（基础数学专业论文）中立型微分方程与积分微分方程适度解的存在性.pdf

摘要 中立型微分方程与积分微分方程的理论来源于物理学、生物学及其它应用数 学学科，它伴随着其它学科的发展而得到了巨大发展 f 受到许多实际物理问题的启发，b y s z e w s k i 首先把古典的c a u c y 问题推广 到非局部问题，然后非局部问题被广泛研究 非局部问题通常可以用来描述少量气体在透明试管的扩散现象，因此非局部 问题比古典c a u c 砂问题在实际的物理问题中有着更广泛的应用 。“部中，z 型微分方程是划具有非局部条件的微分方程的进一步研究，且比 以往的微分方程理论要丰富的多，所呈现的结构也有着深刻的物理背景，因此对 具有非局部初始条件的半线性中立型微分方程的研究是具有重要意义的 具有无穷时滞的中立型泛函微分方程与积分微分方程在描述自然现象时比没 有时滞的中立型微分方程与积分微分方程更为有效，因此对具有无穷时滞的中立 型泛函微分方程与积分微分方程的研究也具有重要意义 本文是在丁f ，) 没有紧性且也没有紧性的条件f 讨论了b a n a c h 空间中具有 非局部初始条件的半线性中立型微分方程适度解的存在性和无穷时滞的中立型泛 函微分方程与积分微分方程适度解的存在性所得结果主要如下： 其中第一章考虑实b a n a c h 空涮中具有非局部初始条件的半线性中立型微分方 程适度解的存在性 本章是在比较宽松的紧型条件下，利用h a u s d o 够非紧性测度的性质、解析半 群的理论和d a r b o s a d o v s k i i 不动点定理得到了b a n a c h 空j 副中具有非局部初始条 件的半线性中立型微分方程适度解的存在性且用非紧性测度和解析半群的理论 剥y ( t ) 是紧半群，是紧映射等情况作了统一处理，改进推广了某些已知的相关结 粜 第章考虑无穷时滞的中立型泛函微分方程与相应的积分微分方程适度解的 存在性 本章是在比较宽松的紧型条件下，利用h a u s d o 彬1 非紧性测度的性质、解析半 群的理论和m i ，n c h 不动点得到了无穷时滞的中立型泛函微分方程的适度解的存在 性且用非紧性测度和解析半群的理论对r ( ，) 是紧半群，是紧映射等情况作了统 一。处理。改进推广了某些已知的相关结果 然后我们利用h a u s d o r f f 非紧性测度的性质、解析半群的理论和m o n c h 不动 点得到了相应的积分微分方程适度解的存在性 关键词：r 线性中立璎微分方程：分数幂算子：适度解；h a u s d o r f f 非紧性测度；1 局 i | j 条什：泛函微分方挫；积分微分方鞋 a b s t r a c t t h et h e o r yo fn e u t r a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n sa n di n t e g r o d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n si s a r i s i n gi nt h ep h y s i c a ls c i e n c e 、b i o l o g ya n do t h e ra p p l i e ds u b j e c t s a n dw i t ht h e d e v e l o p m e n to f t h eo t h e rs u b j e c t si th a sb e e nat r e m e n d o u sd e v e l o p m e n t t h en o n l o c a lc o n d i t i o n , w h i c hi sa g e n e r a l i z a t i o no f z h ec l a s s i c a li n i t i a lc o n d i t i o n , w a sm o t i v a t e db yp h y s c i a lp r o b l e m s ，t h ep i o n e e r i n gw o r ko nn o n l o c a lc o n d i t i o n si sd u e t o b y s z e w s k ia n di th a sb e e ns t u d i e de x t e n s i v e l y n o n l o c a lp r o b l e m sh a v eb e t t e re f f e c t si na p p l i c a t i o n st h a nt h et r a n d i t i o n a l c a u c h y p r o b l e m sw i t hi n i t i a lc o n d i t i o n t h en o n l o e a lc o n d i t i o ni su s e dt oe s e r i b et h ed i f f u s i o n p h e n o m e n o no fas m a l la m o u n to fg a si nat r a n s p a r e n tt u b e s om o r ei n f o r m a t i o ni s a v i a b l e a st h ef u r t h e rr e s e a r c ho fd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，n e u t r a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n sw i t h n o n l o c a lc o n d i t i o n sh a v ed e e pp h y s i c a lb a c k 乒o u n db e c a u s eo fa l lt h es t u c t l l r eo fi t s e m e r g e n c e s ot h er e s e a r c ho nn e u t r a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n sw i mn o n l o c a lc o n d i t i o n si s v e r ym e a n i n g f u l e q u a t i o n sw i t hd e l a ya r eo f t e nm o r er e a l i s t i ct od e s c r i b en a t u r a lp h e n o m e n at h a n t h o s ew i t h o u td e l a y t h e i s mi ti ss i g n i f i c a n c et os t u d yt h ee x i s t e n c eo fac l a s so f p a r t i a ln e u t r a lf u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n sa n di n t e g r o d i f f e r e n t i a le q u a t i o n sw i t h u n b o u n d e dd e l a y t h ep u r p o s eo ft h i sp a p e ri st op r o v et h ee x i s t e n c eo fm i l ds o l u t i o n sf o rac l a s so f s e m i l i n e a rn e u t r a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n sw i t hn o n l o c a lc o n d i t i o n si nab a n a c hs p a c e a n dt h ee x i s t e n c eo fm i l ds o l u t i o n sf o rac l a s so fp a r t i a ln e u t r a lf u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a l e q u a t i o n sa n di n t e g r o d i f f e r e n t i a le q u a t i o n sw i t hu n b o u n d e dd e l a y n e i t h e rt h es e m i g r o u p 7 ( f ) ，2o n o rt h e f u n c t i o nfi sn e e d e dt ob ec o m p a c ti no u rr e s u l t t h er e s u l t s o b t a i n e da r ep r e s e n t e da sf o l l o w s ： i nt h ef i r s tc h a p t e rw eg i v et h ee x i s t e n c eo f m i l ds o l u t i o n sf o rac l a s so f s e m i l i n e a r n e u t r a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n sw i t hn o n l o c a lc o n d i t i o n si nab a n a c h s p a c e w ee s t a b l i s ht h ee x i s t e n c eo f m i l ds o l u t i o n sb yu s i n gt h ec o n d i t i o n si nr e s p e c to f t h eh a u s d o r f f 。sm e a s l l r eo fn o n c o m p a c t u e s sa n dt h et h e o r yo fd a r b o s a d o v s k i i a n d t h ec o m p a c t n e s so ft ( t ) a n dfa r et h es p e c i a lc a s eo fo u rc o n d i t i o n s h e n c ew e g e n e r a l i z ea n di m p r o v es o m er e l a t e dr e s u l t s i nt h es e c o n dc h a p t e r ，w ep r o v et h ee x i s t e n c eo f m i l ds o l u t i o n sf o rap a r t i a ln e u r a l f u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o nw i t hu n b o u n d e dd e l a y w ee s t a b l i s ht h ee x i s t e n c eo fm i l ds o l u t i o n sb yu s i n gt h ec o n d i t i o n si nr e s p e c to f t h e h a u s d o r f f sm e a s u r eo f n o n c o m p a c t n e n e s sa n dt h et h e o r yo fm 6 n c h h e n c ew e g e n e r a l i z ea n di m p r o v es o m er e l a t e dr e s u l t s t h e nw ep r o v et h ee x i s t e n c eo fm i l ds o l u t i o n sf o rap a r t i a ln e u t r a lf u n c t i o n a l i n t e g r o d i f f e r e n t i a le q u a t i o nw i t hu n b o u n d e dd e l a yb yu s i n gt h ec o n d i t i o n si nr e s p e c to f t h eh a u s d o r f f sm e a s u r eo fn o n c o m p a c t n e n e s sa n dt h et h e o r yo fm 6 n c h a n dt h e c o m p a c t n e s so ft ( t ) a n d 厂a t et h es p e c i a lc a s eo fo u rc o n d i t i o n s h e n c ew e g e n e r a l i z ea n di m p r o v es o m er e l a t e dr e s u l t s k e y w o r d s ：s e m i l i n e 盯n e u t r a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ；仃a c t i o n a lp o w 盯o fo p e r a t o 格：m l d s o l u t i o n s ；h a u s d o r f f jm e a s u r eo f n o n c o m p a c t n e s s ：n o n l o c a lc o n d i t i o n s ：f u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s ；i n t e g r o d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s 塞歪圈主堑! 鬯毯筮直崔堑褪盆毯筮左崔殴瑶焦焦! 第一章一阶半线性中立型微分方程适度解的存在性 1 引言 本章主要讨论了b a n a c h 空间x 中具有非局部初始条件的半线性中立型微分 方程： f ，磊d y ( r ) + g ( r ，j y ( f ) ) = a y ( f ) + 巾删) ，f 【o ，6 】，( 1 - 1 ) l y ( o ) = h ( y ) + y o ( 1 2 ) 的适度解的存在性其中a 为线性算子半群 r ( o ：x - - x ；t _ o 的无穷小生成 元，f ，g ： o , b x - - - x ， ：c ( f o ，6 】；z ) 一j 为适当的函数，6 o 为常数 非局部问题是古典c a u c h y 问题的推广，它的研究起源于2 0 世纪9 0 年代 由 于非局部问题较经典的c a u c h y 问题在实际的物理问题中有更好的应用，近年来得 到广泛的关注和研究( 详见文【1 1 一【5 】，【1 0 卜【1 1 】) 非局部中立型微分方程是对具 有非局部条件的微分方程的进一步研究( 详见文 8 卜【9 】) e r h e r n 6 n d e z 等在【6 【7 】中利用分数幂算子理论讨论了半线性中立型初值问 题 ，扣( f ) + 咖( 讣砂( f ) + 巾) ，f 【0 6 】， ( 1 3 ) l y ( o ) = x ( 1 t 4 ) 的适度解的存在性 文【6 】得到了当r ( r ) 是紧半群，连续且在有界集上有界，( 一爿) 4g ；黾l i p s c h t i z 连续的以及，和( 一4 ) 4 9 都是工枷拍比连续时，方程( 1 3 ) 一( 1 4 ) 的适度解的存在 性；文【7 】改进了【6 】中的结果，得到了当r ( s ) ( 一4 ) 4 9 ( t ，耳( x ) ) 及丁( f ) ，( f ，耳( x ) ) 相对紧时方程( 1 3 ) - ( 1 4 ) 的适度解的存在性 2 0 0 4 年，d a u e r 和m a h m u d o v 在【9 】中借助奇异积分不等式和 扬州人学颂1 ：学位论文 2 k r a s n o s e l s k i ，s c h e f e ，不动点定理，得到了当连续，h 全连续，r ( f ) 是紧解析半 群等条件下，具有非局部条件的中立型微分方程( 1 1 ) - ( i 2 ) 适度解的存在性 最近，f a n 1 0 】和舭【1 1 】利用非紧性测度理论，分别讨论了具有非局部条 件的抽象c a u c h y 问题 r i f ) = 彳“p ) + 厂( f ，甜( f ) ) ，( o ，6 】，( 1 - 5 ) l “( o ) = g ( “) x ( 1 - 6 ) 在半群t ( t ) 失去紧性时的适度解的存在性 本文借助于【1 0 】，【1 1 中的方法，利用h a u s d o r f f 非紧性测度理论，讨论了一 阶半线性中立型方程( 1 0 - ( 1 2 ) 的适度解的存在性我们利用非紧性测度理论可 以对丁( ，) 是紧半群，是紧映射等情况统一处理，并推广和改进了文【6 】，【7 】，f 9 】 等中帽应的结果 2 预备知识 本节中我们给出一些基本的定义和所需的引理 在本章中，我们记( x ，) 为一实b a n a c h 空间，c ( t o ，6 】；x ) 表示定义在【o ，6 3 j ：x 值向量连续函数空i 日j ，其范数为m = s u p 硼j ，( f ) 忖f o ，6 】 可测函数y ：【o ，b - + x 称为历咖可积，当且仅当，哼0 y ( t ) l l 是三p 6 p 蹭卯可积 的记( o 6 ；z ) = j ，：【o ，明_ f 难肋砌盯可积的 ，其中范数的定义为4 列l = 胁( f ) 忱 在本文中我们假定a ：d ( a ) x _ x 是一致有界线性算子解析半群r ( r ) 的无 穷小生成元，o p ( 爿) ，( p ( 彳) 是4 的预解集) 在此条件下，对任意的o o r 1 ， 町定义分数幂算子( 一4 ) “，它是定义在d ( ( - 4 ) “) 上的闭线性算予并且d ( ( 一4 ) 4 ) = x ，表达式。= i l ( 一爿) “x x d ( ( 一4 ) 4 ) 定义了d ( ( 一4 ) 4 ) 上一种范数， i e & = 苤歪国主童型鳢筮左猩皇抠盆邀筮友猩曲在焦挂3 ( d ( ( 一彳) 。) ，i i z i i j 弓l t l 2 1 ( 【1 2 】) 若以上条件成立，则 ( 1 ) 对任何0 口1 ，以是- - b a n a c h 空间 ( 2 ) 若o o ；b 在，中被有限个半径不大于占的小球所覆盖 称肼( b ) 为b 在 y 中的h a u s d o r f f 非紧性测度 引理2 2 ( 1 3 )设y ，z 是实b a n a c h 空间，b ，c 是y 中的有界集，a 是实 数，则有： ( 1 ) 办( 口) = o 营b 是相对紧集； ( 2 ) z r ( b ) = x r ( b ) = z r ( c o n v b ) ，其中否和c d n 诏分别表示曰的闭包和凸包 ( 3 ) b cjz y ( b ) 所( c ) 。 ( 4 ) z r ( 口+ c ) 新( 口) + 册( c ) ，其中b + c = z = 工+ y ：z b ，y e c ； ( 5 ) z y ( b w c ) m a x y ( b ) ，五0 ( c ) ； ( 6 ) x r ( 2 b ) 纠五f 新( 彤，其中五占= 石= 五z i z b ； ( 7 ) 若映射口：d ( 口) l ，一zl i p s c h t i zj 醭，且其工枷拍r f z 常数为k ，则对任 意有界集b d ( 口) ，有z z ( 口b ) k z r ( b ) ； ( 8 ) 以( b ) = i n f d r ( b ，c ) ；c y 相对紧) ，其中d r ( b ，c ) 表示b 与c 在y 中的 h a u s d o r f f 距离； ( 9 ) 若 ：是y 中非空有界闭集的降列且。1 i m 。所( ) 2 0 ，则n 是l ，中的非 窄紧集 扬州丈学顾十学位论文4 定义2 2 设】，是一实b a n a c h 空l 司，q ：y 寸y 连续有界，若存在正常 数i l ，使得对任意有界集c ，都满足所( q ( c ) ) 后新( c ) ，则称q 是上的 严格集j t 缩映象 定义2 3 如果函数y c ( 【o ，6 】；z ) 满足y ( o ) = y o + ( y ) 且对任意的o 0 使得护( f ) 0s m ( 以) ：存e o f l o 使得对 任意的y c ( o ，6 】；z ) 有肛( y ) 4 ( ，) ：( i ) 满足c c 删腑白面砂条件，即对任意的y x ，厂( ，y ) 可测，对几乎 所有的r 【o , b 】，i ( t ，) 连续； ( f f ) 存在函数口f ( o ，b ；r + ) 和连续不减函数q ：寸使得 岍f ，y ) i o ( t ) q ( 1 l y l l ) ，y ez ，a e te o ，6 】； ( i i i ) a ( o , b ；r + ) 使得对任意的有界集b c x 都有 z ( t ( s ) f ( t ，b ) ) s 口( f ) z ( b ) a e t ，s 【o ，b 】； ( i i i ) 7 存在函数口_ ( o ，b ；r + ) 使得对任意的有界集b c x 都有 x ( f ( t ，b ) ) s 口( f ) z ( b ) ，a e ， o ，6 】 定理3 i 设条件乩，以，巩，h f ( f ) ( f f ) ( f f f ) 满足若下列条件成立： ( 1 ) 厶+ r 口( s 灿 0 ，使得隅毋 否则，对任意的 0 ，存在，晟，【o ，6 】使得0 砂t ) 峥k 从而有 k 0 ，使得巩且 第二步e 是l i p s c h t i z 连续且其三枷c 矗比常数为毛事实上对任意的 工，y 巨，有 y ) ( r ) 一( 曩x w ) i r ( f ) ( g ( o ，y ( o ) ) 一g ( o ，x ( o ) ) ) 4 + i i r ( f ) ( a ( y ) 一 ( x ) ) 0 + 慨( f ) ) 一g ( ( f ) ) | | + m 丁( ) ( g ( 圳( s ) ) 一g ( 蹦( 酬b 扣帅叩o + 地+ 学脚心卜4 2 l 。别j ，( r ) 一圳l 由此可得只l i p s c h t i z 连续且其朋晒如比常数为厶 第三步最在最上连续 设在c “o ，6 】；x ) 中儿_ y ， n ) cb ，9 , f f ：f f i e 虬一e j ，l _ s 誓i l ( e n ) ( f ) 一( f 2 y ) ( t ) i l ，日u l 扬州人学顾l 学位论文 m 刖厂( s ，( s ) ) 一( 州( s ) ) 怯 由假设条件h ，( i i ) 币i l e b e s g u e 控制收敛定理可得， i e 虬一) ，i 寸0 ，( 撑- - o o ) ， 由此可得e 在反上连续 第四步五色在【o ，6 】上是等度连续的 考虑到由a 生成的解析半群丁( f ) 是等度连续的，再由引理2 6 ，知e 反在 【o ，6 】上等度连续 第五步f 是严格集压缩映象 对v 矿b ，有五( f v ) z c ( f i v ) + z , ( e 矿) 由爿可分和引理2 4 ，2 5 我们知 z ( f , v ( o ) sf z ( r ( ，一s ) 厂( s ，矿( s ) ) 净 f 口( ，) z ( 矿( s ) 降 s 疋( 矿) r 口。净，v f s 【o ，6 】 由引理2 4 知厄( e y ) 厄( 矿) r 口o ) a s ， 所以z ( ，矿) ( k + r 口( s ) 疋( 矿) ， 由( 1 7 ) 知f 是严格集压缩映象 综上，我们已经证明了f ：且寸段是连续的严格集压缩映象由引理2 3 ， f 在色上至少有一个不动点y ，它就是方程( 1 1 ) - ( 1 2 ) 的适度解定理证毕 注3 1 若丁( f ) 是紧半群或厂紧( 【6 】，【9 】) ，贝l j h l ( i i i ) 显然成立 注3 2 若r ( f ) 和厂满足条件( 口) ：对任意， o 和占 o 存在紧集，c z 使 筮麦国虫童型儆盆左程皇褪盆鳢盆友程艘叠在世! 得对任意( ，工) 【o ，6 】j 有丁( f ) ( x ) c v 。，则由7 1 ( ，) = 丁p ) 丁( ，一) ，t e ( o , b 】， s e ( o ，f ) 我们易证条件( 口) 是h i ( f j f ) 的特例 下面我们用条件日，( f f f y 代替定理3 1 中的条件，( i i i ) ，易证如下定理成立： 定理3 2 设条件也，以，巩，h j ( i ) ( i i ) ( i i i ) 满足若下列条件成立： ( 1 ) 厶+ m r a ( s i ， 其中厶= l ( m + 1 ) m ) 4 卜慨+ 华； ( 2 ) 棚+ 肘) 卜钏+ 堑十肘f 占。) 凼妊乎半 0 ，存在) ，恳，“o ，6 】使得8 砂( r ) 8 k 从而有 t 0 ，使得啦尻 然后类似于定理3 1 我们易证方程( 1 i ) 一f 1 2 1 至少存在一个适度解定理证毕 一 筮爱国主童型徽盆左程当摆盆煎盆左捏的在垄性! l 第二章中立型泛函微分方程与积分微分方程 适度解的存在性 1 引言 本章主要讨论了b a n a c h 空间e 中的中立型微分方程 丢挑) + g ( ) = 4 y ( f ) + ，( f ，m ) ，r - ，= 【o ，6 】，( 2 - 1 ) 蜘2 ( 2 2 ) 与相应的积分微分方程 丢 加) + g ( f ，以) = 砂( f ) + l 七化s 矿( s ，y , ) d s , t e d = i o ，6 】， ( 2 3 ) 帕= 矿 ( 2 - 4 ) 适度解的存在性其中m ：( - - o o ，o 卜+ e ，咒( p ) = ) ，o + 口) ，矽o ，属于抽象相空间 f ，g ：j 一e ，k ：【o ，h i 0 ，6 】( o ，佃) ，a 生成解析半群 一阶中立型泛函微分方程适度解的存在性问题在许多文献里被广泛研究 ( 1 q 一 2 0 1 ) e d u a r d oh e r n a n d e z 和h e r n , 4 n r ，h e n ，田“盯在文【1 8 】中利用分数幂算 子理论得到了当r ( s ) ，( f ，耳( ) ) 相对紧时方程( 2 1 ) - ( 2 2 ) 的适度解的存在性 本章借助于 1 0 】，f l l 】中的方法，利用h a u s d o r f f 非紧性测度理论，讨论了中 立型微分方程( 2 1 ) 一( 2 2 ) 与相应的积分微分方程( 2 3 ) 一( 2 4 ) 的适度解的存在性 我们利用非紧性测度理论可以对丁( f ) 是紧半群，是紧映射等情况统一处理，并推 广和改进了文【1 8 】中相应的结果 2 预备知识 本节中我们给出一些基本的定义和所需的引理 假设( e ，i h i ) ：是- - b a n a c h 空自j ，是从( m ，0 】到e 的一些函数构成的线性空 日j ，赋以半模l h l ，它满足如下公理性假设( 参见文献 2 1 】【2 2 】) ： 扬州人学硕i ：学位论文 1 2 ( 4 ) 若y ：( ，t r + a ) 斗e ，口 o 有定义，儿a z t y l ( ，+ 。) ：【盯，仃+ 。) 一e 是连 续的，刚对v f 【盯，口+ 口) ， ( i ) m ； ( 盯) m r ) 忙日虬； ( 脚) 4 只峙k ( r 一盯) s u p 矧y ( s ) 1 1 ：盯ss f + w ( r 一盯) 0 ) 。0 ， 其中j v o 是一个常数- 世： o ，。o ) 。 o ，o o ) 连续，m ： o ，o 。) - - , o ，o o ) 局部有界， 打，k ( ) ，m ( ) 均独立于y ( ) ( 呜) 对( 4 ) 中的函数少( ) ，映射，【正盯+ 口) - - - y , 连续 ( a 3 ) 空1 b j 是完备的 0 1 1 2 。l 考虑线性空自 c ，它定义如f c ，= 妒c ( ( c o ，o 】，e ) ：。1 ，i m 。e 妒妒( 口) 存在 ，y r 令 枞j - = l l o l l ，= s u p p 愀移：棚 1e e 得l l r ( , ) l l - m ，t e d ，且对任意0 o 满足 u ( - a w 刊f 等，o h ，：( i ) 厂：，寸e 满足下列。阳珐6 d 面秽条件， 即对几乎所有的r ，f ( t ，) 连续且对任意y 1 3 ，厂( ，妒) 可测； ( i i ) m ，上( o ，b ；r + ) 和连续非减函数q ( ) ：【o ，。o ) 一【o ，o o ) 使得i i 厂( ，妙) 0 肌，( f ) q ( 桫峙) ，t 以； ( f f f ) 对任一有界集d c ，存在函数矗一( 0 , b ；r + ) 使得 z ( r ( j ) 厂( f ，_ d ) ) ( r ) s u p ，口后 ，其中d ( 口) = 妒( 口) ：妒 ； 一o z ( o ( o ) ) t , s e d d ( 埘) 对任一有界集d ，存在函数办i 2 ( o ，b ；r + ) 使得 z ( 厂( f ，d ) ) h ( t ) s u pz ( d ( 口) ) ，口矗f ，其中_ d ( 口) = 妒( 目) ：伊d o 口如 以：存在常数o 1 ，c l ，c 2 ，t 使得g 是易函数，( 一4 ) 9 9 ( t ，伊) 连续 扬州人学硕 ，学位论文 1 4 卜爿) 4 9 ( 卸) 卜c 1 。+ c 2 ，( 卸) j ， 卜彳) 4g ( w ) 一( 一一) 4g ( f ，矿肛眵一北，v 缈，妒 定理3 1 假设条件也，彤【i ) ( i i ) ( i i i ) ，h s 满足若f 歹u 条件成立： ( f ) 盯也+ 孚洲觚骧蝉半m a x 盼1 ( 2 5 ) ( f f ) 厶十r 厅( s 肛 o 令磁= z 霹：砒g ) ， 则线s 孱一致有界，并且有 肛+ 方儿乩+ ， 置( f ) s u p l l z 例：o s 0 ，存在z 9 绥，f 9 o ，6 】使得l l ( 见4 ) ( f 9 ) 0 鼋并且 ( 尼。) ( 一) = r ( ，) g ( o ，) 一g ( 以巧+ 一f 彳r ( 卜s ) g ( s ，衫+ - j 净 + f 9 r ( 卜s 矿( 以衫+ 孑，d s 由假设以，h t ，皿以及( 2 7 ) ，我们有 g 陋9 胪) 0 9 ) 占( o ) 件( 以+ 纠+ 胙，卜，) 占( + 无肛 + 仆( 卜s ) 小，彤+ 列p o ，使得，线磊 第二步只在缓上是l i p s c h t i z 连续，且其工咖拍f 拓常数为厶，其中 帅卅叩h 哗 学晰 事实上，对任意的毛，9 2 缓， i f 鼻刁一e 屯 o = s u p i 只而( ，) 一曩乇( ，) 0 ：， s 叩 f | g ( 。+ 方) 一g ( ，+ 砩，叫 + s 叩 f | f ( 一爿) 丁( ) m 汽+ ”g ( 舭：，+ 无) 忙：t 叫 蜘p l | ( 一4 ) 邓m 矿毛叫 + 飘单 球卅坤丁。一s ) ( 卅尸g ( s ，气+ 砖) 一( 4 4 9 ( 马气+ 五) 】p ：r 0 s u p 冰一爿) 邓8 k k ( r ) s 印刁( s ) 一z 2 ( s ) l i ：o s f ) ：f ，) + s 印 f 静卜乩缸叫 - i i ( 一爿) 印l z ，一z 2 i i 。r 警彪( ，) 扬州大学硕士学位论文1 8 + r 静学删卜为i i 。出 ”尸h 学m a x 砷) 1 1 = 嘲i i = m z 一z ：扎 即只是枷c 矗f f z 连续，且其l i p s c h t i z 常数为厶 由f l e 毛一e z ：0 0 = s u p “e 毛( r ) e z 2 ( f ) 8 ：f ，) = i e 毛一e 乃i ，其中h 表示 c ( j ，e 1 中的s u p 范数 因此巧在磊l 上也是枷出连续，g ；g l i p s c 眈常数为厶 第三步e 在绣上连续 设 z ” 。磊，且在磊中z “斗z 0 ( n 专m ) ，从而有 i i z ：- ，：1 1 ，k ( ，) s u p b ”p - - z 0 ( s ) 1 1 ：o s s f ) t 学k ( r ) 0 z - - z o i i 。_ o ，0 专。) 于是由h ，( i ) ，有 厂( ，+ 五) ，( ，彳+ 五) ，( 力专o 。) ，a e r j ， 又因为 ，衫+ 石) 一，( f ，才+ 训2 竹o ) f 2 ( q ) ， 故出此6 口路w 控制收敛定理有 悖”一五， i o = s u p l l f , z ( r ) 一8 z ( r ) ：r ， = 酬取) r + 万) 一小一0 + 夏) h m 圳，( 矗刃十万) 一，( s 巧o + 万) 忙斗o ，( 九哼o 。) ， 从而e 连续 苤盈坦里些型毽垃西提蔓型筮缝岔西摧殴壁延筵理 第四步五绥在【o ，6 】上等度连续 对每一z 磊，设o o 存在紧集玑，c e 使 得对任意( f ，矿) 【o 6 x 有7 1 ( p ) 厂( f ，妒) c 以，则由r ( ，) = 丁( 占) 丁p 一占) ，t e ( o , b 】， 占( o ，) ，我们易证条件( 。) 是彤( i i i ) 的特例， 下面我们用条件日，( i i i ) 7 代替定理3 1 中的条件彬( i i i ) ，易证如下定理成立： 定理3 2 设条件吼，h ( i ) ( i i ) ( i i i ) ，讯满足若下列条件成立： ( f ) ”广8c - + 孚”m 觚心i m 。i n r 掣户m a 。x 晰，； 塞麦国虫童型邀佥左猩当毯盆筮筮直程的叠垄挂 2 j ( 厶+ m r ( s 陋 0 ，存在使得矿锈，【o ，6 】使得i i ( 尼4 ) ( ，) l i g 并且 ( 尼v ) ( ) = r ( ，) g ( o 卅一g ( 一军+ 引一f a t ( t q - s ) g ( s ，衫+ 。净 + p ( 卜s ) r t ( 叩矿一霉+ 孑，d r d s 由假设h a ，以，h ，u a ( 2 7 ) ，我们有 g o ，使得f 锈线 第五步，设可数集d c 磊满足西= 历( o ) u f ( d ) ) 下证d 相对紧 出d 是可数集，我们知d ，也是可数集不失一般性我们假设d 【，= 乙 二， 由第一章引理2 2 ，2 4 ，2 5 ，和所我们有 疋( 心 ：) s 以( 巧乙 二) + 疋( e 磊) 二) s 厶嘶- ) + 粤z ( 陋叫r ) ，( + - f 州： 厶疋( 乙- ) + m 警邸沁r ) ，( ，刮卜 扬州人学硕上学位论文 “ s 厶疋( ：) + m 警fr 忙( 兄r ) k “，( l + 五) 二p r 幽 厶z ( 乙 二) + s y 2 f f h ( r ) 苎基z ( ( + 石) ( 口) ：卜凼 s 厶z ( z n l r i “1 1 ) + 胁翌fr ( r ) 裟。z ( ( 乙( f + 口) ) 卜凼 s 厶疋( 磊) + 脓警f r ( f 。s u 。pz ( ( 气( r + 护) ) p 础 厶疋( 乙 三) + 船：箩fr 向p 。s u ；p ，z ( f k g ) ) ：卜西 s 厶五( 磊焉) + 脚rf p ) s u pz ( 眦f ) ) ：d r d a 厶z ( 乙) 三) + 慨( 磊) ：) rr p 矽r d s 上。以( 气 三) + 朋硒厄( 乙 柙1 ) r p ) 出 ( 厶+ 脓6 e 向( s ) 出) 厄(