（基础数学专业论文）紧致连通李群的极大环面子群.pdf

摘要 极大环面子群在紧李群的结构问题及其表示理论中占有十分重要的地位，连通 紧李群g 都具有极大环面子群，在共轭的意义下，这个极大环面是唯一的，且g 中的每个元都共轭于极大环面中的元素 本文共分为三节第一节为引言，第二节给出了极大子环群定理的两种证明。 第一种是用对称空间的有关知识完成的。第二种证明是用几何方法完成的，只给出 了证明概要。第三节我们找出了几个具体李群的极大环面子群，并结合具体例子对 极大子环群定理用初等方法进行了证明。 关键词：李群，极大环面子群，共轭 2 a b s t r a c t t h em a x i m a lt o r u si sc r u c i a li m p o r t a n tt ot h es t r u c t u r ea n dt h e r e p r e s e c t a t i o no ft h ec o m p a c tl i eg r o u p s e v e r yc o n n e c t e d ，c o m p a c tl i e g r o u p sg c o n t a i n sam a x i m a lt o r u st t h i sm a x i m a lt o r u si su n i q u eu pt o c o n g u g a t i o n ，a n de v e r ye l e m e n to fg i sc o n j u g a t et oo n eo ft h em a x i m a l t o r u s t h i st h e s i sc o n s i s t so ft h r e es e c t i o n s t h ef i r s ts e c t i o ni si n t r o d u c t i o n i nt h es e c o n d s e c t i o n ，w e o f f e rd e t a i l e dt w o p r o o f o fm a i nt h e o r e mo nt o r i t h ef i r s to n et a k es y m m e t r i cs p a c e sa st h em a i nt 0 0 1 t w oc o n l u s i o n si n r i e m a n ng e o m e r t ya n di nt h er e p r e s e n t a t i o n so fl i eg r o u p sa r ea p p l i e d f o rt h es e c o n dp r o o ft om a i nt h e o r e mo nt o r i w eo n l yp r e s e n tab r i e f l y p r o o f i t h et h i r ds e c t i o no ft h i st h e s i sc o n t a i n st h r e es p e c i f i ce x a m p l e s o fm a x i m a lt o r u ss u b g r o u p so fc o n n e c t e d ，c o m p a c tl i eg r o u p f o rt h e f o r m e rt w oe x a m p l e s ，w ep r e s e n tap r o o fo ft h em a i nt h e o r e mo nt o r ii n c o n c r e t ec a s e sw i t he l e m e n t a r ym e t h o d k e y w o r d s ：l i eg r o u p ，m a x i m a lt o r u ss u b g r o u p ，c o n j u g a t e 3 1 引言 每个连通紧李群g 都有一个极大环面子群? ，在共轭的意义下，这个极大环 面是唯一的。它的共轭覆盖了整个李群g ，并且在g 上的类函数与在w e y l 群作 用下不变的r 上的函数之间存在着一一对应，因此了解w e y l 群在极大环面上的 作用对表示是非常有必要的，极大环面子群在李群结构及其表示理论中都是十分重 要的。 本文第二节给出了极大子环群定理的两种证明第一种证明运用对称空间的方 法引理2 1 说明紧李群的极大环面的存在引理2 2 的结论为：若( “，0 ) 为紧半 单正交对称l i e 代数，钆= e + p 是u 对0 的c a r t a n 分解n ，是p 的两个 极大a b e l 子空间，则有( 1 ) 令k = e x p 口枷，则存在k k ，使得k 口= d ， ( 2 ) p = uk - a k e k 把此结论用于紧致连通李群g 的李代数g ，即有定理2 1 ：设口，一是g 的 极大a b e l 子代数，则有( 1 ) 存在g g ，使得a d ( g ) a = q ，( 2 ) g = ua d ( g ) a g e g 又因为连通李群g 的指数映射是满映射，把李代数上的结论转化到李群g 上，即 得极大子环群定理 第二种证明引用了r i e m a n n 几何的两个定理，并运用群表示论的知识，只给 出了证明的梗概 第三节分别给出了特殊正交群s o ( n ) ，特殊酉群s u ( n ) 及复辛群与酉群的交 跏( 礼，c ) nu ( 2 n ) 的极大环面子群，并结合前两例用初等的方法对极大子环群定理 进行了证明 4 2 极大子环群定理的证明 定义2 1 设g 是一个非空集合，且满足 副g 是一个群， 功g 是一个解析流形， 印乘积流形g g 到g 的映射( g l , 仍) - g l 酊1 解析， 则称g 是一个李群 定义2 2 李辟g 的子群日，若又是g 的子流形，则称日为g 的李子群 定义2 3 紧李群g 的紧致连通交换李子群称为它的环面子群 定义2 4 设? 为李群g 的环面子群，若不存在环面子群t ，使得t 互t i ，则称 t 为g 的极大环面子群 引理2 1 紧李群g 必存在极大环面子群 证明； g 的交换子群一定存在，例如e 为g 的单位元，则 e ) 交换设日为 g 的极大交换予群，日的闭包为耳，设任意。，”百，则存在日中的点列 x l ，茹2 ，与y l ，抛，使得 粤已2 鼠。1 + i m 。y n 2 y 因为墨佻= 弘甄，故由定义1 _ 1 之3 ) 卫封= 留2 戤热= i l 一i r a y i z i = 掣z 故耳交换又因为日极大交换，故日= 百所以日为闭子群，从而日为紧子 群设h 的单位连通分支为鼠，则也为g 的极大紧致连通交换子群，即为g 的极大环面子群 - 定义2 5 设g 是连通李群，h 为g 的一个闭子群，如果有g 的对合解析自同构 盯，使得 ( 王) o h c 上0 5 其中z = 9 a l o ( g ) = 9 ) 而( 珥) o 是坼的单位连通分支，则称( g ，h ) 为 一个对称对又若a 如h 是紧致的，则称( g ，日) 为r i e m a n n 对称对 定义2 6 设g 是实数域r 上的李代数，8 a u t 9 ，且s 2 = i d g 如莱8 的特征 值为1 的特征子空间 e = e 1 ( s ) = x d l s ( x ) = x ) 是g 的紧致嵌入子代数，亦即n 幽2 对应的g 的内自同构群i n t l 的子群是紧致的， 刘称( g ，s ) 为正交对称李代数如果( b ，8 ) 还满足 e n e ( g ) = o ) 则称( g ，s ) 为有效正交对称l i e 代数 注记2 1 若( g ，耳) 是r i e m a n n 对称对，盯是相应的对合自同构，l i e g = g ， l i e k = t ，则( 籼d 口) 为正交对称李代数，其中d a 是由盯在g 的李代数g 上导 出的对合自同构 引理2 2 设( t l ，口) 是紧丰单正交对称l i e 代数，钍= e 牛p 是u 对0 的特征子空间 分解d ，一是p 的两个极大a b e l 子空问，则有 j ，存在h 口，使得n = q ( 日) = a p i m ，刎= o ) 纠设e x p 积e = k ，则p = u k a k 6 k 彤存在k 。使得南口= 一 证明：为简便，记t = a d u 于是 i n t ( u ) = e x pa d u = e x p t ，k = e x p 口d e = e x pe ，p = e x pa d p = e x pp 1 ) 。k = e x pe ，p = e x pp 故i n t ( u ) = p k ，又因为u 是紧致李 代数，故当x 取遍p 时，眦( u ) 的溯地线e x pt x = e x pt x k 覆盖了流形 z n t ( u ) g 设扫表示对应于0 的i n t ( u ) 的对合自同构，则有 o ( ( e x px ) 七) = 0 ( ( e x ox ) k ) o 一1 = e x pn d p ( x ) 七= e x p ( 一a d x ) 女 = e x p ( - x ) k ，x p ，k k 6 的i n t ( u ) ，可设9 = e x px k ，故 豳一= ( e x p x 七) 百( e x p ( 一x ) ) = e x p x k k l e x p x = e x p2 x p 故p = 豳一1 l g i n t ( 让) 任取h p ，则存在p 中的点列g , o g i - 1 ，驰的i 1 ，如晚1 ， 使得 。1 i m 。鳜畋1 = h 因取i n t ( u ) ，n t ( 紧，故 鲰) 存在收敛子列 甄。 ，设 l i m = 卯 r t _ + 故 。g n - 鹾2 9 0 蚕g ；1 = h 从而h 尸，故p = 户，所以p 在i n t ( u ) 中是紧致闭的，设a 是e x po 在i n t u 中的闭包，则a 紧由于口交换，故e x p 口交换，从而a 交换，所以a 为环面， 且a p ，又p ( 口) = a ，v a a 故l i e a p ，且l i e a 是可交换的，于 是l i e a = 口因为a 为环面，故可取h o ，使得e x pt h 在a 中稠密，故有 o = g ( 日) 2 ) 设b 表示1 1 的k i l l i n g 型，对任意x p ，k _ b ( h ，k x ) 是紧子群 k 上的连续函数，故b 有极小值设k o k ，使得b ( h ，k o x ) 曰( e k x ) ， v k k 设t e ，所以有 丢b ( 嚣，e x p t t 。x ) t ：。= o 因为 面d ( e x pt t ) k 。= 否d ( e x p 口d t t ) t ：。= 口d t 所以有b ( e 窿x 】) = 0 ，即b ( k o z ，明，t ) = 0 。v t l 。因为f 是o x ，h i p ， b 在e 上负定，故有 k o x ，h i = 0 所以k o x g ( 日) = a ，x 酊1 o 故p = u k n 7 3 ) 也是极大交换的子空间，由2 ) 知p = u i 卧七一，o = q ( 日) ，h o cp ， 故有七k ，使得h k - 1 一因k - a 7 是交换的，故【k - i 一，日1 = 0 所以 k - x a ，q ( 日) = 口所以n ，k a 由n ，是极大交换的，故a ，k 吧 i 定理2 1 设g 为连通紧致季群，其李代数为g 口，a 是g 的强大a b e l 子代数，则 叫3 h a ，使得q ( ) = o 。 圳存在g g ，使得a d ( 9 ) o = 一， 3 ) g = ua d ( g ) a 9 e g 证明；在直积g g 中定义对合自同构仃为 o ( g l ，啦) = ( m ，9 1 ) 。v ( g l ，9 2 ) gxg a 的不动点集为g = ( 9 ，9 ) 1 9 g 显然g 与g 同构，故驴为紧致李群，因 而对此盯。( g xg ，g ) 为r i e m a n n 对称对设l i e g g = t | ，l i e g = e ，则 ( 牡，d a ) 是结合于( g g ，g + ) 的正交对称李代数，且u 对如的分解为 g = e 4 - p ，其中e = e 1 ( 打) = l i e g ，p = e _ l ( d a ) 由盯( 9 1 ，9 2 ) = ( 9 2 ，9 1 ) ，故 d a ( x ，y ) = ( x ) ，v ( x ，y ) eg xg 所以 e = ( x ，x ) l x g ) 竺g p = ( x ，一x ) 陋g 笺g u = g xg = e 4 - p 令口+ = “x ，一x ) 陋俚) ，口。= ( x ，一x ) j x a ，) 由于a ，一是。的两个极大a b e l 子代数，故矿，i i * n 为p 的极大a b e l 子代数， 也是p 的极大a b e l 子空间 对( g ，9 ) g ，存在僻，x ) t ，使得( g ，g ) = e x p ( x ，x ) ，故 a d ( g ，g ) = a d e x p ( x ，x ) = e x pa d ( x ，x ) = ( e x pa d x ，e x pa d x ) k 若g 为半单的，因为g 紧致，故g = l i e g + 紧半单，从而u = 9 0 9 紧半单此 时，由弓理z 2 知此定理成立若g 不是半单的，在证明引理时，u 的半单性只是 用来保证k i l l i n g 型b i u u 严格负定，由于g 紧，在r i e m a n n 对称对( g g ，g ) 的情形，t xu 上的严格负定双线性型q 存在，且q 满足不变条件 8 q ( x ， k z ”= q ( x ，y ，z ) ，v x ，z u 此时将引理证明中的b 换为q 即可 定理2 2 设g 是连通紧李群，o 为g 的李代数，则指数映射e x p ：g - - - g 是满 映射 由于g 的紧致性，可以在李群g 的单位元点e 处的切空间g 上取定一个在 a d ( g ) 的作用下不变的内积 ，即 = ，x ，y g ，g g ，对此内积，任取g 的一组标准正交基 五l1si 茎礼) ，即 = 民j ，再用左平移把 x i i1 i n ) 分别扩张成g 上的左不变向量场。这样在g 的 每点的切空间上都有唯一内积。故g 成为一个r i e m a n n 流形，由g 紧致，故g 完 备。而完备的r i e m a n n 流形在单位元e 点的指数映射e x p 。：9 - g 是满射。g 作 为紧李群的指数映射e x p ：g - g 与作为流形在单位元点e 的指数映射是一致的 详细证明见s i g u r d u rh e l g a s o n d i f f e r e n t i a lg e o m e t r y ，l i eg r o u p s ，a n ds y m m e t r i c s p a c e s 定理2 3 极大子环群定理 设g 是连通紧致李群，t 为其中任一极大环面子群，则t 和g 的任何共轭类都 一定相交；g 中的任何极大子环群都和t 共轭， 证明：设t 是g 的另一极大环面子群，l i e g = g ，l i e t = o ，l i e t = a 7 则a 及是g 的两个极大环面子代数由定理1 1 ，存在h g ，使得 a d ( h ) a = a t ，g = ua d ( g ) a 9 6 g 分别用指数映射作用两式， e x pg = ue x p ( a d ( g ) a ) = ug ( e x p 口) 孽- 1 e x p = e x p ( a d ( h ) a ) = h ( e x pa ) h 再由定理1 2 ，指数映射e x p ：o _ t 是满映射，故 g = u9 功。 9 g t ，= h t h 一1 定义2 7 设g 为李群，a d ：g g _ + g ，( 9 ，岔) 叶g x g ，称g 的伴随变换 9 注记2 2 伴随变换g g _ g 把每一个g g 表示g 本身的内自同构 ( t g ：g - g ，扛) = g x g _ 1 它在李代数l i e g = g 上诱导出g 的自同构a d ( g ) ：口_ g ，即下图是交换的 g 墅i 旦1 一日 l e x pj e x p g 鱼g 故有 g ( e x pt x ) g - 1 = e x p ( t a d ( g ) x ) ，x g ，t r 让g 在g 中变动，由此得到一个同态a d ：g - g l ( 9 ) 叫g 的停随表示 上述同态诱导出李代数的同态a d ：g 弓擘l ( g ) 使下图交换 g e _ 醇岛| e x p。i 茹 g 亟司l c g ) 晟pa d ( e x ps y ) = e x p ( s a d y ) ，y g ，s r 极大子环群定理的证明还可以用几何方法来完成，我们先引入黎曼几何的两个 结论t 命魍1 在黎曼流形中，保长变换群的不动点子集总是个全测地子流形 命题2 紧致连通黎曼空间m 的任两点之间都存在有连接这两点的极短测地线 定理证明思路概要 i ) 设t 是g 的一个极大环面子群，将g 的伴随变换葡：g x g - 4 g 和伴随表 示a d ：g g _ g 分别限制在r 上，即得t 角b ：t x g g 和a d l r ：丁g - + g 显然t 在a d l r 的作用下每点都不变v t t ，设互a b 在g 的t 点的切空间g ( t ) 上诱导的线性表示为a d + h 则因d l t ：g g ( ) 是同构，且a d * f t d l t = d l a d r 1 0 故表示( a d i t ) ，a ( t ) 与( a d l t ) ，g ( t ) 等价 由于任何可换群的不可约复表示均是一维的，由此可得，任何环面子群的非平 凡实不可约表示都是二维的，故a dj t 有如下分解 a d l t = k 维平凡表示o 忧 相应地，g 就可分解为不变子空间的直和 g = 瞅o r 2 ( 忱) 这里r 2 ( 协) 是非平凡表示协：t - - + s o ( 2 ) 的表示空间由于丁可换，故破 包含r 的李代数b ，由t 的极大性可得瞅= b i i ) 因为协：t - + s o ( 2 ) 都是非平凡的，故u ，。知e r ( ) t 任取t o ? u 协k e r ( i p i ) ，令g t o = 妇g i g t o g - 1 = 亡0 ) ，则g 幻是g 的个子群设g 为 g o 的单位连通分支，l i e g o o = o t 0 显然有g 是3t 下证g = t 设v x 眦， 则e x p ( s x ) g 故有 e x ps ( a d ( t o ) x ) = t o ( e x ps x ) t i l = e x ps x ，s r 故a d ( t o ) x = x ，由于t o 丁u k e r ( p i ) 故有x d 所以g o = b ，从而瓯= t 、 i i i ) 令g ( t o ) 表示过t o 的a d ( g ) 一轨道即包含t o 的共轭类作为流形g c t o ) 掣 g f g t o 故 d i m g ( t o ) = d i m ( g g 幻) = d i m g d i m t 即d i m g ( t o ) 4 - d i m t = d i m g 又有，在a d l r 的作用下，t o t 是一个不动点。c ( t o ) 和t 分别是不变子流形， 它们交于t o 点因此a d l t 在定点t o 处关于g 的切空间g ( t o ) 上所诱导的线性表 示有二不变线性子空间，即t 在t o 处的切空闻和g ( t o ) 在如处的切空间，由i ) 知 亿g ) 与g ( t o ) ) 等价用d 2 t 。把二者等同起来，故有 g ) = 瞅0 r 2 ( 忱) 在上述分解中，r = b 即是t 在t o 点的切空间而r 2 ( ) 就是那个g ( t o ) 在。点的切空间因为t 对g ( t o ) 在t o 点的切空间的作用不含有非零的不动向 量，故g ( t o ) 与丁在t o 点正交 i v ) 令f ( 互g ) 是a d l r 在g 上作用的不动点集，则? 是f ( t ，g ) 的一个连通 分支，由命题l 。t 是g 的一个全测地子流形 设g ( y ) 是g 中的任一共辗类，由于g ( t o ) 和g ( 筝) 是g 中的两个紧致子流 形，用命题2 可证明存在一条连接g ( t o ) 和g ( y ) 的最短测地线，与g ( o ) 和g ( y ) 都正交设这条测地线段7 的端点分别为z 1 g ( t o ) 和y l g ( y ) ，设0 1 = g t 0 9 _ 1 用保长变换a d ( g - 1 ) 作用于7 ，得彳= a d ( g - 1 ) 7 ，它是一条过t o 点且正交于g ( t o ) 的测地线段，且y o = g - 1 y l g e ( y ) 为其另一端点因为彳上g ) ，t l g ( t o ) ，故彳 和? 相切，又t 为全测地子流形，所以弓ct 所以y o t ，即r 与g ( u ) 至少 有一交点，又g ( y ) 是g 的任意共轭类，故t 和g 中的任何共轭类都相交 v ) 设置是g 中任给的另一极大环面子群，在五中取元索t l ，使得它生成的 子群 在孔中稠密，即i 百j = 正由i v ) 存在g g ，使得g t l g 一1 t 因 此 9 丑g 。= 9 百 _ 两一1 = 了而矿r j ct 由丑和t 的极大性。故娲g 。= t 1 2 3 极大子环群定理的例子 3 1 特殊正交群s o ( n ) s o ( n ) = 以g l ( n ，r ) i a a = 厶，d e t a = 1 ) 第一种情形：靠为偶数，设“= 2 m ，此时一个极大环面子群为h 具有形式 日= d i a g c 讹，刮舾( ：美嚣) ，。协 。州 1 ) 显然h 是s o ( n ) 的子群下证h 为s o ( n ) 的极大环面子群 子群h 是连通的对任意的a h ，设a = d i a g ( a l ，a 。) ，其中 扣( ：芸：鬻) m ) 存在连接坛n 与a 的道路，：【o 1 】- - 4 h 事实上令，( ) = a ( t ) ，a ( t ) = d i a g ( a 1 ( t ) ，a 。( t ) 其中 a t c t ，= c o s t 妒i - 。s 。i n 。协t l i o i ) ，。s t ， 故，( o ) = 如。，( 1 ) = a ，故日中存在一条道路，使其中任一点a 都与厶。道路 连接，所以日道路连通。从而h 连通 子群日是紧的日中一子列若收敛，易知其极限必在日中，从而耳闭故 日是紧致的 子群h 是交换的任意a ，b h ，设a = d i a g ( a 1 ，a 。) ，其中 忙(。，嚣q1引,b=diagsill c o s ( 即川 蛾协， 其中 鼠= ( c o s o i - s i n o i ) ，。协，晚 z 丌 1 3 显然a 且= 鼠a ，i = 1 ，2 ，m ，所以a b = b a 设 其中 h 是极大交换设a s o ( n ) ，且a 与子群h 的所有元可换下证a h 设任意b h ，b = d i a g ( b l ，) ，其中 由a b = b a ， 则有 且= c o s 嚣) 胚虾z 丌 ，a 1 ja 1 2 a ：f 锄如 l ia m l4 m 2引 最咄马= ( ：苫) ( 乏二芝) = ( 芝奶b o ) 所以i j 时，a o = 0 若i = j ，则令 马= 马= ( ；吾) 从而得 钆= a i i 嘞a i i ) 硼( 翥：嚣) 1 4 这里n = 磊了百，0s 讥 2 7 r ，所以a = d i a g ( a a l ，a 2 2 ，a m m ) 又a s o ( n ) ，所以a = 如。，所以r t = l ，1s i m ，所以a h ，所以日为极大 交换的，从而日为s o ( n ) 的极大环面子群 2 ) s o ( n ) 中的任一元a 共轭于日中的元素，即存在x s o ( n ) 。使得x a x _ 1 日 证明；设y 是竹维e u c l i d 空间，1 ，e 2 ，e 。是y 的一组标准正交基一4 e n d v 由下式定义 4 ( s l ，2 ，一，g n ) = 仁l ，e 2 ，一，) a 故a 为正交变换由线性代数知，y 中存在标准正交基叩l ， 7 2 ，使得 a ( 呀1 ，啦，) = ( r h ，啦，) z 其中t 日 令 ( ，7 l ，7 2 ，) = p l s 2 ，e 。) x 故x d ( n ) 我们可要求d e t x = 1 ，故有x 8 0 ( n ) ，使得x a x - 1 = t h 3 ) 日的c a r t m a 子代数 我们知道s o ( n ) 的李代数为n o ( n ，r ) = x s t ( n ，n ) l x + x = o ) 设日的 c a r t a n 子代数为b ，x b 。故e x pt x 日，t r 故可令 e x pt x = d i a g ( a l ( t ) ，a 2 ( t ) ，a 。( t ) ) 删= ( c o s t o i ：黧) l i m 幽d t 卜( 三呻0 ) i b o ic mj ：) ，故 x d e x 五p 广t x1 f t _ 。= d i a g ( 妒1 彬妒2 彬，妒。w ) o l ，一 | i 中 以 其 所 记 故b 为m 维李代数 第二种情形：当祀为奇数时，设n = 2 m + 1 ，此时s o ( n ) 的极大环面子群为日 日= d i a g ”川忙( 黧：鬻) 胚一) 同第一种情形一样，可证日是s o ( 2 m + 1 ) 的极大环面子群且s o ( 2 m + 1 ) 的任一 元共轭于日中的某元素相应的c a f t a n 子代数也是仇维的d 的元素x 具有形 式x = 出a g ( 。，妒，w ，妒。彬) ，其中= ( ：- 1 ) 3 2 特殊酉群s u ( n ) s ( n ) = u ( n ) n s l ( n ，e ) = 4 s l ( n ，c ) ia i = 厶， 1 ) s u ( n ) 是紧致的任取a s u ( n ) ，设 由a a = 厶，故有 8 l n 、 啦n i ，n 嵇c j a n n 所以s u ( n ) 为有界集若s u ( n ) 中的序列收敛，易知极限必在s u ( n ) 中所以 s u ( n ) 为闭集故s v ( n ) 紧致 2 ) s u ( n ) 的一个极大环面子群为 p 书i a g ( e 呐如，；n 删咄。巩 2 丌 证明：显然p 为交换子群，又7 ”中的任一元与单位元厶道路连接，故t n 连通 又t “为酉空间c 一中的有界闭集，故紧致故t n 为环面子群 1 6 毗吻 岫；l 吼锄 一 ，ii_lli_-l、 | | a n2l i ii i 2 0 。m = 七 n 。脚 下证p 为极大的设t s u ( n ) ，t 与p 中的任意元h 交换设 扣仨 三! ；i 三) ， = ( 。1b2，8。)，gu，。c 由境= h t ，所以啦= 叼，故m a j 时叼= 0 所以 持( c 1 1c 2 2 。) 又t p = 厶，故k f = 1 ，所以t p ，从而p 为极大环面子群 3 ) s u ( n ) 中的任一矩阵a 共轭于p 中的元，即存在9 s u ( n ) 使得g a g 。 p 证明- 设y 是n 维酉空间，s l ，2 ，5 。是y 的一组标准正交基，a e n d v 由 下式定义 4 ( e l ，2 ，- 一，“) = ( e 1 ，8 2 ，一，岛) a 由a s u ( n ) 知，一4 为酉变换，一4 在c 中总有特征值，设a o 为一4 的任一特征 值，口为对应的特征向量，即a a = a o 口，则u = 三 ) 上为4 的不变子空间 事实上设卢l ( 口) 上，贝8 ( a p ，= ( 卢，贫q ) = ( 反五0 0 。= a o ( 卢，0 。= 0 ，所以 一4 p l ( a ) 上由归纳可知，对d i m v = n ，存在正交基口l ，口2 ，q 。使在此基 下的矩阵为对角阵再将o l ，c r 2 ，d 。标准化，即令协= i 鲁啦，故叩l ，7 2 ， 为y 的标准正交基，且有 4 ( 叩l ，啦，) ：( m ，啦，伽) i a 2 1 7 1 i ，九c i k ) 令( ，7 1 ，7 2 ，r l n ) = ( e 1 ，2 ，。b ，知g u ( n ) 我们可要求d e t 9 = l 故 g s u ( n ) ，记 d ：i 丸 故g a g _ 1 = d 8 u ( n ) ，因为d d = 厶，所以队i = l ，i = 1 ，2 ，扎，从而 g a g 一1 = d p 4 ) t ”的c a f t a n 子代数b 设x b ，贝0e x pt x = “( t ) t n ，y t r 。设 ，e n 一， 净l 一 e “艮 拈一孰= r 如氓卜咄忍，n 由d e t u ( t ) = 1 ，故翟1 0 k = 0 ，故d 为n 一1 维l i e 代数 3 3 复辛群s p ( 扎，c ) 与酉群u ( 2 n ) 的交 g = 却( n ，c ) n u ( 2 n ) 1 ) g 的一个极大环面子群 日= t = ( 。) f 。= d t a g t 蠢，奶，蟊，喀s 1 ) ( 。) ( 。) r = ( 。西r 西。r ) = ( 0 - 厶0 ) = 屯。 故而hcg 显然日是g 的子群，且日连通交换，因为日是g 中的闭集，故 h 紧致下证日是极大的设g g 与日中的所有元交换， 9 = ( 三；，三；。；三兰) r = ( 凼如如。) 日 由g t = t g 得函= 嘭口巧，选取d l ，南，d 。，使得d 略( i j 时) ，故 口“= 0 ( i j ) ，所以g ，为对角阵。即g = d i a g ( a l l ，0 , 2 2 ，n 2 。2 ，i ) 又夕矿= 厶。， 故i 口“i = 1 ，i = 1 ，2 ，2 n ，由g t 以n 9 = j 2 n ，故= 啦+ n 押，i = 1 ，2 ，礼， 故g h ，从而日为极大环面子群由极大子环群定理，g 中任一元索g 必共轭 于置中的元 1 9 、 k 0 o 厶 ，一 = 、j， 蚰odo 扩一 ，、 = 、li 一d