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西南大学硕士学位论文中文摘要 能表示为真子群并集的有限群 基础数学专业硕士研究生宋科研 指导教师陈贵云教授曹洪平副教授 摘要 早在1 9 5 9 年，h a b e r 和r o s e n f i e l d 在文【1 】1 中就证明了个群不能表示为两个 真子群的并集并且一个群能表为三个真子群的并集当且仅当克莱因四元群是其同态 象顺着这个思路，c o h n 于1 9 9 4 在文【2 】中证明了个有限群能表示为4 、5 、6 个 真子群的并集，并且给出了充要条件此外，c o h n 还猜想不存在能表示为7 个真子 群并集的有限群到1 9 9 7 年，t o m k i n s o n 在文【3 】证明了的确不存在能表示为7 个 真子群并集的有限群，并且t o m k i n s o n 还证明了如果个有限可解群能表示为n 个 真子群的并集，那么n 一1 是一个素数的方幂，并且t o m k i n s o n 还猜想不存在能表 示为1 1 、1 3 、1 5 个真子群并集的有限群，于是，研究一个能表示为7 1 个真子群的并 集但n 一1 不是素数的方幂的非可解有限群是一个有趣的问题2 0 0 6 年，张继平在 文【4 】中找到了一个能表示为1 5 个真子群并集的非可解有限群，并且证明了不存在 能表示为1 1 、1 3 个真子群并集的有限群 在本文，作者主要是给出个群能表为3 、4 个真子群并集的有限群更为丰富的 结果，给出独立的证明并给出了同态核，此外，作者还对能表示为有限个真正规子群 并集的有限群作出精细刻画，作者还就能表示为两个真子群共轭类并集的群作出了 一些研究并提出一些公开问题 第一部分主要刻画能表示为三个真子群并集的群，主要得到 定理3 1 一个群g 能表示为三个真子群g 1 ，g 2 ，g 3 的并当且仅当群g g 1n g 2ng 3 掣甄 第二部分主要刻画能表示为四个真子群并集的有限群，主要得到 定理4 3 个有限群g 能表为四个真子群g l ，g 2 ，g 3 ，g 4 的并当且仅当g c xn g 2ng sng 4 皇昆或z 3 历 西南大学硬士学位论文中文摘要 第三部分主要刻画能表示为n 个真正规子群并集的群，主要得到 定理5 5 如果个群g ( 可以无限) 能表示为p + 1 个真正规子群g l ，g 2 ，和 1 的并，那么 g g lng 2n ng 升l 譬g g 1ng 2 謦z p 名 最后一部分主要就相关问题给出一些进一步研究的方向 关键词：子群正规子群极大子群子群的并集 n 西南大学硬士学位论文英文摘要 f i n i t eg r o u p st h a tc a nb et h eu n i o no fs u b g r o u p s m a j o r ：p u r em a t h e m a t i c s t u t o r ：p r o f g u i y u nc h e np r o f h o n g p i n gc a o a u t h o r ：k e y a ns o n g a b s t r a c t i n1 9 4 9 ，h a r b e ra n dr o s e n f i d dp r o v e dt h a tt h e r ea r en of i n i t eg r o u pt h a tc a n b et h eu n i o no f2s u b g r o u p sa n dag r o u pgc a l lb eau n i o no f3s u b g r o u p si fa n do n l y i ft h ek l e i n - 4g r o u pi sah o m o m o r p h i ci m a g eo fg 【l 】a l o n gt h i sl i n ec o h np r o v e si n 【2 】t h a taf i n i t eg r o u pc 觚b c au n i o no f4 5o r6s u b g r o u p s ，f u r t h e r m o r e ，c o h na l s o p o i n t e do u tt h a tt h e r em a yb en of i n i t eg r o u pt h a tc a nb et h eu n i o no f7s u b g r o u p s i n 1 9 9 7 ，t o m k i n s o np r o v e di n | 3 】t h a tt h e r ee x i s t sn of i n i t eg r o u pt h a tc a nb eau n i o n o f7s u b g r o u p sa n di faf i n i t es o l v a b l eg r o u pc a nb eau n i o no fns u b g r o u p st h e no n e h a sn = 1 + 矿w h e r e pi sp r i m en u m b e r ，n a t u r a l l yi ti sa ni n t e r e s t i n gt o p i ct os t u d y o ng r o u p st h a tc a nb et h eu n i o no fn s u b g r o u p sb u t 他一1i sn o tap r i m ep o w e ri sa n i n t e r e s t i n gt o p i c i n2 0 0 6 ，j p z h a n gi n 【4 】s h o w e d 趾e x a m p l eo fg r o u pt h a tc a nb e t h eu n i o no f1 5s u b g r o u p sa n dp r o v e dt h a tt h e r ee x i s t sn of i n i t eg r o u po fau n i o no f 1 1o r1 3s u b g r o u p s i nt h i sp a p e r ，w es t u d yt h eg r o u p st h a tc a nb eu n i o n so ft h r e e ，o rf o u rs u b g r o u p s i n d e p e n d e n t l ya n do b t a i nd e t a i l e ds t r u c t u r eo fh o m o m o r p h i ck e r n e l s ，a p a r tf r o mt h i s ， s t u d yt h eg r o u pt h a tc a nb eau n i o no fnp r o p e rn o r m a ls u b g r o u p sa n do b t a i nt h e s t r u c t u r eo fh o m o m o r p h i ek e r n e lt o o k e yw o r d s ：s u b g r o u pn o r m a ls u b g r o u pm a x i m a ls u b g r o u p t h e u n i o no fs u b g r o u p s 独创性声明 本人提交的学位论文是在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。论文中引用他人已经发表或出版过的研究成果，文中已加 了特别标注。对本研究及学位论文撰写曾做出贡献的老师、朋友、同 仁在文中作了明确说明并表示衷心感谢。 学位论文作者：签字日期：年月 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解西南大学有关保留、使用学位论文的规 定，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允 许论文被查阅和借阅。本人授权西南大学研究生院( 筹) 可以将学位 论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩 印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书，本论文：口不保密， 口保密期限至年月止) 学位论文作者签名：导师签名： 签字日期：年月 日签字日期：年月日 西南大学硕士学位论文 引言 1引言 在有限群论研究中，子群对母群的影响极大，一个母群如果不是循环群般来说 就能表示为其真子群的并集，人们自然会问，当个给定的有限群能表为其真子群并 集的时候，其真子群个数能为多少个呢? 事实上，早在1 9 5 9 年，h a b e r 和r o s e n f i e l d 在文【1 】1 中就证明了一个群不能表示为两个真子群的并集并且一个群能表为三个真 子群的并集当且仅当克莱因四元群是其同态象顺着这个思路，c o h n 于1 9 9 4 在文 【2 】中证明了个有限群能表示为4 、5 、6 个真子群的并集，并且给出了充要条件，此 外，c o h n 还猜想不存在能表示为7 个真子群并集的有限群到1 9 9 7 年，t o m k i n s o n 在文 3 | 证明了的确不存在能表示为7 个真子群并集的有限群，并且t o m k i n s o n 还证 明了如果一个有限可解群能表示为n 个真子群的并集，那么n 一1 是一个素数的方 幂，并且t o m k i n s o n 还猜想不存在能表示为1 1 ，1 3 、1 5 个真子群并集的有限群，于 是，研究个能表示为仃个真子群的并集但n 一1 不是素数的方幂的非可解有限群 是个有趣的问题2 0 0 6 年，张继平在文【4 】中找到了个能表示为1 5 个真子群并 集的非可解有限群，并且证明了不存在能表示为1 l 、1 3 个真子群并集的有限群此 外，还有许多从其他角度研究能表示为真子群并集的有限群的工作，并且相似的结 果可以应用在能表示为真理想并集的环上，见文 5 】 f 6 】和【7 】 在本文，作者主要是给出一个群能表为3 、4 个真子群并集的有限群更为丰富的 结果，给出独立的证明并给出了同态核，此外，作者还对能表示为有限个真正规子群 并集的有限群作出精细刻画，作者还就能表示为两个真子群共轭类并集的群作出了 一些研究并提出一些公开问题 作者打算从四个方面来进行阐述，本文中用到的定义和符号都是标准的 特别说明，本文中说一个群能表示为n 个真子群的并集总意味着它不能表示为 个数比n 小的真子群的并集 西南大学硬士学位论文 预备知识 2预备知识 引理1 个群g 能表为n 个真子群g 1 ，g 2 ，g 。的并，则 g l n g 2 0 o g n = g 2 a g 3 n n 瓯= g 1 n g 3 n o g n = = g i n g 2 0 o g 竹一1 证明以第个等式为例加以证明，取g l g 1 一( g 2ug 3u ug n ) ，因为对 任意的。g 2ng 3o ng ，g l z g l ，所以z g 1 ，因此 g 1ng 2n ng n = g 2ng 3n n 瓯 同理可证其他等式成立 引理2 磊磊能表为p + 1 个真正规子群的并 证明因为磊磊的真正规子群只有p + 1 个。并且它们中任何个都不包含 在另外p 个的并中，所以磊z p 能表为p + 1 个真正规子群的并 引理3 如果群g 的子群a 满足对某个z g 有g = a a 霉，则a = g 证明设z 一1 = 眈，其中口1 ，o 2 a ，则z = 口f 1 町1 a ，从而g = a 2 西南大学硬士学位论文能表示为真子群并集的有限群 3能表示为三个真子群并集的群 我们知道一个群是不能表为两个真子群的并的，但是一个群却可能表示为三个 真子群的并，最典型的一个例子就是克莱因四元群 k 4 = ( ( 1 ) ，( 1 2 ) ，( 3 4 ) ，( 1 2 ) ( 3 4 ) ) 这个群很明显能分为三个真子群 g 1 = ，g 2 = ，g 3 = 的并，文【8 】给出个群能分解为是三个真子群的并的个充要条件是这个群的某个 商群与克莱因四元群是同构的，但是在证明必要性的时候方法比较繁琐，下面将给出 一个较为简单的证明方法 定理3 1 个群g 能表示为三个真子群g 1 ，g 2 ，g 3 的并当且仅当群g g 1n g 2ng 3 岂甄 证明充分性；设厂是群g 与克莱因四元群尬之间的同态，令g 1 = dl 删= ) ，g 2 = di 删= ，g 3 = dl 删= ，显然g l ，g 2 ，g 3 作成g 的子群，并且g = g tug 2 u g 3 必要性t 首先，由引理1 ，有日= g 1ng 2ng 3 = g 1ng 2 = g 2ng 3 = g l n g 3 次之，我们说对v 童，可g g 3 ，都有g 3 z = g 3 y 事实上，任取g l g 1 一日，9 2 g 2 一日，则9 2 1 g 2 一日，因此9 l 酊1 g 3 ，所 以g 3 9 l = g 3 9 2 ；任取仍1 ，9 2 2 g 2 一h ，对前面的那个9 1 而言，用上面同样的方法 可得g 3 9 l = g 3 9 2 1 = c 3 9 2 2 ；任取g l l ，9 1 2 g 1 一日同理有g s 9 2 = g s g n = c 3 9 1 2 上面的论述足以说明对比，3 ，g 一日，都有岛z = 岛弘因此我们有 g = g 3ug 3 z ，【g ：g 3 】= 2 同理有【g ：g 1 】= 2 ，【g ：g 2 】= 2 ，显然g t ，t ( 1 ，2 ，3 ) 是g 的正规子群，并且还是 极大子群，由同构定理有 lg 3 hi - - ig 3 g l n 岛i = lg 3 g 1 g 1ha g 1l = 2 3 西南大学硕士学位论文能表示为真子群并集的有限群 同理ig 1 hl ，lg 2 hi = 2 由g = g 1ug 2ug 3 验算知h 是g 的正规子群，且 g h 作成阶为4 的商群，下证其不是循环群： 事实上，任取g g ，总存在i 1 ，2 ，3 ) 使得lg hl lg d hi = 2 ，所以g h 不是循环群，因此g h21 4 4 ，即g 同态于j 臼 在上述证明过程中我们发现若群g 能表示为三个真子群的并，则这三个真子群 都是极大子群，是不是群g 就只有这三个极大子群呢? 我们说这是不一定的，例如在 二面体群 d 6 = 是个1 2 = 2 2 3 阶的群，它的个正规子群是 ，并且d 6 竺k 4 ，它能 表示为三个指数为2 的6 阶极大子群的并，但是很明显三y 6 的西罗2 子群不包含在 任何除本身之外d 6 的子群中，它是极大子群，但若刚好g 就只有三个极大子群的时 候会出现什么情况呢? 这就是下面的推论3 1 ： 推论3 1 有限群g 恰有三个极大子群且能表示为三个真子群g 1 ，g 2 ，g 3 的并当 且仅当g 是二元生成的2 群 证明必要性z 由定理3 1 的证明过程知道，g l ，g 2 ，g 3 就是群g 那三个极大子 群，设s a 是g 的西罗2 子群，我们说s k 是极大子群，否则存在极大子群m 满足 既 m g 则m 必为g 1 ，g 2 ，g 3 中的某一个，这与lg g l = 2 矛盾，因此s a 是g 某个极大子 群，所以g 是2 群，又因为c l 咖( c ) 皇托，所以g 还是二元生成群 充分性。因为g 是二元生成群，所以g q 5 ( g ) 竺k 4 ，由定理1 知g 能表示为三 个真子群的并，由于g 的极大子群与a q b ( g ) 是对应的，所以g 恰有三个极大 子群 4 西南大学硕士学位论文能表示为四个真子群并集的有限群 4 能表示为四个真子群并集的有限群 众所周知，个群是不能表为两个真子群的并，但由文【1 】或文【2 】知道，克莱 因四元群能表为三个真子群的并，并且由文【l 】知个群能表为三个真子群的并当且 仅当它同态于易x 历，文【2 】中给出了个有限群g 能表为四个真子群的并但不能 表为三个真子群的并当且仅当它同态于& 或磊x 磊，尽管文【2 】的证明比较简洁， 但是他们并不能得到关于那些四个子群的信息，也不知道同态的核到底是什么本 文将从子群的的角度给出一些解释，确定了这些真子群更加详细的性质、求出了同 态核。并且给出了结论的另外一个证明 定理4 1 若个有限群g 恰能表四个真子群g l ，g 2 ，g 3 ，g 4 的并，则 g lng 2ng 3ng 4 = g i ng jng 女= g in g ；， i ，j ，k 1 ，2 ，3 ，4 ) ，且i ，歹，k 互不相等 证明第一个等式由引理1 直接可得，下证第二个等式： 设g = g 1ug 2ug sug 4 ，令【g ：g i 】= 啦! i 4 且n l 他锄n 4 显然，我们有 ig 1n g 。i = 制料吲掣= 黑， 同理可得 所以 因为 另一方面 ig - n g 3i 鬟，ig lng 4i z 世 n 1 佗4 g - i = 去ig i ， ig lug 2ug 3ua 4 g li = ( 卜三n 1 ) lc 1 g lug 2ug 3ug 4 g li ig 2 g 1i + lg 3 g li + ig 4 g l = ig 2 | _ ig lng 2i + ig 3l - ig ir ig 3i + ig 4i - lg lng 4 = 面1 一而1 ) i g i + ( 去一元- 。l ，咯) lci + ( 去一击) l g i ， 5 西南大学硕士学位论文能表示为四个真子群并集的有限群 于是 ( i - 石1 ) ig i s 磊1 一磊- 1 n 2 ) l c l + ( 去一而1 ) i g l + 石1 一而1 ) lg l ， 从而 1 一 钾= 掣= 掣 从而【g i ：乃】2 断言【g 1 ：五】1 否则，有g 1 = g xng f ，即g i 研， 那么z 1 n c ( g 1 ) g l ，这与n g ( g 1 ) = 岛矛盾于是p l ：7 1 】= 2 ，同理 可知 g 彳：乃】= 2 ，于是7 1 司g i ，乃司研，而g x 研，由g 1 的极大性可知 7 1 q = g ，同理可得t 3qg ，五qg ，并且lg 正i = 6 ，f - l ，3 ，4 ) 我们断言孔不包含在g 2 ，g 3 ，g 4 中任何一个否则，不妨设n g 2 ，则 7 1 g lng 2 = g x ng 2ng 3ng 4sg x ，g 2 ，g 3 ，g 4 于是g 7 1 = g l 孔ug 2 乃u g 3 死u g 4 乃，这样个6 阶群表示为了四个指数都是2 的群并，这与事实矛盾故 我们有瓦g 2 = g 又因为噩n t 3 = g 1 n g t n g 3 n g = g 1 n g 3 n g 芋n 雠= g 1 n g 2 n g 彳n g 2 = g lng fng 2 = 噩ng 2 司g ，所以 i 噩n7 31 = 17 1ng 21 = 恻料= 吲掣= 粤 但是g = g l g 3 ，故g 噩n 乃= ( g l 冗n t s ) ( g 3 t 1n t 3 ) ，即个1 8 阶群可以分解 为两个互异的6 阶群的乘积，由文【9 】中1 8 阶群的构造知g , t , n bqg 丑n 死， 进而g 1 司g ，矛盾定理得证 定理4 3 个有限群g 能表为四个真子群g 1 ，g 2 ，g 3 ，g 4 的并当且仅当g g ln g 2ng 3ng 4 型岛或历忍 证明充分性；以岛为例加以证明，易知 岛= u u u 7 西南大学硕士学位论文能表示为四个真子群并集的有限群 设，是g 到岛的同态，则 g 1 = 厂1 ( ) ，g 2 = f i ( ) ，g 3 = i - i ( ) ，g 4 = f - * ( ) 即得g = g lug 2ug sug 4 必要性：由定理4 2 的证明，我们总可以假定g l 3 g ，令h = g i n g 2 = g in g s ， 有h 司g m ，g s ，所以日司 = g 若札l = 2 ，则ig 日i = 6 ，于是g h = g t l hug 2 1 h ug s l hug 4 1 h ，这时 g h 竺s 3 ； 若n l = 3 ，则ig hl = 9 ，于是g h = g i h ug 2 1 hug s l hug 4 1 h ，这时 g h 竺磊x 磊 8 西南大学硕士学位论文 能表示为n 个真正规子群并集群 5 能表示为n 个真正规子群并集群 我们知道一个群是不能表为两个真子群的并，更不用说表为两个真正规子群的 并，但是通过文 1 】或文【2 】我们知道个群能表为三个真子群的并，并且是三个真 正规子群的并，事实上，人们还远远没有确定能表为给定数目真子群的并的群，但是 个能表为给定数日的真正规子群的并的有限群却是能够确定的 下面的定理5 1 本质上是文【10 】中m b h a r g a v a 的工作，但是我们的证明似乎 更容易一些 定理5 1 若个群g 能表示为p4 - 1 个真正规子群但不能表示为i 个真正规子 群的并，则群g 与群磊磊同态且与级磊不同态，其中，i p ，k p a ( k 为 素数) 证明设g = g 1ug 2u ug 4 1 ，h = g xog 2o n 嗥1 我们总可以假定h = g lng 2 0 n g p + 1 = 1 ，否则h l ，我们就考虑g h ； 我们还可以假定q 是极大正规子群，否则总可以把g 扩充p + 1 个极大正规 子群的并； 上面的两个条件还可以同时假定为成立； 由引理1 可知 g i o g 2 0 o g p + 1 = g 2 a g 3 0 o g v + 1 = g i a g 3 a o g 矗1 = = g i a g 2 n n g ；= 1 设k 为g 的p + 1 个极大正规子群若干个的交作成的集合，在k 中取含有 g 1 ，g 2 ，g 0 l 最多且交不为1 的一个，设中含有g l ，g 2 ，g p + x 的数目 为r 个，且不妨设就是前r 个，则n = g a o g 2 0 n g r ，显然r p 一1 ，任取g m ，g n ， 这里仇，n r + 1 ，由g m 的极大正规性知g = g m ，又r 的极大性知6 knn = 1 ， 于是g = g m n ，同理g = g n n ，故，我们能得到g c 仇皇n 笺g c n ，再次由 g k 的极大正规性知为单群，又因为中的元素可以和g m ，g 。中的元素交换， 所以中的元可以和g = g 仇g n 中的元交换，即n z ( g ) ，故还是个交换群， 因此是素数阶的循环群，设ini = q ，于是lg c ki = lg 6 ki = q ，由这些我们得 到 g g m n g n 譬g ? g mxg g n 鬯z q z q 9 西南大学硕士学位论文能表示为佗个真正规子群并集群 f l a i l 理2 知g 能表为q + 1 个真正规子群的并，按照我们的前提，q p 为此，只须 证明q p 即可 取z g 一( g lug 2u ug r ) ，则对任意的n n ，n z 一1 g a r + 1 ) ，于是 ( g r + lug ，+ 2u ug 0 1 ) z = g r + i xu 研+ 2 zu ug 0 l z 对于中的每一个元而言，都只能分属于不同的g z ( i ，+ 1 ) ，否则，设 n l ，n 2 o j = ( j ，+ 1 ) ，则存在毋l ，仍2 毋使得n l = 毋l z ，n 2 = 毋2 z ，于是 n l n i l = 乃1 夕著nng j = l ，因此我们有q p + 1 一rsp ，故q = p ，这样g 就同态于磊x 磊 下面说明g 不同态于磊磊( 七sp 一1 ) 为素数) ，否则，由引理2 ，知g 能 表示为k + 1 个真正规子群的并，与题设矛盾! 证毕! 定理5 2 若群g 与群磊磊同态且与反磊不同态，则g 能表示为p + 1 个真正规子群但不能表示为i 个真正规子群的并，其中，i p ，后p l ( k 为素数) 证明设，是群g 与群z p z p 之间的同态，设z px 磊能表为噩，马，研1 的并，这里五都是磊z p 的真正规子群，令g = 厂1 伍) ，显然g 司g 且 g = g xug 2u ug l 下面我们说明g 不能表示为i 个真正规子群的并( isp ) ，假设g 能表示为i 个 真正规子群的并0 p ) ，显然满足条件的i 可能不止个，但是我们总可以取一个 满足条件的最小的数，记为8 ，由定理2 知8 1 是个素数且g 同态于2 0 一1 磊一1 ， 而8 1 p 一1 这与题设矛盾! 证毕 定理5 3 个群g 能表示为p + 1 个真正规子群但不能表示为i 个真正规子群 的并当且仅当群g 与群磊磊同态且与磊玩不同态，其中，t p ，七p 一1 ( 凫 为素数) 证明由定理5 1 和定理5 2 的证明显然可得 直到现在，我们仅仅直到一个能表示为p 十1 个真正规子群并集的有限群同态 于磊名，但是其同态核是什么呢? 或者同，其同态核跟所给的那些g i 8 有什么关 】0 西南大学硕士学位论文能表示为n 个真正规子群并集群 系呢? 我们能否用个统一的方式给出其同态核呢? 下面的定理5 4 就给出了一个优 美形式 定理5 4 如果个有限群g 能表示为p + 1 个真正规子群g l ，g 2 ，和g r 舛l 的并，那么 g lng 2n ng “l = g oq ，这里 歹 l ，2 ，p + 1 ，于是， g g iog 2o ng 1 皇g g lng 2 型磊磊 证明利用定理5 1 和5 2 的记号，我们能够得到【g ：g 】= p ，i 1 ，2 ，p + 1 ) 事实上，由定理5 1 ，g 到磊磊的同态实际上还是个满同态，显然，对任何q ， 我们总能够得到1 ，( g i ) 璺磊磊( 否则，g g kng ncg mug n ) 不失一 般性，我们可以假定正= ，( g ) 因此，由对应定理，g f 1 伍) 笺磊磊t , 由 g i f - 1 ) 和g 的极大性。我们有g = f - 1 ( t d 于是，我们得到了想要的结论 由于 1 ( 1 一刍) ig i = i ( g 2ug 3u ug 卅1 ) g li ig 2 g li + ig 3 g 1i + + ig p + l g 1i = lg 2i lg 2ng ll + lg 3i ig 3ng 1l + + ig p + li ig 0 log 1 ：型一掣+ 魁一掣+ + 倒一掣 = 一一百十一一百十十一一彳 p矿pppp = ( 1 一三) ig i 等号成立因此( g i g 1 ) n ( g j g 1 ) = 毋且g i n q g 1 ，f o r i 歹 2 ，3 ，p + 1 ) ，这就导致了gng j g 1ng i ，l 2 ，3 ，p + 1 ) 但ig nq i = ig 1ng ii ， 于是gnq = g 1ng i 用同样的方法，我们得到gn 岛= g mng n ，对不同的 ，j ，m ，n 1 ，2 ，p + 1 ) 故gnq g l ng 2o ng 0 1 证毕! 们有 注如果我们记h t - - t 个互异真正规子群的交) j 那么根据上面定理的证明，我 月0 1 = 珥= = 飓 1 1 西南大学硕士学位论文能表示为n 个真正规子群并集群 定理5 5 如果个群g ( 可以无限) 能表示为p + 1 个真正规子群g l ，g 2 ，和 g p + 1 的并，那么 g g 1ng 2n ng 0 1 望g g lng 2 型磊磊 证明设h = g lng 2n r lg p + 1 显然，g i h = g , hug 2 hu q + l 日， 因此c l h 能够表示为p + 1 个真正规子群的并集此外，由 g h 焉g g l g g 2 g g 升1 g i h 是个有限群根据定理5 4 ， ( g i h ) i ( g , i h ) n ( g 2 日) n n ( g p + , h ) 垒z ；磊 但( g l h ) n ( g 2 h ) n n ( g p + , h ) = 日h = 1 ，因此g h 皇乙z p 这就 完成了证明 1 2 西南大学硕士学位论文相关问题的一些进一步研究方向 6 相关问题的一些进一步研究方向 由前面的证明过程可以看到，尽管随着子群个数的增加，能表示为真子群并集 的有限群就越加难以刻画，但是完全分类能表示为个数为8 、9 、1 0 个真子群并集的 有限群似乎还是办得到的 问题6 1 完全分类能表示为个数为8 、9 、i 0 个真子群并集的有限群 通过阅读文献【1 1 】、【1 2 】、【1 3 】等知，研究某类特殊群的能表示为真子群并集的最 小个数也是相当个活跃的课题，于是。我们指出 问题6 2 给出特殊或者某类单群的能表示为真子群并集的最小个数 此外，我们由个平凡的群论习题( 见f 1 4 】) 知一个有限群不可能表示为某个真 子群共轭类的并集( 但对无限群结论不成立) ，然而我们从个群g 能表示为四个真 子群并集时g 可能会同态于岛知一个群是能够表示为两个真子群共轭类的并集， 于是刻画出所有能表示为两个真子群共轭类的有限群是一个富有挑战性的问题，要 想给出完全分类，似乎还十分困难然而，下面的问题似乎可以解决 问题6 3 决定能表示为一个真正规子群和个非正规子群共轭类的并集的有限 群 1 3 西南大学硕士学位论文参考文献 参考文献 ( 1 】1s h a r b e r ，a r o s e n f i e l d g r o u p s 够u n i o n a m e r 。m a t h m o n t h l y 6 6 ( 1 9 5 9 ) ，4 9 1 1 9 4 【2 】j h e c o h n o nn - s u mg r o u p s m a t h s c a n d 7 5 ，1 ( 1 9 9 4 ) ，4 垂5 8 1 3 1 m j t o m k i n s o n 。g r o u p s 嬲t h eu n i o no fp r o p e rs u b g r o u p s ，m a t h s c a n d 8 1 ( 1 9 9 7 ) 1 9 1 1 9 8 【4 】j i p i n gz h a n g f i n i t eg r o u p s 船t h e u n i o no f p r o p e rs u b g r o u p s ，s e r d i c a m a t h j 3 2 ( 2 0 0 6 ) ，2 5 9 - 2 6 8 【5 】k p s b h a s k a r a r a o ，j d r e i d a b e l i a ng r o u p s t h a ta r eu n i o n so f p r o p e r s u b g r o u p s b u l l a u s t r a l m a t h s o c 4 5 ，i ( 1 9 9 2 ) ，1 7 【6 】c g o t t l i e b o nf i n i t eu n i o n so fi d e a l sa n dc o s e t s c o m m a l g e b r a 2 2 ，8 ( 1 9 9 4 ) ，3 0 8 7 - 3 0 9 7 1 7 1m j t o m l d n s o n g r o u p s s u b g r o u p s c o m m a l g e b r a l 5 ，4 ( 1 9 8 7 ) ，8 4 5 - 8 5 9 f i n i t e l ym a n y 【8 】樊恽，李伟，能表示成三个真子群的并集的群，华中师范大学学报( 自然科学 版) ，v 0 1 4 2n o 1 ，m a r 2 0 0 8 1 3 【9 】张远达，有限群构造( 上册) ，科学出版社，1 9 8 2 ，2 9 3 - 2 9 4 【1 0 m i r a b h a r g a v a ，w h e ni sag r o u pt h eu n i o no fp r o p e rn o m a ls u b g r o u p s ，a i n e r m a t h m o n t h y 1 0 9 ( 2 0 0 2 ) 4 7 1 - 4 7 3 【1 1 】a m a r o t i c o v e r i n gt h es y m m e t r i c ag r o u p sw i t hp r o p e rs u b g r o u p s j c o m b i n t h e o r y s e t a1 1 0 ，i ( 2 0 0 5 ) ，9 7 - 1 1 【1 2 m i r ab h a r g a v a i n t e r n a t i o n a le l e c t r o n i cj o u r n a lo fa l g e b r a ，v o l u m e2 ，( 2 0 0 7 ) ，8 3 - 8 9 【1 3 b ya a b d o l l a h i ( i s f a h a n ) a n ds m j a f a r i a na m i r i ( z a n j a n ) ，m i n i m a lc o v - e r i n g so fc o m p l e t e l yr e d u c i b l eg r o u p s ，p u b l m a t h d e b r e c e n ，3 8 8 4 ( 2 0 0 7 ) ，1 - 6 西南大学硕士学位论文参考文献 【1 4 】m s l u d d o ，o nt h ec o v e r so f 。n i t eg r o u p s ， c 0 1 3 0 5 ，l o n d o nm a t h e m a t i c a ls o c i e t y l e c - t u r en o t es e r i e s ( g r o u p ss t a n d r e w s ，v 0 1 i i ，2 0 0 1 ) ，c a m b r i d g eu n i v e r s i t yp r e s s ， c a m - b r i d g e ，2 0 0 3 ，3 9 5 3 9 9 【1 5 】b h n e u m a n n ，g r o u p sc o v e r e db y 。n i t e l ym a n yc o e e t s ，p u b l m a t