（基础数学专业论文）带有奇异非线性项的椭圆问题的morse指数与分歧.pdf

摘要 在这篇论文中，我们考虑下面的边值问题 u = 0 0 ，使得当p p 。( 口) 或p 纯( o ) ( 依赖于区域q 的 形状) ，问题( 乃) 的正解分支具有无穷多个分歧点此外，我们还研究了相关问题在单位 球b 上的径向对称解分支，并且发现当p p co z ) 时，解分支具有无穷多个转向点；当 0 0f o re a c hq 0 ，w h i c hi sad e c r e a s i n g f u n c t i o no fq ，s u c ht h a tt h eb r a n c ho fp o s i t i v es o l u t i o n so ft h ep r o b l e m ( 乃) p o s s e s s e s i n f i n i t e l ym a n yb i f u r c a t i o np o i n t sp r o v i d e dp p c ( a ) o rp p c ( o ) a n dt h i sr e l i e so nt h e s h a p eo ft h ed o m a i nq m o r e o v e r w ea l s os t u d yt h er a d i a ls o l u t i o nb r a n c ho ft h er e l a t e d p r o b l e m si nt h eu n i tb a l lb w ef i n dt h a tt h es o l u t i o nb r a n c hp o s s e s s e si n f i n i t e l ym a n y t u r n i n gp o i n t sp r o v i d e dt h a tp 仇( a ) a n d t h em o r s ei n d e xo fa n ys o l u t i o n ( r e g u l a ro rs i n g u l a r ) i nt h er a d i a ls o l u t i o nb r a n c hi sf i n i t ep r o v i d e dt h a t0 p 乳( q ) t h i si m p l i e st h a t t h es t r u c t u r eo ft h er a d i a ls o l u t i o nb r a n c ho f ( a ) c h a n g e sf o r0 p c ( a ) k e yw o r d s ：b r a n c ho fp o s i t i v es o l u t i o n s ，m o r s ei n d e x ，i n f i n i t e l ym a n yb i f u r c a t i o n p o i n t s ，m e m sd e v i c e s i i i i v 摘要 a bs t r a c t 目录 i i i i 第一章引 言 1 1 1 背景及研究近况 1 1 2 主要结果 4 第二章无穷m o r s e 指数解 第三章正解的分歧与结构 3 1 非线性项，满足( r ) 与( 尼) 时，问题( 死) 正解的结构。， 3 2 非线性项，满足( g ) 与( g z ) 时，问题( 乃) 正解的结构 参考文献 致谢 攻读硕士学位期间发表或写作的学术论文 独创性声明和关于论文使用授权的说明 v 7 7 7 7 7 1 3 5 1 1 2 3 4 4 4 v i 第一章引言 在这一章里，我们首先介绍本文所研究的带有奇异非线性项的椭圆问题的物理背景和 近几年的研究近况，然后给出本文得到的主要结果 1 1 背景及研究近况 在本文中，我们研究下述问题( a ) 正解的结构 ， l 乱= 入h a ，( u ) ， 在q 内 0 0 与 ( g 1 ) ，( s ) c 1 ( o ，1 】，s ( 0 ) = o o ；当s 接近0 时，( s ) 0 满足条件( 日) 与( 尼) 函数，( s ) 的典型的例子是，( s ) = 8 - p ，而满足条件( g ，) 与( g 2 ) 函 数，( s ) 的典型的例子是，( s ) = 8 - - p l 与，( s ) = $ - p s ，0 q 0 在q 内，并且对 任何硪( q ) ，有 ( v u v + 入i z i q f ( u ) d p ) d x = 0 ，n 我们注意到如果u 是问题( 乃) 的一个正解，再由标准的椭圆正则性理论可得u c 2 ( q ) n c 1 ( 豆) 从而，u 是问题( a ) 在q 内的经典解 问题( a ) 出现在薄膜稳定态的研究中，这种模型的一般方程为 u t = 一v ( f ( u ) v a u ) 一v ( 夕( u ) v u ) ( 1 - 1 ) 带有奇异非线性项的椭圆问题的m o r s e 指数与分歧 方程( 1 1 ) 是黏性液体薄膜动力学的模型，其中z = u ( x ，t ) 是空气一液体交界面的高 度零集e = z q ：u ( x ，t ) = o ) 是液体一固体的交界面，有时也被称为“破裂集” 破裂现象在薄膜的研究中起着非常重要的作用系数f ( u ) 反映了曲面张力的影响，一般 取f ( u ) = u 3 第二项系数g ( u ) 反映了其它力的影响，比如重力g ( u ) = u 3 ，v a nd e rw a a l s 交互作用影响g ( u ) = 俨一7 u ，其中，y 0 ，m 0 ，fs0 ， l m l 关于方程( 1 1 ) 的背 景知识，可以进一步参考文献 2 3 4 】 2 3 】 2 4 【2 5 【2 6 】 2 7 】 一般情况下，我们假设f ( u ) = u 3 ，g ( u ) = 乱m 一 t u l ，其中，m ，2 r 如果我们考虑方 程( 1 1 ) 稳定态的情况，则会发现u 满足 ( u ) v a u + g ( u ) v u = c 在q 内 其中，c = ( c 1 ，c 2 ，g ) 是一常向量假定c = 0 ，我们看到 a u - f 雨1 扩2 一南札c - 2 = c 在q 内 其中，c 是一个常数如果我们进一步假定c = 0 ，v = ( i 刊+ 2 ) 1 ( 3 - , 7 , ) u ，则u 满足方程 u = 钉m 一2 2 业兰茅一2 在q 内 这就是我们所要求的方程的形式，即 a v = 口一p 一7 - u ，( 0 q p ) 通过一个简单的变换u = 7 1 沪q ) v ，则u 满足方程 a u = 扣+ 1 ) o 一口 u - p u - q ( 1 - 2 ) ( 1 - 3 ) 这正是问题( a ) 所要求的形式 对于问题( 只) ，即 i a v = 南，在q 内 0 u 1 ， 在q 内( r ) l i = 0 ，在a q 上 是静电微型电子机械系统( m e m s 装置) 的简单模型m e m s 装置由一个绝缘的弹性薄膜 边界固定在0 平面，在+ 1 处放置个刚性板，再加上外电场其中，v 是弹性薄膜( 正规 2 第一章引言 化) 的偏转当施加电压为入时，薄膜向板的位置偏转，并且当电压超过某一临界值 ( 临 界电压) 时，薄膜会突然绷断这就是所谓的”输入不稳定性”，极大地影响了m e m s 装 置的设计关于m e m s 装置详细的讨论参见文献( 1 0 2 s 2 9 在最近文献 1 1 - 1 3 【8 【9 】 2 2 中，作者们研究了下面的问题 i 一 = 拇，在q 内 0 一2 ，p 0 ，n 2 ，他们发现存在一个临界值 o - 2 p c ( o e ) = p ( n ，口) ， 3 n p co ) 的情况，方程( 1 - 5 ) 不存在稳定正解此外，对口( - 2 ，0 与p p c ( a ) ， 方程( 1 - 5 ) 在腿中不存在有限m o r s e 指数解当3 n 0 ，得到与文献 7 】类似的结果我们证明方程( 1 - 5 ) 在r 中不存在有下界的有限m o r s e 指数正解如果存在c 0 ，使得当r 1 时，u c 在 r 后k 中，我们就称u 有下界借助于这些结果，我们研究当非线性项厂分别满足( n ) 与( 易) 或( g ) 与( g 2 ) 时，问题( 乃) 正解的分歧与结构 1 2 主要结果 在本文中，我们主要研究了非线性项f ( s ) 满足两类假定条件，问题( 足) 解的分歧与 结构 一、当厂( s ) 满足条件( 日) 与( b ) 时，关于解的分歧与结构有如下结果 通过变换v = 1 一u ，将问题( a ) 转化为 i 三：三：i _ p 厂( 1 一u l 套三窑。文， l u = 0 ，在a q 上 定理1 对于问题( & ) ，存在一个从( 0 ，0 ) 开始的无约束解分支f ：- - - 一( ( a ，v a ) ：0 仇( o ) ( 这依赖于区域q 的形状) ，r 具有无穷 多个分歧点 我们还研究了下面问题径向对称解分支r 的结构。 乱m ：, - - - - 1 ，a i z i n u p ，在b o b 内_ h 定理2 存在常数k ，使得问题( 木) 存在唯一的奇异解u 。，且在入= 九达到 定理3 假定n 2 ，p 乳( q ) ，则存在唯一的如定理2 中的入。，使得对任意整数k 1 ，当 a 充分接近九时，问题( 枣) 至少存在k 个径向对称正解特别地，当入= 儿时，问题( 水) 存在无穷多个经典解 定理4 假定n 3 ，0 p p 。( 0 f ) ，则问题( 牢) 的径向对称解分支f = ( a ，矾) ：0 入 a + ，瓦a 是上述问题的极大径向对称正解 4 第一章引言 二、当f ( 8 ) 满足条件( g 1 ) 与( g 2 ) 时，关于解分支的结构有如下结果 令g ( s ) = f ( 1 8 ) ，则可将问题( & ) 改写为 一u = a l z l 0 9 ( u ) ，在q 内 0 v 1 ，在q 内 口= 0 ，在a q 上 ( 鳅) 定理5 对于问题( 戳) ，存在一个从( ，0 ) 开始的无约束解分支f ：= ( a ，呶) ：0 p c ( o ) ( 这依赖于区域q 的形状) ，r 具有 无穷多个分歧点 另外，研究了下面问题径向对称解分支的结构 ， l 让= a i z i a u p 一1 】， 在b 内 0 p c ( o o ，我们证明 不存在有下界的有限m o r s e 指数正解 首先，我们先给出m o r s e 指数解的有关概念如果对v 矽锑( r ) ，有 刚 = 上( 1 v 妒1 2 - p l 卵u 舢1 ) 砂2 ) 如 0 ( 2 - 1 ) 我们就称方程( 2 1 ) 的正解u 是稳定的 由于四( r ) 在础( r ) 中稠密，h q 在原点的邻域内是可积的容易看出，如果正 解u 是稳定的，则对v 妒 ( 酞) nl o 。( r ) 且在r 中有紧支集，有q u ( 矽) 0 假 若对于锑( r ) 中使得对于v 矽x o ，q u ( 矽) 0 的子空间x 的最大维数为k ，我们就称 方程( 2 - 1 ) 解u 的m o r s e 指数为k 因此，u 是稳定的当且仅当它的m o r s e 指数为0 如果u 是方程( 2 1 ) 的正解且其m o r s e 指数为k ，则存在x = 8 p a n 掣d l ，九) 且也 锘( r ) 使得q u ( 众) 0 ，i = 1 ，2 ，k 记k 为也的支撑集，则k ：= u 警1k 是r 的 紧子集，对w 四( r k ) 有q u ( 妒) 0 否则，我们可以得到x 7 = s p a n c 1 ，妣，妒) 使得u 的m o r s e 指数至少是k + 1 这样，具有有限m o r s e 指数的正解u 在某个紧子集的 外部憾k 上是稳定的值得注意的是，上述事实对于一般区域q 也成立 下面我们结合上述事实给出本部分所要用到的一个重要积分估计 引理2 1 假设q 是酞( 2 ) 中的( 有界或无界) 区域，u 是方程( 2 1 ) 的稳定正解， 则对任意，y ( - 1 一印一2 v p ( p - 4 - 1 ) ，- 1 与m m a x 黜p + l ，2 ) ，存在一个依赖于p ，m ，7 ，q 的正常数c ，使得对v 矽四( q ) 且m 1 在q 内有 ( i v ( 扎孚) 1 2 + i z i a 让1 一p ) i 矽1 2 m d z c i z i 警( i v 矽1 2 - 4 - i 妒i i 砂i ) 钎如 ，n，q 证明：当，y = - - 1 时，因u 是方程( 2 1 ) 的稳定正解，则q u ( ) 0 取= 妒m 且 l 矽i 1 即得结论 7 中 r 在 p u q z i i u 程方 当，y 一1 时，我们分三步来进行证明 第一步：对于v 妒四( q ) ，有 zl v c 尚1 2 m = 警“n - p 。0 2 如+ 等上嘲如 这只需在积分等式中 v u v + i z l q u p ) 如= 。，v c 罟( q ) 取= 7 妒2 即可 第二步：对v 妒锘( q ) ，我们有 ( 2 - 2 ) 0 + 警) 肌a u r - p 妒2 如1 i v 卯如+ ( 等一丢) p 1 蝴如 ( 2 - 3 ) 取妒= 札孚妒，则矽h l ( n ) n 己o o ( q ) 且具有紧支集因u 是稳定的，从而， q u ( 矽) 0 即 p 上i z a u r - p 妒2 d x zi v ( u 孚) 1 2 妒2 如+ 上牡什1 i v 妒1 2 如+ 2 上u 孚妒v ( 缸孚) v 妒出 又因 2 上让孚妒v ( 札孚) v t d x = 互1 上v ( “) v ( 妒2 ) 如= 一互1 上u 什1 ( 妒2 ) 如， 我们得到 p zh n p p 妒2 d x - a v ( 缸华) 1 2 妒2 如+ z + 1i v 妒1 2 如一三上乱什1 ( 妒2 ) 如( 2 - 4 ) 再把( 2 - 2 ) 式代入( 2 - 4 ) 式可得 p n a - p w 2 d x 一半n w 2 如 + 7 4 + 7 1 _ 一三) 上u 什1 ( 妒2 ) 如+ u o “j v 妒1 2 如 由此即得( 2 - 3 ) 式 第三步：对 ( 一1 2 p 一2 、瓦再可，一1 ) 与m m a x 幂，2 】，存在一个依赖于 p ，m ，y ，q 的正常数c ，使得对v 砂繇f q l 日 1 在q 内右 8 z 蚓q 叩2 m 如c z 蚓警宇( i v 矽1 2 + i 矽1 1 妒i ) 幂如， ( 2 - 5 ) 第二章无穷m o r s e 指数解 zl v ( u 孚) 1 2 l 妒1 2 m 如c 上h 警竽( i v 妒1 2 + i 妒i ) 幂如 首先，从( 2 - 3 ) 式我们知道对v 妒锘( q ) ，有 p 上h q 矿- p s v 2 d x 0 ，( o ，m m a x ( 昂，2 ) 与i 矽1 1 在q 内，( 2 8 ) 式表明 “坩一2 ( i v 矽1 24 - i 矽ll a 矽1 ) d x ，n ( 加州1 2 m 如) 辑( 加警( i v 卯删酬闽z ) 眷 ( 2 - 6 ) ( 2 7 ) ( 2 - 8 ) 于是 i x l n u l 一p 坩m 如c l ( m ，m ，q ) h 嘴( i v 妒1 2 + 妒i ) 罱咖( 2 - 9 ) 这就证明了( 2 - 5 ) 式，其中，c = ( 镌，p ，7 ，q 。p + l 接下来，我们证明( 2 - 6 ) 式 结合( 2 - 2 ) 式与( 2 7 ) 式可得，对v 妒瑶( q ) 有 上i v c u 孚和如s 一畔m 1 i v 水+ 丢上咖翻 9 带有奇异非线性项的椭圆问题的m o r s e 指数与分歧 + 等 z i v 卯如+ p 1 咖叫 = a 上乱什1 j v 妒1 2 如+ b z + 1 妒妒如 其中 a 一簪+ 等，b = 一警+ 等 在上面不等式中取q o = 矽m 得到 上i v ( u 孚) m 2 m d x o ，p p 。( q ) ，则方程( 2 - 1 ) 不存在有下界的有限m o r s e 指数正解 证明：( 反证) 假定方程( 2 1 ) 存在有下界的有限m o r s e 指数正解，则存在充分大的 r + 0 ，使得u 在r b r ，内是稳定的这将导出矛盾 我们分六步进行证明 第一步：存在风 r + ，使得对7 ( 一1 一印一瓦再可，一1 与7 2 r o ，我们有 ( i v ( u 孚) 1 2 + i z i 口u 7 一p ) d x c + d r n + 垒丝铲 ( 2 1 2 ) l ，( r o - t - 2 l x l 2 r o ，7 ( 一1 2 p 一而再可，一1 】，我们选取检验函数如下 矗c z ，2 ：罟；i ：z x l i _ 风r o + - i - 3 3 其中， 妒o ，以c 2 ( r ) ，0s 妒，以1 ；且 妒。ct，=1：引蓁1，以，=；：tli_ss+10 t2t2 i ， i ， i 1 ，i s + 显然，矗( z ) 四( r b r 。) ，0 矗( z ) 1 在引理2 1 中，取m = 1 - t - m a x p p _ y + 2 l ，2 ) ，妒= 矗可得 ( 1 v ( u 孚) 1 2 + i x l a 矿一p ) d x c i z i 警( i v 矗1 2 + i 矗i i 矗i ) 幂如 j r o + 2 彤，r = i y 8 ，有 ( h 口u 一1 ) 盘如c r 一篇2 n ( 2 1 4 ) ，b 2 r ( u ) 其中，c 是与m ，p ，n ，q 有关但与y ，5 无关的正常数 考虑函数 0 ，7 ，q ) ：= n ( p + 1 ) + ( q + 2 ) 7 + o l 一2 p = n ( p + 1 ) + 2 7 2 p + 口( 一y + 1 ) 记7 ( p ) ：= 一1 2 p 一瓦再可，通过计算，我们发现 ，7 p ) ，q ) = 0 ，当p = 仇( q ) 时；a ( p ，y ( p ) ，乜) 仇( q ) 时 从而，( p ，y ) ，0 ) p c ( o ) 时 这表明 掣掣 p c ( o ) 时 因当口( 一2 ，o 时，p c ( a ) p c ( o ) ，从而，这个不等式对于p p c ( a ) 与q ( 一2 ，0 也成 立 又 - f1 ) 2 再取0 p ：= p ( p ，n ) p 使得 p 一7 p ) ，当p c ( a ) p p c ( o ) 时 警 0 ，使得 警 州p 瞄戋 固定这样的p ，令= 警，则有 ( a u 一1 ) p d x = u - ( 下+ 1 ) 。( q u p ) p d x j b ：n ( y ) j b 2 n ( y ) c - ( 件1 ) 口 ( 乱一p ) 口d x j b 2 r ( ) 第二章无穷m o r s e 指数解 c ( l ，a u - p d x ) v u h 眢如) 化。v 否4 彤，r = i u i 8 ) 有h a r n a c k 不等式成立，记为 s u pu r + 有 一1 r 硼，则有 r n 一1 + a s n 一1 让，+ 去汁t 让= 一 u ( r ，口) 一p d 8 c p r q 呻帮+ j s n 一1 r 。v - l u 7 ( r ) 一r + ( 一1 u 7 ( r + ) 因此，存在c 0 与r 1 r 4 ，使得 由此可得 c ( r a p 鬻+ 一r + ( n p 等+ ) ，一1 u 7 ( r ) c r a p 鬻+ ，协 r 1 阶) 一u ( n ) 。糍( r 带一r 声) 于是，存在岛 0 与r 2 r 1 ，使得 1 4 u ( 7 )c 2 r p + 1 2 ，v r 忌 第二章无穷m o r s e 指数解 又因u ( r ) 与r 鬻都是【r + ，r 2 上正的连续函数，通过适当地扩大岛，上面不等式对r r + ，忌 也成立再由( 2 1 6 ) 式可得， ( 2 1 8 ) 式中的第二个不等式成立 第六步：导出矛盾因 a ( p ，y ( p ) ，a ) p c ( q ) 时；a ( p ，- 1 ，口) = ( n 一2 ) ( p + 1 ) 0 从而可选取7 = 3 o ，使得a ( p ，7 ( p ) ，0 1 ) = 0 ，即 + ! 竺1 2 丝竺二垄：o p+1 在( 2 1 2 ) 式取7 = 伽，我们得到 蚓a 扩呻d x c + d ， r o + 2 l x l r 另一方面，由( 2 - 1 8 ) 式可得 铲一p d x 凹一p 崔p + ”l ( 7 3 o - p ) 妇 ， r o + 2 l x l r j r o + 2 l x l r ，r = 四呻 s d s = 四叩l n ( r ( r o4 - 2 ) ) _ o o ，当r _ 时 ，r o + 2 此矛盾说明方程( 2 1 ) 不存在有下界的有限m o r s e 指数正解 口 从定理2 2 我们很容易得到如下推论： 推论2 3 如果方程( 2 1 ) 存在有下界的正解，那么这个正解的m o r s e 指数必是无穷 大 1 5 带有奇异非线性项的椭圆问题的m o r s e 指数与分歧 第三章正解的分歧与结构 在这一章里，我们将利用第二章的结论来研究当非线性项，分别满足条件( 日) 与 ( 局) 、( g - ) 与( q ) 时，问题( 五) 正解的结构与分歧 3 1 非线性项厂满足( f 1 ) 与( f 2 ) 时，问题( 乃) 正解的结构 在这一部分，我们研究当非线性项，满足条件( 日) 与( 岛) 时，问题( a ) 正解的结 构与分歧通过一个简单的变换”= 1 一让，我们看到 满足下面的d i r i c h l e t 问题 i a v = 入l z i q ，( 1 一u ) ， 在q 内 0 可 1 ，在q 内 ( & ) 1 秒= 0 ，在a q 上 我们先给出问题( & ) 正解的某些性质： 引理3 1 1 对于问题( 艮) ，存在0 a lz q 叭妒出= 入上a ，( 1 一坝) 妒，如c 入上q 西，如( 3 - 1 ) 由( 3 1 ) 式说明a 是有界的 下面，我们证明当a 0 充分小时，问题( & ) 有极d q e 解纵 因f ( 1 ) 0 ，0 显然是问题( 风) 的下解假定q 1cr 是与q 相似的有界光滑区域 使得qc cq 1 ，( 盯：，妒1 ) 为d i r i c h l e t 问题 0 在瓦内 记m = s u pc t ，妒= 矽1 m ，则s u p 妒= 1 对v e 0 ，存在7 - ：= 7 ( e ，j ) 0 ，使得 kk 芝8 型如s 翱e。 。 因此 f ( 1 一e 移) t e e 在瓦内 从而，对0 入孚有 一( e 参) ：口；e i z i a 够堕l z i q ，( 1 一e 够) 入i z l 口，( 1 一e 移) t 于是，e 够是问题( & ) 的上解由上下解方法可知，当0 入2 ，纵，是问题( 叉：) 的上解由上下解方法知，在0 与纵，之间存在一个正 解又因纵。是极小解，从而有纵，纵。在q 内 极小解纵关于入的单调性表明，当a 入+ 时，对v x q ，纵( z ) 一玖。( z ) 这说明 玖。几乎处处满足问题( & ) 口 定理3 1 2 假定厂满足( r ) 与( 易) ，则存在一个从( 0 ，0 ) 开始的无约束解分支f ：= ( a ，叭) ：o p 。( o ) ( 这依赖于区域q ) ，则r 具有无穷多个分歧点 注意，因p c ( o ) p o c k ) ，若p p 。( o ) ，则结论仍成立我们说一个无约束解分支，是指 沿着解分支解趋于奇异状态也就是说，存在序列 使得k _ 入0 ，m a xv a 。一 1 ( 佗_ o o ) 证明：由引理3 1 1 可知，存在从( 0 ，0 ) 点开始的极小正解的分支 令d 表示闭包包含( 0 ，0 ) 点的连通分支 ( 入，v ) ( 0 ，a + ) e ( 豆) ：一a v = a a f c l u ) ，0 0 充分大，有 ( u + c 叩) = i y + y o l q u p c 0 但是u + c 叩= o 。在a q 上，这与极大值原理矛盾因此，( 3 - 3 ) 式成立 针对y o ，我们考虑以下三种情况：( i ) 1 可o i = o ；( i i ) l y o i 0 ，但有界；( i i i ) l y o l = 。o 对于情形( i ) ，首先看到z n _ 0 ( n _ 。) 由标准的b l o w - u p 论证可知，一 w 在c l ( r ) 中( n _ o 。) ( 如有必要则选取子列) 同时，w 满足w ( o ) = 1 ，w 1 ；芒e i r 中， 且 a w = i y l a w p 在酞中( 孓5 ) 或 a w = i y + y o l q w p 在r 中 ( 孓6 ) 注意到，是方程( 3 5 ) 或( 3 - 6 ) 有下界的正解由推论2 3 可知，如果p m ( o ) ，则w 是 方程( 孓5 ) 或( 孓6 ) 的无穷m o r s e 指数解利用文献 6 e n d a n c e r 的论证，对v m 1 ， 存在矿：= n ( m ) 使得当n 矿时，的m o r s e 指数比m 大这说明解分支r 有无穷 多个分歧点 对于前两种情况，我们证明又 0 假设h 一0n _ o 。) 令= 石1 ( 2 + a ) e 驴+ 1 ) ( 2 + 剖 由( 3 - 3 ) 式知，_ 0 ( n _ o 。) 另一方面，在0 i y + y o i n 2 我们有 | | k x l a f ( 1 一) i b ( q ) 一0 ( n _ o 。) ( 3 - 1 0 ) 如果q 2 p ，对2 p e ( o ) ，影的m o r s e 指数是无穷的从而，解分支r 有无穷多个分 歧点 对于o 0 的情况，取子列a y 2 e 二1 ) 2 如一+ ( 礼_ 。o ) ，其中，“：= d i s t ( x n ，a q ) 由( 3 3 ) 式及文献i s 之( 3 1 6 ) 式类似的证明知，r n ：= 入y 2 ：1 ) 2 _ o 。( n _ o 。) 由上面的论证，我们有 生! 型薹幽_ u在跣( r ) 中( n o 。) i e f l t , 其中，u 满足u = i o i a u 一，u 1 在r 中，u ( o ) = 1 令v = i o i q 加我们看到y 是方程y = v p 在酞中的正解由文献 7 】知，若p 2 2 第三章正解的分歧与结构 p 。( 0 ) ，y 的m o r s e 指数是无穷的从而，的m o r s e 指数也是无穷的于是，当p p c ( o ) 时，解分支r 有无穷多个分歧点 口 注记1 前两种情况是否发生依赖于区域q 的形状如果区域q 是球b ，我们考虑问 题( & ) 的径向对称解分支，则第一种情况发生当p p c ( c t ) 时，径向对称解分支r 有无 穷多个转折点( 见文献 1 9 ) 当区域q 是文献 6 1 8 】中性质较好的区域时，因o t 0 ，我 们不能利用移动平面法对这些区域得到正解的对称性质如果对这样的区域，解分支r 的 所有解都具有对称性质，那么当p p c ( a ) 时，解分支r 有无穷多个分歧点如果o t = 0 ， 我们发现第一种情况发生，并且当p p c ( 0 ) 时，解分支r 有无穷多个分歧点 关于无穷多个分歧点，我们在定理3 1 2 中关于p ，o l ，n 的条件是最佳的为此，我们 考虑一些特殊的例子如果区域q 是r 中的单位球b ，f ( s ) = 8 - p0 o ) 由定理3 1 2 知，当p p c ( o r ) 时，问题( 风) 存在无约束正解的分支r 并且有无穷多个分歧点用与 文献 1 9 】引理4 1 类似的证明可知，所有分歧点都是转向点 现在，我们将得到下面问题径向对称解分支r 的完全结构 | ! u = a u 一， 在b 内 ( 3 - 1 4 ) 【u = 1 ， 在c o b _ l ： 、。 引理3 1 3 存在常数入。，使得问题( 3 - 1 4 ) 存在唯一的奇异解u + ，且在a = 入。达到 证明：假设u a 是问题( 3 1 4 ) 的解做变换p = 入1 ( 2 + 口) r ，v ( p ) = 乱a ( 7 ) ，我们看到秒满 足下述问题 + 兰二口= 矿口呻p ( 0 ，a 1 ( 2 + a ) ) ，钉( a 1 ( 2 + a ) = 1 ( 3 - 1 5 ) p 由文献 7 定理2 3 可知，如果v ( 0 ) = 0 ，则 咖) = a p 2 州+ a ，一+ 1 ) = 等卜2 + 等 因此，a 。= 2 + qi n 一2 + 常i ，唯一的奇异解u + ( ? ) = 7 等 口 定理3 1 4 假定n 2 ，p p c ( s ) ，则存在唯一的如引理3 1 3 中的a 。，使得对任意 整数k 1 ，当a 充分接近入+ 时，问题( 3 - 1 4 ) 至少存在k 个径向对称正解特别地，当 a = a 。时，问题( 3 - 1 4 ) 存在无穷多个经典解 证明：我们已经知道，解分支具有无穷多个分歧点又由文献【1 9 可知，径向对称解分 支有无穷多个转向点于是，我们需要证明的是，对任意满足k _ 入。，u n ( o ) 一0 ( n o o ) 带有奇异非线性项的椭圆问题的m o r s e 指数与分歧 的解序列 ( k ，u n ) ) 三 ( h ，让h ) ) 及任意整数k 1 ，存在n + ：= n + ( 七) ，使得当n n + 时，u n ( r ) 的图像在( o ，1 ) 区间上与u + ( 7 ) 的图