夕，佃夕，似) ，和7 构成一个集合的完整关系 定理3 2 a s 】对于可定向的紧致面s ，映射类群m c g ( s ) 由一个表示，生成元的由所有的 d e h n 扭转的集合，关系是( 1 ) 。( ) 。陋) 。( 斟) 和( n ) 注：1 ( i ) - ( v ) 的关系非常著名( i ) ，( ) 关系显然关系( ) 叫做l a n t e r n 关 系，是由1 9 3 8 年d e h n ( 3 7 ，p p 3 3 3 ) 和1 9 7 9 年j o h n s o n 3 8 分别发现的关系( ) 和( v ) 也是由d e h n 发现的( 3 7 ，p p 2 8 7 3 1 0 ) 2 对于曲面s 竺篪i ，1 或者乡，4 ，令乡纩7 ( s ) 是s 上的本质的、无边界、平行的简单闭路 的合痕类已知存在一个双射( 斜率映射) n ：乡( s ) 一q 使得( a ) = p q ，( p ) = p 7 9 7 ， 且仅当若a 上p 或者a 上0 8 满足a = p 7 q p q 7 进一步的，q p = p + a g ，) ( g + 入9 7 ) 其中 入= p 7 9 - p q 7 在模函数( q ，p s l ( 2 ，z ) 的斜率映射中，q ，卢，q p 三个类在( ) ，( ) ， ( v ) 关系中形成一个理想的三角形这就说明映射类群能从模的关系和形( s ) 的不交的关 系详尽的重新构造( 不是表示) 1 2 大连理工大学硕士学位论文 引理3 1 3 8 1 如果a 上p ，则( 乜卢) q = q ( p 口) = p 尤其作为关系徊，的结果，我们可以 得到a r t i n 的关系 m j 如果a 上p ，则如如屯= t a t 口如 弓l 理3 2 3 8 1 令6 为a ( q ，p ) 则f ，7 - l 5 7 ，并且( p q ) q = ( 卢，y ) ( 6 ，y ) 3 3 例子 例3 1 穿四孔环面的映射类群表示 图3 2 m c g 4 p ) 的一组生成元是由1 1 分别绕着g 1 ，o z 2 ，q 3 ，o z 4 ，p 做d e h n 扭转t q ， t q 2 ，t q 3 ，t a 4 ，t a ，如图3 2 表示式子生成元： t q l ，t q 2 ，t n 3 ，t q 4 ，芒p ，t d l ，t d 2 ，t d 3 ，t d 4 ； 还有在图中未给出的两个穿孔以及三个穿孔的d e h n 扭转由于都为1 ，就不一一列 关系：1 ) t d ；= 1 ，其中主= 1 ，2 ，3 ，4 两个生成元没有交点： t a l t a 2 = t a 2 t a l t a 2 t d 3 = t a 3 t 口2 t a 3 t q 4 = q 1 t a 3 t a 4 t a l = t a l t a t 两个生成元有一个交点： t a t 芦= 亡叱妇坛1 为了进一步的使式子的符号简单化，我们不妨用引理3 1 ，则有： 1 3 用穿四孔环面的映射类群表示( 1 ，2 ) 一纽结 t a l t 芦亡a i = t 声芒q 1 亡卢 t a 2 t p t 口2 = t z t n 2 亡卢 t a s 卢q 3 = 亡卢q 3 芒卢 t a 4 t z t n 4 = t z t q 4 如 分别与两个生成元各有一个交点； ( 亡口，t p t q 2 ) 4 = 1 ( 亡q 2 亡卢芒q 3 ) 4 = 1 ( t a s 妇屯) 4 = 1 ( q 1 t z t a 。) 4 = 1 m c g 4 ( 丁) 可以如下表示； ( t a ，t q 2 ，t 0 3 t q 。，妇t q = t a j t q ；，t q ；t z t a 。= 如屯。妇，( 屯；彬q j ) 4 = 1 ，i j ，i ，j = l ，2 ，3 ，4 ) 上面计算的是本文所用到的m c g 4 ( t ) 的映射类群的表示，所有穿孔曲面的映射类群 的表示见【3 9 和【4 0 大连理工大学硕士学位论文 4 穿二孔环面的映射类群表示( 1 ，1 ) 一纽结 定义4 1 一组两两互不相交的弧 1 ，亡2 ，k ) 真嵌入在柄体日中，如果存在b 个两两不相 交的圆盘d 1 ，d 2 ，风ch 对所有的i ，歹= 1 ，2 b ，且i j ，都有t in d i = 岛n c 3 d = t i ，t in 岛= 0 ，且c 3 d i 一如co h ，则称这些弧是平凡的 令m = 日u 妒日是一个亏格为9 的闭的可定向3 维流形的h e e g a a r d 分解，f = o h = o h 称链环三cm 和f 横截相交于b 一桥位置，如果 以肛和f 横截相交 俐ln 日和l9 日7 都是一组b 个两两互不相交的恰当嵌入的平凡弧，这个分解叫做l 的( g ，b ) 一分解 一个链环f 如果存在一个( 夕，b ) 一分解，则这个链环叫做( g ，b ) 一链环 注：( 0 ，b ) 一链环在通常意义下是指s 3 中存在一个b 一桥表示因此在3 维流形中链环 的( 9 ，b ) 一分解将经典的s 3 中链环的桥( 辫子) 分解一般化( 见 2 9 】) 对于任给的g 0 ， 一个( 夕，1 ) 一链环是一个纽结 ( 1 ，1 ) 一纽结也叫做亏格为1 的1 一桥纽结一般说来( 1 ，1 ) 一纽结也可以有这样的一种 描述，由一对各含一条真嵌入的平凡弧的实心环沿边界粘合则可以得到一个( 1 ，1 ) 一纽结 ( 1 ，1 ) 一纽结包括所有的环面纽结和所有的2 一桥结( 见【4 5 】) 对于前面提到的的( 夕，b ) 一链 环的分解知，对于每一个g 0 ，一个( 9 ，1 ) 一链环是一个纽结因此，在透镜空间l ( v ，q ) 中的( 1 ，1 ) 一纽结存在一个( 1 ，1 ) 一分解 ( l ( p ，口) ，k ) = ( h ，a ) 山( h 7 ，a 7 ) 其中妒：( h 7 ，a 7 ) _ ( 日，a ) 是一个( 粘合) 同胚，这个同胚使得环面上的标准定向反向( 如图 4 1 ) 穿二孔环面的映射类群m c g 2 ( t ) 由生成元屯，幻，t 7 生成，其中t 口，t b ，y ( 如 图4 2 ) 并且由于存在正合列 1 一p m c g 2 ( t ) 一m c g 2 ( t ) 一2 1 1 5 用穿四孔环面的映射类群表示( 1 ，2 ) - 纽结 h ， 图4 1 其中2 是2 个元素的对称群，我们有 图4 2 m c g ，( t ) 篷p m c g 2 (