（机械制造及其自动化专业论文）位置误差部分项目的可视化理论及实现.pdf

0 二二；一0 上 量基r；，吨r 、山， f一_0 n ， ad i s s e r t a t i o ni nm e c h a n i c a lm a n u f a c t u r i n ga n d a u t o m a t i o n t h e o r ya n d r e a l i z a t i o no fp a r t i a lp o s i t i o n e r r o r p r o j e c t s v i s u a l i z a t i o n b yl ix i a o p i n g s u p e r v i s o r ： a s s o c i a t ep r o f e s s o rc h e nl i ji e n o r t h e a s t e r nu n i v e r s i t y j a n u a r y 2 0 0 8 、 i 】 | j 1 j-一 ，“簟 j。；11 独创性 本人声明所呈交的学位论文是在导师的指导下完成的。论文中取得的研究成 果除加以标注和致谢的地方外，不包含其他人己经发表或撰写过的研究成果，也 不包括本人为获得其他学位而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做 的任何贡献己在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名：， 毫辱 e t期 二夕矿，、2 、”2 - - o 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者和指导教师完全了解东北大学有关保留、使用学位论文的规 定：即学校有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论 文被查阅和借阅。本人同意东北大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关 数据库进行检索、交流。 ( 如作者和导师不同意网上交流，请在下方签名：否则视为同意。) 学位论文作者签名：导师签名： 签字日期：签字日期： 0：二二一， ， - ；，l， 1 一 j1_ 东北大学硕士学位论文 摘要 位置误差部分项目的可视化的理论及实现 摘要 零件的位置误差对机械产品的性能有很大的影响，因此准确地测得位置误差 值，同时显示其误差图形，对保证和提高机械产品的质量十分重要。 自从形状和位置公差的国家标准g b l 9 5 8 8 0 颁布以来，有关形位误差的评定 理论和评定方法等受到了广泛的关注。位置误差的评定和可视化有较高的难度。 我国开始着手研究的时间较短，但它已经对我国的工业生产和科学技术进步起到 了很大的促进作用。关于位置误差评定的理论方法、数学模型等相关技术的研究， 虽然取得了许多重要的成果，但仍存在有待深入研究的问题，尤其是对于位置误 差项目的可视化理论的研究，诸如位置度、对称度、倾斜度等，探讨又尚嫌不足。 又因为位置误差可视化的研究要涉及到较多的数学知识和计算机图形学知识，因 而成为工程科学和基础科学共同关心的课题。本文深入地研究了生成位置误差图 形所需的基础理论和数学模型，在此基础上，研制了位置误差虚拟评定系统。 文中研究了生成位置误差图形所需要的基础理论，包括选择三维线框模型实 现位置误差图形化，推导出空间点的投影变换公式，提供了绘制基本几何形体( 圆、 椭圆、圆柱面) 的方法，对三维误差图形的消隐问题进行了深入的探讨。 建立了点的位置度、任意方向上轴线对三基面的位置度、面的位置度误差的 最小二乘、最小条件评定法的误差图形生成的数学模型。 建立了面对面对称度、线对面对称度、面对线对称度、线对线对称度误差的 最小二乘、最小条件评定法的误差图形生成的数学模型。 建立了面对面倾斜度、给定一个方向上轴线对平面倾斜度、给定一个方向上 轴线对轴线倾斜度误差的最 b - - 乘、最小条件评定法的误差图形生成的数学模型。 在理论研究的基础上，采用l a bw i n d o w s c v i 为软件开发平台研制了位置误 差虚拟评定系统。对上述数学模型进行了仿真，证明了本文中生成位置误差图形 的理论和数学模型的正确性。建立的软件库实现了位置误差评定及可视化。 关键词：位置误差；误差图形；数学模型；最小二乘法；最小条件法 i i 土li， j1-、 r 东北大学硕士学位论文 a b s t r a c t t h e o r ya n dr e a l i z a t i o no fp a r t i a lp o s i t i o n e r r o rp r o j e c t s v i s u a l i z a t i o n a bs t r a c t p o s i t i o ne r r o r so fm e c h a n i c a lp a r t sm a k eg r e a te f f e c to np e r f o r m a n c eo f m e c h a n i c a lp r o d u c t s t h e r e f o r e ，i ti sh i g h l yi m p o r t a n tt oa c c u r a t e l ym e 嬲u r et h e p o s i t i o ne r r o r sa n dd i s p l a yt h e i re r r o rg r a p h s ，i no r d e rt og u a r a n t e ea n di m p r o v et h e q u a l i t yo fm e c h a n i c a lp r o d u c t s 1 1 1 et h e o r ya n d m e t h o do ft h ef o r ma n dp o s i t i o ne r r o re v a l u a t i o ng e te x t e n s i v e a t t e n t i o nw h e ng b19 5 8 8 0w a se n a c t e d t h ee v a l u a t i o na n dv i s u a l i z a t i o no ft h e p o s i t i o ne r r o r sa r ev e r yd i f f i c u l t o u rc o u n t r yb e g i n e dt or e s e a r c ho ni t n o tl o n ga g o ， b u ti tp l a y e da ni m p o r t a n tr o l ei nd e v e l o p i n go u ri n d u s t r ya n dt e c h n o l o g y r e s e a r c ho n t h et h e o r y , t h em a t h e m a t i c a lm o d e l sa n do t h e rr e l a t e dt e c h n o l o g i e so ft h ep o s i t i o n e r r o re v a l u a t i o nh a sg o t t e nm a n ya c h i e v e m e n t si nt h i sf i e l d ，b u tt h e r ea r es t i l lm a n y p r o b l e m su n s o l v e d ，e s p e c i a l l yi na s p e c t so f t h et h e o r yo ft h ep o s i t i o ne r r o rp r o j e c t s v i s u a l i z a t i o n ，s u c h 勰p o s i t i o ne r r o r s ，s y m m e t r ye r r o r sa n dg r a d i e n te r r o r sa n ds oo n b e c a u s ei tr e l a t e st ot h em a t h e m a t i c a lk n o w l e d g ea n dc o m p u t e rg r a p h i ck n o w l e d g e ，i t i sc o n c e r n e db yt h ee n g i n e e r i n gs c i e n c ea n df o u n d a t i o ns c i e n c e t 1 1 i st h e s i sd e e p l y s t u d i e st h ef u n d a m e n t a lt h e o r ya n dt h em a t h e m a t i c a lm o d e l sn e e d e df o rd r a w i n gt h e p o s i t i o ne r r o rg r a p h s o nt h eb a s i so f t h e s es t u d i e s ，t h ep o s i t i o ne r r o rv i s u a le v a l u a t i o n s y s t e mi sd e v e l o p e d t h i st h e s i ss t u d i e st h ef u n d a m e n t a lt h e o r yo fd r a w i n gt h ep o s i t i o ne r r o rg r a p h s ， m a i n l yi n c l u d i n gs e l e c t st h e3 dw i r e - f r a m em o d e lt od i s p l a yt h ep o s i t i o ne r r o r 黟a p h s ， d e d u c e so u tt h ep r o j e c t i v et r a n s f o r m a t i o nf o r m u l ao fs p a c ep o i n t , o f f e r st h em e t h o d s o fd r a w i n gt h eb a s i cg e o m e t r i c a lf o r m s ，w h i c hi n c l u d ec i r c l e ，e l l i p s ea n dc y l i n d e r , a n d d e e p l yd i s c u s s e st h ep r o b l e m so fh i d d e nl i n ee l i m i n a t i o na l g o r i t h m t 1 1 em a t h e m a t i c a lm o d e l so fd r a w i n ge r r o rg r a p h sa r ee s t a b l i s h e df o rp o s i t i o n e r r o r s ，i n c l u d i n gp o i n tp o s i t i o ne r r o r , a x i sp o s i t i o ne r r o rt ot h r e ed a t u mf l a t s i n a r b i t r a r yo r i e n t a t i o na n df l a tp o s i t i o ne r r o r , b yt h e l e a s ts q u a r em e t h o da n dt h e m i n i m u mc o n d i t i o nm e t h o d n em a t h e m a t i c a lm o d e l so fd r a w i n ge r r o rg r a p h sa r ee s t a b l i s h e df o rs y m m e t r y e r r o r s ，i n c l u d i n gf l a ts y m m e t r ye r r o rt od a t u mf l a t ，a x i ss y m m e t r ye r r o rt od a t u mf l 她 f l a ts y m m e t r ye r r o rt od a t u ma x i sa n da x i ss y m m e t r ye r r o rt od a t u ma x i s ，b yt h el e a s t s q u a r em e t h o da n dt h em i n i m u mc o n d i t i o nm e t h o d t h em a t h e m a t i c a lm o d e l so fd r a w i n ge r r o rg r a p h sa r ee s t a b l i s h e df o rg r a d i e n t i i i f 。 l 、i ，一 东北大学硕士学位论文 a b s t r a c t e r r o r s ，i n c l u d i n gf i a tg r a d i e n te r r o r t od a t u mf l a t ，a x i sg r a d i e n te r r o rt od a t u mf l a ti na g i v e no r i e n t a t i o na n da x i sg r a d i e n te r r o rt od a t u ma x i si nag i v e no r i e n t a t i o n ，b yt h e l e a s ts q u a r em e t h o da n dt h em i n i m u mc o n d i t i o nm e t h o d o nt h e b a s i so ft h et h e o r e t i c a lr e s e 剐c h ，t h ep o s i t i o ne r r o rv i s u a le v a l u a t i o n s y s t e m i s d e v e l o p e db yu s i n g l a bw i n d o w s c v ia ss o f t w a r ep l a t f o r m t h e f u n d a m e n t a lt h e o r ya n dm a t h e m a t i c a lm o d e l sf o rd r a w i n gt h ep o s i t i o ne r r o rg r a p h s a r ep r o v e dt ob et r u eb ys i m u l a t i o n t h ee s t a b l i s h m e n to fs o f t w a r el i b r a r ym a k e st h e e v a l u a t i o na n dt h ev i s u a l i z a t i o no ft h ep o s i t i o nc o m et r u e k e y w o r d s ：p o s i t i o ne r r o r s ；e r r o rg r a p h ；m a t h e m a t i c a lm o d e l ；t h el e a s ts q u a r em e t h o d ； t h em i m m u mc o n d i t i o nm e t h o d ，jjl、- ，- 东北大学硕士学位论文 独创性声明 摘要 a b s t r a c t 第1 章绪论 1 1 引言 1 2 课题的目的和意义1 1 3 国内外形位误差评定理论及图形化技术的发展概况一2 1 4 课题的主要工作内容5 第2 章位置误差图形生成的理论基础6 2 1 三维形体模型。6 2 2 投影变换6 2 3 空间点的轴测坐标7 2 4 基本几何形体的实现8 2 4 1 圆8 2 4 2 椭圆。9 2 4 3 圆柱面9 2 5 图形消隐9 2 5 1 左圆柱直径小于右圆柱直径。1 0 2 5 2 左圆柱直径大于右圆柱直径1 0 2 6 本章小结1 l 第3 章位置度误差图形生成的数学模型1 2 3 1 点的位置度误差图形生成的数学模型1 2 3 1 1 概述1 2 3 1 2 最小二乘评定法误差图形生成的数学模型1 2 3 1 3 最小条件评定法误差图形生成的数学模型1 7 3 2 轴线对三基面的位置度误差图形生成的数学模型1 8 3 2 1 概j 遣l8 3 2 2 最小二乘评定法误差图形生成的数学模型1 9 3 3 面的位置度误差图形生成的数学模型2 5 3 3 1 概述2 5 3 3 2 最小二乘评定法误差图形生成的数学模型2 5 3 4 本章小结。3 0 第4 章对称度误差图形生成的数学模型3 1 4 1 面对面对称度误差图形生成的数学模型。3 1 v |v一 k p 东北大学硕士学位论文 目录 4 1 1 概述3 1 4 1 2 最小二乘评定法误差图形生成的数学模型3 l 4 1 3 最小条件评定法误差图形生成的数学模型3 3 4 2 线对面对称度误差图形生成的数学模型3 5 4 2 1 概述3 5 4 2 2 最4 - - 乘评定法误差图形生成的数学模型3 5 4 2 3 最小条件评定法误差图形生成的数学模型3 8 4 3 面对线对称度误差图形生成的数学模型3 9 4 3 1 概述3 9 4 3 2 最小二乘评定法误差图形生成的数学模型4 0 4 3 3 最小条件评定法误差图形生成的数学模型4 2 4 4 线对线对称度误差图形生成的数学模型4 4 4 4 1 概述z m 4 4 2 最小二乘评定法误差图形生成的数学模型4 4 4 4 3 最小条件评定法误差图形生成的数学模型4 7 4 5 本章小结。4 9 第5 章倾斜度误差图形生成的数学模型5 0 5 1 面对面倾斜度误差图形生成的数学模型5 0 5 1 1 概述5 0 5 1 2 最小二乘评定法误差图形生成的数学模型5 0 5 1 3 最小条件评定法误差图形生成的数学模型5 3 5 2 轴线对平面倾斜度误差图形生成的数学模型5 4 5 2 1 概j 丕5 4 5 2 2 最小二乘评定法误差图形生成的数学模型5 5 5 2 3 最小条件评定法误差图形生成的数学模型5 8 5 3 轴线对轴线倾斜度误差图形生成的数学模型5 9 5 3 1 概述5 9 5 3 2 最4 - - 乘评定法误差图形生成的数学模型6 0 5 3 3 最小条件评定法误差图形生成的数学模型6 3 5 4 本章小结6 5 第6 章位置误差虚拟评定系统软件的实现6 6 6 1 评定软件的结构6 6 6 1 1 仪器面板控制软件6 6 6 1 2 数据分析处理软件6 6 6 2 软件的设计6 7 6 2 1 软面板的设计6 7 6 2 2 数据分析处理软件7 2 6 3 本章小结7 3 第7 章总结与展望7 4 7 1 结论7 4 7 2 展望7 4 v i 、 l _ 一 小j 、j 一 、， l 吃 参考文献7 5 致谢7 9 v i i li， 一 1 i 一， 、；一 东北大学硕士学位论文第1 章绪论 第1 章绪论 1 1 引言 在科技迅猛发展和生产力水平不断提高的今天，测量技术已发展成为多学科、 高知识密集的新型技术领域。特别是随着电子技术的发展和计算机的深入普及， 不仅可以定量地对零件的形状和位置误差进行检测，而且可以实时、准确地提供 零件形貌的直观情况，将抽象的数字信息转化为直观的图形信息。因此，测量技 术以其极大的社会效益和经济效益在工农业生产、国防建设和科学技术等各个领 域起着极其重要的作用。几十年来，一直受到国内外的普遍关注。 零件的形状和位置误差对机器、仪器的工作精度、寿命等性能都有直接的影 响，对于在高速、高压、高温、重载条件下工作的机器和精密机械仪器，其影响 则更甚。对于任何一个加工完的零件，其形位误差是否符合设计要求，需要经过 准确地测量和数据进行误差评定才能知道。因而，准确地测量和评定零件的形位 误差，同时提供零件表面形貌的直观情况，不但可以作为零件的验收的依据，还 可以用来分析形位误差产生的原因，为提高零件的加工精度和装配精度提供了可 靠的依据。因此，通过对零件形位误差的测量和评定，可为检验机械产品的质量 提供保证。 本章主要阐述课题的背景、目的、意义和国内外概况，最后介绍本文的工作。 1 2 课题的目的和意义 尽管国内外许多专家和学者一直致力于有关形位误差评定的理论方法、数学 模型及解算方法等问题的研究，但是有的推论不足，有的经验不够，仍无法实现 理论的系统完善和成果的实用。尤其是对于位置误差项目的图形可视化理论及实 现的研究，诸如位置度、对称度、倾斜度等，探讨又尚嫌不足。 我国开始着手研究形位误差测量理论的时间比较短，只是从7 0 年代末8 0 年 代初开始，但它已经对我国的工业生产和科学技术进步起到了很大的促进作用。 关于形位误差评定的理论方法、数学模型及解算方法的研究，已经达到较高水平。 但从整体上看，理论研究还不够系统和完善，离实际生产应用还有一定的差距， 使得我国企业内部的检测设备并没有多大程度的改善，对我国机械工业的发展具 有严重的制约作用1 1 。此外，从形位误差测量仪器产品和文献等资料来看2 训，国 l ii一 诤0 ， r r 东北大学硕士学位论文第1 章绪论 外的相关仪器制造公司在几何量形位误差图形化技术这一领域已经达到相当高的 水平，所生产的与量仪配套软件能把误差图形、测量结果和相关信息集成于一个 集成环境下，但由于商业原因，第一手资料是不公开的。国内一些人士已经开始 从事这方面的研究【5 。1 3 】，而且形位误差测量仪器的研究也取得了一定的成果1 化引。 但是由于资金、制造技术等诸多因素的影响，国产形位误差测量仪种类少、精度 低、功能差、价格高。目前人们对形位误差评定数学模型与算法的研究仍然在不 断深入和加强，各种新模型和新算法不断出现。然而对位置误差项目的图形可视 化理论研究却很少，特别是位置度、对称度、倾斜度等比较复杂的位置误差图形 可视化技术在各种报道中很少看到。 因此，利用计算机在理论和实践上研究比较复杂的位置误差图形可视化技术 具有重要的现实意义。 1 3 国内外形位误差评定理论及图形化技术的发展概况 国外关于形位误差评定理论及图形化技术的研究这一领域起步较早，而且英、 美、德、日等先进工业国家在这一领域已达到相当高的水平。但是，形位误差测 量和评定属于高新技术，重要的研究成果大多散落在较大的仪器公司，由于保密 等原因，许多第一手的技术资料我们无法获得。只能从购进的仪器产品、样本、 以及一些公开发表的文献中，了解国外的发展水平和发展趋势。 关于直线度与平面度误差的测量与评定，在国外发表了不少论文。美国学者 s h o s s c i nc h c r a g h i l d l 等利用最优化技术进行直线度和平面度误差的评定，该方法 首先对测量点进行旋转和平移，使包容被测实际直线的两条平行线中的一条与x 轴重合，而y 轴方向就为误差范围，再根据目标函数建立搜索程序。经实例计算 表明，该方法与最小二乘法和凸多边形法相比不仅运行时间短，而且精度要比后 两者高。印度学者g l s a m u c l 等利用计算几何技术建立了直线度和平面度误差 的最小区域评定模型。通过计算机进行模拟数据处理，结果表明该方法所的结果 具有较高度的精度。韩国学者m o o n k y ul e e p u 根据最小区域条件用凸多边形几 何方法进行了平面度误差的评定。该方法根据采样点构造一个三维凸多边形，从 而建立相应的评定数学模型，最后利用计算机进行数据处理。通过对给定的几组 数处理，并同最t b - - 乘法、最优化约束、单变量搜索方法进行比较，结果表明该 方法计算精度比其它几种方法评定的结果要高。美国学者t i m o t h yw e b e r p 卅等使用 单元化线性近似值技术进行了直线度和平面度的评定。该方法把误差模型的非线 性方程通过泰勒公式展开，利用计算机进行数据处理，结果表明计算精度等同于 - 2 - - 三- l 一 i 夕 _jj j p ， 一 东北大学硕士学位论文第1 章绪论 或更优于最小二乘法和最小区域法评定的结果。 关于圆度和圆柱度误差评定的数学模型与算法，在国外也有不少相关的论文 发表。美国学者s h o s s e i nc h e r a g h i p 叫等建立了评定圆柱度误差的有效程序，该程 序可以允许圆柱度误差不同方法的评定，如：最小二乘圆柱法、最小外接圆柱法、 最大内切圆柱法和最小区域法。通过评定结果显示计算精度非常高。英国学者 j i i n g y i hl a i p 叫等根据最小区域原则利用表面展开法进行圆柱度误差评定，通过对 多组实际数据的运算结果进行对比，表明用最小区域法得到的圆柱度误差值比用 最小二乘圆柱法得到的误差值要小。荷兰学者m u c h e n p 叫等采用随机最优化方法 进行了圆的最小区域圆、最小外接圆、最大内切圆的评定，研制了圆度测量仪器。 从国外研究出的各种测量仪器中，也可以看出其形位误差评定理论及图形技 术的发展程度，如英国的r a n kt a y l o rh o b s o n 公司生产的t a l y r o n d 3 0 0 圆度与形状 测量仪采用空气轴承回转台，径向回转精度为0 0 2 5 1 x m ，立柱导轨直线度为 0 5 邺a 5 0 0 m m ，测头径向移动直度为0 5 1 x m 2 0 0 m m ，传感器分辨率为0 0 1 2 9 r a ，可 测量垂直与水平直线度、圆度、圆柱度、平行度、垂直度、同轴度、跳动等形位 误差p 1 。德国马尔( m a h r ) 公司生产的m f u 8 0 0 型高精度形状和位置误差测量仪r 1 。 美国f e d e r a lp r o d u c t s 等公司生产的仪器，也可完成相应的测量与评定。 我国自“形状和位置公差 的国家标准颁布以来，有关形位误差的测量与评 定理论也得到的突飞猛进的发展。研究范围由最初的直线度、平面度和圆度误差 逐步扩大到对圆柱度、圆锥度、对称度、平面孔组位置及跳动等位置误差项目的 评定。在数学模型的研究方面，由过去单纯地建立与求解数学模型逐步深入到目 标函数的凸凹性、解的唯一性、解的最优性准则等较深层次的研究。在算法研究 方面，由单纯地套用最优化理论中现有的算法，逐步发展到结合形位误差的特点 对现有算法加以改进，以提高它们的运算精度和运算速度，同时还提出了不少的 实用的新算法。并且在理论的研究基础上，根据实际生产的需要已研究出一些微 机控制的形位误差测量装置和在线测量系统，这些成绩的取得，表明我国形位误 n 1 差的评定水平跃上一个新台阶”1 。 在国内对于直线度和平面度的误差评定及误差图形技术的研究，已取得了一 定的成果，例如张玉p 不仅研究了直线度和平面度误差最小二乘评定法，通过“正 交化“处理，简化了计算公式。而且在此理论基础上分别研制了直线度和平面度 r 1 1 误差的评定软件，使误差图形直观地在屏幕上显示出来。孙保寿p u 提出了求解最 小区域直线度误差的凸多边形法，该方法把诸多采样点最终筛选为组成凸多边形 的少数凸点的数据处理，因此，它的运算速度快，精度高。同时也开发了可视化 - 3 - 东北大学硕士学位论文第1 章绪论 轴线直线度误差的测量系统，使图形技术得以应用。蔡改贫m 1 等提出了一种最小 条件直线度误差的快速精确算法既正负域法，他们把采样点到最小二乘直线的偏 差区分为正域和负域，该方法吸收了0 6 1 8 法和最小二乘法的优点，通过计算机系 统进行数据处理，结果表明本算法的计算时间与最d , - 乘法接近，比o 6 1 8 法要短 的多，而计算精度比前两者都高。陈立杰印1 借助计算机系统，从最小包容区域出 发，评定平面度误差，并将实际被测平面和包容平面直观、逼真的显示出来，实 现了平面度误差评定的可视化。此外国内还有很多关于直线度和平面度的误差评 定理论。 关于圆度误差、圆柱度误差评定的数学模型和误差图形技术研究国内也有了 r 1 不少的报道。张玉h 等研究了圆度误差的最小二乘评定法、提出了用半径偏差表 示的最小二乘圆圆心公式，使用十分方便，并且研制了虚拟圆度仪，实现了图形 可视化。陈立杰r w 等建立了直角坐标采样时圆柱度误差的最d x - 乘数学模型，该 模型的坐标原点可以任意选取，各离散采样点之间也不要求为等角度间隔，并且用 计算机进行了仿真分析，同时又研究了虚拟圆柱度误差测量仪。周剑平r u 开发了 评定圆柱度误差的软件，建立了用m a t l a b 实现圆柱度误差最小区域法、最小二乘 圆柱法、最小外接圆柱法和最大内切圆柱法评定时目标函数数学模型的计算方法， 用户输入测量数据后，即可同时得到四种方法的误差图形和评定结果，从而实现 了误差图形可视化。 对于其它形位误差项目的评定和误差图形技术的研究还比较少。安立帮r 纠等 利用鞍点规划的方法研究了在框架复合运动条件下，平面孔组位置度误差的评定 模型，以及最小条件和解算方法。张玉p 叫建立了面对面对称度误差的正交最小二 乘评定数学模型，该数学模型可直接用于面对面对称度误差的计算机软件开发。 蔡改贫m 1 等建立了任意方向轴线对平面倾斜度误差的正交最小二乘评定数学模 型，该模型具有编程简单，占用内存少和运行时间短等优点。 尽管形位误差评定理论的研究日新月异，但目前仍有很多问题需要解决，如 复杂位置误差图形技术缺乏全面、深入、系统的研究。其次国产位置误差测量仪 种类少、功能简单、精度低。即使较高档次的仪器其测量结果，大部分都以数据 的形式从打印机或数码管输出，具有误差图形输出能力的仪器就更少了。所以在 现有的位置误差评定理论的基础上进行位置误差图形可视化技术理论和实现的研 究是十分必要的。 4 、，!鼍1 一 ( 2 ) 提出并建立了点的位置度、任意方向上轴线对三基面的位置度、面的位置 度误差的最小二乘、最小条件评定法的误差图形生成的数学模型。 ( 3 ) 提出并建立了面对面对称度、线对面对称度、面对线对称度、线对线对称 度误差的最小二乘、最小条件评定法的误差图形生成的数学模型。 ( 4 ) 提出并建立了面对面倾斜度、给定一个方向的轴线对平面倾斜度、给定方 向上轴线对轴线倾斜度误差的最小二乘、最小条件评定法的误差图形生成的数学 模型。 2 实际开发部分 ( 1 ) 根据上述理论研究工作，采用l a bw i n d o w s c v i 为软件开发平台，建立了 相应的软件库。 ( 2 ) 对上述理论进行了仿真研究。 ( 3 ) 研制了位置误差虚拟评定系统，主要包括点的位置度、任意方向上轴线对 三基面的位置度、面的位置度、面对面对称度、线对面对称度、面对线对称度、 线对线对称度、面对面倾斜度、给定一个方向上轴线对平面倾斜度、给定一个方 向上轴线对轴线倾斜度误差的面板控制软件和数据分析处理软件。 - 5 - 东北大学硕士学位论文 第2 章位置误差图形生成的理论基础 第2 章位置误差图形生成的理论基础 2 1 三维形体模型 位置误差图形既有二维图形又有三维图形。如点的位置度误差图形可用二维 图形表示，而轴线的位置度、面的位置度、倾斜度、对称度等误差图形必须用三 维图形才能表示出来。在生成三维图形时，必须选择一种合适的形体模型才能清 晰的表示出位置误差图形( 即表示出位置误差的形状、大小、方位，被测要素、基 准要素以及它们之间的关系等) 。 在计算机图形学中，用计算机系统来表示、控制、分析和输出三维形体，并 模拟物体动态处理过程的技术，称为三维几何造型【4 5 1 。根据对三维形体描述方法 及存储几何信息和拓扑信息的不同，可将三维几何造型的形体模型分为三类，即 线框模型( w i r ef r a m em o d e l ) 、表面模型( s u r f a c em o d e l ) 和实体模型( s o l i d m o d e l ) 。 线框模型：是用顶点和基本线素( 直线、圆弧、椭圆弧、自由曲线等) 的有限集 合来表示和建立物体的计算机模型，三维物体线框模型的信息数据结构是两张表 结构。一张是表示物体元素几何关系的顶点表；另一张是表示物体元素拓扑关系 的顶点连线表。 表面模型：把在线框模型中边线包围的部分定义为面，则所形成的模型就是 表面模型。在表面模型中，不仅要提供顶点、边线的信息，还要提供组成三维立 体各个表面的信息表，即面表。 实体模型是在表面模型的基础上，再定义物体存在于面的哪一侧而建立的。 在本文中若选择表面模型或实体模型，则无法清晰显示出误差图形，因此采 用了线框模型。但这也带来一些缺点，如立体感不强，显示的图形线条复杂，不 易辨认等，然而，这些缺陷都可以通过不同线条选取不同的颜色的办法来弥补。 2 2 投影变换 投影就是把空间物体投射到投影面上而得到的平面 g 眵1 4 6 1 。投影是三维图形 在二维的输出设备上显示的不可缺少的技术之一。在计算机图形学中，常用的投 影包括，正投影、透视投影和轴测投影等。 正投影是把物体放置在三维坐标系中，投影线沿着各坐标轴的方向把物体投 6 ? i 堂 、 、 1 j ， t 影在各投影面上。一般正投影图需要多面投影图( 如三视图) 才能表示一个物体， 广泛应用于机械制图等学科。若用于三维误差图形的描述则需要大量的投影图， 且误差图形也不直观，不适于用来表示三维误差图形。 透视投影是把一束相交于投影中心的射线与物体上的各点相连接，在物体与 投影中心之间放置投影面，射线与投影面的交点即为与射线相连的物体上的点的 透视投影。透视投影图在绘画中应用广泛。虽然透视投影图有较强的立体感和真 实感，但经过这种变换，远离观察点的尺寸变小，若用于三维误差图形则容易产 生误解。例如，若用透视投影来处理面的位置度误差图形，远离视点一端的轴径 将比靠近视点的一端小一些，仿佛零件有一定的锥度。因此，透视投影图也不适 于用来表示三维误差图形。 轴测投影是把物体连同其空间直角坐标系，沿不平行于任何一个坐标面的方 向，用平行投影法将其投射在单一投影面上所得到的图形。轴测图直观性好，也 具有较强的立体感，适于表示三维误差图形。 2 3 空间点的轴测坐标 由于本文利用轴测投影法，要将三维误差图形在二维坐标的屏幕上显示出来， 故需要推导出相应的轴测投影坐标变换公式。建立如图2 1 所示的坐标系。 0 。 ( a ) 义v p y ( c ) - 7 _ 0 义? ip z ( d ) 东北大学硕士学位论文 第2 章位置误差图形生成的理论基础 。 0 图2 1 坐标变换 f i g 2 1c o o r d i n a t et r a n s f o r m a t i o n 则根据图2 1 所推导出来的相应的坐标变换公式分别为： 竺y + w y s c o i n 8 4 4 5 。 亿， i ，l - 【 = z 。 、 fy = z + r c n 冀4 s 。 1 】，：y 蝴i i l 4 5 。 ( 2 2 ) 小力c 0 8 3 旷( 2 3 ) i y = x s i n 3 0 。+ y z s i n 3 0 。 、7 - - - 化) c 0 s 3 旷 ( 2 4 ) 【y = x - y s i n 3 0 。+ z s i n 3 0 。 、7 = yz z c s i n o s 4 4 5 。 仁5 ， l = x + 。 、。 2 4 基本几何形体的实现 2 4 1 圆 在点的位置度误差图形中要用到标准圆，c v i ( l a bw i n d o w s ) 标准函数库中， 未提供绘制已知圆心、半径的圆的函数，本文设计了绘制这类圆的函数。在函数 v o i dc i r c l e ( f l o a tx o ，f l o a ty 0 ，f l o a tr 血n ) 中，( x o ，y o ) 为圆心的坐标，r 为圆的半径， n 为圆的等分点数。圆周上第i 点的坐标为： 铲x o + r x c o s ( i x 3 6 0 n ) ( 2 6 ) 【咒= y o + r x s i n ( x 3 6 0 。n ) 、 只要n 取的足够大，就能画m 仟煮光滑的凤。 - 8 - 、 d i l 一 东北大学硕士学位论丈 第2 章位置误差图形生成的理论基础 2 4 2 椭圆 、 在轴测投影图中，三维空间内与坐标平面平行的圆将成为椭圆，而且椭圆的 长轴、短轴与轴测投影坐标轴不平行，c v i ( l a bw i n d o w s ) 标准函数库中，未提供 绘制这种椭圆的函数，本文设计了画任意方向椭圆的函数。在函数v o i de l l i p s e ( f l o a tx o ，f l o a ty o ，f l o a ta f l o a tb ，f l o a ts t a , f l o a tb f e ，f l o a te f e ，i n ti l i n tf l a g ，i n tc o l o r ) 中，( x o ，y o ) 为椭圆圆心的坐标，a 和b 分别为椭圆的长轴和短轴，s t a 为椭圆的长 轴相对于轴测投影坐标轴的倾斜角度，b f e 、e f e 分别为圆弧的起始点、终止点的 角度，n 为椭圆的等分点数，f l a g 为区分左端面椭圆、右端面椭圆和虚线椭圆的 标志，c o l o r 为椭圆颜色的标志。椭圆上第i 点的坐标为： 毛2 加+ 口c o s ( s u m ) + ( 口- b ) s i n ( 口r i g ) s i n ( s 胁)( 2 7 ) l m = y o + a s i n ( s u m ) - ( a - b ) s i n ( a n g ) s i n ( s t a ) 、7 其中 a n g = b f e + i ( b f e e f e ) 肋 i = 0 ，l ，刀 ( 2 8 ) 【s u m 2 鼬g + a m 只要n 取的足够大，就能画出任意方向的光滑的椭圆。 2 4 3 圆柱面 在轴线的位置度、面的位置度误差图形中要用到标准圆柱，