（一般力学与力学基础专业论文）柔性多体系统中动力刚化的数值分析.pdf

摘要 在柔性多体系统中，很多部件的比重小且在系统工作时处于高速的旋转状态，经 常导致动力刚化现象的发生，此时部件的弹性运动对系统的动力学行为有着不可忽略 的影响。大部分实际多体系统中部件的变形很小，以往传统的多体系统建模理论一般 采用线性有限元理论建立弹性部件的力学模型，从而忽略了部件大范围的空间运动与 其弹性变形之间发生的耦合作用，动力刚化现象正是由这种耦合作用引起的。本文评 述了现有的几种主要的动力刚化项补偿方法，根据连续介质力学的基本原理，引入物 质坐标的描述方法，采用基于初始位形的非线性g r e e n 应变张量和k i c h h o f f 应力张量 推导柔性体的动力学方程。在综合现有方法的基础上提出了新的动力刚化项补偿方法 一差时初应力方法。该方法的主要思想是利用系统部件在前一时刻的内部应力构造由 于部件高速旋转产生的动力刚度项，因而能够在保持弹性部件运动方程线性的情况 下，以更小的代价模拟部件的动力刚化效应。论文中以平面柔性多体系统为研究对象， 建立比较精确的耦合动力学的数学模型，并使用差时初应力方法对其中部件在高速情 况下发生的动力刚化现象进行模拟。 【关键字】：多体系统；动力刚化；g r e e n 应变；k i c h h o f f 应力；差时初应力法 a b s tr a c t i nf l e x i b l em u l t i b o d ys y s t e m s t h er o t a t i o no fs o m ep a r t sw i t hl i t t l es p e c i f i cg r a v i t ya t h i g hs p e e da l w a y sc a u s et h ep h e n o m e n o n so fd y n a m i cs t i f f e n i n g a tt h i st i m e ，t h ee f k c to f e l a s t i cm o v e m e n to fp a r t so nd y n a m i cb e h a v i o ro fs y s t e m sc a l l tb ei g n o r e d f a c t u a l l y , b e c a u s et h ed e f o r m a t i o no fm o s to ft h ee l a s t i cp a r t sa r ev e r yl i t t l e t h el i n e a rf i l l i t ee l e m e n t t h e o r yi so f t e nu s e dt oe s t a b l i s hd y n a m i cm o d e li nt h ec l a s s i c a lm u l t i b o d ys y s t e mt h e o r y , a n d c o u p l i n go fs p a c em o v e m e n t i nl a r g es c a l ea n de l a s t i cd e f o r m a t i o no f p a r t si si g n o r e d t h ed y n a m i c s t i f f e n i n gi se x a c t l yc a u s e db y s u c h c o u p l i n g i n 也i sa r t i c l e s e v e r a le x i s t i n gm a i nc o m p e n s a t i o nm e t h o d sf o rt h et e r mo fd y n a m i c s t i f f e n i n ga r er e v i e w e d ；d e s c r i b i n gm e t h o do f m a t e r i a lc 0 0 r d i n a t ei si n t r o d u c e do nt h eb a s i s o ft h ep r i n c i p l et h e o r e mo fm e c h a n i c so f c o n t i n u u m ；a n dt h ed y n a m i ce q u a t i o no f f l e x i b l e b o d yi s d e r i v e df r o mn o n l i n e a rg r e e ns t r a i nt e n s o ra n dk i c h h o f fs t r e s st e n s o r w h i c ha r e b a s e do ni n i t i a lc o n f i g u r a t i o n an e w c o m p e n s a t i o nm e t h o d b e l a t e di n i t i a ls t r e s sm e t h o d i sd e v e l o p e df o rt e r mo f d y n a m i cs t i f i e n i n gb ys y n t h e s i z i n gt h ee x i s t i n gm e t h o d t h em a i n i d e ao ft h i sm e t h o di su s i n gi n t e m a ls t r e s so fl a s tm o m e n tt oc o n s t r u c tt h et e r mo fd y n a m i c s t i f f e n i n gc a u s e db yr o t a t i o na th i g hs p e e d t h e nt h ee f f e c to fd y n a m i cs t i f f e n i n gc a nb e s i m u l a t e da tl o w e rc o s tw h e nt h ee q u a t i o no f m o t i o no f e l a s t i cp a r t si sl i n e a r i nt h ea r t i c l e ，t h ef l e x i b l em u l t i b o d ys y s t e mo nt h ep l a n ei s r e s e a r c h e d ；t h ec o u p l i n g d y n a m i cm o d e lw i t hr e l a t i v ea c c u r a c yi se s t a b l i s h e d ；a n dt h ep h e n o m e n o no fd y n a m i c s t i f f e n i n gi ss i m u l a t e db y b e l a t e di n i t i a ls t r e s sm e t h o dw h e nt h ep a r t sa r er o t a t i n ga th i g h s p e e d k e yw o r d s ：m u l t i b o d ys y s t e m ；d y n a m i cs t i f f e n i n g ；g r e e ns t r a i n ；k i c h h o f fs t r e s s b e l a t e di n i t i a ls t r e s sm e t h o d i i 墨堡兰竺至竺! 兰垄! ! 些塑垄堡坌塑 _ _ h - “_ - h _ - _ _ _ - - t _ _ _ _ - _ - _ _ _ _ _ _ - _ _ _ _ _ _ _ _ 1绪言 在很多的工程领域中，存在大量复杂的机械系统，这些机械部件比重小并且在系 统工作时处于高速的旋转状态，从而产生了近年来学者们研究的热点多体系统中 的动力刚化现象。论文的引言部分主要介绍了柔性多体系统动力学的工程应用背景、 柔性多体系统动力学的分析原理、动力刚化现象的提出及研究现状，最后介绍了本文 的主要工作。 1 1 柔性多体系统动力学的工程应用背景 在航天器、机器人、车辆、机械与兵器等工程领域中，复杂机械系统的研制正面 临两大类问题，一类是涉及这些复杂系统的结构强度分析。多年来，由于计算结构力 学的理论与计算方法的研究不断深入，应用软件系统的成功开发，并已广泛应用于工 程结构的计算机辅助分析，大大推动了新产品的开发与设计周期。应该说这类问题已 基本解决。另一类问题是要解决这类复杂系统的运动学、动力学与控制的性态问题。 这类系统的特征是系统的各部件存在大范围的相对运动，这些部件相互连接方式的拓 扑与约束形式多种多样，受力情况除了外力与系统各部件的相互作用外还可能存在复 杂的控制环节。其共性是系统由存在相对运动的多个物体组成，故称为多体系统 ( m u l t i b o d ys y s t e m ) 。随着国民经济和国防技术的需要，多体系统的构造越来说复杂， 规模越来越庞大。在运动学、动力学与控制性态的分析与优化中迫使工程技术人员重 复多次进行复杂而费时的建模工作，加上还需对这些模型进行数值计算以及处理大量 涉及时间历程的数据分析，这些都已成为工程预研与设计的大难题。如何面对不同的 拓扑、不同的约束、不同的受力与控制环节的多体系统建立通用的程式化的动力学模 型，并且研究处理这些数学模型的计算方法，开发处理多体系统动力学通用的软件系 统，已经成为许多学者研究的热点。上个世纪6 0 年代开始，国外发达国家因高新技 术发展，系统各部件| = 三i 刚体为假设的多刚体系统动力学的研究得到了飞速发展。到7 0 年代末8 0 年代初，多刚体系统动力学计算机辅助分析软件系统在国外已达到商品化 水平，并且广泛应用于上述工程领域的动力学与控制性态的分析与优化。 然而，目前工程问题的复杂性对动力学与控制的研究人员提出了更新的挑战。在 很多的研究领域，许多的构件已经不能用刚体的运动去模拟。 如现代航天器或空间站已由单个主体加若干鞭状天线的卫星和由庞大的多个部 件在轨道展开或拼装起来，系统中通常安装有大跨度的太阳帆板和巨型天线，故航天 器已成为多个刚体和柔体组成的系统。随着空间技术的发展，如何准确地预测这些大 尺度附件的运动与弹性变形的耦合以及对整个系统动态响应的影响是目前力学工作 者面临的挑战。 空间机械臂的应用是当前各国空间技术水平的重要标志。机械臂的轻质大跨度、 载体在空间的浮动是空间机械臂与地面机械臂的重要区别。为使空i e 机械臂能够满足 人们预先规划的运动和操作要求，设计过程中必须考虑机械臂各构件大范围相对运动 柔性多体系统中动力刚化的数值分析 中的柔性效应与载体耦合运动，提出有效的规划控制方法与机械臂减振的主动控制方 法。 现代化生产大量采用了工业机器人技术。高速与高精度装配机器人的采用不仅从 效率上而且从感官上突破了人的极限。然而这类机器人的定位操作必须考虑各手臂在 大范围高速运动与机械臂本身弹性变形的耦合效应，提出可靠的控制方法。 对于高速机车辆系统、车厢、转向架构成的整车是典型的多体系统。直道与弯道 稳定性和系统舒适性的研究是车辆运动学的传统课题。6 0 年代阱来，多刚体系统动力 学的成果已经成功的应用于整车与转向架系统的仿真分析与优化。然而原有的成果已 不再适用与高速车辆。因为在高速情况下必须考虑车厢的柔性，不仅如此，还应考虑 轨线、授电的弓网与整车系统的耦合、这样一个刚一柔耦合的复杂多体系统的运行稳 定性和舒适性研究和新型高速车辆( 如摆式车辆) 动力学与控制的研究是高速机车车 辆攻关中面临的重要课题。 高速机械系统的动力学性态和动载的影响必须考虑已为广大工程技术人员所认 识。然而，系统的复杂性则使他们无从着手。如大型气轮机组中，气轮机的叶片通过 拉筋和阻尼器相联且组装在轮盘转予上，而轮盘本身也是弹性体，因此增加叶片高度 势必引起轮系的耦合振动加剧，过去将这样的复杂系统的动力学问题只停留在单个叶 片振动的研究上，显然与工程实际相差太远。如何将这样复杂的拓扑和约束的柔性多 体系统动力学问题研究清楚是气轮机技术中迫切需要解决的难题。 现代兵器技术的发展也提出了很多柔性多体系统动力学问题。如大型火炮是由大 尺度炮管和发射装置构成的柔性多体系统。在炮弹的发射过程中，炮管的弹性变形以 及发射装置的振动将影响炮弹出口的动力参数，从而影响运行轨道与弹射精度。 综上所述，目前工程中复杂机械系统的部分构件已采用轻质柔性材料，系统的运 行速度加快，运行精度的要求越来越高，系统的动力学性态越来越复杂。部件做刚体 假设的多剐体系统动力学已经无法解释系统复杂的动力学性态。因此必须考虑部件大 范围运动和构件本身变形之间的耦合，形成了柔性多体系统。研究柔性多体系统动力 学为上述领域工程设计提供理论基础，有效的计算机辅助分析的建模理论，计算方法 的研究成果，无疑对提高工程项目的预研、设计与优化的效率，减少重大工程项目的 投资风险等将产生巨大的经济效益。 1 2 柔性多体系统动力学及分析原理 柔性多体系统动力学研究由可变形物体以及剐体所组成的系统在经历大范围空 间运动时的动力学行为。这门学科被称为多柔体系统动力学，这是相对于人们所熟悉 的多刚体系统而言的。多刚体系统动力学是以系统中各部件均抽象为剐体，但可以计 及各部件联接点( 关节点) 处的弹性、阻尼等影响为其分析模型的，而柔性多体系统 动力学是在此基础上还进一步考虑部件的变形。两者都是研究多体系统动力学的，但 是侧重点不同。粗略的说，多刚体系统动力学所侧重的是“多体”这一方面，研究各 个物体刚性运动之间的相互作用及其对系统动力学的影响；柔性多体系统动力学则侧 重“柔性”这一方面，研究物体的变形与其整体刚性运动的相互作用或耦合，以及这 2 差丝垩竺墨竺! 垫塑! ! 些箜塑堕坌塑 - _ _ _ _ - _ - - - _ _ _ _ _ - - _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ - - _ _ - _ _ 种耦合所导致的独特的动力学效应。变形运动与刚性运动同时出现及其耦合正是柔性 多体系统动力学的核心特征。这个特征使得其动力学不仅区别于多刚体系统动力学， 也区别于传统的结构动力学。事实上，柔性多体系统的动力学方程是多刚体系统动力 学方程和结构动力学方程的综合与推广。当系统不经历大范围的空间运动时，它就退 化为结构动力学方程，而当各部件的变形可以忽略时，它就退化为多刚体系统动力学 方程。这两类方程的耦合则引出全新的动力学问题。从理论体系的逻辑结构上来看， 柔性多体系统动力学的直接基础是多刚体系统动力学和结构动力学，但它的特征表明 其理论基础必须进一步追溯到一般分析力学和一般连续介质力学，是一门多学科交叉 的边缘性新学科。 推导柔性多体系统动力学控制方程的基本原理和方法与一般的力学问题一样，可 分为三类。第一类为牛顿一欧拉( n e w t o n - - e u l e r ) 向量力学法。第二类为以拉格朗曰 ( l a g r a n g e ) 方程为代表的分析力学方法。还有其他力学原理，如哈密顿( h a m i l t o n ) 原理、虚位移原理和虚速度原理等。拉格朗日方法推导公式比较繁琐，但在柔性多体 系统动力学中有着重要的应用。基于达朗伯原理，引入偏速度、偏角速度，导出动力 学方程的方法，习惯上称为凯恩( k a n e ) 方法。它避开了动力学函数的微分运算，适 合于计算机符号的推导和编程，但是并不直观。对于不复杂的系统，人们宁可采用较 直观的虚功形式的达朗伯原理，甚至直接采用n e 方法。达朗伯原理得出的方程可 以很方便的同多刚体系统动力学和有限元技术相衔接。第三类方法是基于高斯 ( g a u s s ) 原理等具有极小值性质的极值原理，可直接应用优化计算方法进行动力学 分析。 还有其他方法，不过都可以看成是在这三大类方法基础上的变型。除第三类方法 之外，不管哪一类方法，所用的力学原理不同，方程形式可能不同，但实质上都是一 样的。 柔性多体系统运动的描述方式，按选取参考系的不同，可以分为绝对描述和相对 描述两种类型。绝对描述是在指定某一个惯性参考系后，系统中每一个物体在每一时 刻的位形都在此惯性参考系中确定。而相对描述是对每一个物体按某种方式选定一个 动参考系，物体的位形是相对于自己的动参考系确定的。这些动参考系通常都是非惯 性的。这两种描述方式导致两种不同的动力学模型。相对描述方法特别适合于由小变 形物体所组成的系统。此时可以适当的选取动参考系，使得物体相对于动参考系的运 动( 变形) 总是小的。这样对于变形可按通常的线性方法来处理，例如进行模态展开 和截断等。将描述变形的弹性坐标和描述刚性运动的参数合起来，作为系统的广义坐 标，就可以按照通常的离散系统分析动力学方法建立动力学方程。相对描述方法的核 心问题为物体变形与整体刚性运动的相互作用。于是动力学方程分为互相耦合的两 类，一类控制物体的整体刚性运动，另一类控制物体的相对变形。 柔性多体系统的动力学方程是强耦合、强非线性方程，这种方法的求解目前只能 通过计算机用数值方法进行。 1 3 动力刚化问题的提出 柔性多体系统中动力剐化的数值分析 与一般的理论和应用学科一样，柔性多体系统动力学的研究者进行着创造性的工 作，经过多年的努力，多刚体系统动力学的研究取得了长足的进展。7 0 年代，一些多 刚体系统动力学分析软件已实现了商品化，这标志着该领域的研究无论理论、数值计 算方法以及软件开发上都已成熟。在这一时期，有关柔性多体系统动力学的理论工作 实际上已经展开。到目前为止，柔性多体系统动力学虽然取得了一些成果，但是没有 达到多刚体系统动力学的研究水平，其主要原因是在物体大范围运动与弹性变形耦合 问题的认识上和处理上遇到了困难。如前所述，柔性多体系统动力学研究由刚体和柔 体组成的复杂机械系统在经历大范围空间运动的动力学行为，是多刚体动力学的延伸 和发展。它主要研究柔性体的变形与其大范围的空间运动之间的相互作用或相互祸 合，以及这种耦合所导致的动力学效应。柔性体的变形运动与柔性体大范围空间运动 的同时出现及其相互耦合是柔性多体系统动力学的本质特征。这个特征使其动力学模 型不仅区别于多刚体系统动力学，也区别于结构动力学，是两者的结合与推广。 最早处理柔性多体系统动力学问题的方法是所谓运动一弹性动力学方法，即 k e d ( k i n s t o nd y n a m i ca n a l y s i s ) 法。该方法的要点是，不考虑构件的弹性变形对其大 范围运动的影响，而通过多刚体系统动力学分析得到构件运动性态，加上构件的惯量 特性，以惯性力的形式加到构件上，然后根据惯性力和系统的外力对构件进行弹性变 形和强度分析。这种方法实质上是将柔性多体系统动力学问题转变成多刚体系统动力 学与结构动力学的简单叠加，忽略了二者之间的耦合。 随着轻质、高速的现代机械系统的不断出现，k e d 方法的局限性目益暴露出来。 为了计及构件弹性变形对大范围运动的影响，人们首先对柔性构件建立浮动坐标 系，将构件的位形认为是浮动坐标系大范围运动与相对于该坐标系变形的叠加，提出 了用大范围浮动坐标系的刚体坐标与柔性体的节点坐标( 或模态坐标) 建立动力学模 型。在具体建模过程中先将构件的浮动坐标系固化，弹性变形按某种理想边界条件下 的机构动力学有限元( 或模态) 进行离散，然后仿照多刚体系统动力学的方法建立离 散系统数学模型。这种方法虽然考虑了构件弹性变形对大范围运动的影响，但在对柔 性体离散时没有考虑大范围运动对其的影响，且在有限元( 或模态) 进行离散时有很 大的任意性。从实质上这种方法是柔性多体系统的一种零次近似的耦合动力学。尽管 如此，国内外的学者对这种模型的研究持续约十来年，在建模方法研究的基础上重点 解决数学模型数值解的病态问题，并在工程领域得到一些应用。近年的研究表明，采 用零次近似的藕合方法得到的柔性多体系统动力学的分析结果，有的和工程实际比较 接近。 1 9 8 7 年，k a n e 对做大范围刚体运动槽型弹性粱进行了研究，指出在大范围刚体 运动做高速旋转时，传统的零次建模方法得到弹性梁的变形将无限增大的结果，与实 际情况相反，为此，k a n e 对弹性梁的变形做了比较精确的描述( 包括了弯曲变形、 剪切变形和扭曲变形) ，首次提出了动力刚化( d y n a m i cs t i f f e n i n g ) 的概念。这一问 题的提出，引起了各国学者的普遍关注。1 9 8 9 年，b a n e r j e e 和k a n e 又对做大范围运 动的弹性薄板进行了研究。h a e d n g ，p a d i l l a 采用类似的方法对弹性梁动力学性质进行 了分析。所得到的结果表明人们在关于柔性多体系统耦合动力学机理的认识上以及所 描述对象数学模型的准确性上有待进一步的深入。 事实上，柔性多体系统动力学零次建模理论的基本出发点是将系统位形的描述定 鲞堡墨苎墨竺! 塑塑型些塑鍪堕坌塑一 义为浮动坐标的大范围刚性运动与相对于浮动坐标的小变形的叠加。考虑到弹性变形 为小量，对于柔性体的变形描述则利用线性的有限元或模态理论进行离散。当大范围 的刚性运动比较慢，运动所引起的附加动力刚度项可以忽略，零次耦合建模方法是可 行的，但是当大范围运动比较快，运动所引起的附加动力刚度项不可忽略，零次耦合 方法将不能应用。 虽然柔性多体系统动力学模型可分别退化为多刚体系统动力学模型和结构动力 学模型，但并非二者简单的结合。柔性体大范围空间运动与其弹性变形之间的耦合机 理仍需深入研究，但这种耦合给动力学建模及数值计算带来了许多的困难，使柔性多 体系统与上述的两种系统有本质不同的动力学特性。如何更为准确、高效的建立柔性 多 本系统的动力学模型，如何对柔性体进行模态选取与模态综合，如何处理柔性体经 历大范围空间运动时的动力刚化问题，己成为广大科研工作者研究的主要课题。 1 4 动力刚化研究的现状 动力刚度( d y n a m i cs t i f f a e s s ) 又称为应力剐度( s t r e s ss t i f f n e s s ) 、几何刚度 ( g e o m e t r i cs t i f f n e s s ) 、几何非线性( g e o m e t r i cn o l i n e a r i t i e s ) 、运动诱发刚度( m o t i o n i n d u c e ds t i f f n e s s ) 、初始应力刚度( i n i t i a ls t r e s ss t i f f i a e s s ) ，已成为柔性多体系统动力 学近几年的研究热点之一。动力剐化现象的实质是做大范围空间运动的柔性体匿运动 和变形之间的相互耦合而导致的柔性体的刚度的增大( 附加动力刚度) 。传统的柔性 多体系统动力学中，一般都采用假设模态或线性有限元的方法来描述柔性体的变形， 这种方法工作量小，在太部分情况下可以满足工程实际的需要。但对作高速运动的柔 性多体系统，在一定的条件下传统的建模方法会导致数值仿真的发散。t r k a n e 于 1 9 8 7 年指出：在柔性体高速转动时，传统的柔性多体系统动力学模型计算出的柔性体 的变形与实验结果相比明显偏大，表现为柔性体的刚度明显减弱。z h a n g d a j u n 等的结 果表明，当细长梁的转动频率达到或超过梁的基频时，传统的柔性多体系统动力学模 型得到的粱的变形趋于发散。 目前对动力剐化现象的分析方法可以概括为以下几种典型的方法： 1 ) 非线性有限元法国外的很多学者认为动力刚度是由于柔性体大挠度所引 起应变与位移之间的几何非线性关系所引起的，并将其得到的刚度称为几何刚度 ( g e o m e t r i cs t i f f n e s s ) 。该方法在求系统的应变能时引入了应变与位移的几何非线性 关系，然卮再将系统动力学方程中非线性项做一次近似变换。其中有两砷近似变换方 法，其一是将非线性表示为与大范围运动有关的动力刚度项；其二是将非线性项表示 为与节点位移有关的几何剐度阵。与大范围运动有关的动力刚度阵和与节点位移有关 的几何刚度阵具有与动力刚度阵相同的性质。第二种近似变化中的几何刚度阵与节点 位移有关。该方法可以充分的利用现有的非线性有限元软件，但园系统的广义坐标为 有限元结点坐标，由此得到的动力学方程广义坐标数目庞大，且需采用隐式迭代算法， 计算时需要不断的重复迭代求解，计算效率不高。目前仅用于梁式构件所组成的柔性 多体系统。z h a n gd a j u n 和h o u s t o n 等将柔性体的位移表示为节点位移或模态坐标的 非线性形式，把柔性体小变形作为约束条件，反过来求出所谓的“耦合形函数”或模 柔性多体系统中动力刚化的数值分析 态函数，代入动力学方程适当线性化，得到了动力刚度项。 2 ) 附加刚度法附加刚度法又称为附加运动刚度法或者附加几何刚度法。这 种方法柔性体在做大范围空间运动时的变形属于小变形大应变，变形和应变之间应为 非线性关系。如在柔性体的位移和应变关系中过早的进行线性化处理，得到的柔性体 的刚度矩阵为常值阵，不能反映柔性体的刚度与运动状况及应力状态的关系。应该保 留非线性的位移一应变关系，应用有限元法得到因大范围空间运动引起的附加刚度。 平面细长梁的位移一应变关系较为简单，因此对其动力刚化问题的研究也较为成 熟，其刚度矩阵可表示为 嚣= k o + k j( 1 1 ) 其中k o 为通常的模态刚度阵，为常值阵。k ，为几何非线性刚度阵( 附加动力刚度阵) ， 是梁轴向应力的函数。i s h a r f ，c d a m a r e n 研究了空1 4 梁，认为其刚度阵是变形广义 坐标口的无穷级数。根据细长梁的位移一应变特性，刚度矩阵k 可采用t a y l o r 方法近 似表达为 五例= 五。+ 1 2 ，k 水，+ 刍以j ( 1 2 ) 其中k g 为口的线性函数，k b 为口的二次函数，并且得到了k g 和k 。的显式表达式。 j f z h u 也从非线性的位移一应变关系出发，得n t 均质薄板的动刚度矩阵，其结果较 为繁琐。 对任意的柔性体，其g r e e n l a g r a n g e 形式的应变张量为： 占= b l 占2 2 屯32 c 1 22 s 2 32 岛1 】( 1 3 ) 中的各元素可表示为 锄= 三卜嘶一言) 。， 而 5 詈 ( 1 5 ) 其中c 为质点位置坐标。由上述两式可以得到 垂= 上矗，l 暑r + 0 阳 ( 1 6 ) r 和分别是由g r e e n 应变张量中的线性部分和非线性部分导致。柔性体的应力 应变关系为 仃= 盯7 + 舶 ( 1 7 ) 一 墨堡墨堡墨竺! 垫塑型些塑垫望坌塑 _ - _ - ，_ - - _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ - _ _ ，_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ - _ _ _ _ _ - _ _ _ _ _ _ - _ _ _ 一一 盯7 为初始应力。应用模态和模态坐标描述柔性体的变形，由变形引起内力为 f ：= e kq + k ，】a + f ： k ：= l i 亡掣j t 盯r d v t f ：= l j ”j 中j t o r d v ( 1 8 ) ( 1 。9 ) 其中k 。为常值的模态刚度阵，k 。为动刚度矩阵。由上面的推导可以看出，当考虑到 非线性位移一应变关系后，柔性体的剐度增大，是其初始应力盯7 的函数。对任意形 状的柔性体，显然动刚度矩阵无显示表达，必须借助有限元得到数值结果。因动刚度 矩阵为变形广义坐标或应力的参数，因此在实际仿真过程，积分的每一步必须重新拼 装动刚度矩阵，工作量较大，不利于动力学仿真计算。还有的学者认为动力刚化现象 实质上是柔性体的刚度随着其应力状态的变化而变化，除了大范围的空间运动外，外 力、约束反力也是引起动力刚化现象的因素，柔性体内部应力越大，其动力刚化现象 越明显。通过上面的描述，知道动力刚度与初始应力成线性关系，可应用有限元方法 预先计算出与单位影响因索( 惯性力、外力、铰约束反力) 对应的单位动刚度矩阵， 实际仿真计算中，就可以非常方便的得到柔性体的动刚度矩阵。如可预先计算出柔性 体沿某个方向转动时单位惯性力j - 产生的应力而导致的动刚度矩阵面：，在仿真计算 对惯性力巧引起的刚度矩阵就可以方便的表示为 k n = k d ( f ：) f ：q 1 吣 b a n e r j e e 就柔性体大范围空间运动引起的运动诱发刚度矩阵提出了一种新的计算方 法：在小变形和线弹性假设的前提下，预先将柔性体的动刚度矩阵分解为1 2 个与运 动学参数有关的动刚度矩阵( 考虑微元的转动效应时为2 1 个) ，他用有限元程序计算 出柔性体在单位运动学参数作用下的单位动尉度矩阵。在实际仿真过程中，每个积分 时刻只要用单位动刚度矩阵乘以柔性体大范围空间运动的幅值，就可以得到其动刚度 矩阵，极大的简化了仿真计算。 3 ) 变形耦合方法z h a n gd a j u n 等人认为柔性体的刚度的减弱是由于在运动学 关系中过早的对变形的广义坐标进行线性化，忽略了导致网0 度增加的非线性项。为了 保留弹性变形的非线性特性，将柔性体的变形场用模态坐标的二阶小量描述，形成精 确n - - 阶小量的运动学描述。设保留柔性体的前s 个模态，变形场可表示为 1 耳f = 学口，+ 轲口p 口， r f = 1 , 2 ，3 j p ，_ ，= 1 ，5 夕( 1 1 1 ) 其中口为模态坐标，n o 为传统的形函数，n 耐为耦台形函数。利用l a g r a n g i a n 应变 张量和小变形假设，可得到村的表达式为 柔性多体系统中动力刚化的数值分析 恬一l 鬻鬻喝 应用k a n e 方法，在偏线速度和偏角速度的计算时对模态坐标进行线性化处理，由此 也可以得到柔性体的动刚度矩阵。但此方法只对简单形状的柔性体如均质梁，均质板 有效，对复杂形状的柔性体却很难得到解析的表达式。数值积分也较为困难。 4 ) 子结构法s c w u ，a 0 “u 提出了解决动力刚化阃题的一种数值方法。将柔 性体分为若干个子结构，认为在子结构中柔性体的变形为小变形、小应变，位移一应 变的线性化假设仍然成立。这样，应用已有的柔性多体系统动力学模型就可以较好的 解决动力刚化问韪。在这种方法中，对内部子结构采用了约束模态以满足相容的位移 边界条件，因此虽然子结构中的变形是线性的，但整体结构的变形是非线性的。这种 方法的优点是对现有的柔性多体系统动力学模型和分析软件不作任何修改就可计及 动力刚化效应，其结果明显依赖于子结构的数目，且在各子结构的对接面上必须引入 约束方程以满足变形的连续性，对复杂的大型结构，此方法的计算工作量相当大。 5 ) 有限段法c o n n e l l y 和h u s t o n 利用有限段法研究柔性多体系统，该方法的思 想类似于子结构法。该方法将柔性体分成有限个刚体段，用刚体段表示柔性体的惯量 参数，将每段的刚度和阻尼向节点等效移植，把柔性体表示为用弹簧( 包括拉压、弯 曲、扭转) 和阻尼器相联的多个刚体段。每段的变形位移用线性弹簧位移表示，对于 整个柔性体来说却是非线性的，因此与子结构法样，可以使系统动力学性质包括了 几何非线性的影响。该方法仅适用于细长梁式构件所组成的柔性多体系统中。 总之，动力刚化现象到现在为止，仍然是柔性多体系统动力学研究的热点和难点， 各种方法因在柔性体的变形或位移一应变中考虑了不同的附加非线性项，因此都可以 得到相应的附加刚度项，但是他们并没有阐明动力剐化现象产生的原因。而且在计算 多个柔性体部件的时候，编制程序过于繁琐。这些都是以上方法的不足。但柔性体的 刚度与其大范围的空间运动之间的内在联系，以及导致动力刚化现象的根本原因仍是 值得深入研究的课题。而且需要开发一种非常通用和程式化的处理动力刚化问题的方 法，适合大型通用柔性多体系统动力学仿真软件的开发。这就需要充分的利用有限元 的技术和模态分析与综合技术，在动力学仿真的预处理阶段生成动刚度矩阵或与各种 因素对应的单位刚度矩阵，在仿真计算时只需根据柔性体的运动状态或应力状态对其 进行简单的处理即可得到柔性体的动刚度矩阵，以最大限度的简化仿真计算。 1 5 本文的主要工作 综上所述，在现代很多的工程领域中，大量复杂的机械系统部件比重小并且在系 统工作时处于高速的旋转状态，必然出现动力剐化现象，用传统的多体系统理论编制 的程序已经无法正确计算此时部件的动力学性态，因此对柔性多体系统中的动力刚化 现象进行研究已经具有非常重要的意义。本文从力学的根本原理出发，阐述了产生动 力刚化现象的本质原因，并且参考了现有的几种动力刚化现象的解决方案，提出了新 的差时初应力方法。这种方法能够更加有效的弥补动力剐度项。本文的具体工作如下： 柔性多体系统中动力剐化的数值分析 ( 1 ) 从连续介质力学的基本原理出发，引入物质坐标对多体系统中的弹性部件进行 描述，采用非线性的g r e e n 应变张量和k i c h h o f f 应力张量描述弹性体的变形与应力， 并导出相应的运动方程。从而揭示了多体系统中动力刚化现象产生的本质原因，并以 高速旋转梁为例，对其发生的动力剐化现象进行模拟。 ( 2 ) 描述平面柔性多体系统的运动，采用l a g r a n g e 方程推导出自由柔性体平面运 动动力学方程，然后通过约束方程组装柔性多体系统，运用拉格朗日乘子法，建立平 面柔性多体系统动力学控制方程。这组方程可以体现出柔性多体系统大范围空间运动 与其弹性变形之间的祸合。 ( 3 ) 从连续介质力学的基本原理出发，建立比较精确的耦合动力学的数学模型，采 用存在大范围运动状态下构件的非线性有限元离散方法，并使用模态分析与综合的方 法缩减弹性体的自由度。利用系统部件在前一时刻的内部应力构造由于部件高速旋转 产生的动力刚他项，提出了新的动力冈化的解决方法差时初应力方法，使弥补动力 刚度项付出的代价更小。 ( 4 ) 编制相应的数值仿真计算程序，用算例验证方法的可行性和实用性。 9 柔性多体系统中动力刚化的数值分析 2 动力刚化的力学机理 在实际的多体系统中部件的变形很小，以往的多体系统理论一般采用线性有限元 理论建立弹性部件的力学模型。然而，在利用基于传统理论所编制的多体系统分析软 件模拟高速旋转梁的动力响应时却得到了完全错误的结果：旋转速度越高梁的弯曲剐 度越小，当旋转角速度接近粱的一阶弯曲基频时弹性运动失稳。可见传统理论在模拟 动力刚化的时候存在很大的缺欠。本章的主要内容是从连续介质力学的基本原理出 发，引入物质坐标对弹性体进行描述，采用非线性的g r e e n 应变张量和k i e h h o f f 应力 张量描述弹性体的变形和应力，并且导出了对应的运动方程，从而揭示了多体系统中 动力剐化现象产生的根本原因，并以高速旋转梁为例，进行动力刚化的模拟。 2 1 物质坐标及弹性体的描述 从根本上讲，柔性体运动规律的描述，是基于连续介质力学的原理和定理的。而 对于弹性体的一般运动规律( 包括变形运动) 规律的描述则是基于弹性动力学的基本 理论的。 根据连续介质力学的基本观点，将弹性体视为运动质点的连续集合。弹性体每一 时刻在空间中的结构布局称为位形。弹性体的位形随时间在空间中的变化称为运动。 某一时刻弹性体的位形与设定的某一初始位形( 参考位形) 间的形状差异称为该时刻 弹性体的变形。弹性体的变形是相对于它的参考位形定义的。参考位形的选择是任意 的，通常选取弹性体未受外力作用时所具有的位形，它在空间的位置既可以是静态的 也可以是运动的。 弹性体运动时，其位形一般也要发生变化。为了描述弹性体的运动及其位形的变 化，必须选择参照的位形和相应的坐标系。弹性体的位形有初始位形x 和现时位形x 之分，前者指的是弹性体即将开始而又未运动时刻的位形，后者指的是弹性体开始运 动后在某一瞬时的位形，在初始位形x 中，选择于初始位形固结的l a g r a n g e 坐标系， 质点p 在l a g r a n g e 坐标系中的位置用x ，r f = 1 , 2 ，3 j 表示。不论弹性体怎样运动，该 质点在参考位形中的位置是确定不变的，因此l a g r a n g e 坐标可作为识别各质点的标 记，也被称为物质坐标，它具有原位( 原时) 的特点。而为了确定瞬时位形x 中任意 质点的位置，通常选取e u l e r 坐标系，质点p 在e u l e r 坐标系中的位置用置r b l , 2 ，3j 表示。用e u l e r 坐标识别弹性体中的同一个质点在不同时刻，占据不同空间点时并不 方便，但可以用它识别空间中的几何点，或者描述变形或运动过程之中某一质点的现 时位置。e u l e r 坐标系是和空间固结在一起，故又有空间坐标之称，它具有现时( 即 时) 的特点。 由此可知，物质坐标系是嵌固在初始位形中，其l a g r a n g e 坐标x ；描述的是考察 柔性多体系统中动力刚化的数值分析 弹性体中质点的初始位置，它于时间t 是无关的；而空间坐标系是固结在空间中，并 未与弹性体的质点连接在一起，其e u l e r 坐标x ，描述的是在某一瞬时，考察弹性体中 某空间点的位置，它是随时间而变化的。 若以l a g r a n g e 坐标x ；和t 作为独立变量来描述弹性体的运动或变形，称之为 l a g r a n g e 描述或物质描述。这种描述是跟随着运动的质点研究弹性体的运动或变形状 态的关心的是考察的质点及其邻域发生什么变化。若以e u l e r 坐标工。和t 作为独立 变量来描述弹性体的运动或变形，称之为e u l e r 描述或空间描述。这种描述是通过空 间中的几何点研究弹性体的运动或变形状态的，关心的是考察的空间点及其邻域发生 什么变化。或者说，l a g r a n g e 描述是以运动或变形前的状态即初始位形为参考状态来 描述弹性体的运动或变形的，而e u l e r 描述则是以当前的现时位形为参考状态来描述 弹性体的运动或变形的。用这两种描述方法表示同一弹性体的变形或运动规律时，应 当存在着等价的、互逆的转换关系。 通常，在研究系统的运动学时采用拉格朗目描述较为简单，而在研究系统( 主要 如流体) 静力学或动力学时却会使问题复杂化，这时欧拉描述会得到较简单的表达式。 然而在无限小应变条件下，两种描述的区别将不复存在。为简单起见，一般情况下采 用个笛卡尔坐标系作为物质坐标和空间坐标系。 2 2 g r e e n 应变张量 物体运动时，若其上各质点存在相对运动，就发生变形，质点x 相对于参考位形 的位移u 可以表示为 h = x ( x t ) 一x 或写成分量的形式 h 1 2 x t x i ( 2 1 ) ( 2 2 ) 而两个无限接近的质点x n x + d x ，经过变形后其位置为x 和x + d x 。将d k 用必f 表示 斑：堡删：删 强 写成分量的形式 妒急删i = j u 科，2 ，3 川以i i i ) 其中 ( 2 3 ) ( 2 4 ) 柔性多体系统中动力剐化的数值分析 l x i ，一。1 , l l一。1 , 1 1 1 j ，：堡：卜ih l (25)ox1 “ 。1 l 墨，x 3 ，口x 3 ，f f f i ( 2 1 ) 得 ，= c ： x i , j 2 o x 二j “l 儿 1 + t 2 ” 3 h ，为3 3 单位矩阵，= 老，而7 为位移梯度 j = a “1 8 x ， a “2 o x 7 0 如 8 x 。 d o x 盯 d ， a x i i d 玑 o x h ( 2 6 ) q 7 i 一 2 i = ，+ ，( 2 7 ) l + 吻l d h a x m d 比， 8 x l 【l d 席， a x f l l ( 2 8 ) 变形梯度得行列式i ，| = d e t j 0 ，称为雅可比行列式，它给出了质点x 领域内无限 小单元得瞬时位形与参考位形得体积比。 现考察变形前物体内任一质点p 与p 领域内的另两个质点q 、r 。它们分别构成 无限小物质线元p q 、p r ，并分别用d x l 、d x 2 表示，两向量间夹角为吼，变形后( 某 t 瞬时) ，此两向量分别为d x i 和出2 ，如图2 - l 所示。 p x d q 1 2 疗， 图2 - 1 汹助射 柔性多体系统中动力网化的数值分析 变形前后两向量标积之差反映7 该质点领域的变形程度 出 7 d x 2 一d x i r d x 2 = d x lr ，7 j x ) a x 2 = 2 d x t r e d x 2( 2 9 ) 式中e 为无量纲的量 p = 妻r ，7 j j ，( 2 ，l o ) 当p 点的领域作刚体运动的时候，e = 0 ，e 满足度量变形程度的必要条件，e 称为格 林( g r e e n ) 应变张量，它是基于初始位形描述的应变张量。 g 用位移分量表示的形式为： 旷丢r 毒+ 瓦a u i + 警警，( 2 i 1 ， 勺2 i 茁+ 瓦+ 赢荣j 在小应变和小转动情况下，应变分量可以线性化。可以将变形梯度，分解 i ，= ，+ 占+ 口 ( 2 1 2 ) 式中s = 去r j + ，7 j ，为线性化的应变张量，是对称张量，我们通常把它称为柯西 ( c a u c h y ) 应变张量，其分量的形式为 铲i i ( 瓦d u | + 善j 1 2 = 妄r ，一j 7 j 为线性化的转动张量，是反对称张量，其分量的形式为 嘞= 争爱一簧， 仁 又可以得到 从而可以得到e 的另外一种形式 i a t 。，= e i ，+ q ，( 2 1 5 ) e u 2 s q + 专( s m