（基础数学专业论文）yetterdrinfeld范畴中entwined模与maschketype定理.pdf

摘要 这篇论文主要研究了在y e t t e r d r i n f e l d 范畴中的e n t w i n e d 模及其性质我们一方面 给出了y e t t e r d r i n f e l d 范畴中e n t w i n e d 模的一般形式，并列出几种特殊的e n t w i n e d 模； 另一方面在此基础推证了在y e t t e r d r i n f e l d 范畴中关于e n t w i n e d 模的m m s c h k e - t y p e 定 理 第一章介绍了e n t w i n e d 模的发展背景以及本文的研究来源，e n t w i n e d 模是具有更 广泛意义的特殊模类，其中h o p f 模、相关h o p f 模、相关【c ，刎h o p f 模、d o i ，k o p p i n e n 模、y e t t e r d r i n f e t d 模都是e n t w i n e d 模的特殊情形同时d o i 的文章 1 3 研究了在 y e t t e r d r i n f e l d 范畴中的h o p f 模及其性质，于是我们将其推广到y e t t e r - d r i n f e l d 范畴中 的e n t w i n e d 模 在第二章里，先介绍y e t t e r - d r i n f e l d 模范畴的定义记作f f d ，以及e n t w i n i n g 结 构与e n t w i n e d 模的定义，分别记作( a ，c ) 妒和懈( 矽) 其次引入了a 一余环的定义记 为( c ，墨) ，a 为有单位元的结合代数一个a 余环c 是余可分的当且仅当结构映射 ：c co ac 作为( c ，c ) 一双余模映射是可裂的一个共变函子f ：a _ b 是可分函 子当且仅当 歹：日d m 4 ( 一，一) 一h o m b ( f ( - ) ，f ( 一) ) 是一个函子的余保核收缩 在第三章中我们给出了y e t t e r - d r i n f e l d 范畴中的e n t w i n i n g 结构和e n t w i n e d 模的 定义，并记作l y d ( a ，c ) 妒与y d 譬( 妒) ，然后取不同的妒得出几种特殊的模类，如果 m 乏y d 譬( 砂) ，取 妒：h h 一日0h ，圆h _ 一1 _ h 1o h o h 2 ， 则m 为y e t t e r d r i n f e l d 范畴中右h h o p f 模； 取 矽：b a _ a b ，b 圆a b 一1 _ a oob o a l ， 则m 为y e t t e r d r i n f e l d 范畴中相关h o p f 模； 取 妒：c0 a _ a0 c ， c0 a _ c 一1 一a 10 c 0 a 2 ， 则m 为y e t t e r d r i n f e l d 范畴中相关【c ，a l h o p f 模； 取 妒：c0 a ao c ，c a _ c 一1 _ a o0 c 0 a l ， 则m 为y e t t e r d r i n f e l d 范畴中d o i k o p p i n e n 模 在第四章中，证明了y e t t e r - d r i n f e l d 范畴中与e n t w i n e d 模相关的一个性质，设c = ao c 为l y d 中的a 一余环，记艺y d 中的右c 一余模范畴为l y d c ，则l l 上，a c ( 砂) 兰主 y d c 接着证出了在y e t t e r d r i n f e l d 范畴中， c 是余可分等价于在乏y d 中忘却函子 ( - ) a ：l y d c 一艺y d a 是可分的同时我们还有c 在l y d 中余可分等价于存在l y d 中模同态p ：c0c _ a ，使得下面三个式子成立： ( 1 ) m ao ( i ao 口) o ( 矽 i c ) o ( i c 圆妒) = m ao ( p 厶) ； ( 2 ) 口0 = 肛0 ； ( 3 ) 妒o ( i c 口) o ( i c ) = ( poi c ) 0 ( i c ) ， 称这样的口为l y d 中( a ，c ) 妒中的正规化积分映射 最后得证出在y e t t e r d r i n f e l d 范畴中关于e n t w i n e d 模的m a s c h k e - t y p e 定理：在 l y d 中的忘却函子( 一) j 4 ：2y d 譬( 矽) 一2y d a 是可分的当且仅当存在l y d 中( a ，c ) 妒 中的一个正规化积分映射p 关键词：e n t w i n e d 模，y e t t e r d r i n f e l d 范畴，余可分余环，可分函子，正规化积分映射 a b s t r a c t t h i sp a p e rm a i n l ys t u d i e se n t w i n e dm o d u l e sa n dt h e i rp r o p e r t i e si ny e t t e r d r i n f e l d c a t a g o r y , w ei n t r o d u c et h eg e n e r a la n ds p e c i a lc a s e so fe n t w i n e dm o d u l e si ny b t t e r d r i n f e l dc a t a g o r y , o nt h eb a s i so fw h i c hw ep r o v em a s c h k e - t y p et h e o r e mf o re n t w i n e d m o d u l e si ny e t t e r d r i n f e l dc a t a g o r y c h a p t e rir e c a l l st h eb a c k g r o u n d so fe n t w i n e dm o d u l u e sa n dp r e s e n t ss o m eb a s i c p r o p e r t i e sa b o u te n t w i n e dm o d u l e s i na d d i t i o n ，w ei n t r o d u c eh o wt h eq u e s t i o ni n v e s t i g a t e di nt h i sp a p e rw a sp r o d u c e d t h a ti st os a y , e n t w i n e dm o d u l e sa r em o r eg e n e r a l i z e d k i n d so fs p e c i a lm o d u l e s ，w ec a nc o n s i d e rh o p fm o d u l e s ，r e l a t i v eh o p fm o d u l e s ，r e l a t i v e c ，a 卜h o p fm o d u l e s ，d o i k o p p i n e nm o d u l e sa n dy e t t e r d r i n f e l dm o d u l e sa u st h e i rs p e c i a l c a s e s i nc h a p t e ri i ，w ef i r s ti n t r o d u c et h ec o n c e p to fy e t t e r d r i n f e l dc a t a g o r yw h i c hi s d e n o t e da sl y d ，t h ec o n c e p to fe n t w i n i n gs t r u c t e r sa n de n t w i n e dm o d u l e sw h i c ha r e d e n o t e da s ( a ，c ) 妒a n d 懈( 矽) a l s o ，w eh a v et h ed e f i n i t i o no fa c o r i n gw h i c h i sd e n o t e d a s ( c ，垒，曼) ，h e r ead e n o t e sa na s s o c i a t i v er - a l g e b r aw i t hau n i t i nf a c t ，a na c d r t 凡口c i ss a i dt ob ec o s e p a r a b l ei ft h es t r u c t u r em a p ：c _ c a cs p l i t sa sa ( c ，c ) 一b i c o m o d u l e m a p a l s o ，ac o v a r i a n tf u n c t o rf ：a _ bi as a i dt ob eas e p a r a b l ef u n c t o ri f 厂：h o l r t a ( 一，一) _ h o m b ( f ( 一) ，f ( 一) ) i saf u n c t o r i a lc o r e t r a c t i o n i nc h a p t e ri i i ，w ei n t r o d u c et h ec o n c e p to fe n t w i n i n gs t r u c t e r sa n de n t w i n e dm o d u l e si ny e t t e r d r i n f e l dc a t e g o r yw h i c ha r ed e n o t e da s y d ( a ，c ) 砂a n dl l c ( 妒) i n p a r t i c u l a r ，i f 矽：h 圆h _ h 圆h ，h 7 圆h h 7 1 _ h 10h o h 2 ， t h e nmi sar i g h th h o p fm o d u l ei ny e t t e r d r i n f e l dc a t e g o r y ； i f 妒：boa a b ，b0 a _ b 一1 一a o b o a l ， t h e nmi sar e l a t i v eh o p fm o d u l ei ny e t t e r - d r i n f e l d c a t e g o r y ； i i i i f 砂：c a aoc ， c0 a _ e 一1 _ a 1oc 0 a 2 ， t h e nmi sar e l a t i v e c ，州一h o p fm o d u l ei ny e t t e r d r i n f e l dc a t e g o r y ； 妒：c a _ aoc ，c 圆a _ c 一1 一a o0 c o a 1 ， t h e nmi sad o i k o p p i n e nm o d u l ei ny e t t e r - d r i n f e l dc a t e g o r y i nc h a p t e ri v ，w ep r o v eap r o p e r t yw i t hr e l a t i o nt oe n t w i n e dm o d u l e si ny e t t e r d r i n f e l dc a t e g o r y l e tc=ao cb ea na c o r i n gi nl y d ，d e n o t er i g h tc c o r i n gc a t e g o r y i nl y da sl y d c ，t h e nl l c ( 矽) 竺艺y d c w ec o n t i n u et op r o v et h a tci sc o s e p a r a b l e w h i c hi se q u i v a l e n tt ot h a tf o r g e t f u lf u n c t o r ( 一) a ：2y d c _ 2y d ai ss e p a r a b l ei ny e t t e r d r i n f e l dc a t e g o r y a tt h es a m et i m e ，t h a tci sac o s e p a r a b l ea c o r i n gi fa n do n l yi ft h e r e e x i s t say e t t e r d r i n f e l dm o d u l e sh o m o m o r p h i s m0 ：coc _ a ，s a t i s f i e st h ef o l l o w i n g c o n d j t i o n s ： ( 1 ) m ao ( 厶o0 ) o ( 妒 七) o ( 七。砂) = m ao ( 0o 厶) ； ( 2 ) 0 oa = poe ； ( 3 ) 妒o ( co0 ) o ( a 七) = ( 0 七) o ( c ) ， s u c ham a p0i sc a l l e dan o r m a l i s e di n t e r g a lm a pi n ( a ，c ) 妒 a tl a s t ，w ep r o v em a s c h k e t y p et h e o r o mf o re n t w i n e dm o d u l e si ny e t t e r - d r i n f e l d c a t e g o r y n a m e l y ，i ny e t t e r d r i n f e l dc a t e g o r y , f o r g e t f u lf u n c t o r ( 一) a ：乏y d c _ 2y d a i ss e p a r a b l ei fa n do n l yi ft h e r ee x i s t san o r m a l i s e di n t e r g a lm a p0i n ( a ，c ) 妒 k e yw o r d s ：e n t w i n e dm o d u l e s ，y e t t e r d r i n f e l dc a t e g o r y , c o s e p a r a b l ec o r i n g ，s e p - a r a b l ef u n c t o r ，n o r m a l i s e di n t e r g a lm a p i v 独创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已 经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得河南师范大学或其他教育机构的学位或证书 所使用过的材料与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确 的说明并表示了谢意 签名： 厍数一日期码纽婵 关于论文使用授权的说明 本人完全了解河南师范大学有关保留、使用学位论文的规定，即：有权保留并向国 家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅本人授权河南师 范大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩 印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 硌丝撇名：警啉燃 4 9 第一章引言 h o p f 代数是数学中最活跃领域中的一个分支，2 0 世纪四十年代初h o p f 在研究拓 扑群中的余链( c o c h a i n s ) 时构造出既有代数结构又有余代数结构的特殊结构，从而提出 了h o p f 代数的概念其中c a r t i e r ，h a r l g e n 和b o r e a l 也有类似的研究，直到1 9 6 5 年 m i l n o r 和m o r e 合作发表文章 1 0 ，h o p f 代数的概念才正式形成，而后迅速发展成为一 门新的科学体系 在h o p f 代数中，辫子m o n o i d a l 范畴是一个重要概念，它在量子群、低维拓扑、三维 流形、辫理论、纽结理论、y a n g b a x t e r 方程等领域都有重要应用 1 】 2 】【3 】辫子m o n o i d a l 范畴的一个重要背景是由f e d d v 、r e s h c t i k i n 和t a k h t a j a n 等构造的h o p f 代数上的表 示范畴 y e t t e r 在1 9 9 0 年给出了交叉双模【5 ( y e t t e r - d r i n f e l d 模 7 】或y e t t e r - d r i n f e l d 结构，或y a n g - b a x t e r 模 6 】) 一个y e t t e r d r i n f e l d 模既是一个模又是一个余模且模作用 和余模作用满足相容条件，且指出当l 是有双射对极的h o p f 代数时，y e t t e r d r i n f e l d 范畴l y d 是一个辫子m o n o i d a l 范畴，这时y e t t e r d r i n f e l d 范畴就具有较好的性质 由于h o p f 模有很好的性质，文 1 0 】给出了基本结构定理，文 1 4 中给出h o p f 模 的推广 c ，刎一h o p f 模，( a ，b ) 一h o p f 模， y u k i od o i 对其进行了深入研究， 1 9 9 0 年在 文【1 9 】中给出了d o i h o p f 模：若日是h o p f 代数，a 是右日余模代数，c 是左日- 模余代数，称m 为d o i h o p f 模如果m 既是左a 一模又是右c 余模且满足一定相容条 件这样h o p f 模，分次模，y e t t e r d r i n f e l d 模都可以看作是d o i h o p f 模的特殊情形 然而，当b r z e z i f i s k i 和m a j i d 引入e n t w i n i n g 结构和e n t w i n e d 模之后，研究了三十余年 各种h o p f 模范畴就可以统一起来简单地说，一个e n t w i n i n g 结构就是三元组( a ，b ，矽) ， a 是一个代数，c 是一个余代数， 砂：coa _ a 圆c 是满足若干条件的线性映射，如果取 矽：c a _ a c ， e0a 口o0 c a l ， 那么( a ，b ，砂) 是一个e n t w i n i n g 结构，对应的e n t w i n e d 模就是d o i h o p f 模于是d o i h o p f 模又可以归结为e n t w i n e d 模这一类 y e t t e r d r i n f e l d 范畴中e n t w i n e d 模与m a s c h k e - t y p e 定理 y u k i od o i 在文章 1 3 】中研究了y e t t e r d r i n f e l d 范畴中的h o p f 模，并给出了重要的结构 定理：若日是f y d 中的h o p f 代数，m 是右h h o p f 模，定义 m c d = 【m mip m ( m ) = mo1 h ) ， 则在f f d 中，作为右h h o p f 模m 与m 日 h 同构作为推广已有文章研究了y e t t e r d r i n f e l d 范畴中的相关h o p f 模，给出了y e t t e r d r i n f e l d 范畴中( 4 ，b ) h o p f 模定义及基 本结构定理，并讨论了其对偶情况文 1 1 】研究了一般情况下与余环有关的e n t w i n e d 模 的性质，及文【2 4 2 5 2 6 】都得出其相应m a s c h k e - t y p e 定理 本文主要研究了在y e t t e r d r i n f e l d 范畴中的e n t w i n e d 模，使得y e t t e r d r i n f e l d 范畴 中各种h o p f 模类都统一在其中，并且证明了关于的e n t w i n e d 模的m a s c h k e t y p e 定理在 y e t t e r d r i n f e l d 范畴亦成立，同时讨论了y e t t e r d r i n f e l d 范畴中的e n t w i n e d 模的一些性 质 2 第二章预备知识 本文的研究内容涉及y e t t e r d r i n f e l d 范畴中的模作用与余模作用，以及余环中的余 乘和余单位因此，先给出一些与y e t t e r - d r i n f e l d 模有关的模作用与余模作用以及余环 中的余乘和余单位，以及关于h o p f 代数作用与余作用相关的预备知识 在本文中如无特殊说明，我们一律用k 表示一个确定的域l 为域k 上的h o p f 代数，且有双射的对极s l 代数和余代数及线性空间都定义在k 上，对于域k 上的双 代数日，它的乘法、单位、余乘、余单位分别记为：m 日、p h 、h 、e h ，我们将沿 用以往记法，并将日中的余乘简记为：日一h h ，( 九) = h 1 h 2 ，vh 日；用 f _ 口表示左l 模作用， 仃y 表示左厶余模作用；记作吼( ) = 可- 1 v o ，用u m 和 p 朋表示右a 一模作用和右d 余模作用，记作叫m ( m o a ) = m 口，p m ( m ) = m o o m l ；用 ，墨表示余环的余乘、余单位 2 1 定义及例子 定义2 1 1 称y 为y e t t e r d r i n f e l d 模如果y 既是左l 模，又是左l 余模，且 满足相容条件： 或者等价于 ( 1 ) l l v - 1 l z 一护= e l ；1 _ ) - 1 1 2 ( f _ ) 。， ( 2 ) 吼( z 一钉) = l l v 一1 s ( f 3 ) 1 2 _ u o ，vl 厶u v 设y ，w 为y e t t e r d r i n f e l d 模，：y 一称为y e t t e r d r i n f e l d 模同态，如果厂既是左 上广模同态，又是左上广余模同态易知所有y e t t e r - d r i n f e l d 模与其同态映射构成范畴， 记为2 y d 若v 艺y d ，定义v w 的左l - 模： 及y w 的左l 余模： f _ ( 加) = f 1 一 1 2 _ 叫， p ( 伽) = e v - 1 w 一1 护 叫。， 3 则易证v we ly d ，且为m o n o i d a l 范畴再定义 t ：v w _ w0v 口ow _ 7 - ( 口 w ) = 丁一1 ：w0y _ v0w 钞一1 _ w0 v o ， w 钞_ 7 - - 1w 口) = 钞。否( 秽1 ) _ 彬， ( 其中否是s l 的合成逆) ，则l y d 为辫子m o n o i d a l 范畴 定义2 1 2 设r 为一个交换环，a 是r 代数，c 为r 余代数，称( a ，c ) 妒为r 上( 右右) e n t w i n i n g 结构，如果冗模映射 满足下面条件： 砂：c a 叫a e ( 1 ) 妒o ( i com a ) = ( m a i c ) o ( i ao 矽) o ( 妒。厶) ； ( 2 ) ( 厶 a ) o 矽= ( 矽。七) o ( i co 妒) o ( ao 厶) ； ( 3 ) 矽o ( c 弘) = 弘。七； ( 4 ) ( 厶 g ) o 砂= so a ， 称这样的妒为e n t w i n i n g 映射若记妒( c a ) = a a c a ，则上述条件依次等价 于：va ，a 7 a ，c c ( 1 ) a ( 凸o ，) 口 c q = a po a o 台圆； ( 2 ) q q no ( c a ) 1 ( c 。) 2 = a 口。卢a 圆( c 1 ) ao ( c 2 ) 声； ( 3 ) 口1 aoc a = 1 圆c ； ( 4 ) 口o q e ( c a ) = o ( c ) 定义2 1 3 设( a ，c ) t f ，为上述定义的e n t w i n i n g 结构，称m 为( 右一右) e n t w i n e d 模 如果下面条件满足： ( 1 ) ( m ，w m ) 是右a 一模，模作用为；w m ( m 圆a ) = m o ； ( 2 ) ( m ，p m ) 是右c 一余模，余模作用为：j d m ( 仇) = m o 圆m 1 ； 4 第二章预备知识 ( 3 ) 上述模结构与余模结构满足下面相容条件： p m ou m = ( w m o 七) ( 而。妒) 0 m i a ) ， 记e n t w i n e d 模范畴为孵( 砂) 显然一个e n t w i n e d 模同态既是一个右a 一模同态又是一 个右d 余模同态 定义2 1 4 设日是一个双代数，4 是一个代数，如果对于任意的h 日a ，b a 下列条件成立： ( 1 ) ( a ，) 是一个右日一模； ( 2 ) ( a b ) h = ( o h t ) ( b 九2 ) ； ( 3 ) 1 a - h ：e ( 九) 1 a ， 那么代数a 被称为一个右日一模代数 定义2 1 5 设日是一个双代数，c 是一个余代数，如果对于任意的h h ，c c 下列条件成立： ( 1 ) ( c ，) 是一个右肌模； ( 2 ) ( c h ) lo ( c a ) 2 = e c l h ioc 2 h 2 ； ( 3 ) e ( c h ) = e ( 九) ( c ) ， 那么余代数c 被称为一个右日一模余代数 定义2 1 6 设日是一个双代数，a 是一个代数，如果对于任意的n ，b a 下列条 件成立： ( 1 ) ( a ，p ) 是一个右日一余模； ( 2 ) ( n 6 ) o ( a b ) 1 = e0 0 b o a l b l ； ( 3 ) p ( 1 a ) = 1 ao1 日， 那么代数a 被称为一个右日余模代数 定义2 1 7 设h 是一个双代数， c 是一个余代数，如果对任意的c c 下列条件 成立： 5 y e t t e r d r i n f e l d 范畴中e n t w i n e d 模与m a s c h k e - t y p e 定理 ( 1 ) ( c ，p ) 是一个右日一余模； ( 2 ) e ( c 1 ) o ( c 2 ) o ( c 1 ) 1 圆( c 2 ) 1 = e ( c o1 ( c 0 ) 2 c 1 ； ( 3 ) e ( c o ) c 1 = ( c ) ， 那么余代数c 被称为一个右日余模余代数 2 2 相关的性质 定义2 2 1 设冗为一个交换环，a 为有单位元的结合冗代数，称( c ，a ，量) 为a - 余环，如果c 是( a ，a ) 一双模，和是( a ，a ) 一双线性映射，且满足： ( 1 ) ( 忍o ) = ( o 屯) ； ( 2 ) ( 七。量) 全= c = i c ) 全， 称具有上述性质的和墨为余结合和余单位 定义2 2 2 我们称一个a 余环c 是余可分的，如果结构映射a ：c _ cp ac 作为 ( c ，c ) 双余模映射是可裂的，也就是说存在一个( a ，a ) 双模映射7 r ：c ac c ，使得下 面式子成立： ( 1 ) ( c 7 r ) o ( aoi c ) = o7 r ； ( 2 ) ( 丌o c ) o ( c ) = o7 r ； ( 3 ) 7 ro = 乇 和 6 定义2 2 3 对于一个a 余环c 下面的条件是等价的： ( 1 ) c 是余可分的； ( 2 ) 存在一个( a ，a ) 双模映射6 ：c ac a ，满足： ( 尼o6 ) o ( 垒 尼) = ( 6o c ) o ( 尼圆垒) 6o = ； 第二章预备知识 ( 3 ) 忘却函子( 一) 月：m c _ m a 是可分的 定义2 2 4 设c = a 圆c ，则可知c 是一个与e n t w i n i n 结构有关的a 一余环，且c 是一个余可分的a 余环等价于存在一个 口：c c a 使得下面三个式子成立； ( 1 ) m ao ( i a 目) o ( 矽。如) o ( 1 co 矽) = m ao ( p 厶) ； ( 2 ) po = p oe ； ( 3 ) 妒o ( i co 口) o ( i c ) = ( 臼oi c ) o ( 七o ) ， 称这样的伊为( a ，c ) 妒中的正规化积分映射 1 第三章y e t t e r d r i n f e l d 范畴中的e n t w i n e d 模 在本章中我们给出了y e t t e r d r i n f e l d 范畴中的e n t w i n i n g 结构和e n t w i n e d 模的定 义，并记作l y d ( a ，c ) 妒与2 y d 异( 矽) ，然后取不同的矽得出几种特殊的模类 3 1y e t t e r d r i n f e l d 范畴中的e n t w i n i n g 结构 定义3 1 1 若a 2y d ，称a 为l l y d 中的代数，如果满足下面条件： ( 1 ) a 是左l 模代数 ( i ) f 一( a a 7 ) = ( 1 1 _ o ) ( f 2 _ a t ) ， ( i i ) 2 1 a = l ( 1 ) i a ， ( 2 ) a 是左l 余模代数 ( i ) a a ( a a 7 ) = a - l a 卜1 a o a 巾， ( i i ) g r a ( 1 a ) = 1 l 圆1 a ，vf l ，a ，a a 定义3 1 2 若g 为余代数，c 艺y d ，称c 为l y d 中余代数，如果满足下面条 ( 1 ) c 是左l 模余代数 ( i ) a ( t _ c ) = ( 2 1 _ c 1 ) p ( 1 2 _ c 2 ) ， ( i i ) e c ( 1 一c ) = l ( f ) c ( c ) ， ( 2 ) c 是左厶余模余代数 ( i ) e 1o ( c o ) l ( c 0 ) 2 = ( c 1 ) - 1 ( c 2 ) - 1 ( c 1 ) o ( c 2 ) o ， ( i i ) c - 1 e c ( c 0 ) = 8 c ( c ) i l ，vj l ，c c 定义3 1 3 设a 为乏y d 范畴中的代数，c 为l y d 范畴中的余代数，妒为y e t t e r - d r i n f e l d 模同态称( a ，c ) 1 f 为l y d 中e n t w i n i n g 结构，如果满足下面条件： 移：c a a c ( 1 ) 矽0 ( 七 m a ) = ( m ao c ) o ( a 妒) o ( 矽。厶) ； ( 2 ) ( a a ) o 矽= ( 妒。尼) o ( co 矽) o ( 厶) ； 9 y e t t e r - d r i n f e l d 范畴中e n t w i n e d 模与m a s c h k e t y p e 定理 ( 3 ) 妒o ( i co 肛) = p 七； ( 4 ) ( 厶 ) 0 砂= e i a ， 称砂为l y d 中的e n t w i n i n g 映射 若记妒( coa ) = a a c q ，则上述条件等价于，va ，a a ，c c ， ( 1 ) 7 aa a ，) q c a = a 口。口o z c a p ； ( 2 ) 7ao 口 ( ) 1 ( c 口2 = e q 口n 卢a ( c 1 ) 口 ( c 2 ) 卢； ( 3 ) 7 a1 口oc 口= 1 c ； ( 4 ) 7 aa a e ( c a ) = o ( c ) 例子3 1 4 在定义2 1 1 给出的l y d 中的辫子 t ：v0w _ w v 是中l y d 的e n t w i n i n g 映射 7 3 w 一 一1 wo o ， 证明：( 1 ) 先证7 _ 为左l 模同态，vw 彬 k 有 且7 - 为左l 余模同态， 1 0 7 - ( j _ ( 钉圆叫) ) = r ( 1 a 一 1 2 _ w ) ( 1 1 ( ( f 1 _ ) 。1 一( 1 2 _ w ) ( 1 1 一口) o _ u ) - 1 f 2 ) _ wo ( 1 1 一 ) o = l l v 一1 _ w 1 2 一口o = l 一( u _ 1 一wou o ) = z _ 7 叫) ， ( i lo7 - ) m ( 可 w ) = ( 屯o7 - ) ( t ，- 1 w - 1 护ow o ) = 口一1 叫一1 钞。一1 一w o 口， 第三章y e t t e r d r i n f e l d 范畴中的e n t w i n e d 模 而 p w 口下( upw ) = 阢印( 1 _ wo o ) = ( 口- 1 一叫) 1 口1 ( u 1 一叫) oo 可o o = ( 一1 ) 1 _ 叫) 一1 ( 一1 ) 2 圆( ( t ，一1 ) 1 一w ) oo 可o = ( v - 1 ) 1 w _ 1o ( v - 1 ) 2 _ w oo 钉o = 可一1 伽一1 o 一1 _ w o 钞 即p w 。v 7 = ( i l 7 - ) m ( 2 ) t 满足定义3 1 3 中的( 1 ) ，对va ，a 7 a ，c c 由c 是左l 余模： 知 ( moi o ) ( i a 7 - ) ( 7 _ x a ) ( c 圆a a ) ( mo 七) ( 厶 下) ( c - 1 一a c 0oa ) = ( mox c ) ( c 一1 一a c o 一1 _ a 7 圆c 0 0 ) = ( c - 1 _ o ) ( c 0 _ 1 _ a 7 ) 圆c 0 0 ， 下( i co 仇) ( c a a 7 ) 7 ( coa a 7 ) c 1 一( a a 7 ) c 0 = ( ( c - 1 ) 1 _ 口) ( ( c 1 ) 2 _ a t ) oc 0 ， c 一1 c 0 1 c 0 0 =( c - 1 ) 1o ( c - 1 ) 2 圆c 0 ， ( m 圆七) ( 厶 丁) ( 7 - oi a ) = 丁( 七 m ) 1 1 y e t t e r d r i n f e l d 范畴中e n t w i n e d 模与m a s c h k e - t y p e 定理 ( 3 ) 当然7 也满足定义3 1 3 中的( 2 ) ， ( 7 c ) ( 如 7 _ ) ( o a ) ( coa ) = ( 7 _ i o ) ( i c 圆丁) ( c 1o c 2oa ) = ( 丁 七) ( c 1o ( c 2 ) _ 1 _ a ( c 2 ) o ) = ( e 1 ) 。1 一( ( c 2 ) 1 一a ) ( e 1 ) oo ( c 2 ) o = ( c 1 ) - 1 ( c 2 ) _ 1 _ ao ( c 1 ) oo ( c 2 ) o ， 而 ( a 圆) 7 ( coa ) = ( 几o ) ( c - 1 一aoc 0 ) = c - 1 _ ao ( c 0 ) 1o ( c 0 ) 2 ， 由c 是左厶余模余代数：c - 1o ( c o ) ( c 0 ) 2 = c 1 ) 1 ( c 2 ) - 1o ( c 1 ) o ( c 2 ) o 知( 7 o 七) ( 七o7 ) ( a ) = ( ao ) 7 - 1 2 ( 4 ) 其次7 满足定义3 1 3 中的( 3 ) ， 丁( 七 p ) ( co1 ) = 7 ( c 1 a ) = c 一1 _ 1 a0 c 0 = e ( c 一1 ) 1 j 4o c 0 = 1 a c = ( p c ) ( c 1 ) ( 5 ) 最后7 - 满足定义3 1 3 中的( 4 ) ， ( i aoe ) 7 - ( c 圆a ) = ( i a 圆e ) ( c 1 一a c o ) = c - 1 一aoe ( c 0 ) = ( c ) o = ( eo 厶) ( coo ) 第三章y e t t e r d r i n f e l d 范畴中的e n t w i n e d 模 综上知7 为量y d 中e n t w i n i n g 映射 3 2y e t t e r d r i n f e l d 范畴中的e n t w i n e d 模 定义3 2 1 一个对象m 称为2 y d 的右4 一模，如果存在线性映射 u ：m0a _ m ， m a _ m a ， 使得下面条件满足： ( 1 ) ( m ，o ) m ) 是右a 一模； ( 2 ) f 一( m a ) = ( 1 1 _ m ) ( 1 2 一o ) ； ( 3 ) 口m ( m a ) = m - 1 a - 1 l r t 0 a o 定义3 2 2 一个对象m 称为2 y d 的右d 余模，如果存在线性映射 p m ：m _ m oc ， 使得下面条件满足： ( 1 ) ( m ，p m ) 是右d 余模，p m ( m ) = em o m 1 ； ( 2 ) p m ( z _ m ) = e ( t 1 _ l l t 0 ) o ( 1 2 一m 1 ) ； ( 3 ) m 1 ( m ooo ( 仇o ) 1 = ( t o o ) - 1 ( m 1 ) - 1 ( m o ) o 圆( m 1 ) o 口 定义3 2 3 设( a ，c ) 妒为之y d 中e n t w i n i n g 结构，m y d 称m 为中e n t w i n e d 模如果下面条件满足： ( 1 ) ( m ，( m m ) 是主y d 中右a 一模； ( 2 ) ( m ，p m ) 是圭y d 中右c 一余模； ( 3 ) p 肘ow m = ( mqi c ) ( j mo 移) ( p mo 厶) ， 设m ，为主y d 中e n t w i n e d 模，：m _ ，称厂为主y d 中e n t w i n e d 模同态： 如果厂是2 y d 右4 一模同态，又是艺y d 右d 余模同态易证宝y d 中e n t w i n e d 模中 与其同态构成宝y d 范畴中e n t w i n e d 模范畴记为；工l z 上a c 1 3 y e t t e r d r i n f e l d 范畴中e n t w i n e d 模与m a s c h k e t y p e 定理 定义3 2 4h y d ，h 为h o p f 代数，为其对极，称日为主y d 中的h o p f 代 数，如果满足下面条件： ( 1 ) 日为y d 中代数； ( 2 ) 日为乏y d 中余代数； ( 3 ) a ( h g ) = eh l ( ( h 2 ) _ 1 _ 9 1 ) ( 2 ) 0 9 2 a ( 1 t t ) = 1 ho1 h ，e ( h g ) = e ( 危) ( 9 ) ，e ( 1 h ) = 1 ； ( 4 ) s ( h g ) = ( 九一1 _ s h ( g ) ) s h ( h o ) ； ( 5 ) ( s h ( ) ) = ( ( 1 ) 一1 _ s h ( 2 ) ) os ( ( 1 ) o ) ， e 日s h = e h ，vh ，g h 定义3 2