（基础数学专业论文）markov链与ito复合（synthesis）定理.pdf

摘要 给定m a r k o v 链陋b ，相对于状态。的游程系锄( ) ，”，( 出) 啪m ， 便唯一确定了，并且游程系满足有限性条件m ”k o v 链游程理论 的反问题是：给定满足有限性条件的游程系酬t ) ，”+ ( 如) ，q 0 。， 是否存在m a r k o v 链强) 鲫，使得m a r k o v 链慨k 。相对于状态。的游 程系恰好是蝻( t ) ，”+ ( 如) ，口0 2 ? 本文第一部分说明了该问题的背景 第二部分介绍了一些预备知识 第三部分我们给出了i t 。复合定理的证明并构造了一类m a r k o b v 链的预解式，从而得到了满足给定有限性条件的游程系( t ) ，”+ ( 出) ， ，使得m ”k o v 链隅k 。相对于。状态的游程系恰好是 庐玎( ) ，7 r t ( d 。) ，拍1 ，q 0 2 ， 关键词：q 矩阵；m w k o v 链；游程；预解式； a b s t r a c t g i v e nm a r b vc h a i 璐 甄) 晓o ，t h ee x c u r s i o nf a m i l y ，t h a ta r eo p p o s i t e dt os t a t eo ，j 弓k7 ( ) ，丌 ( d z ) ，咖1 ，咖2 ，一，i 8s 0 1 e l yd e t e r m i n e ，a n di ss a t l s 矗e d 丘n i t e dc o n 出t l o n m a r k o v c h a i n se x c u r s i o nf a m i l yo p p o s e dq u e s t i o n ： g i v e ne x c l l r s i o nf a m i l yt h a ti ss a t i s 6 e d6 n i t e dc o n d i t i o n ，西幻( ) ，7 r + ( 如) ，q 0 1 ，q 0 2 ， w h e t h e re x i s tm a r k o vc h 越n s 五) t o ，m a k et h ee x c u r s i o no fm a r k o vc h a i n s 五) 晓o b eo p p o s i t e dt os t a t eoe x a c t l yi 印幻( t ) ，7 r + ( d 茁) ，拍1 ，口0 2 ，- ? t h e 矗r s td e p a r to ft h et 似ti 1 1 t r o d u c tt h eb a c k 9 1 o u n do ft h eq u e s t i o l l t h es e c o n dd e p a r ti n t r o d u c t8 0 m e8 锄p l eb u tb a s e dd 胡n i o na n ( 1t h e o r 弘 t h el a s td 印解tw eh a v eg i v e nt h ep r o o fo fi t os y n t h e s i st h e o r ya n ds t r u c t u r e d r e s o l v e l l to fo n es e tm a r l c 0 c h a i n s ，s ow eg a i n e de ) c c u r t i o nw h i c l li ss a t i s 6 e d 矗1 1 i t e d c o n d i t i o i l ，p 。j ( t ) ，霄+ ( d 嚣) ，口0 1 ，口0 2 ，m a k ee x c u r t i o no fm a r k o vd l a i n s x t 眨oo p p o s i t e d t os t a t eoe x a c t l y i s 芦d ( t ) ，7 r + ( 出：) ，钧1 ，卯2 ， k e yw o r d s ：qm a t r i x ；m 8 r k o vc h a i l l s ；e x c u r s i o n ；r 童s o l v e n t ； 郑重声明 本人的学位论文是在导师指导下独立撰写并完成的，学位 论文没有剽窃抄袭等违反学术道德学术规范的侵权行为，否则， 本人愿意承担由此产生的一切法律责任和法律后果，特此郑重 声明 学位论文作者： 可伟岔 2 0 0 6 年0 4 月2 0 日 1 引言 关于q 一过程的构造的问题一直是概率中的重要的问题，概率界许 多著名的人物都在这一方向做出了非常重要的结果，而且到目前为止过 程的构造仍然是概率中的热门问题，并且还有很多工作没有完成，还有 待我们进一步努力 关于过程的构造有分析方法和概率方法，分析方法主要是使用分析 工具和方法求解满足柯氏向前或向后方程的过程，或求解出过程所产生 的压缩半群的无穷小算子，或求出过程的预解算子概率方法是也叫极 限过度法，这种方法是由王梓坤教授于1 9 5 8 年提出的，并成功解决了生 灭过程的构造问题，其思想是：有结构比较简单的d o o b 过程的样本轨道 逼近q 过程的样本轨道 本文也是关于一定条件下q 一过程的构造只是本文所要解决的问 题是：在给定满足有限性条件的游程系，( t ) ( 出) ，伽。，q 0 。，是否存在 m ”k o v 过程 凰k o ，使得m ”l 一过程 置k o 相对于状态。的游程系恰好 是m ，( ) ，”+ ( 如) ，蛐，9 0 2 ，? 一般说来是不一定的但是，如果上面的问题中的m 。r o ”过程改为 m 。础。”链时，答案是肯定的，即：给定满足有限性条件的游程系 蝻( t ) ，”，( 如) ，卯1 ，驰2 ，存在m a r k o v 链 五k o ，使得m a r k o v 链弘。 纠，相对于 状态。的游程系恰好是硒( t ) ，”+ ( d z ) ，q 0 1 ，口0 2 ，一 本文利用了i t o 复合定理来构造了一个符合要求的m a r k o v 链的一个 预解式，而预解式和m a r k o v 链的转移概率是一一对应的，从而得到了符 合要求的m ”k o v 链具体的思想是：利用给出的条件来先构造一个进入 律椰，然后在利用进入律给出了一个游程测度扇，和游程然后可以得到 p 0 i s s o n 点过程，从而构造出局部时和逆局部时，利用p o i s s o n 点过程和逆 局部时可以构造出一个m ”k o v 链，最后构造一个预解式并证明是 所构造的m ”k 。v 链的预解式，而预解式和链的转移函数是一一对应的 这样我们就可以构造出一个满足条件要求的m ”k o v 链 2 预备知识 设p 玎( t ) ， ，j e ，t o 是e = o ，1 ，2 ，) 上的转移概率 定理2 1 设p 玎( t ) ，j e ，t o 是给定的转移概率，则必存在取值于 e u 。) 的m a r k o v 链 凰) c o ，使得它是可分的，b o r e l 可测的，并且以p 。，( ) 以转移概率；它的所有的轨道右下半连续，而且对于任意固定的t o ，几 乎必然地托o 。 定义2 1 ( 典范链) 具有标准的转移矩阵、可分、b o r e l 可测并且所有 轨道右下半连续的m a r k o v 链称为典范链 定理2 1 的证明见【1 的3 2 的定理5 定理2 2 设 托) c o 为典范链，则对于任意的 曰，在p “凰：i 下， 置k o 的轨道几乎必然满足 条件a ：对于任意的t o ，当s t 时或stt 时，咒最多只有一个属于 e 的极限点，且只有三种可能性： ( a ) 咒一i ，此时 是稳态； ( b ) 恰有两个极限点，i e 及o 。，此时i 是瞬态； ( c ) x s _ 。 证明见 1 】的3 2 的定理1 由【l 】的3 3 的定理1 ， 五k o 还具有强m a r k o v 性 定义2 2 ( 五d u g 过程) 设p 是( n ，) 上的概率测度且p ( ( ；。) ：l _ 称x 为( f 2 ，p ) 上的一个五d ”过程，如果对任意的s ，o ，增量x 。一五是与过 程( 蜀，o 兰”兰) 相互独立，且与有相同的分布。特别的，p ( = o ) ：1 定义2 3 ( 从属子( s u b o r d i n a t o r ) ) 称五是一个从属子，如果五是一个 r g 三l 的，独立增量的取实值的l 幻过程 定义2 4 ( p o i w m 测度) 设e 是一个尸。托s 空间，且v 是其上一个一有限 测度称e 上的随机测度妒是一个强度为v 的p 耐”o n 测度，如果_ p 满足： 对e 的每一个口”e f 子集b 且一( b ) o ，w ( s ) e ，如果甜( u ) = o ，贝4 v 口 札，( w ) 一o ) 矿上的坐标过程记作 e ( t ) ) 伽，a 代数一 e ( t ) ；t o 记作“。( u “o ) 称为 m a r k o v 链x 的游程空间每一个w c ，都称为游程令 d 白( 叫) = i n f “ o ；叫( “) 一o ) ，v 训矿 n o ( w ) 称为”的生存时间显然印是“o 可测的并且一。可以取值o 。 对于任意的u n ，令d r ( u ) = 托町( u ) 风( u ) ) ，对于任意的t d 1 ( u ) 珊) ( 。) ：惭一u ) i o ， 当o n o ；风) = 。) 如果( ( u ) o ， ( 2 ) a 啊( a ) 1 ，v i e ，a o ， j e ( 3 ) r 西( a ) 一r 玎( 肛) + ( a 肛) 芝二r 诅( a ) r 幻( p ) = o 忱，j e ，a ，p o k e ( 4 ) j i ma 7 “( a ) = 奶，v t ，j e 则称为一个预解式其中等式( 2 3 ) 称为预解方程 定理2 4 设翰( t ) 是转移函数，令 ( a ) = 8 。马( 2 ) 以，1 o ，j f 是砀( t ) 的l 印f o c e 变换，则( a ) 是预解式，且若( t ) 是诚实的，则，( a ) 也是诚实的 定理2 + 4 的证明见【6 1 p 2 2 定理2 5 设r 。j ( a ) 是预解式，则存在唯一的转移函数均( t ) 使得 7 可( a ) = ， e m f 0 ( t ) 出，v a o ，t ，j e ( 2 6 ) j u 且若r 玎( a ) 是诚实的，则场( t ) 也是诚实的 定理2 5 的证明见1 6 p 2 3 由定理2 5 可知，在转移函数和预解式之间一一对应的 4 1 2 3 4 5 但 0 口 心 但 5 3i t o 复合( s y i l t l l e s i s ) 定理 给定m a r k o v 链 五 f o ，相对于状态。的游程系饥，( ) ，”+ ( 如) ，蜘。，口0 2 ， 就可以唯一确定了，并且游程系满足有限性条件m a r k o v 链游程理论 的反问题是：给定满足有限性条件的游程系硒( t ) ，”+ ( 出) ，伽。，蜘。，是否存 在m ”k o v 链 五) f o ，使得m ”k o v 链 噩k o 相对于状态。的游程系恰好是 西，( ) ，7 r + ( 如) ，口o l ，卯2 ，? 对于一般的m ”k o v 过程，类似的反问题未必有肯定答案( 参考f 2 1 中的反例) 但对于m ”k o v 链的情形，答案是肯定的本节我们来回答这 一问题 假定硒( ) ；i ，j e 是e = o ，1 ，2 ，) 上的转移函数，它的q 矩阵形式 为： 0 o o 、 o 。旧芝笼1 ， l 口2 0 9 2 l 口2 2l 、 ； ； ! a e 是硒( t ) 的a 边界，”+ ( 如) 是饱上的一有限测度9 0 1 ，卯。，是一列非 负实数假定”+ ( 如) ，卯。，咖。，满足有限性条件 石”e 。霎薹蚰硒c 计出+ z 。e 。 z e 耋硒c 枷水z ， 出 o ，j e ，令 州协，= 矗降m 矧枷摊删臻 。， 1 0加罢i ：n 、7 仇 啪是e 上的一族有限测度，显然 讯h ，o 是硒( t ) 的进入律并且满足标 准性条件： r 。 8 + 8 。仉( e o ) ) 出= 1 ( 3 4 ) 5 另外，q ( e ) 还是( o ，o 。) 上的单调减、右连续函数 舶m ，能意亲端至嚣誉嚣鼍禚嚣嚣? 描笔嚣 。( t ) ( 。) 。( ) ) 舢称为u 上的坐标过程由坐标过程严生的。代甄记作w 令 面： ”：( o ，o 。) 一e 存在 n ，使得 ( i ) o ) ， 而= w b 对于任意的t o ，s ( t ) 在雨上的限制记作 ( t ) 定理3 1 ：存在( 形，一) 上的a 有限测度，使得vo 2 ， o ) ， 显然a 为一代数，y v 是a 生成的a 代数 v 诺h 4 ，如果o “ o ) = 仉( k ) ) = m e ) o ) 十三蹦卉) o i = o ( 矗1v t l o = o 6 ( 1 ) 户 ) 是4 上适定的集函数，即对于任意的b 1 ：b 2 4 ，、一定有 钟b ，) = 户 曰z 例如： v 口e ， u = 户( 暖一 同理可证p 嘲翟) = 户 蹭 对于一般情况可以利用数学归纳法证明 ( 2 ) 显然户 ) 是a 上有限可加的非负集函数 ( 3 ) 取- 是下半连续的我们用反证法来证明 假定 c ( m ) ) 黔，至4 是一渐缩集列，p g ( 1 ) 时，面隹g ( n ) = 嘴。，即( o ，o ) 隹玩又因为由于b n 是至多可数 集，所以存在磊的有限子集巩，使得 户 g ( n ) 卜p 眙。) 熹 从而 户 g ( n ) 旦嘴“) = a 。堕e ( n ) 略札) s 户 g ( ) 嘴 妻熹 。扎 p ；叫( 1 ) 0 = 即1 ( e ) o ，( i ) = o = 叶南( e ) 一卵去( e ) 。、 所以_ ) 又是( 雨，_ ) 上的。有限测度 对于任意的o t 1 o ) 显然q i ( e ) 一1 f ( 是( 雨。，丙) 上的概率测度，可吒上的坐标过程 f ( t ) 。，是以觑，( t ) 为转移 函数的m a r k o v 链利用f l 】中第三章的方法，可以证明存在 i ( t ) ) 。，= 的 修正( 基n ( ) 融，使得修正后的过程的轨道具有右下半连续性、满足条件 a ，并且在遇到。状态以后，永远地停止在。状态因此在_ f 下，存在 ( f ( t ) i 而。) t ，：的修正 d n ( t ) ) 。，= ，使得修正后的过程的轨道具有右下半连续 性、满足条件a ，并且在遇到。状态以后，永远地停止在。状态 9 ， f | h 、 = t h ，叭 ， ， | | t h i l 昏 小 一 声m， o w n ， = p 谚卜m 又 对于，i ；，百与) ，令i ) = 百“( ) ( ) ，n = 1 ，2 ， 对于 w 。+ 1 w 矗，m = l ，2 ，令 i 州t ) ( ”) ，如果w + 1 ，t 昂击) ， i ( 亡) ( ) = n = m + 1 ，m + 2 ，一， ( 3 6 ) l o ， 如果 w + l 鹏。，t 击，。) 显然在m ，肌，仇+ 1 n ，m ，上， i ( t ) ) 跏和忙( t ) ) 伽等价， i ( t ) ) 啪 的轨道具有右下半连续性并满足条件a ，并且在遇到。状态以后，永远地 停止在。状态又形 m u 【u 器l 矸，m + 1 矸，m j 的测度为o ，所以 i ( ) ) 伽即 为所求的修正 口 印) ，的分布是( 以“o ) 上的一个一有限测度，该测度记作p ) ，这 里( u ，扩) 是游程空间我们用”表示u 中的元素， e ( ) ) 伽表示( u ，甜o ) 上的坐标过程，印= i n 即 o ；t ( ) = o ) 表示游程的生存时间对于任意的 t o ，五= n k ；s ( o ，t + 司) 佤) 伽是 e ( t ) ) 踟的自然滤子由定理3 1 ， d 0 v 0 t 1 t ) = p e ( t ) o ) = 仇( e ) ( 37 ) 我们只考虑。是硒( t ) 的常返态，即州 o ，l i m “。伽勘( ) = = o 令( t ) = 啦( e ) ，饥 o 命题3 1 ( ) 是【o ，o 。) 上的单调减、右连续函数，并且l i m “。( ) = o 证明：显然( ) 是单调减、右连续函数由于。是常返态，所以 + s ) = 仉+ 。( 懈) = 仇( f ) ) m ( s ) = 啦( 献( s ) k0舡0zf o 令s 一。，由控制收敛定理，得l i m 。o 十s ) = o 口 对于任意的o o 以及 a 0 e t e x p t 一 胁” = e e x p ( 一 d t + d b ( k ) ) s d y p 曼 = e x p ( 一防+ t + 厶( 1 一e “小) 户( 托) ) = e x p 一t 【 d + ，z 。( 1 一e 一1 7 ) ( d r ) 1 ：e x p 卜i d + f o 。- r ( ，) 出) 】) ( 利用分部积分以及汹) = o )= p 卜【d + e - 7 ( r ) 出) 】) ( 利用分邵积分以及) 2o ) 令a 。o ，得p 碱= o 。) = o 因此岛几乎必然有限 口 推论：慨k 。的轨道都是严格单调增，右连续的过程，并且以概率1 地都是取有限值的过程 对于任意的u n ，t o ，令阿( u ) = 1 i m 。n 风( u ) ，厶( u ) = i n f s o ：风) t ) 显然函数l ( u ) 是函数芦( 。) 的右逆并且 阿= d 抖印阢) ，v t 三o ( 3 9 ) s d y ，s o ；，( s ) t ，为”) 的右逆则 ( 1 ) 9 ( ) 是 o ，o 。) 上的单调增的实值函数且l j m 一。9 ( t ) = 。， ( 2 ) 9 ( ) 是 o ，。) 上的连续函数且9 ( o ) = o ， ( 3 ) ，( ) 是9 ( ) 的右逆且 o ，9 ( 坤) ) = t ，( g ( t ) ) = s u “s ；9 ( s ) ：g ( t ) ) ( 4 ) 由9 ( ) 产生的 o ，o 。) 上的s t i e l t j e s 测度由( ) 的支撑记作z 开集 ( o ，o 。) 忙中的每个小区间按照先后顺序一一对应于”) 的不连续点( o ，o 。) z 中的小区间称为g ( ) 的平直区间 ( 5 ) v t o ，l i m 。t f ，0 ) = i n f f s ；9 ( s ) t 1 该命题是一个初等命题，故略去证明 推论：对于任意的u n ， ( 1 ) a ( u ) 是l ( u ) 的右逆，矿( u ) 是l ( u ) 的左逆，即矿( u ) ：i n 巾；工。( 。) 吐 ( 2 ) l ( u ) 是单调增的连续函数 ( 3 ) 令z ( u ) 表示l ( u ) 的s t i e l t j e s 测度的支撑，则( o ，。) z ( u ) 中的小区 间按照先后顺序一一对应于d y ) 中的点( 肛( u ) 的不连续点) 现在，我们利用 k ；t d y ) 以及协k 。来构造一个m 。k o v 链 设 瓦k o 是与 k ；t 研) 独立的典范链，其转移函数为( ) 令 口= i n f f s 0 ；x 。= 0 1 2 对于任意的t o ，令 x t ， k p a 一库) 1 i m i n f t l ok ( t ) 0 则 也h o 是一个取值于e 的过程并且它的所有的轨道满足条件a 关于= 的条件概率记作p t ，p 0 ) 简记作p ) 显然p p = o ) _ 1 引理32 ：对于任意的t o ，令m 产m e a s s t ；8 三一，s 隹u ( 应，忍) ) ，则 u d ” id 三t 一。，如果t 乏正 帆2 。，如果如 证明：( 1 ) 当a = o 时对于任意的t o ，由于侥= d 印( k ) ，所 s d y ，s 兰 以 饥= d 岛 对于任意的s o ，当存在t d y 使得s ( 酊，岛) 时，由命题3 3 ( 3 ) ， 陇，= s u p u ；l 。= l 。) 这时( 阿，岛) 是的l 的平直区间，所以尻。= = 觑又m 在( 盯，风) 上不增，所以m 。= m 胁从而m 。= m m = m 几= d l 。 当sgu * d ，( 阿，觑) 时，由命题3 3 ( 3 ) ，民。= s ，所以m 。一m p 。= d 三。 ( 2 ) 同理可证a o 的情形 口 定理3 3 ：对于任意的 o 以及u 上的卯非负可测函数，( ”) ， 剧。聂，e x p 一a 压) ，( 跚胡邶 z 。e “蛳 ( 3 “d y 。 证明：因为户 ) 是；t d y ) 的特征测度，所以对于任意的o n o ，令，7 ( ) = ，( w ) 砸。1 ( 一o ( ) ) 刷。磊，丁警锄觑学小伽p - 唰黝慨) ) 印 ，) 篆e 蚓w ( 釉刍 k = 0 。“ 雹门e 薯唧p ( 釉；) k = 0 “。 由于。磊! t 篆瓤，( 避黝( 础x p 郴( 等m k ) 6 日 e x p 卜a 麽) ，( k ) ， ，f n t o ， e z o 。e 埘柏( 托脚= p z 0 。e 刈排e z 。e “埘 ( 3 1 2 ) 证明：令，= 舻e 圳0 。l ( e ( t ) ) 出= 铲e 枷0 ； ( e ( t ) ) 出，则，为u 上的非负可 测函斯南常硼33 但 所以 觑卜m 楸) e 序舡= 副。唧 p 卜a 筒) ，陬) “d y = 。蠹唧簖) 广盯e “j ( 酬出 = 。e ) ( p 卜z 肛筒e 砘懈种 = 。吕e “( 删t = 卜舳岫( 聊t 烈z 。e 枷榭皿埘：。e 州蚓叫z 0 。e 砒( 础味 口 1 5 fd 入一1 【d + 。e 一 s ( s ) d s l 1 ， n j = 盼汝三：曼黥 if e 。) r o o ( a ) ， t ，j o ： f 3 1 3 1 引理3 3 ：对于任意的 o ，t ，j e ，口 铲e 砘) ( 五) 出) 5 ( 1 ) 证明：( 1 ) 由引理3 2 ， f 上。e 埘如 ( 五脚圳z 。e 埘响( 五胁) ：d 趴_ r 。e 州d 丘 ：d e 厂。圳咄) = d - z o 。e x p 一m - d + z 。e 一如( s ) d 副) 出 ：da 一| d 十，0 0e 一 s 工i ( s ) 如1 1 = r o o ( 川 对于任意的j e ，po ，由( 3 7 ) 以及定理3 4 立得 e 上e _ 。 ( 五) 4 好 ：f o 。e 一 t q 。( j ) d t 入一1 - 【d 十上o 。e 一1 8 ( s ) d s l 1j 0 j u ( 2 ) 对于仕恿的a o ，i ，j b ，j o 础z 。e 埘) ( 墨煳 = z 4e 枷 ( 忍) 出) + 口 f e 。) ( 凰) 出) ：( 。e 砒硒出+ 毗咖上。e 。墨) 出) j 0 o u 同理，e 。 铲e m o ( x ) 出) = 旁 e 一蛔) r 0 0 ( a ) 口 o o o 扎 地晒划 j j ， j 町吣 ”嘶 盘 = v 0 z 0 一 sds 、 引理3 4 ：( 1 ) 对于任意的 e a o ，函n ( a ) = ( 2 ) 对于任意的，j e ，l i m 一。a = ， ( 3 ) 对于任意的t ，j e ，l i m h 。 阻。j ( ) 一吲一q 廿 证明( 1 ) 由峋( ) 的定义， r 0 ( a ) = d a _ 1 k = o d + ，。e 曲( t ) 叫， j 0 + 耋z 0 。e 刈州贯1 d + ：0 。e 咖d r 】_ l d t + 善z8 。州贯1 ”8 咖附) d r 】。出 - d + 薹m 冲】+ z 。e 咖哪r 】) 1 - 【d + j ( 。e 小( r ) 州d + z 。e 山脚渺】卜； 对于任意的f e ，i o ，a o 竺。r 。 r 徙( a ) = o ( 3 ) l i m 一o oa r 。o ( a )= e 。 e 一1 。) = 1 i m 一。铲e m p 盯班 = u m 。o 。1 1 一j f e m f 口 t ) 出 = l i m 。j ；产e 一“a o ( t ) d 亡= o l i m _ o 。1 ( a ) = 1 i m 。o 。i a 铲e m 鼬( ) 以+ a e 。 e = 面j + o = 瓯j ， vj o 熙m 伽( 护1 = 熙a 再矿蒜一1 ) ；熙群器 - ：舰( r )一再。j 骂“州 一舰 蚤卯e + 厶觥) 叫酬 对于任意的j e ，j o 概聃试壮熙谱篱 = ：- 离吼( 忉) = 舰匡嘛+ 五e 靴) 州酬 = 口0 j 对于任意的i ，j e ，t ，j o 恶1 ( a 勺一如) = 拦a p z 。e 。岛( t ) 疵 + 拦怒( e “9 a 2 - 啊( a ) = q 玎+ o q 町= q 竹， 同理， 1 i m - + 。a 2 r o ( a ) = l i m o 。a 2 产e 一1 。血o ( t ) d t = 吼。 定理3 5 ：h ( a ) ；i ，j e ) 是一个预解式 口 证明：( 1 ) 对于任意的a ，a 1 o 以及i ，j e ， ，j o _ e z 0 。e 。1 。i 】( 噩) 出z 。e 。8 ( 五+ 。) 幽) = 别。吕。邑嚣z 。e 。1 她( t 一筒) ) e 小( 琊+ s 应岫陆彬刊妣) = 剧。筹z 舻。e 呐鼬一例e 咄锄( 琊伊俐捌s ) 十引。磊。仨仨e “q 州础一例e 如( 琊+ s 一删删s ) = i + 由定理33 以及定理3 1 。p 广盯广卜。e 呐q 州酬e 咄锄( 础删胁) 因为 所以 一 e 一1 1 i 。 ( e ( t ) ) e 一 。0 ) ( e 0 + s ) ) d t d s ) e 一1 1 曩。) ( e ( t ) ) e 1 翰( s ) d 如) t 。) ( e ( t ) ) 出 上e 。3 国( s ) 如= r 町( a 1 ) r 口f ，一 乓一e 。8 叱 ( k ( + s 一酊) ) d s _ e _ 帆。) 仁? 。一州，一例d s ， j 8 ：一b u “? 、。 ( 令s = s + t 一阮，作坐标变换) 1 5 西。j ( s ) 如 肚引。；善嚣e 呐咐础一俐e 叫肛珊仨e 扎7 叱烘一例蹦)u ， d y ， u 。p no 雕一阢 = 剧。蠹e 一盯严e 呐嘲酬e 叫州出 。纛。e 叫e 小7 ( m ，) ) 蹦) f 厂 e ，厶 印 上上上 p p p 工 l l d d d e e e z上z e e e 由p 0 i s s o u 点过程的计算公式以及定理( 3 3 ) 得 所以 = e z o 。e a l 2 d 工。) 户 z 。oe 一 1 。j 。 ( e ( t ) ) e 一 1 ( d “) 一日d t ) 恻z ”e 呐饥) p z 。e 粕酬巾) ) d s ) ：e 。e a - 。札。) 。户 e ( t ) ：i ) 啻。 e 一) 咖( a ) ：，嘶窗t f e 一) ，。， j 0，0 e 蝣e 呐啉删t z 。e1 8 “，) ( 墨+ 。) d s ) = ， ( a 1 ) n ，( a ) ( 2 ) 对于任意的a ，a 1 o 以及j e j o ，由引理3 2 引f 。e 呐w 删t z 。e 小丑州) 出) ：e 忻e 呐e z 0 。e 战。升( 墨) d s ) _ d 副0 。e 呐饥。z 。e 砘锄( 五) d s ) = = d e t ：e 一) 1 。”a ne # ” 三je i 、s i 。3 、t x a d 8 、 卸! 。e p 钆e 抵。纛。鬈e 咄( 耶一删如) 如 口d y w 。脚 书j ( e p 风。纛。e _ ( 珊。广”e 岫舢) ) d s 扣 井j ( 。e p ) 蚓z 。e 州哆j ( 0 。e “睬刮 ( 3 ) 对于任意的a ，a 1 o 以及j e ，t o e z 。e 呐埘五) 出z 。0e “0 0 ( ) = 救如( 瑚卜薹e 忻e 呐埘珈z 。e 扎( 油) 刮 静a ， = r o t ( a 1 ) r 。o ( a ) ( 4 ) 对于仕葸的a ，a 1 o ，a 1 ，j f 茎e 昕e 呐瑚z 。e “，( 酬d s ) = e 蝣z “e 呐吲胁出) = e z o 。e c 1 一 h a tz 。e 一 5 ，t ，( x 。) a s ) = 引石。e 山( 删sj ( 8e m 一嘞) = 志一e z 。e 。( 墨) 幽 ，一e m 。，3 ) = 忐e 上o 。e “5 叱l ( 咒) d s 一o 。e 。”叱 ( 也) d s ：塑盟二型! 查! ! a 1 一a 所以薹讯( ( 砷= 堕 等盟类似可证明a o ，a 1 a ，i ，j e ，i o ， 如m h 舶) = 攀警掣 r ；( a 1 ) r k j ( a ) = ! ! ! ! ! j ：； 二二里! 结合引理( 3 3 ) 可知( a ) ；i ，j e ) 是一个预解式 口 显然，我们有 定理3 6 ： 玉) 是一个预解式为( a ) ，j e 的m k o v 链，它的对于状 态。的游程系为( t ) ，”。( 如) ，蜘1 ，彻， 注：( 1 ) 因为。是硒( t ) 的吸收态，所以 i ( t ) ) c 0 的修正后的过程的轨道 几乎必然地在遇到。状态以后，永远地停止在。状态 ( 2 ) i ( t ) ) 伽修正后仍记作 e ( t ) ) 伽 ( 3 ) 对于任意的 o ，令五= n 一 己；s ( o ，t + 卅) 忻) 跏是 i ( ) ) 伽的 5 0 自然滤子 ( 4 ) 修正后的过程的轨道具有右下半连续性，并且修正后的过程具有 强“m a r k o v 性” ( 5 ) 对于一般的m a r k o v 过程来说，i t o 复合定理未必成立 参考文献 1 王梓坤，生灭过程和马尔可夫链，科学出版社，1 9 8 0 2 】杨向群，可列马尔可夫过程构造论，湖南科学技术出版社，1 9 8 0 3 】b l u m e n t h 出e 茁c u r 鲥d n so ，m o r 七洲o c e s s e s ，s p r i n g e 卜v e r l a g ，1 9 9 1 4 i k e d a w a t a n a b e ，s 5 t o c 九o s “c 击，e r e 礼t n 2e q 札n o 忆s n n dd i ，“s 。儿p r o c e s s e s s p r i n g e r v e r l a 1 9 8 9 【5 】j e a nb e r t o nl e 可p r 。c e 5 s e s s ，c a m b r i d g eu n i v e r s i t yp r e s s ，1 9 9 6 【6 1 s p m e y t la n dr l t w e e d i em o r 七删e n n s n 几ds o s t 如s n 托m ”， sp r i n g e p v e r l a g ，1 9 9 6 ( 7 w i l l i 锄j a n d e r s o ng 0