（固体力学专业论文）模糊随机有限元法及其在结构广义可靠度分析中的应用.pdf

西南交通大学博士研究 生学位论文 第日页 a b s t r a c t f u z z i n e s s a n d r a n d o m i c i t y a r e s o m e p e r v a s i v e l y e x i s t i n g u n c e r t a i n f a c t o r s i n p r a c t i c a l s t r u c t u r e , e s p e c i a l l y f o r s t r u c t u r a l r e l i a b i l i t y a n a l y s i s . t h e s t u d i e s c o n c e r n i n g t h e s e s u b j e c t s h a v e s i g n i f i c a n c e t o b o t h t h e o r e t i c a l a n d p r a c t i c a l a s p e c t s . l i n e a r e l a s t i c a n d e l a s t i c - p l a s t i c f i n i t e e l e m e n t a n a l y s i s m e t h o d s f o r f u z z y - s t o c h a s t i c s t r u c t u r e a r e i n v e s t i g a t e d i n t h i s d i s s e r t a t i o n , w h i c h c o n t r i b u t e t o t h e d e v e l o p m e n t o f t h e s e e x i s t i n g t h e o r i e s i n g e n e r a l i z e d s t r u c t u r a l r e l i a b i l i t y a n a l y s i s . o u r m a i n r e s u l t s a r e a s f o l l o w s : 1 . i n f o r m a t i o n e n t r o p y , a m e a s u r e i n d e x f o r u n c e r t a i n i n f o r m a t i o n , i s p r o f o u n d l y i n v e s t i g a t e d . t h e i d e a t h a t f u z z y e n t r o p y a n d p r o b a b i l i t y e n t r o p y r e g a r d e d a s t w o s p e c i a l c a s e s o f t h e u n i t e m e a s u r e s a r e e q u a l i n n a t u r e i s p r e s e n t e d b y t h e o r e t i c a n a l y s i s t o u n i t e m e a s u r e s o f u n c e r t a i n i n f o r m a t i o n , w h i c h l a y s a t h e o r e t i c a l f o u n d a t i o n f o i f u r t h e r w o r k . 2 . t h e f u z z y - s t o c h a s t i c f i n i t e e l e m e n t m e t h o d s a r e r o u n d l y s t u d i e d . b a s e d o n t h e d i f f e r e n t r e s o l v e n t s o f f u z z y i n f o r m a t i o n , t h r e e k i n d s o f r e c u r s i v e e q u a t i o n s a r e d e r i v e d . t h e r e i n t o , t h e f i n i t e e l e m e n t m e t h o d b a s e d o n t h e e q u i v a l e n t t r a n s l a t i o n o f i n f o r m a t i o n e n t r o p y i s c a r r i e d o u t f o r t h e f i r s t t i m e b y a u t h o r . i n t h i s m e t h o d a t r a n s l a t i o n f r o m f u z z y v a r i a b l e s t o e q u i v a l e n t r a n d o m v a r i a b l e s b y u s i n g t h e i n f o r m a t i o n e n t r o p y c o n c e p t i s a p p l i e d . i t i s s h o w n t h a t t h e p r o p o s e d t e c h n i q u e c a n i m p r o v e t h e c o m p u t i n g e f f i c i e n c y o f t h e f i n i t e e l e m e n t a n a l y s i s f o r f u z z y - s t o c h a s t i c s t r u c t u r e . t h e s e p r o g r a m s f o r p e r t u r b a t i o n f u z z y - s t o c h a s t i c f i n i t e e l e m e n t ana l y s i s o f s m a l l p e r t u r b a t i o n p r o b l e m s i n p l a t e a n d s h e l l c o n s t r u c t i o n a n d n e n m a n n f u z z y - s t o c h a s t i c f i n i t e e l e m e n t a n a l y s i s o f b i g g i s h p e r t u r b a t i o n p r o b l e m s a r e i m p l e m e n t e d r e s p e c t i v e l y . 3 . b a s e d o n l i n e a r e l a s t i c a n a l y s i s , w e a n a l y t i c a l l y d e r i v e d t h e 西南交通大学博士研究生学位论文第i i i 页 r e c u r s i o n e x p r e s s i o n o f e l a s t i c - p l a s t i c f i n i t e e l e m e n t a n a l y s i s f o r f u z z y - s t o c h a s t i c s t r u c t u r e a n d a l s o f o r w a r d e d t h e e x p r e s s i o n s f o r t h e p a r t i a l d e r i v a t i v e s o f s t i f f n e s s m a t r i x w i t h r e s p e c t t o n o n - d i m e n s i o n r a n d o m m a t e r i a l p r o p e r t y v a r i a b l e s a n d d e f o r m a t i o n v e c t o r . a c c o r d i n g t o t h e s e f o r m a t i o n s , w e d e v e l o p e d a n e l a s t i c - p l a s t i c f i n i t e e l e m e n t c o m p u t i n g c o d e o n t h e b a s i s o f i n c r e m e n t s o l u t i o n 4 . s t r u c t u r a l g e n e r a l r e l i a b i l i t y t h e o r i e s a r e i n v e s t i g a t e d a n d t w o c a l c u l a t i o n m e t h o d s , r e s p e c t i v e l y b a s e d o n z a d e h s m e t h o d a n d x - l e v e l c u t t i n g m e t h o d , a r e s t u d i e d . t h e e f f e c t o f f u z z i n e s s i n s t r u c t u r a l s a f e t y c o n d i t i o n s o n s t r u c t u r a l r e l i a b i l i t y i s a l s o a n a l y z e d . 5 . b y a p p l y i n g f u z z y - s t o c h a s t i c f i n i t e e l e m e n t m e t h o d t o g e n e r a l i z e d s t r u c t u r a l r e l i a b i l i t y a n a l y s i s , w e d e v e l o p e d s o m e p r o g r a m s f o r c o m p u t a t i o n o f s t r u c t u r a l r e l i a b i l i t y r e s p e c t i v e l y b a s e d o n t h e f i r s t t w o - o r d e r m a t r i x m e t h o d , d u m m y v a r i a b l e m e t h o d a n d e x p r e s s i o n s i m u l a t i o n m e t h o d . t h e p r o g r a m s a r e a p p l i e d t o c a l c u l a t e t h e r e l i a b i l i t y o f h y p e r b o l i c c o o l i n g t o w e r o f o n e t h e r m a l p o w e r p l a n t b a s e d o n t h e e l a s t i c - p l a s t i c s t r u c t u r a l a n a l y s i s . k e y w o r d s : f u z z y - s t o c h a s t i c s t r u c t u r e ; f i n i t e e l e m e n t m e t h o d ; g e n e r a r e l i a b i l i t y ; i n f o r m a t i o n e n t r o p y 西南交通大学博士研究生学位论文 第1 页 第 1 章绪论 1 . 1 引言 众所周知，结构工程的各个方面都包含着许多不确定因素， 或称信息。王 光 远先生在 工程软设计理论 3 一书中， 认为不确定性信息主要分为未来事 物的不确定性 ( 随机性) 和人们认识的不确定性两大类;而认识的不确定性 又可分为客观 ( 人们认同)认识的不确定性 ( 模糊性)与主观 ( 决策者)认 识 的不确定性 ( 未确知性)两类。 在工程实际中， 不确定性信息是普遍存在 的。在很多 情况下，某些不确定性同时存在，形成混合的不确定性。实际工 程中的复杂结构所含的不 确定因素， 概括起来可以 分为 如下几类2 : ( 1 ) 物理参数的不确定性 表 现在机械性能、结构几何尺寸、工作 载荷 ( 风力、地震作用、 海浪等)的可变性方面; ( 2 ) 计算结构的不确定性 表现在结构计 算模型的 选取， 简化以 及 多种假设条件的引入方面; ( 3 ) 统计数据的不确定性由于不同的统计方法以及统计误差而产 生的; ( 4 ) 决策不确定性由 于决策标准的模糊性而产生的; ( 5 ) 人类认识的不确定性山 于人类主观认知能力的不足所产生的。 本文主要研究随机性和模糊性 这两类具有客 观特性的不 确定 性。随 机性是 由于事物的因果关系不明确而形成的未来事物的不确定性;模糊性是由于定 义不明确而形成的排中 律的失效。前者针对未来事物，后者对已 发生的和未 来的事物都是存在的。 研究随机性和模糊性的目 的是为了弄清楚结构系统在这些不确定因素的综 合作用下其响应量与输入量之间的关系。随着结构复杂性的提高，其响应量 与输入量之间复杂的函数关系往往难以 用显式表达。 解决这个问题的有效手 段是有限元法，利用有限元法分析复杂结构己 经成为结构工程实践中广泛使 用的一种数值方法。 西南交通大学博士研究生学位论文第2 页 1 . 2 不确定性有限元法的发展概况 目 前，有限元法己 经成为结构工程分析广泛应用的一种十分有效的数值方 法。随着大型、高速电子计算机的广泛应用及高精度单元的引入，结构分析 结果的精度己 越来越高，但人们己不满足于确定性分析所得到的那种形式上 的 “ 精确”结果。在近 3 0年左右的时间里，工程技术人员越来越意识到在工 程设计中考虑不确定因素具有重要意义。 不确定性有限元法即 模糊有限 元法、随机有限元法和模糊随机有限 元法的 总 称。 对不确定 性结 构进行有限 元分析的 工作己 有很多 人做过了， e l i s h a k o 护 最近在 应用力学评论上发表了 很好的 综述文章，总结了 1 9 9 8年以 前的部 分有关_ i 作，论述了 有关模糊、 随机有限元方面的 研究进展和应用情况。 ( 1 )随机有限元法的发展概况 在结构分析中首先被考虑的不确定因素是随机性。事物的随机性可以 被 描述为空间或时间的随机场函数或随机过程，将随机分析理论与有限元方法 相 结合， 就形成了 随 机有限 元法 ( s f e m) i0 a 随机有限元法始于7 0 年代， 最早做这方面工作的有c o l l i n s , h a rt 和c a m b o u 等 人。 首 先c o ll in s 和t h o m p s a n 151运 用 摄 动 技 术 研 究了 随 机 系 统 的 特 征 值问 题; h a r t 和c o l l i n s h 1研究了 随 机有限 元 模型; c a m b o u 17 1研究了 随 机的 线弹性问 题， 将随 机函 数 进 行t a y lo r 展 开， 这 种 方 法也 可 称 为t a y lo r 展 开s f e m ( t s f e m) ; h a n d a l if f 用 随 机 有 限 元 法 对 结 构 进 行 静 力 分 析 ; 而 后h is a d a 和n a k a g ir i t q 对 基于摄动技术的随机有限 元法作了比 较系统的 研究， 他们在考虑随 机变量的 扰动时 采用一阶、 二阶 摄动技术， 提出了 有效的摄动 s f e m法， 并成功地将 其用在各种复杂结构的应力、位移的随机性分析中。摄动随机有限元法要求 随机变量的扰动是微小的，因为它采用了中心摄动法来处理随机扰动，这一 点限制了随机有限元法的使用。8 0 年代后期，y a m a z a k i 和s h i n o z u k a z 1将算子 的n e u m a n n 级数展开法引入随机有限元的列式，提出了n e u m a n n 随机有限元 法。 其优点在于 形式简单并可以 得到近似解的高阶统计量。 特别地s h in o z u k a l i 等 人将随 机场的m o n t e c a r l。模拟与随 机刚度矩阵的n e u m a n n 级数展开式结 合，提出了 精度、效率均较高的一种新的随机有限元法n e u m a n n m o n t e c a r l o s f e m， 使m o n t e c a r l o 法与 有限元 法得以 较 好地结 合。 西南交通大学博士研究生学位论文 第3 页 一 般地， 所有的随机有限元法都是围绕两个问 题展开的:第一是随机算 子和随机矩阵的求逆问题:第二是随机场的离散或 “ 分离”问 题。而后者正 是随机有限元区别于传统有限元法的主要标志。目前，随机场的离散方法主 要有:单元中心离散法、局部平均法、插值法、局部积分法及正交展开法等。 实际上最流行的 方法是局部平均的离散法， 它是由 v a n m a r c k e 14 1 首先提出的。 局部平均理论是用随机场函数在每一个离散单元上的局部平均的随机变量来 代表该单元的统计量的近似理论。由于随机场函数经过局部平均而形成的随 机向量的各分量具有对原随机场函数的相关性不敏感的特点， 所以基于局部 平 均理论的随机有限元法只要求给定原随机场的均值、 方差以及相关偏度便 可以 得到响应函数的二阶统计量。国内的朱位秋( is , 1 6 1 、秦 权117 , 1 8 1等也在这方 面作了不少二 作，陈虹等人将特征正交化和局部平均理论相结合，提出了一 种新的随机场离散模型- 等参局部平均单元1 19 , 2 0 1 ， 在一定程度上扩大了随 机有限元法的应用范围。刘宁在他的博士论文(2 11 中对三维随机场提出了一种 可分向量随机场离散模型，视结构材料参数为混合坐标架中可部分 ( 或全部) 分离的三维向量随机场，并在整体坐标系中将随机场在三维等参元中进行局 部平均。 ( 2 ) 模糊有限元法的发展概况 在结构分析中考虑模糊因素，并将模糊数学的分析理论与 有限 元法结合 起来就形成了 模糊有限元法。 相对于随机有限元法， 模糊有限 元法的发展就 相对滞后一些。 模糊集合的 理论是由 美国 控制论专家 z a d e h 22 1 于 1 9 6 5年提出的， 他引 入 “ 隶属函数”的 概念给出了 模糊现象的定量描述和分析运算方法， 从而诞生 了模糊数学。而在此之前，人们只知道有普通集， 它的特征是 “ 非此即彼， 非彼即此” ， 非常绝对。 z a d e h 把所讨论的 对象x 属于 集合a的程度用 0 , 1 闭 区 间 的 实 数 ， 即 隶 属 函 数 a x ) 来 度 量 。 当 二 。 a 时 ， a x ) 二 1 ; 当 : v a 时 ， f ( ) 一 。 。 由 此 可 见 ， 普 通 集 合 是 模 糊 集 合 的 子 集 。 模 糊 集 理 论 揭 示 了 事 物 的 渐变性， 使理论的认识更接近于实际。几十年来， 模糊数学及其在各方面的 应用，如模糊控制、模糊优化、 模糊评判、模糊决策等方面，得到了很大的 发展。 八十年代初，b r o w n和 y a o (2 -2 4 1等人将模糊理论应用到结构设计_ l . 做了 一些工作;国内的工光远等是较早从事 模糊理论及其工程应用研究的人， 结构的模糊优化设计p . 2 6 1就是 他们提出来的。 西南交通大学博士研究生学位论文第4 页 对模糊有限元方法的研究主要集中在近十年。基于入 截集法的模糊有限 元法iz s -3 11 是目 前采用较多的一种方法。 此法是以区间数的分解和模糊分解定理 为签础，采用入 水平截集的方法将结构的模糊有限元基本方程转化为区间方 程，然后根据区间数的运算规则求解区间方程，最后利用模糊分解定理山区 间数解得到模糊解。入 的取值是根据工程师的学识和经验，人为确定的。一 般需要对人 多次进行取值，反复求解相应的区间数方程，计算量较大。 区间方程组的求解是入 截集法的一个关键问题，不少学者在这方面做过研 究。h a n s e 13 2 , 3 3 1给出了 求区间逆矩阵的方法，由于在求区间逆矩阵的过程中附 加了限制条件，因而明显地限制了应用。王彩华等34 -3 6 1提出了区间矩阵的迭代 解法和基于区间数分解的解法， 推动了 模糊有限元方法的研究和应用。在实 际应用中， 人们往往并未严格按照区间矩阵求逆的一般方法来求解模糊有限 元方程， 特别对于线性区间方程，在某个入 水平下得到刚度矩阵的，可以很 容易地直接得到位移的上下限， 而不需进行复杂的区间 矩阵求逆运算。 为了避免求解区to 数方程组的 麻烦， 减少计算工作量， 杨缘峰、李桂青13 7 1 提出了 基于二阶小参数摄动法的 模糊有限元: 刘长 虹等人将单源模糊数138 1 引 入到结构分析中， 提出了 基于单 源模糊数的模糊有限元方法(39 1 。 在很多情况 下，工程结构中的模糊因素可以被认为是同 源的。因此， 在求解这类模糊有 限元问 题时， 可先把该问 题中 模糊数分离出 来， 然后再分别按普通数集的方 法处理有限元问题和模糊运算规则计算模糊数。这种方法最终将得到的是含 有模糊计算结果的 模糊位移和模糊应力。采用基于单 源模糊数的方法时， 在 静力分析中要求刚度矩阵中各因素都是单源模糊数，而且与模糊源的关系应 满足齐次线性的映射，这个要求在诸多工程问题中是不难满足的，例如材料 弹性模量、结构的某些几何尺寸、载荷等为模糊变量的情况，而在动力问题 中会受到限制。 本文作者提出了一种模糊结构有限元分析的新方法，它是利用 l u c a和 t e r m i n i 14 0 . a 蛤出 的 模 糊 嫡的 概念， 通 过随 机和 模 糊 两 类 信 息 嫡保持 不 变的 转 换原则14 4 1 ， 实现模糊变量转化为随机变量， 从而使模糊结构可以 被近似视为 等效的随机结构，然后利用随机有限元等数值方法进行结构分析。 ( 3 ) 模糊随机有限元法的进展 当结构系统中同时包含随机参数和模糊参数时，在结构分析中就需要使用 模糊随机有限元法。模糊随机变量的概念最早是由 k w a k e m a a k i l提出的，他 西南交通大学博士研究生学位论文 第5 页 系统地给出了 模糊随机变量的定义和相关定理;随后p u r i 和r a l e s c u l 1 也对其 进行了 讨论，并给出了 模糊随机变量的期望值的定义;国内的张跃14 4 . 4 5 1 也在 此基础上系统讨论了 模糊随机变量。 模糊随机有限元方程的解法是建立在随机有限元方程和模糊有限元方程 解法基础之上 的， 将随机有限元法和模糊有限元法相结合来处理模糊随机共 存的问题是目 前普遍采用的方法，陈此等14 8 1 曾 对近年来模糊随机方程的解法 做过一些总结，主 要有人 截集法与摄动法相结合的模糊随机结构有限元平衡 方程的 摄动解法14 9 1 ;基于单源模糊数概念的模糊随机有限元法15 0 1 ，并对动态 问 题进行了初步探讨阴。本人利用信息嫡的概念， 将模糊随机结构形式上视 为等效的随机结构，最后用随机有限元等数值方法对结构进行分析。 1 . 3不确定性有限元法的工程应用 模糊随机有限 元法的 独特魅力在于其工程应用的 广泛， 下面列举模糊随机 有限元目 前在实际工程中几个方面的应用: ( 1 ) 在结构可 靠度计算方面 15 2 - 5 6 1 . 利用 ( 模糊) 随机有限元法解决复杂 功能函 数在迭代点处的 梯度57 - 5 9 1 ， 这是可靠度求解过 程中 很关 键的部分。 具体 的，如在基础承载和稳定的可靠度分析，含模糊因素的土壤基础的弹性及弹 塑 性分 析等。 这方面国内 外 学者都 做了 很多工 作， 如v a n m a r c k e 16 0 6 11 , i s h i i 和s u z u k i 16 2 1 , b a e c h e r 和in g r a l6 1, p h o o n 等 164 和 曹 策 惠 16 5 !等 人 的 工 作。 ( 2 ) 在结构动力问题中的应用:国内外己有不少研究成果，如国外的 l a n g le 犷 6 61 , l i u 16 1 ， 国 内 的 陈 厚 群 和 梁 爱 虎 16 8 1、 赵 雷 12 1等 人 进 行了 不 少 研 究。 ( 3 ) 在结构优化设 计中的 应用。 除前面提到过的b ro w n 等人的 工作以 外， 国 外的 l e e 6 9 1 也曾 利用 摄动方法解决随机结构的 优化问 题， 袁建红17 01 提出 利用 状态空间梯度投影法进行结构优化，并将之应用于重力坝剖面形状的优化设 计; 在材料断裂、 裂纹扩展方面也有应用， 但文献比 较少， 李健康等17 11做了 一些工作。 自 然科学和技术科学的很多领域正在从 “ 决定论”向“ 选择论”的方向 发展，事物之间的因果关系和信息的不确定性正在得到普遍承认，有限元作 为确定性结构分析的强有力的工具与得到普遍承认的结构不确定性相结合而 产生的模糊 ( 和/ 或)随机有限元必然具有强大的生命力，具有远大的发展前 西南交通大学博士研究生学位论文第6 页 景。 1 . 4结构广义可靠性研究概况 随着各种新型复杂结构系统的建立和工程项目 的实施， 常规可靠性设计理 论与工程实践的矛盾日 益突出。对于大量存在的不可避免的模糊现象，常规 可靠性设计理论无能为力。常规可靠性设计理论的局限性主要表现在以下几 个方面: ( i )常规可靠性设计理论是建立在普通集合论和二值逻辑基础之上的。 常规可靠性设计理论对系统的状态作二值状态假设，即系统的故障判据是严 格的，但有时不能区别不同指标值间的差异，因某些相邻指标值间在性能上 并无本质差异，却被归属于不同状态， 这显然是不合理的，也不符合人们的 思维特点和对客观事物的认识。 ( 2 )常规可靠性设 计理论面临事 物的复 杂 化与“ 精确” 描述事物性质和 状态的矛盾，这就是著名的 z a d e h iu . 7 2 1不相容理论。随着事物复杂程度的提 高，人们对事物的认识能力反而会下降。其根源在于客观事物间存在 “ 亦此 亦彼”的模糊现象，而常规可靠性设计理论无法研究这类需要用模糊方法描 述的系统可靠度。 ( 3 )常规可 靠性设计 理论缺乏必要的 数据。 随 机变量的 统计参数的获得 需要大量的 样本容量， 这要耗费 大量的人力、 物力和财力，多数情况下难以 做到。因 此， 先前的 经验是数据收 集的 一 个重 要来 源， 这必然带 有模糊性。 将模糊数学应用于结构可靠性分析中是人们对客观事物的认识提高后的 必然结果。模糊随机可靠性分析是以模糊数学、 概率论和数理统计为基础， 同时考虑系统模糊现象和随机现象而采用的分析理论。模糊随机可靠度又被 称为广义可靠度。 关于在可靠性分析中是否必须引入模糊不确定因素，8 0年代在一些可靠 性专家之间曾引起过争论，争论的关键在于随机性是否能覆盖工程中影响结 构安全的所有不确定因素，模糊性的一些处理方法中存在的一些任意性是否 可以 用于工程.实际上类似的争论在随机性开始运用于工程实践时也出现过。 这是新事物出现时不可避免的，因为人们的认识总是逐步深化的。模糊性和 随机性是两种不同的因素， 模糊性的客观存在象随机性一样必然会对结构的 西南交通大学博士研究生学位论文 第7 页 安全产生影响， 人们对此已 形成共识。模糊理论的 不断完善，使得现已 在工 程上形成了初步的精确化、定量化的模糊处理方法，这为模糊性在结构可靠 性分析中引入奠定了理论基础。 应用模糊数学处理可靠性问 题开始于 1 9 7 5 年a . k a n f m a r m的工作7 3 1 ，当 时 他引入可能 性概念来表示元件的 可靠度。1 9 7 9 年， b l o c h le 尹 7 4 1采用模糊集理 论 将 结 构的 破 损 划 分 为 不同 程 度 的 各 个 阶 段 ， 从 而 评 价 结 构 的 可 靠 性。 . 较 有 代表性的早期工作当 推 b r o w n ， 他定义了 模糊可靠性因子12 3 , 2 q ， 提出了结构 模糊安全测度的 概念17 5 1 ， 并将模糊集合理论引入到混凝土的强度及损伤的描 述中。 y a o 17 6 1则把 b r o w n的思 想应用到对现役结构的 评价上。 s h i r a i s h i 17 7 1完善 了b r o w n的理论。 8 0年代中 后期至今， 人们在将模糊性引入到可靠性分析中 已 作了一些有益的工作， 如将模糊数学引入到失效树分析中 17 l 7 9 1 ，给出了 模 糊可靠性的主要指标模糊可 靠度、 模糊故障率、模糊平均寿命等的具体计算 公式18 07:利用模糊数学对系统进行可靠性分析与设计18 1- v 1 ，利用模糊数学理论 对工作时间、功能函 数具有模糊性的可靠性问 题进行分析等135 1 。关于结构的 随机模糊性可靠性分析，我国学者王光从抗震结构所受地震载荷的模糊性和 随机性出发，建立了抗震结构单模式和多模式的随机模糊可靠性分析模型， 并 将广义可靠度问 题最后归结为 求一个模糊安全概率方程的问 题: p , = 介 (x ) . f (x ) d x， 一 ， ， 式 中 p ( x ) 为 概 率 密 度 函 数 ， a x ) 为 隶 属 函 数 ， r 为 积 分 区 域 。 从以上的介绍可知， 广义可靠性理论是经典可靠性理论的发展和延伸。 多数情况下，常规可靠性问 题都可看作是广义可靠性问 题的特例。但与经典 可靠性理论相比，广义可靠性理论的发展还显得很不完善。 1 . 5本文的主要研究工作 对于 大多 数 的问 题 来说， 模 糊 安 全 概 率p ， 的 求 解 必 须 要 借 助 于 数 值 解 法 才行。而不确定性有限元法作为解决工程问题的强有力的数值方法，很自 然 地被运用于结构广义可靠性的分析计算中。 基于对前人在相关问题方面的研 究 成果的分析总结， 本文将着重围绕模糊随 机有限 元法及其在结构广义可靠 性分析中的应用这两大主题进行研究和探讨: 西南交通大学博士研究生学位论文第8 页 1 全而评述了国内外不确定 性有限元法以 及结构广义可靠性分析的研究 发展概况，介绍了不确定性有限元法在工程中，主要是在结构可靠性分析中 的 应用。就目 前来看，相关的工作基本局限于随机有限 元法在经典可靠性分 析中的应用，利用模糊随 机有限元法计算结构广义可靠度的工作鲜有人做过。 目前对结构广义可靠性的研究，实际上仍局限于对理论方法的探讨上，结合 工程实际的还很少，因此本文的研究工作是十分必要的，同时具有重要的实 际意义。 2 又 士 不确定信息的嫡作了较为全面的探讨，提出了 信息嫡的等效转换法。 任何有限元问题最后都归结为求一个控制方程的问题: k- u=f( 1 - 2 ) 因此，如何求解此控制方程就成为不确定有限元方法中很重要的问题。 如果结构参数或载荷中含有模糊、随机因素，式 ( 1 - 2 )即是一个模糊随机方 程。对模糊随机方程的求解目前常见的就只有入 截集法，该法主要是为了处 理模糊信息的。本文为了改进入 截集法计算量大的不足， 在对不确定信息的 处理方法进行了 较深入研究的基础上， 依据不确定信息具有统一的测度这一 基本理论， 利用信息嫡等效的原则将模糊变量转换成为等效的随机变量，将 模糊随机问 题转换为随机问 题，从而可以 利用比 模糊理论成熟的概率理论来 处理模糊随 机结构，为 基于信息 嫡转换法的 模糊随 机有限元法奠定了 理论基 础。 3 .在第三章中 对线弹性模糊随机有限元法做了研究，主要内 容有: ( 1 ) 全面探讨了 模糊信息的数学处理方法及随机场的离散化问题;给 出了 几种常见分布的模糊嫡表达式; 提出了 处理壳体结构的随机场简化离散 模型。 ( 2 ) 分别推导了 基于入 水平截集法及信息嫡转换法的模糊随机有限元 递归列式，简要介绍了 基于单源模糊数的模糊随机有限元方程的求解，并在 此基础上编制了 适用于板壳类结构的线弹性模糊随机有限元程序基于人 水平截集法、基于摄动法和n e u m a m i 级数法的 模糊随机有限 元程序。 ( 3 ) 对不同情况的不确定性结构进行了分析计算，数值结果显示信息 嫡转换法是正 确的、 可 行的. 4 . 在线弹性模糊随机有限元法研究的基础上， 提出了基于增量理论的弹 塑性模糊随机有限元理论，给出了递归列式，并编制了使用于板壳类结构的 一一一 一 一 # m 3 c a ) * w 1 iu m t * a it 3 r一 一一m 9 i : 模糊随机有限元程序。 正 如前面所说， 研究模糊随机有限元法的一个主要目 的是为了 进行结构广 义可 靠性分析。山于材料在载荷作用下很可能进入屈服。从而发生应力重分 布。因此，基于线弹性模糊随机有限元法计算出的可靠度指标此时己 不能正 确地反映出结构的真实可靠度。因而在计算结构可靠度时就应该考虑到材料 进入屈服后的弹塑性情况;另外，从计算失效模式来看，由于材料的 破坏往 往不是弹性破坏， 许多材料表现为弹塑性，因此计算失效模式时考虑失效单 元的塑性效应也势在必然。 5 . 对结构广义可靠性理论做了较为深入的探讨。给出了 模糊安全状态的 三种数学表示方法， 分别研究了 基于 z a d e h方法和入 截集法的广义可靠度计 算方法。 讨论了考虑安全状态的模糊性时对结构可靠度的影响。 6 .提出了 三种利用模糊随v l f限元法进行广义可靠度或可靠指标的计算 方法: 模糊随机有限元一 一一 一次二 阶矩法、 虚拟变量法和级数拟合法，并分 别编制了相应的计 算机程序。 利用本文的方法和程序， 对双曲 冷却塔进行了 可靠性分析。 西南交通大学博士研究生学位论文第t o 页 第2 章信息嫡 虽然信息厂 泛地存 在于 现实世界中， 然而对于信息的具体含义，目 前还 没有一个确切统一的定义。 作为 信息 论的奠 墓人， s h a n n o n曾 在 他的 经典 著 作8s 中指出: “ 信息是能 够用来消除不肯定性的东西” ，并按照这一基本概 念， 给出了 信息量的度量公式。 所谓信息的度量问 题，就是指从量的关系上 来精确地刻化信息。 信息定量的描述方法是建立在人们对信息的 质的认识基 础_ l 的，对信息的本质有什么样的认识就会产生什么样的 度量方法。 信息理 论的研究一直是以 通信工程为背景的， 最初s h a n n o n 等人认为 ( 通信系统处 理的) 信息本质上是随机的，应该 采用非决定论的统计方法来处理。 他借用 统计力学中 “ 墒”这个词，提出了 用信息墒对概率信息进行度量，我们可以 把这类嫡称为概率嫡。 “ 墒”是热力学的一个基本概念， 统计物理学用它来表示分子不规则运 动的程度， 信息论中 则把它作为随机变量无约束程度的一种度量。 也就是说， 嫡可以 看作对参数不确定性的一种度量。不确定性越大， 嫡就越大。 对信息本质在认识上的 进步， 最终会导 致新的 度量 方 法的出 现。 认识 越深 入，方法就会越合理越科学。随着对信息理解的不断深入，人们注意到信息 并非必然具有概率的性质。 在许多 场合下， 可能 不存在统计意义下的 概率， 比如某些 “ 试验”不能重复进行，因此无法用概率理论来描述这类试验。但 是， 人 们仍能从试验中 获取信息。 可见， 信息并不以 概率的 存在与否为 转移。 这说明 应该 存在 着一 类“ 非概率信息” ，s h a n n o n 给出 的 嫡公 式无法度量这种 非概率信息，因为嫡公式是概率的泛函数。 这个矛盾，促使人们认真研究非 概率 信息的度量方法。 “ 模糊信息” 作为一 种重要的 非概率信息， 它所包含的 信息量也 应该可以 用信息墒来度量，我们把这种用来度量模糊信息的 嫡称为 模糊嫡，它是对模糊集所含模糊性大小的一种度量. 西南交通大学博士研究生学位论文第1 1 页 2 . 1概率嫡 2 . 1 . 1概率嫡的定义 信息论的建立是与概率理论紧密联系的。当用概率理论处理时，信息可 看作是关于随机事件发生，随机变量及随机函数实现的消息，而信息量则取 决于这些随机事件、 变量与函数的先 验概率8 6 1 当获得的消息是经常发生的事情时，其出现的概率趋近于 1 ，也就是说 趋近一 j 二 完全可信，这种消息则仅具有很少的 信息量; 如果一 个消息报道了一 个概率很小的 事件 ( 如今天将有冰雹)发生了， 可以 认为， 此消息提供的信 息比一个概率较大的事件 ( 如今天多云) 发生时提供的信息要大18 7 1 。即消 息消除的不确定性越大， 它所包含的信息量也就越大。 或者说， 概率小的事 件 包 含的 信息 量 大。 因 此 可以 令1 表示 概率为p 的 事 件的 信息 量， 则 i =h( p ) ( 2 - 1 ) 函数h的形式是我们要设法求的。 若一 个 消 息由 两 部 分 组 成， 每一 部分 发生的 概 率 分 别为p . 和p 2 ， 如 今天 某飞 机 要 起 飞 的 概率 为p l ， 该 飞 机 在飞 行 中 可能 出 现 事 故 的 概率 为p 2 ， 该 消 息总的信息量 ( 如消息报道该机出现飞行事故) 应该是两部分事件的信息量 之和，于是有 i , = h ( p , ) , 1 2 = h( p 2 ) ( 2 - 2 ) i = i , + 1 2 ( 2 - 3 ) p=pi * p2 ( 2 - 4 ) 从而 i= 显然，满足式 ( 2 - 4 ) 和式 h( p ) ( 2 - 5 ) = h( p , ) + h ( p 2 ) 的函数h只能是对数，于是有 ( 2 - 5 ) i = - k l o g p ( 2 - 6 ) k 是正 常 数。 在 对数前 取负 号 是由 于概 率小的 包 含的 信 息 量 大， 而且 概 率p总 是小于 1 ，其对数总是负的。因此，加上一个负号便使得信息量i 总是正的。 这样只要消息减小了事件的不确定性，所提供的信息量总是正的。而且如果 事 件确定要 发生 ( p = 1 ) , 消a 提供的 信息 量便等于 零， 这 表明 关于 此肯定 事 件的消息没有任何价值。 西南交通大学博士研究生学位论文第1 2 页 如果一个消息系 列是山， 、 条消息组成， 这m条 消息也可 看作m个事 件。 侮 个 事件出 现的 概率 分别为p i p z ， p . , 。山 式 ( 2 - 6 ) 可 知， 协一 个结果 所 包 含 的 信 息 量 分 别 为 一 k lo g p , ， 一 k lo g p z ， ， 一 k lo g p . 。 于 是。 次 事 件 中 各 种 结 果 可 能 出 现 的 次 数 是mp, mp,， m p m , m次 事 件 所 包 含 的 总 信息量为 i ， 二 一 m p i k lo g p i 一 m p s k l o g p , - 一 m p m k l o g p m ( 2 - 7 ) 因此每一个消息所包含的平均信息量为 i = q m= - k ( p , l o g p i + p i l o g p i +一 + p , l o g p . ) = - k 艺 p , lo g p , ( 2 - 8 ) 式 ( 2 - 6 ) 和式 ( 2 - 8 )中的常数 事实上人们通常都是取为1 的。 k可以 任意选定 于是一个概率为 i = 一 艺p , lo g e , ，为方便计可以取为 1 ，而且 p 的事 件所包含的 信息量为 ( 2 - 9 ) 以上诸式中的 对数可以 是任何数为底的对数。当 取以2为底时， 对数用 i d表 示，这时信息量的单位称为比 特 ( b it ) .当 取自 然对数为底时则用i n 表示，此 时的信息量单位为奈特 ( n a t ) 。 显然， i 奈特 二 lo g e、 1 .4 4 3 比 特 当 一 个 事 件出 现n 种结 果的 概率 都 相 等 时， 即p , p2 . . . = p = 1 / n ， 式 化为 ( 2 - 1 0 ) ( 2 - 9 )简 ， = - l . 1 lo g 1 一 lo g n ( 2 - 1 1 ) 信息论的主要创立者s h a n n o n把式 ( 2 - 9 ) 所定义的信息量就称为信息嫡。 因为此时只考虑了信息中的随机性，严格地说应该称为概率嫡，也有人称之 为 客 a l m ( o b j e c t iv e e n tro p y ) i . 概率嫡h的性质可表示如下: 1 ) h总是正的; 2 ) h在某一事件等于 1而所有其他事件为