（岩土工程专业论文）成层地基半透水边界一维固结性状研究.pdf

提要 浙江人学硕士学位论文 成层地基半透水边界一维固结性状研究 提要 y 圣2 3 8 童3 土的固结是土力学中的一个重要问题。早在1 9 2 5 年，t e r z a g h i 就提出一维 固结理论，它建立在许多简化假设的基础上。在实际工程中，土的成层性、加荷 及边界排水条件等都对地基固结有显著影响。尤其是关于边界排水条件，目前常 处理成完全透水或完全不透水，但实际上很多工程问题的边界是半透水的。l 本文从单层土开始，在t e r z a g h i 模型基础上，进一步考虑了半透水边界条件 和逐渐加荷条件，推导出超静孔压及固结度的理论表达式。继而求解了逐渐加荷 条件下双层土双面半透水边界一维固结解，并根据该解详细研究了成层土有别于 单层土的一些固结特性以及半透水边界、土的渗透性、压缩性、加荷速率等对超 静孔压及地基固结度的影响。最后对逐渐加荷条件下任意层双面半透水边界一维 固结问题进行了研究，给出了相应解，并通过算例说明了解的应用。 ，本文工作使成层地基一维固结理论更趋完善j 、 关键词：成层地基；一维固结；半透水边界，逐渐加荷。 提要 浙江大学硕士学位论文 o no n ed i m e n s i o n a lc o n s o l i d a t i o nb e h a v i o ro f l a y e r e d s o i l w i t hp a r t i a l d r a i n a g e b o u n d a r i e s a b s t r a c t c o n s o l i d a t i o no fs o i li so n eo ft h em o s ti m p o r t a n tr e s e a r c ht o p i c si n s o i l m e c h a n i c s e a r l y a s19 2 5 t e r z a g h ie s t a b l i s h e do n ed i m e n s i o n a l c o n s o l i d a t i o n t h e o r y , w h i c h i sb a s e do n m a n ys i m p l i f i c a t i o n s a n d a s s u m p t i o n s i np r a c t i c e ，h o w e v e r , l a y e r e dp r o p e r t y o f s o i l ，l o a d i n g c o n d i t i o n a sw e l la sb o u n d a r yd r a i n a g ec o n d i t i o na l lp l a yi m p o r t a n tr o l e si n c o n s o l i d a t i o no fs o i l e s p e c i a l l y , t h eb o u n d a r yc o n d i t i o no fs o i li su s u a l l y s i m p l yt r e a t e da sd r a i n e do rl _ f f l - d r a i n e da tp r e s e n t b u ti ti sa c t u a l l yp a r t i a l d r a i n e d i nt h i st h e s i s ，a na n a l y t i c a ls o l u t i o ni sf i r s t l vg i v e nt ot h ee x c e s sp o r e w a t e r p r e s s u r e a n dc o n s o l i d a t i o n d e g r e e f o rt h eo n ed i m e n s i o n a l c o n s o l i d a t i o no fh o m o g e n e o u ss o i lw i t hp a r t i a ld r a i n a g ec o n d i t i o nu n d e r t i m e d e p e n d e n t1 0 a d i n g t h e n n l eo n ed i m e n s i o n a lc o n s o l i d a t i o np r o b l e m o f t w o l a y e r e d s o i lu n d e rt h es a m ec o n d i t i o ni ss t u d i e da n dt h e c o r r e s p o n d i n gs o l u t i o n0 b t a i n e d b a s e do nt h es o l u t i o n t h ed i s t i n c t i o no f t h ec o n s o l i d a t i o nb e h a v i o rb e t w e e nl a y e r e ds o i la n dh o m o g e n e o u ss o i li s i n v e s t i g a t e d a n dt h ei n f i u e n c e so f p a r t i a ld r a i n a g eb o u n d a r y , m e p e r m e a b i l i t ya n dt h ec o m p r e s s i b i l i t yo f s o i l a sw e l la sl o a d i n gr a t eo nt h e c o n s o l i d a t i o nb e h a v i o ra r ed i s c u s s e d f u r t h e r m o r e ，s t u d yi sc a r r i e do u to n t h eo n ed i m e n s i o n a lc o n s o l i d a t i o no fm u l t i 1 a y e r e ds o i la n dt h es o l u t i o n t a k i n gc o n s i d e r a t i o no fb o t hp a r t i a ld r a i n a g ec o n d i t i o na n dt i m e - d e p e n d e n t 1 0 a d i n gi sd e r i v e d f i n a l l y , n u m e r i c a le x a m p l ei sp r e s e n t e dt oi l l u s t r a t et h e a p p l i c a t i o n so f t h i ss o l u t i o n t h ew o r kp r e s e n t e dh e r e i nm a k e so n ed i m e n s i o n a lc o n s o l i d a t i o n t h e o r yf o rl a y e r e ds o i lm o r ep e r f e c t k e y w o r d s ：l a y e r e ds o i l ，o n ed i m e n s i o n a lc o n s o l i d a t i o n ，p a r t i a ld r a i n a g e b o u n d a r y , t i m e d e p e n d e n tl o a d i n g 第一带绪论 浙江人学硕士学位论义 第一章绪论 1 1引言 在荷载作用下，土体中产生超孔隙水压力，在排水条件下，随着时间发展， 土体中水被排出，超孔隙水压力逐步消散，土体中有效应力逐步增大，直至超孔 隙水压力完全消散，这一过程称为固结。土体在固结过程中，随着土中水的排出， 土体孔隙比减小，土体产生压缩，体积变小，随着有效应力逐步增大，土体抗剪 强度提高。工程中常常应用固结过程这两种特性通过排水固结法对软粘土地基进 行改良，达到提高地基承载力、减少工后沉降的目的。 1 9 2 4 年，t e r z a g h i 提出一维固结理论和有效应力原理，标志着土力学学科的 诞生。该理论建立在许多简化和假设的基础上。1 9 3 5 年，r e n d u l i c 将t e r z a g h i 一维固结理论推广n - - 维或三维的情况，提出了t e r z a g h i - r e n d u l i c 固结理论，其 固结方程又称为扩散方程。1 9 4 0 年，b i o t 根据连续体力学的基本方程，建立了 b i o t 固结方程。b i o t 固结方程考虑了土体固结过程中孔隙水压力消散和土骨架变 形之间的耦合作用。b i o t 固结理论比t e r z a g h i 固结理论更为合理完整，但计算比 较困难，往往需要采用数值解法。 二维、三维固结理论在许多实际情况中比一维固结理论更为合理，但是，在 指标测定与求解方面却比较复杂。因此，一维固结理论至今在某些特定条件下与 近似计算中仍被广泛应用。多年来，一维固结理论也获得了较大进展，研究方向 侧重于对t e r z a g h i 基本假设的修正。例如，考虑土的有关性质指标在固结过程中 的变化，压缩土层的厚度随时间改变，非均质土的固结以及固结荷重为时间的函 数等。这些修正，使得计算模型能更准确的反映土的特性、土层分布和土的加荷 过程。 本章以下各节将对固结问题所涉及的基本理论作一简单回顾和总结，着重点 放在一维固结上，同时介绍本文所做的主要工作。参阅的主要参考文献有：黄文 熙( 土的工程性质，1 9 7 3 ) ，龚晓南( 高等土力学1 9 9 6 ) ，谢康和( “双层地 基一维固结理论与应用”，1 9 9 4 ；“变荷载下任意层地基一维固结理论”，1 9 9 5 ；“层 状土半透水边界一维固结分析”，1 9 9 6 ) 。 第一章绪论 浙江人学帧1 。学位论文 1 2 研究固结问题所需的基本方程 固结是土体受外力作用，内部应力变化引起体积变化，同时有部分孔隙水被 挤出的压密过程。要建立固结微分方程，需要确立平衡条件、应力应变关系和水 流连续条件等基本概念。1 。 1 平衡条件 当土体受外力作用处于平衡状态时，土体中任何一个单元体上的各应力分量 ( 图1 1 ) ，均应该满足下列平衡方程： 一t 9 f fx + 盟+ 盐+ x ：o o k 国 出 生+ 生+ 生+ y ：o 笠+ 生+ 堕+ z ：o 一十一十一十o 2 u 式中一、r 分别为单元土体各个面上的正应力与剪应力； x 、y 、z 所取坐标轴，他们分别垂直于单元体的各相应面 瓜y 、z 单元体在工、y 、z 各个方向上所受的体积力。 应力符号的规定，见图l l 。 ( 1 2 1 ) 图l 一1单元体应力图i 一2单元流体平衡圈 如果只考虑单元体中水体部分的平衡，可按下法求得其平衡方程。假设所取 单元土块与相应坐标系统如图1 2 所示，可写出x 方向的平衡方程： 尸w n d y d z 一( r + 孕d x ) ”m d y d z + c n ，d x d y d z ：0 ( 1 2 2 ) 0 x 铺一臂拚论 浙f i 人学硕i 学位论文 式中p 一 水压力 ，“，、m 一分别为k 面上的孔隙率与单元土块的孔隙率； 足一一在x 方向的曳阻力( 与渗流力大小相等，方向相反) 。 对于匀质土体，假设。，= 一，可得平衡方程： c ：孥 f ：孥 c ：孕氓 式中y 。水的重度 2 应力一应蛮关系 卜j i i 。， “n “一九 z ，| 1 “ 月j i 、 图1 3单向压缩条件下的e o 关系图i 一4土层刮面和作用力 土的应力应变关系，是指土体在各种受力条件下，应力分量与应变分量之间 的相互关系。在实际问题中，考虑最多的是一维固结问题，它研究土体在四周有 侧限条件下垂直向排水与垂直向变形的情况。针对一维固结，可以直接利用固结 仪测定试样在各级荷重下的压缩量，从而计算它的应力一应变关系。在单向压缩 条件下，土体的孔隙比( 或压缩量) 与有效应力之间的试验曲线，如图1 3 所示。 在不大的应力变化范围内，这种关系可近似地以直线代替。直线的斜率，称为土 的压缩系数a ，： 旦生：mf 1 2 4 、 如7 式中口土体中某点有效应力，盯7 = o r - - “； 第一章绪论浙江尺学硕f 学位论文 d 土体中采点总厦力： e 土体的孔隙比。 对于二维与三维固结问题，土体的受力条件比较复杂，还缺少完善的测试方 法。因此，常按简化方法，即认为土体是理想均质各向同性弹性体，利用弹性常 数来表达土体的应力应变关系。 3 ，水流连续条件 研究水流连续条件，以d a r c y 定律为依据，其数学表达式为： q = 一k i f 1 25 、 式中q 在与水流方向垂直的平面内，单位时间通过单位面积的渗流量： i 一一水力梯度； 女渗透系数。 假设所取单元土体及坐标系统如图i - 2 所示。对于饱和土，沿z 方向进入单 元体的净水量q ：应为： 岖邓：窘+ 警+ 豢出警，出批 m ：同 如果土体沿z 方向的渗透系数为常量，则 丝：o 瑟 上式简化为： 肾化蚴 f 1 27 1 同理可得在z 、y 方向的净流入量。由此，进入单元土体的总流量g 为： g ：咄+ a q y + a q , = 【t 矿o z h + 砖萨0 2 h + t 警) 蚴出 f 1 2 8 1 式( 1 2 8 ) 是不可压缩流体在渗流过程中体积守恒的连续方程。如果是饱和 土，在稳定渗流条件下，单元土体内的水量保持不变，即g = o ，则式( 1 2 8 ) 变成： t 万3 2 h 坞, 矿0 2 h 也窘= 。 ( 1 2 9 ) 式( 1 2 9 ) 称为拉普拉斯方程。如果土骨架或土孔隙中的流体可以压缩，则 4 船一审缔论 浙江大学碛j 学位论辽 g o ，土体中的渗流即为不稳定流或瞬时流。 1 3 一维固结普遍方程 利用上节的基本方程，可以建立土体的一维固结普遍方程。根据d a r c y 定 律，可以直接写出在z 方向单位体积中土中孔隙壁对水流的曳阻力的表达式如 下： e = 一i = y 。= 一”半v ， ( 131 ) 式中，土的孔隙率： u 在土体中沿水流方向的实际流速，它与渗流流速v 的关系是 v = ”k 。上式右侧带负号，表示曳阻力与流速方向相反。 但是，根据式( 1 2 3 ) ，z 方向的曳阻力又可表示为： c = 警氓 ( 1 3 2 ) c 譬、一， 将( 1 3 1 ) 代入( 1 _ 3 2 ) ，得： 孕+ 扎+ n 华匕= 0 ( 1 3 3 ) e 将( 13 3 ) 对z 求导( 设拓常数) ，则有： 垒+ h k 监：0 ( 1 3 4 ) a z k 瑟 如果k 不是常数，而随深度变化，即七号，则式( 1 3 4 ) 的形式为： 等卅毒善- - n w v s 古警= 。 ，司 在一维固结条件下： n 警= 鲁 ( 1 1 ，。)岔a( 36 j 式中e ：z 方向的应变。由于一维固结是在侧限条件下压缩，因此，轴向 应变e ：就等于土体的体积应变e 。 因此，式( 1 3 4 ) 和( 1 3 5 ) 分别可改写成： 等止k 坠o t o ( 1 3 7 ) a z 。 ”一 a 2 p y 。跳： a ：二k 研仉。土k2 坐d z = o ，7 1 ”u u 假设固结土层的剖面如图1 - 4 。在土层表面的单位面积上原有荷重p o ，荷重 增量为p ，在地面下( h - z ) 深度处存在超静孔压“。根据有效应力原理，在固 结过程中该处的有效应力口为： 廿= 6 - p 。= ( p o + j d ) + 丫( - z ) 一“ ( 1 3 9 ) 式中y7 土的有效重度 将式( 1 39 ) 对时间f 求导数得： 等= 鲁c 叫警一詈( 1 3 1 0 ， 另，垂直应变：也可以用有效应力与变形指标表示。根据一维固结实验的 压缩曲线，体积压缩系数m ，的定义为： 一la e v 2 雨面 而 生：_ 二l 丝 8 f i + e b a t 故有 如鼢 百2 “v 百 ( 1 3 i i ) 再将式( 1 3 u ) 代入( 1 3 8 ) ，得： 等+ 半等+ c 誓饥，去警= 。 3 切 再将式( 1 3 1 0 ) 代入( 1 3 1 2 ) ，并以超静水压力表示，则式( 1 3 8 ) 变为： 警+ 警【百a a pt 7 , 百a h o 讲u + i 1 石d k 西a u = 。 ( 1 3 1 3 ) 式( 1 3 1 3 ) 是反映一维固结过程的普遍方程2 1 。该方程综合考虑了外加荷重随 时间变化，以及土的渗透性随时间变化等等可能遇到的情况。 锵一章绪论 浙江人学硕：l 二学位论文 1 4 y e r z a g h i 一维固结理论 一维固结又称单向固结，土体在荷载作用下土中水的流动和土体的变形仅发 生在一个方向的土体固结问题。严格的一维固结问题只发生在室内有侧限的固结 实验中，实际工程中并不存在。然而，当土层厚度比较均匀，其压缩土层厚度相 对于均布外荷作用面积较小时，可近似为一维固结问题”。 1 基本假设 在1 9 2 4 年，t e r z a g h i 建立了饱和土单向固结微分方程，并获得一定起始条件 与边界条件时的数学解，其假设“3 如下： 1 ) 土体是饱和的； 2 ) 土体是均质的； 3 ) 土中固相( 土粒) 和液相( 孔隙水) 在固结过程中体积是不可压缩的； 4 ) 土中水的渗流服从d a r c y 定律； 5 ) 土中渗流系数k 是常数； 6 ) 土体压缩系数a 。是常数； 7 ) 外部荷载是一次瞬时施加的： 8 ) 土体固结变形是小变形： 9 ) 土中渗流和土体变形只发生在一个方向。 2 固结方程及其解答 考虑图1 5 所示土层的一维固结，其厚度为2 h ，固结系数为c 。，排水条件为 双面排水，荷载为q 。根据上述假定，将 芦常数，z x p = 0 及扣常数代入普通方 程( 1 3 1 3 ) ，可得固结微分方程为 a 2 “a “ 。v 可5 瓦 m 1 、 式中“超静孔压； c 。固结系数； c ：生! ! 型：上= p 丫。d ， m v 丫w e o 土体初始孔隙比。 边界条件为 兰! 兰三二型生 塑坚查堂塑主堂垡丝兰 二20 ， “= 0 ( ， 0 、 二22 h ， z ，= 0 ( ， 0 ) 初始条件为 f2 0 ， “= q ( 0 z 2 h 1 图1 5一维匿结计算简图 r 1 4 2 ) f 1 4 3 、 采用分离变量法求解式( 1 4 1 ) ，结合上述边界条件，可得 心朋= - 薹知n 务卅耳 。， 式中m = ( 2 m 一1 ) t t 2 ，m = l ，2 ， 乃时间因子，n = c i t 厅 由式( 1 4 4 ) 2 1 可以计算图( 1 - 5 ) 中任一深度任意时刻的超静孔压“r z 0 。 可以证明，对于单面排水一维压缩情况，当土层厚度为时，该解也适用。 3 固结度 在某一荷载作用下经过时间t 土体固结完成的程度称为固结度，通常用u 表 示。z 深度处土的固结度以表示该处超静孔压的消散程度，土体在圃结过程中完 成的固结变形和土体抗剪强度增长均与固结度有关“3 。土体中某点的固结度可用 下式表示： 址= 手= 孚q 一詈 ( 1 。- 5 ) 6盯仃 r 一7 将式( 1 4 4 ) 代入式( 1 4 5 ) ，可得： 吩1 一萎万2 ( s i n 务“2 耳 ( 1 4 6 ) 式( 1 4 6 ) 表示不同深度处土的固结度与时间的关系，即职可口，乃) 。 霉 午霉 午 层超静j l 压的平均消散程度。固结”始时全土层的平均超静孔压为： 去鼬d = 待到某一时刻，全土层的平均超静孔压为： 去小d z 类似于式( 1 4 5 ) ，可得土层平均固结度为： 一甓 。， i ：u d z 、1 4 n 在一维固结条件下，由超静孔压所定义的固结度也正反映以土体变形表示的 固结度，即地基固结度也可以表示成土层经过时间r 所产生的固结变形量岛与 该土层固结完成时最终固结变形量& 之比，即： u ：昱 ( 14 8 ) 式( 1 4 7 ) 和( 14 8 ) 是等价的。将式( 1 4 4 ) 代a ( 1 _ 4 7 ) 即得平均固结度的计算式： u 斗萎i 2 m e ( 1 4 9 ) 篙 2 ”“ 1 5 一维固结的其它情况 t e r z a g h i 一维固结理论研究的是一维固结中的一种简单而特殊的情况，而在 实际问题中，往往会遇到各种不同的复杂条件。这里仅给出相应的固结微分方程。 1 外荷重随时间的变化 实际旌工进程便是外荷重逐渐增大的过程。竣工以后，固结才是在恒定荷重 下进行的。在许多情况下都需要了解荷重增长过程中的固结情况。 对于荷重随时间变化的情况，可将p = p ，k = - 常数，月常数代入式( 1 3 1 3 ) ， 得到相应的固结微分方程： 0 2 uo ua 曲 q 虿2 百一言 ( 1 5 1 ) 0 1 s o n ( 1 9 7 0 ) 已给出了方程( 1 5 1 ) 的解。 弛一帝绪沦 浙江人学坝i + 学位论文 2 土层厚度随时阳j 的变化 天然土在静水中的沉积过程，是土层厚度随时间变化的典型情况。如果是在 大面积( 相对于土层厚度而言) 内的均匀沉积，这显然是在自重下的固结过程， 近似于一维固结的情况。土堤、土坝的施工进程，也是土层厚度不断变化的实例。 对于这种情况，也可以从式( 1 3 1 3 ) 求得固结微分方程。由于外荷重的增量p = - o ， 假设渗透系数扣常数，而土层厚度增长规律是h = h 俐，故该式变为： a 2 “加o h 。t 虿2 百一7 百 ( 1 52 ) 上式的边界条件是： 当= = 0 时，“= 0 z ：日时，竺：0 a z g i b s o n ( 1 9 5 8 ) 对此已给出详细解答”1 。 3 成层地基 如果固结土层的渗透和变形特性不是常数，而是随其所在位置变化，则一般 可以区分为两类情况：1 土层由几个水平分层组成，而每个分层内的性质可视为 均匀一致：2 性质指标随深度而改变，即其性质为深度的函数。本文主要讨论第 一种情况。 显然，对每一水平分层而言，固结方程仍可用( 1 4 1 ) 或( 1 5 1 ) 表示，但是方 程中的固结系数应对应于各土层。 谢康和等( 1 9 9 5 ) 对成层地基的一维固结已经做了详细研究，并给出了具体解 答1 。 1 6 本文所做的工作 固结分析是软土地基处理工程设计中的一项重要工作，固结理论是该项工作 的基础理论。如上所述，固结理论的研究经历了从简单到复杂的不断发展，目前 已较成熟，尤其是一维固结理论，但可以发现，仍有许多不符合实际的假设包含 其中。例如对于边界排水条件，目前常处理成完全透水或完全不透水，但实际上 很多工程问题的边界是半透水的”。以软粘土地基预压工程为例，当砂垫层排水 不良，就会在紧邻其下的粘土层顶面形成半透水边界。因此，需要研究半透水情 鹕一章绪论 浙江大学硕士学位论文 况下的圃结问题。本文在谢康i 1 1 ( 1 9 9 6 ) 的研究基础上，进一步考虑逐渐加荷等因 素，从单层土在边界半透水情况下的维固结问题开始，对层状土半透水边界一 维固结特性及解的应用逐步深入地进行了研究分析。所做主要工作如下： 1 推导了逐渐加荷条件下单层地基一维半透水边界固结解析解。 2 推导了逐渐加荷条件下双层地基一维半透水边界固结解析解。 3 推导了逐渐加荷条件下多层地基一维半透水边界固结解析解。 4 基于本文解，较全面详细地分析了成层地基半透水边界一维固结性状。 船一帝甲甚积面、f 透水边界一维1 司结分析浙江大学硕：卜学位论文 第二章单层双面半透水边界一维固结分析 t e r z a g h i 一维固结理论中假定外部荷载是一次瞬时施j j n f l 9 ，边界条件为透水 或半透水。本章详细讨论任意施加外部荷载，且边界为半透水情况下均质饱和粘 土的超静孔压和固结度的变化规律。 2 1 计算模型 图2 1 为单层饱和粘土在边界半透水条件下的一维固结问题计算简图。图中 k 。，7 i 。、e 和。分别为竖向渗透系数、体积压缩系数、压缩模量和固结系数，h 为粘土层厚度，l nk i ( i = 1 ，2 ) 分别为粘土层顶部和底部半透水层的渗径和渗 透系数，q o 为初始荷载，吼为最终荷载，q ( o 为任一时刻的荷载。 巴j 圈。川 l 半透水层， l 选柬 0 粘土层h m 。( g z e ， 半透水层b 厂坷 图2 1计算简图图2 2 特载随时间变化曲缎 采用t e r z a g h i 一维回结理论甲的坌鄙假足，日j 得秸土层的固结微分万丰呈： 塑o t _ c v 参悄f ) ( 2 1 1 ) ”a z 。 、。 其中，“为超静孔压；，( f o ) ，z ( o z 日) 分别为时间和空间变量；月 = d q d t ，为加荷速率。将卅纠定义为初始孔压。 方程的求解条件： 一o ，老= 鲁“c 耻筹， z ) z ，老= 一鲁“c 昝西k 2 1 - 1 ， 筑一哥 中甚取嘶3 p 透水边界一辨1 闾分 斤浙江火学硕f + 学位论艾 3 、f = 0 ，d = o 仁) 当r l ，r 2 = 。o 表示边界排水，j r l ，r 2 = 0 表示边界不排水【”。 2 2 1 一般解答 参考t e r z a g h i 单层地基一维固结解，可设孔压为： 一妻。a e - 1 3 t 瞩( f ) 巾n ( 鲁z ) + a c o s ( 等- z ) 仁：， 其中b 。a 卅、b 。g 、 。分别为待定系数，倒为关于t 的待定系数， 由微分方程中尺项引起。 由边界条件1 ) 可得： 警= 喜e 仉，- 【b 。+ c 。l 】 鲁c 呶鲁z 卜4 ，鲁s i n c 鲁= ， r 日iu = p 慨+ c m l 】悟s i n c 鲁卅缸c o s c 划 当z = 0 ， 老= 鲁“，则以= 等 口2 2 ， 由边界条件2 ) 可得： 老= 薹e 吨r 陋。+ c 。l 】 鲁c 。s c 鲁z ，一以鲁s i n c 鲁z ) r 。2u = 妻。e 也，陋。+ q l 】- 一鲁s i n c 鲁z 卜r h ：ac o s ( 鲁z ) 当2 = ， 老一m j j a = 篙糯 z 司 日 九。s l n 九一r 2c o s 九。 将式( 2 2 2 ) 并f l ( 2 2 3 ) 联立可得： 生：叠型b 墨2 1 1 望b r i九s i n a ，一r 2c o s k 箱二章单层双面半透水边界一维绐分析浙江大学硕士学位论文 ( 九。2 一r i r 2 ) t g z 。一( 尺l4 - r 2 ) 九。= 0 式( 22 4 ) 即为确定特征值 。的特征方程。 将式( 2 2 1 ) 回代微分方程得： 詈= p h c 刑】+ 巴l7 * n c 和+ a c o s ( - 等- z ) 窘= 薹e 仉慨+ _ 舶) 】 - 蔷s i n c 鲁矿厶萼c 。s c 鲁z ) 小z 爿- z ) + ac o s ( z 爿- ：，卜抖n c 和+ a = c o s ( 荆 1 3 。= c 生h 2 肿，= p 。“卜和+ a c o s ( - 等- z ) 将r m 式分解，得： 薹c m 卜蝎1 4 mo s r b p l = r ( r ) ：p b 一，7 ( f ) 积分得： l = 小。尺。胁 令 g m ( z ) 一s i n e 。f t - z ) + 以c o s ( 鲁z 利用正交关系求解待定系数c 卅： r 北肛晔n c 和+ 和s c 和 出 = 瓦h i 弓一只c 。s k + k s i n 九爪) i o h g - ( z ) d z = 胁2 c - k h - z 胁荨胁2 c 和出+ w 咖c 鲁z ，出 1 4 ( 22 5 ) ( 2 2 6 ) ( 2 2 9 ) 第二章单层双面半透水边界一维问结分析浙江人学硕士学位论文 = 了h ”面1s i n z ”等面1s i n z ”羔”c o s z k ) 2 者( 2 根- ! s i 哦c o s k “+ k 2 s i n k 。c o s k + 一k r , c o s 2 x = ) 2 r l ( r 1 一r lc o s k + ks i n k ) 一天。砰二r l 一2s i n k c o s k 仉3 + k 2s i n k 。c o s + k ，r l k r l c o s 2 k ( 2 。2 1 0 ) 由初始条件3 ) 得 b ，g 。( z ) = a ( z ) ；i 同样使用正交关系求解待定系数巩得 ( 2 2 1 1 ) 至此，可写出满足一切求解条件的一般解为： 一。, e - o t b 。+ g l s 呱鲁z ，+ 鲁c 。s c 鲁z ) c z 2 t ， 2 2 2 特殊荷载情况下的解答 1 荷载单级等速施加 对于如图2 - 2 虚线所示的单级等速加荷，可写出g 和r 的数学表达式 为： g ( ，) ：j 考吼 。 ( 2 2 1 4 。) 【q 。( t t c ) 箍 r r i i 巴 筹 肌可 耻 瑟毪罄竺帆生生n 竺l ； 丝咄 五 丽 丝 第二章单崖双面半透水边界一维【司结分析浙江大学硕士学位论文 胁、一j 譬一玎0 ) ( 2 2 1 4 b ) r ( f ) = r ， 1 0 ( f f ，+ ) 通常情况下，起始孔压由荷载引起，故相应于单级等速加荷的起始孔压。俐 为零。因此b 。= 0 。将r 俐及b 。= 0 代入一般解，即可得单级等速加荷条件下 单层双面半透水地基一维固结解为： 1 ) 加荷阶段( t 。，0 ) 将r = 吼t 。代入式( 2 2 9 ) 可得： 黔小。詈出= 筹p 一 亿z 嘲 将b 。瓦；俐代入式( 2 2 1 3 ) 得： “= 耋e - d _ l 詈亡f - s i n c 鲁z ，+ 鲁c 。s c 鲁z ) 砜喜巴丧- 卜簪卜c 和净c 划 = 吼薹舞1 - - e - m 2 r v ) ， s i n c 鲁z ，+ 鲁c o s c 鲁z ) j c ：2 s ， 式中l = c 如印，兀= c d 序 2 ) 持荷阶段( t t 。) 由式( 2 2 1 4 b ) 和式( 2 2 9 ) 可得： 啪，：r 抄詈出+ f 舞卜譬一 2 将b 卅、俐代入式( 2 2 1 3 ) 得： 一。- p , cq _ 万1p 一卜寺z ，+ 鲁c 呶鲁z ) = 吼薹e 。e - f t g 阶f - ) c 。击， s i n c 鲁z ，+ 鲁c 。s c 鲁z ) j = 吼妻r n = l e 可耳2 昂一) 历c 了m s i n c 鲁z ，+ 鲁c 。s c 鲁z ) c ：2 t s ， 2 荷载瞬时施加，起始孔压呈线性分布或均布 羔| 二立l j 竺型型墅兰童查望墨二丝堕整竺堑一一一 塑坚盔兰堡主堂垡堡苎； 对于瞬时加荷，g 御= g o = 吼，尺御= 0 当起始孔压沿深度呈线性分布，其表达式可写为： 晔舢。+ 学z ( o z ( 2 2 1 9 ) 其中口o ，们分别为z = 0 ，z = h 处的起始孔压值。 由r 例= 0 得= o 一喜e 仉h 。 s i n c 鲁z ，+ 鲁c 吲每“l z 至。e - x - 2 r , b m s i n c 鲁z ，+ 每c o s c 鲁z ，l 。：删 式中b 。t h a ( 2 2 1 2 ) 式确定。显有： r 。s i n c 和出= r ( 学：) s i n ( 和出 = h ( oo - - ( y c o s k + 詈s i n k 一詈s i n k ) r a c o s c 鲁z 肛r ( a 。+ 半z c o s ( 鲁z 皿 2 若c a 两n k + 苦c 。s k 一詈c 。s k + 争。一争g d 几m _ 爿爿 将上两式代入式( 2 2 1 2 ) 即得： 2 r , 2 ( g 。一o ，c o s 九。+ 旦上s i n 九。一( y os i n 九) 吃2 丽f 可葫i 瓦五- i 瓮i 面函i 万i 石+ 2 眠i n k + 詈啷k 一薏咖k + 争咿争 _ 一。，。：! l ：! ! ! 。：! ! ：l 九。r 1 2 - r 1 2s i n kc o s x + h 3 + k 2s i n kc o s k 。+ k r l 一k i 磊s 瓦 特别当起始孔压全由荷载引起且沿深度均布时，即盯例= 印= 盯1 = q o ，可 r 啪i n ( 鲁z 肛r 9 0 s i n ( 和出_ g o 。( i - c o s a ，) 第二章单层双面半透水边界一维同结分析 浙江大学硕士学位论文 r a ( z ) c o s ( 鲁z 尬= r a o c o s ( z = a 。吾s i n 九。 则由式( 2 2 1 2 ) 式得： 2 q o r l ( 尺i r lc o s k + 九! ! ! ! k ! b m2 巧f 可面i 瓦了了i 磊巧磊i 砑丽0 s 2 k ：9 0 巴 ( 2 2 2 2 ) 2 3 固结度 地基固结度可定义为地基中任一时刻的有效应力( 或所消散的孔压) 与其最 终值之比，也可定义为地基中任一时刻的变形( 沉降) 量与其最终值之比。前者 是按孔压定义的固结度，后者是按沉降定义的固结度以。 ( 2 3 1 ) ，一i y m , , q ( t ) - q o + c r ( z ) - u d z ( 2 3 2 ) 虬2 ：两万i 磊f 单层均质土的。为常数，所以两种定义的固结度相同，即u s 。2 u o 。 2 3 1 荷载单级等速施加 当起始孔压等于起始荷载，口俐= g o ，式( 2 3 1 ) 与( 2 3 2 ) 简化为： u = 譬 1 ) 加荷阶段( t 。t 0 ) 将式( 2 2 1 6 ) 代入式( 2 3 3 ) 得： u = = 七一薹杀忙州，司 ( 2 3 3 ) i 她篙 堕肌 r 一卟 第二章学层双面半透水边界一维同结分析 浙江大学硕士学位论文 丢一薹矗忙叫( r i - r 1 c o s k i 叫 仁。卅 2 ) 持荷阶段( ，t c ) 将( 22 18 ) 代入( 2 3 3 ) 得 u = 眯旷吼p _ 沁一) 杀“z ，卜 l ：q 。d z 2 _ t 一薹i 乏葛可。g 。耳一，) - 一蜀c 。s k + k s t n h ) ( 2 - 3 5 ) 当荷载瞬时施加，q ( t ) = q o = q 。，式( 2 3 1 ) 与( 2 3 2 ) 简化为： u ：掣 仁，q( j 。z ) a z 1 ) 起始孔压沿深度呈线性分布 u = 2 z e - x , 2 r v 吃( 尺。一r ic o s h + k s i n k ) k ：1 一生一 ( 2 3 7 ) 蜀 o + 0 1 ) 式中曰。见式( 2 2 2 1 ) 。 2 ) 起始孔压全由荷载引起且沿深度均布时，即盯侈= a o = 们= q o e 。e - 。耳吃( 尺。一r 。c 。s k + hs i n k ) k 肚卜盟面 犯3 印 第二章单层双面半透水边界一维嘲结分析 浙江大学硕士学位论文 式中b 。见式( 2 2 2 2 ) 。 2 4 关于解的讨论 本节讨论更改边界透水条件对超静孔压及固结度的影响。 2 4 1 土层顶面半透水，底面不透水 此种情况下，边界条件2 ) 变为： 当z ：h ， a _ z ：0 ，尺2 = o 特征方程( 2 2 4 ) 变为： 九。噜九。一r l = 0( 2 4 1 ) 孔压“一般式见式( 2 2 1 3 ) 、( 2 2 1 6 ) 、( 2 2 i s ) 或( 2 2 2 0 ) 。给出特殊荷载情况 下的解答： i ) 荷载单级等速旎加时的加荷阶段( t c ，0 ) 由式( 2 2 1 6 ) ，( 2 3 4 ) 得 一 薹丧柏卟缸和+ 去c o s c 纠 仁。z ， u 2 毒一薹菸”_ _ ) ( 2 4 司 式中g ，由式( 2 2 1 0 ) 得： c m ：瓦搴尝 (2。4)t h9 2 九。+ 僖k 十九。 0 2 。q j 2 ) 荷载单级等速施加时的持荷阶段( t t c ) 由式( 2 2 1 8 ) ，( 2 3 5 ) 得 。挈h 。沁一) 菥c m 卜鲁z ，+ 击c o s c 鲁z ) 仁4 匀 u = 毒薹杀可怕k 一) ( 2 4 固 式中g ，由式( 2 4 4 ) 确定。 3 1 荷载瞬时施加，起始孔压呈线性分布 由式( 2 2 2 0 ) ，( 2 3 7 ) 得 第二帝单层双面半透水边界一维固结分析 浙江大学硕士学位论文 一扩嘎卜和去c o s c 划 ( 2 4 7 ) 一2 耋e 2 志 邮) 箸九。 o + g 1 ) 4 式中b 。由s x ( 2 2 2 1 ) 得 。2 p 。留2 x m + 2 k c k q s i n x 。- s e c 2 k 罟8 j 以。+ 争。私。一鲁仃帆) 耻2 而了舞瓦l l 4 ) 荷载瞬时施加，起始孔压全由荷载引起且沿深度均布 由式( 2 2 2 0 ) ，( 2 3 8 ) 得 一驴、卟n c 鲁卅击c o s c 刮 仁。 u 斗参。粤 (2411)q篇九。o 弘4 。“， 日： ! 鱼堡k( 2 41 2 ) “k 留2 k + 喀九。+ h 当土层顶面透水，r 1 = o o ，r 2 = 0 ，此即单面排水条件下单层地基一维固 结问题。 2 4 2 土层顶面透水，底面半透水 此种情况下，边界条件1 ) 变为： 当z = 0 ，“= 0 ，r ，= 0 0 则特征方程( 2 2 4 ) 变为： k c 喀h + r 2 = 0( 2 4 1 3 ) 超静孔压“一般式( 2 2 1 3 ) 变为： “= e 茎。e - 1 1 i b m + 巳驶舾n 寺z ) ( 2 4 1 4 ) 式中c 。由式( 2 2 1 0 ) 确定，即 第二章单层双面半透水边界一维周结分析浙江大学硕士学位论文 r ：壁竺釜兰：坐竺型 肛2 ( 和如2 x - s i n 2 k b 。由式( 2 21 2 ) r d d l ；g ，即 辟：盥鲨生塾! 竺垡三竺嗑兰 “”胁2 ( 和出 ( 2 卜咖2 x m ) 几种特殊荷载情况下的解答为： 1 ) 荷载单级等速施加时的加荷阶段( f 。f 0 ) “砘蕃齐c 6 百。岫n ( 鲁z ， = 】f m i u 2 毒一薹菸1 - - e - m = r ) ( 1 - c o s ，v ) 式中c 卅由式( 2 4 1 5 ) 确定。 2 、荷载单级等速施加时的持荷阶段ff t ，1 ( 2 4 1 6 ) ( 24 1 7 ) ( 2 4 1 8 ) 州鸶妻，e - ) 2 r r g a _ r c - 1 ) - 嘉1 s i n ( 鲁z ) ( 2 4 1 9 ) m = l r m u = 毒一薹菸可怕g x r ( - 1 ) ( 1 - c o s x m ) ( 2 4 2 0 ) 式中g 由式( 2 4 1 5 ) 确定。 3 1 荷载瞬时施加，起始孔压呈线性分布 一争。扣n ( 鲁z ) _ ” 、u 。 2 2 e - x d r ”吃( 1 一c o s k 。) 阽卜型弋瓦i 厂一 ml 6o 十盯l ， ( 2 4 2 1 ) ( 2 4 2 2 ) 式中b 。由式( 2 4 1 6 ) 确定。 4 1 荷载瞬时施加，起始孔压全由荷载引起且沿深度均布 “= 争。飞s i n ( 鲁z ) 。4 2 3 兰芝2 坐星! ! ! ! 堡堕查望堂二堡塑堕坌塑