（基础数学专业论文）亚纯函数的不等式、亏量与唯一性.pdf

重庆大学硕士学位论文 中文摘要 摘要 1 9 2 5 年，r n e v a n l i n n a 引入了亚纯函数的解橱特征和特征函数，建立了两个 基本定理，成为n e v a n l i r m a 理论的基础，开创了亚纯函数值分布理论的近代研究。 此后，许多专家学者对亚纯函数值分布理论进行了大量卓有成效的研究，得到了丰 富的成果。 对整函数与亚纯函数的不等式、亏量、唯一性的研究是亚纯函数值分布理论 的重要研究领域，是比较有趣及复杂的，许多专家学者对此做出了丰富的成果。 1 9 2 5 年，n e v a n l i n n a 首先建立了涉及亚纯函数本身模分布的不等式。1 9 4 0 年， m i l l o u x 建立了涉及亚纯函数结合于其导数模分布的不等式，m i l l o u x 不等式是对 n e v a n l i r m a 第二基本定理的扩充和发展。1 9 5 9 年，h a y m a n 获得了一个十分有趣的 涉及亚纯函数结合于其导数模分布的不等式，其不等式中只用两项计数函数便可 界囿特征函数。在精简不等式系数及亏量和问题上，有重要的杨乐不等式与亏量 和定理。满足什么样的条件，亚纯函数能被唯一确定, n e v a n l i n n a 第一个建立了五 值定理，许多专家学者对此得到了丰富的唯一性成果。 本论文运用n e v a n l i n n a 基本理论，对整函数与亚纯函数的不等式、亏量及唯 一性问题做了一些研究和探讨。本文首先简要介绍n e v a n l i n n a 理论、一些重要定 理和常用记号及相关领域的一些研究成果，并且简述了本文主要结果，然后叙述 了有关引理及结果的证明。本文先将精密的杨乐不等式中的计数函数的常数易为 多项式，然后得到了相应的亏量和；本文还对亚纯函数的唯一性问题从两个方面 作了一些研究和探讨，得到了超越整函数加权分担一个值的唯一性和亚纯函数及 其微分多项式分担一个小函数的唯一性，所得结果补充和推广了现有的一些结论。 关键词：整函数，亚纯函数，不等式，亏量，唯一性 重庆大学硕士学位论文 英文摘要 a b s t r a c t i n1 9 2 5r n e v a n l i n n ai n 仃o d u c e dt h ea n a l y t i cc h a r a c t e ra n dt h ec h a r a c t e r i s t i c f u n c t i o no fm e r o m o r p h i cf u n c t i o n , e s t a b l i s h e dt w of u n d a m e n t a lt h e o r e m s ，w h i c h b e c o m et h eb a s i so fn e v a n l i n n at h e o r y , a n di n i t i a t e dt h en e o t e r i cr e s e a r c ho fv a l u e d i s t r i b u t i o n t h e o r y o fm e r o m o r p h i cf u n c t i o n a f t e rt h e n ，m a n y e x p e r t s a n d a c a d e m i c i a n sd oal o to fe f f i c i e n tr e s e a r c ho fv a l u ed i s t r i b u t i o nt h e o r yo fm e r o m o r p h i c f u n c t i o n ，a n dg e tp l e n t yo f p r o d u c t i o n s t h er e s e a r c ho fi n e q u a l i t y , d e f i c i e n c ya n du n i q u e n e s so fe n t i r ef u n c t i o na n d m e r o m o r p h i cf u n c t i o na r ei m p o r t a n tr e s e a r c h a l e a so fv a l u ed i s t r i b u t i o nt h e o r yo f m e r o m o r p h i cf u n c t i o n , i ti s i n t e r e s t i n g a n d c o m p l i c a t e d ，m a n ye x p e r t s a n d a c a d e m i c i a n sd op l e n t yo fp r o d u c t i o n sa b o u tt h e s e n e v a n l i n n af i r s te s t a b l i s h e da n i n e q u a l i t yw h i c h c o n c e r n sw i t ht h em o d u l ed i s t r i b u t i o no ff u n c t i o ni t s e l fi n 1 9 2 5 m i l l o u xe s t a b l i s h e da ni n e q u a l i t yi n1 9 4 0 ，i to d n c e - w n sw i t ht h em o d u l ed i s t r i b u t i o n o f m e r o m o r p h i cf u n c t i o nc o m b i n i n gw i t hi t sd e r i v a t i v e ，m i l l o u xi n e q u a l i t yi sa ne x t e n d a n dd e v e l o p m e n tf u rt h en e v a n l i n n as e c o n dt h e o r e m h a y m a ng o tav e r yi n t e r e s t i n g i n e q u a l i t yi n1 9 5 9 ，i tc o n c e r n sw i t ht h em o d u l ed i s t r i b u t i o no fm e r o m o r p h i cf u n c t i o n c o m b i n i n gw i t hi t sd e r i v a t i v e ，i tc a no n l yu s et w oc o u n t i n gf u n c t i o n st ob o u n dt h e c h a r a c t e r i s t i cf u n c t i o n o nt h ep r o b l e m so fr e d u c i n gi n e q u a l i t yc o e f f i c i e n t sa n d d e f i c i e n c ys u n l ，t h e r ea r ei m p o r t a n ty a n gl ei n e q u a l i t ya n dd e f l e i e n c ys u mt h e o r e m s s a t i s f y i n g w h a t c o n d i t i o n ，m e r o m o r p h i cf i m c t i o n c a nb ed e t e r m i n e d u n i q u e l y , n e v a n l i n n ae s t a b l i s h e dt h ef i v ev a l u e st h e o r e mf i r s t l y , m a n ye x p e r t sa n da c a d e m i c i a n s g e tp l e n t yo f u n i q u e n e s sp r o d u c t i o n sa b o u tt h e s e b yu s i n gt h en e v a n l i n n a sb a s i ct h e o r y , t h i sd i s s e r t a t i o ns t u d i e sa n dd i s c u s s e st h e p r o b l e m so fi n e q u a l i t y , d e f i c i e n c ya n du n i q u e n e s so fe n t i r ef u n c t i o na n dm e r o m o r p h i c f u n c t i o n f i r s to f a l lt h i sd i s s e r t a t i o nb r i e f l yp r e s e n t sn e v a n l i n n at h e o r y , s o m ei m p o r t a n t t h e o r e m sa n dt h em a r k si nc o n l n l o nu s e ，a n ds o m er e s e a r c hp r o d u c t i o n so fr e l a t i o n a l a r e a s ，a l s on a r r a t e st h ed i s s e r t a t i o n sm a i nr e s u l t si nb r i e l , t h e nn a r r a t e st h er e l a t i o n a l l e m m a sa n dp r o o fo fr e s u l t s t h i sd i s s e r t a t i o nc h a n g e st h ec o n s t a n t so ft h ec o u n t i n g f u n c t i o n so fp r e c i s ey a n gl ei n e q u a l i t yt o p o l y n o m i a lf i r s t l y , t h e ng e t s t h e c o r r e s p o n d i n gd e f i c i e n c ys u m ； b e s i d e st h i sd i s s e r t a t i o ns t u d i e sa n dd i s c u s s e s u n i q u e n e s sp r o b l e m so f m e r o m o r p h i cf u n c t i o nf r o mt w oa s p e c t s ，g e t st h eu n i q u e n e s so f t r a n s c e n d e n t a le n t i r ef u n c t i o ns h a r i n go n ev a l u ew i mw e i g h ta n dt h eu n i q u e n e s so f 重庆大学硕士学位论文 英文摘要 m e r o m o r p h i cf u n c t i o na n di t sd i f f e r e n t i a lp o l y n o m i a ls h a r i n go n es m a l lf u n c t i o r l ，t h e r e s u l t so b t a i n e dm a k ec o m p l e m e n ta n dg e n e r a l i z a t i o nt ot h ep r e s e n tc o n c l u s i o n s k e y w o r d s ：e n t i r ef u n c t i o n , m e r o m o r p h i c f u n c t i o n ，i n e q u a l i t y , d e f i c i e n c y , u n i q u e n e s s l 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取 得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文 中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得重废太堂 或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本 研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名：毫云液 签字日期：。- 7 年6 月f 乙日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解重废太堂有关保留、使用学位论文的 规定，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许 论文被查阅和借阅。本人授权重庆太堂可以将学位论文的全部或部 分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段 保存、汇编学位论文。 保密() ，在年解密后适用本授权书。 本学位论文属于 不保密( ) 。 ( 请只在上述一个括号内打“4 ”) 学位论文作者签名：善云液 签字日期：了_ 7 年6 月【z 日 导师签名：砍眵 签字日期：。7 年( 月岁日f， 重庆大学硕士学位论文1 基础知识及本文主要结果 1 基础知识及本文主要结果 下面对n e v a n l i n n a 理论做简要介绍，具体请参阅文献3 1 4 1 5 1 们。 i l o g + x = l o g x , x 2 1 1 l o g + x = 0 , 0 - 工 1 。 显然当工o 时，有1 。g 工：l o g + x - l o g + 一1 。 设( z ) 为定义在圆h r ( o r o o ) 上的亚纯函数，a 为任一有穷复数。用 n ( r ，) 表示( z ) 在圆h s ，( o s ， r ) 上的极点个数，重级极点按其重数计算； 五( ，厂) 表示厂( z ) 在圆l z i sr ( o r r ) 上的极点个数，每个极点只计算一次； 盯( r ，手) 表示，( z ) 在h ，( 。， r ) 的零点数，重级零点按其重数计算；二( r ，7 1 ) 表 示( z ) 在h r ( o r 0 ，则称口为，( z ) 的亏值。 贾l - )i v ( r ，三) 一_ ( ，上) 定义 伊l 一画斋，口o ，班l i m 上矿丝， 显然有o o ( a ，) 1 ，0 茎o ( a ，f ) 1 ，6 ( 口，厂) + 口( 口，) o ( a ，) 。设，( z ) 于开平面亚 纯，a 为任一复数，若方程厂( z ) 一d = 0 没有根，则称a 为f ( z ) 的p i e a r d 例外值。 1 2 一些重要引理及定理和常用概念及记号 下面介绍一些重要引理及定理和常用概念及记号，具体请参阅文献跏4 1 嘲。 o p o s s i o n j e n s e n 公式 假设厂( z ) 在h r ( 0 r o o ) 亚纯，口，( = l m ) 和钆= 1 ) 分别是厂( z ) 在h r 的零点和极点，如果z = i e ”( o r r ) ，厂( z ) o ，0 0 。我们有： l 。d m ) i = 去予。d ，删9 ) l 矿面忑r 2 _ 丽r z 却 夸叫矧毒g l 蚓。 j e n s e i l 公式 r ( ，门= r ( r ，) + l o g i c , i ， 其中厂在原点邻域内展式为( z ) = 巳z - 1 - c s + 。z ”1 + ，q 0 。 ( 要) n e v a n l i n n a 第一基本定理 设厂( z ) 为在区域h n ( o r o 。) 上的一个非常数亚纯函数，口为任一有 穷复数，则对于0 ， r ，有 坍( ，7 l ) + ( ，7 l ) = t ( r ，f ) + l o g i c , i + 占( 口，r ) ( 1 1 ) 其中s ( a ，r ) l l o g + l a i + l 0 9 2 ，e 为1 ( y 一4 ) 在原点的t a y l o r 展式中第一个非零系数。 c a f t a n 恒等式和凸定理 假设厂g ) 在h r 上亚纯，则有： 矾，厂) = 石1 ( 邵坩) d o + 1 0 9 + i f ( o ) l ( o r 只) 。 2 重庆大学硕士学位论文 1 基础知识及本文主要结果 推论1 ：对o r r ，r ( r ，f ) 是l o g r 的单增凸函数。 推论2 ：瓦1 。m ( r , e e ) d 口l 。9 2 。 ( 萤) n e v a n l i n n a 第二基本定理的简单形式 设厂( z ) 于 r ( r o o ) 内亚纯，若厂( o ) 0 , 1 ，o o ；f 。( 0 ) 0 ，则对于o ， r 有： r ( ，) ( ，) + ( ，7 i ) + ( r ，击) 一l ( ，) + s ( ，厂) ( 1 2 ) 其中1 ( ，) = ( 2 n ( r ，门一n ( r ，厂) ) + n ( r ，- 7 ) ， s ( ，厂) = m ( ，f - f f f ) + m ( r , ) + 1 。g l 紫+ l 。9 2 。 ( 亘) n e v a n l i n n a 第二基本定理的一般形式 设，( z ) 为在区域1 z i r ( o r c o ) 上的非常数亚纯函数，a j ( j = l ，2 ，口) 为g ( g 3 ) 个互相判别的复数，则 ( g _ 2 沙p 垮妻m ，7 i 卜1 ( r ) 坩( ，) ( 1 。3 ) 其中 1 ( ，) = 2 n ( r , 门一( r ，f ) + ( r ，) ， 即叫 争州 喜乏m k g + 了2 q “。爿7 矧“。匦 对数导数引理 设，( z ) 与h z r ( r o o ) 内亚纯，不蜕化为常数，若厂( o ) o ，o o ；则对于 0 r p r 有： m f ， ) 1 0 + 4 1 0 9 + l o g + 似u j i + 2 l o g + 吾+ 3 l o g + p i l + 4 l o g + p + 4 l o g + t ( p ，f ) 。 ( 亘) b o r e l 引理 下面的b o r e l 引理，它是关于单调函数的一个引理： 1 ) 设r ( r ) 在 ， 0 0 是连续非减函数，t ( r o ) 1 ，则除去，的一个集合晶后 恒有： t ( r + 击) 2 t ( r ) ， r ( r ) 。 且厶的线性测度不超过2 。 2 ) 设r ( r ) 在，0 r o o 是连续非减函数，t ( r o ) 1 ，则除去，的一个集合后 恒有： 重庆大学硕士学位论文 1 基础知识及本文主要结果 m + 旦e t ! ( r ) ) 2 r ( ，) ， 、，、， 且看2 。特别地若，o p p r 与尺一户 墨严，则在区间( d p ) 内必 有，使上式成立。 ) n e v a n l i n n a 第二基本定理的余项 设f ( z ) 为开平面上的亚纯函数，不蜕化为常数，s ( r ，f ) 如上， 则当0 ) 为有穷级时有：s ( r ，力= o ( 1 0 9 r ) ( r 寸。) 。 当f ( z ) 为无穷级时有：s ( r ，f ) = o ( 1 0 9 ( r t ( r ，) ) ) p 寸o o ) ，可能须除去一个线性测度 为有穷的集合。 设( z ) ，口( ：) 为在开平面上的亚纯函数，若，口) = s ( r ，) ，则称口( z ) 为厂0 ) 的 小函数。 m i l l o u x 不等式 f ( z ) ：i f ：i z f r ( r 0 0 ) 内亚纯若厂( o ) o ，o o ；f 耻( o ) i ；厂忙“( o ) 0 ， 则对于0 ， r 有： r ( 7 ，力s ( 7 ，门+ ( 7 ，乡+ ( 7 ，了南) 一( ，了击) + s ( ，门 ( 1 4 ) h a y m a n 不等式 设函数f ( z ) 于1 z i r ( 0 0 ) 内亚纯，不蜕化为多项式。若k 为一正整数，且 ，( o ) o ，o o ；f ( o ) 1 ；f “( o ) 0 ， 以及 ( 七十1 ) f “。2 ( 0 ) ( 厂( 0 ) 一1 ) 一( | j + 2 ) f + 1 ( o ) 2 0 ， 则对于0 ， r 有 m ，门 七时计七+ 1 次。若e ( 口，厂) = b ( 口，g ) ，则称厂和 g 以权值k 分担a ，记作厂，g 分担( 口，k ) 。若f ，g 分担( 口，0 ) 或( 口，o o ) ，则是厂，g i m 或c m 分担a 。 1 3 相关研究成果和本文主要结果 1 - 3 1 精密的不等式与亏量和 杨乐7 1 曾建立了下述重要的精密的杨乐不等式： 定理a 设( z ) 于开平面超越亚纯，q n 且q 2 ，口，d = 1 , 2 ，g ) 为互相判 别的有穷复数，k 为正整数，则： 卜一面m 广) 纠r ，志卜( ) + s ( ) ， 这里占是任意给定正数。 本文中，我们得到了下述结论： 定理1 设作) 于开平面超越亚纯，q n 且g 2 ，a jz b = 1 , 2 ，g ) 为互相 判别的多项式，p 为 a j ( z ) ( ，= l ，2 ，鼋) 的最大线性无关组中的多项式个数 ( p g ) ，k 为正整数，则： ， 卜一百p ( q - 1 ) r ( ) 0 时有： 哪， ( - + 州r ，州- + 州 击 _ ( ，南卜咖s n 又若口，6 为二有穷复数且6 不为o ，则占( 口，) + 尊( 6 ，o ) s 等署a 定理ci 爱f ( z 1 于开平面超越亚纯，k 为一正整数，若占为任意的正数，a , b 为 任意两个判别的有穷复数，则： r “砷) ( - + 去) ( 了斋i ) + ( ，+ 去) ( ，了南) 一( ，南 + 刀( ，砷) 十j ( ) ， 占( 吖忙) + 6 ( 6 ，f p ) 外丽1 。 定理di 发f ( z 1 于开平面超越亚纯，k 为一正整数，若占为任意的正数，若口，6 均为有穷复数且b 不为0 ，则： 5 重庆大学硕士学位论文 1 基础知识及本文主要结果 r ( r ，) 0 时有： 删 ( + 趴击) + ( 1 + 州赤 + 砘厂) 州卜瓦硒瓦厕向巧弼p 门 6 ( 口( z ) ，) + 4 ( 6 ( z ) ，”) 丽k + 2 。 注：定理中的口( ) z 1 6 要求是必要的，如令： ，( z ) = e 2 + z k + 2 口( z ) = z k + 26 ( z ) = 忙+ 2 + 1 ) 3 2 2 ，若上述不等式成立，则可 推出( z ) 为常数，矛盾。所以口z ) 6 是必要的。 定理3 设s ( z 1 于开平面超越亚纯，k 为一正整数，若占为任意的正数， d o l 6 ( z ) 为互相判别的多项式，则： r ( r ，厂c 砷) ( ，+ 去 ( ，了；可- ! 雨 + ( - + 去 ( r ，了z 可- = + r ( ，) 一( r ，f 形瓯刁二碉j 心( ，) ， 艿( 口( z ) ，广) + 6 ( 6 ( z ) ，”) 外丽1 。 定理4 设s ( z 1 于开平面超越亚纯，k 为一正整数，若占为任意的正数， 口g 1 6 g l c ( z ) 为互相判别的多项式且口( ( z ) c ，则有： r ( ， 2 k + 8 若【厂“( z l r ( z ) 一1 ) y ”和g ”( z x g ( z ) 一1 ) y ”c m 分担l ，则，( z ) = g ( z ) 。 本文中，我们证明了下述结论： 定理5 令f ( z ) 和g ( z ) 是两个超越整函数，疗，k 是两个正整数并且n ，七满足 训z 川s ，( 。石1 厂3 一去广2 + 熹川”和( 南g n + 3 _ 熹矿2 + 熹g n + l 厂 分担( 1 ，1 ) ，则( z ) ；g ( z ) 。 1 3 3 分担小函数的亚纯函数的唯一性 2 0 0 2 年，熊维玲4 1 证明了下述结果： 定理k 设( z ) 为非常数整函数，口，b 是，( z ) 的两个判别的小函数且 口l ( z ) ，吼( z ) ( 七) ；o f ( z ) 的小整函数，令p ( ，) = ，q + c 6 f “1 + + 吼厂， a = 4 ( 。) + 以l 口( 。) + + a k a b ，b = 6 ( ) + q 6 ( - 1 ) + + a k b 一口，若厂( z ) 和尸( 厂) c m 分 担a 和b ，a 和曰不同时为零，则f ；p ( 厂) 。 本文中，我们证明了下述结论： 定理6 设厂( z ) 是非常数亚纯函数，k 是正整数，口( z ) 是亚纯函数，a ( z ) o ，o o ， 并有t ( r ，口) = s ( r ，) ，a 。( z ) ，a 2 ( z ) ，c 6 ( z ) 为整函数并且满足 t ( r ，口，) = s ( ，) o = l ，一，k ) ，令尸( ，) = ，) + c 6 f ( 1 ) + + 口。，若厂和p ( ) c m 分担口( z ) 且2 a ( 0 ，) + 6 ( 。，f ) 7 ，则厂= p ( ) 。 7 重庆大学硕士学位论文 2 关于精密的杨乐不等式与亏茸和 2 关于精密的杨乐不等式与亏量和 2 1 有关记号和引理 舶用柑小匦蜊桶妒懈对蔼 引理1 阵3 庄圻泰不等式：设厂( z ) 于开平面亚纯，q ( z ) ( _ ，= l ，2 ，q ) 均为厂( z ) 的小函数且互相判别，则 ( 一) 叶卅 0 + 后矽一( ，小州+ s 易求得一p 。) = p z ( k ) _ p ，) c 厂( 州一p ，( “1 ) 一k “”氆( “l 妙一n ) = ( c 一6 炒) 一厶) 一c 一b ) ( 厂一6 ) 。 得证。 引理4 设( z ) 于歼平面超越亚纯，6 ( z x c o ) 为互相判别的多项式，则有 丙p 去( 了害j ) + 去( ，了害= + 酬，厂) 十s ( ，厂) ( 2 2 ) 证明：令 ，g ) ：z ! ( 2 3 ) c d 由n e v a n l i n n a 第二基本定理，可得 r p f ) 丙p ，) + ， + 吐，击) 一 专) + s ( ，f ) q 御 再由式( 2 3 ) 得 r p ，厂) 面p + 吖 了斋写) + ( 了毒= ) 一( 专) + s p ，厂( 对) ( z 5 ) 其中 ( ，爿= 小西驴高嚣硐) 小f 砸而习专刁酽刁j 亿6 注意到，( r ，) 2 移，f ) + k n ( r ，厂) ( 2 7 ) 联立式( 2 1 ) 、( 2 5 ) 、( 2 6 ) 、( 2 7 ) 知引理4 成立。 引理5 推广箜m i l l 。u x 不等式：设，( z ) 于开平面超越亚纯，口g ) 6 ( z ) 为互相 判别的多项式且口( ( z ) b ，则有 毗小研卅+ 小剖+ 小南 州卜印砸兀巧虿可庐刁p ) 伫盘 矾令 g = 譬笋 亿功 9 重庆大学硕士学位论文 2 关于精密的杨乐不等式与亏量和 r 。翻 丙p 翻+ ( ，昔+ n ( 主- 一( 爿+ s p 翻 t z - 吨产h ) 砘咖小芦b + 小赤) 州卜巧而而巧专而伊刁p 门心1 1 ( 击) m ( 等h ，南 o 西产小小剖 t ( r ，) 一小方) 嘶( 2 - 2 ) 联立式( 2 1 1 ) ( 2 1 2 ) 知引理5 成立。 同定理2 中的注可说明引理5 中的口( 1 ) f z l 垂b 要求也是必要的。 2 2 关于定理1 、2 、3 和4 的证明 2 。2 1 定理1 的证明 不妨设 6 l ，6 2 ，6 p 是h ，口：，) 的最大线性无关子集( p g ) 。 6 l ，6 2 ， 为p 个互相判别的多项式函数。 7 存在p 个互相判别的多项式函数q ，岛，c ，使得c = 岛( _ ，= 1 ，2 ，p ) a q ，c 2 ，c ，也为多项式函数，则由厂( z ) 于开平面超越亚纯知q ，c 2 ，c p 为 f ( z 1 的小函数。 州班形旧，南k - l 一寸们( 班形k ，南，c i ，矿一砂 设任一组系数，乞，0 。使得： z 。1 + ，：毒+ + 厶丢+ + 。q + + + ，。，：o 成立，则对两边求j i 次导数 2 1 + 。2 秀+ + 厶茬二币+ + t q + + + ，勺2 0 成立，则对两边求七次号数 得：+ 1 6 l + + + ，6 j = 0 。 。6 l ，6 2 ，6 。线性无关。 “= + ：= = 。= 0 a 则7 - 。1 + 7 ：孟+ + 了孝二t 耵2 0 a y 1 主，茬三币线性无关。 = 厶= = = 0 。 1 0 重庆大学硕士学位论文 2 关于精密的杨乐不等式与亏草和 _，z_ 一- - 1 ，孟，寺，茬三币，q ，乞，o 是后+ p 个线性无关的整函数a _z_ 一i 易知1 ，孟，备，茬二币也为厂( z ) 的小函数。 则由弓i 理2 得( n 加班【r ，南j + ( 1 ) ( r ) 坩办 易求得4 ( 厂) = 形( 岛，6 2 ，厂砷) = ( ”) 。 ，、 叶，南弘训- ( 门- 门训( ，门叫 门 ( 2 1 3 ) 4 t ，口：，吒均为超越亚纯函数的小函数，由引理1 得 旷妒广】) 嘉( ， 南卜( r 广) ) - ( r 南卜) m 将式( 2 1 3 ) 代入式( 2 1 4 ) 得- ，、 ( 纠) r ( ) 喜卜南j “- ( ，卅 + ( r ，) + 占( ，厂) + s ( r ，砷) 又( q - o r ( ，厂( 砷) ( g 1 ) ( ，厂) + k ( q 一1 ) n ( r ，厂) 将式( 2 1 6 ) 代入式( 2 1 5 ) 得 砷卅 丽1 两纠q 南 咖s ( ) ( 2 1 5 ) ( 2 1 6 ) ( 2 1 7 ) - ) r ( ) ) ( 1 + 商知 纠 南卜，) + s ( ) 。 整理得 卜) 一百甓袭m ) 纠r ，南卜( r 咖札) 。 2 2 2 定理2 的证明 由引理3 知 r，、 l i ：i 二：虿巧i j 再j r ：j 耳石巧兰i 孑二乏i 石i 巧i 巧：两_ = i 巧j ( 1 + 七) ( ，) 一( ，) - 6 n ( r ，) + s ( ，厂) ( 2 1 8 ) 联立式( 2 8 1 8 ) 有 砘，) * ，剖+ 丢小7 岛 + 砘咖地办 【2 1 9 ) 将式( 2 1 9 ) 代入式( 2 8 ) 有 删 ( + 妄 小击 + ( + 去 小，- 枷 斗p 酽巧南羽卜卅犯2 0 ， 由亏量定义易证：6 ( 口，) 十t g ，( 女1 ) s i k + 石2 2 2 3 定理3 的证明 ( 2 2 1 ) r p ) 砘咖小7 b ) + 小南) 一小而酽巧品碉j 柑( r 州堆2 2 丙( r 去( _ 了害二) + 去( ，了害五 + 订( ，厂) “( a ( 2 2 3 ) r ( r ，( ，) ( - + 去 ，了两 + ( + 去 ( r ，7 蕊丢丽 + 曲，厂) 一( r ，【6 卅尸，j 1 万碉j + s 砷)一1 【6 一咿，j 刁刁网广v 7 由亏量定义易证：6 ( 口( z ) 厂( t ) 十6 ( 6 g l 厂( i ) 1 + 互而1 2 2 4 定理4 的证明 m ( ，剖卟矧+ 七譬 如胚小击 m ) 一七，南 嘶 由于6 ，c 互相判别，所以a q q b 和口( ) 一c 至少有一个不恒为零。 ( 2 2 4 ) ( 2 2 5 ) ( 2 2 6 ) ( 2 2 7 ) 不妨设 口( ) 一c 喜0 则由式( 2 1 1 ) 知 吨秘1 ) 糕，那么削”) _ l ，或者厂镏 证明：令 心，_ ( 矧一，f 严o m ( z _ j - ) 、i ( 端一z 智 s ， 假设j j l ( z ) 0 。 若z o 是厂仕0 ) 和g ( z ) 的公共简单1 值点，经简单计算可知，是 ( z ) 的一个 1 4 重庆大学硕士学位论文3 两函数导数分担的唯一性定理 零点。再由厂o 与g 耻分担( 1 ，1 ) 有 l ，7 害j ) = l ，( ，南) ( ，去) r ( ， ) + 。( 1 ) n ( r ，h ) + s ( r ，) + s ( ，g ) 由式( 3 5 ) 讨论可知h ( z ) 的极点只能产生于厂“和g “1 的零点， g 耻的重数不相同的i 值点。于是有 n ( r ， ) 飒 抄而，扣嘶，7 b ) + 嘶，南) + n o ( ，商) + n o ( ，= 南) 因为f 仆1 和g 耻分担( 1 ，1 ) ，再由引理4 有 ( 7 面) + ( 方_ ) ( 3 6 ) 以及和 ( 3 7 ) = 2 - ，7 两1 j ) s i ) ( ，7 南) + ( ，7 南) n ( r , h ) + 7 南) 删吖) 删憾) 飒，抄肌，扣弛，南) + 跏，南) + n o ( r ，7 而1 ) + n o ( ，孑而1 ) + r ( r ，广) + s ( ，) + s ( w ) 飒，抄肌，扣z r ( ，南) + 跏，南) + n o ( ，7 而1 ) + n o ( ，孑而1 ) + 嘶厂) + 地厂) + 毗g ) ( 3 8 ) 跏，击) 丽4 k + 5 ，则由式( 3 1 6 ) 得到 t ( r ，厂) + 丁( ，g ) s ( r ，) + s ( ，g ) ，与f ，g 是两个非常数的超越整函数矛盾。 所以h z 0 。 于是由式( 3 5 ) 有 两1 ；百b g k ) + a - b ( 3 1 7 ) 巧2 万 p “u 其中a 和b 是两个有穷复数且6 与a b 不同时为零。 下分三种情况进行讨论： b 0 且a = b 。 f l 拭( 3 1 7 ) 可知g ( ”0 ，于是存在一个整函数p ( z ) 使得g ”( z ) = e 州”，从而 1 6 重庆丈学硕士学位论文3 两函数导数分担的唯一性定理 ；l + ! 一! p 叫“ 。 bb 如果b = 一l ，那么f ”( z ) ( z ) z l ，这正是我们想要的一个结果。 如果6 一l ，那么厂一( 1 + i 1 ) = 一i 1e - p - i t ：0 ，由引理1 ，知 t ( r ，厂) ( _ i + 1 ) ( ，) + s ( ，厂) j 进一步可得 ( 七+ 1 ) o ( o ，门- k t ( r ，) s s ( r ，) i 酗o ( o ，) 差芸，则有t ( r ，力s ( r ，门，矛盾。 b 0 且a 6 。 此时由式( 3 1 7 ) 可得g ( ”+ ! 善o 由引理1 知 t ( r ，g ) ( _ j + 1 ) n ( r ，二) + s ( r ，g ) g 同1 的讨论可得矛盾。 b = 0 且口b 。 此时由式( 3 1 7 ) 可得 ，乜) = - - g ( z ) - 4 - p ( z ) ( 3 1 8 ) 其中p ( z ) 是一个次数不超过k 的多项式。 若p ( z 1 0 ，由引理2 有 m ，门卿r ，二) 1 厕，7 去矿跗 贾( ，= 1 ) + ( ，! + s ( ，) jg 0 - o ( o ，) ) r ( ，) + ( 1 - o ( o , g ) ) t ( r ，g ) + s ( r ，厂) ( 3 1 9 ) 因厂和g 都是超越整函数，由式( 3 1 1 8 ) 知t ( r ，g ) = t ( r ，f ) + s ( r ，f ) ，再结合式 ( 3 1 9 ) 得 ( 0 ( o ，) + ( o ，g ) 一1 ) t ( r ，f ) s ( r ，f ) 因。( o ，力 糕，。( o ，g ) 蒹，则有t ( r 门s s ( r 力，矛盾。 所以p ( z ) ；0 ，也即 f ；二g ( 3 2 0 ) 若口l ，因，”和g 的分担( 1 ，1 ) ，由式( 3 2 0 ) 可推出g 律l ，于是同的讨论我 1 7 重庆大学硕士学位论文 3 两函数导数分担的唯一性定理 们可得矛盾。所以a = l ，也就是厂s g 。 引理6 证完。 令f = 南广一熹严+ 熹，g = 熹一老g n + 2 + n - 南g “。 ( 旧2 鬲n 糕，。( 。，g ) 甭n 丽4 k + 5 ( 3 2 i ) 则由定理5 的条件可知f * n g 分担( 1 ，1 ) ，于是由引理6 和( 3 2 1 ) 可推出 f ( ) g ( ) ；1 或f g 。 下分两种情况讨论： f = - g 也即是 熹厂3 一熹厂2 + 熹广1 s 鬲1g n + 3 一鬲z 2 g n + 2 + 。 由引理5 知厂= - g 。 f ( z ) g ( ( z ) ；1 也即是 ( 熹广一熹厂2 十六州冲( 熹一熹2 + 嘉旷t 卜- 以2 2 ， 若f o ) 有一个零点2 0 ，则由，l 1 2 k + 1 5 知知是 ( 熹严一熹严+ 六r 的零点，由上恒等式知毛是 ( ；鬲i 苫n + 3 一i 2 万g “2 + 嘉g n + l r 的极点，与g ( z ) 是整函数矛盾。所以有 厂( z ) 。，同理我们可以证得g ( z ) 0 ，( i 与，”j i 笔厂4 + 2 + i b 厂“ 。以及 ( 去一熹+ 鬲1g n + l 卜。 则可令，( z ) = “，其中( z ) 是一个非常数整函数。 简单计算可得 b 严卜阻l n + 3 删卜a ( 州，妒删 ( 3 z s ) b 2f “卜岛少坤卜见( 口，叩一m ， ( 3 z 4 ) 陆尸卜 嘉少仲卜以办叩“ z s ， l g 蓑裹暑搿凿名k 强氍, 硝ni ( 口d 两j ：o p ap(3